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Tlamati Sabiduría Volumen 7 Número Especial 1, Septiembre2016
3er. Encuentro de Jóvenes en la Investigación de Bachillerato-CONACYT
Acapulco, Guerrero 22-24 de Septiembre 2016
Memorias
229
La Razón de Cambio y su Utilidad para Presentar Información
Alma Elizabeth Diego Morales (Becaria)
Unidad Académica Preparatoria No.38, Universidad Autónoma de Guerrero.
Rubén García Alonso (Becario)
Unidad Académica Preparatoria No.1, Universidad Autónoma de Guerrero.
Antonia Garibo Valencia (Becaria) [email protected]
Unidad Académica Preparatoria No.22, Universidad Autónoma de Guerrero.
Dr. Crisólogo Dolores Flores (Asesor)
Unidad Académica de Matemáticas, Universidad Autónoma de Guerrero.
Introducción
Uno de los objetivos principales de la Reforma Educativa actual es que el estudiante
comprenda la utilidad de las matemáticas. Sin embargo la situación es otra. Pues aún está
presente la inquietud del estudiante acerca de cómo se puede aplicar o utilizar la matemática en la
vida cotidiana. Una posible causa de la permanencia de tal situación, es que el profesor es
obligado a terminar su programa de estudio en un tiempo relativamente corto, por tal motivo
limita el tratamiento a profundidad del concepto matemático, sin buscar las conexiones que existe
entre la matemática y el entorno donde se vive. Puede darse el caso que ni el profesor se dé
cuenta de la utilidad y la relación que la matemática guarda con la realidad.
Un concepto que es enseñado desde la educación primaria hasta el bachillerato, es el de
razón o proporción. Cuyo tratamiento en la enseñanza es centrado generalmente en situaciones
idealizadas haciendo referencia solo en el contenido intramatemático, omitiendo el estudio de la
aplicación o correspondencia a otros contextos, principalmente el extramatemático. El concepto
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que en nuestra estancia de verano estudiamos tiene su origen en el concepto de razón. Este en
matemáticas se le concibe como una relación entre dos números enteros, por ejemplo: ½, ¾, 5/3,
etc. En el caso el número ½ significa, “que uno es a dos”, pero también puede leerse como “un
medio, o una mitad”, en el primer caso indica una relación llamada razón, en el segundo se habla
de una fracción. Sin embargo, nuestro interés está centrado en un concepto superior a este, nos
referimos a la razón de cambio. Este se le reconoce mediante una amplia variedad de términos
dependiendo del contexto que se trate. Por ejemplo, en cinemática se le conoce con el nombre de
velocidad o aceleración. En hidráulica se le denomina como gasto (flujo). En electricidad como
intensidad de la corriente, etc. En particular, por experiencia escolar propia, el tratamiento
didáctico de dicho conocimiento estuvo centrado en la relación numérica, presentada con el
nombre de “pendiente”.
Este trabajo de investigación es de corte exploratorio-documental. Tiene como objetivo el
de identificar las formas y usos de la razón de cambio en diferentes contextos, en que es utilizada
para dar o presentar información. Tales contextos se refieren al ámbito de: la medicina, la
tecnología, las ciencias sociales, las ciencias económicas y administrativas, entre otras.
Para el logro del objetivo se indagó en libros de textos y sitios web. En principio para
familiarizarse con el concepto y después, para proceder con la búsqueda de ejemplos de razón de
cambio. Para ello la web fue considerada por nosotros como la principal fuente de difusión de
información.
Nuestro interés principal es que, los estudiantes comprendan que la razón de cambio se
encuentra presente en diferentes contextos y con distintas denominaciones. Y el identificarla e
interpretarla adecuadamente, es de bastante utilidad para comprender, por un lado, este concepto
al interior de la matemática, y por el otro para comprender sus aplicaciones y utilidades en la
realidad circundante.
1. Objetivo
Explorar las formas y contextos en los que se encuentra inmersa la razón de cambio, en los
que se usa y comunica información.
2. ¿Qué es la razón de cambio?
El concepto de razón de cambio en diversos textos aparece con diferentes notaciones, pero a
pesar de ello, en todas las expresiones utilizadas se hace referencia a un cociente de cambios.
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Enseguida se muestra algunas de las definiciones.Para Edwards y Penney (1997, p. 98), la razón
de cambio es:
el cociente de Q en Q, con respecto del cambio t en t, cuya representación simbólica es:
∆𝑄
∆𝑡=
𝑓(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑓(𝑡)
∆𝑡
La representación geométrica de la razón de cambio es la pendiente de la recta secante, tal como
se muestra en la Figura 1.
Por su parte, Piskunov (1977, p. 70), argumentó que:
Cuando x toma un incremento x (positivo o negativo) entonces la función 𝑦 tomará cierto incremento ∆𝑦.
De este modo al valor de x le corresponde 𝑦 = 𝑓(𝑥) y para el valor de 𝑥 + ∆𝑥 le corresponde 𝑦 + ∆𝑦 =
𝑓 (𝑥 + ∆𝑥). Entonces el incremento de la función ∆𝑦 está definido por:
∆𝑦 = 𝑓 (𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓 (𝑥).
Y el cálculo de la razón de cambio se obtiene mediante la siguiente expresión:
∆𝑦
∆𝑥 =
𝑓 (𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓 (𝑥)
∆𝑥
Mientras que para Stewart (2012, p. 147):
Si y es una cantidad que depende de otra 𝑥, entonces y es una función de x y lo expresamos como 𝑦 = 𝑓 (𝑥).
Si x cambia de 𝑥1a 𝑥2, el cambio en 𝑥 (también conocido como incremento de x) es:
∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1
Figura 1. Representación geométrica de la razón de cambio.
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y el cambio correspondiente en y es:
∆𝑦 = 𝑓 (𝑥2 − 𝑓(𝑥1)
Para calcular una razón de cambio se utiliza el cociente de diferencias:
∆𝑦
∆𝑥 =
𝑓 (𝑥2) − 𝑓 (𝑥1)
𝑥2 − 𝑥1
Cuando en la razón de cambio se hace uso de otras variables distintas de x e y, induce a un
cambio en su contexto, teniendo así algunos casos particulares. En el análisis de los libros de
texto se identificaron expresiones cuya fórmula matemática tuviera semejanza con la de razón de
cambio, encontrando lo siguiente.
3. Casos Particulares
a) Velocidad Media
Larson (2010, p. 113) introduce las variables s y t definiendo a la velocidad media como:
La función s que representa la posición (respecto al origen) de un objeto como función del tiempo t se
denomina función de posición. Si durante cierto lapso de tiempo t el objeto cambia su posición en una
cantidad ∆𝑠 = 𝑠(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑠(𝑡), entonces, empleando la consabida fórmula:
𝑅𝑎𝑧ó𝑛 =𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
La velocidad media es:
𝐶𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎
𝐶𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜=
∆𝑠
∆𝑡
Mientras que Piskunov (1997, p. 77) define a la velocidad media de la siguiente manera:
La distancia s del punto móvil, se mide a partir de cierta posición inicial M0, dependerá del tiempo t, es
decir, s será función de t: s=f (t).
Supongamos que en un instante dado t, el punto móvil M se encuentre a la distancia s de la posición inicial
M0 y unos instantes después, t+t, se encontrará en la posición M1, y a la distancia s+ s de la posición
inicial. Por consiguiente, durante el intervalo del tiempo t el espacio recorrido s ha cambiado en una
magnitud s. Se dice que, en este caso, en el intervalo del tiempo t la magnitud s adquirió el incremento
s.
Consideremos la razón ∆𝑠
∆𝑡. Esta representa la velocidad media del punto durante el tiempo t:
𝑣𝑚 =∆𝑠
∆𝑡
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b) Aceleración Media
En el caso de Hernández (2013, p. 97) utiliza las variables v y t definiendo así a la aceleración
media:
Como una medida de la variación de la velocidad. La aceleración es cero si una partícula se mueve sobre
una recta con velocidad constante. Si la velocidad v de la partícula está dada por la ecuación v = v (t), donde
t es el tiempo, entonces la aceleración media de t1 a t, se define como:
𝑎(𝑡) =𝑣(𝑡) − 𝑣(𝑡1)
𝑡 − 𝑡1
c) Pendiente
Otro caso particular de la razón de cambio es la pendiente de una recta, que de acuerdo a Larson
(2010, p. 10) se define como:
La pendiente de una recta no vertical es una medida del número de
unidades que la recta asciende (o desciende) verticalmente por cada
unidad de variación horizontal de izquierda a derecha. Por ejemplo,
consideremos los puntos (x1, y1) y (x2, y2), al desplazarse de izquierda
a la derecha por la recta, se produce una variación vertical de yy una
variación horizontal x tal como se muestra en la Figura 2.
En términos matemáticos diremos que la pendiente m de una recta no
vertical que pasa por los puntos (x1, y1) y (x2, y2) es: 21
12
12 , xxxx
yy
x
ym
La pendiente no está definida por rectas verticales.
Este caso particular usualmente trabajado es el nivel medio superior, pero sin hacer referencia al
nombre de razón de cambio.
d) Gasto
Si en la razón de cambio se utilizan las variables V y t se le denomina como Gasto. En este
sentido Cazares (2015) lo define como:
El volumen de líquido ∆𝑉 que fluye por una unidad de tiempo ∆𝑡. Sus unidades en el Sistema Internacional
son los m3/s y su expresión matemática es:
𝐺 =∆𝑉
∆𝑡
e) Intensidad de la Corriente
Figura 2.
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Otro concepto trabajado en Física con similitud a la razón de cambio es el de intensidad de la
corriente, que de acuerdo a Tipler y Mosca (2005, p.730) es:
El flujo de cargas eléctricas que, por unidad de tiempo, atraviesan un área transversal. Si Q es la carga
eléctrica que fluye a través del área transversal A en el tiempo t, la corriente o intensidad de la corriente I
es:
𝐼 = ∆𝑄
∆𝑡
En conclusión, los casos especiales mencionados en el apartado anterior se consideran
razón de cambio solo que dicho en otro contexto y con diferentes variables, pero marcando
siempre un cambio de una variable respecto a otra.
En el estudio de ciertos fenómenos en ocasiones es necesario analizar el comportamiento de
cambios en intervalos cada vez más pequeños, es decir el interés se puede centrar en conocer la
razón de cambio en un momento en específico o en un instante, en el que los conceptos son
definidos con la idea de límite y se han denominado como casos límite. Entre estos encontramos
a la razón de cambio instantánea o derivada, la velocidad instantánea, aceleración instantánea,
gasto o flujo instantáneo, etc.
4. Casos Límite
a) Razón de Cambio Instantánea
Stewart (2012, p. 148) hace referencia a que cuando las razones de cambio se calculan en intervalos cada
vez más pequeños haciendo que x2 tienda a x1, es decir que Δx se aproxime a 0, entonces al límite de estas
razones de cambio promedio se llama Razón de Cambio Instantánea y la representa simbólicamente como:
Razón de cambio instantánea = lim∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥= lim
𝑥2→𝑥1
𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1)
𝑥2 − 𝑥1
De manera gráfica, tal como se muestra en la Figura 3:
En el que dicho límite es conocido como la derivada.
b) La Derivada
Otra definición similar para la derivada, es comentada en
Larson (2010, p. 99) como se muestra a continuación:
La derivada de f en x está dada por:
Figura 3.
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𝑓′(𝑥) = lim∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
Siempre que exista ese límite. Para todos los x para los que exista este límite, f’ es una función de x.
c) Velocidad Instantánea
Otro caso particular es la velocidad instantánea que de acuerdo a Larson (2010, p. 114) la define
como:
La velocidad instantánea se obtiene cuando se calcula el límite de la razón de cambio promedio, cuando t
tiende a cero. En general, si s = s (t) es la función posición de un objeto en movimiento rectilíneo, su
velocidad en el instante t es:
𝑣(𝑡) = lim∆𝑡→0
𝑠(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑠(𝑡)
∆𝑡= 𝑠′(𝑡).
En otras palabras, la función velocidad es la derivada de la
función posición.
Geométricamente la velocidad instantánea en t1 es igual a la
pendiente de la recta tangente, tal como se muestra en la Figura
4.
Mientras que para Hernández (2013, p.96) la velocidad instantánea es:
Si una partícula se mueve sobre una línea recta de tal forma que su distinta dirigida s, a un punto fijo de la
recta está dada en función del tiempo por la ecuación s = s (t), entonces la velocidad en cualquier instante t1
es:
𝑣(𝑡1) = lim𝑡→𝑡1
𝑠(𝑡) − 𝑠(𝑡1)
𝑡 − 𝑡1
En resumen, los casos límites comentados anteriormente hacen mención a la razón de cambio
instantánea, la única diferencia que existe es en su contexto ya que si se desea calcular un límite
lo que se hace es que su punto final tienda en intervalos cada vez más pequeños a hacer casi 0,
para poder así obtener un límite.
5. Metodología
El presente estudio se trata de una exploración documental, en la que principalmente se
muestra información relevante de diversas fuentes acerca de un tema en específico (Cortés y
García, 2003), en este caso acerca de la razón de cambio. En este tipo de investigación toda la
Figura 4.
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información presentada se basa en lo encontrado en las fuentes sin tratar de probar u objetar
alguna idea o postura. En particular, se brinda información acerca de las situaciones de la vida
cotidiana, así como en distintos contextos en la que está inmersa la razón de cambio. Para el logro
del objetivo se realizaron las acciones siguientes:
Familiarización con el concepto de razón de cambio: En esta acción se centró en
contestar ¿Qué es la razón de cambio?, ¿Cómo la definen diversos autores?, ¿Qué
simbología se utiliza?, ¿Cuál es su representación geométrica?, ¿Cuáles los casos
especiales de la razón de cambio? ¿Cuáles son los casos límite? Para ello, se realizó una
búsqueda en diversos libros de texto de Cálculo, como el de Edwards y Penney (1997),
Granville (2009), Gil y Díaz (2013), Hernández (2013), Larson (2010), Piskunov (1997),
Purcell (2007) y Stewart (2012), por mencionar algunos.
Búsqueda en sitios web: Esta tuvo la finalidad de explorar en sitios web, páginas oficiales
de empresas, periódicos nacionales en línea, entre otros, las diversas formas y usos que se
le da a la razón de cambio para brindar información en las diferentes áreas de
conocimiento. Además de la identificación de aquellos planteamientos que no involucran
la idea de razón de cambio.
Clasificación de las situaciones encontradas. Con el propósito de sistematizar la
información encontrada, se clasificaron los ejemplos de acuerdo al área de conocimiento
correspondiente.
Reporte final. Redacción de lo encontrado en la exploración.
6. Resultados
En la búsqueda de diversas páginas de la web se encontró que la razón de cambio está
presente en otras áreas de conocimiento distintas e inusuales al contexto matemático, es decir al
tratamiento que comúnmente se le da en el aula de clase. Por ejemplo, en el Sector salud,
Economía y Administración, el Comercio, Ciencias Sociales, Ciencias Naturales y Tecnología. A
continuación, se describen algunos ejemplos en los que la razón de cambio está inmersa y que
son usadas para proporcionar información valiosa.
6.1 Ciencias Sociales
Las Ciencias Sociales se han centrado en cuestiones como es la demografía, fenómenos y
problemas sociales, políticos, históricos, entre otros. En la demografía se puede analizar el
crecimiento de la mortalidad, natalidad, matrimonios, divorcios con respecto al transcurso del
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tiempo (año o meses, según sea el interés), o como problema social tenemos a la contaminación,
robo de menores, acoso escolar o incluso familiar, robo de vehículos, etc., situaciones que cuyo
comportamiento es necesario conocerlo para la toma de decisiones o acciones a realizar.
Enseguida se muestran algunas situaciones en las que la razón de cambio se encuentra
introducida.
a) Delitos en Michoacán
En Michoacán se ha estudiado la evolución del delito de
robo de vehículos con y sin violencia tal como se
muestra en la gráfica 1.
En este problema social se puede percibir que en
el trascurso del tiempo el número de delitos cambia, para
este caso, al variar los años es notable un cambio en el
número de robos. Para medir la relación de cambio del
número de robos respecto a los años transcurridos se
calcula una razón de cambio tal como se muestra a
continuación:
Se identifican la variable dependiente e independiente, es decir el número de robos de
vehículos y los años, respectivamente.
Para el caso de robos de vehículos con violencia, si se desea conocer la razón de cambio
del 2009 al 2010 se realiza lo siguiente:
1800 − 1100
2010 − 2009=
700
1= 700 robos con violencia/año
Esto quiere decir que del año 2009 al 2010 hubo un aumento de 700 robos con violencia en
Michoacán.
En el caso de los robos de vehículos sin violencia, si se quiere conocer la razón de cambio
que se dio de los años 2009 al 2012 se procede de la siguiente manera:
6500 − 5000
2012 − 2009=
1500
3= 500 robos sin violencia/año
Esto significa que entre los años 2009 y 2012 hubo una razón de cambio promedio de 500
robos de vehículos sin violencia por año.
b) El Bullying.
Gráfica 1. Total anual de delitos en Michoacán
(2006-2013*)
http://www.animalpolitico.com/blogueros-el-
blog-de-mexico-evalua/2014/01/09/michoacan-
las-autodefensas-y-el-laissez-faire/
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En el marco del primer foro por los
derechos de la Niñez y la Adolescencia en
Michoacán (García, 2015), Rocío Alonso
Rubio argumentó que en los últimos años
México se ha convertido en unos de los
principales países con mayor índice de
suicidios de menores de edad por acoso
escolar. En particular, reportó que de seis
suicidios en los niños cuyas edades
oscilan de los 10 a los 13 años uno muere
por acoso escolar.
En este fenómeno social es evidente que, si el número de niños muertos por acoso varía,
entonces ocurre un cambio en el número de suicidios en los menores de edad, tal como se aprecia
en la gráfica 2. Para medir la relación de dichos cambios se hace lo siguiente:
Se identifica que la variable dependiente es el número de suicidios y la variable
independiente es el número de muertes por acoso.
Si se desea calcular la razón de cambio que se da cuando se tiene de dos a cinco niños que
mueren por acoso, entonces su razón de cambio será:
30 − 12
5 − 2=
18
3= 6 Suicidios/muerte por acoso
Esto quiere decir que por cada niño que muere por acoso, hay seis suicidios en menores de edad.
c) La tasa de Mortalidad en México.
La tasa de mortalidad es el número medio anual de muertes durante un año por cada 1000
habitantes. En el sitio web CIA se ha publicado que la tasa de mortalidad en el año 2014 fue de
5.24 muertes/1000 habitantes, expresión que corresponde a una razón. Empero si el número de
muerte varia, así como el número de habitantes, entonces la tasa de mortalidad cambiará,
generando nuevas tasas. La gráfica 3 muestra la evolución de la tasa de mortalidad desde el 2000
al 2014. A partir de estos datos se aprecia que conforme los años avanzan hay un cambio en su
tasa respectivamente. Para conocer la relación de dichos cambios se puede auxiliar de la razón de
cambio, tal como se muestra a continuación:
Gráfica 2. Número de suicidios por muerte de acoso
0
10
20
30
40
1 2 3 4 5
Núm
. S
uci
dio
s
Núm. de Muertes por Acoso
Núm. suicidios en relación a muertes
por Acoso
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Se identifican las variables: la variable independiente son los años y dependiente es la tasa
de Mortalidad.
Por ejemplo, la razón de cambio que se dio en la tasa de mortalidad respecto a los años,
en particular del año 2011 al 2014, se procede de la siguiente forma:
4.86 − 5.24
2011 − 2014=
−0.38
−3= 0.13 tasa de mortalidad/año
Lo que significa que del año 2011 al 2014 hubo un aumento en la tasa de mortalidad de 0.13 en
promedio por año.
6.2 Ciencias de la Salud
En el área de la salud se manejan diversas medidas en las cuales están presentes los cambios y
que en la mayoría de la población ajena al área de medicina les es difícil su interpretación. Sin
embargo, estas medidas representan razones en las que, si se modifica una de las variables,
entonces la otra también es modificada y para medir esa relación de cambios es posible calcular
razones de cambio. Por ejemplo, en los niveles de glucosa, de colesterol, índice de glóbulos rojos,
el ritmo cardiaco, crecimiento de un feto, calorías necesarias para el cuerpo humano, cantidad de
células cancerosas, calorías existentes en los alimentos, etc.
A continuación, se muestra cómo se interpretan algunos índices estándar que utilizan los
médicos y que por cultura se deben conocer:
Gráfica 3. Tasa de mortalidad (muertes/1000 habitantes)
http://www.indexmundi.com/es/mexico/tasa_de_mortalidad.html
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a) Niveles de glucosa.
La Secretaría de salud considera que en una persona sin diabetes los niveles de Glucosa están
clasificados en dos momentos: en ayunas este es de 70 a 100 mg/dl y dos horas después de haber
ingerido alimento debe ser menor de 140 mg/dl (“Diabetes, Bienestar y Salud”, 2014).
En este caso:
Se identifica que la variable independiente es el número de decilitros y la variable
dependiente es el número de miligramos.
Supóngase que una persona tiene un nivel de glucosa de 81 mg/dl. Si hay una variación
en la cantidad de decilitros de sangre, por ejemplo, en 3 decilitros de sangre debe haber
243 mg de azúcar, es decir se dio un incremento en los miligramos de moléculas de
azúcar. Si calculamos esa razón de cambio que hay de 1 a 3 ml de sangre, obtenemos que:
243 − 81
3 − 1=
162
2= 81 ml dl⁄
Esto significa que por cada decilitro de sangre hay 81 miligramos de moléculas de azúcar en
la sangre, es decir se trata de una razón de cambio constante.
b) Índice de glóbulos rojos.
Según investigaciones en un conteo sanguíneo completo, los valores de glóbulos rojos en la
sangre de una persona de sexo masculino son de 4.7 a 6.1 millones de células por micro litro, en
cambio para una mujer saludable su índice debe ser 4.2 a 5.4 millones de células por micro litro
(ADAM, 2014).Por ejemplo, si un paciente del sexo masculino tiene un índice de glóbulos rojos
de 5.2 millones de células/micro litro, y al variar el número de micro litros aumentará el número
de células existentes, tal como se muestra en la tabla 1.
Micro
litros
Millones de células
1 5.2
2 10.4
3 15.6
4 20.8
Tabla 1. Relación de millones de
células respecto al número de
decilitros
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De manera análoga que el ejemplo anterior, al calcular la razón de cambio de los millones de
células respecto de los micros litros, se encuentra que la razón de cambio es constante.
c) Evolución del peso y tamaño de un feto.
En el sitio web “papá en apuros” se
publicó la evolución del peso y tamaño
durante el embarazo, tal como se muestra
en la gráfica 4. En esta se observa que al
avanzar el número de semanas hay un
cambio en el tamaño del feto como en su
peso.Para conocer la medida de la
relación de cambios del tamaño respecto
del número de semana, se recurre a la
razón de cambio de la siguiente manera:
Se identifica la variable independiente y dependiente, las semanas y el tamaño
correspondientemente.
Por ejemplo, si se requiriera la razón de cambio que se da en el tamaño con respecto al
cambio de la semana 4 y 8, se encuentra que:
3 − 0
8 − 4=
3
4= 0.75 gr semana⁄
Lo que significa que entre la semana 4 y 8 el crecimiento en el tamaño del feto fue de 0.75
gramos por semana.
Ahora bien, si ahora las variables son el peso del feto con respecto a las semanas,
entonces la razón de cambio es:
1.7 − 0.1
8 − 4=
1.6
4= 0.4 cm semana⁄
Lo que quiere decir que entre la semana 4 y 8 el feto creció 0.4 centímetros cada semana.
6.3 Ciencias Económicas-Administrativas y el Comercio.
Gráfica 4. Evolución semanal del peso y tamaño del feto.
http://www.papaenapuros.com/evolucion-del-peso-del-feto-
en-el-embarazo/
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En cualquier país se necesita saber administrar, producir, utilizar e invertir sus recursos de
manera que haya un progreso, sin embargo, también puede haber un retroceso, ya que hay
muchos factores involucrados que puede determinar la situación de ingresos o detrimentos. Por
ejemplo, la evolución del precio por onza del oro, de los ingresos en el turismo, del precio de
gasolina, del precio de alimentos, la inversión en agricultura o ganadería, etc.
A continuación, se muestran algunos ejemplos en los que se realizan los cálculos
necesarios para conocer la razón de cambio de las variables y en determinado intervalo.
a) El consumo de la Coca-Cola
En México el consumo del refresco en
la actualidad se ha convertido en una
cosa habitual para cualquier persona,
dejando a un lado el consumo de
frutas y verduras, acción que
promueve una variedad en la venta en
el número de cajas de refrescos de
marca de la Coca-Cola año con año tal
como se muestra en la gráfica 5. Para
conocer la relación de dichos cambios
se hace uso de la razón de cambio como sigue:
Se Identifican las variables, la independiente que son los años y la dependiente que
corresponde a los millones de cajas de refrescos que vende la Coca-Cola.
Si se desea calcular la razón de cambio del 2012 al 2013, se realiza lo siguiente:
2571 − 2505
2013 − 2012=
66
1= 66 millones de cajas/año
Lo que quiere decir que del año 2012 y 2013 hubo un aumento de 66 millones de cajas de cajas
de refresco.
b) Precio de la naranja por tonelada.
En el sitio web “Observatorio de precios” se informa acerca de la producción de Naranja, así
como del valor monetario que obtienen por esta, lo cual determina su respectivo precio al medio
rural, tal como se evidencia en la tabla 2. En los datos presentados de la tabla es apreciable la
Grafica 5. Volumen de ventas en millones de cajas
http://www.elfinanciero.com.mx/empresas/pepsi-le-gana-a-coca-
cola-en-mexico-en-2014.html
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presencia de distintas variables como son los años, la producción, el valor de producción y el
precio al medio rural (PMR), las cuales pueden ser relacionadas.
Por ejemplo, en la tabla cuya columna corresponde a PMR se identifica que se trata de
una razón pues relaciona el valor de la producción entre la producción de naranja, empero si se
hace variar la producción entonces el valor de la producción también sufrirá un respectivo
cambio, y para conocer numéricamente esa relación de cambio se puede auxiliar de la razón de
cambio. Otra relación que pudiera ser medida es la variación de la producción, o el valor de la
producción, o la evolución de precio al medio rural, todas respecto a los años.
A manera de ejemplo, se puede hallar la razón de cambio que hubo en la producción del 2009 al
2012 como sigue:
Las variables en juego en esta situación son: los años como variable independiente y la
producción en toneladas como variable dependiente.
Se calcula mediante el cociente de diferencias:
3 666 789.65 − 4 193 484.44
2012 − 2009=
−526 694.79
3= −175 564.93 toneladas/año
Al interpretar la razón de cambio, se tiene entre el año 2009 y 2012 en promedio hubo
disminución de 175, 564.93 toneladas de naranjas en la producción por año.
c) Consumo de gas en una Tortillería
El sitio web “Industrias Verduzco” han publicado que en México las máquinas de tortillas
actuales del mercado consumen alrededor de 370 litros de gas para producir 1200 kilos de tortilla.
A partir de este dato se identifica una razón, en la que si se realiza una variación en los kilos de
tortillas entonces habrá un respectivo cambio en los litros de gas que se utilizan, tal como se
Tabla 2. Producción de Naranja Nacional 2008-2012
http://observatoriodeprecios.com.mx/index.php/precios-productos/productos-
agropecuarios/naranja/155-citricos-comportamiento-de-naranja-y-limon-en-el-mercado
Tlamati Sabiduría Volumen 7 Número Especial 1, 2016
244
muestra en la tabla 3. Para medir los cambios de litros en relación a los kilos de tortillas se auxilia
de la razón de cambio como sigue:
Se identifica que la variable independiente es la cantidad de kilos de tortillas y la variable
dependiente el número de litros de gasolina.
Si se requiere conocer la razón de cambio de hacer 1200 a 2400 kilos de tortillas, se
procede así:
740 − 370
2400 − 1200=
370
1200= 0.308 l kg⁄
Debido a que se partió de una razón, entonces la razón de cambio es constante. De esta manera, la
razón de cambio resultante quiere decir que por cada kilogramo de Tortilla se consumen 0.308
litros de gas.
d) Evolución del precio promedio de las exportaciones de cacao
En el sitio “Cana Cacao” se muestra la evolución del precio promedio de las exportaciones del
cacao del año 2000 al 2007 (ver gráfica 6). En la gráfica se observa que el precio en dólares por
kilo de cacao cambia en el transcurso del tiempo, en este caso en los años y una manera de medir
el respectivo cambio es por medio del cálculo de una razón de cambio.
Por ejemplo, para calcular la razón de cambio
que hubo del 2000 al 2001 se procede así:
Se identifican las variables, los años como
variable independiente y el precio por kilo del
cacao como la variable dependiente.
Sustituimos valores en la fórmula de
razón de cambio:
2.31 − 2.63
2001 − 2000=
−0.32
1
= −0.32 dolares por kg/año
La interpretación de la razón de cambio obtenida es que del 2000 al 2001 hubo una disminución
de 0.32 dólares por cada kilo de cacao.
6.4 Ciencias Naturales
Gráfica 6. Evolución del precio del Cacao
http://www.canacacao.org/estadisticas/nacionales/
Memorias del 3er Encuentro de Jóvenes en la Investigación de Bachillerato-CONACYT
Acapulco, Guerrero 22-24 de Septiembre 2016
245
En esta área se estudian los fenómenos como: la velocidad con que se mueve la tierra, la luna, los
planetas, cantidad de sismos en el mundo, crecimiento de grietas en un suelo o en el parabrisas de
un auto, contaminación en el suelo, agua, etc., en la que aparecen distintos factores que pueden
influir para ocasionar cambios. A continuación, se muestran algunos ejemplos que dan lugar al
cálculo de una razón de cambio.
a) Velocidad de la Tierra
El sitio web “pregúntale a un astrónomo, para niños”, da a conocer que la Tierra se mueve muy
rápido. Gira (rota) a una velocidad alrededor de 1,000 millas (1,700 kilómetros) por hora y órbita
alrededor del Sol a una velocidad alrededor de 67,000 millas (107,000 kilómetros) por hora.
Además, no se siente ningún movimiento porque estas velocidades son constantes. De este texto
se identifican dos razones: 1000 mi/h y 67 000 mi/h. En ambas razones si se da una variación en
las horas, habrá un respectivo cambio en el número de millas, para hallar el cambio de la
velocidad se procede de la siguiente manera:
En el caso de la velocidad a la gira la tierra, la variable independiente es el tiempo y la
dependiente es la distancia recorrida.
Si se desea calcular la velocidad a la que gira la tierra de 1 a 5 horas de haber recorrido,
entonces se realiza:
5000 − 1000
5 − 1=
4000
4= 1000 mi/h
De esta manera, encontramos que la velocidad a la que gira la tierra es constante y se interpreta
que por cada hora que gire, este recorrerá 1000 millas.
b) Crecimiento de una grieta en el cristal de un auto. Según un reporte en el sitio “Ale
Méndez Beristain”, el tamaño de una grieta
aumenta con la temperatura del cristal para un
mismo impacto, llegando a ser de 10 veces mayor
cuando la temperatura pasa de 0ºC a 60ºC. En la
gráfica 7se observa que el tamaño de la grieta
cambia con respecto a la temperatura, por lo que
se puede medir la relación de dichos cambios a
través de la razón de cambio tal como se muestra a
continuación.
Gráfica 7. Evolución del tamaño de grieta en
función de la temperatura.
https://sites.google.com/site/aleprocesos/enfriador-
industrial/tareas/como-funciona-un-refrigerador/4-
por-que-es-mas-facil-retirar-el-hielo-de-un-
parabrisas-con-agua-fria-como-se-llama-el-
fenomeno
Tlamati Sabiduría Volumen 7 Número Especial 1, 2016
246
Se identifica la variable independiente y la dependiente, en este caso la temperatura y el
tamaño respectivamente.
Si se desea conocer la razón de cambio que hay en tamaño de la grita cuando la
temperatura cambia de 10°C a 20°C, entonces calculamos:
40 − 20
20 − 10=
20
10= 2 mm °C⁄
Es decir que la razón de cambio es 2 mm/°C, lo que quiere decir que, entre 10°C a 20 °C, por
cada grado centígrado que aumente, el tamaño de la grieta aumentará 2 milímetros.
c) Material Particulado.
En el espacio “observatorio ambiental de Bogotá” se publicó el crecimiento de la contaminación
en el aire, dato que de acuerdo con la Red de Monitoreo de Calidad de Aire de la Secretaría
Distrital de Ambiente (SDA), hay meses en los que se excede de la norma de material particulado
permitido en la ciudad, tal como se
muestra en la gráfica 8.
Por ejemplo, si se quiere conocer la medida
del cambio que hubo en los días excedidos
de material particular del mes de febrero a
abril entonces:
Se identifica que la variable
independiente son los meses y la
variable dependiente los días
excedidos.
Para calcular la razón de cambio,
por convención se utilizará el
número correspondiente del mes,
resultando que:
8 − 2
4 − 2=
6
2= 3 días/mes
Esto quiere decir que de febrero a abril en promedio cada mes, 3 días se excedían de la norma de
material particulado permitido.
6.4 Tecnología.
Gráfica 8. Número de días que se Excede la Norma de
Material Particulado, Mensual- NDEPM10
http://oab2.ambientebogota.gov.co/es/con-la-
comunidad/noticias/julio-mes-con-mayor-contaminacion-del-
aire-en-bogota-en-lo-corrido-del-ano
Memorias del 3er Encuentro de Jóvenes en la Investigación de Bachillerato-CONACYT
Acapulco, Guerrero 22-24 de Septiembre 2016
247
Hoy día el avance tecnológico ofrece una mejora en la calidad de vida de manera que permite
realizar actividades de una forma más eficiente. Por ejemplo, máquinas que realicen actividades a
corto plazo, optimización de recursos como es la luz eléctrica, gasolina, gas butano, etc. A
continuación, se describirán situaciones en las que está inmersa la razón de cambio.
a) Llenadora de garrafones de agua. Modelo APS-GA-100
En el sitio “iWater” se promociona una máquina purificadora con la característica de una
capacidad de llenado de 100 garrafones/h y una velocidad del flujo de entrada para agua de
2.5m³/h.
Analizando las razones que aparecen en la
especificación de la máquina, se percibe que
en la primera característica mientras más
horas esté activa la máquina, habrá un cambio
en la cantidad de garrafones que pueden ser
llenados, tal como se aprecia en la Gráfica 9.
Para medir esta relación de cambios se
emplea la razón de cambio de la siguiente
manera:
Se identifica la variable independiente y la dependiente, en este caso el número de horas y
el número de garrafones llenados, respectivamente.
Por ejemplo, si calculamos la razón de cambio que se da en el llenado de garrafones en 4
y 5 horas activas resulta que:
500 − 400
5 − 4=
100
1= 100 garrafones/h
Lo que significa que por cada hora que transcurra, la máquina llenará 100 garrafones, además es
notable que se trate de una razón de cambio constante.
De manera análoga para la otra característica, es decir en la velocidad de flujo de entrada para
agua que es de 2.5m³/h.
Se identifica que las variables
involucradas son el volumen y el tiempo,
es decir, la variable dependiente y la
Grafica 10. Velocidad del Flujo de agua.
Gráfica 9. Llenado de garrafones
Tlamati Sabiduría Volumen 7 Número Especial 1, 2016
248
variable independiente, respectivamente (ver gráfica 10).
Para calcular la velocidad del flujo de entrada para el agua que lleva de 3 a 5 horas se
procede de la siguiente manera:
12.5 − 7.5
5 − 3=
5
2= 2.5 m3 h⁄
Lo que quiere decir es que la velocidad del flujo de entrada es que por cada hora que transcurre
entra 2.5 m3 de agua.
b) Velocidad de un auto Koenigsegg.
En la revista CLUBHOUS se ha informado de un automóvil superdeportivo que alcanza una
velocidad máxima de 450.62 km/h.En esta información es notable la razón dada, en la que si se
hace una variación en el tiempo habrá un respectivo cambio en la distancia que recorre (Gráfica
11). De esta manera si pide calcular la velocidad en un tiempo determinado, entonces se procede
de la siguiente manera:
Las variables son la distancia y el
tiempo, es decir la variable
dependiente y la variable
independiente, respectivamente.
Para calcular su velocidad que lleva
durante el transcurso del tiempo 2 a 3 se
realiza:
1351.86 − 901.24
3 − 2=
450.62
1km h⁄
Lo que nos quiere dar a entender que la velocidad del Superdeportivo en promedio va a ser de
450.62kilómetropor cada hora.
c) La impresora de escritorio más rápida del mundo.
En el sitio web “Xataka” se muestra un modelo de impresora de escritorio más rápida del
mundo, capaz de imprimir 70 hojas por minuto. En esta información se da una razón, en la que, si
se hace variar los minutos habrá una modificación en el número de hojas posibles de imprimir, tal
como se muestra en la gráfica 12.
Gráfica 11.
0
100
200
300
400
1 2 3 4 5
Km
Horas
La velocidad de un auto Koenigsegg
Memorias del 3er Encuentro de Jóvenes en la Investigación de Bachillerato-CONACYT
Acapulco, Guerrero 22-24 de Septiembre 2016
249
Gráfica 12.
0
100
200
300
400
500
600
1 2 3 4 5 6 7
Nú
m. d
e H
oh
as
Minutos
Velocidad de la impresora HP Office et Pro X
Por ejemplo, para obtener una razón de
cambio que se da entre los 3 a 5 minutos, se:
Identifica la variable independiente y
la variable dependiente, en este caso
los minutos y el número de hojas
respectivamente.
Se utiliza el cociente de diferencias:
350 − 210
5 − 3=
140
2= 70 hojas minuto⁄
En este caso, la razón de cambio es constante, resultando que por cada minuto que la impresora
este activa, está imprimirá 70 hojas.
Así como los ejemplos que se mostraron anteriormente, se encontraron otros que se presentan
titulados en la tabla 3, también se muestra la liga de las páginas en que fueron localizados.
Área Ejemplos Cantidad de
situaciones
Ciencias de
la Salud
El tabaquismo en México.
Muerte a diario por consumo de tabaco: 130 personas/día
http://www.elfinanciero.com.mx/nacional/en-mexico-mueren-130-personas-a-
diario-por-consumo-de-tabaco.html
Calorías en el ser humano.
Calorías: 50 Kcal/Kg.
http://www.aula21.net/nutricion/lasnecesidenerg.htm
Niveles de glucosa.
AYUNAS (sin consumir alimento): De 70 a 100 mg/dL.
http://www.diabetesbienestarysalud.com/2013/02/cuales-son-los-niveles-optimos-
de-glucosa
Obesidad en México: 10 personas/7 obesos.
.http://www.animalpolitico.com/2012/11/con-48-millones-de-mexicanos-obesos-
mexico-alcanza-el-tope-epidemiologico/
Kilocalorías por cada gramo de alimento: 1 Kcal/gr.
http://www.aula21.net/nutricion/lasnecesidenerg.htm
Latidos del corazón.
Gasto Cardiaco: 5 L de sangre/min.
10
Tlamati Sabiduría Volumen 7 Número Especial 1, 2016
250
http://www.vitonica.com/anatomia/cifras-curiosas-sobre-nuestro-corazon
Producción de células cancerígenas.
Cant. de cél. cancerígenas (1600 y 1900 días): 666.6 células/ día
http://www.bvs.sld.cu/revistas/ibi/vol_29_1_10/ibi02110.htm
Cáncer de Mamá: 29 mujeres/ 1 varón con cáncer
http://www.inegi.org.mx/saladeprensa/aproposito/2015/mama0.pdf
Índice de glóbulos rojos
Hombre: de 4.7 a 6.1 (millones de células/mcl).
https://medlineplus.gov/spanish/ency/article/003642.htm
Evaluación del peso del feto durante el embarazo.
Peso del feto: 0.75 gr/sem.
http://www.papaenapuros.com/evolucion-del-peso-del-feto-en-el-embarazo/
Ciencias
sociales
Tasa de mortalidad en México: 5,24 muertes/1.000 habitantes.
http://www.indexmundi.com/es/mexico/tasa_de_mortalidad.html
Delitos en Michoacán
Número total de delitos/año. http://www.animalpolitico.com/blogueros-el-blog-
de-mexico-evalua/2014/01/09/michoacan-las-autodefensas-y-el-laissez-faire/
El Bullying: 6 suicidios/1 acosado
http://www.excelsior.com.mx/nacional/2015/09/10/1045113
Extorciones
Las extorciones por cada 100 mil habitantes entre los años.
http://www.nexos.com.mx/?p=20026
Usode Facebook: 864 millones de personas/día
http://www.minutouno.com/notas/342509-mas-860-millones-personas-usan-
facebook-todos-los-dias
Analfabetismo en México.
Hombres: 100 hombres/4 Analfabetas = 25 hombres/analfabeta
Mujeres: 100 Mujeres/6 Analfabetas
http://cuentame.inegi.org.mx/poblacion/analfabeta.aspx?tema
Empleo en México: 10 mexicanos/6 trabajan en la informalidad
http://www.jornada.unam.mx/2012/12/12/economia/027n1eco
7
Inversión del cultivo en el maíz: $2 Cosecha/$1 Inversión
http://semillastodoterreno.com/2013/05/inversion-o-costo-de-produccion-de-
maiz-por-hectarea/comment-page-3/
Evaluación del precio del oro: Costo del oro/ año
http://www.rankia.com/blog/materias-primas/1492642-evolucion-precio-oro
Turismo en México: Miles de Pesos/ año
http://datos.bancomundial.org/indicator/ST.INT.ARVL?end=2014&locations=M
X&start=1995&view=chart
Evolución del precio de Gasolina en México y Estados Unidos.
Memorias del 3er Encuentro de Jóvenes en la Investigación de Bachillerato-CONACYT
Acapulco, Guerrero 22-24 de Septiembre 2016
251
Ciencias
Económicas
y
Administrati
vas y el
comercio
El precio de gasolina/año.
http://www.mexicomaxico.org/Voto/GasolMexUSA.htm
Evolución en el consumo de Coca-Cola: Millones de cajas/ año.
http://www.elfinanciero.com.mx/empresas/pepsi-le-gana-a-coca-cola-en-mexico-
en-2014.html
El Precio Por Tonelada de Naranja: $/Tonelada.
Evolución de la producción de Naranjas: Toneladas/ año.
Evolución del valor de la producción: Valor de la producción/ año.
http://observatoriodeprecios.com.mx/index.php/precios-productos/productos-
agropecuarios/naranja/155-citricos-comportamiento-de-naranja-y-limon-en-el-
mercado
El precio de cacao por Kilo: $/Kg
Evolución del precio por kilo entre los años: $/año.
http://www.canacacao.org/estadisticas/nacionales
El consumo de gas en una tortillería:
1200 kg de Tortillas/ 370 litros de Gas = 3.24 Kg/l
http://neg24x7.grupobfx.com/cms/industriasverduzcofinal/Consumo%20de%20ga
s%20en%20tortilleria.shtml
11
Ciencias
Naturales
Observación con la comunidad.
Material Particuladopermitido es:100 Mg/m3.
http://oab2.ambientebogota.gov.co/es/con-la-comunidad/noticias/julio-mes-con-
mayor-contaminacion-del-aire-en-bogota-en-lo-corrido-del-ano
La velocidad de rotación de la tierra: 17000 Km/h.
Velocidad de la tierra al orbitar alrededor del sol: 107000 Km/h.
http://legacy.spitzer.caltech.edu/espanol//edu/askkids/earthmove.shtml
Crecimiento de una grieta: mm/ °C.
https://sites.google.com/site/aleprocesos/enfriador-industrial/tareas/como-
funciona-un-refrigerador/4-por-que-es-mas-facil-retirar-el-hielo-de-un-parabrisas-
con-agua-fria-como-se-llama-el-fenomeno
Evolución de la cantidad de sismos: Número de sismos/ año.
http://research.dlindquist.com/quake/historical/
5
VW - Indicadores de Eficiencia Energética y Emisiones Vehiculares
VW Clásico 2012, Versión GLI 4PTS 1.8L 4CIL 180HP TIP TURBO.
Consumo de combustible:
Rendimiento ciudad: 10.11km/l
Rend.Carretero: 17.31km/l
Rend. Combinado: 12.43km/l
Rend. Ajustado: 9.33km/l
Emisiones contaminantes:
Emisión de CO2: 250g/km
Emisión anual: 3750 kg/año
Emisión NOx: 12g/1000km.
http://www.ecovehiculos.gob.mx/ecoetiquetado.php?vehiculo_id=11500
15
Tlamati Sabiduría Volumen 7 Número Especial 1, 2016
252
Tecnología
Capacidad de llenado: 100 garrafones/hora.
http://www.plantas-purificadoras-de-aguas.com.mx/productos/llenadoras-de-
garrafon-equipos-auxiliares-y-lineas-automaticas-completas/llenadora-de-
garrafones-automatica-100-garrafones-x-hora/
Velocidad máx. de Automóvil Koenisegg: 450,62 km/h.
http://www.losandes.com.ar/article/los-5-autos-mas-rapidos-del-mundo-820896
Capacidad de impresión: 70 hojas/ min.
www.xataka.com/otros/la-impresora-de-escritorio-mas-rapida-del-mundo-llega-a-
espana-y-es-de-hp
El modelo de A380-800 de Airbus.
Una velocidad de crucero: 945 km/h.
http://www.fierasdelaingenieria.com/los-aviones-de-pasajeros-mas-grandes-del-
mundo/
El consumo de gasolina un HONDA modelo ACCORD LX SEDAN 4PTS
Rendimiento en la ciudad 9.90 km/l.
Rendimiento carretero 18.20 km/l.
Rendimiento combinado 13.84 km/l.
Rendimiento ajustado 10.38 km/l.
http://www.ecovehiculos.gob.mx/ecoetiquetado.php?vehiculo_id=15220
Tabla 3. Ejemplos identificados en los sitios Web en los que se encuentra inmersa la razón de cambio.
Conclusiones
La investigación en el campo de la Matemática Educativa resulta fundamental para el
desarrollo de nuevas técnicas y herramientas, que pueden ser útiles para los maestros en su
práctica docente y para el estudiante en su aprendizaje. En particular, sobre el concepto de razón
de cambio el cual tradicionalmente es presentado en el aula como la pendiente, cuyo contexto de
enseñanza es el registro numérico dejando de lado su relación con el entorno donde se vive.
Como resultado de esta investigación se encontró que un concepto general para la
pendiente es la razón de cambio, ya que esta puede generar nuevos conjuntos cuando se
introducen otras variables, por ejemplo: la velocidad, la aceleración, la rapidez, el gasto (flujo) y
la intensidad de la corriente, entre otros.
Ente la investigación que se realizó, se identificó que la primera característica que se
necesita para obtener razones de cambio es tener una razón, pues a partir de esta se puede realizar
variaciones en cada una de las variables y así medir dicha relación por medio un cociente de
diferencias. Dicho de otra manera, la razón de cambio no solo se encuentra en un aula de clases
como siempre se ha enseñado, al aplicarla en el entorno social se encuentra inmersa en distas
Memorias del 3er Encuentro de Jóvenes en la Investigación de Bachillerato-CONACYT
Acapulco, Guerrero 22-24 de Septiembre 2016
253
áreas como son: Ciencias Sociales, Ciencias de la Salud, Ciencias Naturales, Tecnológicas,
Ciencias Económicas, Administrativas y de Comercio, entre otras.
Entre las razones de cambio encontramos las que se presentan en el siguiente diagrama 1:
Diagrama 1. Razones de cambio
A manera de reflexión consideramos que los resultados pueden ser considerados por parte
de un profesor para la mejora de su práctica docente, en particular para el concepto de razón de
cambio. Además, en el estudiante puede mejorar la comprensión ya que podrá darle un
significado a las razones expresadas numéricamente, así como a la información mostrada por los
medios masivos de comunicación.
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se-llama-el-fenomeno
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Velocidad máxima
de un Koenisegg:
450.62km/h
Calorías en
el ser
humano:
50Kcal/Kg
El Bullying:
6suicidos/1acoso
Tasa de
Mortalidad:
5.24muertes/100
0habitantes
Analfabetismo en
México:
100 hombres/4
analfabetas
La impresora más
rápida del mundo:
70 hojas/minuto
Gasto
Cardiaco:
5L de sangre/
minuto
Obesidad en
México:
7 obesos/10
adultos
Emisión de 𝐶𝑜2
del Vw/Jetta:
204 g/Km
RAZÓN DE
CAMBIO
Tlamati Sabiduría Volumen 7 Número Especial 1, 2016
254
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