la teorÍa aritmÉtica de los cortes de dedekind (1858

LA TEORÍA ARITMÉTICA DE LOS CORTES DE DEDEKIND (1858), PARADIGMA DE LAS REVOLUCIONES MODERNAS DE ADICIÓN-EXTENSIÓN

(21 de noviembre de 2021) ARUGMENTARIO ............................................................................................................................. 3

Introducción ............................................................................................................................... 3Alcance intelectual ..................................................................................................................... 3

Tres formas de revolucionar un campo de pensamiento ......................................................... 3Tres ejemplos .......................................................................................................................... 4

Aritmética ................................................................................................................................... 4La operación de corte ................................................................................................................. 5

Precio a pagar .......................................................................................................................... 5Consecuencias intelectuales .................................................................................................... 5

I. PROBLEMATIZACIÓN MATEMÁTICA ........................................................................................... 6Problematización griega ............................................................................................................ 6Una fauna aritmética totalmente salvaje .................................................................................. 6El problema ................................................................................................................................ 6Su solución por Dedekind .......................................................................................................... 8

II - TEORÍA ARITMÉTICA PROPIAMENTE DICHA ............................................................................ 9Visión general ............................................................................................................................ 9Otra construcción de números reales por medio de las secuencias de Cauchy ...................... 9Otros cortes: números surrealistas .......................................................................................... 10Otras adiciones: extensiones algebraicas ................................................................................ 10

Cierre algebraico ................................................................................................................... 10Ejemplos de ampliación por adición de raíces ...................................................................... 10

III - EL TRIPLE ALCANCE INTELECTUAL DE LAS DIFERENTES MODERNIDADES ......................... 121. Emisión de puntos ................................................................................................................ 12

Los puntos constitutivos ........................................................................................................ 12La pausa interpretativa .......................................................................................................... 12

2. Creación: de la operación constituida a la operación constituyente ................................. 13Ejemplos ................................................................................................................................ 13Caso especial: el nombramiento creativo .............................................................................. 13

3. Revolución de un dominio por adición-extensión .............................................................. 14ANEXO 1: LOS RECORTES DE JACQUES SIROS ........................................................................... 16

Relación de pedidos .................................................................................................................. 171: adición... → grupo ............................................................................................................... 17

Adición .................................................................................................................................. 18Conmutatividad y asociatividad de la suma .......................................................................... 18Elemento neutro de adición: 0 ............................................................................................... 18Operación inversa a la suma: la resta .................................................................................... 19

2 Grupo de aditivos .................................................................................................................. 19

2: multiplicación... → cuerpo .................................................................................................. 19Multiplicación ....................................................................................................................... 19Elemento neutro de la multiplicación: 1 ............................................................................... 20Operación inversa de la multiplicación: la división .............................................................. 20Conmutatividad y asociatividad de la multiplicación ........................................................... 20Distributividad ....................................................................................................................... 20Cuerpo ℝ ............................................................................................................................... 20

El cuerpo de realidades está completo para la operación de corte. ....................................... 20ANEXO 2: LOS DIFERENTES NÚMEROS ......................................................................................... 22ANEXO 3: AMPLIACIONES Y EXTENSIONES ................................................................................. 23

Tres tipos diferentes de revoluciones ....................................................................................... 23Cinco características de la revolución de la EA ..................................................................... 23Alcance en las matemáticas modernas antes de Cantor ......................................................... 23Ejemplos de los tres tipos de revoluciones .............................................................................. 24

Dos ejemplos matemáticos .................................................................................................... 24Tres ejemplos políticos .......................................................................................................... 25Un ejemplo psicoanalítico ..................................................................................................... 25

ANEXO 4: ESCRITOS DE DEDEKIND ............................................................................................. 26Continuidad y números racionales (1872) .............................................................................. 26

Prefacio .................................................................................................................................. 26§1 Propiedades de los números racionales ............................................................................ 26§2 Comparación de números racionales con puntos de una recta ......................................... 26§3 Continuidad de la línea recta ............................................................................................ 26§4 Creación de números irracionales .................................................................................... 26§5 Continuidad del dominio de los números reales .............................................................. 26§6 Cálculos con números reales ............................................................................................ 26§7 Análisis infinitesimal ........................................................................................................ 27

Correspondencia con Lipschitz (1876) .................................................................................... 27Dedekind (10 de junio) .......................................................................................................... 27Lipschitz (6 de julio) ............................................................................................................. 27Dedekind (27 de julio) ........................................................................................................... 27

¿Qué son los números y para qué sirven? (1888) ................................................................... 28Prefacios ................................................................................................................................ 28

DOCUMENTACIÓN ........................................................................................................................ 30

3 ARUGMENTARIO

Introducción Los cortes Dedekind nos permiten basar el conjunto ℝ de números reales en el conjunto ℚ de números racionales.

Desde los griegos, se dice que un número es racional si es la división de dos números ente-ros.

El conjunto ℝ así construido contiene el conjunto inicial ℚ (todo número racional es también un número real). Diremos que ℝ es una extensión aritmética de ℚ.

Hay números reales que no son racionales y que, por tanto, se dirá que son irracionales: hu-yendo de la concepción griega de la racionalidad numérica (que se basa en los números en-teros), se dirá que es irracional un número que no tiene una medida entera y que, por tanto, es inconmensurable con los números enteros.

Ciertamente hay otras formas de fundar números reales a partir de números racionales, de exten-der ℚ a ℝ: por ejemplo, la ya inventada secuencia de Cauchy. Pero privilegiaremos aquí el méto-do de cortes de Dedekind por su inmenso alcance intelectual, tanto en las matemáticas como en otros campos del pensamiento.

Alcance intelectual Este ámbito intelectual está unido a un método general que llamaremos de adición-extensión [AE]: - En primer lugar, un elemento u operación construida desde dentro del conjunto se añade a un

conjunto inicial (aquí ℚ); - este nuevo término se combina entonces con todos los elementos del conjunto original (por

eso se llama adición y no sólo suma), de modo que el conjunto original se amplía con un número infinito de elementos del nuevo tipo;

- Finalmente, los primeros elementos y estos elementos de nuevo tipo se recapitulan en un nuevo conjunto (aquí ℝ) cuyo tamaño se amplía enormemente (de ahí el nombre de exten-sión);

- En total, toda la operación es puramente inmanente: el nuevo término está intrínsecamente construido (no es un meteorito) y los nuevos elementos generados son endógenos (no es una lluvia fertilizante).

Tal adición-extensión [AE] revoluciona así el conjunto de partida construyendo, término a tér-mino, su inmersión en un dominio infinitamente mayor. Al final, el dominio original (aquí ℚ) se conserva como tal, pero ahora se limita a una especie de pequeña isla que sobrevive en un vasto océano (la Isla de Pascua en el Pacífico), circunscrita a un minúsculo, primitivo o incluso arcaico principado (Mónaco o Andorra) dentro de un inmenso imperio moderno.

Tres formas de revolucionar un campo de pensamiento Esta forma [AE] de revolucionar un campo es un invento de la modernidad. Se diferencia de dos anteriores: - una forma primitiva de abandonar un dominio que se ha vuelto saturado y estéril para trasla-

darse a un nuevo dominio fértil en el que pueda cobrar un nuevo impulso; esto se conoce como una revolución de abandono-desplazamiento [AD];

- una forma clásica que destruye la vieja organización que satura un campo determinado para reconstruir un nuevo tipo de organización; aquí hablaremos de revolución por destrucción-reconstrucción [RD].

4 Tres ejemplos

La práctica diferenciada de estas tres formas [AE, AD y DR] de revolucionar un campo puede encontrarse en muchos campos del pensamiento: resulta que opera implícitamente en el corazón de diferentes modernidades. Pongamos tres ejemplos muy diferentes.

Cálculo diferencial Frente a los impases del cálculo diferencial basado, en la matemática clásica (Leibniz y luego Euler), en un problema empírico de infinitesimales, el análisis moderno explorará tres direccio-nes: - La revolución del cálculo diferencial por abandono y desplazamiento fue iniciada por Cau-

chy a principios del siglo XIX: abandonó simplemente todo recurso al problema de los ele-mentos infinitamente pequeños para reconstruir el cálculo diferencial sobre una base comple-tamente diferente, la de la nueva noción de "límite";

- una revolución en el análisis de adición-extensión fue entonces liderada por Robinson en la década de 1960 (análisis no estándar) mediante la adición axiomática de un elemento no es-tándar infinitesimalmente pequeño;

- otra revolución de los números por destrucción-reconstrucción será finalmente concebida por Conway en los años 70: reconstruirá una problemática rigurosa y ordenada de todos los nú-meros a partir de la nueva noción de número surrealista (entendido como un par de un ordi-nal y una parte de este ordinal).

La organización de los analistas en Lacan Frente a la academización de la organización angloamericana de analistas (la Asociación Psicoa-nalítica Internacional - IPA), Lacan practicará sucesivamente tres tipos de reorganizaciones ra-dicales: - en 1953 por adición-extensión: añadiendo a la IPA una "vuelta a Freud" que pretende am-

pliarla, en Francia primero, según una Sociedad Francesa de Psicoanálisis (SFP); - en 1964 por abandono-desplazamiento: abandonando tanto la IPA como la SFP y trasladán-

dose a la rue d'Ulm para fundar la École freudienne de Paris (EFP); - en 1980 mediante la destrucción-reconstrucción: disolviendo la EFP para reconstruir una

organización de nuevo tipo, la École de la cause freudienne (ECF).

Revoluciones políticas Se pueden distinguir tres tipos de revoluciones políticas: - por abandono-desplazamiento en las antiguas revoluciones antiesclavistas (Espartaco, Qui-

lombos en Brasil...) que abandonan el mundo opresor a su suerte para fundar repúblicas li-bres en otros lugares;

- por la destrucción-reconstrucción en las clásicas revoluciones francesa (1789) y rusa (1917) que destruyen el viejo estado opresor para reconstruir un nuevo tipo de estado;

- por adición-extensión en la revolución comunista moderna emprendida en China a partir de 1958, al añadir las Comunas Populares a la sociedad socialista para extender la organización política del país, hasta entonces reservada al Partido-Estado, a la escala de las masas campe-sinas y obreras.

Aritmética En esta lección, estudiaremos en detalle la matemática de la adición-extensión tal como opera en los cortes de Dedekind.

Como veremos en la próxima lección, el método de adición-extensión ya había sido inven-tado por Galois (formuló por primera vez las nociones de adición y extensión en 1830). La principal diferencia entre el método y Dedekind es que Galois añade un elemento (una "raíz" de un polinomio, por tanto una extensión algebraica) mientras que Dedekind añade una ope-ración (el "corte"), y esto nos permitirá comprender mejor la fecundidad de este método (por eso la lección de Dedekind precede a la de Galois).

5 La operación de corte Nuestro punto de partida es la invención, tan simple como ingeniosa, de la noción de ruptura por Dedekind el 24 de noviembre de 1858. La idea principal es que si un número racional puede bisecar la recta racional, entonces cualquier otro procedimiento que también biseca la misma recta definirá un nuevo tipo de número.

El ejemplo canónico de otro tipo de corte es separar los racionales positivos en dos partes se-gún si su cuadrado será menor o mayor que 2.

Seguiremos entonces, paso a paso, la aritmética de estos cortes -el carácter numérico de este tra-bajo facilitará la claridad integral de toda la construcción matemática así comprometida.

Podremos, en fin, tematizar cada una de nuestras futuras lecciones bajo este mismo título: adición de un imaginario i a los reales para extenderlos a los complejos; adición de j y k a los complejos para extenderlos a los cuaterniones; adición de atlas a las hipersuperficies pa-ra extenderlas a las variedades...

Precio a pagar Al hacerlo, destacaremos un punto secundario, raramente tenido en cuenta pero intelectualmente capital: la inmensa extensión producida por tal adición tiene como contrapartida necesaria una renuncia delimitada, de modo que la gigantesca ganancia de la extensión va acompañada, a pesar de todo, de la pérdida de una propiedad (formulado dialécticamente, el salto cualitativo y cuanti-tativo tiene como contrapartida una pérdida cualitativa): por ejemplo el de la contabilidad en el caso de los cortes, el de la resolubilidad en el caso de los grupos algebraicos, el del orden en el caso de los complejos, el de la conmutatividad en el caso de los cuaterniones...

Consecuencias intelectuales Entonces podremos discutir la considerable importancia intelectual de todo esto para todas las subjetividades modernas: la matemática, por supuesto, pero también la militante, la musical y la artística, incluso la amorosa.

Nombrerationnel Coupure

Autre type deCoupure

Nombred’un type nouveau

???

6 I. PROBLEMATIZACIÓN MATEMÁTICA

Problematización griega En rigor, no fueron los griegos los que descubrieron la irracionalidad de √2 -los chinos, por ejemplo, también la conocían-, pero lo que singularizó a los griegos fue que constituyeron esta irracionalidad como un problema matemático, y por tanto como un problema para toda la racio-nalidad.

Los chinos se decantaron pragmáticamente por un cálculo, lo más aproximado posible, por el desarrollo decimal. Al igual que los babilonios o los egipcios, no situaron la demostración en el centro de su racionalidad matemática: tampoco en este caso es que ignoraran el procedimiento demos-trativo, sino que simplemente no lo elevaron al rango de principio trascendental de su ra-cionalidad. La lección esencial que hay que recordar es que sólo hay un problema en función de una problematización constitutiva, y que sólo hay un problema construido por una problema-tización previa, de modo que un mismo hecho puede ser visto por una persona como no problemático e integrable como tal en su práctica previa, y por la otra como un problema. Sabemos que el nihilismo posmoderno prolifera sobre la idea de deconstruir sistemática-mente con el pretexto falaz de que pensar por sí mismo significaría deconstruir lo que la humanidad ha pensado hasta ese momento -es obvio que el paradigma de esa deconstruc-ción generalizada se encuentra en el capitalismo (véanse las famosas páginas del Mani-fiesto Comunista de 1848).

Una fauna aritmética totalmente salvaje Desde el descubrimiento por parte de la antigüedad de la irracionalidad de √2, una dispar fauna de números no relacionados conceptualmente con los enteros :

• √2 (⟹números irracionales "algebraicos") • π (⟹los números irracionales "trascendentales" • la procesión ordenada de números decimales no periódicos...

⟹¿Cuántos números de este tipo? ¿Qué estructura? ¿Cómo, a partir de los números enteros, y por lo tanto de los números racionales, podemos cons-truir el conjunto de los números reales, empezando por el que se encuentra en el principio de toda la matemática (demostración por el absurdo entre los griegos) √2 ? El problema planteado por los griegos a finales del siglo V a.C. o principios del IV no se resolve-rá hasta mediados del siglo XIX d.C., es decir, 2250 años después (¡más de dos milenios!: esto da una escala de la resolución por parte de la humanidad de los problemas que plantea).

Por ejemplo, Dedekind nos recuerda en 1872, que "¡teoremas genuinos como √2.√3=√6 no han sido demostrados hasta ahora!" 1 Dado que el objetivo es definir una estructura numérica general, Dedekind insiste en de-finir los números irracionales "todos a la vez" 2y no uno por uno.

Entendamos un poco mejor el problema.

El problema √2 nombra un "número" tal que su cuadrado es 2. Pero este "número" no puede ser "racional" (en el sentido que la aritmética da a este nombre, es decir, un número resultante de la división de dos enteros).

Demostración.

1 Véase el anexo sobre los escritos de Dedekind. 2 Carta a Lipchitz, 27 de julio de 1876 (ver anexo)

7 Si √2=a/b con a y b enteros, entonces estamos ante el par de un número par (2p) y un número impar (2n+1) y tenemos dos posibilidades y sólo dos: √2=par/impar o √2=par/impar. 1) √2=(2n+1)/(2p) ⟹2=(2n+1) 2/(4p 2) ⟹8p 2=(2n+1)2: ¡par=impar! 2) √2=(2n)/(2p+1) ⟹2=(4n 2)/(2p+1) 2⟹(2p+1) 2=2n2: ¡impar=par! ⟹ √2≠a/b!

Se dice que este "número" √2 es irracional, no porque no responda a la racionalidad humana, sino porque no tiene "razón" numérica en el sentido griego, es decir, no guarda proporcionalidad con los números enteros. Por otro lado, se puede aproximar tanto como se quiera mediante números racionales: √2=1,414213562... o 1,414...

1,414 =1.4141.000

Se demuestra que tal número irracional corresponde a un desarrollo decimal no periódico ilimi-tado, es decir, que no se repite.

En cambio, si el desarrollo decimal es limitado o si es ilimitado pero periódico, entonces el número es racional. Ejemplos : • desarrollo limitado: 10/4=2,5 o 35/8=4,375 • desarrollo periódico ilimitado: 10/3=3,3333... o 10/7=1,42857 42857 42857... Demostremos, con un ejemplo, que si un número tiene un desarrollo decimal periódico, entonces es racional.

Sea q=4,7212121... Escribamos q=4,7+0,0212121... 4,7=47/10 es racional. Veamos qué ocurre con r=0,0212121...

10r=0,212121... y 1000r=21,212121... ⟹1000r=21+10r ⟹r=21/990=7/330

Esto da: 4,7212121... = 4,7+7/330 = 779/165 Cqfd

Además, hay números aún más extraños que √2 (que se relaciona fácilmente con 2 por su cua-drado y, por tanto, se llama número algebraico), como π=3,14... (que mide la relación entre el perímetro de un círculo y su diámetro). Con este batiburrillo de "números", podemos hacer aritmética empírica y aproximada (sumar y restar, multiplicar y dividir, exponer n py ordenarlos, etc.) pero no sabemos exactamente cómo se organizan, por separado y con los números racionales. En definitiva, mientras los racionales se organizan según una estructura aritmética clara (forman un "cuerpo"), están acompañados de una innumerable polvareda de otros números que se inter-ponen por doquier y que no sabemos cómo estructurar.

Este punto preocupaba a los griegos porque para ellos, las matemáticas eran un lugar de pensamiento demostrativo y no sólo calculador. De ahí que el descubrimiento de la irra-cionalidad de √2 fuera un terremoto mental para ellos. Para los demás (babilonios, egipcios, chinos...), este mismo descubrimiento no fue un te-rremoto: simplemente se conformaron con él en sus procedimientos de cálculo, sin plan-tearse ninguna otra cuestión, un poco como hacen todavía todos los estudiantes de secun-daria en Francia. Por mi parte, sólo tomé conciencia de este abismo mental cuando mi profesor de matemá-ticas de hipopótamo comenzó el curso explicándonos los cortes de Dedekind: fue esta afirmación la que me hizo darme cuenta de repente de los abismos aritméticos que había estado frecuentando inconscientemente hasta entonces.

Formulemos mejor nuestro problema.

8 Llamemos números "algebraicos" a los números solución de una ecuación algebraica, es decir, una ecuación polinómica con coeficientes enteros.

Por ejemplo √2 es un número algebraico porque es una solución de la ecuación x 2-2=0 Aun así, (1+√5)/2 es un número algebraico porque es una solución de la ecuación alge-braica :

x 5+x4 -4x3 -3x 2+3x+2=0 Llamemos "trascendentales" a los números irracionales que no son algebraicos. Se demuestra que existen e incluso que, lejos de ser una rareza, son infinitamente más numerosos que los nú-meros racionales contables.

Por ejemplo, el número π (también aproximado por un desarrollo decimal ilimitado no periódico: π=3,14 159 265 358 979...). π es irracional (no es un cociente de enteros) pero no es algebraico (no hay ningún polinomio con coeficientes racionales cuya raíz sea π: la demostración de este punto es muy tardía (Ferdinand von Lindemann, 1882). Los matemáticos han descubierto, uno a uno, otros números trascendentales: por ejemplo e=2,71828... Este es el único número r tal que la derivada de la función r xes la función r x.

Por lo tanto, los números irracionales son algebraicos o trascendentales. Llamemos "real" al conjunto de números racionales e irracionales. Es cierto que podemos calcular de forma aproximada sobre todos estos números reales gracias a los desarrollos decimales aproximados tanto como queramos, pero no sabemos realmente cómo se organiza este amasijo de números, todos ellos ordenables (de forma que puedan representarse como los puntos de una única recta: la recta que llamaremos "real"). Abundan los ejemplos de números irracionales (especialmente los algebraicos, porque los tras-cendentales son extraordinariamente difíciles de distinguir), pero no tenemos idea de su abun-dancia, de su distribución, de su organización propia, de su estructuración interna. El pensamiento matemático no puede contentarse con calcular sobre entidades encontradas o descubiertas empíricamente. Su propia tarea es comprender la estructura de los objetos que estu-dia: en este caso la estructura de los números. De ahí la pregunta, aún abierta a mediados del siglo XIX: ¿cómo pueden construirse sistemáti-camente los números irracionales a partir de los números racionales de la misma manera que se construyeron sistemáticamente los números racionales a partir de los enteros, y los enteros a par-tir de los enteros positivos?

Su solución por Dedekind La solución a este problema en la segunda mitad del siglo XIX adoptó dos formas: - la definición de los números irracionales como límite de las secuencias de Cauchy (sobre los

números racionales): esta será la forma de Cantor; - la definición de los números irracionales por medio de cortes (sobre los números racionales):

este será el camino de Dedekind. Este es el camino que estudiaremos hoy. ¿Por qué este segundo enfoque? Aparte de que ha sido mi camino de Damasco en mi largo viaje matemático3, lo prefiero porque tiene un significado intelectual considerable.

3 Mi autobiografía de matemático descalzo pasa por cuatro momentos decisivos: comienza con el descu-brimiento de la x del álgebra (que debo a mi padre, al final de la escuela primaria); da un giro decisivo con los cortes de Dedekind a la entrada de las clases preparatorias (que debo a Jacques Syros: Luego se suspende con el encuentro de Laurent Schwartz en la X (1967) cuyo genio luminoso me disuade de la investigación matemática, para finalmente tomar su impulso definitivo -la matemática como luz intelec-tual- por el encuentro un poco más tarde (principios de los 70) de Alain Badiou (que me hace descubrir a Albert Lautman en particular)...

9 II - TEORÍA ARITMÉTICA PROPIAMENTE DICHA

Continuidad y números irracionales: 1872 [Cortes: 24 de noviembre de 1858, ¡un miércoles!] ¿Qué es y qué es la cuota? ¿Qué son los números y qué representan? : 1888 El corte de un conjunto totalmente ordenado E viene dado por un par de sus partes A|B que lo particiona y tal que cualquier elemento de A es menor que cualquier elemento de B. Un corte Dedekind es la donación en ℚ de una partición estricta A|B (A y B son complementos, ninguno de los cuales está vacío) con a<b (para toda a de A y toda b de B) - especificamos, por conveniencia, que si hay un racional de frontera (hablaremos entonces de un corte de "primer tipo"), pertenece por convención a B.

Recordatorio: en ℝ, todo conjunto mayorado admite un límite superior (que es el menor mayorante4) pero por supuesto no en ℚ.

Ejemplo canónico: en ℚ, A{a2<2 o a<0} y B{b 2>2 y b>0}

Visión general Ver todos los detalles en el Anexo I

Comprobamos que los cortes están ordenados: para dos cortes dados C y C', siempre podemos clasificarlos C<C' o C'<C (en el sentido aritmético de <). A continuación, construimos las operaciones que darán a los cortes una estructura de grupo (adi-tiva), luego un anillo, luego un cuerpo: suma, resta, multiplicación, división. Esto se hace construyendo nuevos pares de piezas en ℚ.

Así, si x:= a|b e y:= c|d, miraremos (a|b)+(c|d):=(a+c)|(b+d)... Luego hay que demostrar, para cada operación, que el nuevo par de partes así definido es efectivamente un corte, es decir, que en la nueva partición obtenida, • todos los racionales están bien clasificados; • cada elemento de la izquierda es mucho más pequeño que cada elemento de la dere-

cha; • los dos conjuntos son bien adyacentes: 5∀ε>0∊ℚ∃a∊Ay ∃b∊Btal que (b-a)<ε Entonces la operación en cuestión sí definirá un corte, y por tanto un nuevo número que se llamará x+y, x-y, xy,... respectivamente. Entonces hay que demostrar que la suma es asociativa, conmutativa y tiene un elemento neutro.

Construyendo de forma similar la resta, obtenemos un grupo aditivo. El trabajo de la multiplicación ya es más delicado porque hay que tener en cuenta los signos (+.+, +.- o -.+, -.-). Al construir la división (excepto por 0), obtenemos un grupo multiplicativo excepto por 0. Comprobamos la distributividad y obtenemos así un cuerpo sobre los cortes que llamamos cuer-po de reales ℝ. Comprobamos que este campo ℝ coincide con ℚ para cortes de primer tipo (es decir, cortes que definen un racional). Finalmente, mostramos que este nuevo cuerpo de reales ℝ es en sí mismo completo: cualquier corte del mismo tipo sobre los reales define un real.

Otra construcción de números reales por medio de las secuencias de Cauchy

Secuencias de Cauchy ⟹extensiones analíticas Una secuencia de números que se aproxima uniformemente al infinito:

∀ε>0, ∃n∈ℕtal que ∀py q ≥ n, |r p-r |<εq Tal secuencia en ℚ converge en ℝ.

4 En cierto sentido, el límite superior es el límite inferior de los mayores, y el límite inferior es el límite superior de los menores. 5 Véase la problemática anexa de Jacques Syros

10 Otros cortes: números surrealistas John Conway: Sobre números y juegos (1974) Harry Gonshor: Introducción a la teoría de los números surrealistas (1986) Alain Badiou: El número y los números (1990)

Un Número es el "dato conjunto de un ordinal (la materia del Número) y de una parte de este ordinal (su forma)".

Otras adiciones: extensiones algebraicas

Son adiciones de un elemento (véase Galois ⟹Cohen) y no una operación. Una extensión algebraica E del campo ℚ es tal que cualquier elemento de E es algebraico, es decir, una solución de un polinomio en ℚ.

Cierre algebraico Todo polinomio tiene allí todas sus soluciones. El campo ℂ de los números complejos es alge-braicamente cerrado. Cf. Teorema fundamental del álgebra: todo polinomio de grado p tiene p raíces en ℂ.

Los coeficientes del polinomio pueden ser racionales, reales o complejos. Nota: no hay una demostración puramente algebraica de este teorema porque en algún momento hay que intro-ducir consideraciones analíticas (o topológicas) de continuidad.

Ejemplos de ampliación por adición de raíces Cf. Paul Cohen: "La situación es análoga a la construcción de la extensión de un campo k for-mada por la adición de la raíz α de una ecuación irreducible f(x)=0. Los elementos del campo de extensión son todos de la forma p(α) donde p es un polinomio y α se toma como símbolo for-mal, pero identificamos p(α) y q(α) si p(x)-q(x) es divisible por f(x)." (p. 113) Le explico, utilizando letras mayúsculas para la k, la p y la q: Los elementos de la extensión serán las clases de equivalencia sobre los polinomios (con coefi-cientes en K) con la relación de equivalencia P(x)≡P'(x) si P(x)-P'(x)=Q(x).f(x) Dos ejemplos: con f(x)=x 2-1 y f(x)=x 2+1. En estos dos casos, explotaremos la propiedad, fácil de verificar, de que para cualquier P(x), tenemos, con f(x)=rx 2+sx+t :

P(x)/(rx 2+sx+t) = Q(x) + (ax+b)/(rx2+sx+t) o

P(x)= Q(x).(rx 2+sx+t) + (ax+b) o

P(x)=Q(x).f(x) + ax+b y así, con P'(x) = Q'(x).(rx 2+sx+t) + (cx+d), tenemos

P(x)-P'(x)=[Q(x)-Q'(x)].(rx 2+sx+t) + [(ax+b)-(cx+d)] Para x=α, tenemos f(α) = rα 2+sα+t = 0 y, por tanto, tenemos :

P(α)-P'(α)=(a-c).α + (b-d) Se dice que P y P' son equivalentes si a=b y c=d es decir si P(α)-P'(α)=0 es decir si P(x)-P'(x)=[Q(x)-Q'(x)].(rx 2+sx+t). Una clase de equivalencia es, por tanto, el conjunto de polinomios P de la forma

P(x) = Q(x).f(x) + (aα+b) Un elemento de la extensión será de la forma rα 2+sα+t

ℚ y √2 Consideremos f(x)=x2 -1. Dos soluciones ±√2 que no existen en ℚ. Un elemento de la extensión es de la forma s√2+t con s y t racionales. Ejemplo de polinomios equivalentes:

• P(x)=7x 3+5x 2+3=(7x+5)(x2 -2)+14x+13 • P'(x)=5x 3+7x 2+4x+1=(5x+7)(x2-2)+14x+13 Es fácil comprobar que P(√2)=P'(√2)=14√2+13

11 Cierre algebraico de ℚ

La operación anterior se repite para cualquier número algebraico √q donde q es un racional posi-tivo, es decir, para cualquier ecuación f(x)=x 2-q=0. Atención: con esto no obtenemos ℝ porque no obtenemos los números trascendentales. Además, aquí acabamos con un cuerpo extendido que sigue siendo contable.

ℝ y i Consideremos f(x)=x2 +1. Dos soluciones: ±√(-1)=±i que no existen en ℝ. Un elemento de la extensión será de la forma ai+b con a y b reales, es decir, un número comple-jo.

12 III - EL TRIPLE ALCANCE INTELECTUAL DE LAS DIFERENTES MODERNIDADES

Esta teoría matemática de los cortes implica tres tipos de interpretaciones, lo que supone un tri-ple alcance intelectual del tema: 1) una problemática de puntos, o la victoria de la unidad dialéctica entre continuidad y puntos; 2) una problemática de la creación por inversión dialéctica entre aspectos principales y secunda-

rios, aquí en constituyente y constituido: esta será la operación dialéctica al principio de la adición;

Un caso especial: una problemática de nominación creativa. 3) una problemática de adición-extensión ;

1. Emisión de puntos La construcción de los cortes representa una victoria de la dialéctica y, más precisamente, de su corazón: la existencia de una unidad de contrarios. En efecto, la continuidad de los números reales viene determinada aquí por una operación esencialmente discontinua: ¡el corte! Dedekind lo resumió para Lipschitz (carta del 10 de junio de 1876): "El teorema que he demos-trado es: el sistema de todos los cortes en el dominio intrínsecamente discontinuo de los números racionales constituye una variedad continua. Lo continuo se constituye a partir de lo discontinuo (el corte). Por el contrario, la continuidad es lo que permite un corte 1) no cae en el vacío (como los cortes en los racionales) sino en "algo"; 2) atrapa un solo elemento (un solo número), no un paquete inseparable con elementos indistin-

tos. 6 Así, el punto se une dialécticamente a su opuesto: ¡el continuo!

Los puntos constitutivos Todo esto es un gran estímulo para la teoría de los puntos subjetivos, aquellos que un sujeto se esfuerza por sostener (puntos que constituyen al sujeto y no puntos constituidos por él): es posi-ble que sostener un punto constituya un sujeto. Y sostener un punto es cortar la realidad por la separación binaria de dos partes globales (en po-lítica esto toma fácilmente la forma de una separación entre ultraizquierda y derecha). De la misma manera, sostener el punto de la igualdad se hace haciendo un corte limpio entre dos puntos de vista sobre las desigualdades: reducirlas (parlamentarios de izquierda), aceptarlas co-mo naturales (parlamentarios de derecha). En este caso, el punto de igualdad será el 0 desde el que levantar la línea ortogonal de igualdad.

La pausa interpretativa Badiou capta todo esto desde el ángulo del "corte interpretativo" - véase el capítulo 15 de Le Nombre et les nombres. Contra el conservadurismo contemporáneo ("La realidad es demasiado densa para aislar un punto. Toda problemática que pretenda identificar un punto separado en la coalescencia natural es un peligroso embrutecimiento"), existe la idea de que la continuidad de lo denso es precisa-mente lo que funda el corte y permite así constituir un punto: ¡la continuidad es constitutiva de los puntos y no constituida a partir de ellos! En otras palabras, no hay ninguna complejidad que prohíba un corte. Por el contrario, la complejidad superior del continuo permite atravesar lo den-so. Esto legitima, por ejemplo, la ruptura interpretativa de un texto árido y denso: el pensamiento de un texto de este tipo está indicado precisamente por su capacidad de hacer una ruptura, de tomar de él un punto susceptible de compartirlo globalmente, y así entenderlo dividiéndolo en dos.

6 Veremos, por el contrario, que este es el caso de Galois porque un polinomio de grado superior a 4 atra-pará en general un paquete de n números inseparables por los medios algebraicos utilizados para definir el paquete en cuestión...

13 La operación de coupure opera aquí como la operación dialéctica por excelencia de "uno se divi-de en dos" según un punto preciso y delimitado.

2. Creación: de la operación constituida a la operación constituyente Como hemos visto, el objeto "número racional", que constituye un corte (constituido), da lugar a la creación de un corte que constituye un nuevo tipo de objeto (constituido): el "número irracio-nal". Tenemos así el siguiente esquema, que puede verse como la inversión de una relación covariante (∆ objeto → ∆ operación) en una relación contravariante (∆ operación → ∆ objeto): añadimos a un objeto una operación covariante que extendemos. La adición contravariante de un objeto co-rrespondiente a las nuevas operaciones amplía el dominio inicial de los objetos:

Si se observa con detenimiento, este tipo de creación conceptual puede encontrarse en muchos campos del pensamiento.

Ejemplos

En política... Dos ejemplos burdos:

En la música...

Caso especial: el nombramiento creativo

"Es el nombre lo que crea la cosa. Alain Badiou 7 También podemos interpretar nuestra inversión de objeto→operación como la inversión de la relación de denominación entre una cosa y su nombre: cosa→nombre ⟹ nombre→cosa: am-pliamos el dominio de las cosas añadiéndole un dominio de nombres:

7 Ser y Acontecimiento (p. 415), sobre el procedimiento de forzamiento de Cohen...

covariance

contravariance

Objetconstituant

Objetconstitué

Opérationconstituée

Opérationconstituante

???

Bourgeoisie

Prolétariat

classe exploiteuse

classe émancipatrice

???

Révolutioninsurrectionnelle

Révolutionde type nouveau

Organisationléniniste

Organisationde type nouveau

???

Baroque

Romantisme

Expressivité

Expressionde type nouveau

???

14

En primer lugar, los cortes como las clases de polinomios operan como "nombres" en la situa-ción de partida para designar "objetos añadidos". En un segundo paso, las operaciones sobre estos nombres en la situación de partida permiten un control en esta situación de lo que ocurre en la extensión: así la adición de cortes en ℚ controla la adición de irracionales en ℝ. La adición se hace, pues, desde dentro, de forma endógena, no por aportación externa, y por in-jerto. No genera el nuevo objeto que no puede aparecer en el dominio original, sino su nombre: ¡'corte' es el nombre 'racional' de un 'irracional'! Y la proliferación inherente a una adjunción susceptible de generar una extensión está interna-mente controlada: la adjunción abre en última instancia la extensión de las operaciones clásicas en el dominio de partida a nuevos tipos de objetos: no números irracionales, inaccesibles en ℚ, sino sus nombres. La adición no sólo se compone desde dentro, sino que se construye explícitamente: no se puede conformar con una demostración de existencia por el absurdo (que indicaría que tal adición sería posible, concebible); debe ser exhibida, efectivamente construida. Se construye entonces movilizando todos los elementos de la situación de partida: un corte es una partición de todos los racionales; una extensión se hará clasificando todos los polinomios de ℚ en clases de equivalencia. La construcción pasa por una movilización integral del dominio de partida.

El forzamiento de Cohen Todo esto se encuentra en la obra de Cohen, pero de forma más complicada, porque se trata de construir un conjunto genérico, lo que parece un proyecto absurdo porque es intrínsecamente contradictorio -¡un conjunto genérico es precisamente un conjunto no construible! De hecho, se tratará de construir el nombre propio de un conjunto genérico específico (¡y no el nombre propio de la clase de todos los conjuntos genéricos o de lo que significa genérico!)

Aquí nos encontramos con una conocida paradoja que consiste en hablar de cualquier conjunto, cualquier triángulo, cualquier número real: ¿cómo hacerlo? No se puede mos-trar porque entonces se exhibirá necesariamente un conjunto, un triángulo, un real con propiedades particularizadas y, por tanto, ¡que ya no es arbitrario! Si podemos enterrar a un soldado desconocido porque este entierro no lo hace más conocido, no podemos mos-trar a cualquier hombre, el hombre de la calle, porque el simple hecho de seleccionarlo y presentarlo lo distingue de todos los demás. De ahí esta regla de hierro del pensamiento: lo innombrable -no sólo lo innominado- es lo que prolifera cuantitativamente -así, por ejemplo, los números trascendentales, tan difíci-les de mostrar y que, sin embargo, están en cantidad astronómica, ya que son los que ha-cen el tránsito de lo contable a lo continuo (los números algebraicos, polinomialmente construidos, y por tanto los irracionales algebraicos, son siempre contables).

Piense en el paralelismo con el bosón de Higgs o los neutrinos, cuya cantidad as-tronómica es 8muy difícil de individualizar (¡un poco como si se le pidiera que mostrara un grano de polvo y uno solo!).

3. Revolución de un dominio por adición-extensión

8 Nuestro cuerpo fisiológico recibiría 500.000 mil millones de neutrinos por segundo, ¡el 80% de los cuales provienen del sol!

chose

chose

nom

nom

???

15 Aquí ya no nos interesa el elemental de la operación de corte, sino lo que Dedekind llama9"defi-nir de una vez" el conjunto de irracionales. Esta forma de revolucionar un dominio (aquí el campo de los números racionales) se opone a otras dos formas: - por abandono-desplazamiento (por ejemplo, la revolución del cálculo diferencial e integral

por parte de Cauchy al abandonar el problema de los infinitesimales y recurrir a la noción de límite sobre la base del flamante método de "ε y δ")

- por destrucción-reconstrucción (en el mismo espacio matemático del cálculo diferencial, se podría tomar como ejemplo la construcción de números surrealistas de Conway).

En política, la diferencia entre estos tres tipos de revolución es especialmente clara. Esto se detalla en el Anexo 3.

9 Carta a Lipchitz, 27 de julio, p. 53

16 ANEXO 1: LOS RECORTES DE JACQUES SIROS 10

Louis-le-Grand, Matemáticas. Sup. HX1 (otoño de 1964)

Sea α∊ℚ. α divide ℚ en dos partes A 1y A 2dependiendo de si a∊ℚ (a≠α) es tal que a< α⟺a∊A 1o a'>α⟺a'∊A .2

Cf. Dedekind: se puede asociar α a cualquiera de las dos partes. El corte debe anotarse de la siguiente manera: A |A 12o A | 1αA 2o

α A1 |A 2

Llamemos a esto "cortar" ℚ en dos partes complementarias como • [clasificación completa] cualquier racional (aquí distinto de α) se clasifica allí, es decir, per-

tenece a una de las dos partes A 1o A2; en otras palabras, el corte particiona estrictamente ℚ (al unir las dos partes se obtiene ℚ).

• [orden] todo racional de A 1es menor que todo racional de A 2; • [adyacencia] los dos conjuntos son adyacentes: ∀ε>0 (ε∊ℚ), ∃a∊A 1y ∃a'∊A 2tal que (a'-a)<ε.

Dedekind no añade esta propiedad, que en realidad se deduce del hecho de que todos los racionales aquí están distribuidos y ℚ es denso en sí mismo: ∀q y q' con q<q', ∃q" tal que q<q"<q'). Pero, didácticamente, es intere-sante comprobar la adyacencia porque la densidad de ℚ debe establecerse más bien en 11ℝ: ¡sin embargo, el punto aquí es construir ℝ!

Demostración constructiva. ∀ε, ya sea a=α-ε/3 y ya sea a'=α+ε/3. Entonces tenemos a< α ⟹ a∊A 1, a'> α ⟹ a'∊A 2y (a'-a)=2ε/3<ε

Tales cortes de ℚ (que Syros llama "cortes del primer tipo" 12y que nosotros llamaremos "cortes con líneas" por referencia a las líneas dibujadas en una regla graduada) pueden ahora construirse por medios distintos a un número racional. Por ejemplo, dejemos que el corte A | 1√2A se 2defina como sigue:

• q<0 ⟹q∊A1; • q≥0: si q 2<2 entonces q∊A 1y si q2 >2, entonces q∊A 2. • sabemos que no hay ningún racional q tal que q 2=2.

Es fácil comprobar que se trata de un corte: 1) cualquier racional pertenece a A 1o a A 2; 2) cualquier racional de A 1es menor que cualquier racional de A 2; 3) las dos partes son adyacentes.

Demostración constructiva Para el racional ε>0, o bien a>0 con a 2=2-ε/3 y o bien a'>0 con a' 2=2+ε/3 Entonces tenemos a∊A 1y a'∊A 2con (a' 2-a 2)=2/3ε Pero (a'2-a 2)=(a'-a)(a'+a) con (a'+a)>1 [de hecho a'+a=2√2=2,828...] ⟹(a'-a)=(a'2 -a 2)/(a'+a)<(a'2 -a 2)=2/3ε<ε ⟹(a'-a)<ε

Se supone que dicho corte (llamado "corte del segundo tipo" o "corte sin línea"13) define un nú-mero de un tipo distinto al racional, que llamaremos número irracional y que denominaremos aquí √2.

10 1911-2002. Agrégation en matématique en 1937 (al mismo tiempo que Laurent Schwartz y Gustave Choquet) 11 Todo espacio topológico es denso en sí mismo. ℚ es denso en ℝ porque cualquier intervalo abierto no vacío de ℝ contiene infinitos racionales. Nótese que ℝℚ (conjunto de irracionales) también es denso en ℝ. ℚ es denso en ℝ: esto significa que los racionales pueden aproximarse a todos los reales (que ℚ puede aproximarse a cualquier ℝ). 12 y que Lavendhomme llama "cortes con nudos"... 13 Lavendhomme habla de un "corte sin nudos".

17 De este modo, la noción de corte en ℚ (partición en dos) se construyó a partir de un número ra-cional. Luego se demostró que hay otros cortes en ℚ que ya no corresponden a un número racional.

[adición]. OBJETO OPERACIÓN número (racional) ⟹ corte (con línea) El punto de corte.

[extensión]. ⇑? ⇓ número (irracional) ⟸ corte (sin línea) Los puntos de corte.

Ahora razonaremos sobre el conjunto de tales cortes A |A 12.

Aquí tendríamos que recurrir a la teoría de conjuntos para demostrar que dicho conjunto existe. Si ℚ existe, existe efectivamente el conjunto de sus partes denotado ℘(ℚ). Ahora un corte es la donación de dos partes complementarias de ℚ. Es, por tanto, la do-nación de dos elementos de ℘(ℚ); bien podría decirse que es un elemento del conjunto ℘[℘(ℚ)], que sí existe ya que ℘(ℚ) existe. El conjunto de cortes es entonces un elemento del conjunto ℘{℘[℘(ℚ)]} que también existe ya que ℘[℘(ℚ)] existe.

Construiremos las cuatro operaciones aritméticas clásicas (con sus elementos neutros) sobre este conjunto de cortes para demostrar que este conjunto es efectivamente un cuerpo abeliano orde-nado (conmutativo) de números. Pero antes de eso (ver el punto de vista de Dedekind más que el de Syros), asegurémonos de que los cortes son ordenables.

Véase más arriba: Dedekind favorece la dimensión ordinal de los números sobre su dimensión cardinal (véase el punto de vista de Frege) y, por tanto, el número 1 (el número 0 para Frege).

Relación de pedidos

A1 |A 2<B |B12⟺A 1⊂B1esdecir ∀a∊A1⟹a∊B 1 Orden de transitividad: x<y e y<z ⟹x<z

Si A1 |A 2<B1 |B2 <C1 |C2 , entonces A1 |A 2< C1 |C 2 Demostración trivial por transitividad de la inclusión

1: adición... → grupo

Nombrerationnel

Coupureconstituée

Coupureconstituante

Nombred’un type nouveau

???

-∞ +∞0

-∞ +∞0

-∞ +∞0

α

β

α+β

18 Adición

Por ejemplo √2+√3 (=1,414...+1,732...=3,146...) Definición: (A |A 12)+(B1 |B 2) := (A 1+B 1)|(A 2+B 2)=C1 |C 2

es decir • c∊(A 1+B1 )=C1 si ∃(a∊A1 y b∊B1 ) con a+b≥c ; • en caso contrario, es ∊(A 2+B 2)=C 2 14

Entonces es necesario comprobar que (A 1+B 1)|(A 2+B 2) es un corte, es decir, que 1) cualquier racional pertenece a (A 1+B 1) o (A 2+B 2) ;

Demostración: por definición del corte aditivo, disponemos cualquier racional en un lado o en otro. Para un determinado q : • Sea ∃(a∊A 1y b∊B1 ) con a+b≥q y entonces q∊(A 1+B 1)=C 1 • Sea ∄(a∊A1 y b∊B1 ) con a+b≥q, entonces q∊(A 2+B 2)=C 2

2) cualquier racional de (A 1+B1 ) es menor que cualquier racional de (A 2+B 2) ; Demostración c∊C 1⟺∃(a∊A 1y b∊B1 ) con a+b≥c c'∊C2⟺∄(a∊A1 y b∊B 1)con a+b≥c' Entonces no podemos tener c'<c porque entonces c'<c≤a+b ⟹c'∊C1!

3) las dos partes (A 1+B 1) y (A 2+B2 ) son adyacentes, es decir, ∀ε>0∊ℚ ∃c∊(A 1+B 1) y ∃c'∊(A 2+B 2) tal que (c'-c)<ε. Demostración constructiva. Sean a y a' tales que (a'-a)<ε/4 (existen porque A1 |A2 es un corte) y sean b y b' tales que (b'-b)<ε/4 (también existen porque B1 |B 2es un corte). Entonces [(a'+b')-(a+b)]<ε/2<ε y así, si tomamos c=a+b y c'=a'+b', tenemos c'-c<ε

4) Todavía es necesario comprobar que esta adición de los cortes corresponde a la adición de los racionales! Sean los números racionales α y β correspondientes a los cortes A |A 12y B1 |B 2 Entonces cualquier número c∊(A 1+B 1)=C 1es tal que c≤a+b< α+β porque a< α y b< β. Y ningún número c'∊(A 2+B 2)=C2 es tal que c'< α+β porque entonces tendríamos un racional positivo q tal que

q=α+β-c'⟹c'=(α-q/2)+(β-q/2) Y en este caso, como α-q/2<α∊A 1y β-q/2<α∊B 1⟹c∊C1 !

Así que el corte C |C12 se produce efectivamente por la suma racional α+β. Diremos que a los números x e y definidos respectivamente por los cortes A1 |A 2y B1 |B 2, aso-ciamos el nuevo número z=x+y asociado al corte (A 1+B 1)|(A 2+B 2).

Conmutatividad y asociatividad de la suma (A 1+B1 )|(A 2+B2 )=(B 1+A 1)|(B 2+A 2) (A 1+[B 1+C1 ])|(A 2+[B 2+C2 ])=([A 1+B 1]+C 1)|([A 2+B 2]+C 2)

Demostraciones laboriosas pero con cálculos triviales...

Elemento neutro de adición: 0 Sea el corte 0:=negativo|positivo = N|P Tenemos x+0=x con x=A |A 12

Demostración A1 |A 2+N|P=(A 1+N)|(A 2+P).

14 Por tanto, no es necesario plantear c'∊C 2⟺ ∃ (a'∊A 2y b'∊B2) con a'+b'≤c'. C2se define como el com-plementario de C 1en ℚ.

19 Pero si x∊(A 1+N) entonces x≤a+n (con a∊A1 y n∊N es decir n<0), entonces x<a y por tanto x∊A1. Y si x∊(A 2+P), x∉(A 1+N), entonces x∉A 1⟹x∊A 2 Por lo tanto (A 1+N)|(A 2+P)=A1 |A 2

Operación inversa a la suma: la resta

Por ejemplo √2-√3 (=1,414...-1,732...=-0,318...)

Atención: ¡hay que dar marcha atrás! -(A1 |A 2) := (-A 2)|(-A 1)

Hay que demostrar que A1 |A 2-(A1 |A 2)=A1 |A 2+ (-A 2)|(-A 1)=0=N|P Principio de la demostración : A1 |A 2-(A1 |A2 ) = A |A1 2+ (-A 2)|(-A 1) = {a'|a'-a} Como a∊A 1y a'∊A 2, a< a'⟹a+(-a')=a-a'<0 y a'+(-a)=a'-a>0 Por tanto, tenemos el corte 0=N|P

Grupo de aditivos Por lo tanto, tenemos un grupo aditivo.

2: multiplicación... → cuerpo

Multiplicación Por ejemplo √2.√3=√6 (=2.449...)

Para x=A1 |A2 e y=B1 |B2 , definimos x.y := (A1 |A 2). (B1 |B 2) = A 1B1 |A 2B 2 Hay que demostrar que se obtiene un corte de esta manera y que este corte cubre la multiplica-ción de los racionales. Hay que examinar tres casos: - dos números positivos ; - un número positivo y un número negativo; - dos números negativos.

Demostración para dos números positivos: x y 0.a|a' 0.b|b'

1) cualquier racional pertenece a A 1B 1o a A 2B 2; 2) cualquier racional de A 1B 1es menor que cualquier racional de A 2B 2:ab< a'b' 3) las dos partes son adyacentes: ∀ε>0, ∃a,a',b,b', tal a'b'-ab<ε

Esto se hace mediante a'b'-ab=(a'-a)b'+a(b'-b). ¿Podemos asegurar que (a'-a)b'+a(b'-b)< ε? Sea (a'-a)=αε y (b'-b)=βε ⟹(a'-a)b'+a(b'-b)=(αb'+βa)ε Asegurar (αb'+βa)ε<ε es asegurar que αb'+βa<1. Dos casos:

• a< b'⟹αb'+βa< b'(α+β) • b'<a ⟹αb'+βa<a(α+β)

En ambos casos, podemos elegir α y β tan pequeños como queramos para que b'(α+β)<1 o a(α+β)<1. Para ello basta, en el caso por ejemplo de que a< b', darse un b' 0con b'< b' 0y lue-go elegir un β tal que (b'-b)<(b' 0-b)=βε<ε y finalmente elegir un α tal que b'(α+β)< b' 0(α+β)<1. Lo mismo para el caso en que b'<a.

-∞ +∞0

A2A1

-∞ +∞0

-A2 -A1

20 Es más complicado para los otros dos casos, pero la lógica es la misma.

Elemento neutro de la multiplicación: 1 Sea 1:= α|1 β con α<1 y β>1 Hay que demostrar que ∀x=A1 |A2 , tenemos x.1=x es decir (A1 |A 2). (α| β1)=A |A 12

Vemos que aα<bβ si a<b y que entonces tenemos α<1<β...

Operación inversa de la multiplicación: la división Por ejemplo √2/√3=√(2/3) (=0,816...)

Atención: 1

A!|A" ∶=

1A"|1A!

con (A!|A"). (

1A"|1A!) = 1

En particular, hay que demostrar que los dos conjuntos son adyacentes. Principio de la demostración Encuentra a y b tales que ∀ε>0, (1/a)-(1/b)<ε ⟺(b-a)/ab<ε. Elegimos un a0 tal que a>a 0y b>a 0⟹ab>a 02⟹1/ab<1/a02 Basta entonces con tomar b-a<εa02... También es necesario comprobar que 1/x := 1/b|1/a es la inversa de x=a|b...

Demostración en el ejercicio...

Conmutatividad y asociatividad de la multiplicación x.y=y.x x.(y.z)=(x.y).z


Distributividad x(y+z)=xy+xz


Cuerpo ℝ En total, obtenemos el campo conmutativo (abeliano) de los reales llamado ℝ donde cualquier número real se caracteriza como un corte en ℚ.

Por supuesto, para ello hay que imaginar cortes no sólo "algebraicos" sino también "tras-cendentales": por ejemplo, el corte que separa los racionales entre aquellos para los que 2x será menor que el perímetro de un círculo de radio 1 y aquellos para los que 2x será mayor (lo que equivale a comparar 2x con 2π).

El cuerpo de realidades está completo para la operación de corte. Podemos definir, con la misma definición, un corte en los reales. Es fácil comprobar que cualquier real se clasifica así, que cualquier racional se clasifica así, y que por tanto este corte en ℝ, siéndolo igualmente en ℚ, sí define un real.

Demostremos que un corte en ℝ sí define un real. Sea A1 |A2 un corte en ℝ. Supongamos que no define un real. Tomemos entonces el mismo corte en ℚ que define un real a. Este real debe entonces per-tenecer a A 1o a A 2(ya que se supone que el corte no define ningún real). Supongamos, por ejemplo, que a∊A 1. Entonces, como a no "corta" a A |A12 , es que ∃b∊ℝ con b>a y b∊A1 . Pero entonces ∃q∊ℚ tal que a<q<b∊A1 lo cual no es posible ya que a está definido por el corte A |A 12en ℚ. Así que el corte sí define un real. Cqfd

21 ℝ está completo para la operación de corte. Además, ℝ es analíticamente completa porque cualquier secuencia de Cauchy allí es convergen-te.

Hay que tener cuidado de distinguir esta completitud analítica de la incompletitud alge-braica de ℝ (cualquier polinomio en ℝ de orden n no tiene n soluciones reales).

22 ANEXO 2: LOS DIFERENTES NÚMEROS

ℕ ⊂ℤ [⊂𝔻] ⊂ℚ [⊂𝔸] ⊂ℝ ⟹bifurcación: ℝ ⊂𝕊/ ℝ ⊂ℂ [𝔻: decimal (expansión finita); 𝔸: algebraico; 𝕊: surrealista] ℤ es un grupo aditivo y un anillo (incluso es el prototipo de la estructura de anillo). ℚ es un cuerpo, denso en ℝ, pero no completo (cualquier secuencia de Cauchy no converge en él) y no acotado superiormente. El contable incluye 𝔸. El continuo comienza con ℝ (por lo que necesita números trascendentales, es decir, números no algebraicos, que son por tanto los "responsables" del salto de cardinalidad). Después de ℝ, hay que elegir entre dos propiedades: el orden (por tanto, 𝕊 por nuevos "cortes") o la algebraicidad (ℂ = cierre algebraico de ℝ). Bifurcación del camino extensivo: por cortes de un nuevo tipo (preservando la propiedad de or-den), por extensión algebraica (asegurando la existencia de soluciones a los cálculos algebrai-cos). Un Número, "el dato conjunto de un ordinal (la materia del Número) y una parte de este ordinal (la forma del Número)" (Alain Badiou), es pues la naturalidad puesta en forma.

23 ANEXO 3: AMPLIACIONES Y EXTENSIONES

Tres tipos diferentes de revoluciones La modernidad matemática revoluciona la matemática clásica y, por tanto, toda la intelectuali-dad. Al hacerlo, saca a la luz una nueva forma de revolucionar un dominio, que llamaremos de adi-ción-extensión, para la que la obra aritmética de Dedekind servirá de paradigma. Esta nueva forma de revolucionar un campo determinado es diferente y opuesta a otras dos: por destrucción-reconstrucción y por abandono-desplazamiento. Estas tres vías RED [R(econstrucción)-E(xtensión)-D(eemplazamiento)] conforman un hexá-gono lógico:

Con Dedekind, podemos examinar en detalle lo que significa la adición-extensión.

Cinco características de la revolución de la EA La idea de revolución por AE es la siguiente: se revolucionará una situación de partida añadien-do una operación inmanente que, aplicada a todos los elementos de la situación, la ampliará en proporciones inconmensurables. 1) La operación añadida es endógena, intrínseca: no es una manipulación externa sino totalmen-

te inmanente. 2) Esta operación no se limita a añadir a las operaciones internas existentes y no se limita a

añadir nuevos elementos, sino que recombina el conjunto de lo que existe, y es en este senti-do que es una adición y no una simple adición lateral, no la adición de una extensión, no una simple complementación.

3) Esta operación de adición conduce a una nueva situación en la que lo antiguo no se destruye sino que se circunscribe como una especie de reserva, bodega o desván: lo antiguo se incor-pora a lo nuevo y se conserva como tal; no se disuelve en lo nuevo sino que permanece, con sus propios rasgos originales de antigüedad, en un espacio delimitado.

4) Por otro lado, el tamaño del nuevo espacio es inconmensurablemente mayor que el antiguo: las relaciones de tamaño entre ambos no son medibles con los antiguos estándares.

5) Finalmente, un último rasgo no desdeñable: este salto cuantitativo y cualitativo tiene como contrapartida una renuncia delimitada; hay en cierto modo un precio que pagar por este EA, un precio que no es exorbitante a la vista de la considerable ganancia, un precio circunscrito pero real.

Alcance en las matemáticas modernas antes de Cantor

adición (inmanente)

extensión (desproporcionado)

renuncia (circunscrito)

Destruction-Reconstruction

Traitementde la situation

de départ

Persistancede la situation

de départ

Adjonction-Extension

Abandon-Déplacement

RévolutionsRED

Inacceptabilitéde la situation

de départ

24

aritmética Dedekind cortes racional → real discreto → continuo enumerabilidad

geometría Gauss curvas espacios no euclidianos la unicidad de la pla-nitud euclidiana

álgebra Galois grupos ecuaciones polinómicas solubilidad clásica análisis Cauchy imaginario real → complejo pedir

topología Riemann atlas

(hiper)superficies → varieda-des

intrínseco: conocimien-to→constitución

univocidad funcional

… Hamilton + 2 dimen-siones

Complejos 2D → Cuaterniones 4D conmutatividad

Ejemplos de los tres tipos de revoluciones Evocaremos el significado intelectual general de esta tripartición con los siguientes ejemplos tomados de las matemáticas, la política y el psicoanálisis.

Dos ejemplos matemáticos

Destrucción - Reconstrucción

Adición - Extensión

Abandono - Desplazamiento

Los inicios de la modernidad matemática ⟹revolución

?

• aritmética clásica de Dedekind (suma de cortes)

• del análisis clási-co de Cauchy (adición de i)

• de la geometría euclidiana por Riemann (adición de un atlas)

cálculo diferencial de Cauchy

Infinitesimal

Conway reconstruye todos los números (surreales),

incluidos los surreales infi-nitesimales, por pares {un ordinal, una parte de ese

ordinal}

Robinson (análisis no estándar) infinitesimales axio-máticamente adya-centes

Cauchy abandona los infinitesimales y despla-za el cálculo diferencial con su noción de límite (método ∀ε∃δ)

25 Tres ejemplos políticos




Revoluciones históricas

La Revolución France-sa

La revolución bolche-vique

(destrucción del viejo estado - reconstrucción

de un nuevo tipo de estado)

La revolución comu-nista en un país socia-lista (adición de las Comu-nas Populares y Obre-ras...)

Revoluciones de esclavos : • Spartacus • Quilombos en Brasil

(siglo XVII) En la Revolución Democrá-tica de China, las zonas liberadas que rodean las ciudades con el campo

Revoluciones chinas

Revolución socialista (1953)

Revolución comunista (1958 & 1966)

Revolución democrática (1927: rodear las ciudades

con el campo)

Diseños de la Revolu-ción Comunis-ta

por Lin Piao

por Mao (adición de movi-mientos comunistas de masas para un nuevo tipo de partido)

por UCF-ml (abandonar el Partido y pasarse a las organizaciones políticas)

Un ejemplo psicoanalítico




Lacan revolucio-na el psicoanáli-sis

en 1980 disolución de la FEP

15y fundación de la FEC 16(1981)

en 1953 añadiendo una "vuelta a Freud" a la IPA 17 y am-pliándola mediante un PFS 18

en 1964 dejar la IPA y la SFP para fundar la EFP

15 Escuela freudiana de París 16 Escuela de la Causa Freudiana 17 Asociación Psicoanalítica Internacional 18 Sociedad Francesa de Psicoanálisis

26 ANEXO 4: ESCRITOS DE DEDEKIND

Utilizo aquí la traducción de Claude Duverney (Tricorne) (véase la documentación final).

Continuidad y números racionales (1872)

Prefacio Descubrimiento/invención de los billetes el 24 de noviembre de 1858 en la Escuela Politécnica

Federal de Zúrich Falta de una base verdaderamente científica para la aritmética (9) La intuición geométrica es didácticamente indispensable pero insatisfactoria ⟹ necesita encon-trar un fundamento puramente aritmético para el análisis diferencial. Ni la más mínima explicación de la continuidad ⟹ adquirir una verdadera definición de la esen-cia de la continuidad §10) La esencia de la continuidad: el dominio de los números reales es completo. (11)

§1 Propiedades de los números racionales El acto aritmético más sencillo [es] el de contar. (13) La adición es la reducción a un solo acto de una repetición de ese acto. La limitación de las posibilidades [...] es la verdadera razón de un nuevo acto de creación. Una propiedad aún más importante de ℚ que ser un cuerpo es que es un dominio ordenado. (14)

Cf. un número = un recuento y un orden, pero este último es aún más importante que el primero (¡véase los complejos!). Nota: Dedekind denota ℚ por R y ℝ por ℛ.

La aritmética no debe depender de representaciones que le son ajenas, como las representaciones geométricas

§2 Comparación de números racionales con puntos de una recta La analogía entre los números racionales y los puntos de una recta da lugar a una verdadera co-rrespondencia. (17)

§3 Continuidad de la línea recta Afirmo que la aritmética se desarrolla a partir de sí misma. (19) Debemos tratar de definir los números irracionales completamente por medio de los números racionales solamente. El objetivo es proporcionar un carácter preciso de la continuidad. (20) Por fin he encontrado lo que buscaba. El descubrimiento consiste en esto: cualquier punto de la línea genera una división de la línea en dos partes tales que cualquier punto de una de sus partes se encuentra a la izquierda de todo lo de la otra. Entonces encuentro la esencia de la continuidad en la recíproca: si todos los puntos de la línea se dividen en dos clases tales que cualquier punto de la primera clase se encuentra a la izquierda de cualquier punto de la segunda, entonces hay un y sólo un punto que produce esta división, este corte de la línea en dos partes. No es necesario que el espacio sea continuo. (21)

El corte constitutivo es recíproco al corte constituido. La integridad, no la densidad, caracteriza la continuidad. La continuidad no es una propiedad geométrica.

§4 Creación de números irracionales [Ordena los cortes antes de calcular/contar con ellos] (25)

§5 Continuidad del dominio de los números reales En el corte A1 |A2 por el racional α, α puede ser asignado a la primera o segunda clase.

§6 Cálculos con números reales Me ceñiré al ejemplo más sencillo: la suma. (31)

27 A1 |A 2+B1 |B2 =C1 |C2 : cualquier racional q está ordenado en C1si ∃a 1∊A 1y b 1∊B 1tal que a 1+b ≥c 11. En caso contrario, q se ordena en C 2.

Tenga en cuenta ≥ y no = ! Teoremas genuinos como √2.√3=√6 no han sido demostrados hasta ahora. (32)

Volvió sobre ello varias veces en su correspondencia con Lipschitz (que no estaba de acuerdo), insistiendo en que era necesario construir la multiplicación de los irracionales y no conformarse con suponer que opera como en los reales. Por ejemplo, "demuestre" esto escribiendo

La terrible pesadez de la formulación de la proposición [que detalla lo que significa que las ope-raciones aritméticas posean continuidad] nos convence de que hay que hacer algo aquí para ayu-dar al lenguaje. (33)

Punto clave: la formalización para no estandarizar o medir el pensamiento matemático con una formulación lingüística.

§7 Análisis infinitesimal El teorema "si x es creciente y está acotado, entonces x se aproxima a un valor límite" es equiva-lente al principio de continuidad. (34)

El interés de definir la continuidad-compleción por cortes se mostrará más adelante: se completan los raciona-les por todos los irracionales en una sola operación.

Correspondencia con Lipschitz (1876) Véase la oposición entre el punto de vista aritmético de Dedekind y el punto de vista geométrico

de Lipschitz

Dedekind (10 de junio) No soy nada sensible. (40) Me guardé mi concepción de los números racionales durante casi catorce años. El teorema que he demostrado es: el sistema de todos los cortes en el dominio intrínsecamente discontinuo de los números racionales constituye una variedad continua. (41) La mayoría (en realidad casi todos) de los teoremas que componen el edificio de la aritmética no han sido demostrados hasta ahora y, para llevar la contradicción al extremo si es posible, digo que el teorema √2.√3=√6 no ha sido demostrado aún. Naturalmente, he examinado toda una serie de obras de diversos países y ¿qué encuentro? Nada más que los círculos viciosos más burdos como: √a√b=√ab, porque (√a.√b)2=(√a) 2.(√b) 2=ab; no hay la menor explicación del producto de dos números irracionales que precede al teorema (m.n) 2=m 2.n 2, demostrado para los números racionales m, n y aplicado sin ninguna duda también a los números irracionales. Pero, ¿no es verdaderamente repugnante que la enseñanza de las matemáticas en las escuelas se considere un medio eminentemente eficaz para la formación del entendimiento, mientras que ninguna otra disciplina (como la gramática, por ejemplo) toleraría ni por un solo momento violaciones tan flagrantes de la lógica? Si no se puede proceder científicamente, o si no se puede hacer por falta de tiempo, que al menos se sea honesto y se admita con la misma franqueza ante los alumnos que ya están tan inclinados a creer en un teorema por la palabra del profesor; eso sería mejor que ahogar este sentido puro y noble de la verdadera demostración mediante el uso de pseudodemos-traciones. (41-42) La introducción de magnitudes en la doctrina pura de los números no me gusta. (42)

Cf. magnitudes = geometría y números = aritmética Ver ya la separación por Aristóteles para las demostraciones... Enlace (43) a través del número como relación entre magnitudes del mismo tipo: cf. número x magnitud = magnitud (¡no número!)

Lipschitz (6 de julio) Euclides concibe una cantidad como determinada por la medida de una línea definida. (47)

Sostiene que su concepción del corte aritmético ya estaba en funcionamiento geométrico en Euclides.

Dedekind (27 de julio) Ahora tengo pocas esperanzas de que podamos llegar a un acuerdo. (51)

28 Quiero dejar lo más claro posible mi punto de vista frente al tuyo. Integridad o continuidad (52, 53, 55)

Cf. para Dedekind es la continuidad de un conjunto y no de una función. Y para un conjunto, considera que la continuidad no está asegurada por su densidad sino que continuidad=completitud.

Con el corte, los números irracionales pueden definirse de una vez sobre la base de la aritmética de los números racionales únicamente, sin recurrir por tanto al concepto bastante oscuro y com-plicado de magnitud y, lo que es más importante, con esta completitud suficiente (continuidad). (53) Basar la aritmética en el concepto de relación de magnitudes no es en absoluto suficiente. (54)

Nótese que, a diferencia de Aristóteles, rechaza tal fundamento pero no necesariamente que una demostración aritmética pueda recurrir a la geometría...

Nada es más peligroso en matemáticas que suponer la existencia de cosas sin pruebas suficien-tes.

Para las "cosas", véase más abajo... El uso de la geometría como base de la aritmética pura es totalmente contrario a mis inclinacio-nes. (56) Para mí, el concepto de espacio es totalmente independiente, totalmente separable de la represen-tación de la continuidad.

¿Qué son los números y para qué sirven? (1888)

Prefacios En la ciencia, lo que es demostrable no debe ser admitido sin demostración. (61)

Cf. ¡Si se puede, se debe! Considero que el concepto de número es totalmente independiente de las representaciones o in-tuiciones de espacio y tiempo. Los números son creaciones libres de la mente humana, sirven como medio para aprehender más fácil y finamente la diversidad de las cosas. Ver la capacidad de la mente para relacionar las cosas con las cosas (62) A partir de los llamados números naturales, el concepto de número debe ampliarse progresiva-mente sin implicar representaciones extrañas (como las cantidades medibles). (64-65)

1. Por cosa me refiero a cualquier objeto de nuestro pensamiento. Para poder hablar convenien-temente de las cosas, las designamos con signos, por ejemplo, con letras. (79) Una cosa está perfectamente determinada por todo lo que se puede decir o pensar sobre ella. 2. Por alguna razón, excluiremos aquí el sistema vacío, aquel que no contiene elementos, aunque puede ser conveniente concebirlo en otras investigaciones. (80)

Véase AB (Números y Cifras, 25) 59. Teorema de inducción completa

Dedekind demuestra la validez de la demostración por recurrencia o inducción... 64. Definición. Se dice que un sistema S es infinito si es similar a una de sus partes propias; en caso contrario, S es un sistema finito. (99)

"Sistema" = el conjunto "Similar" = equipotente (hay una biyección)

66. Teorema. Hay infinidad de sistemas. Teorema y no axioma !!!

Demostración. El universo de mis pensamientos, es decir, la totalidad S de todas las cosas que pueden ser objeto de mi pensamiento, es infinito.

Dedekind postula que esta totalidad existe, es decir, ¡es un sistema-conjunto! Se sitúa entonces en lo que se llamará la teoría ingenua de los conjuntos. Más adelante, la paradoja de Russell demostrará que no es así. Nótese que, para Dedekind (§1), {pensamientos}={objetos de pensamiento}={cosas} !!!

Pues si s designa un elemento de S, entonces el pensamiento s' según el cual s puede ser objeto de mi pensamiento, es a su vez un elemento de S.

29 s' se diferencia de s del mismo modo que el pensamiento (el pensamiento sobre el pensamiento) se diferencia del mero pensamiento: pensar en la música es una cosa; pensar en el pensamiento musical (es decir, pensar musicalmente o reflexionar sobre la música) es otra.

[S' es la parte generada por s, s', s", etc. ] S' es, en efecto, una parte propia de S porque hay ele-mentos en S (por ejemplo, mi propio yo) que son diferentes de cualquier pensamiento s' y que, por tanto, no están contenidos en S'.

Para demostrar que S'≠S, hay que exhibir un pensamiento, un elemento de S, que no está en S'. En cuanto a Dedekind (§1), {pensamientos}⟷{objetos del pensamiento}⟷{cosas}, es necesario liberar un pensamiento que escapa a la valoración por un objeto específico del pensamiento y él expone el Cogito es de-cir, este pensamiento específico cuyo objeto propio es sólo el hecho mismo de pensar. Llama a este objeto to-talmente singular "mi propio Yo" en una especie de equivalencia postulada entre "yo me pienso" y "yo pienso". Dedekind fundamenta así la existencia del infinito en lo que Sartre llama "el cogito prerreflexivo" 19y, por tan-to, en la categoría específicamente filosófica de sujeto.

[Por consiguiente, S [que contiene una parte propia infinita S' como ella misma] es infinito. (99-100)

Su "demostración" es claramente filosófica y en absoluto matemática, aunque sólo sea porque pivota entera-mente sobre una noción filosófica (el Ego, ¡hasta ahí llega el tema!) y en absoluto matemática. Sobre todo esto, véase el capítulo 4 de AB: 1) Dedekind es cartesiano a través del Cogito, que excluye el inconsciente (hay pensamientos que no son

pensados como tales y que, por tanto, escapan al conocimiento) y, por tanto, el "sistema" de Dedekind no puede ser todo pensamiento;

2) Dedekind es spinozista por la idea de la idea que legitima la idea de continuación recurrente, pero esta re-currencia de carácter spinozista no puede ser fundacional ya que, en Spinoza, esta recurrencia no es en ab-soluto constitutiva de la idea de infinito, sino que se constituye como tal por la infinitud de la sustancia previamente planteada.

3) (pero esta recurrencia no puede ser fundacional: no es constitutiva sino que está constituida en Spinoza por la infinidad de la sustancia).

71. Definición. Se dice que un sistema N es simplemente infinito [es decir, contable] [a grandes rasgos, si existe una aplicación de la sucesión a partir de un elemento primo tal que todo elemen-to de N pertenece a esta sucesión]. Llamamos a este elemento, que denotamos con el símbolo 1 en lo sucesivo, el elemento base de N.

Por tanto, Dedekind basa los números naturales en el 1 y no en el 0. 73. [Definición de los números naturales como números ordinales].

De ahí que Dedekind discuta entonces el orden de los enteros (§81, mucho antes de su adición: §135). Es porque Dedekind está a favor de la dimensión ordinal de los números enteros que los comenzó con 1. AB lo opone a Frege que privilegia su dimensión cardinal y luego parte de 0, es decir, de la cantidad cero.

19 Ver AB p. 55

30 DOCUMENTACIÓN

Escritos de Dedekind - traducción de Hourya Benis Sinaceur: La création des nombres (Vrin, 2008)

31 - traducción de Claude Duverney: Traités sur la théorie des nombres (ediciones Tricorne,

2006) - traducción de Judith Milner : Números - ¿Qué son y para qué sirven? (Ornicar, 1978) Sobre Richard Dedekind - Una aproximación ideal a la teoría de números (coll. Génies mathématiques, 2018) - Alain Badiou: El número y los números (especialmente el capítulo 15)

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la teorÍa aritmÉtica de los cortes de dedekind (1858

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