la hiperbola
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GENERALIDADES SOBRE LA HIPERBOLATRANSCRIPT
Hipérbola
La hipérbola, se origina al cortar el cono con un plano que no pase por el vértice y cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono es menor que el de la generatriz del cono.
Vértice
Eje
Plano
Generatriz
Definición de La Hipérbola como Lugar Geométrico:
Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.
Elementos de la hipérbola En toda hipérbola conviene considerar:
Y: Es el eje secundario de la hipérbola y es la mediatriz del eje focal.
X: Es el eje focal de la hipérbola.
F y F´: Son los focos de la hipérbola.
A y A´: Son los vértices de la hipérbola.
O: Es el centro de la hipérbola.
P: Es un punto de la hipérbola.
PF y PF´: Son los radio vectores de la hipérbola.
Y
XO
P
AA´ FF´
Elementos de la hipérbola2c: Se le llama distancia focal.
2a: Es el eje transverso.
AA´: A este segmento se le denomina eje real.
F´ FAA´
Y
O
P
2a
2c
F´ AA´
Diferencia entre una elipse y una hipérbola
La elipse es la suma de la distancia del conjunto de los puntos (x,y)
12
2
2
2
=+b
y
a
x
Y la hipérbola es la diferencia de la distancia del conjunto de los puntos (x,y).
La diferencia entre estas dos cónicas es que
12
2
2
2
=−b
y
a
x
Coordenadas de los elementos que la construyen la hipérbola vertical
( )akhV −,'
( )ckhF +,
( )ckhF −,'
aVV 2' = b2 cFF 2' =a
bLR
22=a
ce =
Vértices Focos Eje transverso
Eje con jugado
Distancia focal
Lado recto
Excentricidad
( )akhV +,
Coordenadas de los elementos que la construyen la hipérbola vertical
Coordenadas de los elementos que la construyen la hipérbola horizontal
( )kahV ,' −
( )kchF ,+
( )kchF ,' −
aVV 2' = b2 cFF 2' =a
bLR
22=a
ce =
Vértices Focos Eje transverso
Eje con jugado
Distancia focal
Lado recto
Excentricidad
( )kahV ,+
Hipérbola Conjugada
Dos hipérbolas son conjugadas cuando el eje transverso de una es el eje conjugado de la otra. Las hipérbolas conjugadas tienen el mismo rectángulo básico y las mismas asíntotas .
Hipérbola Equilátera Aquella en la que los
semiejes real e imaginario son iguales, es decir, a = b
A´
B´
B
F´ FA
Y
XOA´
45°
Nota :en este caso, las asíntotas son las rectas bisectrices de los ejes:
y = x; y = -x.
Ecuación canónica de la hipérbola
Con eje transversal horizontalCentro (0, 0) Centro (h, k)
con eje transversal verticalCentro (0, 0) Centro (h, k)
1)()(
2
2
2
2
=−−−b
ky
a
hx
1)()(
2
2
2
2
=−−−b
hx
a
ky
12
2
2
2
=−b
y
a
x
12
2
2
2
=−b
x
a
y
Ecuación general
A x2 + B x y + C y2+ D x + E y + F = 0
Si b²- 4ac > 0 la ecuación es de tipo hiperbólico y su gráfica puede ser una hipérbola o dos rectas.
EJEMPLO :Encontrar a, b, c, e, asíntotas y su respectiva
grafica de la hipérbola 9x2 – 4y2 = 36
Sol. 9x2 - 4y2
= 3636
y2
4x2
9 = 1
a2 b2
Entonces :
centro en el origen (0, 0)
a = 3 b = 2 c =
c = a2 + b2
c = 9 + 4
13
Excentricidad:a
ce =
2
13=e
Gráfica:
xa
by ±=
Asintotas xy2
3±=
F2 V1 F1V2
Para graficar:
•Colocamos el centro (0, 0)
•Colocamos los vértices
•Colocamos los focos
•Trazamos el rectángulo
•Trazamos las asintotas
•Trazamos la hiperbola