laboratorio 8 ondas estacionarias y velocidad del sonido en aire

Fsica Experimental II Curso 2014, Departamento de Fsica, Facultad de Ciencias Exactas, UNLP

Laboratorio VIII: Ondas estacionarias y velocidad del sonido en aire.

Laboratorio 8: Ondas estacionarias en tubos. Determinacin de la

velocidad del sonido en aire [*].

Introduccin.

1- Ondas sonoras.

Las ondas sonoras viajan a travs de cualquier medio material con una rapidez

que depende de las propiedades del medio. A medida que las ondas sonoras viajan a

travs del aire, los elementos del aire vibran para producir cambios en densidad y

presin a lo largo de la direccin del movimiento de la onda. Si la fuente de las ondas

sonoras vibra sinusoidalmente, las variaciones de presin tambin son sinusoidales.

Las ondas sonoras se pueden dividir en tres categoras que cubren diferentes

intervalos de frecuencia:

- Las ondas audibles se encuentran dentro del intervalo de sensibilidad del odo humano. Es posible generarlas en una variedad de formas, como de instrumentos

musicales, voces humanas o bocinas.

- Las ondas infrasnicas tienen frecuencias por abajo del intervalo audible. Los elefantes usan ondas infrasnicas para comunicarse mutuamente, aun cuando

estn separados por varios kilmetros

- Las ondas ultrasnicas tienen frecuencias por encima del alcance audible. Es posible que hayan escuchado silbatos silenciosos para llamar a perros. Los perros escuchan el sonido ultrasnico que emite este silbato, pero para los

humanos es imposible detectarlo. Las ondas ultrasnicas tambin se usan para la

formacin de imgenes mdicas.

La rapidez de las ondas sonoras en un medio depende de la compresibilidad y la

densidad del medio; si ste es un lquido o un gas y tiene un mdulo volumtrico (o de

bulk) B y densidad , la rapidez de las ondas sonoras en dicho medio es:

Vale recordar que la rapidez de todas las ondas mecnicas sigue una expresin de la

forma general

Para ondas sonoras

longitudinales en una barra

slida de material, por

ejemplo, la rapidez del

sonido depende del

mdulo de Young Y y de

la densidad . La tabla presenta la rapidez del

sonido en algunos materiales.



La rapidez del sonido tambin depende de la temperatura del medio. La relacin

entre la rapidez de la onda y la temperatura del aire, para sonido que viaja a travs del

aire, es:

donde 331 m/s es la rapidez del sonido en aire a 0C y TC es la temperatura del aire en

grados Celsius. Con esta ecuacin, uno encuentra que, a 20C, la rapidez del sonido en

el aire es aproximadamente 343 m/s. Esta informacin proporciona una forma de

estimar la distancia de una tormenta. Primero cuente el nmero de segundos entre ver el

destello del relmpago y escuchar el trueno. Dividir este tiempo entre 3 da la distancia

aproximada al relmpago en kilmetros, porque 343 m/s es aproximadamente 1/3 km/s.

2- Ondas estacionarias

Las ondas sonoras de, por ejempo, un par de bocinas, salen de las mismas hacia

adelante y hacen interferencia en un punto enfrente de las bocinas. Supongamos que se

da vuelta a las bocinas de modo que una quede frente a la otra y luego se hace que

emitan sonido a la misma frecuencia y amplitud. En esta situacin dos ondas idnticas

viajan en direcciones opuestas en el mismo medio. Dichas ondas se combinan de

acuerdo con el modelo de ondas en interferencia. Supongamos que ambas ondas son

armnicas (es decir, se pueden representar por una funcin del tipo Asen(kx-wt)). Para

esta situacin consideramos entonces funciones de onda para dos ondas sinusoidales

transversales que tengan la misma amplitud, frecuencia y longitud de onda pero que

viajen en direcciones opuestas en el mismo medio:

y1(x, t) = Asen(kx-t) y2(x, t) = Asen(kx+t) (2)

donde y1 representa una onda que viaja en la direccin +x e y2 representa una que viaja

en la direccin -x. Al sumar estas dos funciones obtenemos la funcin de onda

resultante y:

y(x, t) = y1 + y2 = Asen(kx-t)+Asen(kx+t) (3)

Usando la identidad trigonomtrica sen(ab)=sen(a)cos(b) cos(a)sen(b): esta expresin se reduce a

y(x, t) = y1 + y2 = [2Asen(kx)]cos(t)] (4)

La ecuacin (4) representa la funcin de onda de una onda estacionaria. Una onda

estacionaria, como la de una cuerda que se muestra en la figura es un patrn de

oscilacin con un contorno estacionario que resulta de la sobreposicin de dos ondas

idnticas que viajan en direcciones opuestas. Es importante notar que la ecuacin (4) no

contiene una funcin de kx-t. Por lo tanto, NO es una expresin para una onda progresiva. Cuando se observa una onda estacionaria, no hay sentido de movimiento en

la direccin de propagacin de cualquier onda original.



Al comparar la ecuacin (4) con la ecuacin del movimiento armnico simple, es claro

que la descripcin de una onda estacionaria se corresponde con un conjunto de

moviemintos armnicos simples: c punto del medio oscila con un movimiento armnico

simple con la misma frecuencia angular (de acuerdo con el factor cos(t) en la ecuacin 4). La amplitud del movimiento armnico simple de cada punto (dada por el

factor 2A(sen(kx)), el coeficiente de la funcin coseno) depende de la posicin x del

punto en el medio (recordar que en el caso de la onda armnica viajera, todas las

partculas oscilan con la misma amplitud y frecuencia).

La amplitud del movimiento armnico simple de un elemento del medio tiene un

valor mnimo de cero cuando x satisface la condicin sen(kx)=0, es decir, cuando:

(5)

De donde:

(6)

Los puntos donde la amplitud es cero se llaman nodos (recordar que (k = 2/).

Los puntos del medio con el mayor desplazamiento posible desde el equilibrio tienen

una amplitud de 2A, que se define como la amplitud de la onda estacionaria. Las

posiciones en el medio donde se presenta este desplazamiento mximo se llaman

antinodos. Los antinodos se ubican en posiciones que satisfacen la condicin sen(kx) =

1 decir, cuando:

(7)

Por lo tanto, las posiciones de los antinodos se dan cuando:

(8)

3- Ondas estacionarias en columnas de aire.

El modelo de ondas bajo condiciones frontera se aplica a ondas sonoras en una

columna de aire como la que se encuentra en el interior de un rgano de tubos. Las



ondas estacionarias son resultado de la interferencia entre ondas sonoras longitudinales

que viajan en direcciones opuestas. En un tubo cerrado en un extremo, dicho extremo es

un nodo de desplazamiento porque la barrera rgida en este extremo no permite el

movimiento longitudinal del aire. Ya que la onda de presin est 90 fuera de fase con

la onda de desplazamiento, el extremo cerrado de una columna de aire corresponde a un

antinodo de presin. El extremo abierto de una columna de aire es aproximadamente un

antinodo de desplazamiento [1] y un nodo de presin. Se puede entender por qu no se

presenta variacin de presin en un extremo abierto al notar que el extremo de la

columna de aire est abierto a la atmsfera; por lo tanto, la presin en este extremo debe

permanecer constante a presin atmosfrica.

Una pregunta interesante es cmo una onda sonora se refleja de un extremo

abierto, porque al parecer no ha habido cambio en el medio en este punto: el medio a

travs del que se mueve la onda sonora es aire, tanto dentro como fuera del tubo. Sin

embargo, el sonido es una onda de presin, y una regin de compresin de la onda

sonora est restringida por los lados del tubo en tanto la regin est dentro del tubo. A

medida que la regin de compresin sale en el extremo abierto del tubo, la restriccin

del tubo se retira y el aire comprimido es libre de expandirse en la atmsfera.

En la figura se muestran los primeros tres modos normales de oscilacin de un

tubo abierto en ambos extremos. Notar que ambos extremos son antinodos de

desplazamiento (aproximadamente). En el primer modo normal, la onda estacionaria se

extiende entre dos antinodos adyacentes, que es una distancia de media longitud de

onda. En consecuencia, la longitud de onda tiene el doble de largo que el tubo, y la

frecuencia fundamental es f1=v/2L. Las frecuencias de los armnicos superiores son 2f1,

3f1, , n f1. En conclusin, en un tubo abierto en ambos extremos, las frecuencias naturales

de oscilacin forman una serie armnica que incluye todos los mltiplos enteros de la

frecuencia fundamental.

(9)

Si un tubo est cerrado en un extremo y abierto en el otro, el extremo cerrado es

un nodo de desplazamiento (vase la figura). En este caso, la onda estacionaria para el

modo fundamental se extiende desde un antinodo hasta el nodo adyacente, que es un

cuarto de una longitud de onda. Por tanto, la longitud de onda para el primer modo



normal es 4L, y la frecuencia fundamental es f1=v/4L. Las ondas de frecuencia ms alta

que satisfacen las condiciones son aquellas que tienen un nodo en el extremo cerrado y

un antinodo en el extremo abierto; en consecuencia, los armnicos superiores tienen

frecuencias 3f1, 5f1, . . ., (2n+1) f1.

En conclusin, en un tubo cerrado en un extremo, las frecuencias de oscilacin

naturales forman una serie armnica que incluye slo mltiplos enteros impares de la

frecuencia fundamental.

(10)

4- Velocidad del sonido en el aire y el tubo de Quincke.

La velocidad del sonido fue medida al aire libre por primera vez por miembros

de la Academia de Pars en 1738 eliminando el efecto de la velocidad del viento

mediante un mtodo de observaciones recprocas: caones distantes 27 Km entre s

disparaban alternativamente a intervalos regulares de media hora y los intervalos entre

el fuego y el registro sonoro eran anotados por observadores en cada lnea de fuego. La

reduccin de las observaciones por efecto de la humedad dio un valor de 332 m/s a 0 C.

Este mtodo fue perfeccionado en experimentos sucesivos (1822, Bureau des

Longitudes; 1864, Regnault). Observaciones de la velocidad del sonido a bajas

temperaturas (entre -38 C y +2 C) fueron hechas en la Expedicin Artica de Parry

alrededor de 1825, dando 331 m/s a 0 C y un aumento con la temperatura de alrededor

0.55 m/s por grado centgrado [2]. Otros mtodos dieron resultados similares [3].

Desde entonces, la mayora de las determinaciones de la velocidad del sonido en

aire u otros gases han sido hechas con el gas encerrado en tubos. En estas condiciones

es posible estudiar las variaciones de los factores que influyen en la velocidad, tales

como temperatura, densidad, presin, humedad y composicin [4]. Estas observaciones

experimentales pueden dividirse en dos clases:

- A partir de la medida directa del tiempo que tarda un pulso sonoro para atravesar una dada longitud de tubo.

- El gas contenido en el tubo es llevado a una vibracin resonante y la velocidad queda determinada a partir de observaciones de la longitud de onda y la



frecuencia. Los tubos resonantes de Kundt y Quincke pertenecen a esta ltima

clase.

El Tubo Resonante de Quincke es un tubo

cerrado en un extremo, donde la longitud del tubo

con aire puede ajustarse con un fondo mvil. La

configuracin que se usa consiste de un tubo

vertical con una entrada para agua en la parte

inferior a travs de una manguera conectada a un

recipiente con agua, de altura regulable. El nivel de

lquido en la columna acta como mbolo o fondo

mvil. Un dispositivo tpico se muestra en la

fotografa .

Si se coloca un diapasn excitado a una

frecuencia constante conocida frente al extremo

abierto y luego se cambia la longitud del tubo de

aire (subiendo o bajando el recipiente con agua),

para ciertas longitudes de este tubo se escucha un

zumbido proveniente de la columna de aire. Esto significa que, a esta longitud del tubo,

el diapasn acta sobre la columna de aire excitando una frecuencia propia y el sistema

formado por el diapasn y la columna de aire est en resonancia.

La longitud del tubo con aire, cuando tiene lugar la resonancia, depende de las

condiciones de contorno (esto es, que los extremos del tubo estn abiertos o cerrados).

En el caso del tubo de Quincke, stas determinan que un nodo y un antinodo de la onda

de presin (manomtrica) estn ubicados en los extremos abierto y cerrado del tubo,

respectivamente. En efecto, en el extremo abierto el aire del tubo est en contacto con el

aire exterior, que est a la presin atmosfrica o presin manomtrica nula y este

extremo es un nodo de la onda de presin. La superficie del agua (extremo cerrado) es

un antinodo.

Figura 1: a) Esquema del tubo de resonancia de Quincke. L es la longitud de la

columna de aire entre la boca del tubo y el agua. Hay ondas producidas por el

diapasn (arriba) que pueden ilustrarse segn se representen ondas de presin

manomtrica (con nodos en la boca del tubo) u ondas de desplazamiento longitudinal

del aire (con nodos en la superficie del agua). Las curvas representan una onda de

desplazamiento. b) Primeros tres modos normales del sistema que se muestra en a).



Finalmente, la foto muestra un

conjunto de diapasones del

Laboratorio de Enseanza de Fsica

(LEF) del Departamento de Fsica con

frecuencias comprendidas entre

261.626 Hz y 523.251 Hz, que

corresponden a las notas DO4 (DO

central del piano) y DO5, una octava

ms alta [5].

El experimento tradicional se limita a la bsqueda de la resonancia

en el caso n=0 (L=l/4), y la columna

de aire es excitada con un solo

diapasn, generalmente con frecuencia

de 440.00 Hz, correspondiente a la

nota musical LA4 o A4 en la notacin anglosajona.

Los valores de la velocidad del sonido calculados en este experimento

tradicional con un tubo de cuarto de onda son generalmente menores a los tabulados debido a que la longitud medida en la columna de aire es menor que un cuarto de la

longitud de onda del sonido. Como se discute en la referencia 1, esto se debe a que el

nodo de la onda estacionaria de presin generada por el diapasn est en realidad ms

all del extremo del tubo. El error puede ser reducido sumando una correccin de extremo a la longitud de la columna de aire. Esta correccin de extremo puede ser evitada midiendo la distancia entre las primeras dos resonancias, una media longitud de

onda (Figura 1), escuchada cuando el nivel de agua en la columna cae.

An con un tubo de cuarto de onda hay un procedimiento alternativo que da

valores satisfactorios tanto para la velocidad del sonido como para el trmino de

correccin [6]. El tercer mtodo de medida consiste en graficar la longitud medida de la

columna de aire resonante, L=l/4 (n=0), versus la inversa de la frecuencia, f, de varios

diapasones. Como v = f = 4Lef, donde Le es la longitud efectiva del tubo cerrado en un extremo, podemos escribir v=4(L+D)f, donde es la correccin de extremo siendo D el dimetro del tubo y tiene un valor aceptado de 0.31). De la grfica de L versus 1/ f la pendiente de la recta ajustada da la velocidad del sonido y la ordenada al origen, la

correccin de extremo.

Una alternativa al procedimiento previo es usar slo tres diapasones y medir la

longitud de tres columnas resonantes de aire para cada diapasn [7]. Esto genera la

misma cantidad de datos que el tercer experimento. Una columna de aire resuena para

un sonido particular cuando la longitud de la columna es cercana a un mltiplo impar de

un cuarto de longitud de onda. La relacin entre longitud, frecuencia y nmero de la

resonancia se escribe:

(11)

donde n es el nmero de la resonancia (n = 0,1 o 2). Un grfico de L versus (2n+1)/f da

la velocidad del sonido y la correccin de extremo, eD.



Es importante comentar que la determinacin precisa de la correccin de

extremo es cuestionable [7]. El argumento es debido a que sta es extrada de una

ordenada al origen que requiere una extrapolacin significativa, por lo que no puede ser

reproducida con precisin por este mtodo (una explicacin alternativa para esta falta de

precisin es que la incerteza para ubicar las posiciones de resonancia es casi tan grande

como la correccin de extremo que se intenta determinar.) Aunque la interseccin de la recta de ajuste con la ordenada sugiere que hay una pequea correccin, la

incertidumbre en el valor es tpicamente de alrededor de 50% y a menudo, del 100%.

5- Las ondas sonoras un fenmeno adiabtico o isotrmico? La historia de la ciencia dice que Newton (1687) fue el primero en deducir una

expresin para la velocidad del sonido en el aire, pero obtuvo un valor sensiblemente

menor (~ 20 %) al que se mide experimentalmente. En su deduccin supuso que,

cuando una onda se propaga en un gas, las variaciones de presin de un elemento del

mismo son directamente proporcionales a las variaciones de su densidad. Laplace

(1816) demostr que esta hiptesis supone movimientos isotrmicos del gas y rectific

esta diferencia numrica postulando que los movimientos del fluido son adiabticos [4].

En realidad, la respuesta a la pregunta de esta seccin es que tanto Newton como

Laplace tienen razn: el carcter adiabtico o isotrmico depende de la frecuencia de la

onda sonora, pero a frecuencias audibles (menores que 20 kHz) predomina el carcter

adiabtico [8].

La velocidad del sonido en un gas depende entonces de las propiedades

termodinmicas del gas a travs del ndice adiabtico =Cp/Cv. En efecto, por tratarse de un proceso adiabtico, la velocidad del sonido es (p0 presin, 0 densidad) [4]:

(12)

Usando la ecuacin del gas ideal, se explicita su dependencia con la temperatura

t (en C) y para el aire resulta:

, (13)

donde se han usado los valores: T0=273.15 K, =1.40, R= 8.314 J/(K mol) y M=28.95 g/mol. Es evidente entonces que si se dispone de un mtodo experimental apto para

medir con precisin la velocidad del sonido en un gas, puede calcularse con ese dato el

ndice adiabtico del mismo. Esta determinacin acstica de puede compararse con los obtenidos por mtodos termodinmicos como el de Clment y Desormes.

6- ltimo comentario. Por qu estudiar ondas armnicas?

Los patrones de onda sonora producidos por la mayora de los instrumentos

musicales (y de cualquier fuente sonora) son no sinusoidales. En la figura se muestran



los patrones caractersticos producidos por un diapasn, una flauta y un clarinete, cada

uno tocando la misma nota. Cada instrumento tiene su propio patrn caracterstico. Sin

embargo, note que a pesar de las diferencias en los patrones, cada patrn es peridico.

Este punto es importante para el anlisis de estas ondas.

Figura 2: Patrones de onda sonora producidos por un diapasn, una flauta y un clarinete,

cada uno aproximadamente a la misma frecuencia.

El problema de analizar patrones de onda no sinusoidales aparece a primera

vista como una tarea formidable. Sin embargo, si el patrn de onda es peridico, se

puede representar tan cercano como se desee mediante la combinacin de un nmero

suficientemente grande de ondas sinusoidales que formen una serie armnica. De hecho,

cualquier funcin peridica se representa como una serie de trminos seno y coseno con

el uso de una tcnica matemtica: el teorema de Fourier (desarrollado por Jean Baptiste

Joseph Fourier, 1786-1830). La correspondiente suma de trminos que representan el

patrn de onda peridica se llama serie de Fourier. Sea y(t) cualquier funcin peridica

en el tiempo con un periodo T tal que y(t+T)= y(t+T). De acuerdo al teorema de Fourier

esta funcin se puede escribir:

(14)

donde la frecuencia ms baja es f1= 1/T. Las frecuencias ms altas son mltiplos enteros

de la fundamental, fn=nf1 (armnicos) y los coeficientes An y Bn representan las

amplitudes de las diferentes ondas. La figura 3 representa un anlisis armnico de los

patrones de onda que se muestran en la figura anterior. Cada barra en la grfica

representa uno de los trminos en la serie en la ecuacin 14. Advierta que un diapasn

golpeado slo produce un armnico (el primero), mientras que la flauta y el clarinete

producen el primer armnico y muchos superiores.

Note la variacin en intensidad relativa de los diferentes armnicos para la flauta

y el clarinete. En general, cualquier sonido musical consiste de una frecuencia

fundamental f ms otras frecuencias que son mltiplos enteros de f y todos tienen

diferentes intensidades.



Figura 3: Armnicos de los patrones de onda que se muestran en la figura 2. Note las

variaciones en intensidad de los diferentes armnicos.

El anlisis mediante el teorema de Fourier implica la determinacin de los

coeficientes de los armnicos en la ecuacin 14 a partir de un conocimiento del patrn

de onda. El proceso inverso, llamado sntesis de Fourier, tambin se puede realizar. En

este proceso, los diversos armnicos se suman para formar un patrn de onda resultante.

Como ejemplo de la sntesis de Fourier, considere la construccin de una onda

cuadrada, como se muestra en la figura 4. La simetra de la onda cuadrada slo resulta

en mltiplos impares de la frecuencia fundamental que se combina en su sntesis. En la

figura 4.a, la curva anaranjada muestra la combinacin de f y 3f. En la figura 4.b, se

sum 5f a la combinacin y se obtuvo la curva verde. Note cmo se aproxima la forma

general de la onda cuadrada, aun cuando las porciones superior e inferior no son planas

como debieran. La figura 4.c muestra el resultado de sumar frecuencias impares hasta

9f. Esta aproximacin (curva prpura) a la onda cuadrada es mejor que las

aproximaciones en las figuras 4.a y 4.b. Para aproximar la onda cuadrada tan cerca

como sea posible, se deben sumar todos los mltiplos impares de la frecuencia

fundamental, hasta la frecuencia infinita (o hasta un valor de corte para el cual se

obtenga la precisin que se requiere).

Figura 4: Sntesis de Fourier de una onda cuadrada, que se representa mediante la suma de

mltiplos impares del primer armnico, que tiene frecuencia f. a) Se suman ondas de frecuencia

f y 3f. b) Se agrega un armnico impar ms de frecuencia 5f. c) La curva de sntesis se proxima

ms a la onda cuadrada cuando se suman las frecuencias impares hasta 9f.



Referencias. Material didctico preparado para uso interno de la materia Fsica Experimental II.

Ctedra 2014:

Prof.: Leonardo Errico ([email protected])

JTP: Jos M. Ramallo Lpez ([email protected])

Ayudantes: Diego Coral, Diego Rodrguez, Santiago Osorio

[1] En sentido estricto, el extremo abierto de una columna de aire no es exactamente un

antinodo de desplazamiento. Alcanzar una compresin en el extremo abierto no se refleja hasta

que pasa ms all del extremo. A la longitud de la columna de aire para un tubo de seccin

transversal circular, se debe agregar una correccin terminal aproximadamente igual a 0.6R,

donde R es el radio del tubo. Por eso, la longitud efectiva de la columna de aire es un poco

mayor que la verdadera longitud L. En esta gua se ignora esta correccin terminal

(R.A.Serway, Fsica, Tomo 1, Mc Graw Hill).

[2] Moll, G. On Captain Parrys and Lieutenant Fosters Experiments on the Velocity of Sound, Phil. Trans. R. Soc. Lond. (1928), 118, 97-104. [3] Un mtodo interesante fue usado por J. Bosscha (Pogg. Ann., (1854), 92, 485) que

determin la velocidad del sonido por el mtodo de las coincidencias: el sonido (un golpe seco)

era transmitido, a intervalos regulares perfectamente conocidos, simultneamente desde dos

puntos separados por una distancia conocida. Cuando las fuentes estaban cercanas, los sonidos

se escuchaban juntos pero cuando una fuente se alejaba, los golpes quedaban separados por un

intervalo que al principio aumentaba y despus disminua hasta que nuevamente coincidan.

Aumentando continuamente la distancia se observaba que las coincidencias se repetan a iguales

intervalos de distancia. Si N es el nmero de seales por segundo y d es la distancia media

entre los puntos de coincidencia, la velocidad ser Nd. El mtodo fue posteriormente

simplificado usando una fuente y su imagen reflejada en una pared.

[4] A. B. Wood, A Textbook of Sound, 3rd. Ed., G.Bell and Sons Ltd, London, 1960.

[5] El intervalo de una octava se divide en 12 subintervalos llamados semitonos. La frecuencia

de cada semitono se obtiene del precedente multiplicando su frecuencia por el factor : 21/12

(=

1.059463) como se verifica en la Tabla.

[6] LoPresto, M. Measuring end correction for a quarter-wave tube, Phys. Teach. 43, 380 (2005).

[7] Easton, D. Speed of Sound in Air, Phys. Teach. 43, 567 (Dec. 2005). [8] Wu, J. Are sound waves isothermal or adiabatic? Am. J. Phys. 58 (7), 694-696 (1990).

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