lab_6 - ondas estacionarias en una cuerda

7/31/2019 LAB_6 - Ondas Estacionarias en Una Cuerda

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ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA

1. OBJETIVOS

- Estudiar el comportamiento de una onda estacionaria en una cuerda.- Determinar la frecuencia de oscilaciones de la onda.

2. FUNDAMENTO TEORICO

2.1. Movimiento ondulatorio

Es el proceso por el que se propaga energa de un lugar a otro sin transferencia de materia,

mediante ondas mecnicas o electromagnticas. Las ondas son una perturbacin peridica del

medio en que se mueven. En cualquier punto de la trayectoria de propagacin se produce undesplazamiento peridico, u oscilacin, alrededor de una posicin de equilibrio. Puede ser

una oscilacin de molculas de aire, como en el caso del sonido que viaja por la atmsfera, demolculas de agua (como en las olas que se forman en la superficie del mar) o de porcionesde una cuerda o un resorte.

En todos estos casos, las partculas oscilan en torno a su posicin de equilibrio y slo la

energa avanza de forma continua. Estas ondas se denominan mecnicas porque la energa setransmite a travs de un medio material, sin ningn movimiento global del propio medio. Las

nicas ondas que no requieren un medio material para su propagacin son las ondas

electromagnticas; en ese caso las oscilaciones corresponden a variaciones en la intensidadde campos magnticos y elctricos

2.2. Tipos de Ondas

Las ondas se clasifican segn la direccin de los desplazamientos de las partculas en relacin

a la direccin del movimiento de la propia onda. Si la vibracin es paralela a la direccin depropagacin de la onda, la onda se denomina longitudinal como sepuede er en la Figura 1.

Una onda longitudinal siempre es mecnica y se debe a las sucesivas compresiones (estados

de mxima densidad y presin) y enrarecimientos (estados de mnima densidad y presin) del

medio. Las ondas sonoras son un ejemplo tpico de esta forma de movimiento ondulatorio.Otro tipo de onda es la onda transversal, en la que las vibraciones son perpendiculares a la

direccin de propagacin de la onda. Las ondas transversales por ejemplo la de la Figura 2


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pueden ser mecnicas, como las ondas que se propagan a lo largo de una cuerda tensa cuando

se produce una perturbacin en uno de sus extremos, o electromagnticas, como la luz, losrayos X o las ondas de radio. En esos casos, las direcciones de los campos elctrico y

magntico son perpendiculares a la direccin de propagacin.

Algunos movimientos ondulatorios mecnicos, como las olas superficiales de los lquidos,

son combinaciones de movimientos longitudinales y transversales, con lo que las partculas

de lquido se mueven de forma circular.

En una onda transversal, la longitud de onda es la distancia entre dos crestas o valles

sucesivos. En una onda longitudinal, corresponde a la distancia entre dos compresiones oentre dos enrarecimientos sucesivos. La frecuencia de una onda es el nmero de vibraciones

por segundo. La velocidad de propagacin de la onda es igual a su longitud de onda

multiplicada por su frecuencia. En el caso de una onda mecnica, su amplitud es el mximodesplazamiento de las partculas que vibran. En una onda electromagntica, su amplitud es la

intensidad mxima del campo elctrico o del campo magntico.

2.3. Comportamiento de las Ondas

La velocidad de una onda en la materia depende de la elasticidad y densidad del medio. Enuna onda transversal a lo largo de una cuerda tensa, por ejemplo, la velocidad depende de latensin de la cuerda y de su densidad lineal o masa por unidad de longitud. La velocidad

puede duplicarse cuadruplicando la tensin, o reducirse a la mitad cuadruplicando la densidad

lineal.

La velocidad de las ondas electromagnticas en el vaco (entre ellas la luz) es constante y su

valor es de aproximadamente 300000 [Km/s]. Al atravesar un medio material esta velocidadvara sin superar nunca su valor en el vaco.

Cuando dos ondas se encuentran en un punto, el desplazamiento resultante en ese punto es la

suma de los desplazamientos individuales producidos por cada una de las ondas. Si losdesplazamientos van en el mismo sentido, ambas ondas se refuerzan; si van en sentido

opuesto, se debilitan mutuamente. Este fenmeno se conoce como interferencia. S dos pulsos

que avanzan por una cuerda se encuentran, sus amplitudes se suman formando un pulsoresultante.

Si los pulsos son idnticos pero avanzan por lados opuestos de la cuerda, ver la Figura 2, lasuma de las amplitudes es cero y la cuerda aparecer plana durante un momento (A). Esto se


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conoce como interferencia destructiva. Cuando dos pulsos idnticos se desplazan por el

mismo lado, la suma de amplitudes es el doble de la de un nico pulso (B). Esto se llamainterferencia constructiva.

2.4. Ondas Estacionarias

Cuando dos ondas de igual amplitud, longitud de onda y velocidad avanzan en sentido

opuesto a travs de un medio se forman ondas estacionarias. Por ejemplo, si se ata a una

pared el extremo de una cuerda y se agita el otro extremo hacia arriba y hacia abajo, las ondasse reflejan en la pared y vuelven en sentido inverso. Si suponemos que la reflexin esperfectamente eficiente, la onda reflejada estar media longitud de onda retrasada con

respecto a la onda inicial. Se producir interferencia entre ambas ondas y el desplazamiento

resultante en cualquier punto y momento ser la suma de los desplazamientoscorrespondientes a la onda incidente y la onda reflejada.

En los puntos en los que una cresta de la onda incidente coincide con un valle de la reflejada,no existe movimiento; estos puntos se denominan nodos. A mitad de camino entre dos nodos,

las dos ondas estn en fase, es decir, las crestas coinciden con crestas y los valles con valles;

en esos puntos, la amplitud de la onda resultante es dos veces mayor que la de la onda

incidente; por tanto, la cuerda queda dividida por los nodos en secciones de una longitud deonda. Entre los nodos (que no avanzan a travs de la cuerda), la cuerda vibra

transversalmente.

Podemos resumirlo como la interferencia de dos movimientos armnicos de la misma

amplitud y longitud de onda.

La ecuacin de la onda incidente que viaja hacia la derecha esta dada por:

( )tkxAi = sin ( )1


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Y la ecuacin de la onda reflejada que viaja hacia la izquierda es:

La superposicin de ambas ondas, se expresa como la suma de las ecuaciones (1) y (2), es

decir:

La ecuacin (3) representa una onda estacionaria y no as una onda de propagacin, en la cual

cada punto de la cuerda vibra con una frecuencia y tiene una amplitud 2Asin(kx).

En la onda estacionaria se llama nodos a los puntos en los cuales se tiene una amplitud

mnima, es decir:

Por otro lado, cualquier movimiento ondulatorio, satisface la siguiente ecuacin:

Donde:- v es la velocidad de propagacin de la onda.

En el caso de ondas estacionarias en una cuerda la ecuacin de movimiento ondulatorio, estadada por:

Donde:

- es la velocidad de propagacin de la onda.

- T es la tensin ejercida sobre la cuerda.

Comparando la ecuacin (5) y (6) se obtiene la velocidad de propagacin de las ondas

transversales en una cuerda como:

Adems, si v = , la ecuacin (7) se puede expresar como:

Donde:

- es la frecuencia de oscilacin

3. EQUIPOS Y MATERIALES

( )tkxAr += sin ( )2

( ) ( )[ ]

( ) ( )tkxA

tkxtkxA

ri

cossin2

sinsin

=++=

+=

( )3

( )2

paraeseso;0sin2

nxkxA == ( )4

2

22

2

2

xv

t

=

( )5

2

2

2

2

x

T

t

=

( )6

Tv = ( )7

T

f

1= ( )8


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- Equipo de ondas estacionarias en una cuerda- Un trozo de cuerda ligera.

- Regla graduada con pestaas

- Dinammetro

3.1. Procedimientos

1.- Enchufar el quipo de ondas estacionarias en una cuerda al tomacorriente de 220 V.

2.- Encender el equipo de ondas estacionarias

3.- Variar la tensin en la cuerda con la ayuda de la varilla deslizante, movindola lentamente

de manera que se forme la onda fundamental, es decir que se pueda observar un solo

antitodo.

4.- Una vez formada la onda fundamental ajusta el tornillo de sujecin de la varilladeslizante.

5.- Lee en el dinammetro la tensin aplicada a la cuerda y mide la distancia entro nodo y

nodo, evitando producir contacto entre las pestaas de la regla graduada y la cuerda en

oscilacin, para no causar la ruptura de la cuerda.

6.- Registra tres lecturas de longitud medida

7.- Repite el paso 4, 5 y 6 de manera que se pueda observar 2, 3, 4 y 5 antinodos.

3.2. Precauciones

1.- Por las caractersticas del dinammetro, no aplicar tensiones mayores a 1 [N].

2.- Tener cuidado en no tocar el alambre que conecta el motor y la cuerda, ya que sedescalibrara el equipo.

4. TABLA DE DATOS Y RESULTADOS

4.1. Mediciones Directas

4.1.1. Longitud de la cuerda

4.1.2. Masa de la cuerda

4.1.3. Datos de la Tensin en la cuerda y distancias entre Nodo y Nodo

( ) [ ] 0,3%;01,051,3 mL =

( ) [ ] 0,02%;0001,05593,0 gM =


6/10

( )

( )

%99,0

%4;02,044,0

%14;03,021,0

===

r

B

A

Tabla 1

NN de

NodosT [N] D1 [m] D2 [m] D3 [m]

1 2 0,760 0,747 0,746 0,748

2 3 0,190 0,377 0,378 0,3773 4 0,075 0,248 0,263 0,247

4 5 0,040 0,183 0,190 0,194

5 6 0,020 0,158 0,154 0,158

4.2. Resultados

4.2.1. Parmetros de la Linealizacin

4.2.2. Ecuacin de ajuste = (T)

4.2.3. Frecuencia de Oscilacin

5. GRAFICOS Y CALCULOS

5.1. Datos de la Tensin y Longitud de Onda

Tabla 2

NN de

NodosD [m] T [N] = 2D [m]

1 2 0,747 0,760 1,494

2 3 0,37733333 0,190 0,75466667

3 4 0,25266667 0,075 0,50533333

4 5 0,189 0,040 0,378

5 6 0,15666667 0,020 0,31333333

5.2. Grafico de la Longitud de Onda VS Tensin

44,06,1 T=

( ) 0,0%;10,00,0s

f =

m


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De acuerdo a la ecuacin terica, se tiene:

Y de la grafica tenemos que el mejor ajuste pertenece a una potencial, entonces:

Donde:

Entonces la linealizacin se realizara por el mtodo de los logaritmos.

De donde:

5.3. Datos para la ecuacin de ajuste

211

Tf

=

baT=

2

1y

1== b

f

a

TBA loglog +=

bBaA == ylog

NT

01,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0

5,0

0,1

5,1


8/10

( )

( )

( )

0007770694,0

325764268065,7

8230023312081,0

5611191551,0log

640624273,6log

839947818,1loglog

062281556,5log

166222138,1log

5

2

2

2

2

=

=

=

=

=

=

=

=

=

di

T

T

T

n

( )

( )

T

B

A

r

B

A

B

A

log44,021,0log

%4;02,044,0

%14;03,021,0

%99,0

02,00248069466,0

03,00260976943,0

4350328134,0

20720729,0

+=

==

===

=

=

1,01120306726,0

10ln10

""deerrorelCalculando

621810097,110

2

==

=

==

a

A

A

a

Aa

A

A

a

a

a

( )

( )

44,06,1

4%;02,044,0

6%;1,06,1

T

b

a

=

==

Tabla 3

N Log T Log

1 - 0,11918641 0,17435060

2 - 0,72124640 - 0,12224483

3 - 1,12493874 - 0,296422054 - 1,39794001 - 0,42250820

5 - 1,69897000 - 0,49939765

5.5. Relacin funcional Lnealiada

5.6. Relacin funcional = (T)

5.7. Densidad lineal de la masa


9/10

( ) [ ] 8%;102,025,0

2490059603,0

1

1

sf

f

af

f

a

=

=

=

=

02,00156878461,0

0197623778,02

1

1556287252,01

OscilacindeFrecuencialadeerrorelCalculando

22

3

2

=

+

=

==

==

f

af

f

a

f

au

f

aa

f

( ) 2%;1,03,6

27570177,6

=

=

=

mKg

M

L

1,01122065034,0

2206361,11

787949222,11

LinealDensidadladeerrorelCalculando

22

2

=

+

=

==

==

MLML

M

L

M

ML

Tv =

vvvv2

1y3 21 ==

5.8. Frecuencia de Oscilacin

6. RESPUESTAS AL CUESTIONARIO

1.- En qu factor se incrementa la tensin de la cuerda para triplicar la

velocidad de propagacin? Y en que factor se disminuir la tensin de la

cuerda para reducir la velocidad de propagacin a la misma?

R.- De la ecuacin:

Tenemos:

Sea entonces:

Sustituyendo vx en la primera ecuacin y utilizando la segunda ecuacin para reemplazar lo

encerrado entre parntesis tenemos:

22 y vTTv ==


10/10

( )TT

vT

Tv

Tv

9

9

9

1

2

1

12

12

1

==

=

=

( )

TT

vT

Tv

Tv

4

1

4

1

4

1

2

2

2

22

22

2

=

=

=

=

De lo que concluimos que:- Para triplicar la velocidad de propagacin se debe incrementar la tensin nueve veces

- Para reducir la velocidad de propagacin a la mitad se debe reducir la tensin cuatro veces

2.- Existe transporte de energa en las ondas estacionarias? Explica.

R.- Si, puesto que su ecuacin se asemeja a la de un movimiento de oscilacin armnicasimple y adems todo lo que presenta movimiento alguno significa que exista una energa de

por medio.

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