LA MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Definición.   Sea  V  un espacio vectorial.  Una base ordenada de  V  es una base  de  V  en la cual se ha establecido un orden.  

Así,  por ejemplo,  la base ordenada  de 

 es distinta de la base ordenada  , ya que aunque como conjuntos son iguales, tienen ordenados sus elementos de manera diferente. 

Definición.   Sea  V  un espacio vectorial  y  sea 

  base ordenada

de  V. Si  , definimos el vector de coordenadas de  x,

respecto a   como:

siempre que se cumpla que:

 En palabras, el vector de coordenadas de  x  es la  n-ada que se forma con los coeficientes de los vectores de la base, al escribir a  x  como combinación lineal de ésta.  Ejemplo.

Sea   y sea 

. Es fácil verificar que    es una  base ordenada de  V. 

Dado 

, para calcular su vector de coordenadas 

respecto a la base dada, debemos escribir  a   como combinación lineal de esta base. Planteamos entonces:

                        

lo que nos lleva a la solución:

 

Por lo tanto, concluimos que el vector de coordenadas de  ,

respecto a la base   es:

 

Supongamos ahora que tenemos

  y 

  bases ordenadas de  V  y  W, respectivamente,  y  sea  

  una transformación

lineal. Para cada  , podemos calcular el

vector de coordenadas  de   respecto a la base    e ir formando una matriz, con estos vectores coordenadas como columnas, es

decir, si

, 

entonces se forma la matriz:

 Definición.   La matriz asociada a la transformación lineal  T ,  respecto a las bases

ordenadas   y  ,  es la matriz    descrita

arriba. Cuando   y 

 se escribe  simplemente  . Ejemplo.

Sea 

 dada por 

 la derivada de f; y sean   y  las bases

canónicas  de   y   (ordenadas en la forma estándar) , respectivamente.Tenemos los siguientes datos:

                                                       

                                                     

Con todo esto, concluimos que la matriz asociada a  T  respecto a las bases 

  y  , es:

 En realidad, cuando calculamos la matriz asociada a una transformación, en realidad, podemos calcular toda la transformación. Este es el significado del siguiente: 

TEOREMA.   Sea   una

transformación lineal y sean    y    bases ordenadas de V y W,

respectivamente. Entonces   se cumple que:

 http://docentes.uacj.mx/gtapia/ALgebra/Contenido/Unidad%20IV/LA%20MATRIZ.htm