MATEMTICA " S

La Revista Dominicana

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MATEMTICA " S

La Revista Dominicana

UN NMERO MUY CURIOSO

142,857 x 3 = 428,571 142,857 x 5 = 714,285 142,857 x 7 = 999,999 142,857 x 9 = 1,285,713 142,857 x 11 = 1,571,427

142,857 x 4 = 571,428 142,857 x 6 = 857,142 142,857 x 8 = 1,142,856 142,857 x 10 = 1,428,570 142,857 x 12 = 1,714,284

4

MATEMTICA " SHISTORIA DEL

p35 5 11 3

Por qu eres tan irracional? Porque t eres muy compleja

p p = d

22 1 = 3 7 7

3123 = 3.141815..... 994

223 22 < p < 7 7

5

MATEMTICA " S355 = 3.141519292... 113

2

4 4 4 4 4 4 p + = - +..... 1 3 5 7 9 117 8

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Dr. Kreemly Prez.Profesor (UASD)

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1 si Q x : R ( x) = 0,1} ' { 0 si -c Q) x ( Q

( x ) = y

" > e" > 0: 0, a inf {( x ) ' - )} = x + (a e ,a e 0 sup{( x ) ' - )} = x + (a e ,a e 1

( x )a) Sea: c 'c " { Q R, ( xn N xn ) n ' yn } De modo que: xn c, se ve entonces que lim b) Si ( yn N yn ) c "{N } ' n ' yn n : Q Se ve que: limLuego( xn ) = lim ( x ) no 1 \ xn c x c ( xn ) = 0. xn c

existe.

y ( x ) es discontinua en todo c R, con discontinuidad ( x ) es llamada, as, la funcin discontinua de singular. yDirichlet. Se puede decir que: ( x ) es continua en ninguna parte y derivable en ningn punto.11 12

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Sea: f :D c R R, D; ( xn ) 'c " { } xn N n ' xn n N . Si lim f ( xn ) = f ( x ) = L lim Lxn c x c

f ( x) g ( x)

' f .g ) f ' ( x ) g f ( x) g ( ( x ) = ( x ) +' ( x )

f .g ) (( x )

f .g ) (( x )f (x) = (x)D= R

f ( x) g ( x)

f ( x ) = g ( x ) =) y]) y ( x ) - ( f x ) =- x 1 y g )( (x ) = (1 0( [y f ( x) g ( x)

Teorema 4 Si

f ( x ) son diferenciables siendo g ( x) f g ( x ) diferenciable y 0 " ( x ) es x g ' f f ' ( x ) g ( x ) -( x ) f ( x) g ' ( x) = g g 2 ( x)

f += g ( x ) g ( x) ( )f ( x ) +

(f + g )( x )

f ( x) = g ( x) = ( f + [ y y ( x ) y g )( x ) = ( x) y = + 0 ()] f ( x ) ni g ( x )

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f ( x) g ( x)

f + (x) (g )

f ( x) g ( x)

Recproco

f ( 0 " x x), siendo g ( x) g

f

(x)

g (x)

Tomemos: f ( x ) =-y g ( x ) = siendo y( x ) ] ( x) [ 1 y 1+ y 1 y [ 0 x . ] f y g ( x ) x ) = 0"( x: ( x) = ) ( g 1+ y 14

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f ( x) g ( x)

COMPORTAMIENTO DE LOS IDEALES MAXIMALES Y PRIMOS A TRAVS DE HOMOMORFISMO EN EL ANILLO DE LOS ENTEROS.

Rosa Mara Almonte Batista, M.A.Profesora (UASD).

a, b] [ Rb( x) a

b ( x)

y y dx 0 ydx b a = =a

Los ideales primos y maximales son los ms destacados en la coleccin de ideales de un anillo. Un ideal en el anillo Z es un subconjunto no vaco I en el cual se verifica que:Ahh con que yo soy un anillo y tengo ideales!

b

y dx no existe.( x) a

a, b] [

Si =b

Sr =y ( x)

y = a b a

Un ideal propio I de Z es maximal si dado otro ideal J de Z con la condicin de que I J se tiene que J = I J = Z. Mostrar el comportamiento de los ideales primos y maximales en el anillo de los enteros Z a travs de homomorfismo se puede analizar en las demostraciones de proposiciones establecidas en el desarrollo de la teora de ideales en un anillo. Para una mayor comprensin se describe la caracterstica de los ideales del anillo Z. Los ideales del anillo Z son de la forma nZ. Los ideales primos de Z son de la forma p, donde p = 0 p es un nmero primo. Es decir, los ideales maximales de Z son los primos no nulos.15 16

!

( x)

1) a + b I, para cualesquiera elementos a, b I. 2) ab I, para cada elemento a I, b Z.

Si Z es un anillo, los ideales diferentes de Z se conocen como ideales propios de Z. Un ideal propio I de Z es primo si dado dos elementos a,b de Z tales que ab I para lo cual a I bien b I.

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Curioso

MATEMTICA " SMATEMTICO CLEBREJorge Alejandro Blanco. M. A. Profesor (PUCMM)

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Vctor Jos Galn Cspedes, M. A. Profesor de(UNIBE)

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MATEMTICA " Scuadrados mnimos surgi en relacin con los grandes trabajos geodsicos; en la actualidad, por influencia directa de las exigencias de nuevas ramas de la tcnica, obtienen un desarrollo impetuoso muchas ramas de las matemticas (el anlisis combinatorio, los mtodos aproximados de resolucin de ecuaciones diferenciales e integrales, la teora de grupos finitos, etc (Ribnikov, 1974). Es as como, en estos momentos en que el desarrollo de la ciencia matemtica ha alcanzado niveles superiores, es imposible que se hable de algn hecho tcnico o cientfico que no envuelva, directa o indirectamente, algn contenido matemtico. Ahora bien, el que los estudiantes puedan llegar a aprender esos contenidos no implica que sean matemticos profesionales; lo que se requiere es que una persona, en una institucin, con planes claros y directrices bien establecidas, se ocupe de dirigir acciones con la motivacin adecuada y suficiente, que permitan el manejo de esos contenidos (su aplicacin) en la vida diaria de los estudiantes. El mensaje es sencillo: cualquiera puede aprender las matemticas de uso diario con el mtodo adecuado (Charles Seiter, 1996).

DOS NMEROS AMIGOS

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z1 y z2z2 < b.

P ( z1 ) = z2zi

z1 < a,

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ak z n -k

ak = 0 =. z r nk r an - 2 a a a 1 an + n - + 0 +..... n1 1 +an +-n (2) 2 z z z zz

f (z) z 0 cuando f ( z ) todo z 1 para R.

f (z) =, y ) ( u( + ) x v ( ) x, y ) (

2

2

f (z)z R. f (z) K z f (z) R K f ( z ) { toda z. M = ,1} max K para

z R.f (z) 1 z R,

1 f (z) = P( z )

P( z ) 0

n 1 P ( z ) = an-+1 z + an z n + - + 0 . ..... a a 1z

1 1 1 f (z) = n = (1) p( z ) an - 2 a1 z a + an - + a0 1 +..... n - n + 1+ n z z2 z z31 32

MATEMTICA " SSABAS QUE?No lo Saba

1- La derivada un medio existe y es:1 d 2 p 2 p - o f = i = i . 1 4 4 dx 2 1

Es decir, para f ( x ) = x la derivada un medio de f evaluada en p es igual a la unidad imaginaria (I). Imagneselo! 4

2- La matriz

1 i M = i= 1 tiene propiedades i 1 n1

especiales con el producto de potencias naturales.3 Verifique esta: M 4 n -( 2 2 (M = n- 1) 1)

3- Franois Vite (1540-1603) fue el primer matemtico en introducir las letras (x, y, z) para representar variables, adems, es quien, en su obra Canon Matemticas Seu Ad Tringula, da uso sistemtico por primera vez a los nmeros decimales empleando la coma y a veces una ralla vertical para separar la cantidad entera de la decimal. Fue el primero en aplicar el lgebra a la trigonometra y quien descubri la ley de los csenos. 4- Francisco Maurolico (1494-1575) fue quien utiliz el principio de induccin matemtica por primera vez para 2 demostrar que: 1 + 7 +2a + + 3 + ..... + = 5 + () 1) 1 ( a 5- Los smbolos + y - fueron creados por Johann Widmann, el smbolo = por Recorde y por Rudolff, antes del ao 1500. 6- John Napier (1550-1617) crea los logaritmos en 1614 en una obra titulada Marifici Logarithmorum Canonis Descriptio. En su origen los logaritmos fueron creados para estudiar el concepto geomtrico- mecnico de los puntos en33

1) Log (ab) = ) + ) Log (a Log (b a 2) Log Log (a ) - ), b = Log (b 0 b 3) Log ( x) n =( x) n Log

(> ,< ,= )

( 0 0 cos t ) sen ( t ) Bt ( ( cos t ) t ) isen e Bt = + i e = 0 cos ( ( 0 t )sen t ) isen ( ( t) t) cos

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MATEMTICA " S1 i 1 B = 1 2n - 4 n- M 2 M = i= 1 n- 1 i 1 1) (2

0 i B = i= 1 i 0

Bn

in

0 i B = 0, 1, 2, 3.. n= i 0

eip = + 1 0

Concha de un Nautilus

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m m = = 1 1 0 m 5- Integrales:1

P ( = A) A + P 1

6- Logaritmos:

4 x 2 dx = 1- p0

ln(e) = 1 log b (b) = 1 (log a (b))(logb (a )) = 1log(- ip e) = 1+

1 dx 1 = x 1

e

1+ 1 ip n= 1 dz 1+ a) n = n = 2 c ( z - 2,3,4.. 17- Trigonometra:

cos 2 ( 2 ( q q eip ( sin ( + = =) p sin 1 cos p ) + i ) ) 1 1 sin ( (iq cos ( (iq q eiq= e ) q eiq =+ ) ) e ) 2i 2 p cos ( 00 ) tan 1 = 1 = p sin x ) x = sin ()( 4 1 cos -1) sin ( 0 = = ( p np ) 2n 1 p + ()0 p 1 cos - = 2p cos 1) 0 = 1 = ( sin n 2 2

eip = + 1 0Algunas expresiones que contienen la unidad. 1- Elementos recprocos:

b a a =0, b 0 1, b a 2- Factorial:

p f 2 i = = i 1 4 En las prximas ediciones incluiremos otras expresiones y las que ustedes nos hagan llegar.38

1

0! = = 1 1! 137

MATEMTICA " SNOMBRES QUE SON UNIDADES DE MEDIDAS Juan Toribio Milan M. A. Profesor (PUCMM) Genaro Vias M. A. Profesor (UASD)

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1 2 = 4 2

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e!, 100 2 sin ( 0) , tan ()() p tan p kn 2 , kn 2 .

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A2 =1 A3 + Alimlim

lim

x 5

1 = x5

x 5

1 = x5

x 8

1 = x8

5

dn y dx n

A =2 A1 + A

d y d dx10

d

A1

A

A2c) Intntelo con otros polgonos regulares.

d y dxd

d

d y = 10 dx

x 0 = x x

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