La radiación electromagnética.

En la teoría de electrodinámica se ha encontrado que cuando un campo eléctrico cambia con el tiempo produce un cambio magnético y viceversa. ¿Ondas u ondas electromagnéticas? Una onda debe presentar las siguientes características:

1. propagar energía a puntos distantes 2. la propagación viaja a través del medio sin

desplazarlo en la dirección del movimiento.

Una onda electromagnética consiste en un campo eléctrico y otro magnético oscilantes.

Supón que tenemos un campo eléctrico que oscila únicamente en la dirección x. Es decir tenemos E(x,t). Imaginemos una onda sinusoidal, para t=0, E(x,0)

El vector de campo eléctrico será máximo para

los puntos 43,

4λλ

−=x , si existiera una carga eléctrica en cualquiera de esos puntos sentiría una fuerza eléctrica máxima hacia arriba.

xAsenxExfλπ2)0,()( ==

la onda en movimiento, después de un tiempo t, se habrá desplazado una distancia ct.

)(2)0,()( ctxAsenxExf −==λπ

El tiempo en el que una onda se ha movido una distancia λ a su derecha es conocido como periodo (τ), éste satisface la relación: cτ=λ.

La inversa de τ es ν y es el número de longitudes de onda que se trasladan por unidad de tiempo.

ντ

=1

Donde ν se expresa en ciclos por segundo (hertzio =Hz) o simplemente s-1.

λν=c Esta relación indica que la velocidad de propagación es igual a la distancia de un ciclo por el número de ciclos que se trasladan por segundo.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −== txAsenxExf ν

λπ2)0,()(

La función anterior es la ecuación de onda sinusoidal de campo eléctrico con λ y ν. Ejercicio: Obtenga la ecuación de una onda eléctrica sinusoidal cuyo valor máximo es de 2x106 N/C, la cual tiene medio millón de oscilaciones en 1 cm.

Oscilación de los campos eléctrico y magnético en una onda electromagnética.

Frente a una carga, la fuerza magnética es mucho menor que la eléctrica, de tal forma que podemos despreciarla. Una carga entra en movimiento oscilatorio en presencia de una onda electromagnética. Una carga oscilante produce en el espacio un campo eléctrico y un campo magnético que viajan a la velocidad de la luz: se genera una onda electromagnética.

Efecto de la onda electromagnética sobre la carga prueba.

Espectro electromagnético Las ondas electromagnéticas cubren un extenso intervalo de longitudes de onda y frecuencias. Las hay del orden de kilómetros hasta del orden de picómetros (10-12m).

COLOR λ (Amstrongs) ν (Hz)x10-14 Rojo 7800-6220 3.84-4.82 Naranja 6220-5970 4.82-5.03 Amarillo 5970-5770 5.06-5.20 Verde 5770-4920 5.20-6.10 Azul 4920-4550 6.10-6.59 Violeta 4550-3800 6.59-7.89

Ejercicio 1: Cuando se eliminan un electrón y un positrón se emite una radiación electromagnética de muy alta frecuencia ν= 2.5 x1020s-1. Determina λ, ν y τ

Ejercicio para casa: a una rebanada de pan úntala con una capa gruesa de mantequilla e introdúcela en el horno de microondas (es importante quitar el plato giratorio del horno). Selecciona una potencia y un tiempo (no muy largo de 5 a 10 segundos) y pon a funcionar el horno. Una vez transcurrido este tiempo saca el pan del horno y anota tus observaciones. Determina la longitud de onda y la frecuencia a la cual operó tu horno de microondas.

Cuerpo negro La transferencia de energía puede darse en forma radiante, incluso cuando entre la radiación y el detector no exista más que vacío. Supongamos que tenemos un cuerpo caliente (CC) dentro de un recipiente cerrado y aislado. Entre el cuerpo y el recipiente habrá vacío y una cuerda aislante.

En estas circunstancias la energía no puede transmitirse ni por conducción (contacto directo), ni por convección (a través de un medio). Después de un tiempo, tendremos:

Tcc=Tr Lo que indica que: La transmisión de energía se ha dado por un proceso de emisión y absorción de radiación electromagnética. Gustav Robert Kirchhoff en 1860 descubre el fenómeno y plantea el siguiente, teorema:

“Cualquier cuerpo sólido absorbe cierta fracción (aλ) de la radiación de cierta longitud de onda (λ) que incide sobre su superficie y refleja el resto.”

Cuya expresión matemática es:

),( TJaE

λλ

λ =

Donde aλ es el coeficiente de absorción del sólido y depende del material y de las características de superficie del cuerpo. Cualquier cuerpo que absorba una aλ = 1 se le conoce como cuerpo negro. En este caso la totalidad de la radiación es absorbida para cualquier λ. Eλ es la energía radiante emitida por unidad de área, tiempo y unidad de intervalo λ. J(λ,T) es la potencia emisiva de la longitud de onda a la temperatura T y no depende en absoluto de las características del cuerpo emisor. ¿Cuál será el valor de Eλ para un cuerpo negro? Para un cuerpo negro Eλdλ es la potencia emisiva de la radiación con longitud de onda entre λ y λ+dλ; la suma de estas cantidades para toda λ será la potencia emisiva total:

λλ dEJ t ∫∞

=0

En 1879, Josef Stefan sugirió, a partir de datos experimentales, que la energía total irradiada por cuerpos calientes es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura. Jt =σT4, donde σ es una constante de proporcionalidad (σ = 5.6728 x 10-8 Wm-2K-4) En 1884, Ludwing Boltzmann demuestra que la conjetura de Stefan era cierta sólo para el cuerpo negro. Por tanto se le conoce como Ley de Stefan-Boltzmann. Ejercicio: Obtener Jt para los siguientes valores de T: 500, 1500 y 2000 K.

Una buena aproximación a un cuerpo negro es una cavidad completamente cerrada excepto por una pequeña apertura, de área conocida, a través de la cual la radiación puede entrar o salir. En esta aproximación la radiación tendría muy poca probabilidad de ser reflejada, lo que implica que aλ≅ 1. En el interior de la cavidad la radiación puede absorberse o reflejarse en las paredes repetidas veces. Dado que el cuerpo se mantendrá a una temperatura fija, existiría un equilibrio entre la radiación y las paredes de la cavidad. De esta forma la radiación que salga por la apertura sería representativa de la que se encuentra en el interior.

En este caso se puede hablar de la energía radiante por unidad de volumen o densidad de energía:

cJ

u t4=

444 TTc

u ασ ==

Donde α =(4/c)σ = 7.5688x10-16Jm-3K-4;

cE

u λλ

4=

Ejercicio: Obtén los valores de uλ y Ελ para los siguientes valores de T: 500, 1500 y 2000 K.

En 1893, Wilhelm Wien encontró que uλ es una función que tiene un valor máximo para aquella longitud de onda inversamente proporcional a la temperatura.

Tmβλ =

β=2.898 x10-3 m K

TC

W

eCu

λλ λ

2

151

−=

Ejercicio: Determina la λmax y uλ para T= 500, 1000, 1500 y 2000 K. Considera c1= 9.99 x10-24 y c2=0.014388 Lord Rayleigh propuso una teoría sobre la emisión de radiación de cuerpo negro. Asumió que las ondas eran producto de las vibraciones de partículas cargadas (osciladores) del cuerpo negro y repartió la energía de vibración equitativamente entre los diversos modos de vibración de dichos osciladores (principio de equipartición).

4λλbTu =

Esta expresión no es aceptable, ya que al disminuir la longitud de onda la densidad de energía crecerá infinitamente. Hecho que no concuerda con lo reportado experimentalmente y

con la ley de Stefan-Bolztman. A este fenómeno se le conoció como catástrofe del ultravioleta. Rayleigh introdujo un factor exponencial para corregir la catástrofe del ultravioleta.

Td

R

e

bTuλ

λ λ1

4=

En 1905, Rayleigh reconoce que, desde el punto de vista clásico, no hay ningún error el su ecuación. Max Planck propone una nueva expresión como solución al cuerpo negro. Llega a esta expresión haciendo un análisis de los resultados experimentales obtenidos hasta la época.

1

125

1

−=

Tc

P

e

cuλ

λ λ

Nacimiento de la teoría cuántica Fue Plank quien obtuvo la solución al cuerpo negro, pero ¿qué consideraciones hizo?

• Plank consideró la interacción entre la radiación electromagnética y los osciladores del cuerpo negro (lo mismo hizo Rayleigh).

• Supuso que la energía de los osciladores se

encontraba repartida entre ellos en porciones finitas, de magnitud ε.

Así pues, la ecuación propuesta por Plank y que relaciona la energía del conjunto de osciladores con la densidad de energía es:

Uc

u 4

4

8 νπλ =

Donde U es la energía interna y toma la siguiente forma:

1−=

kTeU ε

ε

Y así obtenemos:

18 4

4

−=

kTecu ελ

ενπ

De estas relaciones se puede concluir que la energía es proporcional a la frecuencia.

νε h=

Ejercicio: ¿Cómo crees que Plank llegó a la ecuación anterior? Para finalmente obtener:

1

185

−=

kThc

e

hcuλ

λ λπ

Si la energía U se debe repartir entre cada oscilador, entonces al ir sumando las energías corresponderá: 0, ε, 2ε, 3ε, 4ε, etc. Que es lo mismo que: nhν (con n= 0,1,2,3,4,…).

Al ceder o absorber energía de la radiación, los osciladores sólo podrán hacerlo en múltiplos de hν. Esto significa que la energía que intercambian los osciladores en equilibrio térmico con la radiación del cuerpo negro está cuantizada, sólo puede valer un número de veces el cuanto fundamental hν. h = 6.6262 x 10-34 J-s conocida como constante de PLANK. k = 1.38066 x 10-23 J/K conocida como constante de Boltzman. Ejercicio: Completa la siguiente tabla y grafica los resultados.

λ(µm) wuλ Puλ RJuλ 0.5 1.2 1.7 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 8.5 15 25 35 45

El efecto fotoeléctrico El efecto fotoeléctrico es uno de varios procesos mediante los que pueden emitirse electrones de la superficie de un metal. Esta emisión puede lograrse por alguno de los siguientes métodos:

• Calentando lo suficiente al metal para que la energía térmica permita que los electrones salgan de la superficie (emisión térmica).

• Colocando un campo eléctrico lo

suficientemente grande como para extraer los electrones del metal (emisión por campo).

• Lanzando una partícula sobre el metal, para

que su energía cinética sea transferida a los electrones y permitirles abandonar la superficie (emisión secundaria)

• Haciendo incidir luz sobre el metal, en cuyo

caso a los electrones que salen se les

denomina fotoelectrones. (emisión fotoeléctrica)

A la energía mínima para extraer al electrón de la superficie del metal se le conoce como w (energía de enlace electrón-metal) o función trabajo y depende del metal mismo.

La energía máxima sería:

0max νν hhE −= Las consideraciones son:

1. En el efecto fotoeléctrico las ondas electromagnéticas, aparentemente continuas, se comportan como partículas (fotones), con energía hν. Las cuales inciden sobre un solo electrón de la superficie.

νε hf = 2. La frecuencia debe ser lo suficientemente alta

para que la energía del fotón logre vencer la

energía de enlace del electrón, w. La frecuencia límite ν0 para la cual puede darse la emisión sería aquella donde la energía del fotón sea exactamente w.

wh =0ν Entonces:

0max νε hEf +=

Ambas consideraciones violan la teoría clásica.

• Se propone que una onda tiene un comportamiento como partícula. Es decir tiene una dualidad onda-partícula.

• La energía de esas partículas es proporcional a la frecuencia de la onda.

Pregunta: ¿Por cuál de sus investigaciones le dieron el premio Nobel a Albert Einstein?