laboratorio 5. contreras ibarra rodriguezv 4

Universidad Nacional de Colombia. Ibarra, Contreras, Rodríguez. LABORATORIO 5: TÉCNICAS DE COMPENSACIÓN EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.

1

Resumen— Este informe presenta el proceso de diseño e

implementación de compensadores en adelanto, atraso, y adelanto y atraso de fase, para el control de una planta. La implementación se desarrolla por medio de amplificadores operacionales.

Índice de Términos—OPAMP, compensadores de adelanto, atraso y adelanto/atraso de fase, análisis en frecuencia.

I. INTRODUCCIÓN La respuesta en frecuencia de un sistema es importante para el análisis de sistemas, puesto que define la respuesta del sistema ante una entrada de tipo sinusoidal. Lo cual es muy común en muchos procesos de control reales, ya que son muy excepcionales los casos en los que el sistema tiene una entrada de tipo constante. En tanto que si la entrada del sistema es sinusoidal, la salida será del mismo tipo, en tanto que solo diferirá en su amplitud y fase. Este análisis permite determinar en alguna medida la respuesta del sistema en cuanto a ruido de la señal de entrada. Además que permite conocer la respuesta en frecuencia de un sistema a partir de la respuesta en frecuencia determinada experimentalmente. En cuanto que una de las ventajas de este tipo de análisis es la falta de una relación directa entre el análisis frecuencial y el análisis temporal. En este informe se presenta un análisis experimental acerca del diseño de tres tipos de compensadores, así como se presentan los resultados experimentales de uno de estos compensadores.

II. PROCEDIMIENTO En esta parte del informe se describirá el procedimiento adelantado a lo largo de la práctica de laboratorio. Se establece

una análisis acerca del procedimiento de diseñó y simulación tanto de la planta como de los compensadores requeridos. Y por ultimo se presentan los resultados experimentales obtenidos, es decir, las mediciones del laboratorio hechas, pero se deja el análisis de dichos resultados, para la sección Análisis y Discusión de los resultados, posteriormente en este informe.

A. Modelado y Validación.

Fig. 1. Modelo de la planta a controlar. [1]. Como se observa el modelo circuital de la planta a controlar, en el que vale la pena comentar que se trata de un amplificador operacional, el cual cuenta con unas características importantes, tales como elevada resistencia de entrada, diminuta resistencia de salida, ancho de banda bastante pequeño, en comparación con otros dispositivos de amplificación, ej. Transistores BJT singulares. Puesto que los amplificadores operacionales se componen de arreglos de varios transistores, en la mayoría de los casos FET tipo J o CMOS. De la Fig. 1. Se pueden plantear varias ecuaciones para encontrar la función de transferencia de la planta. Para esto es útil considerar las propiedades del modelo ideal de los amplificadores operacionales, tales propiedades son: 𝑉+ = 𝑉− (1) 𝐼+ = 𝐼− = 0 (2)

Las cuales son conclusión de las propiedades anteriormente expuestas. Luego se pueden plantear una serie de ecuaciones

Laboratorio 5: Técnicas de compensación en el dominio de la frecuencia.

Ibarra Camilo A. (261719), Contreras Cristian C. (223183), Rodríguez Juan P. (261744). [email protected], cccontrerasbo, [email protected]


2

nodales que podrán entregar una función de transferencia de la planta, es decir, una relación de 𝑉𝑂𝑢𝑡(𝑠) 𝑉𝑖𝑛(𝑠)⁄ . Dichas ecuaciones son: 𝑉𝑖𝑛 − 𝑉1

𝑅= 𝐶1

𝑑𝑉𝑐1𝑑𝑡

+ 𝐶2𝑑(𝑉1 − 𝑉𝑜𝑢𝑡)

𝑑𝑡 (3)

𝑉1 − 𝑉𝐶1

𝑅= 𝐶1

𝑑𝑉𝑐1𝑑𝑡

(4)

𝑉− = 𝑉𝑜𝑢𝑡 𝑅1

𝑅1 + 𝑅2 = 𝑉+ = 𝑉𝐶1 (5)

En donde 𝑉1 es la tensión que se ubica el nodo de conexión de las dos resistencias R, y el condensador de retroalimentación de la salida C. Mientras que los valores de 𝑉𝐶1 𝑦 𝑉𝐶2, corresponden a las tensiones sobre los capacitores que se encuentran conectados a la terminal positiva y en retroalimentación de la salida, respectivamente. Con el animo de no ser extensos en cuanto al análisis algebraico y de transformada de Laplace con el fin de obtener la función de transferencia en el plano S. Se entrega la función de transferencia, y se le deja al lector como posible ejercicio la validación de la respuesta presentada.

𝑉𝑜𝑢𝑡(𝑠)𝑉𝑖𝑛(𝑠)

=𝑅1 + 𝑅2

𝑅1 1𝑅𝐶

2

𝑠2 + 2𝑅1−𝑅2𝑅1𝑅𝐶

+ 1𝑅𝐶

2 (6)

Luego los valores de los componentes en este caso son, 𝑅 = 10 𝑘Ω,𝐶 = 10 𝜇𝐹,𝑅1 = 5,6 𝑘Ω, R2 = 6,8 𝑘Ω. Por ende la función de transferencia toma la siguiente forma: 𝑉𝑜𝑢𝑡(𝑠)𝑉𝑖𝑛(𝑠) =

221,4285𝑠2 + 7,8571𝑠 + 100

(7)

E se construyó el siguiente modelo en MATLAB, Simulink, con la ayuda de la librería, Simscape, para modelos circuitales, como se muestra en la Fig. 2.

Fig. 2. Diagrama de Simulink para la validación de la función de transferencia hallada.

Y los resultados de esta simulación se pueden apreciar en la Fig. 3. Como se observa en la Fig. 3. La ecuación de función de transferencia hallada es muy similar a la planta de Simulink, lo cual comprueba la correcta hipótesis. Además de ello vale la pena notar que la planta de lazo abierto tiene una ganancia de lazo abierto K, igual a:

𝐾 =221,4285

1002,2142 (8)

Con lo cual el resultado de (8), debido a que este valor es diferente de 1, ganancia unitaria, el error de posición tiene un valor de 1,21 V. Habiendo determinado la validez del modelo, se procedió con el diseño de la ganancia proporcional presente todos los compensadores para que 𝑒𝑠𝑠𝑝(𝑡) ≤ 3%. Luego en este caso se tiene el siguiente diagrama de bloques:

Fig. 4. Diagrama de bloques para análisis de diseño de error de posición menor al 3%. Con el fin de determinar el valor de la ganancia proporcional que hará que el diseño tenga el error de posición deseado, se utiliza el algebra de bloques para plantear la siguiente función de transferencia:

𝐿1(𝑠) =𝐾 ∗ 221,4285

𝑠2 + 7,8571𝑠 + 100 (9)

De donde para encontrar el valor de K para la especificación se hace el análisis del error de estado estacionario para (9) como:

𝐾𝑣 = lim𝑠→0

𝑠 ∗ 𝐿1(𝑠) = 𝐾 ∗221,4285

100= 𝐾(2,2142) (10)

De donde se determina que:

𝑒𝑠𝑠𝑝(𝑠) =1𝐾𝑣

=1

𝐾(2,2142) ≤ 0,03 (11)

De donde se desprende el valor que debe tomar K, como: 𝐾 ≥ 15,05 → 𝐾 = 16 (12)


3

En donde la respuesta del sistema con esta ganancia se aprecia en la Fig. 5. Como se aprecia la ganancia proporcional genera que el sistema se tenga un sobre pico muy grande. Aunque se observa que en estado estacionario el error de posición si resulta ser menor al 3%, como era deseado. En este caso al tener una ganancia proporcional tan grande lo mas seguro es que con una entrada tipo escalo de 1 V, el amplificador operacional, el cual esta alimentado con una fuente diferencial de ± 15 𝑉, se ha de saturar, puesto que la ganancia de lazo abierto de 𝐿1(𝑠) es

16 ∗221,4285

100= 35,42 (13)

Con lo cual una entrada paso de 0 a 1 V, se amplificara por encima de la alimentación, luego se cortara en 15, por ende se debe tener cuidado de aplicar a la entrada una señal de máximo de 15/32,42 = 0,42 V pico. B. Diseño de compensador de adelanto de fase: En este caso se tiene ahora que el compensador de fase ha de actuar sobre la función de transferencia 𝐿1(𝑠):

𝐿1(𝑠) =16(221,4285)

𝑠2 + 7,8571𝑠 + 100 (14)

Con la ayuda de la función Bode, y Margin de Matlab se puede identificar la situación de la planta, con el fin de poder diseñar los valores necesarios del compensador en orden de cumplir las especificaciones.

Fig. 5. Simulación de la planta con ganancia proporcional de K=16.

Fig. 3. Simulación de la planta, función de transferencia hallada, y referencia del diagrama de la Fig. 2.


4

El resultado de estas funciones se aprecia en la Fig. 6. En la Fig. 6. Se puede apreciar que en cuanto a la restricción de margen de ganancia no necesita ser modificada, puesto que se observa que es muy grande, inf, según Matlab, lo cual realmente no existe. Pero en fase si se tienen problemas, puesto que el margen de fase en este caso es de 7,66º. Luego para desarrollar el diseño del compensador, primero se: 𝜙 = 𝑃𝑀𝑟𝑒𝑞 − 𝑃𝑀𝑎𝑐𝑡 + 𝜃 (15)

En donde 𝑃𝑀𝑟𝑒𝑞 es el margen de fase requerido, en este caso mayor o igual a 55º. Con el fin de no estar en el límite, se escoge un margen de 60º. 𝑃𝑀𝑎𝑐𝑡 es el margen de fase actual, 7,66º, Y 𝜃 es un factor de corrección, en este caso 5º, con lo cual (15) se establece como: 𝜙 = 60 − 7.66 + 5 = 57,35𝑜 (16)

Luego para determinar el valor de 𝛼 se puede determinar a partir de la siguiente formula.

𝛼 =1 + sin (𝜙)1 − sin (𝜙)

= 11,6502 (17)

Luego si se analiza el diagrama de bode de la función: 𝐿2(𝑠) = (𝛼0,5)|𝐿1(𝑗𝜔)| (18)

Se calculan los márgenes de fase reducido por la alta ganancia del compensador en adelanto. Los cuales son los márgenes de fase de la nueva red: 𝑃𝑀𝑟𝑒𝑑 = 4,11𝑜 (19)

Si se analiza la siguiente relación: 𝑃𝑀𝑎𝑐𝑡 − 𝑃𝑀𝑟𝑒𝑑 = 7,66 − 4,11 = 3,55 ≤ 𝜃 (20)

En este caso se cumple esta relación, en el caso en que no se cumpliera la relación, se debe aumentar el valor de 𝜃 y volver a repetir el procedimiento desde la ecuación (15), hasta que se cumpla la relación. Luego como se cumple la anterior relación se puede proceder al calculo de 𝑇2(𝑠), en donde la frecuencia angular de la red se alla del diagrama de bode de la ecuación (18):

𝑇2 =1

√𝛼𝑤𝑔′=

111,6502 ∗ 110

= 0.0027 (21)

Y por ende el compensador queda como:

𝐶2(𝑠) =𝛼𝑇2𝑠 + 1𝑇2𝑠 + 1

=0,03095𝑠 + 1

0,002657𝑠 + 1 (22)

Teniendo en cuenta que un compensador tiene la forma circuital que se encuentra en la Fig. 7.

Fig. 7. Diagrama circuital de un compensador en adelanto. [1]. En donde la función de transferencia de este circuito es:

Fig. 6. Simulación de la planta con ganancia proporcional de K=16, diagrama de bode.


5

𝑒2(𝑠)𝑒1(𝑠)

= 𝑅1 + 𝑅2𝑅2

𝑅2 + 𝑅1𝑅2𝐶𝑠

𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅1𝑅2𝐶𝑠 =

1 + 𝑏𝑇2𝑠1 + 𝑇2𝑠

(23)

𝑏 =𝑅1 + 𝑅2𝑅2

≥ 1 (24)

𝑇2 =𝑅1𝑅2𝑅1 + 𝑅2

𝐶 (25)

Luego del valor obtenido en (21), y de (25) se tiene: 𝑅1𝑅2𝑅1 + 𝑅2

𝐶 = 0.0027 (26)

Si se escoge un valor comercial de l capacitor, 10 µF, luego se puede expresar (26), como:

𝑅1 + 𝑅2 =𝑅1𝑅2

0,002710 µF

=𝑅1𝑅2270

(27) Con el resultado de la ecuación (27), se remplaza en la ecuación (24), teniendo en cuenta el resultado de (17):

𝑅1 + 𝑅2𝑅2

= 11,6502 =𝑅1𝑅2270 𝑅2

=𝑅1

270→ 𝑅1 = 3145,55

≈ 3,15 𝑘Ω (28) Remplazando el valor de 𝑅1 en (27), se encuentra el valor de 𝑅2 = 300 Ω. Luego para validar el diseño obtenido, se grafica el diagrama de amplitudes y fase, de la función: 𝐺𝑎𝑑𝑒𝑙𝑎𝑛𝑡𝑜(𝑠) = 𝐶2(𝑠) ∗ 𝐿1(𝑠)

=109,7𝑠 + 3543

0,002657𝑠3 + 1,021𝑠2 + 8,123𝑠 + 100 (29)

Y el resultado se aprecia en la Fig. 8.

Como se observa en la Fig. 8. Se cumplen las especificaciones de magnitud, la cual no cambio con respecto al valor original, Inf. En cambio el margen de fase que antes se ubicaba en 7,66º. Ahora se ubica en 61,5º. Con lo cual se puede apreciar como en el diagrama de fase, se le inyecta fase en la frecuencia de interés, en donde ahora se cumple la especificación de margen de fase. Con el fin de apreciar el cumplimiento del error de posición ahora se remplazó el modelo circuital del compensador en atraso, en el modelo de la planta. Y se construyo el modelo que se aprecia en la Fig. 9.

Fig. 9. Diagrama circuital de la planta con inclusión de compensador en adelanto. Y la simulación de este modelo se encuentra en la Fig. 10. En el cual se puede apreciar que el error de posición es menor al 3%, en el estado transitorio.

C. Diseño de compensador de atraso de fase. En este caso la estructura del compensador tiene la siguiente forma:

𝐶1(𝑠) = 𝐾𝛼𝑇1𝑠 + 1𝑇1𝑠 + 1

(30)

Fig.8. Simulación de la planta con compensador en adelanto. Diagrama de Bode y fase,.


6

Como se observa en este caso el compensador tiene la misma forma genérica que el compensador en atraso, solo que en este caso 𝛼 < 1, luego si se hace un análisis de 𝐶1(𝑠) cuando s = jw entonces se entra: ∡ 𝐶1(𝑗𝜔) = 𝜙 = 𝛾 − 𝜃 (31)

En este caso como el ángulo del cero se encuentra mas cerca del origen entonces se ha de cumplir que 𝜙 < 0 ∀ 𝑤. Por ende el compensador en atraso de fase siempre introducirá fase negativa al sistema. Luego en este caso se invierten los roles de los efectos de la red de compensadora, en este caso se tiene una atenuación para frecuencias altas, filtro pasa bajas. Pero se tiene un efecto negativo de restar fase a la red. Luego para el diseño de este tipo de compensador se usa la atenuación producida por 𝐶1(𝑠), para reducir la ganancia de lazo a 1 (0 dB), en la frecuencia donde el margen de fase es necesario para producir el margen de fase requerido del diseño. Esencialmente se reduce el ancho de banda para lograr estabilidad, en este caso el comportamiento transitorio será más lento que el caso de la red de adelanto. En este caso el valor de la ganancia K, es el mismo que se encontró anteriormente de manera genera, el cual reduce el error de posición a un rango menor del 3%. En este caso, se continúa utilizando la ecuación (17), y los resultados que se presentan en la Fig. 5. De donde se desprendió que 𝑃𝑀𝑎𝑐𝑡 es el margen de fase actual, 7,66º. Es necesario determinar la frecuencia sobre el diagrama de fase, que genera la siguiente relación:

∡𝐿1𝑗𝜔𝑔′ = 𝑃𝑀𝑟𝑒𝑞 − 180 + 5,6 = 60 − 180 + 5,6= −114,4𝑜 (32)

En este caso de nuevo 𝑃𝑀𝑟𝑒𝑞 ≥ 55𝑜, por ende se escoge 60º para tener un margen de error. El ángulo de 180º se hace con el fin de que el atraso de fase alcance el requerimiento de fase. En cuanto que el angulo de 5,6º es un factor de corrección. Luego de la grafica de fase de la Fig. 6. Se encuentra que dicha frecuencia 𝑤𝑔′ es aproximadamente 11,9 rad/seg. Y la atenuación en esta frecuencia es A = 30,8 dB. Luego mediante la siguiente ecuación se puede determinar 𝛼.

𝛼 = 10−𝐴20 = 10−

30.820 = 0,0288 (33)

Con lo cual se cumple con el proceso de diseño que 𝛼 < 1. Luego con este valor se puede calcular 𝑇1, como:

𝑇1 =10𝛼𝜔𝑔′

=10

0,0288 ∗ 11,9= 29,137 (34)

Con lo que la red de compensación toma la forma:

𝐶1(𝑠) =0.8403𝑠 + 129.14𝑠 + 1

(35) Luego la función de transferencia de lazo cerrado con el uso de este compensador es:

𝐺𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑜(𝑠) = 𝐶1(𝑠) ∗ 𝐿1(𝑠)

=2977𝑠 + 3543

29.14𝑠3 + 229.9𝑠2 + 2992𝑠 + 100 (36)

Los resultados de esta función de lazo cerrado se observa en la Fig. 11. Como se observa igual que en el caso del compensador de adelanto, no se tiene ningún inconveniente con el margen de magnitud.

Fig. 10. Simulación de la planta con compensación en adelanto de fase. En el tiempo.


7

Además se puede observar en la Fig. 11. El margen de fase ahora es 60,3º, lo cual esta de acuerdo al diseño hecho. Con el fin de implementar este compensador se tiene la siguiente representación circuital:

Fig. 12. Red de atraso de fase. [1]. La función de transferencia que representa esta red es:

𝐶1(𝑠) =𝐸2(𝑠)𝐸1(𝑠)

=1 + 𝑅2𝐶𝑠

1 + (𝑅1 + 𝑅2)𝐶𝑠=

1 + 𝑎𝑇1𝑠1 + 𝑇1𝑠

(37)

0 < 𝑎 =𝑅2

𝑅1 + 𝑅2< 1 (38)

𝑇1 = (𝑅1 + 𝑅2)𝐶 (39) Luego procediendo de manera similar al diseño hecho para el modelo del compensador en adelanto, se inicia mediante la imposición del valor del condensador C = 10 µF, con el resultado de (34), y utilizando la ecuación (39). Se encuentra que: 𝑅1 + 𝑅2 = 2913700 (40)

Si se remplaza este valor en (38), y utilizando el resultado en (33), entonces:

𝑅2𝑅1 + 𝑅2

=𝑅2

2913700= 0,0288 → 𝑅2 = 83914,56 Ω

De donde se aproxima a 84 kΩ, puesto que este valor se puede conseguir comercialmente. Luego remplazando este resultado en (40), se puede encontrar el valor de 𝑅1 = 2829700 =2,83 𝑀Ω. En la Fig. 13. Se puede apreciar el diagrama circuital implementado. Y en la Fig. 14. Se encuentra la salida de la planta con la integración del compensador de atraso en el dominio del tiempo, con el fin de observar el error de posición.

Fig. 13. Diagrama circuital con la implementación del compensador en atraso. Como se aprecia en la Fig. 12. El hecho mencionado anteriormente acerca de la gran variación en el tiempo de establecimiento, en cuanto en que la respuesta se vuelve muy lenta. Pero aun así como se aprecia el error de posición es menor al 3%.

D. Diseño de compensador en adelanto y atraso: El diseño de un comparador de adelanto y atraso de fase se compone de los diseños anteriores, la única diferencia en este caso es la necesidad de establecer una tercera condición de diseño que aunque no es requerida, es necesaria para el diseño.

Fig.11. Simulación de la planta con compensador en adelanto. Diagrama de Bode y Fase.


8

Dicha condición es que la frecuencia de corte del compensador sea de 𝜔𝑔 = 15 𝑟𝑎𝑑/𝑠. Habiendo establecido dicha condición se procede con el diseño del compensador que tiene la siguiente función de transferencia:

𝐶3(𝑠) = 𝐾 𝛼1𝑇1𝑠 + 1𝑇1𝑠 + 1

𝛼2𝑇2𝑠 + 1𝑇2𝑠 + 1

(41)

Como la especificación de error de posición es la misma que en los anteriores casos, el diseño de K es el mismo que se estableció previamente (12). Luego se procede con el diseño del compensador de adelanto de fase que produzca el ángulo de fase necesario a la frecuencia de corte deseada. Se toma la función de transferencia que incluye el valor de K, es decir la ecuación (14). Para ajustar el ángulo de fase a la frecuencia angular deseada se puede parte de la ecuación (15), la cual se puede escribir como: 𝜙𝑚 = 𝑃𝑀𝑟𝑒𝑞 − 180 + ∡𝐿1𝑗𝜔𝑔 + 5,6 (42)

En donde 𝐿1esta descrita por la ecuación (14), luego de la Fig. 5. Se puede determinar que el ángulo de fase a la frecuencia de corte deseada es -136º, por ende la ecuación (42), es: 𝜙𝑚 = 𝑃𝑀𝑟𝑒𝑞 − 180 + ∡𝐿1𝑗𝜔𝑔 + 5,6

= 60 − (180 − 137) + 5,6 = 22,6𝑜 (43) De la ecuación (17), se encuentra 𝛼2 como:

𝛼 =1 + sin (𝜙)1 − sin (𝜙)

= 2,2483 (44)

Y de la ecuación (21) se determina 𝑇2:

𝑇2 =1

√𝛼𝜔𝑔=

1√2,2483 ∗ 15

= 0.0445 (45)

Con lo cual la función de transferencia del compensador en adelanto es:

𝐶2(𝑠) = 𝛼2𝑇2𝑠 + 1𝑇2𝑠 + 1

=0,09996𝑠 + 10,04446𝑠 + 1

(46)

Luego se tiene la siguiente función de transferencia a la cual se le ha de calcular la red de atraso:

𝐿2(𝑠) = 𝐶2(𝑠) ∗ 𝐿1(𝑠)

=342,2𝑠 + 3543

0,04446𝑠3 + 1,349𝑠2 + 12,3𝑠 + 100 (47)

El diseño de la red de atraso parte de encontrar la atenuación a la frecuencia de corte deseada, por lo que se hizo el diagrama de bode de 𝐿2(𝑠) y se observa que la atenuación a la frecuencia de corte es 29,8, y por ende:

𝛼1 =1

𝐿2𝑗𝜔𝑔=

129,8

= 0,0336 (48)

Y de la ecuación (34), se encuentra:

𝑇1 =10𝛼𝜔𝑜

=10

0,0336 ∗ 5= 19,8667 (49)

Con lo cual la función de transferencia del controlador es:

𝐶1(𝑠) =0,6667𝑠 + 119,87𝑠 + 1

(50)

Fig. 14. Simulación de la planta con compensación en atraso de fase. En el tiempo.


9

Y por ende la función de transferencia del sistema global es: 𝐿𝑓(𝑠)

=236,1𝑠2 + 2716𝑠 + 3543

0,8833𝑠4 + 26,85𝑠3 + 245,8𝑠2 + 1999𝑠 + 100 (51)

En donde los resultados del diagrama de bode y fase de este compensador se encuentran en la Fig. 15. En este caso, se observa igualmente que el sistema no presenta problemas en cuanto a la condición de magnitud. En cuanto al margen de fase tiene un valor de 59º lo cual corresponde al diseño hecho. Con el ánimo de observar que se cumple la restricción de diseño se implemento el siguiente circuito, el cual es una combinación de los montajes de las Fig. 13 y Fig. 9. El cual se presenta a continuación.

Fig. 16. Diagrama circuital red adelanto/atraso. Para los cálculos de los componentes de dicho circuito se procedió igual que en los casos anteriores respectivamente, para cada compensador se procede igual al procedimiento desarrollado anteriormente. En donde los resultados de los componentes se presentan a continuación:

• Compensador en adelanto:

𝑅1 = 10 𝑘Ω 𝑅2 = 8,2 𝑘Ω 𝐶1 = 10 𝜇𝐹

• Compensador en adelanto:

𝑅3 = 1,192 𝑀Ω 𝑅4 = 66,7 𝑘Ω 𝐶2 = 10 𝜇𝐹

Acoplando los circuitos de ganancia K y la planta correspondiente. En el que el resultado en el tiempo de este circuito se encuentra en la Fig. 17. Igualmente se cumple con la restricción de error de posición.

E. Comparación entre los compensadores diseñados. Con el fin de evaluar el desempeño de los 3 compensadores se elaboro la TABLA I, en donde se presentan los diferentes resultados.

TABLA I COMPARACIÓN ENTRES LOS COMPENSADORES

Tipo de Compensador

ts (s) criterio

5% MP(%) ep(%) ev(%)

Margen de fase (deg)

Adelanto 0,0776 16,49 2,74 2,88 61,5

Atraso 3,56 0,00 2,75 10,399 60,3

Adelanto /Atraso 2,6 0,00 2,75 7,878 59

Como se observa en los resultados consignados en la TABLA I, el compensador que presenta las mejores características es el compensador de adelanto, seguido por el compensador de adelanto/atraso, y el último es el compensador de adelanto.

Fig. 15. Simulación de la planta con compensación en atraso y adelanto de fase. Diagrama de Bode y fase.


10

El problema de los compensadores en atraso radica en tener que inyectar fase negativa al sistema para lograr el requerimiento de control, con lo cual reduce el ancho de banda del sistema, y además aumenta el tiempo de estabilización. En cuanto a los compensadores de adelanto el problema radica en que al aumentar la fase produce una alta ganancia en bajas frecuencias, cuyo valor máximo estará determinado por:

20 log10 𝛼 (52) Luego esto explica el alto valor de sobre picó que presenta este compensador, lo cual es la característica más indeseable de este tipo de compensadores. En cuanto al compensador de adelanto/atraso, tiene las características de ambos compensadores, en tanto que el compensador de atraso impone una respuesta lenta, la cual se mejora a partir de la inclusión del compensador de adelanto. Como se observa las características de este compensador son un resultado intermedio de los resultados de ambos compensadores considerados por separado.

III. IMPLEMENTACIÓN Y VALIDACIÓN DEL SISTEMA DE CONTROL.

Debido a los inconvenientes presentados a lo largo del desarrollo de la práctica solo se pudo implementar el compensador en atraso. Antes de presentar los resultados, primero se presenta la grafica de salida de la planta implementada, la cual se encuentra en la siguiente imagen.

Fig. 16. Respuesta de la planta ante entrada tipo paso. La Fig. 16. Representa la salida de la planta de la Fig. 1. Con los valores asignados por el monitor del laboratorio a cada uno de los grupos. De los resultados de la Fig. 16. Se puede apreciar un error de posición, según la escala vertical, aproximadamente de:

2,2 − 1 = 1,1 𝑉

Si se compara el resultado anterior con el valor encontrado en la formula (17), en donde se establecía que la ganancia en lazo abierto de la planta es de 2,2142, entonces una entrada de valor 1, tendrá una salida de 2,2142 V, por lo que se observa similitud de la planta real al modelo implementado. Se observa que el tiempo de estabilización de la planta real en lazo abierto es aproximadamente 600 ms. Dicho tiempo difiere del modelo de la planta planteado, en tanto que el modelo de la planta presenta un tiempo de estabilización de 800 ms. Es decir que el modelo de la planta tiene un tiempo de estabilización menor, en gran medida debido a que la planta

Fig. 17. Simulación de la planta con compensación en atraso y adelanto de fase. En el tiempo.


11

implementada esta compuesta de elementos reales, los cuales tienen una tolerancia en cuanto a su magnitud, por ejemplo para la resistencias una tolerancia de ± 5%. Luego en la mayoría de los casos el valor de la resistencias es menor que su valor nominal, al igual que los capacitores, es así como el tiempo de estabilización de la planta real tendera en ese sentido de ideas a ser menor que el del modelo. Luego se implemento el compensador en atraso de fase que se observa en la Fig. 13. En donde los resultados en el diagrama temporal se observan el la Fig. 17 Uno de los aspectos que pueden ser resaltados de los resultados de la Fig. 17. Son que el error de posición se podría decir que es cero, lo cual concuerda con los resultados de la TABLA I, en donde se espera un error de posición muy bajo. En cuanto al tiempo de estabilización también vale la pena mencionar que es mucho menor al esperado, ya que la Fig. 17. Muestra un tiempo de estabilización de aproximadamente 3,2 s. En cuanto se esperaba un tiempo de estabilización menor. Lo anterior es debido a las condiciones de valores nominales anteriormente expuestas. Pero aun se refleja en gran medida el comportamiento esperado por la inclusión del compensador en atraso, es decir, que al inyectar fase negativa, en decremento el ancho de banda. Lo cual a su vez incrementa el tiempo de estabilización, que como se observo en este caso pasó de 0,6 s a 3,2 s.

Fig. 17. Respuesta del sistema ante entrada tipo paso, mediante la inclusión de un compensador en atraso.

Fig. 18. Respuesta del sistema ante una entrada rampa, mediante la inclusión de un compensador en atraso.

En la Fig.18. se aprecia la respuesta del sistema compensado ante entrada tipo rampa. En este caso se observa que el sistema sigue la referencia pero con un error de velocidad aproximado de:

𝑒𝑣(%) =500 − 450

450∗ 100 = 10 %

Lo cual concuerda en cuanto al orden de magnitud con los resultados esperados consignados en la TABLA I. Con el fin de observar la respuesta del sistema ante una entrada de tipo seno, y así poder intentar un diagrama de bode del sistema, se tomaron los datos consignados en la Fig. 19.

Fig. 19. Salidas del sistema ante entrada sinusoidales de diferente frecuencia, 1 Hz (arriba), 2 Hz (medio) y 5 Hz (abajo). En la anterior Fig. 19. Se observa el comportamiento esperado de compensador de atraso, en el que después de cierta frecuencia de corte atenúa todo el valor de las entradas, luego para dicho caso su diagrama de bode es.

TABLA II VALORES OBTENIDOS DE SALIDA ANTE ENTRADA

SENOSOIDAL. f (Hz) w (rad/s) Vpico (mV) | Vpico (V)| dBm

1 6,28318531 450 53,06425028 2 12,5663706 150 43,52182518 5 31,4159265 1E-12 -240


12

Fig. 20. Diagrama de Bode del compensador en atraso implementado. Como se aprecia la similitud entre la Fig. 15 y la Fig. 20. En cuanto a la frecuencia de corte, es decir la frecuencia en donde corta el eje horizontal, esta cercano a los 18 rad/s en amos casos. Además de los resultados que se aprecian en la TABLA II. Se puede apreciar que el margen de ganancia es mayor a los 10 dBm, exigidos en las especificaciones de diseño.

IV. CONCLUSIONES Se evidencio que la implementación de un compensador en adelanto es mas arduo en tanto que necesita un preamplificador para el compensador. Pero como se observan de los resultados de la TABLA I es el compensador que mejores resultados presenta en cuanto a error de posición velocidad y tiempo de estabilización. Del diseño implementado se puede apreciar la similitud de los resultados con respecto de los valores simulados, en cuanto que la frecuencia de corte del sistema es muy parecida a la frecuencia de corte obtenida mediante simulación. Se cumplió la especificación de diseño en cuanto al margen de ganancia. No se pudo encontrar el diagrama de fase del sistema implementado debido a las restricciones de los equipos disponibles para la toma de las medidas, con lo cual no se pudo comprobar si se cumplió o no con la especificación de diseño de margen de fase. En las referencias de este informe se encuentra una literatura en la cual se hace posible el diseño de compensadores en forma de método paso a paso para el diseño, lo cual se puede condensar en un algoritmo de software implementable en Matlab con lo cual se facilita el diseño de este tipo de compensadores.

REFERENCIAS [1] J. Cortés y H. Coral, “Guía de Laboratorio No. 5 Técnicas

de compensación en el dominio de la frecuencia”, “Laboratorio de Control 2012-I”.

[2] V. Grisales, “Control v2012-I 4 – Análisis y Diseño en Frecuencia”. Universidad Nacional de Colombia. 2012.

[3] J. Sofrony, “Diseño Frecuencial”. Universidad Nacional de Colombia. 2011.

-300

-200

-100

0

100

1 10 100

|V_p

ico|

dBm

Frecuencia Angular

Diagrama de Bode del compensador en atraso

Series1

laboratorio 5. contreras ibarra rodriguezv 4

Documents