LABORATORIO DE MATEMATICAS H

^ PROBLEMAS TECNICOS Y CON

APLICACIONES A DISTINTAS RAMAS

COLEGIO DE MATEMATICAS

Lic . M a r g a r i t a González G.

L i c . Ora l ia Flores de la C.

Ing. M a y r a Thelma Covarrubias Mart ínez

1 0 2 0 1 1 1 5 1 2 ACTIVIDADES Y LABORATORIOS DE MATEMATICAS I I

INTRODUCCION:

Las matemáticas como c i e n c i a s básicas y en p a r t i c u l a r e l Ca lcu lo

le p roporc ionará los recursos necesar ios para la comprensión y -

eva luac ión de d i f e r e n t e s problemas de la i n v e s t i g a c i ó n B i o l o g f c a

El aluimo a l te rminar e l curso a p l i c a r á algunas técn icas del Cal

culo D i f e r e n c i a l e I n t e g r a l para e l a n á l i s i s del comportamiento-

de funciones a l g e b r á i c a s y t rascendenta les asi* como en la s o l u - -

xión de algunos problemas re lac ionados con la B i o l o g í a .

El alumno a l te rminar e l curso:

A p l i c a r á los conceptos de las funciones t r i g o n o m é t r i c a s en la —

solución de problemas.

E s t a b l e c e r á la r e l a c i ó n e n t r e los sistemas de coordenadas, c a r t e

sianas y p o l a r e s .

I d e n t i f i c a r á los d i f e r e n t e s t ipos de funciones a p a r t i r de su - -

expresión matemáticas y su representac ión g r á f i c a .

C a l c u l a r á e l 1 fmi te de d i f e r e n t e s t i p o s de funciones y a n a l i z a r á

la can t idad de las mismas en un punto dado.

I n t e r p r e t a r á grá f icamente e l concepto de der ivada de una función

y además la c a l c u l a r á .

A p l i c a r á e l concepto de der ivada de una función para la d e t e r m i -

nación de los va lores máximos y mínimos r e l a t i v o s de un f i n c i ó n . 7 fM\T 0«ri

OBJETIVO DEL CURSO:

ACTIVIDADES:

(H SA'f !«£3V ¡W; O<WCS

COLEGIO DE MATEMATICAS.

MATEMATICAS I I TEMA : No. I

INTRODUCCION A LA TRIGONOMETRIA

<

OBJETIVO:

Al t e rminar e l tema, e l alumno a p l i c a r á los conceptos de las funciones

t r i g o n o m é t r i c a s en la so luc ión de problemas.

ACTIVIDADES:

1 . - Memor i zara las 6 funciones t r i gonométi cas . A

2 . - C a l c u l a r á e l v a l o r de las demás funciones t r i g o n o m é t r i c a s , dada - -

una de e1 l a s ,

3 . - Sin usar t a b l a s t r i g o n o m é t r i c a s ( ni c a l c u l a d o r a ) , c a l c u l a r á e l va_

l o r de funciones t r igonomét r icas para :

30°, k5° 60° 0? 90°, 270°, 360°

30° + £ J L 6 0 + J ? f _ . ^ o + 2 | L ; donde

N - 0 , 1, 2 , 3,

1*.- Demostrará algunas ident idades t r i g o n o m é t r i c a s .

E x p l i c a r á los pasos paré la demostración de la Ley de los Senos y

Cosenos.

6 . - Resolverá t r i á n g u l o s no rec tángu los , ap l icando la Ley de los Senos

y Cosenos.

7 . - A p l i c a r á los conceptos t e o r i c o s a la solución de problemas re l a c i o

nados co la B i o l o g f a y o t ras ramas.

9

^TEMATICAS I I

TEMA INTRODUCCION A LA TRIGONOMETRIA

LABORATORIO

I . - Dada una función t r i g n o m é t r i c a , h a l l a r el v a l o r de las demás, usando las d e f i n i c i o n e s

para ángulos en g e n e r a l .

a ) S m H = . j L O H ^ - i L e) A = 7

5 ' ' 3 ' ? í . H

L ) e . s c A - - J T O r ) d o s A - - 3 \ n r

3 V W I I . - Sin usar t a b l a s , dar los v a l o r e s de las funciones t r i g o n o m é t r i c a s para los s igu ien tes

ángulos.

a ) s?o° g . ) - 3 3 0 ° 9 » 3 3 C '

I ) * * ^ '

I I I . - Demostrar las s i g u i e n t e s ident idades t r i g o n o m é t r i c a s

i ) ( ( L o s e ) ( a s c . e ) C ^ 6 ) = . 1

i) Son tc.se CX) + ̂ = V+ t o s ^

_ i 2 ( U a * O )

1 V (Los ( * . ) l - (Los w

4) (LoA - W x = dos x r

5) S o A - X í k _ j

I + d o s -X 4- C.0S 3L% ^

^ ^ a - * . _

Se.r> ? í d o s %

í

e o .

N

2ÜD

ye

- i a i i i L

1 - San X

l o s x

dos ?c 1 1 S a a X

= 0

q ) = 1 f d o s X

(Lsc. x - x

1 - w - x

1 v . - R e s o l v e r l os s i g u i e n t e s t r i angu los

zr il

b ) i . q s A = ^ 3 °

0 a = ?

d = 2 - 3 a - U

d _ 1 . 2 .

a = . 3 5 t = . 3 6

a = i. cu = 2 1

a = 3 1

6 =

(L = i?6

(L -A

6 , 5 a 0

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

Sen X = 1 ( ¡ s e . r

d o s * = _ i

SC-C. "X

• U *

SC-Q. = C . 0 5 X

k * - S ( m X -0 dos "X-

(L03X z<¿r\X

V SJ)

o

H* I a - O

- A

X - l - jO

s a n ( * - s a n X d o s y + Q m X s a n Y .

s a n ( 9 c - V ) = s a n x e o s y - a o s x $ < ¿ n y .

(LOS ( x + Y Ì ^ ( ¡ o s * C o s ^ - s a r \ x s e n y .

d o s ( x - y ) - GOS X d o s c ^ s a n x s a n y .

( IOS I X -

= . i s a n X ( i o s X

d o s 1 a - s a n ^ ^

= 2 ( ¡ o s 1 X - 1

= 1 - 2 s a n 2 - X

d e . l o s ( L ó s a n o s

d o s K

a x + c . x - 2- a a d o s 6

e - < x a + t > l - i a f c > d o s 0 -

L a ^ ( i t - l o s s a n O S

s a r i A &

a (L

s t r v s a r v

b ¿ _ S ( m § s e a ( L

2 x ¿oD + y zob i p d s = *) n

32 x _ y m x noz = (V -x)n

t \ ns>¿ - y 203 X- 209 =r l 'v+x) 2 X m>¿ i n 205 X 203 (Y - x )

-V 4 . — » •

X — >c ^<35 X . V z :

e o a s

a z .

3

J c o y d n r ^ d

>1 jJb

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MATEMATICAS I I

TEMA : INTRODUCCION A LAS COORDENADAS POLARES

TEMA I I

OBJETIVO:

A l t e r m i n a r e l tema e l a lumno será capaz de e s t a b l e c e r l a r e l a c . o n

e n t r e e l s i s t e m a de coordenadas r e c t a n g u l a r y p o l a r .

ACTIVI DADES: 1 . - D i s t i n g u i r e n q u e s i s t e m a e s t á r e p r e s e n t a n d o u n p u n t o

2 . - Deduc i rá l a s e c u a c i o n e s que r e l a c i o n a n e l s i s t e m a r e c t a n g u l a r -

( c a r t e s i a n o ) y p o l a r

3 . - T r a n s f o r m a r a un p u n t o de l s i s t e m a r e c t a n g u l a r p o l a r

1».- T rans forma ra un p u n t o de l s i s t e m a p o l a r a l r e c t a n g u l a r

5 . - A p l i c a r á los a c e p t o s t e o r i eos a l a s o l u c i ó n de prob lemas r e í a

d o n a d o s con l a B i o l o g í a y o t r a s ramas.

:0V I T318 Ö

'6Í9T B:f T 9 3 9 Í d 6 3 í 9 9b seqsS i 98 o-hiv j l f ' s tV 9 3 [ 9 '6H»nn©j !A

.Tß'ioq y iBiUpneioöT g&bßnsbi joo 90 6RT93a¡s Í 9 9*1 i n s

: Z 3GAQ i V I TOA

oJnuq Piu o b n e í n s a ^ q s i e i s s emgiais aup ng v l u $ n i j * I O - . 1

iif>n6iD9T 6Tl9J2;!e .1 9 rtBTIO i 36 Í 91 9up e9n0Í9«ü09 26Í 61 'HKibsO - . £

TG Í Oq Y ( OOS ¡ )

"íeíoq ßmgia ia f 9b oJnuq nu &T6rmo^ snetT

i £ l u g r i 6 í 0 9 i le í s f o q Bmgíeie I 9b o'imuo nu s t s m i o } i n e - T

esmaí doi q ~¡t- n o i x i í o e sí e, eoo h o 9 í . .ítjgonoo ;r &iß._ í qA - 5

- b

MATEMATICAS I I

TEMA I I

INTRODUCCION A LAS COORDENADAS POLARES

LABORATORIO

I . - G r a f i c a r á los s i g u i e n t e s p u n t o s y t r a n s f o r m a r l o s a su fo rma p o l a r c o r r e s p o n d i e n t e

(da r po r l o menos 2 r e p r e s e n t a c i o n e s p o l a r e s de cada uno de e l l o s )

1)

5 ) p ( o ,5)

4 ) p r j

I I . - G r a f i c a r á e l pun to dado y t r a n s f o

5) PC^-V)

é) p ( f j r 1 )

y ) P ( 3 1 ^ , 0 )

P [vílfVfo)

ar lo a su forma r e c t a n g u l a r c o r r e s p o n d i e n t e

i) P (H fx 1

l ) P (1,1?°°)

3 ) H t , 1 5 0 ° )

4) P í ^ r ' ^

5) P

8) P

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jf»9 ibnoc>: SD 1^6*10 - . 1 1ÒD i s l o q fiffiioì Jè s 2o(- !STno^an6Ti y e o i n u q ? 9 J 0 9 t u D i 2 ao>

( ? o f f 9 sb onu sb63 9b ? 9 i b : o a9no ÍD6 í r t»89nq9 i S sonsm of i o q i s b j

U - X t v ) ^ (è

K i u ì s l ^ x q te

( 8 - , I V 8 ) 9

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s: ne-. ì b n o q e s n o o i B ( u p n s í D 9 ^ S f i l o 1 U2 6 ofn.ermo' tansi3 y obsb o í n u q l

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^ (8

TRlGOM'OHE-tRl/Y COROENADAS POLARES - 7 -

1 . - Uo hombre de 6 p i e s , p r o y w c t a una sombra de 4 p i e s . Encuen t re l a t a n g e n t e

de l á n g u l o que forman los rayos de l so l con l a h o r i z o n t a l .

2 Se usa un a lambre de 30 p i e s de l o n g i t u d para amar ra r una a s t a de b a n d e r a .

Si e l a lambre e s t á a tado a l a s t a a 25 p i e s sobre e l n i v e l de l s u e l o .

¿ Cuál es e l consenso de l á n g u l o formado por e l amabre con e l s u e l o ?

3 . - Un hombre sobre un a c a n t i l a d o de 225 m. m i ra h a c i a a b a j o un bote de menos

que se sabe e s t á a 75 m. de la base de l a c a n t i l a d o . ¿ cuá l es e l seno de l

á n g u l o de d e p r e s i ó n ? ( El á n g u l o de d e p r e s i ó n se d e f i n e como e l ángu lo en

t r e la h o r i z o n t a l y la 1fnea de o b s e r v a c i ó n , cuando ve un o b j e t o hac ia —

a b a j o ) .

k . - Va a i n c l i n a r s e un pane l s o l a r ( como se m u e s t r a en la f i g u r a ) de modo que

e l á n g u l o 0 = 100 °cuando e l á n g u l o de e l e v a c i ó n de l s o l sea de 27°

Encuen t re h, s i la l o n g i t u d de l pane l es 6 . 4 m.

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5 . - En un puente de a c e r o , una p a r t e de l armazón es de la forma de un t r i á n g u l o

í s c o c e l e s como la mues t ra la f i g u r a . ¿ Con que á n g u l o se j u n t a n los lados -

de l armazón.

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iIHutn jrrniixtTirn t^mN***® rnt

9i.n! s l ^ M o o n ? . a e i q A 3b STdnoa ¿ w a í ^ o i q . .as iq ¿ 9b 9-,dmori nU - . í

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u * „ r,^ í a o - i r - fí> ^ 9 1 d m s 1 6 (TU 6 2U 9 8 ^ -6Í26- snu: 1 »-*» I « * ® DU-3 V • • • i- 2-' • l » * íab í * , ¡ n í 9 andoa a s i q 5S. s s í a s U ob6-..s r s . d m s l s fe. ¡3

£ f » ne3 s idsms I 9 noq obsrrrK* M t :ns- I f * as l l u O i

r * f l * nu o r a d * s i r rsr i « * * » * * eb obsí U n e o s nu s.cioa eidmori nü t

e Í 9 3 9 t G U O ¿ , o b " 6 1 i j n tífOfc 1 - 3 9 2 6 . - . & e b ¿ 5 5 91 ' '

a s ( 9 OITIOO « t i l * 9 a , 5 i a e ~ q s b . e b o * í J - ^ : 9 b 9 b o l u g n s

ri o í s i d o na ev ooneuD , no jbevTeado 9b. .en i f ;»> • ' ° • . (O ;606

¡•3b ( B i u g i l Si o©= w se orneo i s ' o a en« : ~u e? ' s " " ' f

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.m a 9 l enca Í9b b u í i p n o l e l ¡2 ,rt e tJneuonB

u g nfa 1 1 j

20bs f - ¿oí n e i n u l s¿ o í u-

s( st a .) nos ^mB I sb - m s q snu

6 . - En un l o t e t r i a n g u l a r ABC, la e s t a c a que marcaba l a e s q u i n a C, se ha p e r d i d o

c o n s u l t a n d o sus e s c r i t u r a s l a dueña e n c u e n t r a que AB = 80 p i e s , BC - 50 p i e s

y CA = 40 p i e s , ¿ con que á n g u l o deberá t i r a r una l i n e a de modo que r e c o r r i e n

do 40 p i e s a la l a r g o de e s t a 1 mea pueda e l l a l o c a l i z a r l a e s q u i n a C .?

7 . - Un b a r c o es r a s t r e a d o p o r dos e s t a c i o n e s de r a d i o A y B que e s t á n en l f n e a

n o r t e - s u r y d i s t a n t e s una de o t r a 6500 m. La e s t a c i ó n A lo l o c a l i z a en —

l a d i r e c c i ó n N-E 34°y l a B l o l o c a l i z a en l a d i r e c c i ó n N-E 4 8 ° i A que d i s t a n

c í a e s t á e l b a r c o de l a e s t a c i ó n B ?

8 . - Una pesa es a tada a dos p o s t e s v e r t i c a l e s como se mues t ra en l a f i g u r a .

¿ Que tan l e j o s de l pos te de l a i z q u i e r d a e s t á la p e s a . Si 9 = 41 °y 0 = 75°

f

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Una a b e j a e x p l o r a d o r a descub re m i a l a l m e d i o d í a

l a m i e l e s t a s i t u a d a a 850 m. a l e s t e y 1200 m. a l s u r de l a co lmena

¿ Qué coo rdenadas p o l a r e s s e ñ a l a r á l a a b e j a ? .

Cons ide ramos un e x p e r i m e n t o sob re o r i e n t a c i ó n y n a v e g a c i ó n , en que -

f u e r o n s o l t a d a s a l g u n a s pa lomas a 11 km. de su p a l o m a r . Si c o n s i d e r a

mos e l pa lomar como c e n t r o de un s i s t e m a de coo rdenadas p o l a r e s , e l -

p u n t o de s u l e t a t i e n e un a z i m u t de 2 4 ° ( a z i m u t : á n g u l o medio en la -

d i r e c c i ó n de l a s a g u j a s de un r e l o j desde la d i r e c c i ó n n o r t e a l p u n -

t o de sue1 ta ) .

¿ A c u a n t o s k i l ó m e t r o s a l s u r y a l o e s t e d e l pa l omar e s t á e l p u n t o -

de s u e l t a ?

D u r a n t e l a época húmeda se e n c u e n t r a una f i n a capa de agua sob re l as

h o j a s c a í d a s y o t r a de l eche s o b r e la s u p e r f i c i e d e l s u e l o . En e s t a s -

p e l i c u l a s f l o t a n M e t e r í a s , p r o t o z o o s , hongos y e s p o r a s sob.re l o s n i -

v e l e s s u p e r i o r e s ( Bandoni y K o s t e r , 197*+ ) Sí e l á n g u l o de i n c l i n a -

c i ó n es de 30°y l a d i s t a n c i a que se mueve h a c i a a r r i b a , d en 5 cm.

c a l c u l a r l a d i f e r e n c i a h en e l n i v e l a l c a n z a d o p o r l o s m i c r o o r g a n i s m o s .

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MATEMATICAS I I

TEMA No. M I

GRAFICAS DE FUNCIONES

0 B J E T , V 0 :A 1 t e r m l n a r e l t e m a e l alumno se rá capaz de d i s t i n g u i r l os d i f e r e n t e s

t i p o s de f u n c i o n e s a p a r t i r de su e x p r e s i ó n ma temá t i ca y de sus repre

s e n t a c i o n g r á f i c a .

ACT IVI DA DES:

1 . - D e f i n i r á e l concep to de f u n c i ó n

2 . - I d e n t i f i c a r á f u n c i o n e s de l o . , 2 o . , y 3 e r . g rado

3 . - G r a f i c a r á f u n c i o n e s de p r i m e r o , segundo y t e r c e r g r a d o .

i , . . I d e n t i f i c a r á f u n c h e s t r i t r i c a s ( seno y coseno ) , l o g a r i t m i

cas y e x p o n e n c i a l e s .

5 . . G r a f i c a r á f u n c i o n e s t r i g o n o n é t r i cas ( seno y coseno ) , l o g r a r i t -

micas y e x p o n e n c i a l e s .

6 . - A p l i c a r á l os concep tos t e o r i eos a l a s o l u c i ó n de prob lemas r e l a -

c i onados con l a B i o l o g í a y o t r a s ramas.

n i

'MATEMATICAS I I

TEMA I I I

GRAFICAS DE FUNCIONES

LABORATORIO

I . - G r a f i c a r las s i g u i e n t e s f u n c i o n e s

i ? ) b z é x 2

3-) Y ^ - S J T . H h x - S L

3) V- X ^ - ó *

i ) Y = i - dos (í-xl

5) Y =. 3LX-3

^ ^ = X 3 +

<?) - 4 5 c r \ ( ^ S r )

8) - + 1

q) i X Cs-x)

ta) ^ - 6 dos ( i y )

I I ) b = £

' 3 j ü = J ^ x

M^ ^

>0 Ü = X Í r \ 3X i

GRAFICA DE FUNCIONES

1 . - Un p o l u c i n a n t e i m p o r t a n t e p r o d u c i d o a l q u e m a r c o m b u s t i b l e f ó s i l e s es e l

D i x i d o s u l f u r o s o ( SO2). Una i n v e s t i g a c i ó n en O s l o , Noruega , mos t ró que

e l número N de mues t ras p o r semana, es una f u n c i ó n l i n e a l de l a conse_n

t r a c i ó n media C de SO2 media un Mg/m^

La f u n c i ó n e m p f n i c a es : N = Sk + ( 0 .0331 ) C

El d o m i n i o e s : j C/ kOO C 700 }

2 . - Los b i o l ó g o s han b a i l a d o que l a v e l o c i d a d de la sangre en una a r t e r i a -

es una f u n c i ó n de l a d i s t a n c i a de la sangre a l e j e c e n t r a l de la a r t e r i a .

De acue rdo con l a Ley de P o i s e v i l l e , la v e l o c i d a d ( en cm, po r segundos )

de l a sangre e s t á a r c e n t í m e t r o s de l e j e c e n t r a l de una a r t e r i a v i ene -

dada por l a f u n c i ó n v ( r ) = C ( R2 - r 2 ) donde C es una c o n s t a n t e y R

es e l r a d i o de la a r t e r i a . Supongamos que p a r a una c i e r t a a r t e r i a C=1.7é x

105 cm. y R = 1.2 x 10" 2 cm.

a) C a l c u l e la v e l o c i d a d de la sangre en e l e j e c e n t r a l de e s t a a r t e r i a

b) Dar la r e p r e s e n t a c i ó n g r á f i c a de l a f u n c i ó n .

3 . - El número de b a c t e r i a s p r e s e n t e s en un c u l t i v o es un t i empo t e s t á dada

p o r Y = 2 £ 3 t

a) ¿ Cuál es e l número de b a c t e r i a s en 3 horas ?

b) R e p r e s e n t a r g r á f i c a m e n t e l a r e l a c i ó n e n t r e e l t iempo t y e l número de -

b a c t e r i a s en e l i n t e r v a l o de 0 a 7 h o r a s .

k El e s p e r m a t o z o i d e c o n s i s t e en una cabeza y un t a l l e c i l i n d r i c o . Si asuminos

que su m o v i m i e n t o es un un p l a n o , en tonces en c u a l q u i e r t i empo t e l t a l l e -

toma la forma de una onda s i n u s o i d a l l lamada onda de d e s p l a z a m i e n t o i n a t e r a l

En un t i e m p o dado t e l p u n t o ( x , y ) en e l t a l l e e s t á n d e s c r i t o s po r la - -

ecuac i ón .

Y = a sen K (x + c t ) donde a , k , y c

son c o n s t a n t e s . Una func ión de l a p o s i c i ó n x h o r i z o n t a l y de l t i empo t .

Supongamos que cuando han t r a n s c u r r i d o 30 m inu tos la f u n c i ó n de p o s i c i ó n toma

la forma de: Y = 3 «en ( X + Tí/3 )

G r a f i q u e d i c h a f u n c i ó n tomando X «orno á n g u l o .

5 . - La febsorción t o t a l ( X un idades cúb i cas ) de c i e r t o gas p o r o t r o conpues to -

q u í m i c o v a r i ó con e l t i empo ( t un idades ) según l a s i g u i e n t e t a b l a

X 0 1 2 3

Y 0 3 12 26

a) C o l o c a r los da tos de la g r á f i c a en una t a b l a

b) I n t e r p r e t a r p o r medio de l a g r á f i c a , l a r e l a c i ó n e n t r e las dos v a r i a b l e s

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29Í detf l e i aob as! Jos o o í d l i i- s

6 . - Suponga t horas después de l a medinoche la t e m p e r a t u r a en Mi ami e r a de 2

C ( t ) - - 1/6 + 4 t + 1 0 grados c e l s i u s .

a) ¿ Cuál es l a t e m p e r a t u r a a las 2 . 0 0 P.M.

b) Cuanto c rec ió " o d e c r e c i ó la t e m p e r a t u r a e n t r e las 6 : 0 0 y las 9 :00 P.M.

c) g r a f i q u e la f u n c i ó n

MATEMATICAS I I

TEMA IV

LIMITES Y CONTINUIDAD

OBJETIVO:

Al t e r m i n a r e l tema e l alumno c a l c u l a r á e l l i m i t e de d i f e r e n t e s

t i p o s de f u n c i o n e s y d e m o s t r a r á s i son c o n t i n u a s o no en un pur^

t o dado. ACTIVIDADES:

1 . - I n t e r p r e t a r á geomét r i camen te e l l í m i t e de una f u n c i ó n

2 . - C a l c u l a r á , usando l os teoremas r e s p e c t i v o s , e l l í m i t e de fun_

c i ones a l g e b r a i c a s y t r i gonome't r i cas

3 . - C a l c u l a r á usando los teoremas los l í m i t e s i n f i n i t o s y los - -

1ími t e s a 1 i n f i n i t o .

k . - D e f i n i r á e l concep to de c o n t i n u i d a d

5 . - I n t e r p r e t a r á eñ concep to de c o n t i n u i d a d

6 . - Demos t ra rá s i una f u n c i ó n es c o n t i n u a o n o , e n un p u n t o dado

I 2A3ITAM3T

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MATEMATICAS I I

TEMA . IV

LIMITES Y CONTINUL DAD

LABORATORI 0 I - E n c o n t r a r l os l í m i t e s de las s i g u i e n t e s f u n c i o n e s

a ) 1 i r r \

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- u t i l i z a r la d i f i n i c i ó n de c o n t i n u i d a d p a r a d e c i r s i l a f u n c i ó n dada es c o n t i n u a o

no en e l p u n t o i n d i c a d o

- , e A "X = - 1 ' 2.

C x ) - x = 2 _

3 ) r Cx) = X Z ~ 3 X - H ¡ ) c = - 2.

f ' S i

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2 -

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. - Exp resa r los v a l o r e s de " X " p a r a los cua' les l a f u n c i o n e s dada sea d i s c o n t i n u a

r t ^ -E X

i) T Cx) c 3¿±J^ -i X + 3 L

í F M =-

¿f) F (•*) =

5) F M =•

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1 = K ; ^ J

j L ^ *

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MATEMATICAS I I

TEMA V

DERIVADAS

OBJETIVO:

Al t e r m i n a r e l tema, e l a lumno sera' capaz de i n t e r p r e t a r g e o m e t r i c ?

mente e l concep to de d e r i v a d a de una f u n c i ó n y c a l c u l a r l a d e r i v a d a

de d i f e r e n t e s t i p o de f u n c i o n e s .

ACTIVIDADES:

1 . - E x p r e s a r á verba lmente e l c o n c e p t o de d e r i v a d a

2 . - Rep resen ta rá g r á f i c a m e n t e e l concep to de d e r i v a d a

3 . - C a l c u l a r á l a d e r i v a d a de a lgunas f u n c i o n e s a l g e b r a i c a s por d e f i -

n i c i ó n .

i».- C a l c u l a r á p o r los teoremas l a d e r i v a d a de f u n c i o n e s a l g e b r a i c a s ,

t r i g o n o m é t r i c a s , e x p o n e n c i a l e s y l o g a r í t m i c a s .

5 . - De f i na e l c o n c e p t o de d e r i v a d a i m p l í c i t a

6 . - D e r i v a r á f u n c i o n e s en las aue "Y " i mp 1 i s i tamen t e .

7 D e f i n a e l concep to de d i f e r e n c i a l e s

8 . - U l t i l i z a r á las f o r m u l a s de d i f e r e n c i a l e s

9 . - D e f i n i r á ' l a ant i - .der i vadas de una f u n c i ó n .

A I O . t C a l c u l a r á l a a n t i d e r i v a d a de una f u n c i ó n usando las f o r m u l a s

1 1 . - A p l i c a r á los concep tos t e o r i c e s a las s o l u c i ó n de prob lemas

r e l a c i o n a d o s con l a B i o l o g í a y o t r a s ramas

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MATEMATICAS

TEMA V

DERIVADAS

LABORATORIO

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F (xi

A F U) - ^ L ^ + S*

f M = ' y x1-

F W

F tíí X - x

6 ) p M x f i r ^ r

F (*) - 7 - X 1

8) F Cx) ^

D e r i v a r l as s i g u i e o t e s f u n c i o n e s a p l i c a n d o

la d e f i n i c i ó n

I I . - D e r i v a r l a s s i g u i e n t e s f u n c i o n e s a p l i c a n d o los teoremas de d e r i v a d a s

!•] F 6c\ ~ _ + J U -x3

i) F (•*) - - i - + - L . - J L yVx X ^

l) F 6 ) = - - L -

>] F 6 c ) = fr-iXfilVxV)

i) F 6c) V

) F Cx) = I

¿V* 1 - ta . ) 1

^ F M a

j ) F M =

li) F M = J Z t L

^ FCx) - ( x H J 3

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_ ( 6 X - + É X - I

3 X z - f I

D e r i v a r las s i g u i e n t e s f u n c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s , e x p o n e n c i a l e s y l o g a r i tmos

, ) F C x ) = S e n ^

t 2-x. z

2.) F ( x ) - e . +

F (.x) •=

4) PCx) -

5) F Cx) •=

' ( i ) P C x ) =

?) F C x ) =

BÌ FCx ) :

^ R x )

\o) F U )

F ( x )

f U )

Un ( S x ^ x - t l )

U i - e < * 7

S e n ( t Cas* >

c + 3 ( ^ - x , ) + SU ( ^ x - x ;

^ ( ^ T T ^ ) x." - x

t a CP"

Jrv { o X ^ H ^ x t l )

13? e -

13) PCx) = j U TSer> ( x 1 - ^ ]

F C x ) „ S c c * C x W ) . M * 9 - ^ }

x**-t x

\

JZC

i +

X i T

D e r i v a r i mp í c i tarnen te l as s i g u i e n t e s e x p r e s i o n e s

a.) -

x 4) ^ * *

U U S O - 6 4

7 ) -

DERIVADAS - 2 2 -

Cuando se s i n t e t i z ó una p r o t e í n a en una c é l u l a , la masa "M" de p r o t e i n a

como f u n c i ó n de t i empo aumentó de acue rdo a la f ó r m u l a .

2 M = p + q t + r t ( donde p , q y r son c o n t a n t e s )

H a l l a r l a razón ¡ n s t a n t a n e a de r e a c c i ó n como f u n c i ó n de " t " , donde la -

r e a c c i ó n es l a razón con que cambia la masa.

( u t i l i z a r l a d e f i n i c i ó n de d e r i v a d a como razón de cambio i n s t a n t a n e a )

Una masa de a i r e f r f o se ap rox imo a una u n i v e r s i d a d . La t e m p e r a t u r a es de " t "

g r a d o s / 1 t " horas después de la media noche , y d i c h a v a r i a b l e s e s t á n r e l a c i o -

nadas med ian te la s i g u i e n t e f u n c i ó n .

T = 0 . 1 (400 - 40 t + t 2 ) t á 12

C a l c u l a r la razón ¡ n s t a n t a n e a de cambio de 11 T " con r e s p e c t o a t a "1 as h o r a s :

a) 0 ho ras

b) 5 horas A.rA.

c) 12 horas P . M

Supongamos que una p r o t e i n a ( masa "M" en g r. ) se d i s g r e g a en aminoác idos - -

seaúh la f o r m u l a : 0

M - i i L + 2

Donde e l t i empo e s t á medido en h o r a s . H a l l a r la razón de cambio i n s t a n t á n e a

para un t i empo . t = 2 h .

El g a s t o de e n e r g f a de a l g u n o s p á j a r o s a l v o l a r se puede m e d i r . Para e l p e r i -q u i t o a u s t r a l i a n o ( M e l o p i t t a c u s u d u l a t u s ) a l g a s t o de e n e r g í a en C a l . g "

_ i K m ( c a l o r í a por gramo a la i n v e r s a y po r k i l o g r a m o s a l a menos uno ) , se -puede d e s c r i b i r med ian te la f ó r m u l a :

E = V | 0 . 0 7 4 ( V - 35 ) 2 + 22 )

_ i donde la " V " es la v e l o c i d a d d e l p á j a r o en Km. h r . ( l a v e l o c i d a d de l v i e n t o

no se cons i d e r a ) .

Se p r o y e c t a qye d e n t r o de " X " meses, la p o b l a c i ó n de una c i e r t a c i u d a d s e r á :

P ( X ) = 2x + 4 X 3 / 2 + 500

¿ A que r í t m o e s t a r á cambiando la p o b l a c i ó n d e n t r o de 9 meses? (

( d e r i v a d a = r i t m o de cambio )

ZAl&Mtt

t o i c 9b ' W 626m 61 »6 iü190 snu os sol-sn o í q &ou ó s i í 9 í o i a 9a obnstjO

. s í u r n i M eí e ob i9U36 9b o í n w i u * oqrng i í 9b o o b n u 1 omoo

( a s í o s í o o o noc 1 y p , q sboob ) S í i + í p + q - «

', , - 2 N I 0 0 S 6 1 6 I 1 £ Í Í &H I 9bfíob " 9b n o i o n u i omoo 00 0 0 6 9 1 9D 6S06Jna> en i •«

.&asm 6 í . 6 i d m 6 0 sup r o o ids fc i s í as no iooe

nos e l omoo 6 b 6 v i i 9 b sb n o i o i n H s b 6 i t 6 S Í í i i ' -

" 1 " 9b 29 S1U Í619<T19Í oJ . bsb i 3 "»9V i HU 60U 6 O m Í X O i q f c 92 9T ¡ 6 9b 636m 6nU <

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- i - j q f s 616^ . l i b a n sbsuq 9a i 6 Í o v \e aoib[_sq aoruo e sb 6 - 5 1 9 0 9 9b o í a s e (3

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b s b u i o B 3 1 9 Í 0 B O U 9 b o ó i o s i d o q 61 < 3 9 3 9 m « X » s b o i í o 9 b 9 Y p B í o s y o i q

0 0 $ + S N £ X 4 + X S - ( X ) 1

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6 0 9 b o m í i l 6 b 6 V i 1 9 b

- 23 -

6 . - El tamaño de un c u l t i v o de b a c t e r i a s que c r u c e l e n t a m e n t e e s t á dado

ap rox imadamente p o r :

2

N = No + 521 + 2 t ( t i e m p o de ho ras )

H a l l a r la razón i n s t a n t a n e a de c r e c i m i e n t o e n :

t = 5 h o r a s .

1

- 2h -

MATEMATICAS I I

TEMA : VI

APLICACIONES DE LA DERIVADA.

OBJETIVO:

A l t e r m i n a r e l tema, e l alumno se rá capaz de a p l i c a r l a d e r i v a d a

de una f u n c i ó n , para o b t e n e r l os máximos y mínimos y p u n t o s de -

i n f l e x i ó n de una f u n c i ó n .

ACTIVI DADES:

1 . - D e f i n i r e l c o n c e p t o de máximos y mínimos r e l a t i v o a una f u n -

c i ó n .

2 . - D e f i n i r e l c o n c e p t o de máximo y mínimo a b s o l u t o a una f u n -

c i ón .

3 . - D e f i n i r e l concep to de p u n t o c r i t i c o

k . - E n u n c i a r á e l c r i t e r i o de la p r i m e r a d e r i v a d a

3 . - C a l c u l a r á máximos y mínimos de una f u n c i ó n usando e l c r i t e r i o de

l a p r i m e r a d e r i v a d a .

6 . - E n u n c i a r á e l c r i t e r i o de la segunda d e r i v a d a

7 . - C a l c u l a r á máximos y mínmos de una f u n c i ó n usando e l c r i t e r i o -

de la segunda d e r i v a d a

8 . - A p l i c a r á l os conceptos t e o r i c o s a l a s o l u c i ó n de prob lemas a p l i c a

dos con l a B i o l o g í a y - o t r a s ramas.

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MATEMATICAS I I

TEMA VI APLICACIONES DE LA DERIVADA

LABORATORI 0

I . - E n c o n t r a r los pun tos donde l as s i g u i e n t e s f u n c i o n e s tengan máximos y mínimos

' ) F U ) í x - x + 3

P ( x ) Z 2.X - 3X2* - f Z

PCx) r ± ^ _ Z x 3

4 ) P CX) r 5 . X - Z x 2 " - I b * - l

5 ) P C X ) R I - X 4 - ^ * + I

6>) P-Cx) = -t Z x + I

F e x ) = ^ c x - O 2 ,

8 ) P C x ) - + 1 * - ~ I r

^ p c x ) ^ h ** * v/3 x 3 - y * x 2 -

3 i o ) P C x ) r - 3 *

I l 2A3ITAM3TAM

AV IF30 AJ 30 23*K)ï3A3ïJ<B\ IV AM3T

0l f l0TAfl08AJ

2ó I 9bnob e o i n u q zol ~6$-3no9ffl3 - .1

£ +• x~ "x- = (3Ü q

x J k - or — [ x j -y i

£ . b. •x - x -L r (ao* (e

-f- JC A f ~t _ - (-O5» (*>

- f j c j q

— Je h j : + ^ f

X sV - JC * % iX r U =f

APLICACION DE LA DERIVADA

1 La Ley de Poi sevi l i e a f i rma que la v e l o c i d a d de la sangre que es ta a r

cent ímet ros del e j e c e n t r a l de una a r t e r i a de r a d i o R e s

s ( r ) = c ( R2 . r

2 ) donde C es una constante p o s i t i v a

Donde es mayor la v e l o c i d a d de la sangre?

2 . - Un pez nada cont ra c o r r i e n t e a una v e l o c i d a d constante V r e l a t i v a a l

agua. El agua t i e n e una v e l o c i d a d V , con respecto a l l s u e l o . El pez in

t e n t a a l c a n z a r un punto a una d i s t a n c i a S agua, a r r i b a . La energTa r e -

quer ida esta' esenc ia lmente determinada por la f r i c c i ó n en e l agua y por

e l t iempo t n e c e s a r i o para a l c a n z a r e l o b j e t i v o .

Los exper imentos han demostrado que e s t á energTa es E = CV t donde C > 0

y K > 2 , son c i e r t a s constantes ( k depende de la forma pez ) .

Dados los s i g u i e n t e s datos , que v e l o c i d a d minimiza la e n e r g í a ?

t = . K = 3 ; vi = 3 .6 m/seg. v -v , 1 '

3 . - Una pulga que s a l t a en d i r e c c i ó n v e r t i c a l a lcanza la s i g u i e n t e a l t u r a h

(en metros ) como función del tiempo t ( en seg . )

h - ( V» ) t - ( 4 . 9 ) t 2

H a l l a r la v e l o c i d a d en e l t iempo t - o y la máxima a l t u r a a lcanzada .

4 . - En una reacción a u t o c a t a l i t i ca, una sus tanc ia se c o n v i e r t e en o t r a nueva

sus tanc ia l lamada producto , de modo que e l producto c a t a l i z a su prop ia -

fo rmac ión . Supongamos que la reacción d es proporc iona l a la can t idad X

del producto en e l tiempo t , y también p r o p o r c i o n a l a la cant idad todavfa

u t i l i z a b l e de la sus tanc ia o r i g i n a l .

Si a denota la c a n t i d a d o r i g i n a l de la s u s t a n c i a decrece a - x en e l t iem

po t . por t a n t o .

d x _ k x ( a = x ) ( K es una constante p o s i t i v a )

H a l l a r e l v a l o r p a r t i c u l a r de x que maxi mi za la razón de reacción __dx_

ÍTAM

•M3T

if l0TA#08AJ

aomix6m n6pi 39J

t + X - X

3 («*>

- 27 -

MATEMATICAS I I

TEMA No. V I I

INTEGRALES

OBJETIVO:

A l t e r m i n a r e l tema e l a lumno, i n t e r p r e t a r á geomét r i camente e l

concep to de i n t e g r a l de una f u n c i ó n y l o a p l i c a r á pa ra c a l c u l a r

e l á rea b a j o c u r v a s .

ACTIVIDADES:

1 . - E n u n c i a r á e l concep to de i n t e g r a l i n d e f i n i d a

2 . - E n u n c i a r á e l concep to de i n t e g r a l d e f i n i d a

3 . - I n t e r p r e t a r á geomét r i camen te e l concep to de i n t e g r a l d e f i n i d a

k . - C a l c u l a r á i n t e g r a l e s i n d e f i n i d a s a p a r t i r de f o r m u l a s

5 . - E n u n c i a r á e l teorema fundamen ta l de l c á l c u l o

6 . - C a l c u l a r á i n t e g r a l e s d e f i n i d a s a p a r t i r de l t e o . fundamenta l -

de l c a l c u l o .

7 . - C a l c u l a r á e l á rea l i m i t a d a p o r v a r i a s f u n c i o n e s

8 . - A p l i c a r á los concep tos t e o r i c o s a l a s o l u c i ó n de prob lemas - -

r e l a c i o n a d o s con la B i o l o g f a y o t r a s ramas

srnsb

o í a

261 í o

^ ATEMATívJIS

TEMA VI I

INTEGRALES

LABORATORIO

. - C a l c u l a r l a s s i g u i e n t e i n t e g r a l e s i n d e f i n i d a s

) ^ ( e x - s U ^ - S x + a í LO") £ C O S * 2 . X - ^ l x

C - 8 x A-

- %

» > - A l

A)

l

Cos 4 x

^ S e n 2 x (Cos2" X + 0 i -

V 3

1%)

s 2. -s

c - j *

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A :

+ ^ x ) e

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Ser»5 * *

( x + 0 C o s U S U M ? )

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I IV AM3T

i s j t n s i u p i e esí i b - I l ó í . 63

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- De te rm ina r e l á r e a de la r e g i ó n l i m i t a d a por la g r á f i c a de las ecuac iones dadas

En cada caso d i b u j e la f i g u r a e i n d i q u e c l a r a m e n t e l a r e g i ó n cuya área se p i d e .

0 M = r x. «j n O ; x - O "„ x - 2

2.) A j r 2 . x - * ; M -r - x

3 ) M - X

4 ) ^ r + fex-^ ; 9 = °

4 x - x ;

O ^ 3 x ^ * + 2 ; 2 - *

x + x

- 12 x ' / ^

- ^ te.

j o ) - x ; ^ SO