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LABORATORIO BÁSICO DE AZAR, PROBABILIDAD Y COMBINATORIA. -----------------------------------------------------------------------------

Juan García Moreno 2009_2010. 1 de 26

LABORATORIO BÁSICO DE AZAR, PROBABILIDAD Y

COMBINATORIA (LABAPC) (Guía didáctica)

INTRODUCCIÓN

En la última década del siglo XX se asiste a una propuesta de cambio curricular

en la enseñanza de la probabilidad en todos los niveles educativos. En los

diseños curriculares, no sólo en España, sino en otros países, se sugiere iniciar

esta enseñanza a una edad más temprana e introducir la probabilidad en

su acepción frecuencial. La metodología recomendada está basada en

la experimentación y simulación de experimentos aleatorios. Así, por

ejemplo, en los estándares del NCTM1 se indica que los estudiantes deben

explorar mediante situaciones y de forma activa, los modelos de probabilidad.

A través de la experimentación y la simulación, los estudiantes deben formular

hipótesis, comprobar conjeturas y depurar sus teorías sobre la base de la

nueva información. Se supone que esta metodología ayudará a superar

las dificultades y obstáculos que, sobre el desarrollo de la intuición del

azar han descrito distintos autores, como Fischbein y Gazit (1984).

1 El Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas (NCTM, por sus siglas en inglés) apunta a mejorar el aprendizaje de la matemática en los Estados Unidos y el Canadá, aunque ha influido notablemente en los diseños curriculares de otros países. España no ha sido una excepción. En 1989 realizó el lanzamiento de los estándares del plan de estudios y de la evaluación para la matemática de la escuela. El documento marcó un primer paso histórico al tratar de articular las metas extensas para los profesores y la educación matemática, dando foco, coherencia y nuevas ideas a la educación en matemática. El libro de los principios y los estándares es un recurso importante para mejorar los planes de estudio, las propuestas de enseñanza. La edición electrónica esta disponible en standards.nctm.org., y tiene una gran variedad de ejemplos para ilustrar las selecciones que proponen.



Actualmente existe bastante consenso sobre cómo abordar metodológicamente

la enseñanza-aprendizaje de la probabilidad. Desde la Didáctica de la

Matemática, y así es asumido también en los libros de texto de las principales

editoriales, se propone un tratamiento frecuencial o empírico de la probabilidad

que desemboque luego en la aplicación de la regla de Laplace: casos

favorables/casos posibles)

Diversos autores españoles, de reconocido prestigio en el campo de la

Didáctica de las Matemáticas 2 , recomiendan abordar los temas de Azar y

Probabilidad desde edades tempranas. Normalmente se toman como

referentes los trabajos de Fischbein (1975) y Piaget (1975) basados en juegos

de azar, dado que favorecen su adquisición de la manera más natural: la

intuitiva. Estos trabajos experimentales arrojan resultados exitosos en la

aplicación de juegos de azar para la enseñanza de probabilidad, dado su

carácter intuitivo, facilitando pasar de las intuiciones primarias sobre el

azar (las que se forman antes e independientemente de una enseñanza

sistemática) a las intuiciones secundarias (que se forman después de un

proceso sistemático de enseñanza).

En Educación Primaria se trata fundamentalmente de desarrollar una

“intuición probabilística” lo más ajustada posible. Los métodos de

asignación probabilística serán, fundamentalmente, la estadística de la

ocurrencia de los sucesos a estudio y el contraste antes y después de

la experimentación. Todos los niños tienen, en mayor o menor medida, una

opinión a priori desde edades muy tempranas, y en todas las culturas, de lo

posible aunque indeterminado (intuición del azar). El objetivo global en esta

etapa se centra en ajustar estos dos modos de asignación probabilística.

2 “Azar y Probabilidad”. Juan Díaz Godino, María del Carmen Batanero Bernabéu, María Jesús Cañizares Castellanos.



En E.S.O., una aproximación frecuencial a la probabilidad sólo es

posible si se realizan experimentos aleatorios, bajo las mismas

condiciones, múltiples veces; si se comprueba y analiza el grado en

que la frecuencia relativa del suceso considerado, cuando el número de

experiencias que se realizan es suficientemente grande, se estabiliza

( o converge) en torno a un valor que será su probabilidad empírica y

estará muy próximo a su probabilidad teórica, es decir, si se

experimenta la validez de la Ley del Azar o Ley de los Grandes

Números …

Ilustración de la convergencia de las frecuencias relativas de cara y escudo en el lanzamiento de una moneda.

La comprensión de la idea de frecuencia relativa, de la convergencia de las

frecuencias relativas a algún valor que representa la probabilidad y la

consideración de rachas de sucesos, son, sin duda, puntos claves para lograr el

éxito en la enseñanza con este nuevo enfoque y esto es prácticamente

imposible si sólo se recurre al libro de texto y otros materiales impresos.

Desgraciadamente, el uso de materiales analógicos específicos que permitan

experimentar las propiedades de la frecuencia relativa, y de la probabilidad, es

escasísimo en las aulas en todas las etapas y niveles. Incluso si el centro

dispone de algún material, el profesorado es reticente, en general, a su

utilización; tanto por tradición pedagógica como por otras razones que resultan

más obvias (parece una actividad “menos seria”, “genera mucho desorden y

pérdida de tiempo”,…). Así, el uso esporádico del material convierte a éste en

algo anecdótico, testimonial, más que en una herramienta metodológica. Esta

situación empeora si se le suma el hecho de que el Azar y la Probabilidad, al

igual que ocurre con la Geometría, es un bloque de contenidos relegado en la

programación…



Por otra parte, inmersos como estamos en la era digital, los materiales

digitales que abordan esta temática son numerosos. No obstante, la mayoría

de ellos son archivos en formato .pdf que se limitan a la exposición ordenada

de contenidos teóricos y/o presentación de problemas resueltos, mostrando,

por lo general, gran prisa por llegar a la Regla de Laplace ( que permite pasar

directamente a la resolución de problemas más o menos estandarizados) y

suponiendo que a los/as alumnos/as les basta imaginarse mentalmente los

experimentos aleatorios a los que se alude … Otros sitios ofrecen este mismo

tipo de material online…

Son relativamente pocas las propuestas que incluyen “applets” interactivos

para la simulación de experimentos aleatorios - esto requiere un grado de

desarrollo profesional muy elevado, en el que se aúnen sólidos conocimientos

de programación y de herramientas de autor en conjunción con experiencia

didáctica – y escasísimas las que disponen de “applets” interactivos con cierto

grado de estética y configuración de variables (algunos trabajos realizado con

el applet Descartes, “Matemáticas Interactivas”, de Eduteka, proyecto

Agrega …)

¿QUÉ ES “LABAPC”? ¿QUÉ OBJETIVOS PERSIGUE?

LABAPC es un recurso multimedia, en forma de página web, formado por más

de 50 aplicaciones o instrumentos interactivos, íntimamente interrelacionadas

entre sí (por su contenido, sus procedimientos, su interfaz,…).

Las aplicaciones están concebidas para abordar la enseñanza y

aprendizaje de la probabilidad a través de una metodología basada en

la experimentación y simulación aleatorias desde un enfoque

frecuentista, que permita una experimentación estocástica repetible

de cada situación-problema propuesto.



Predomina, por tanto, la simulación y análisis de experimentos aleatorios

propuestos como situaciones-problema, apoyados en nociones estadísticas

básicas y en conocimientos esenciales de combinatoria. No obstante, y

por pretender ser una propuesta suficiente para abordar estos bloques de

contenidos en las etapas y niveles obligatorios (2º y 3º ciclos de

Primaria y ESO), no se limita a ser una colección de “applets” y no se

renuncia a un tratamiento, lo más ilustrativo y didáctico posible, de contenidos

y procedimientos. A este respecto, el análisis y contraste de los resultados de

los experimentos permite introducir de manera contextualizada los conceptos y

procedimientos que conducen a la teoría y propiedades básicas de la

probabilidad.

Ningún material didáctico, por excelente que sea, tiene virtualidad

propia independiente del uso que se haga de él. Es por ello que este

material se destina, en primer lugar, a la comunidad docente,

convencido de que posee suficientes atractivos para aquellos docentes

innovadores dispuestos a experimentar un nuevo recurso didáctico que les

permita un mejor tratamiento curricular de la probabilidad y la combinatoria.

Son los docentes quienes tienen que conocer, descubrir y hacer realidad el

potencial de este material utilizado con sus alumnos/as para…

1.- El desarrollo del razonamiento inductivo, el aprender a intuir, plantear

hipótesis, hacer conjeturas, generalizar… A nivel de aprendizaje, no debemos

poner en duda que la forma de razonar puede tener tanto interés como los

propios contenidos conceptuales; que el razonamiento es, en sí mismo, un

gran contenido a aprender y totalmente irrenunciable en Matemáticas.

La mayoría de las ciencias parten de la inducción como método para enunciar

sus proposiciones. LABAPC potencia el razonamiento inductivo

(entiéndase inducción informal), ya que se persigue, en todo momento,

llegar a generalizar a partir de lo que se observa para un número finito

de casos particulares.



2.- El desarrollo del razonamiento argumentativo o deductivo, animando a

los/as alumnos/as a ensayar argumentaciones cada vez más fundamentadas y

convincentes… motivándolos en la capacidad para detectar inconsistencias en

los razonamientos propios y ajenos, a que se enfoquen en explicar, verificar,

comunicar, sistematizar y descubrir 3.

***(Ver documento anexo con detalles sobre la experimentación del material)***

3.- Favorecer una actitud positiva ante la experimentación y la

simulación y el desarrollo de la confianza en la propia capacidad para

experimentar, descubrir y comunicar.

4.- Favorecer una actitud positiva ante la resolución de problemas y

mostrar confianza en la propia capacidad para enfrentarse a ellos con éxito, o

para plantear problemas nuevos .

5.- Favorecer el disfrute de los aspectos creativos, manipulativos, estéticos y

utilitarios de las matemáticas.

6.- Reconocer y plantear situaciones susceptibles de ser formuladas en

términos matemáticos, elaborar y utilizar diferentes estrategias para

abordarlas y analizar los resultados utilizando los recursos más apropiados.

3 (Esto se puede realizar, por ejemplo, en tiempos de trabajo colectivos, utilizando LABAPC con pizarra digital de aula. Teniendo en cuenta la presencia cada vez más numerosa de pizarras digitales en las aulas, LABAPC tiene como unidad básica de diseño la pantalla del ordenador. Ninguna aplicación excede sus límites (aunque pueda requerir varias pantallas). Por lo general, cada pantalla muestra un objeto experimental interactivo (urna con bolas, dado/s, lotería, ruleta, moneda/s, baraja, etc.), los botones que administran el experimento aleatorio ( extracciones o lanzamientos uno a uno o automáticos e indefinidamente, pausar, detener, limpiar datos, etc.), una tabla con datos estadísticos básicos (frecuencias absolutas, frecuencias relativas,…), o bien una gráfica dinámica, así como el texto que presenta la situación-problema y da las indicaciones oportunas en cada caso. Cada pantalla, por tanto, es un conjunto integrado en la que cada espacio o zona está destinada a una función específica. Además, las acciones sobre los elementos que aparecen en las pantallas se reducen a pulsar, trazar, desplazar… no requiriéndose el uso de teclado para introducir texto.



7.- Cuantificar aquellos aspectos de la realidad que permitan interpretarla

mejor: utilizar técnicas de recogida de la información y procedimientos

de medida.

8.- Identificar los elementos matemáticos (datos estadísticos, geométricos,

gráficos, cálculos, etc.) presentes en los medios de comunicación, Internet,

publicidad u otras fuentes de información. Analizar críticamente las funciones

que desempeñan estos elementos matemáticos y valorar su aportación para

una mejor comprensión de los mensajes.

9.- Utilizar de forma adecuada los distintos medios tecnológicos

(calculadoras, ordenadores, etc.) tanto para realizar cálculos como para

buscar, tratar y representar informaciones de índole diversa y también como

ayuda en el aprendizaje.

10.- Actuar ante los problemas que se plantean en la vida cotidiana de acuerdo

con modos propios de la actividad matemática, tales como la exploración

sistemática de alternativas, la precisión en el lenguaje, la flexibilidad para

modificar el punto de vista o la perseverancia en la búsqueda de soluciones,

identificando errores conceptuales, falacias, mitos, falsas creencias…4.

11.- Elaborar estrategias personales para el análisis de situaciones concretas y

la identificación y resolución de problemas, utilizando distintos recursos e

instrumentos y valorando la conveniencia de las estrategias utilizadas en

función del análisis de los resultados y de su carácter exacto o aproximado.

4 Los juegos de azar, por ejemplo, son un excelente caldo de cultivo para la proliferación de todo tipo de supersticiones, falacias y falsas creencias. Una de las más extendidas es la llamada falacia del jugador, que presupone que los sucesos pasados afectan a los sucesos presentes en actividades aleatorias como los juegos de azar. Muchas personas creen que un suceso tiene más o menos probabilidad de ocurrir por el hecho de que hayan o no hayan ocurrido recientemente. Esto, que puede ser cierto cuando hablamos de sucesos dependientes o relacionados (y más relacionados causalmente), es totalmente erróneo al referirse a sucesos independientes como lanzar una moneda al aire, acertar un número de lotería, tener un hijo varón…



Estos objetivos, qué duda cabe, constituyen el grueso de los que se debe

perseguir con el currículo de Matemáticas, sobre todo a la finalización de la

E.S.O.

Se ha tenido en cuenta, en buena medida, que las aplicaciones ayuden al

profesorado en una de sus tareas más difíciles: la atención a la diversidad. Así,

en su conjunto, LABAPC dispone de aplicaciones que pueden ser utilizadas con

alumnos de diferentes edades y niveles. Muchas de ellas permitirán trabajar

situaciones-problema con diferentes grados de profundidad de acuerdo con las

características del alumnado. Es el profesorado el que debe conocer

previamente el contenido de LABAPC, distinguiendo entre las aplicaciones

cerradas para el tratamiento de un determinado aspecto que no admite

fácilmente gradación en niveles de dificultad (“Triángulo de Pascal y números

combinatorios”, por ejemplo) y las abiertas (Lanzamiento de 1 y 2 dados, por

ejemplo) que pueden abordarse desde diferentes puntos de vista, con diferente

intencionalidad, en torno a conceptos diferentes, etc.

¿Por qué “Laboratorio”?

Porque se pone mayor énfasis en la simulación, experimentación y análisis que

en la exposición de información. No en vano, el azar y la probabilidad tratan,

sobre todo, de experimentos aleatorios. Parece, pues, lógico poner el énfasis

en la experimentación, al menos como punto de partida…

El/la lector/a podrá comprobar que en LABAPC las posibilidades del ordenador

como recurso didáctico en el área de Matemáticas han sido exhaustivamente

exploradas y potenciadas, siendo el trabajo resultante la conjunción de un

considerable esfuerzo de programación, de una amplia experiencia docente y

de un adecuado conocimiento y posicionamiento en relación con la didáctica de

esta área. Todo ello se ha puesto al servicio de la creación de materiales

virtuales fuertemente interactivos… y, la interactividad, al servicio de la

metodología…



En coherencia con lo dicho anteriormente, LABAPC dispone de un sólido

equipamiento experimental. Aun que la mayor parte de las aplicaciones

tienen elementos interactivos que permiten la simulación de experimentos

aleatorios, se dedica un apartado del menú de aplicaciones a ofrecer

instrumentos para la experimentación. Se trata de aplicaciones polivalentes,

configurables, que permiten un buen grado de libertad de uso por parte de

alumnos/as y profesores/as…

La mayor parte de estas aplicaciones se utilizan en otros apartados del menú,

generalmente con menor grado de configuración e integradas en propuestas

concretas y contextualizadas. Sería una lástima no ofrecerlas, también,

aisladas de comentarios, indicaciones y propuestas concretas y con mayor

grado de configuración. En su conjunto, facilitan enormemente la realización

de múltiples experimentos aleatorios así como una aproximación frecuentista a

la probabilidad en la que el/la alumno/a pueda ser dueño/a de su propia

incertidumbre. Es destacable, también, la idoneidad de estas aplicaciones para

generar un sinfín de datos aprovechables en el estudio de la Estadística (con la

que debe coordinarse).

Cada uno de los experimentos se podrá realizar un número

suficientemente grande de veces (tantas como se desee) de modo que

se pueda poner de manifiesto tanto la mayor variabilidad (y poca

representatividad) de las muestras pequeñas como la realidad

experimental de la Ley de los Grandes Números; comprobar de qué

manera y en qué grado convergen las frecuencias relativas –

probabilidades empíricas- de los sucesos considerados en torno a unos

determinados números muy próximos a los que asigna la teoría como

medida del grado de certidumbre del suceso; experimentar la

presencia de rachas de sucesos,…



Pero apostar por una metodología de acercamiento frecuentista a la

probabilidad no sólo persigue aceptar con mayor naturalidad la medida

científica de la incertidumbre que supone la regla de Laplace (como toda

medida científica, con su margen de error). Persigue, también, poner de

manifiesto, con mayor rotundidad, el isomorfismo o equivalencia de

experimentos aleatorios; facilitar, en mayor medida, la superación de errores

conceptuales, falsas creencias y “caprichos” a los que parece estar sometido el

azar..; fomentar la actitud de valorar el poder de la simulación y la

experimentación es sí mismas y como métodos de anticipación de resultados

( a veces los únicos métodos posibles…) y la singularidad y creatividad que

aportan algunos de ellos -el método MonteCarlo 5, por ejemplo- . (Se invita al

lector a apreciar la belleza, utilidad y creatividad de la aplicación “Puntos de

impactos aleatorios y área de una figura cerrada”, por ejemplo.)

¿Por qué “Básico”?

Porque pretende facilitar la adquisición de conocimientos, procedimientos,

actitudes y desarrollo de competencias matemáticas, en torno a los bloques

de Azar, Probabilidad y Combinatoria, que pueden considerarse como

razonables y fundamentales para chicos/as a lo largo de las Etapas Primaria

(3º ciclo, sobre todo) y Secundaria.

Al tratarse de un material de carácter eminentemente generativo (genera

sucesos, frecuencias absolutas y relativas de los mismos,…) con una buena

cantidad de “applets” polivalentes y configurables (algunos de ellos permiten

simular un elevado número de experimentos aleatorios, desde muy simples a

más complejos), facilita una de las labores fundamentales del profesorado en

el aula: la atención y el aprovechamiento de la diversidad del alumnado…

¿Por qué “Combinatoria”? ¿Y la “Estadística”?

5 LABAPC dedica varias aplicaciones a la experimentación con puntos de impacto aleatorios sobre zonas: para el cálculo del área de cualquier figura cerrada, para obtener un valor aproximado de Pi,…



Cuando se pretende construir el espacio muestral de un experimento

compuesto, surge, de manera natural, como un problema de lógica, la

necesidad de realizar agrupaciones; de poner la Combinatoria -como parte de

las Matemáticas que se dedica a buscar procedimientos y estrategias para el

recuento y la forma de agrupar los elementos de un conjunto- al servicio de la

realización correcta de esas agrupaciones, según se repitan los elementos o no,

según se puedan tomar todos los elementos de que disponemos o no, según

influya o no el orden de colocación de los elementos…

Así, pues, la Combinatoria se presenta como necesaria para el cálculo de

probabilidades (tanto empíricas como teóricas) y ligada concretamente al

recuento y obtención de todos los sucesos posibles en un experimento

aleatorio. A menudo bastará para tal fin con un simple producto cartesiano, o

con la realización de un diagrama en árbol (en Primaria y 1º ciclo de ESO).

Pero estos procedimientos no son generalizables…

La Combinatoria aparece con frecuencia en el contexto de análisis de las

situaciones-problema más complejas propuestas en LABAPC. No obstante,

también recibe un tratamiento específico y se le ha asignado un bloque del

menú de aplicaciones.

Las posibles dificultades en la asignación de probabilidades son más de tipo

conceptual que de procedimientos, ya que los cálculos numéricos y las técnicas

utilizadas son relativamente sencillos (incluidos los cálculos combinatorios).

Aspectos estadísticos básicos como las frecuencias absolutas y relativas

aparecen en la práctica totalidad de las aplicaciones propuestas El correcto

entendimiento de las relaciones entre cantidades expresadas con cocientes

indicados es esencial aquí. Son más que suficientes para el objetivo conceptual

fundamental de este trabajo (su fin último es la asignación de probabilidades).

En menor medida, y aún pudiendo ser una continuación lógica de



muchas de las tareas propuestas, se abordan formalmente las medidas

de centralización y dispersión… (aunque se hacen presentes de manera

intuitiva y además del cálculo de la media aritmética se presentan múltiples

ocasiones para la interpretación y estimación de media y varianza a partir de

gráficas generadas en las aplicaciones. ).

Se deja que sea profesorado quien decida la mejor forma de aprovechar los

datos que se generan y registran automáticamente en las aplicaciones así

como la infinidad de datos6 que se pueden obtener con simulaciones más libres

realizadas con el equipamiento experimental de LABAPC. Lo más natural y

deseable es que exista una coordinación Probabilidad – Estadística .

¿Qué estructura presenta LABAPC?

Dada la naturaleza abierta y divergente de muchas aplicaciones, no resulta

fácil encontrar un criterio adecuado para su organización. Debe tenerse en

cuenta, en todo momento, que este material pretende situarse justo allí

donde no pueden situarse los materiales impresos estáticos. En ningún

momento es incompatible con los mismos. Así, por ejemplo, dado que se

pueden encontrar fácilmente en la red buenas baterías de problemas

estandarizados sobre probabilidad y combinatoria, no se dedica aquí esfuerzo a

esa tarea. Por el contrario, se sugieren sitios donde encontrar material

complementario… Por otra parte, a excepción de un escaso número de

aplicaciones dedicadas a ilustrar de manera interactiva aspectos teóricos

(Triángulo de Pascal y números combinatorios, álgebra de sucesos, tabla-

resumen de combinatoria), todas las demás plantean una situación-problema a

la que se puede dar una primera respuesta experimental, mediante simulación,

y que luego se analiza a la luz de las propiedades básicas de la probabilidad

y/o con la ayuda de las técnicas de recuento de la Combinatoria.

6 Muchas aplicaciones disponen de registro textual de los sucesos que se van obteniendo. En todos los casos se trata de un campo de texto seleccionabe, con scroll. Por tanto, se puede seleccionar el texto deseado, copiar y pegar para utilizarlo con otras aplicaciones con diferentes finalidades.



Las aplicaciones que conforman LABAPC se han estructurado en cuatro

bloques:

1.- AZAR Y PROBABILIDAD:

1a.- AZAR E INCERTIDUMBRE. Se trata de un conjunto de siete aplicaciones

diferentes que se muestran como siete capítulos de un mismo todo.

Pueden ser trabajadas por alumnos de 2º y 3º ciclos de Primaria. Se

trata de sencillas situaciones-juego que ponen a los/as alumnos/as en

situaciones de mayor o menor incertidumbre para que diferencien las

situaciones deterministas de las de azar, así como un primer contacto

con el análisis de lo que puede ocurrir en cada juego (sucesos) con

mayor o menor facilidad. Algunas de ellas están dotadas de cuestionarios

de autoevaluación con preguntas de respuesta múltiple, o bien de

actividades de clasificación mediante etiquetas desplazables.

1b.- APROXIMACIÓN FRECUENCIAL A LA PROBABILIDAD. Se trata de 20

aplicaciones que, desde diferentes perspectivas, tratan las nociones

fundamentales de azar y probabilidad dejando intuir sus múltiples

posibilidades y usos (sucesos simples y compuestos, álgebra básica de

sucesos, construcción de espacios muestrales, frecuencias absolutas y

relativas de sucesos, experimentos aleatorios equivalentes o isomorfos,

modelos probabilísticos, ley del Azar o de los Grandes Números, métodos

de simulación, etc..). He aquí, a modo de ejemplo, y para ilustrar las

situaciones_problema propuestas, algunas de las cuestiones

planteadas (de las cuales siempre se puede hacer una simulación con

tantas repeticiones como se desee):

* Al lanzar 2 dados muchas veces y anotar la suma de los números obtenidos es más frecuente,

por lo general, obtener la suma 7 que obtener la suma 10.

¡Compruébalo! ¿Por qué crees que ocurrirá esto?



* Se extraen una a una, y aleatoriamente, las 4 bolas numeradas contenidas en la urna y se

anota el número formado con las cuatro cifras, correspondiendo la primera bola extraída a las

unidades de millar, la segunda a las centenas y, así, sucesivamente...

¿Cuáles son los sucesos elementales posibles correspondiente a este experimento aleatorio?

¿Sabrías obtener el espacio muestral (E) sabiendo que está formado por 24 sucesos elementales?

* EXPERIMENTO ALEATORIO 1.

Extraer aleatoriamente una bola de la urna, registrar su color (verde o amarillo) y devolverla a la

urna.

EXPERIMENTO ALEATORIO 2.

Colocar aleatoriamente las bolas en los casilleros.

Registrar el color (amarillo o verde) de la bola situada en la tercera casilla.

¿Serán estos dos experimentos aleatorios equivalentes?

¿ Habrá en cada uno de ellos la misma probabilidad de obtener bola verde? ¿Y de obtener bola

amarilla?

* EXPERIMENTO ALEATORIO

Se lanzan 100 dados y se eliminan todos aquellos que muestran un 6. Repetimos esta operación

con los dados que quedan tantas veces como sea necesario para eliminarlos todos.

¿CUÁNTOS DADOS QUEDARÁN DESPUÉS DEL PRIMER LANZAMIENTO?

¿Y DESPUÉS DEL SEGUNDO?

¿Y DESPUÉS DEL TERCERO?

*EXPERIMENTO ALEATORIO

Vamos a lanzar simultáneamente 10 monedas al aire un buen número de veces y anotaremos el

número de caras que obtenemos en cada lanzamiento…

*INVESTIGA

Vamos a solicitar al ordenador que elija, aleatoriamente, un número de puntos (el que tú desees)

de su interior ( los llamaremos "puntos de impacto")

Queremos comprobar y valorar si dichos puntos se distribuirán con cierta uniformidad en el

interior del rectángulo o, por el contrario, habrá zonas del mismo con alta densidad de puntos y

otras con baja densidad de puntos. Ello es una forma de visualizar la forma en que el ordenador

genera números - convertidos aquí en puntos - aleatoriamente.

2.- ANÁLISIS DE PROBLEMAS.



En este apartado podrían haberse puesto casi todas las aplicaciones. Sin

embargo, se ha optado por elegir seis de ellas que permiten la

simulación, previa a un análisis teórico detallado, de situaciones

problemáticas relevantes. Así, por ejemplo, una de estas aplicaciones

ofrece la oportunidad de simular los dos primeros problemas que se

pueden considerar como tales en la historia de la Probabilidad. Se trata

de dos problemas sobre lanzamiento de dados propuestos por el

caballero de Méré a Pascal7. Otras aplicaciones de este bloque analizan

pormenorizadamente las probabilidades de acertar en loterías y quinielas,

etc.

Las siguientes imágenes, por ejemplo, ilustran dos modos diferentes de

de simulación de sorteo relacionados con la comprensión y análisis de la

situación planteada: Un sorteo muy discutido. Un profesor decidió sortear un premio entre los alumnos y alumnas de su clase. (Vamos a suponer que la clase tiene sólo 10 alumnos/as para simplificar la posterior simulación) Uno de los alumnos propuso tomar 10 papelitos, marcar uno de ellos y, después de doblarlos y mezclarlos, repartir uno a cada alumno... El profesor, que tenía prisa, les propuso un método más rápido: pensaría un número entre el 1 y el 10, lo anotaría en un papel y luego, siguiendo exactamente el orden en que estaban colocados en clase,

cada alumno diría un número distinto hasta que alguno acertara el número anotado en el papel. La mayoría de los/as alumnos asintieron pero uno que estaba al final intervino para manifestar que el método de sorteo no le parecía justo, que él tendría muy poca probabilidad de decir su número y de obtener el premio porque seguro que ya lo habría acertado algún compañero situado por delante de él... ¿CREES QUE ES JUSTO EL MÉTODO DE SORTEO ELEGIDO POR EL PROFESOR?

7 "...puede afirmarse que el inicio de la formulación matemática de una teoría sobre el azar, basada en el concepto de probabilidad, se produce en Francia, en pleno siglo XVII, concretamente en la correspondencia que mantuvieron en 1654 Blaise Pascal y Pierre Fermat a propósito de las cuestiones planteadas por el caballero de Méré. Éste era un experto en juegos de azar y apuestas que solicitó a Pascal que le diera una explicación sobre el resultado de ciertos juegos de azar basados en el lanzamiento de dados". Jordi Deulofeu. "Prisioneros con dilemas y estrategias dominantes". Teoría de juegos. (RBA,2010)



Se realiza una simulación del sorteo, por dos procedimientos diferentes, un número suficiente de veces. Entonces se podrá observar cómo las frecuencias relativas se estabilizan en torno a un valor próximo a 1/10=0,1. Realiza 100, 200 o más sorteos para comprobar la estabilización de las frecuencias relativas...

La imagen muestra un sorteo mediante bolas que son asignadas aleatoriamente a los/as chicos/as siguiendo el orden que estos tienen en clase. La bola azul representa el acierto o premio. Se puede apreciar que, en este caso, el acierto ha recaído en el último chico.

En este caso, la simulación ha asignado el acierto o premio a la chica que ocupa el sexto lugar.



El análisis de las situaciones problemáticas propuestas se basa

exclusivamente en las propiedades fundamentales de los sucesos y la

probabilidad (que se recogen en la tabla) así como en las técnicas de

recuento básicas de la Combinatoria.

SUCESO PROBABILIDAD

Para cualquier suceso S, siempre se tiene que 0

p(S) 1.

Al lanzar un dado, la probabilidad de obtener un 3, por

ejemplo, es 1/6, ya que los sucesos posibles son 6 y sólo

hay un suceso favorable (que salga un 3).

Si S es un suceso seguro, p(S) = 1 y si S es un

suceso imposible, p(S) = 0.

Al lanzar un dado el suceso "que salga un número mayor

que 6" es un suceso IMPOSIBLE y tiene probabilidad 0.

En cambio, el suceso "que salga un número menor que

7 " es un suceso SEGURO y tiene probabilidad 1.

La suma de las probabilidades de dos sucesos

contrarios es 1 : p(no S) = 1 - p(S)

En el lanzamiento de un dado, p(sacar un 6) = 1 - p(no

sacar un 6). Si se lanza un dado 10 veces, se

tendrá: p(no sacar por lo menos un 6) = 1 - p(no sacar

ningún 6)

Si A y B son sucesos distintos, P(A o B) = P(A)

+ p (B)

En un lanzamiento de un dado, p(sacar un número par o

sacar un 3) = = p(sacar un número par) + p(sacar un

3) = = 1/2 + 1/6 = 2/3

Si A y B son sucesos independientes, P(A y B)

= P(A) · P(B)

Al lanzar dos dados no obtener ningún 6 : p(no 6 en dos

lanzamientos) = = p(no 6) · p(no 6) = 5/6 · 5/6 =

25/36.

3.- COMBINATORIA.

Se trata de 9 aplicaciones diferentes que permitirán al alumno, de

manera activa a través de los retos propuestos, descubrir el secreto de

las técnicas de recuento, de las diferentes formas y posibilidades de

agrupar elementos…



Ejemplos de propuestas de actividades de construcción e investigación sobre “caminos lógicos” en una cuadrícula (situaciones_problema que pretenden ser contextos creativos y motivadores para tratar, en este caso, las permutaciones con repetición) En el primer caso se pide al alumno que busque y construya todos los caminos lógicos diferentes para ir desde A hasta B. Para ello utilizará siempre 4 tramos verticales y 2 horizontales, desplazables y autoajustables a la cuadrícula. Los resultados diferentes que vaya obteniendo se registrarán automáticamente en un campo de texto dinámico.



4.- EQUIPAMIENTO EXPERIMENTAL.

Ya se han mencionado anteriormente las principales características de este

bloque de aplicaciones, que permiten nombrar el trabajo, en su conjunto,

como “laboratorio”…

Por citar un ejemplo de

aplicación abierta,

divergente, versátil,

configurable,… el/la

lector/a podrá

comprobar las

posibilidades de una

urna para extracción de

bolas, con o sin

reposición, con bolas

simuladas de manera

realista (con choque rígido, gravedad…) para las cuales se puede configurar su

número total, la proporción de cada color (entre tres disponibles), el número

de bolas (de 1 a 5) que se desea extraer de manera simultánea, el tipo de

extracción (una a una o extracciones automáticas en número indefinido

mientras no se detenga la extracción), la posibilidad de visualizar, o no,

números en las bolas (la serie numérica puede ser la que deseemos, basta

introducirla en un campo de texto), etc…

Como el/la lector/a puede imaginar, se trata de aplicaciones muy cuidadas en

sus aspectos interactivos, que han requerido un enorme esfuerzo de

programación e incluso de maquetación (no es fácil colocar en una misma

pantalla todos los elementos gráficos e interactivos que presentan, junto a los

paneles estadísticos, botones de configuración, textos indicativos, etc…) Se



vuelve a insistir en que la interactividad está puesta al servicio del interés y

potencial didáctico del material.

En la realización de LABAPC, se ha tenido en cuenta en todo momento el

estado actual de las TIC y, en particular, la presencia cada vez más numerosa

de pizarras digitales en las aulas. Para hacerlo un material adecuado, tanto

para su uso a través de PC como a través de una pizarra digital, presenta las

siguientes características:

1.- La unidad básica de diseño de LABAPC es la pantalla del ordenador.

Ninguna aplicación excede sus límites (aunque pueda requerir varias pantallas).

Por lo general, cada pantalla muestra un objeto experimental interactivo (urna

con bolas, dado/s, lotería, ruleta, moneda/s, baraja, etc…), los botones que

administran el experimento aleatorio ( extracciones o lanzamientos uno a uno o

automáticos e indefinidamente, pausar, detener, limpiar datos, etc…), una tabla

con datos estadísticos básicos (frecuencias absolutas, frecuencias relativas,…),

o bien una gráfica dinámica, así como el texto que presenta la situación-

problema y da las indicaciones oportunas en cada caso. Cada pantalla, por

tanto, es un conjunto integrado en la que cada espacio o zona está destinada a

una función específica.



2.- Las acciones sobre los elementos que aparecen en las pantallas se reducen

a pulsar, trazar, desplazar… no requiriéndose el uso de teclado para introducir

texto.

Ilustración del tipo de pantalla “autosuficiente” que se utiliza en LABAP ( con disposición espacial de elementos

interactivos, paneles estadísticos, botones de puesta en marcha, textos para presentar la situación propuesta..). En

este caso, permite llevar a cabo dos experimentos aleatorios isomorfos o equivalentes (incluso simultáneamente, si se

desea), bien de manera manual (extracción a extracción) o bien de manera automática e indefinida.

ALGUNAS CONSIDERACIONES METODOLÓGICO-DIDÁCTICAS:

Apoyándome en el modelo de enseñanza-aprendizaje CAIT 8, que trato de

seguir en mi experiencia docente con las TIC, cabe destacar que LABAPC

permite:

El aprender a aprender desde una perspectiva constructivista centrada en el

alumnado, proponiéndole tareas que éste pueda desempeñar de manera

autónoma o semidirigida (con asistencia gradualmente controlada) y en las

8 CAIT (Constructivo, Autorregulado, Interactivo y Tecnológico).



que el rol del profesorado en el aula con ordenadores es el de orientar y

facilitar la tarea de construcción del significado en el alumnado, centrándose

de manera especial en la atención a la diversidad. A este respecto, no se

puede esperar simplemente que los estudiantes, por sí mismos,

construyan los conocimientos pretendidos. Hay que descubrir,

aprovechar, incluso crear, los conflictos cognitivos que se presenten,

con el fin de superarlos y hacer progresar el aprendizaje.

Los alumnos deben ser capaces de encontrar una explicación

probabilística de los resultados de las simulaciones y no permanecer

en un nivel puramente perceptivo, empírico, sin comprender la

naturaleza y justificación de las regularidades o irregularidades que

observan en la ocurrencia de sucesos y en las frecuencias relativas.

El aprendizaje significativo con las siguientes características:

Activo (los/as alumnos/as se comprometen a realizar diferentes actividades

para asimilar los contenidos informativos que reciben. La calidad del

aprendizaje dependerá de la calidad de las actividades propuestas y

realizadas al aprender, que tienen como finalidad construir el conocimiento.

El/la alumno/a reestructura los contenidos informativos y procedimentales

presentes en las aplicaciones. Hay que tener en cuenta que esta construcción

es idiosincrásica y pone de manifiesto las diferencias individuales en el

aprendizaje, los diferentes estilos de aprendizaje:

Los activos aprenden mejor cuando cuando se lanzan a una actividad que les

presente un reto o desafío, cuando realizan actividades cortas y de

resultado inmediato. Los/as alumnos/as más reflexivos pueden tomarse el

tiempo necesario y pensar antes de actuar, no se les apresura de una actividad

a otra, …pero muchas veces lo que ocurre es que el trabajo de

conceptualización lo realiza el profesor y los alumnos se limitan a recibirlo de

forma pasiva. A los más teóricos les gusta analizar y sintetizar la información

y su sistema de valores premia la lógica, la racionalidad y La ausencia de



ambigüedad,… Los alumnos pragmáticos aprenden mejor cuando ven a los

demás hacer algo, cuando tienen la posibilidad de poner en práctica

inmediatamente lo que han aprendido.

Situado. Es un aprendizaje situado en contextos simulados que afectan a

ámbitos de la realidad de los/as alumnos. Esto hace que los significados no

sólo se comprendan mejor sino que, además, se transfieran a otras situaciones.

Se aplican para lograr objetivos previamente definidos y motivan a los alumnos

a construir más conocimientos)

Auto-regulado. Es un aprendizaje auto-regulado porque el profesor transfiere

al alumno la dirección de su propio aprendizaje. El alumno adquiere autonomía

personal sin que esto signifique prescindir del profesor, pues es ahora cuando

aquel alumno necesitará un tipo de ayuda o mediación más cualificada.

Interactivo. Es un aprendizaje interactivo porque permite construir el

conocimiento de manera propia y personal a partir de los diferentes puntos de

vista que cada uno tiene sobre la información adquirida. La construcción del

conocimiento es cualitativamente más rica cuando la persona cuenta con

numerosas versiones de un mismo suceso o fenómeno de la realidad y puede,

a partir de todas ellas, construir la suya propia. Permite pasar de la

construcción personal a la construcción social del conocimiento. (Ya se aludió

a esta faceta cuando se sugerían tiempos colectivos para argumentar sobre lo

realizado )

CONTENIDOS TRATADOS

Para no extenderme más sólo haré alusión a los contenidos conceptuales ya

que hasta ahora se ha comentado, sobre todo, aspectos procedimentales:

Experimentos aleatorios y deterministas.

Experimento aleatorio simple.

Experimento aleatorio compuesto.



Sucesos elementales, espacio muestral y sucesos compuestos.

Álgebra elemental de sucesos.

Comportamiento del azar.

Frecuencia absoluta y relativa.

Probabilidad empírica.

Propiedades de los sucesos y de la probabilidad.

Sucesos compatibles e incompatibles.

Probabilidad de la unión de sucesos incompatibles.

Probabilidad de la intersección de sucesos independientes.

Relación entre las probabilidades de sucesos contrarios.

Probabilidad teórica. Regla de Laplace.

Asignación de probabilidades…

Variaciones sin repetición.

Variaciones con repetición.

Permutaciones sin repetición.

Permutaciones con repetición.

Combinaciones sin repetición.

Combinaciones con repetición.

Triángulo de Tartaglia o de Pascal y números combinatorios.

Propiedades de los números combinatorios.

RECURSOS DE EVALUACIÓN

Dada el enfoque fundamentalmente abierto, divergente, de la mayoría de las

aplicaciones, sólo algunas de ellas está dotadas de actividades de

autoevaluación que permitirán al alumno saber en qué grado domina o

comprende ciertos conceptos fundamentales. Se trata de cuestionarios de

autoevaluación con preguntas de respuesta múltiple en las que el alumnado

tiene que marcar sólo las afirmaciones correctas. En otros casos se proponen

actividades de clasificación que utilizan etiquetas desplazables que hay que

llevar a las zona de destino correspondientes.



Además, una buena parte de las aplicaciones, como ya se ha comentado

anteriormente, para introducir conceptos presentan una situación-problema,

más o menos convergente, que es un reto a resolver (formar todos los

caminos lógicos de 6 tramos - 4 verticales y 2 horizontales- desde A hasta B

desplazando y acoplando tramos; desplazar elementos dentro de un casillero

horizontal para formar todas las permutaciones con o sin repetición…, llevar

frutas a platos para formar todas las combinaciones posibles..., etc). En la

mayoría de las ocasiones el ordenador interactúa con el usuario, mediante

mensajes de texto, dando cuenta del grado de acierto de la respuesta al reto

planteado…

Otras consideraciones:

Sonidos. Todas las aplicaciones tienen instrucciones orales

prácticamente coincidentes con las indicaciones escritas que se muestran

en pantalla.

Accesibilidad. Esta obra se ha hecho accesible a personas con

minusvalía visual que acceden a Internet mediante lectores de pantalla.

La presión repetida de la tecla "TABULADOR" recorre de manera

ordenada cada uno de los elementos de cada una de las aplicaciones y

pantallas convirtiendo los textos descriptivos, ocultos al usuario, en voz y

describiendo detalladamente la actividad propuesta, el orden de

actuación sobre los elementos y el papel que juega cada elemento en

cada una de las aplicaciones particulares.

Utiliza métodos abreviados de teclado sólo para la navegación entre

pantallas o escenas de una misma aplicación.



Bibliografía consultada:

“Azar y Probabilidad”. Juan Díaz Godino, María del Carmen Batanero Bernabéu, María Jesús

Cañizares Castellanos. Matemáticas: Culura y aprendizaje. Ed. Síntesis.

“La Probabilidad y la Estadística en la Enseñanza Obligatoria”. Fco. Vecino Rubio Dpto.

Didáctica de las Matemáticas U.C.M.

“Aproximación frecuencial a la enseñanza de la probabilidad y conceptos elementales sobre

procesos estocásticos: un estudio de concepciones iniciales”. Luis Serrano Romero. Epsilon:

Revista de la Sociedad Andaluza de Educación Matemática "Thales".

“Juegos de azar en la enseñanza de probabilidad: La intuición como base del aprendizaje

formal”. Elizabeth Lavenant Brau. Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN.

“Análisis didáctico de un proceso de estudio de la ley empírica de los grandes números”. Juan

D. Godino, Rafael Roa, Angel M. Recio, Francisco Ruiz y Juan L. Pareja. Proyecto Edumat-

Maestros. Universidad de Granada.

“Interpretación de enunciados de probabilidad en términos frecuenciales por alumnos de

bachillerato”. Luis Serrano Romero, Carmen Batanero Bernabeu y Juan J. Ortiz de Haro

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