la mayoría de las funciones matemáticas que describen ... y transforamda de fourier 2013-1.pdf18....
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La mayoría de las funcionesmatemáticas que describenfenómenos físicos REALES sonfenómenos físicos REALES sonfunciones complejas que nopueden ser aproximadasp padecuadamente por unafunción seno o coseno. http://jlnlabs.online.fr/plasma/gmrtst/index.htm
La Teoría de Fourier permiteanalizar cualquier funcióncontinua a partir de una seriecontinua a partir de una seriearmónica de funciones.Esto permite la aproximaciónp pde la función real con unaprecisión determinada por elnúmero de funciones armónicasque se utilicen.
La teoría de Fourier se basa en elPrincipio de superposición.Este principio es aplicable al caso de
d i t f iondas interferencia.Una serie armónica es aquella cuyoscomponentes son funciones periódicascomponentes son funciones periódicascon frecuencias: ω, 2ω, 3ω, etc…La mayoría de los sistemas físicos sepueden aproximar por seriesarmónicas: Oscilaciones, Voz, Señaleseléct ic s etcLa teoría de Fourier se aplica paracualquier función f(x) que cumpla con:
eléctricas, etc.
cualquier función f(x) que cumpla con:f(x) es periódicaf(x) es continua por seccionesf(x) está completamente definidaen un periodo (T).
http://fourier.eng.hmc.edu/e101/lectures/handout2/node1.html
En el caso de una serie infinita se cumple que:
11
0 sincos2
)(n
nn
n xnbxnaaxf
Los Coeficientes de Fourier, an y bn, se calculan con lassiguientes ecuaciones, aplicables a un semi-periodo:
dondedxlxnxf
la
Tn
cos)(1
2Tl
dxlxnxf
lb
Tn
sin)(1
El primer coeficiente de Fourier es:
df )(1
Cuando hay una discontinuidad en la
dxxfl
aT )(0
función, se toma el valor medio de ladiscontinuidad.
http://www.absoluteastronomy.com/topics/Step_function
Una función par es aquella donde:p q
En este caso, por razones de simetría,l fi i d F i
)()( xfxf
los coeficientes de Fourier son:
dxlxnxf
la
l
n
0cos)(2
P l t t ól l
ll 0
nbn 0Por lo tanto, sólo aparecen lostérminos en coseno.Una función impar es aquella donde:
http://library.thinkquest.org/2647/algebra/ftevenodd.htm
p q
Los coeficientes de Fourier son:)()( xfxf
dxlxnxf
lb
l
n
0sin)(2
Por lo tanto, sólo aparecen los términos en seno.
nan 0
Los coeficientes de Fourier, aLos coeficientes de Fourier, an
y bn, representan lasamplitudes de los armónicosque componen la funciónoriginal.
El cuadrado de la amplitudde cada armónico estárelacionado con la energíarelacionado con la energíaque aporta a la función total:
2AE http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0e/Sawtooth_Fourier_Analysis.JPG
AE
La amplitud del n-ésimo armónicodisminuye rápidamente conformen∞.
http://technoflash.chez-alice.fr/HTMLF/PIM/FSPE1.GIF
18. Haga la expansión en serie de18. Haga la expansión en serie deFourier de la siguiente función:
mTxmT 503
C l le e lí it e te l s i e s
mTxmTmTxmT
xf1050503
)( Zm
Calcule explícitamente los primeroscinco términos de la serie y muestrela regularidad de la misma.la regularidad de la misma.
19. Haga la expansión en serie deFourier de la siguiente función:
mTxmTxxf 225)( Zm
Calcule explícitamente los primeroscinco términos de la serie y muestrecinco términos de la serie y muestrela regularidad de la misma.
En espectroscopía los conceptos de señal y espectro estáníntimamente relacionados, pero NO son iguales.
La señal es lo que seGENERA durante unfenómeno físico Porfenómeno físico. Porejemplo: Una onda de sonidogenera cambios en la presióngenera cambios en la presiónque se detectan en unmicrófono.El espectro es laREPRESENTACIÓN de lasvariaciones de la señal envariaciones de la señal enfunción de algún parámetrofísico: frecuencia, vector de
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/82/Sawtooth-td_and_fd.png
s c ec e c a, ec eonda, etc.
Como se vio anteriormente, una onda puede descomponerse enuna superposición de componentes armónicos con diferentesamplitudes (Series de Fourier)amplitudes (Series de Fourier).
Una nota producida por un violín genera variaciones en lapresión (señal) que pueden representarse como una función delpresión (señal) que pueden representarse como una función deltiempo:El espectro de sonido de la nota representa la amplitud de la
)(tPP
onda sonora en función de la frecuencia del armónico que lacompone: )(AA La función A(ω) es laTRANSFORMADA DE FOURIERd l f ió P(t)de la función P(t).Y en general, el espectro es laTransformada de Fourier de la
http://www.intmath.com/Fourier-series/6_Line-spectrum.php
Transformada de Fourier de laseñal.
En la física aparecen de manera natural pares de variablesEn la física aparecen de manera natural pares de variablesconjugadas:
Posición y momento: x y pPosición y momento: x y pTiempo y frecuencia: t y fLongitud de onda ynúmero de onda: λ y kApertura y ángulo dedif ió t
Estas variables se relacionanmatemáticamente por medio
difracción, etc.
matemáticamente por mediode las TransformadasIntegrales.Integrales.Se dice que una correspondeal ESPACIO RECÍPROCO de
http://www.nims.go.jp/AEMG/recent/Asaka-NSMO/asaka-3/asaka-3.html
la otra.
Recordemos que una Serie de Fourier aproxima a cualquierRecordemos que una Serie de Fourier aproxima a cualquierfunción periódica como:
0 sincos2
)( nn tnbtnaatF
Para funciones NO periódicas, se debe tomar una serie infinitadonde las amplitudes de los armónicos que componen la serie
112 nn
donde las amplitudes de los armónicos que componen la seriesea infinitesimal:y la suma se transforma en una integral:
da )(
dGtF ti 2e)()(
donde el seno y el coseno sereemplazan por una exponencialp p pcompleja (Fórmula de Euler).La función G(υ) es la TRANSFORMADADE FOURIER de F(t) y la exponenciales el NÚCLEO de la transformada.
http://www.camyna.com/images/matematica.jpg
Para calcular matemáticamente la Transformada de Fourierde una función F(t) se tiene la siguiente ecuación:
dttFG ti 2e)(1)(
La transformada de Fourier generalmente es una función
dttFG
e)(2
)(
COMPLEJA. Sin embargo, está relacionada con magnitudesREALES a través del “cuadrado”:
S(υ) espectro de potencia2* S(υ): espectro de potencia.2* )()()()( GGGS
La transformada de Fourier tieneLa transformada de Fourier tienemuchas aplicaciones en:
EspectroscopíaCristalografíaMicroscopía ElectrónicaT l i iTelecomunicacionesAnálisis de Imágenes
Algunas funciones y su transformada de Fourier son:Algunas funciones y su transformada de Fourier son:
http://www.cv.nrao.edu/course/astr534/FourierTransforms.html
Una función extendida en el espacio será estrecha en el espaciorecíproco y viceversa.
20.Calcule la transformada de Fourier20.Calcule la transformada de Fourierde la siguiente función y grafíquela:
t 20
ttt
tF20
22520
)(
t20
21. Calcule la transformada de Fourierde la función que se muestra en lafigura y grafíquela.
)exp()( ttF