LA IMPORTANCIA DE LA SIMETRÍA

#1 Presentación

Hoy vamos a abordar un tema cuyo tratamiento no es habitual en el ámbito tecnológico, me refiero a la simetría.

Todos tenemos una idea intuitiva de qué es la simetría. Esta idea parte de reconocer, en nuestro entorno, la semejanza bilateral del cuerpo humano y de la mayoría de los animales, la regularidad radial de las flores o la armonía espacial de numerosos objetos naturales o creados por el hombre. No es de esa simetría evidente o aparente de la que vamos a hablar, sino de una simetría que subyace a las distintas manifestaciones de la realidad que compartimos, e inclusive, a los procesos orgánicos que nos permiten vivir en ella.

Estas simetrías son transformaciones que dejan intacta, en su discurrir, toda la estructura relevante de una entidad; el resultado de su aplicación es siempre, exactamente igual al original en todos sus aspectos fundamentales.

#2 Evolución del argumento de simetría (Noether)

El argumento del principio de simetría ha sufrido, por así decirlo, una suerte de evolución desde que en la segunda década del siglo pasado, la matemática alemana Emmy Noether demostrara en un teorema el por qué de la existencia de las leyes de conservación y magnitudes que no cambian durante el despliegue temporal de un sistema físico. O dicho de otra forma, demostró que las leyes naturales no cambian con el tiempo.

Por ejemplo, observemos este cilindro girando sobre su eje vertical, vemos que nos ofrece la misma imagen antes y después de la rotación. Esta es la simetría de la que estamos hablando; aunque de todas formas, salvo que hagamos alguna marca sobre la superficie del cilindro, no podremos capturar la esencia de esa simetría. Ahora sí nos damos cuenta que está girando, pero ya dejó de ser simétrico bajo esta transformación. Lo que quiero destacar es que este tipo de simetría no es evidente a la simple observación.

Si pretendemos definir cuantitativamente este tipo de simetría debemos transformar el sistema que estamos observando. Si la lectura que hacemos de él, sin modificarlo, antes y después de aplicar la transformación no muestra diferencias o solo una diferencia infinitesimalmente pequeña, podremos afirmar que ese sistema es invariante bajo esa transformación. El cilindro es invariante bajo la rotación sobre su eje vertical. Luego, la existencia de invariancia revela la simetría subyacente.

Una transformación es un cambio del marco de referencia, es un nuevo sistema de coordenadas. El momento o la energía de un sistema puede conservarse, pero no necesariamente ser invariante. Veamos por qué.

¿Qué ocurre con una bola de billar aproximándose a otra? Si tomamos como marco de referencia la mesa de billar el momento del sistema es distinto de cero, pues antes de la colisión, una bola se aproxima a otra. Pero si tomamos como marco de referencia el centro de la masa de la bola, el momento es cero. Estas diferencias nos están diciendo que el momento se conserva dentro de cada marco, aunque no es invariante entre ellos. De esta manera, podemos afirmar que hay

Conservación: cuando no hay cambios en un marco de referencia. Y que hay

Invariancia: cuando no hay cambios entre marcos de referencia.

El teorema de Noether relaciona la conservación con la invariancia, y por tanto, con la simetría y determina que el conjunto de transformaciones forma una estructura algebraica llamada grupo.

#3 Evolución del argumento de simetría (Van Fraassen)

El filósofo estadounidense de origen neerlandés Bas Van Fraassen, especializado en Filosofía de la Ciencia y Lógica, define la simetría según lo hizo Noether pero la propone como guía para la caracterización de una teoría científica, ya que la considera como la clave principal para comprender el mundo construido teóricamente a través de un modelo.

Nos dice Van Fraassen: si tenemos una regla R para resolver un problema determinado (A), la aplicación de esa regla arrojará como salida su solución (R(A)). Pero también, disponemos de otra transformación (h) que al aplicarla hace que el problema, esencialmente, vuelva a ser el mismo. Si un problema concreto con una entrada A es modificado por la transformación h, se convierte en el problema con la entrada h(A). En el vértice inferior derecho del esquema tenemos dos salidas: la salida original transformada y la salida del problema transformado. Pero, si los dos problemas son esencialmente el mismo, luego las dos soluciones también lo son. Se cumple así con el requerimiento de simetría: h(R(A)) = R(h(A)). El problema sigue siendo el mismo luego de haber encontrado una solución. (Principio de invariancia)

Sus aportes se centran en proyectar el concepto de simetría más allá de la física o de las matemáticas, intentando su aplicación a cualquier teoría científica, sugiriendo que ‘problemas similares tienen soluciones similares’. Por otro lado, establece como método el individualizar los rasgos o aspectos relevantes de la solución, aunque no especifica cómo hacerlo.

#4 Evolución del argumento de simetría (Salatino)

En 2009 centramos nuestro interés en el grupo que comporta la simetría y propusimos algunas modificaciones, que permitieron adaptarlo como herramienta para el análisis de algunos fenómenos sociales, como por ejemplo, el lenguaje.

Entre las modificaciones propuestas se destacan: la generación de un grupo de permutación conformado por dos elementos y dos transformaciones dispuestos

en oposición, que representan, perfectamente identificados, los elementos esenciales de cualquier problema. Esto permite identificar dos niveles (o subgrupos) con distinto marco de referencia que demuestran, en su evolución temporal, la existencia de diferentes simetrías, entre ellas, algunas no planteadas originalmente por Noether, como son el discurrir en sentido opuesto de los niveles y la simultaneidad o concurrencia de los marcos de referencia, como ocurre, por ejemplo, cuando ambas bolas de billar colisionan.

En esta presentación mostraremos que es posible proyectar esta adaptación del concepto de simetría más allá de las Ciencias Sociales y aplicarlo a cualquier disciplina científica, incluidas la Física y las Matemáticas, y esto con un doble propósito; por un lado, para convalidar este enfoque como método de investigación científica, y por otro, para aportar una herramienta que puede ser útil para la educación en ciencias empíricas.

Veamos todo esto con mayor detalle.

#5 Grupo genérico

Un grupo debe mostrar una serie de propiedades para ser considerado como tal. Para certificar dichas propiedades tomaremos como guía un grupo genérico. Vemos aquí distintas formas de representar este tipo de grupo según lo que pretendamos resaltar de su estructura.

La estructura de este tipo de grupo consta de dos elementos estáticos contrapuestos y dos elementos dinámicos dispuestos en oposición. Cada uno, en forma alternada, ocupa cada uno de los cuatro vértices de un paralelogramo rectángulo. Todos los elementos tienen un código binario que los identifica y que surge de una tabla de asignaciones con, al menos, dos atributos básicos.

Los elementos estáticos además de opuestos son complementarios y concurrentes. De los elementos dinámicos, uno de elllos tiene como función el ligar ‘transformando’ en forma evidente ambos elementos estáticos. Desde el punto de vista lógico se comporta como una disyunción y su código se corresponde con la co-presencia de ambos atributos, lo que equivale a la unión de los elementos por sus diferencias, por lo que también lo conoceremos como ‘organización’. El otro elemento dinámico representa una ‘transformación oculta’ cuya función es romper la ligadura anterior, lo que posibilitará la futura evolución del sistema. Lógicamente se comporta como una conjunción y su código surge de una co-ausencia de los atributos, lo que equivale a una separación de los elementos por sus semejanzas; también lo conoceremos como ‘desorganización’.

Este arreglo que estructuralmente representa un grupo de Galois, funcionalmente representa una conexión de Galois; o sea, la oposición de dos aspectos o conceptos a través de otra oposición, que aquí conoceremos como PAU (Patrón Autónomo Universal). El triángulo es solo para destacar los dos niveles que forman esta estructura y su evolución temporal en sentido opuesto.

#6 Propiedades del grupo

Hechas las definiciones elementales, veremos si cumple con las propiedades que todo grupo de cumplir.

Clausura: para que un conjunto de elementos sea cerrado bajo cierta transformación, la respuesta ante su aplicación a cualquier combinación posible de sus elementos, debe ser la producción de un elemento que pertenezca al conjunto. Todo grupo debe tener una ‘operación de composición’ que se utiliza para ‘simular’ una transformación dada. En este caso utilizamos XOR (disyunción exclusiva). Con su aplicación se logra la evolución aparente del grupo; esto es, el ciclado hacia la derecha del triángulo que representa el grupo, al obtener con cada aplicación el elemento subsiguiente hasta llegar a la posición inicial. Esto equivale a decir que muestra una simetría rotacional, que se puso en evidencia en los tres giros sucesivos de 120º del triángulo.

Identidad: debe existir un elemento del conjunto tal que al afectar mediante una transformación a otro elemento del mismo conjunto, no lo modifique. Esto lo podemos comprobar según estas operaciones. A este elemento que representa la transformación oculta, lo conoceremos como elemento identidad o neutro.

Inverso: todos los elementos del conjunto deben tener su inverso, tal que la composición entre ellos den como respuesta el elemento neutro.

Propiedad asociativa: todas las composiciones logradas mediante una determinada transformación son independientes de su agrupamiento. Si observamos estas operaciones, agrupadas de distinta forma, dan el mismo resultado.

El conjunto aquí presentado cumple con estas propiedades que permiten poner en evidencia una simetría por rotación. Pero además, debe cumplir con otra propiedad que podríamos denominar la clausura del conjugado.

#7 Clausura del conjugado

Si recordamos la demostración de la propiedad de clausura se verá que se cumple parcialmente porque nunca aparece como respuesta a las sucesivas operaciones el elemento neutro o identidad. Esto tiene una explicación.

Si observamos la figura vemos que nuestro supuesto grupo genérico, en realidad, está formado por dos subgrupos; en donde, uno es la negación del otro; o lo que es lo mismo, uno es el reflejo del otro a través de un espejo plano. Los elementos dispuestos en los vértices del triángulo reflejado (azul) constituyen a su vez un grupo. A diferencia del grupo original, aquí la operación utilizada es la equivalencia, o sea, la opuesta a la de composición. La evolución que se muestra este grupo ‘reflejado’ también una simetría rotacional ya que luego de tres giros de 120º vuelve a su posición inicial, aunque girando en sentido contrario.

Aquí podemos revisar las tablas básicas de los cuerpos finitos mínimos que representan los dos niveles de que consta nuestro grupo: un nivel superficial cuya operación interna es la suma lógica y la operación aparente es XOR; y un nivel oculto o profundo cuya operación interna es el producto lógico y su operación aparente la equivalencia. La tercera tabla representa la correspondencia generalizada entre estos cuerpos finitos y el grupo que se denomina ‘conexión de Galois’ y en donde quedan integrados ambos niveles y en donde el producto de giro dextrógiro certifica la clausura del nivel superficial generada por la transformación aparente, mientras que el producto de giro levógiro hace lo propio en el nivel profundo mediante la transformación oculta.

En resumen, hemos comprobado la existencia de simetría tanto rotacional como de reflexión del grupo formado por los aspectos esenciales de un problema, lo cual cumple con la exigencia planteada por Van Fraassen.

#8 Producto cíclico de cuaterniones

Otra manera de representar, gráficamente, lo anterior es a través del producto cíclico de cuaterniones propuesto por Hamilton en 1853; otra caracterización de los grupos cíclicos finitos, que es como los definió quien los descubrió en 1832: Evariste Galois.

Los cuaterniones descubiertos por Hamilton representan una extensión del plano complejo a las tres dimensiones, lo cual aportó una nueva interpretación tridimensional de la realidad física; hoy utilizada profusamente en robótica, en problemas de posicionamiento (industria aeroespacial, satélites) y en la industria de videojuegos.

La razón de mostrarlos aquí es que, como pueden ver, siguen una distribución idéntica a la que hemos propuesto, pero además, aporta un detalle significativo: desglosa el elemento que ocupa el centro del nivel oculto (reflejado). Esto último lo consiguen incluyendo un aspecto más en la caracterización de los elementos fundamentales del grupo.

#9 Teoría del color de la luz

El agregado del último aspecto permite poner en evidencia la última propiedad de nuestro grupo: la concurrencia o simultaneidad de la dinámica compleja de sus niveles. En esta conexión de Galois que llamamos PAU se constata, entre sus elementos, una triple interrelación que da cuenta de su complejidad: son opuestos (uno es la negación del otro), son complementarios (sumados dan la unidad (111), multiplicados dan 0 (000); y además, giran en sentido opuesto) y son concurrentes ya que transcurren al mismo tiempo.

Como vemos la aplicación simultánea de XOR y equivalencia al mismo conjunto de elementos pone en funcionamiento, sincrónicamente, la dinámica que conduce a la clausura (la simetría rotacional) de ambos niveles y a la simetría por reflexión entre niveles. La posibilidad de establecer un origen o fuente de la transformación o cambio que anima al sistema y descubrir una instancia en donde se desorganiza y luego reorganiza esta dinámica, dan la

pauta de que este sistema puede exhibir un cierto grado de evolución adaptativa; al agregar un tercer atributo a la tabla de referencia para representar rotaciones en los ejes 3D, también nos revela los detalles relacionales de la teoría del color de la luz como una prueba de la utilidad que puede brindar este enfoque.

#10 Leyes de Maxwell

Vamos a mostrar solo algunos ejemplos en donde se confirma la existencia de un PAU.

En primer lugar analizaremos las leyes de Maxwell que establecieron que la electricidad, el magnetismo y la luz son distintas manifestaciones del mismo fenómeno. Comenzamos aislando los parámetros relevantes para explicar la teoría electromagnética de la luz, considerándolos al interrelacionarlos, como el ‘núcleo fundamental’ de la teoría de Maxwell y le asignamos un código según un par de atributos.

La radiación electromagnética, como Uds. saben, es un tipo de campo electromagnético variable; es decir, una combinación de campos eléctricos y magnéticos oscilantes, que se propagan a la velocidad de la luz, transportando energía de un lugar a otro.

De las ecuaciones de Maxwell se infiere que un campo eléctrico variable en el tiempo genera un campo magnético, y recíprocamente, la variación temporal del campo magnético induce un campo eléctrico. Esta ‘inducción mutua’ sugiere una solución de estas ecuaciones en forma de onda que se propaga desde una fuente a la velocidad de la luz en el vacío, siendo su dirección de propagación perpendicular a las oscilaciones del campo eléctrico y del campo magnético, que a su vez, son perpendiculares entre sí.

Este esquema además muestra que las ondas magnéticas son evidenciadas indirectamente, la electricidad es evidenciable directamente, la luz se ve (es evidente) pero ‘no se siente’, en cambio la energía ‘no se ve pero se siente’ (está oculta). Este esquema simple deja constancia de las cuatro ecuaciones de Maxwell que justifican el electromagnetismo y la inducción eléctrica.

#11 Identidad de Euler

La identidad de Euler que relaciona cinco unidades fundamentales: la base de los logaritmos neperianos, la unidad imaginaria, , la unidad del producto (elemento neutro) y el elemento neutro de la suma, es un caso especial de su conocida fórmula, proporciona una potente conexión entre el análisis matemático y la trigonometría y se utiliza para representar los números complejos en coordenadas polares. Una propiedad importante de la fórmula de Euler es que es la única función matemática que permanece con la misma forma (invariancia) con las operaciones de integración y derivación del cálculo integral, por lo que se utiliza para convertir las ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas, simplificando los cálculos. Geométricamente, la suma

y la multiplicación de un número complejo permiten poner en evidencia las simetrías de rotación y reflexión de un grupo como se ve en el esquema.

#12 Constantes universales de Planck – Relatividad especial de Einstein

Un año antes de que Max Planck postulara la existencia de un cuanto elemental de acción como la base de la Mecánica Cuántica, propuso un sistema de unidades naturales que se basaba en cuatro constantes universales que tienen que ver con la frecuencia electromagnética, con la carga eléctrica, con la velocidad de la luz y con la energía de un fotón; y que demuestran la constancia de la estructura fina de la naturaleza. Estas constantes, interrelacionadas, conforman un PAU.

Algo similar podemos constatar en el caso de la Relatividad Especial de Einstein en donde se relacionan el tiempo, el espacio, el momento y la energía analizados desde sistemas de referencia inerciales.

#13 ADN

No solo en las Matemáticas y en la Física se puede comprobar la existencia de simetría, también otros fenómenos naturales, como la vida, respetan el principio de invariancia. El mejor ejemplo lo representa el código genético, origen de la vida. Las bases nitrogenadas que conforman el ADN: citosina, guanina, adenosina y timina/uracilo conforman un grupo con las características antes citadas. La asignación de los códigos binarios de las bases nitrogenadas se basa en aspectos bioquímicos y químicos. Esto es, las bases se agrupan siempre de la misma forma, cuatro bases nitrogenadas apareadas: adenina-timina y citosina-guanina, unidas mediante moléculas de azúcar y fosfato, formando una especie de escalera en espiral. La pertenencia de las bases a dos grupos químicos complementarios permiten colocarle un código binario a cada base. Por otro lado, los códigos se justifican, también, en los enlaces químicos que mantienen unidos los átomos de una molécula.

Desde esta perspectiva, las bases nitrogenadas que forman el ADN forman un grupo, y por lo tanto, las relaciones entre ellas representan una conexión de Galois. Este hallazgo da la posibilidad de establecer un nuevo ordenamiento de la tabla del código genético que brinda una serie de ventajas en el estudio de la posible evolución del proceso biológico que permitió llegar a los aminoácidos actuales.

#14 Sistema Nervioso Central

Siguiendo con los seres vivos, veremos con algún detalle el funcionamiento del SNC en donde se demuestra la presencia de simetría.

Desde un punto de vista muy general nuestro SNC puede ser considerado como un sistema de control de lazo cerrado. Un sistema de control es un conjunto de procesos que se encargan de mantener y regular el adecuado funcionamiento de otro sistema con el fin de obtener de él un comportamiento determinado. Un sistema de control cerrado o de control realimentado es aquel donde la acción de control está en función de la señal de salida.

Si codificamos las distintas instancias del circuito de control según las pautas mostradas en los ejemplos anteriores, vemos que se arma, nuevamente, una conexión de Galois, y que por tanto, permite observar el fenómeno de simetría.

Lo mismo ocurre si analizamos en detalle las conexiones entre las neuronas. Podemos armar una conexión de Galois con sus distintos tipos (eléctrica y química) y sus distintas formas de conectarse (acoplamiento eléctrico y rectificación). Estas características permiten que algunas neuronas actuen como osciladores (marcapasos) y otras como moduladores (selectores de frecuencia) y explique así el funcionamiento electrofisiológico cerebral.

#15 Música

No hay nada que diferencie, evolutivamente hablando, el lenguaje musical de nuestro lenguaje materno natural. La afirmación anterior se fundamenta en la absoluta relación que existe, según hemos demostrado, entre el origen de un lenguaje natural (y la música lo es) y el origen y evolución del SNC. Las tres etapas evolutivas del SNC coinciden con las etapas evolutivas del lenguaje natural. El logro evolutivo señalado nos habla sobre ciertas predisposiciones neurológicas y psíquicas que fueron adquiridas a través del tiempo y en donde siempre están presentes un desarrollo estructural y uno funcional que se expresan, universalmente, en la estructura; naturalmente, en el sentido que adquiere para el sujeto lo percibido; y pragmáticamente, en la respuesta que ese sujeto sea capaz de ofrecer a su entorno.

Que la música es un lenguaje queda demostrado desde el momento en que puede ser abordado desde el punto de vista semiótico y lingüístico tradicional, ya que posee, según vemos en el esquema, un componente sintáctico (estructural o biológico), un componente semántico (funcional o psíquico) y un componente pragmático (de proyección o socio-cultural).

Cada uno de estos componentes muestran los dos niveles antes especificados: estructural y funcional que coinciden con la disposición que describimos en el 2009 del aparato psíquico.

Sin entrar en detalles, podemos ver que cada nivel de este lenguaje forma con sus elementos básicos sendas conexiones de Galois y por tanto, se puede comprobar la presencia de simetría.

Con esta representación fasorial de distintas oscilaciones se pueden desglosar ondas de igual frecuencia pero de fases y amplitudes diferentes, algo que se puede observar en presencia de osciladores acoplados. Este es el mecanismo que hemos propuesto como ‘selector’ de las distintas instancias funcionales del cerebro y del aparato psíquico según las necesidades de un sujeto enfrentado a su entorno. Lo que queremos decir es que este aspecto funcional está sustentado en una suerte de motor temporal, de allí la posibilidad de influir psíquicamente con la música, ya que ésta tienen como factor común con la psiquis, el tiempo.