lab05 - transformada z inversa 1

5/23/2018 LAB05 - Transformada Z Inversa 1

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UNIVERSIDAD PRIVADAANTENORORREGO

FACULTAD DE INGENIERA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERA ELECTRNICA

TEORA DE CONTROL II

LABOTARIO N 4

Transformada Z InversaMtodo de Expansin enFracciones Parciales

Docente:

Ing. Guillermo EVANGELISTA ADRIANZN

Trujillo11 de Abril del 2014


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1. OBJETIVOConocer los mtodos de desarrollo para la Transformada Z Inversa, haciendo nfasis en el

mtodo de Expansin en Fracciones Parciales, as como su aplicacin a ejercicios

propuestos y la validacin de los mismos mediante scripts de MATLAB

.

2. MARCO TERICO2.1.Transformada Z InversaCuando ,la transformada z de o , est dada, la operacin que determina la o correspondiente se denomina transformacin z inversa. Un mtodo obviopara encontrar la transformada z inversa es referirse a una tabla de transformada z. Sin

embargo, a menos que uno se refiera a una tabla de transformada z muy extensa, no sera

uno capaz de encontrar la transformada z inversa de una funcin complicada [1].

De otro lado, existen otros cuatro mtodos para obtener la transformada Z inversa que no

implican el uso de tablas:

Mtodo de la Divisin Directa Mtodo Computacional Mtodo de Expansin en Fracciones Parciales Mtodo de la Integral de Inversin.Para obtener la transformada z inversa, se supone, por lo regular, que la secuencia de

tiempo o es cero para .2.1.1. Ceros y PolosEn aplicaciones de ingeniera, la puede tener la forma:

Tambin, la siguiente:

Donde son los cerosy son los polos.


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2.1.2. Mtodo de Expansin en Fracciones ParcialesPara encontrar la transformada z inversa, si tiene uno o ms ceros en el origen , entonces o se expande en la suma de trminos sencillos de primero osegundo orden mediante la expansin de fracciones parciales y se emplea una tabla detransformada z para encontrar la funcin del tiempo correspondiente para cada uno de los

trminos expandidos.

Un procedimiento de uso muy comn para los casos donde todos los polos son diferentes y

hay por lo menos un cero en el origen (esto es, ) es decir ambos miembros de entre z y entonces expandir en fracciones parciales. Una vez que se haexpandido, sta ser de la forma:

Cuando los polos son simples, el coeficiente se determina de la forma:

Si involucra un polo mltiple, por ejemplo, un polo doble y no tiene mspolos, entonces

tendr la forma:

Los coeficientes y se determinan a partir de:

{

}

3. MATERIALES Y EQUIPOSEs necesario un ordenador con el software MATLAB2011a (o superior) instalado. Para el

desarrollo de esta gua no se requierede libreras adicionales.


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4. PROCEDIMIENTOa) Desarrolle de manera prctica la funcin y realice la codificacin necesaria para

obtener los ceros, polos y ganancias, ambos con la finalidad de obtener su

Transformada Z Inversa.

Desarrollo:

|

| ( )

|

(

)

[ ]Scriptde MATLAB:

z=tf('z');

Fz=12*z/((z+1)*(z-1)^2);[z,p,k]=zpkdata(Fz,'v')[num,den]=tfdata(Fz,'v');zplane(num,den)

syms Z kTZ=12*Z/((Z+1)*(Z-1)^2);

pretty(TZ);iztrans(TZ,k)


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Ejercicio 2: Desarrolle de manera prctica la funcin y realice la codificacinnecesaria para obtener los ceros, polos y ganancias, ambos con la finalidad de obtener suTransformada Z Inversa.

Solucin prctica:

|

|

[ ]

Script deMATLABparael ejercicio 2:

z=tf('z');Fz=3.5*z/((z-1)*(1+z^-1));[z,p,k]=zpkdata(Fz,'v')[num,den]=tfdata(Fz,'v');zplane(num,den)

syms Z kTZ=3.5*Z/((Z-1)*(1+Z^-1));

pretty(TZ);

iztrans(TZ,k)


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5


Solucin prctica:

|

|

* +


z=tf('z');Fz=10.75*z/((z-1)*(1-2*z^-1));[z,p,k]=zpkdata(Fz,'v')[num,den]=tfdata(Fz,'v');zplane(num,den)

syms Z kTZ=10.75*Z/((Z-1)*(1-2*Z^-1));

pretty(TZ);iztrans(TZ,k)


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Solucin prctica:

|

|

|

(

)

[ ]


z=tf('z');Fz=z^2/((z+1)*(z-0.75)^2);[z,p,k]=zpkdata(Fz,'v')[num,den]=tfdata(Fz,'v');zplane(num,den)

syms Z kTZ=Z^2/((Z+1)*(Z-0.75)^2);pretty(TZ);iztrans(TZ,k)collect(ans,k)


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5. ResultadosDel ejercicio 1, la figura 1 muestra la ubicacin de ceros y polos en el plano de z, de

otro lado la tabla 1 muestra una comparativa de resultados del clculo prctico con elmtodo computacional.

Figura 1. Ceros y Polos del Ejercicio 1.

TABLA IRESULTADOS DEL EJERCICIO N1

Mtodo Ceros Polos Ganancias FraccionesParciales 0

-111

12[ ]

MATLAB 0-1.00001.00001.0000

126*k + 3*(-1)^k

3


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Del ejercicio 2, la figura 2 muestra la ubicacin de ceros y polos en el plano de z, deotro lado la tabla 2 muestra una comparativa de resultados del clculo prctico con elmtodo computacional.


TABLA IIRESULTADOS DEL EJERCICIO N2

Mtodo Ceros Polos Ganancias FraccionesParciales

00

-11

3.5[ ]

MATLAB00

-11

3.5000(7*(-1)^k)/4 +

7/4


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TABLA IIIRESULTADOS DEL EJERCICIO N3


00

21

10.75 [ ]MATLAB

00

21

10.7500(43*2^k)/2 -

43/4


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TABLA IVRESULTADOS DEL EJERCICIO N4


00

-1.00000.750.75

1[ ]

MATLAB00

-1.00000.7500+0.0000i

0.7500-0.0000i

1((4*(3/4)^k)/7)*k +(16*(3/4)^k)/49 -

(16*(-1)^k)/49


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6. ConclusionesEsta gua permiti identificar y conocer los mtodos para obtener una funcin de

dominio real a partir de la Transformada Z; ysegn el desarrollo realizado, se puedeconcluir en lo siguiente:

El mtodo de expansin en fracciones parciales permite llevar el desarrollo a unaforma fraccionaria conocida y as obtener la transformada z inversa haciendo unabsqueda en tablas.

Los scripts realizados permitieron obtener los ceros, polos y ganancias de losejercicios propuestos as como la transformada z inversa de cada uno de ellos; sinembargo, debido a las caractersticas propias del clculo simblico se recomiendausar el comando collectpara factorizar a conveniencia a los elementos osimpleparabuscar la manera ms simple de una expresin dada.

Ambos procedimientos utilizados coinciden en sus resultados, corroborando as queestos son correctos.

Referencias[1]Katsuhiko Ogata, Sistemas de Control en Tiempo Discreto. Prentice Hall, Segunda

edicin, 1995, pp. 37-50.[2]Sanjit K. Mitra, Digital Signal Processing A Computer-Based Aproach, 2ndEdition,

McGraw-Hill, pp. 167-171.

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