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Guía para el Laboratorio #2 Reducción de Diagramas de Bloque, Parte I

Humberto Jair Sterling Universidad Tecnológica de Panamá

383

REDUCCIÓN DE DIAGRAMAS DE BLOQUE, PARTE I

Objetivos: Aprender el uso de funciones, y luego aplicarlas para reducir diagramas de bloque sencillos.

Introducción: Un diagrama de bloque es la representación gráfica de un sistema físico que ilustra las relaciones funcionales entre los componentes del sistema. En general, un diagrama de bloques consiste en una configuración específica de cuatro tipos de elementos: bloques, puntos de suma, puntos de bifurcación y flechas que representan la señal de flujo unidireccional.

No es necesario el uso de las tablas para la reducción de diagramas de bloque, aunque ellas nos pueden ayudar a entender el procedimiento algebraico de reducción. En principio, debe comprenderse el significado algebraico del bloque, el punto suma y el punto de bifurcación.

Si un diagrama de bloque consiste de bloques relacionados en serie, paralelo, o en los que algunos bloques pertenecen a una o varias trayectorias de retroalimentación internas dentro del diagrama, la reducción de ese bloque resulta relativamente sencilla, aplicando el álgebra de bloque. Por ejemplo, sabemos que los bloques en serie se multiplican, los en paralelo se suman, y los que forman una trayectoria cerrada se les aplica la fórmula G(s)/[1+G(s)H(s)].

En este laboratorio veremos cómo nos podemos valer de Matlab para la reducción de estos bloques sencillos.

Teoría Relacionada: Aparte de su libro de texto o de otro que su instructor designe, recomendamos muy encarecidamente las siguientes secciones de la Tesis: 1- Capítulo 2: "Diagramas de Bloque"

2- Apéndice D: "Comandos más frecuentes del módulo de control de Matlab", sección: "Construcción de Modelos"

Referencia Rápida: El siguiente cuadro resume los nombres, uso y sintaxis de las funciones más frecuentemente utilizadas en este laboratorio:

Nombre Uso Sintaxis

series reduce dos bloques en serie [n,d]=series(n1,d1,n2,d2)

parallel reduce dos bloques en paralelo [n,d]=parallel(n1,d1,n2,d2)

cloop reduce un bloque retroalimentado unitariamente [n,d]=cloop(n1,d1,signo)

feedback reduce un bloque retroalimentado [n,d]=feedback(n1,d1,n2,d2,signo)

poly2str despliega los coeficientes de un vector como un polinomio

poly2str(a,'variable')

printsys despliega los coeficientes de dos vectores como una función de transferencia

printsys(n1,d1,'variable')

Procedimiento:

Sección 1: Ejemplo En esta sección vamos a reducir el diagrama de bloque que se muestra:



384

Nuestro primer paso consiste en identificar a cada bloque, asignando una variable de identificación al numerador y al denominador, y cuyos contenidos serían los coeficientes de los polinomios del numerador y denominador de la función de transferencia del bloque. Ejemplo:

para el bloque 1, la función de transferencia es 11s +

; por lo tanto, su numerador es 1, y su

denominador es s+1. Luego, su representación en Matlab es la siguiente: » n1=1; » d1=[1 1];

¿Cómo se procedería con los otros bloques del diagrama? » n2=[1 0]; » d2=[1 2 7]; » n3=1; » d3=[1 0]; » n4=n3; » d4=d3; » n5=1; » d5=[1 3 10];

Cada vez que ud. haya definido el numerador y denominador de un bloque, puede usar la función printsys para verificar que lo que escribió está correcto. » printsys(n1,d1) num/den =

1

-----

s + 1

» printsys(n2,d2) num/den =

s

-------------

s^2 + 2 s + 7


1

-

s

Figura GL-2.1: diagrama de bloques para la explicación dentro de esta sección.

−

+ 11s +

s

s 2s 72 + +1s

1s

1

3s 102s + +

Y(s) U(s) +

−

+

+

1 2

3

4

5



385


1

-

s


1

--------------

s^2 + 3 s + 10

El siguiente paso consiste en la reducción secuencial de los bloques. Para el caso del diagrama de bloque ejemplo, está reducción se hace en el siguiente orden:

a- bloques 2 y 3: retroalimentación ⇒ bloque (ret1)

b- bloques ret1 y 4: en serie ⇒ bloque (ser1)

c- bloques ser1 y 5: en paralelo ⇒ bloque (par1)

d- bloques par1 y 1: en serie ⇒ bloque (ser2)

d- bloque par1: retroalimentación unitaria ⇒ bloque final.

Esto en Matlab se lleva a cabo de la siguiente forma: » % bloques 2 y 3 en paralelo

» [nret1,dret1]=feedback(n2,d2,n3,d3,-1);

» printsys(nret1,dret1,'s') num/den =

s^2

-----------------

s^3 + 2 s^2 + 8 s

»

» % el bloque resultante está en serie con el bloqu e 4

» [nser1,dser1]=series(nret1,dret1,n4,d4);

printsys(nser1,dser1,'s') num/den =

s^2

-------------------

s^4 + 2 s^3 + 8 s^2

»

» % el bloque resultante está en paralelo con el bl oque 5

» [npar1,dpar1]=parallel(nser1,dser1,n5,d5);,prints ys(npar1,dpar1,'s') num/den =

2 s^4 + 5 s^3 + 18 s^2

--------------------------------------

s^6 + 5 s^5 + 24 s^4 + 44 s^3 + 80 s^2

»

» %(Note que hicimos uso de la coma para escribir d os comandos en la misma línea.)

» % el bloque resultante está en serie con el bloqu e 1

» [nser2,dser2]=series(npar1,dpar1,n1,d1);,printsys (nser2,dser2,'s')

num/den =

2 s^4 + 5 s^3 + 18 s^2

------------------------------------------------



386

s^7 + 6 s^6 + 29 s^5 + 68 s^4 + 124 s^3 + 80 s^2

» % el bloque resultante está unitariamente retroal imentado

» [num,den]=cloop(nser2,dser2,-1);,printsys(num,den ,'s')

num/den =

2 s^4 + 5 s^3 + 18 s^2

------------------------------------------------

s^7 + 6 s^6 + 29 s^5 + 70 s^4 + 129 s^3 + 98 s^2

» % y este viene a ser el bloque final.

Sección 2: Modelado de un sistema, trazado de su d iagrama de bloque y reducción En la figura GL-2.2 se muestra un sistema masa-resorte-amortiguador simple, al lado de él el diagrama de cuerpo libre de la masa, de la que se obtienen las ecuaciones dinámicas. En el dominio del tiempo ,

[ ]

F t k y t

F t b dy t

dt

F t F t F t m d y t

dt

k

b

k b

( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( )

≡

≡

− − =

(ley del comportamiento de un resorte lineal)

(ley del comportamiento de un amortiguador lineal)

(2ª ley de Newton)2

2

En el dominio de LaPlace,

[ ]

[ ]

F (s) k y(s)

F (s) b dy(t)dt

b s y(s) y(0)

F(s) F (s) F (s) m d y(t)

dt

m s y(s) sy(0)dy(0)

dt

m s dy(t)

dtdy(0)

dt

k

b

k b

2

2

2

=

=

= −

− − =

= − −

=

−

L

L

L

Por lo tanto, la construcción de los diagramas de bloques referentes a cada ecuación es como sigue (a la derecha del diagrama de bloque aparece la ecuación):

F(t)

Fb(t)Fk(t)

mLd y(t)

dt

2

−−

+ +

[ ]F(s) F (s) F (s) m d y(t)

dtk b

2

2− − =

L

Fk(t) Fb(t)

F(t)

y(t)

m m

k

b

F(t)

Figura GL-2.2: sistema masa-resorte-amortiguador y su diagrama de cuerpo libre para el ejemplo de esta sección.



387

dy(t)

dt

1

s

dy(0)

dt

1

s

dy(0)

dts y(s) y(0)

dy(t)

dt

L

L

− + = −

=

El diagrama de bloque completo queda como sigue:

El diagrama de bloque, eliminando las condiciones iniciales, es:

m

d y t

dt

2 ( )

d y tdt

2 ( )

dy(t)

dt

1

s

dy(0)

dt

−

1s

1m

+

bdy(t)dt

F (s)bL

= L

dy(t)dt

Ldy(t)dt

1s

dy(0)dt

−

1s

dy(0)dt

+

b

sy(s) − y(0)

+

1s

y( )0

+

k

s y(s) − y(0) 1s

y s

sy( ) ( )− 1

0 y(s)

y(s) k y s F sk( ) ( )=

[ ]10

10

ss y s y

sy y s( ) ( ) ( ) ( )− + =

F(s)

− −

+ + 1m

1s

1s

1s

1s

b

k

y(s)

y(0) dydt(0)

Σ Σ

Figura GL-2.3: diagrama de bloque (con condiciones iniciales) del sistema mecánico.

1

s

1

mm

d2y(t)

dt2dy(t)

dt

1

s

dy(0)

dtL L

= −

Guía para el Laboratorio #2 Reducción de Diagramas de Bloques, Parte I


388

La reducción paso a paso se lleva a cabo a continuación.

Para el sistema mecánico estudiado en esta sección:

F(s)

− −

+ + 1ms

b

k

1s

y(s)

F(s)

−

+ 1ms+b

k

1s

y(s)

F(s)

−

+ 1

ms +bs2

k

y(s)

F(s) 1

ms +bs+k2

y(s)

Figura GL-2.4: diagrama de bloque (sin condiciones iniciales) del sistema mecánico.

F(s)

− −

+ + 1m

1s

b

k

1s

y(s)



389

a) Defina los valores de las variables del sistema. Se sugieren m=5, b=3, k=2.

b) Defina cada uno de los bloques: nombre cada bloque con un número, y defina el numerador y denominador de cada uno en Matlab. Antes de cada bloque, coloque un comentario indicando de qué bloque se trata.

c) Indique el procedimiento de reducción de este diagrama de bloque. d) Reduzca el diagrama de bloques, haciendo uso de las funciones convenientes y la nomenclatura que prefiera (agregue comentarios en cada paso de la reducción). Use printsys para ver el resultado de cada etapa de la reducción.

d) Realice la reducción manualmente, y verifique si los resultados de la reducción son los correctos.

e) Varíe los parámetros de m, k y b y repita desde b) (use los valores positivos que prefiera).

Sección 3: Asignaciones Reducir los siguientes diagramas de bloques, usando las funciones series, parallel, feedback y cloop:

1- Determine las funciones de transferencia C/R1, C/R2, C/R3 y C/R4. G ss s

1 2

17

4 17( ) =

+ +,

H ss11

( ) = , G ss

s s2 2

3

3 12( ) = +

+ +, H2=1. ¿Qué tienen en común estas 4 funciones de

transferencia? Para cada una de ellas, determine los polos y ceros.

2- a) Demuestre analíticamente que el diagrama de bloques de la izquierda es equivalente al de la derecha.

b) Compruebe la parte a), utilizando varios ejemplos (5 mínimo), asignando funciones de transferencia arbitrarias (observación: en Matlab, el grado del numerador debe ser siempre menor o igual al grado del numerador; en caso de que esto no se cumpla, empareje el grado del denominador al del numerador ocupando las posiciones con eps).

3- a) Determinar C/R1 si G1(s)=0.5; G ss210

5( ) =

+; G s

s s34

1( )

( )=

+; H1(s)=s.

G(s)

H(s)

R(s) C(s) + −

C(s) 1H s( )

1G s( )

R(s) + −

Figura GL-2.6: diagrama de bloque para el problema asignado 2.

G2(s) G1(s)

H2(s)

H1(s)

C R1

R4

R3 R2

Σ

Σ

− +

+ −

+ −




390

b) Estudie el efecto que tiene sobre la función de transferencia y sobre los polos del sistema

el reemplazar H1(s) por ss a+

, con a=0, 0.1, 1, 10, 100.

4- a) Para el diagrama de bloque que se muestra, determine la razón de error (E/R), la razón de retroalimentación (B/R), la función de transferencia de lazo abierto (B/E), la función de transferencia directa (C/E) y la función de transferencia de lazo cerrado (C/R), para K=10, Tm=0.8, T1=2.

b) Repita la parte a), pero esta vez elimine la retroalimentación interna con K.

c) Con respecto a la estabilidad del sistema, ¿es preferible mantener o no la retroalimentación interna?

5- a) Estudie el efecto que produce la variación de Tm en la función de transferencia de lazo cerrado, en los polos del sistema, y en la razón de error. Para los valores de K y T1 dados en la parte a) del problema anterior, varíe Tm según Tm= -100, -10, -1, -0.1, -0.01, 0.01, 0.1, 1, 10, 100.

b) Repita la parte a), pero esta vez elimine la retroalimentación interna con K.

+ −

+ −

G3(s) G1(s)

H1(s)

G2(s) C R1



1Tm

T1

K

1s

C R E

B

Σ + −

+ −

1Tm

K

s2

1s

+ −

+ −

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