la derivada. ya vimos: los conceptos, métodos ó instrumentos necesarios para establecer el...
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La Derivada
Ya vimos: los conceptos, métodos ó instrumentos necesarios para establecer el “comportamiento” de una función.
en un entorno de xo [ estudiando el: ],
para x´s “muy grandes” ( ) [ estudiando el: ],
en el punto xo [ estudiando: ]
O sea, estudiamos métodos para conocer como varía f al variar x .
* ¿tiene comportamiento “definido” ?, * ¿se acerca a “un valor determinado” ?, * ¿se hace “cada vez más grande” (positiva o negativamente)?, * ¿presenta “salto” ó “agujero”?).
Ahora, continuamos estudiando las funciones pero “desde otra perspectiva” .
Dada y = f(x) ; xo Dom f, ahora el objetivo es determinar
cuánto varía f al variar x en un entorno de xo .
Ya vimos: los conceptos, métodos ó instrumentos necesarios para establecer el “comportamiento” de una función.
en un entorno de xo [ estudiando el: ],
para x´s “muy grandes” ( ) [ estudiando el: ],
en el punto xo [ estudiando: ]
O sea, estudiamos métodos para conocer como varía f al variar x .
* ¿tiene comportamiento “definido” ?, * ¿se acerca a “un valor determinado” ?, * ¿se hace “cada vez más grande” (positiva o negativamente)?, * ¿presenta “salto” ó “agujero”?).
Ahora, continuamos estudiando las funciones pero “desde otra perspectiva” .
Dada y = f(x) ; xo Dom f, ahora el objetivo es determinar
cuánto varía f al variar x en un entorno de xo .
Introducción
)x(flimoxx
)x(flimx
continuidad de f en xo
Dada y = f(x) , quedan definidas dos variables: v.i “x” y v.d “y” .
Al variar x en un entorno de xo Dom f ; se generan dos tipos de “incrementos”:
* el de la variable independiente: x = x - xo ;
* el de la variable dependiente: y = y - yo
y
x
xo x = xo+x x
yo
y
punto incrementado
)x(f)xx(fy
)x(f)x(fy
oo
o
y = y - yo
Observaciones:
y depende de xo y de x . Para xo fijo, depende sólo de x .
Para xo fijo, y es función de x ; ( / y = (x) ).
CAMBIO “TOTAL” en y , al variar x de “ xo a xo+ x”
Ejemplo 1: En la empresa donde trabaja, finalizada la jornada se han llenado todos los tanques del día, excepto uno. Su jefe le pide que por favor se haga cargo de este tanque, que se quede un poco más; que en 2 hs. ya entraron 4 ls. ; sólo faltan 12 ls. para que se llene.
Si sabe que hay dos tipos de tanques, ¿le convence el argumento del jefe de que 12 ls. es “poco” ?; ¿o preguntaría de que tanque se trata antes de aceptar quedarse ?.[ T1 ]
to =2 V( to) = 4
V = 12 ( ls)
t = ……. ( hs)
[ T1 ]
to =2 V( to) = 4
V = 12 ( ls)
t = ……. ( hs)
x
t
4 ls
V(ls)V(ls)
x
t
4 ls
x
t
t =
0 0
0
V = 12 V = 12 V = 12
t = 30
V = 12 V = 12
t = 30
V = 12
x
t
0
t (hs) t (hs) [ T2 ]
to =2 V( to) = 4
V = 12 ( ls)
t = ……. (hs)
[ T2 ]
to =2 V( to) = 4
V = 12 ( ls)
t = ……. (hs)
2 2
32
4
2 30
V = 12 V aumenta 12 ls (¿es mucho?, ¿ poco ?, ¿o es relativo?)
[ T1] V = t 2 ; to= 2 V = V(2+t) – V(2 ) = V(4 ) – V (2 ) = 16 - 4 = 12
[ T2 ] V = ; to = 2 V = V (2+t)– V(2 ) = V(32 )–V (2 )= – 4 = 12
Evaluar el cambio total en V, requiere referir el mismo al cambio en t .
V = 12 V aumenta 12 ls (¿es mucho?, ¿ poco ?, ¿o es relativo?)
[ T1] V = t 2 ; to= 2 V = V(2+t) – V(2 ) = V(4 ) – V (2 ) = 16 - 4 = 12
[ T2 ] V = ; to = 2 V = V (2+t)– V(2 ) = V(32 )–V (2 )= – 4 = 12
Evaluar el cambio total en V, requiere referir el mismo al cambio en t .
256
[ T1] t = 2 <<<<< V = 12
El V es ´poco´ en ´relación´ al t. ( se requiere poco tiempo para llenar 12
ls.)
Decimos que V aumenta rápidamente.
[ T2] t = 30 >>>>>> V = 12
El V es ´mucho´ en ´relación´ al t. (se requiere mucho tiempo para llenar 12
ls )
Decimos que V aumenta lentamente.
[ T1] t = 2 <<<<< V = 12
El V es ´poco´ en ´relación´ al t. ( se requiere poco tiempo para llenar 12
ls.)
Decimos que V aumenta rápidamente.
[ T2] t = 30 >>>>>> V = 12
El V es ´mucho´ en ´relación´ al t. (se requiere mucho tiempo para llenar 12
ls )
Decimos que V aumenta lentamente.
t8
x
y
V = t2 V = t8
V
t
t = 2
t = 30
y = x 2 ; xo=2 y = f (2+x) – f (2 ) = 4 2 – 22 = 12
y = ; xo= 2 y = g (2+x) – g (2 )= – 4 = 12
y = 12 y aumentó 12 unidades ( ¿ es mucho, poco o “relativo” ? )
256
Evaluar el cambio total en y,
requiere referirlo al cambio en x .
[ f ] x = 2 <<<<< y = 12 ( se requiere que x varíe poco para que
y crezca 12 unidades)
Decimos que y, aumenta rápidamente.
[ g] x = 30 >>>>>> y = 12
(se requiere que x varíe mucho para
que
y crezca 12 unidades) Decimos que y, aumenta lentamente.
Evaluar el cambio total en y,
requiere referirlo al cambio en x .
[ f ] x = 2 <<<<< y = 12 ( se requiere que x varíe poco para que
y crezca 12 unidades)
Decimos que y, aumenta rápidamente.
[ g] x = 30 >>>>>> y = 12
(se requiere que x varíe mucho para
que
y crezca 12 unidades) Decimos que y, aumenta lentamente.
x8
x
y
y = x2
y = x8
y
x
x = 2
t = 30
Vemos así que dada y = f(x).
el cambio total en y (y) es un valor de relativa utilidad; mientras que,
el cambio en y “ en relación” al cambio en x , es un dato realmente útil ;
informa acerca de la ´rapidez´ con que una función varía en el entorno
de un punto dado.
La forma practica de evaluar la rapidez es a través del cociente de los incrementos.
Tan importante es este cociente que se le da un nombre y se dedica una rama del
Cálculo a su estudio. Se lo llama: razón de cambio en y respecto al cambio en x,
o abreviadamente, “razón de cambio ” .
Razón de cambio :
Este cociente recibe diversos nombres los que dependen de la disciplina de que se trate.
Así, en Matemática se lo llama cociente incremental mientras que en las Ciencias Fácticas lo
más habitual es llamarlo, razón de cambio.
x
y
¿Qué información brinda la “razón de cambio” respecto a f ?.
Razón de Cambio y Función Lineal .
Dada y = f(x) con f lineal , vimos que:
f lineal = m ; x la razón de cambio es constante .
¿qué dice esto de la función lineal ?:
que “ y cambia exactamente ´m´ unidades
por cada cambio unitario en x ” ;
o sea que “ y varía a velocidad constante ”.
fundamentalmente que
´velocidad de variación constante´
es lo que caracteriza a la función lineal.
O sea, una propiedad que presenta la función lineal y sólo ella.
xy
y =2
y = 2 .x + 1 = 2
x=1
xy
¿Qué información brinda la “razón de cambio” respecto a f ?.
Razón de Cambio y Función No Lineal.
Investigamos un ´caso simple´ : f(x) = x2 .
¿COMO? : procedemos a:
elegir un xo xo = 1
calcular y para distintos x.
calcular y/x;
organizar la información de modo
que permita detectar alguna “regularidad”
en el comportamiento de y/x.
Cálculo de y dos procesos para este calculo,
(I) por definición: calculando, y = f ( 1+ x) – f (1 )
(II) por fórmula: obteniendo y como función de x. y = (x )
x R y = f (1+ x) – f (1) = (1+ x )2 – (1)2 = 2.x + x2
y = (x) con (x) = 2.x + x2
x y = 2. x + x2 y /x
2 8 4
1. 5 5.25 3. 5
1 3 3
0. 5 1.25 2. 5
0.25 0.56 2. 24
y / x cte y / x , ¿decrecen??
y 0 ??
x 0
Observaciones:
Vemos una tendencia en el comportamiento de los y;
estos parece que decrecen a medida que x 0. Preguntamos, ¿tendrán los y un comportamiento definido ?,
¿se acercarán “tanto como quieran” a un único número?.
De continuar la tabla con x cada vez más chicos (x = 0.1; 0.01; ...) veríamos
que los y siguen acercándose a “cero” y “tanto como quieran”.
¿Cómo corroboramos o refutamos esta hipótesis?: calculando y
y = (x ) = [ 2 x + (x)2 ] = 0
Conclusiones:
* y es un infinitésimo para x 0 (según lo demostrado)
* x es un infinitésimo para x 0 (trivial)
* la razón de cambio, cte y es cociente de infinitésimos .
lim0x
lim0x
lim0x
lim0x
xy
Concluimos así que la razón de cambio puede ser visualizada como,
un cociente de incrementos; o como,
un cociente de infinitésimos.
Esta nueva forma de “ver” las cosas habilita un nuevo camino para investigar
“ la razon de cambio ” (en un entorno de xo):
investigar el comportamiento ´relativo´ de dos infinitésimos; o sea,
proceder a la “comparación de infinitésimos”.
¿Cómo “comparamos infinitésimos” ?: evaluando el límite del
cociente entre los respectivos infinitésimos (incrementos)
Concluimos así que el interrogante planteado para la razón de cambio en el
caso de las funciones no lineales lo podemos resolver a través del cálculo y
evaluación del
. x
ylimx
0
DEFINICIÓN de DERIVADA:
Dada y = f(x) y xo Df
con f ´ (xo) indicamos la derivada de f en xo, la que definimos como:
(si el limite existe finito)
Observaciones:
El proceso de hallar la derivada de una función se llama derivación.
Si existe , decimos que la función es derivable en xo.
Si existe la derivada, xo D , decimos que la función es derivable en D.
Existen otras notaciones para la derivada , alguna de las cuales son:
El cálculo de una derivada es el cálculo de un límite “indeterminado”
xy
)x´(f lim0x
o
)x(Dfdx
df
dx
dyy)x(f
Cálculo “por definición” de
En (*) el cociente incremental queda en función de ´x´ ; luego, es necesario
cambiar la variable del límite. Para hacer esto tenemos en cuenta que:
)x(f o
x
)x(f)xx(flim
x
ylim)x(f oo
0x0xo
oxx
)ox(f)x(f
xx
(*)
x
y
x)ox(f limlim
o
0
y
x
xo x = xo+x x
yo
y
x
x 0 si y sólo si x xo xo x = xo + x
Como x = xo + x , es evidente que: si x 0 entonces x xo.
Como x = x – xo , es evidente que: si x xo entonces x 0.
Para hallar la derivada de una función, por ejemplo f (x) = x n ;
procedemos a:
elegir alguna forma de expresar el CI , =
calcular el límite del CI elegido
Ejemplo: cálculo por definición de f´( 5 ) para f (x) = x n con n = 2; 3; 4
f (x) = x2 = (dividimos)= = 10
f (x) = x3 = (dividimos)= = 75
f (x) = x4 = (dividimos)= =500
o
oxx
)x(f)x(f
o
no
n
xxxx
o
no
n
xxo xx
xx)x(f lim
o
555
22
5
xx)(f lim
x
555
5)x(lim
x
555
33
5 xx)(f lim
x
22222
555555 )x.x(lim
x
555
44
5
xx)(f lim
x
)x.x.x(limx
3223
5555
El análisis retrospectivo de los pasos realizados para obtener f´(5) para
distintos n´s permite apreciar un ´patrón´ en el proceso de cálculo .
O sea, posibilita la detección de un esquema que se repite potencia a
potencia y que permitiría generalizar el proceso, simplificar el cálculo
n f(x) o
no
n
xx xxxx
limo
= f´(5) f´(5) f´(5)
2 x 2 = )x(lim
x5
5
= 5 +5 = 2 .5 = 10
3 x 3 = )x.x(limx
22
555
= 52 + 52 + 52 = 3 .5 2 = 75
4 x 4 = )x.x.x(limx
3223
5555
= 53 + 53 + 5 3+ 53 = 4 .5 3 = 500
... ........... vemos así como se va configurando el ´resultado´ ................... ............
n x n .................... que, para n genérico el ´resultado´ sería = n .5 n - 1
........ que, para xo y n genérico el ´resultado´ sería = n .xo
n - 1
El trabajo realizado permite ´inducir´ una ´fórmula´ para el cálculo de la derivada de una potencia.
Como esta fórmula resulta de un ´proceso inductivo´ no se puede afirmar que sea válida n . Esto se debe ´demostrar´ (ejercicio). Esta regla se puede generalizar a cualquier tipo de potencia, obteniéndose:
Si f (x) = x n con n N, entonces 1 nxn)x(f ; x R
Regla de la
potencia
Si f (x) = x n con n N, entonces 1 nxn)x(f ; x R
Regla de la
potencia
Si f (x) = x , con R , entonces 1 x)x(f , x R
Regla de la potencia
(generalizada)
f(x) = 2x
1 = x - 2 f (́x) = (-2) x - 3
g(x) = x. x = x 3/ 2 g (́x) = (3/2). x 1 / 2
h(x) = 45
41
23
xx
x
x
x.x4
h (́x) = (5/4). x 1 / 4
En general, el dominio de la función derivada es: Df´ = D (ley de f´ ) Df .
Dados y = f(x) y D = { x R / existe f´(x) }; llamamos función derivada , que indicamos f´ , a la siguiente función :
f´ : D R
x xy
)x(f limx
0
función derivada
f´
Ejemplos:
1 ) f (x) = k (cte) ; Df = R definiciónporcalculando
f´ (x) = 0 ; Df´ = R
2 ) f (x) = x ; Df = R potencialaderegla
f´(x) = 1 ; Df´ = R
3 ) f (x) = x5 ; Df = R potencialaderegla
f´(x) = 5 x4; Df´ = R
4 ) f (x) = x ; Df =oR
potencialaderegla f´(x) =
x2
1 ; Df´ = R+
5 ) f (x)= x5 + x2 ; Df = R definiciónporcalculando
f´(x) = 5 x4 + 2 x ; Df´ =R
6 ) f (x) = sen x ; Df = R definiciónporcalculando
f´ (x) = cos x ; Df´ = R
7 ) f (x) = ln x ; Df = R+ definiciónporcalculando
f´ (x) = 1/x ; Df´ ´= R+
Dado que el cálculo ´por definición´ de una derivada desemboca siempre en una indeterminación del tipo 0/0 en lo que sigue vamos a buscar formas alternativas de cálculo; en particular, reglas de cálculo del estilo de las halladas para las potencias. O sea, vamos a buscar reglas de derivación que faciliten el cálculo de derivadas.
TEOREMAS FUNDAMENTALES del CALCULO DIFERENCIALTEOREMA
TEOREMA 1 (relación entre derivabilidad y continuidad)
Si f es derivable en xo, entonces f es continua en xo.
Demostración: (si)
TEOREMA 2 (derivada de la suma o resta) : (f g )´ (x) = f ´ (x) g´ (x) .
TEOREMA 3 (derivada del producto): (f . g )´ (x) = f´ (x). g(x) + f(x). g´ (x) .
TEOREMA 4 (derivada del cociente): (f / g )´ (x) = f´ (x). g(x) - f(x). g´ (x) .
g2 (x)
TEOREMA 5 (derivada de la composición o “regla de la cadena” ):
h = f o g h´ (x) = f´ ( g(x) ). g´(x)
Pero, ¿ porqué o para qué calculamos derivadas?.
Ocupados en el cálculo hemos perdido de vista el problema que dio origen al
concepto de derivada; no hemos analizado aún si la derivada es efectivamente
una respuesta a dicho problema.
Nos detenemos entonces a reflexionar acerca de esta cuestión; es decir, si la
derivada en un punto permite cuantificar o cuanto menos estimar ,
“el cambio en y en relación al cambio en x” (en el entorno del punto).
Revisamos los resultados obtenidos y tratamos de concluir algo al respecto.
y = x2 ; xo = 5 y (́5) = 10 ; ¿qué nos dice este valor? :
y (́5) = 10 100
xy
limx
,
100
xy
limx
indica, por definición de límite, que:
“si x 0 entonces 10
xy
” ; equivalentemente que,
“si x 0 entonces x.y 10 ”.
o sea, que al incrementar x a partir de xo = 5
“y (= x2 ) se incrementa aproximadamente 10 veces lo que x ”.
y = x3 ; xo = 5 y ´ (5) =75 . En forma análoga que para x2,
concluimos que al incrementar x a partir de xo = 5,
“ y (= x3 ) se incrementa aproximadamente 75 veces lo que x ”.
Vemos así que f´(xo) da la información buscada; o sea, informa acerca del cambio en y en relación al cambio en x (al menos da una aproximación en un entorno de xo).
8 . pag
8 . pag
En su momento, al comparar infinitos p/ x + , en particular potencias, concluimos que la de mayor grado (ej: x3) le ganaba a la de menor grado (ej: x2 ) (es decir, aumentaba más rápido, a mayor velocidad ). Y esto es lo que corroboramos aquí. Más aún, ahora estamos en condiciones de dar una estimación de cuanto más crece una potencia que otra en el entorno de xo . Efectivamente, y por ejemplo, del análisis hecho vemos que,
en el entorno de 5 y para un mismo x ,
x2 se incrementa (aprox.) 10 veces lo que x ;
x3 se incrementa (aprox.) 75 veces lo que x ; y,
x4 casi 500 veces!!! .
1. Calcular por definición la derivada de las siguientes funciones en los puntos dados. Acudir para ello al cociente incremental más conveniente al caso:
a) f(x) = 7 x2 ; x0 = 2 ; x0 = a b) f(x) = x2 +3 ; x0 = 1 ; x0 = a c) f(x) = (x-3)2 ; x0 = 2 ; x0 = a d) f(x) = mx+h ; x0 = 2 ; x0 =
e) f(x) = x ; x0 = 1 ; x0 = a f) f(x) = 1/ x2 ; x0 = 2 ; x0 = a g) f(x) = (x+1)/(x-1) ; x0 = 0
1. Calcular la función derivada de las funciones que se indican a continuación:
a) senxx3x)x(f 24
b) xsenx3xf .)( + ln 10
c) f(x) = xsen
7xx2 2 .
d) f(x) = xsenk
kxnxm 2
...
e) f(x) = x3 +
3x +
2x5 +
5x 2
f) 3x
13
xxxx4)x(f
g ) f(x) = arctg x - tg x
h) f(x) = e x + e3 + x3 + 3x
i) xln.x.5e.xcos)x(f 2x
j) xln.x.xsen)x(f
k) x2xx.2)x(f
l) f(x) = e x .( ln x + cos t )
m) f(t) = e t .( ln t + cos x )
n) 3
3
x
xsenxsen
5x.2)x(f
o) f(x) = 5
xcos).5x.2( 3
p) xsenx
xcos)x(f
q) 2x1
xsen.x)x(f
r) f(x) = xcosx3
xln.xe 63
s) f(x) = xln4t.3
tsen.tt2
t) f(t ) = xln4t.3
tsen.tt2
u ) f (V ) = aV
k
TEOREMA 5 ( derivada de la composición o ´regla de la cadena´ )
Si f es derivable en g(x); g es derivable en x y la función compuesta h = f o g
está definida en x , entonces h es derivable en x , y vale que:
h´ (x) = f´ (g(x)). g´ (x)
ó (f og)´ (x) = f´ (g(x)). g´ (x)
TEOREMA 6 ( derivada de la función inversa )
Si f es inyectiva, derivable en y con f´(y) 0 y g es la inversa de f definida
por, g(x) = y f (y) = x; entonces g es derivable en x , y vale que:
))((
1
)(
1)(
xgfyfxg
7) f (x) = x2 . sen x
3teorema f´ (x) = (x2)´. sen x + x2
. (sen x)´ f´ (x) = 2x . sen x + x2
. cos x
8) f (x) = x2 / sen x
4teorema f´ (x) = (x2)´ sen x - x2 (sen x)´
sen2 x f´ (x) = 2x . sen x - x2 . cos x sen2 x
9) f (x) = exteriorfunción
sen ( erior
función
x
int
2 ) 5teorema
f´ (x) = ).()(
int.
int..
eriorflade
derivada
eriorflaen
evaluada
exteriorflade
derivada
xxnse 22
f (x) = sen (x2 )
5teorema f ´(x) = cos (x2 ) . 2x
10) f(x) = sen 2(x) = ...int.
)(extff
xsen 2
5teorema
f ´(x) =
.int...
).(sen2
flaenevaluadaextf
derivada
x .
.int.
)(sen
flade
derivada
x
f (x) = (sen x) 2 5teorema
f ´(x) = 2. sen x . cos x
14) f (x) = e sen x 5teorema
f ´(x) = e sen x .(sen x)´ = e sen x. cos x
15) f (x) = a x (a >0)
f (x) = a x = xalne = e x ln a
5teorema f´ (x) = e x ln a. (x. lna)´
16) f(x) = log x = 10lnxln
3teoremacorolario
f´(x) = x1.
10ln1)xln.(
10ln1
f (x) = ax f´(x) = ax. lna
f (x) = e g(x) 5teorema
f´(x) = e g (x) . g´(x)
Observaciones: 1) De los ejemplos vemos que las reglas de derivación permiten calcular la derivada de las
funciones obtenidas al ´operar´ o ´componer´ dos o más funciones elementales. Así, con estas reglas y conociendo la derivada de las funciones elementales (seno, logaritmo natural, potencias, etc) podemos obtener la derivada de cualquier otra función. . Luego, resulta conveniente tabular las funciones derivadas correspondientes a las funciones elementales, disponer así de una TABLA de DERIVADAS. (apéndice)
A partir de conocer la derivada de las funciones elementales y las reglas de derivación, el proceso de derivar se resume a la aplicación de estas reglas; o sea, se obvia el cálculo del límite y se usa, en cada caso, los resultados ya probados. 2) Los teoremas de suma, resta, producto o composición se presentan para dos
funciones pero se pueden extender a tres o más funciones. Así: a) (f + g + h)´ = f ´ + g´ + h´ b) (f . g . h)´ = f´ . g . h + f . g´ . h + f . g. h´
c) ( int... fmediafextf
hgf )´ (x) =
eriorint.flade
derivada
eriorint.flaen
evaluada
media.flade
derivada
exterior.flade
derivada
)x(h.))x(h(g.))x(h(g(f
Ejemplo: k(x) = ln ( sen (x 3) ) k´ (x) = 233
31
x..)xcos(.)x(sen
4) Para ciertos casos de funciones compuestas, aquellos donde una de las funciones es una función elemental, podemos establecer las que llamamos reglas ´generalizadas´ de derivación (ver ejemplo14). Así tenemos:
Regla 1: generalizada para la potencia: sea cualquier número real ,
( [f (x)] )´ = [f (x)] -1. f´ (x)
Regla 2: generalizada para la exponencial: ( e f (x) )´ = e f (x). f´ (x)
Regla 3: generalizada para el logaritmo: (ln f(x))´= )(
)()(.
)(
1
xf
xfxf
xf
h (x) = [f (x)] g(x) )x(h )x(g)x(flne )x(h )x(fln).x(ge Reconocemos así que h, en esencia, es la composición de dos funciones: la exponencial e x y el producto, g(x). ln f(x)
Ejemplo: h(x) = x sen x = xln.senxe
h´(x) = xln.senxe .(sen x . lnx)´ = x sen x. (cos x . ln x + sen x . 1/x) Derivada de potencias: podemos ahora justificar la regla de derivación de las potencias.
h(x) = x = xln.e
h´(x) = xln.e . ( . ln x)´ = x . ( .
x1 ) = . 1x
Regla 4: derivada de f g :
Si h (x) = [f (x)] g(x) ,
* expresamos h como exponencial: )x(h )x(fln).x(ge , * derivamos aplicando la Regla-2 y expresamos h en su forma original:
h´(x) = ))x(fln().x(ge . [ g(x) . ln f(x)]´ = [f (x)] g(x) . [ g(x) . ln f(x)]´
*derivamos el producto e informamos el resultado (Teor. 3 y Regla-3).
1. Calcular las derivadas de:
h) f(x) = )x3ln(
3ln)
x3(ln)
3x(ln p) f(x) = e ln 3 x + ln (e3x ) + e 3 ln x
xlog)x3(arctg)x(f)g
xsen)xsen(xsen)x(f)f
eee)x(f)e
)x(sen)x4ln()x(f)d
)x2cos(xcos)x(f)c
)senxln()x(f)b
xsen)x(f)a
332
xxx2
2
4
2
5/4
22x
2
3
34
22/1
))x2(tgcos()x(f)o
)x2(ln)(sen)x(f)n
x52x16x4ln)x(f)m
))xx(sen(ln)x(f)l
)x(sen)xx(ln)x(f)k
xlnxln)x(f)j
)x3(sen.3))x3(sen()x(f)i
