ANTIDERIVADA

“Dada una función f ( x ), hallar una función F ( x ) tal que, F ' ( x )=f ( x )”

Llamamos a F ( x ) una antiderivada de f ( x )

Ejemplo

Si f ( x )=3 x2, entonces F ( x )=x3 ya que F ' ( x )= f (x)

DEFINICIÓN

Se dice que una función F es una antiderivada de una función f , si para todo x en el dominio f ,

F ´ ( x )=f ( x )

Por otro lado si: f ( x )=x3+8↔F ( x )=3 x2

f ( x )=x3+π↔F (x )=3x2

f ( x )=x3↔F ( x )=3 x2

Por lo tanto: F ( x )=3 x2→f ( x )=x3+C , donde C ϵ R

De lo anterior podemos concluir que la antiderivada de este tipo de expresiones se puede lograr por medio de la siguiente afirmación

Si F ( x )=xn entonces f ( x )= xn+1

n+1+C;n≠−1

Algunas formulas para integrar

∫ xndx= xn+1

n+1+c ,n≠−1

∫ x−1dx=∫ 1x d x=∫1xdx=lnx+c

∫ exdx=ex+c

Reglas de integración

∫ a f ( x )dx=a∫ f ( x )dx ,donde aes constant e

∫ [ f ( x )+g ( x ) ] dx=∫ f ( x )dx+∫ g (x )dx

Ejemplos

1¿∫ x 4dx= x4+1

4+1+C

¿ x5

5+C

2¿∫√x dx=∫ x1/2dx

¿x12+1

12+1

+C

¿ x3 /2

32

+C

¿ 2√ x3

3+C

3¿∫ 3

x2dx=3∫ x−2dx

¿3( x−2+1

−2+1 )+C

¿3( x−1

−1 )+C¿ −3

x+C

4 ¿∫(3ex+4

x2 )dx=3∫ exdx+4∫ x

−2dx

¿3ex+4 ( x−1

−1 )+C¿3ex−4

x+C

NOTACIÓN SIGMA

La suma de n terminos a1 , a2 , a3 ,…,an se escribe

∑i=1

n

ai=a1+a2+a3+…+an

Donde: i es el indice de suma a i es el i-ésimo termino de la suma1 es el límite inferior de la suman es el límite superior de la suma

Propiedades de la notación sigma

∑i=1

n

k ai=k∑i=1

n

ai

∑i=1

n

(ai±b i )=∑i=1

n

ai±∑i=1

n

b i

Formulas de la suma

∑i=1

n

c=cn

∑i=1

n

i=n (n+1)2

∑i=1

n

i2=n (n+1 ) (2n+1 )

6

∑i=1

n

i3=n2(n+1)2

4

Ejemplos

Cálcular∑i=1

ni+1n2

paran=10 ,n=100 , n=1.000 y n=10.000

Solución

∑i=1

ni+1n2

=1n∑i=1

n

( i+1 ) ya que 1nes unaconstante

¿ 1n (∑

i=1

n

i+∑i=1

n

1)aplicando propiedades

¿ 1n [n (n+1 )

2+n]reemplazando las formulas

¿ n2+3n2n2

n ∑i=1

ni+1n2

=n2+3 n2n2

10 0.6500

100 0.51500

1.000 0.50150

10.000

0.50015

Por lo anterior se puede deducir que

limn→∞

n+32n

=12

ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA

Sea f una funcion continua y no negativa en el intervalo [a, b] , el área de la región limitada es:

Área=limn→∞

∑i=1

n

f ( xi)∆ x ,donde ∆ x=b−an

y x i=a+i ∆ x

Integral definida como área de una región plana

Sea f una funcion continua y no negativa en el intervalo [a, b] , el área de la región limitada es:

Área= limn→∞

∑i=1

n

f (x i )∆ x=∫a

b

f ( x )dx

∫a

b

f ( x )dx=F (b )−F (a)

F (x) es una antiderivada de f ( x ).

ACTIVIDAD PROPUESTA

Con el fin de fortalecer el tema se sugiere realizar la siguiente actividad.

1. Calcule la antiderivada general de las siguientes funciones.

a¿ f ´ (x )=x2+3 x+2b¿ f ´ ( x )=(x−2)3

c ¿ f ´ ( x )=e2x d¿ f ´ ( x )= 15 x

2. Resuelva las siguientes integrales indefinidas.

a¿∫ (x3+2 )dx b¿∫ 3√x2dx

c ¿∫ x−8x2

dx d¿∫ (2 t 2−1 )dt

e ¿∫ y2√ y dy f ¿∫ (1+3 t )t 2dt

3. Usar notación sigma para expresar las siguientes sumas.

a¿ 13(1)

+ 13(2)

+ 13(3)

+…+ 13(9)

b¿ [2( 18 )+3]+[2( 28 )+3]+…+[2( 88 )+3]c ¿[1−( 14 )

2]+[1−( 24 )2]+…+[1−( 44 )

2]d ¿[( 2n )

3

−2n ]( 2n )+…+[( 2nn )

3

−2nn ]( 2n )

e ¿( 1n )√1+( 0n )2

+…+( 1n )√1+( n−1n )2

4. Usando las propiedades de notación sigma y formulas de suma, calcular el valor de las siguientes sumas.

a¿∑i=1

20

2 i b¿∑i=1

10

(i2−1 )c¿∑i=1

15

i ( i−1 )2

5. Hallar el área de la región bordeada por las gráficas de

f ( x )= (x−1 )2+2, x=−1, x=2 y el eje x , mediante la búsqueda del límite de las sumas de Riemann. (comparar con la integral definida)

6. Sombrear en la gráfica y calcular el área bajo la curva de las siguientes funciones por medio de la integral definida.

∫1

3

(3x2+5 x−2 )dx∫0

π

senxdx

7. Hallar el área de la región limitada por la gráfica f ( x )=x3+x y el eje x, desde x=1 hasta x=4

Ejercicios propuestos

Con el fin de fortalecer este tema se recomienda calcular la antiderivada de las siguientes funciones y así poder avanzar a la siguiente fase.

a¿ f ´ (x )=x2+3 x+2b¿ f ´ ( x )=(x−2)3

c ¿ f ´ ( x )=e2x d¿ f ´ ( x )= 15 x