LA DERIVADA

En este apartado, construiremos una herramienta que permita cuantificar el cambio,

punto a punto, de una función. Generalmente este estudio se realiza como un cociente,

entre las variables de una relación o de una función matemática.

Una manera inmediata de medir es tomar otro punto próximo y restar las

correspondientes ordenadas.

La variación promedio de f: f (c+h)−f (c)

c+h−c= f (c+h)−f (c)

h=¿

Ejemplo1: La temperatura de un lugar o región regularmente varía con el trascurso

del tiempo, por lo que la consideramos, al igual que el tiempo, una magnitud física

variable. Así, en la siguiente tabla se muestra el pronóstico de las variaciones de la

temperatura máxima y mínima en la ciudad de Iquique durante seis días consecutivos

de mes de noviembre del 2015.

Fuente: http://www.meteored.cl

Variación de f:f (c+h)−f (c )

Universidad de Tarapacá-Facultad de Ciencias-Departamento de MatemáticaIquique, Cálculo I

Con esta información, y considerando que el cambio o la variación de temperatura en

un día de los mostrados en la tabla viene dad por la expresión ∆ t=tmax−tmin, y que,

además, el pronóstico se cumplió, conteste las siguientes preguntas:

(a) ¿Qué día tuvo la mayor variación de temperatura?

El día sábado 28 de noviembre: ∆ t=tmax−tmin=26°−18°=8 °

(b) ¿Qué día tuvo la menor variación de temperatura?

El día jueves 26 de noviembre: ∆ t=tmax−tmin=21°−17 °=4 °

(c) ¿Cuál fue la temperatura exacta a las 12 horas del día viernes 26 de Noviembre?

Ejemplo 2: Cuando el precio de venta de un lápiz es $100 se venden al mes 60 lápices.

Al aumentar el precio a $110 se venden al mes 40 lápices. ¿Cuál es la razón de cambio

promedio de las ventas mensuales con respecto al precio?

Desarrollo: Sea “p” el precio de venta, y “n(p)” los lápices vendidos al mes. Entonces la

razón promedio es:

∆ p=110−100=10 y ∆n=40−60=−20⇒ ∆n∆ p

= 40−60110−100

=−2

significa que por cada peso que se incremente el precio, se vendieron en promedio

unos 2 lápices menos.

Ejemplo 3: A las 10 horas hay 2.000 bacterias en un frasco. A las 15 horas has 12.000

bacterias. ¿Cuál es la razón de cambio de la población de bacterias con respecto al

tiempo?

Desarrollo:

Sea “t” el tiempo en horas , y “p(t)” la población de bacterias en ese tiempo entonces:

∆ t=15−10=5 y ∆ p=12.000– 2.000=10.000⇒ ∆n∆ p

=10.00015

=2.000

En este caso, el cociente o la razón promedio 2.000 significa que por cada hora que

paso el tiempo. La población creció en promedio unas 2.000 bacterias. ¿Cuántas

bacterias había en promedio a las 12 y 14 horas?

Ejemplo 4: Calcular la pendiente de la recta secante que cruza a la gráfica de la

función cuadrática y=x2 en los puntos P(1,1) y Q(x , y ).

Desarrollo: La pendiente está determinada por la siguiente razón de cambio

promedio de “y” con respecto a “x”.

∆ x=x−1 y ∆ y=x2−1⇒m= ∆ y∆ x

= x2−1x−1

=x+1

por cada unidad de “x”, “y” varía “x+1”

Resumiendo: Se llama razón de cambio de una función “ y=f (x )” en un intervalo [a ,b ]

al cociente de la variación de las ordenadas de los puntos extremos del intervalo,

entre la variación de sus abscisas, o sea es la razón del incremento de la “y” con

respecto al incremento de la “x”. A esa razón la vamos a denominar m (pendiente)

Ejemplo 5: Determinar la razón promedio de una función f, a la que se le ha trazado

un segmento con extremos en dos puntos de su gráfica de abscisas en el intervalo [a ,b ]

. Dichos puntos tienen coordenadas (a , f (a)) y (b , f (b)) respectivamente.

La razón de cambio “m” que representa el incremento del valor de y (∆ y) con respecto al incremento de la variable x (∆ x )es:

m= Δ yΔ x

= f (b)−f (a)b−a

esta razón es exactamente la pendiente de la recta que contiene al segmento de recta secante a la curva, o sea al segmento de extremos (a , f (a)) y (b , f (b))

Ejemplo 6: Dada la función f (x)=4 x−x2, determine su razón de cambio en los

intervalos [0,2 ] y [1,3 ].

Este valor es la pendiente de la recta que pasa por (0,0) y (2,4).

(b) En el segundo intervalo se tiene que la razón de dicho incremento es:

m2=f (3)−f (1)3−1

=3−33−1

=02=0

Ejercicios 1:

(1) Un automovil se encuentra a 300 km de Iquique cuando son las 06:00, a las 10:15

sen encuentra a 10 km de la misma ciudad. ¿Calcula e interprete la razón de cambio

promedio de su distancia a la ciudad con respecto al tiempo, o su velocidad promedio

del recorrido?

(2) En el año 2000 la población de una ciudad era de 10.000 habitantes. En el 2011 la

población de esa misma ciudad fue de 17.500 personas. ¿Cuál fue la razón de cambio

promedio de la población de esa ciudad durante ese tiempo?

(3) Calcula el incremento o variación de las variables dependientes e independientes,

así como la razón de cambio promedio, de las siguientes funciones:

Desarrollo: al evaluar los extremos de cada intervalo nos queda en cada caso un segmento que esta contenido en una recta secante a la curva.

De la información que entrega el gráfico, o evaluando la función en los extremos de los intervalos, se tiene que:(a) En el primer intervalo el incremento de la función “y” con respecto a “x”, o sea su razón de

cambio es: m1=f (2)−f (0)2−0

=4−02−0

=2

(a) y=x3+1 cuando x pasa de x0=0 a x=0,1

(a) y=x2−1 cuando x pasa de x0=1 a x=1,2

(a) y=1−2x2 cuando x pasa de x0=0 a x=0,2

(a) y=3 cuando x pasa de x0=3 a x=3,1

(4) Calcule e interprete geométricamente la pendiente de la recta que pasa por los

puntos:

(a)A (5,2) y B(−2,10)(b)A (−1 ,−3) y B(4,6)(c )A (2,7) y B (−3,7)

(d )A (−4,9) y B(−4,5)(e)A (1,1) y B( 12 ,−23 )(f )A (√2 ,−1) y B (1,2√3)

(5) Has una apróximación o pronósticos del valor de la pendiente de la recta secante

que cruza a la gráfica de la función cuadrática y=3 x2 en los puntos P(1,12) y Q(x , y )

cuando dichos puntos están cada vez más próximos entre sí.

(6) Calcula el incremento de ∆ y∆x para las funciones:

(a) y=x2+1 cuando x0=1 y ∆ x=0,1

(b) y= 1(x2−2 )2 cuando x0=1 y ∆ x=0,4

(c ) y=√xcuando x0=0 y ∆ x=0,0001

(d ) y=−5 x+2 cuando x0=10 y ∆ x=−9

(6) Las siguientes dos gráficas muestran el espacio recorrido por s(t) por dos

partículas respecto del tiempo que tardan en recorrerlo.

(a) Para cada partícula completa la siguiente tabla:

Intervalos de

tiempo

Partícula 1

∆ s

Partícula 2

∆ s

Partícula 1

∆ s /∆ t

Partícula 1

∆ s /∆ t

0≤ t ≤1

1≤t ≤2

2≤t ≤3

2.5≤ t ≤3

3≤ t ≤4

3.5≤t ≤4

(b) En que intervalos los cambio fueron más rápidos para ambas partículas.

(c) ¿Cuál fue la velocidad promedio de ambas partículas en el intervalo 2≤t ≤3?

(d) ¿Cuál fue la velocidad instantánea de ambas partículas en t=1 y t=4?

Variación y razones instantáneas de cambio

Existen problemas de variación que requieren de un razón para resolverse, sin

embargo, no pueden ser resueltos con una razón promedio de cambio, y requieren de

lo que se conoce como razón instantánea o puntual de cambio.

La pendiente de una recta secante a una curva y=f (x ) que pasa por los puntos

P1 (a , f (a)) y P2 (a+h , f (a+h)) de dicha curva, es una buena aproximación a la

pendiente de la recta tangente de tal

curva y=f (x ) en el punto P1 (a , f (a))

de su gráfica, con la condición de que el

incremento h(∆ x) tienda a cero

h→0(∆ x→0). Estás ideas están

representadas geométricamente y

analíticamente en la gráfica de la figura

adjunta.

La pendiente de la recta tangente a la curva puede calcularse mediante la siguiente

expresión matemática:

mt= lim∆ x→0

ms= lim∆x→0

Δ yΔ x

= lim∆x→0

f (x+∆ x )−f (x)∆ x

Donde:

El símbolo lim∆ x→0

Δ yΔ x es un ejemplo de una razón instantánea de cambio, y representa el

límite (o valor) de la razón promedio de cambio cuando el incremento h(∆ x) es

infinitamente pequeño, y que para fines prácticos en una etapa del proceso de cálculo

se toma como igual a cero h→0 (∆ x→0 )

Ejemplo 7: Determine la ecuación de la recta tangente a la curva y=x2+1 en el punto

P (−2 , f (−2)) de su gráfica.

Desarrollo:

La razón instantánea de cambio que determina la pendiente de la recta tangente:

mt= lim∆ x→0

ms= lim∆x→0

Δ yΔ x

= lim∆x→ 0

f (x+∆ x )−f (x)∆ x

= lim∆ x→0

[ ( x+∆ x )2+1 ]−(x2+1 )Δ x

lim∆ x→ 0

x2+2 x ∆ x+∆ x2+1−x2−1Δ x

=lim∆ x→0

2 x ∆ x+∆ x2

Δ x=lim∆ x→0

∆ x (2x+∆ x )

Δ x=2 x

⇒mt=2(−2)=−4

Como la ecuación de la recta tangente

viene dada por:

y− y1=m1(x−x1)⇒

y−f (−2)=−4 (x−(−2))⇒

y−5=−4(x+2)

Por lo tanto la ecuación de la recta

tangente es: 4 x+ y+3=0

En general, la recta tangente a la gráfica de una función en un punto es la recta que

pasa por el punto con pendiente mt dada por: mt= lim∆ x→0

Δ yΔ x

A la pendiente de la recta tangente se le llama, también pendiente de la curva en el

punto.

El límite que define la pendiente de la recta tangente de una curva en un punto puede

no existir, en este caso se dice que no existe al tangente o que la curva no tiene

pendiente en dicho punto.

Ejercicios 2:

(1) Determine cuál es la pendiente de la tangente a la curva en el punto indicado.

(a) y=2 x+3en x0=1 (b) y=2−3x en x0=−1

(c ) y=12xen x0=2 (d ) y=mx+nenx0=1

(2) ¿Qué curvas representan las funciones del ejercicio anterior?, ¿dependerá el valor

de la pendiente del punto seleccionado? ¿Por qué?

(3) Calcula la pendiente de la tangente a la curva en el punto indicado.

(a) y=x2+1enx0=0 (b) y=|x|−1enx0=0

(c ) y=−13

x2en x0=3 (d ) y=|x−2|en x0=2

(e ) y= x2+2 x+1en x0=1 ( f ) y=x3 en x0=1

(4) ¿Dependerá del punto seleccionado el valor de la pendiente de las tangentes a las

curvas del ejercicio anterior? Fundamenta.

(5) De las curvas determinadas por las ecuaciones

y=5 x−1 , y=5 x+3 , y=x2+x , y=13

(15 x+1 ), ¿cuáles tienen la misma pendiente en

cualquiera de sus puntos?, ¿cuáles tienen la misma pendiente en x0=2?

(6) La recta de la ecuación y=2x+3 es tangente a la curva de la función f en el punto

x0=1, ¿cuál es el valor de la pendiente de la curva en x0=1?

(7) Calcula la pendiente de la tangente en el punto

x0=3 de la curva representada en la figura adjunta.

(8) De la figura adjunta, calcula la pendiente de la

tangente en el punto x0=2

(9) Si f (1)=3 y la pendiente del gráfico de f en x=1 es 2, determina la ecuación de la

tangente al gráfico de la función f en el punto x0=1

(10) ¿En cuales de los puntos

representados no tiene tangente la

curva de la figura adjunta?

(11) Determina la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto indicado.

(a) y=4 x2(−1,4) (b) y=4 x3(2,0) (c ) y=x2−5x+4(1,0)

(d ) y=2x3(−1 ,−2) (e ) y=2x3−4 x (2 , y )

(12) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los valores

máximos y mínimos relativos de las siguientes funciones.

CONCEPTO Y DEFINICIÓN DE DERIVDA

En el desarrollo anterior, la tangente a una curva la hemos considerado como “la recta

que toca a la curva en un único punto”

Por ejemplo, en los siguientes gráficos se ilustra la tangente a cada una de las curvas

dadas:

Sin embargo hay ejemplos que muestran que una recta tangente a una curva en un

punto pueden tocarla en otros puntos en los cuales no es tangente(a), e incluso tocarla

en infinitos puntos(b), que el propio eje X es tangente a la curva en infinitos puntos

pues hay una parte de ella que coincide con dicho eje. También puede suceder que la

toque en un único punto y no sea tangente a la curva en ese punto(c).

La definición tradicional de tangente que hasta ahora hemos trabajado no es aplicable

en estos casos y hasta el momento no hemos estudiado ninguna definición que

permita, de manera general, decir cuando una recta es tangente a una curva o al

gráfico de una función dada.

De aquí resulta el problema de definir la tangente mediante herramientas

matemáticas generales que podamos aplicar en todos los casos, este es un problema

que dio origen al cálculo diferencial, una de las ramas más importantes de las

matemáticas. Y con lo estudiado hasta aquí ya estamos en posibilidades de darle

solución al mismo.

Para llegar a la definición que buscamos y considerando la historia de su surgimiento,

el comienzo lo dará los casos ya analizados de una recta secante a una curva de

ecuación y= f (x ), o sea que la corta al menos en dos puntos, y se retomará el

procedimiento para medir la variación de la función e el intervalo determinado por los

puntos de intersección. Esto significa que llegaremos al concepto de derivada

considerando como una medida del crecimiento.

Para estudiar el concepto de derivada, tenemos que tener en cuenta que, se debe

saber diferenciar los conceptos de derivada en un punto y el concepto de derivada de

una función en general.

(a) Concepto de derivada de un función en un punto.

Una primera consideración de qué es derivada de una función en un punto, a partir de

la historia, es la de asumirla como la pendiente de la recta tangente en un punto a la

curva que representa la función. De donde:

Se llama derivada de una función y=f (x ) en un punto P(x0 , f (x0)), y se denota por

f ' (x0 ), al límite de la razón promedio Δ yΔ x cuando ∆ x→0, es decir:

f ' (x0)= lim∆x→0

Δ yΔ x

=¿ lim∆ x→0

f (x0+∆x )−f (x0)Δx

¿

Nota: cuando una función tiene derivada en un punto x0 se dice que es derivable en

ese punto. Es importante tener en cuenta que si tal límite no existe, f no tiene derivada

en el punto de abscisa x0.

Otra forma de representar al anterior límite y que

puede ser útil es la siguiente. En el gráfico adjunto, si

denominamos “h” al incremento de “x” este no es más

que “b - a”.

En ese caso el incremento de “y” es: f (a+h)−f (a).

Entonces se tiene que la pendiente de la recta secante

es: Δ yΔ x

=f (a+h)−f (a)

h

Aplicando la definición de derivada de f en el punto P(a , f (a)) y utilizando esta nueva

notación, se tiene que la pendiente de la recta tangente en x=a o sea la derivada de la

función en ese punto es:

f ' (a)=limh→0

f (a+h)−f (a)h

Nota: f ' (a) existirá si el límite existe y es finito.

Decimos que “f” es derivable en “a” y que “f” es derivable si lo es en elemento de su

dominio.

Ejemplo 8: Calcula la derivada de f (x)=x2+1 en el punto de abscisa x0=2.

Desarrollo: lo anterior significa que debemos calcular f ' (2), o sea el límite:

f ' (2)=limh→0

f (2+h)−f (2)h

donde “h” es el incremento de “x” (o sea; h=∆ x¿

f ' (2)=limh→ 0

f (2+h)−f (2)h

=limh→ 0

(2+h)2+1−(22+1)h

=limh→0

4+4h+h2+1−5h

limh→0

h2+4hh

=limh→0

h (h+4 )h

=limh→ 0

(h+4)=4

Por lo tanto, la derivada de “f” en el punto de abscisa 2 es 4, o sea f ' (2)=4

(b) La derivada como función

Al calcular la derivada de una función “f ” en un punto se obtiene un valor único y esto

permite considerar la función que a cada punto “x” le hace corresponder “f’(x)”, o sea a

la función x→f ' (x) donde x∈Domf .

Se llama función derivada de la función f (o simplemente derivada de f) y se denota f ’a

la función que a cada x∈Domf , le asigna:

f ' (x)=limh→ 0

f ( x+h)−f (x )h

donde “h” es el incremento de “f” con respecto a “x”. Si tal límite no existe entonces “f”

no tiene derivada en “x”.

Ejemplo 9: Utilizando la definición de derivada determine f ’ si f (x)=x2+2 x

f ' (x)=limh→ 0

f ( x+h)−f (x )h

=limh→ 0

( x+h )2+2(x+h)−(x2+2 x)h

limh→ 0

x2+2xh+h2+2(x+h)−(x2+2 x)h

=¿ limh→0

x2+2xh+h2+2x+2h−x2−2 xh

¿

limh→ 0

2 xh+h2+2hh

=limh→0

h (2x+h+2)h

=¿ limh→0

2 x+h+2=2x+2¿

f (x)=x2+2 x⇒ f '(x )=2 x+2

Ejemplo 10: Utilizando la definición de derivada determine f ’ si f (x)=1x

f ' (x)=limh→ 0

f ( x+h)−f (x )h

=limh→0

1x+h

− 1x

h= lim

h→0

x−(x+h)h(x+h)x

limh→ 0

x−x−hh (x+h) x

=¿ limh→0

−hh(x+h)x

=limh→ 0

−1(x+h) x

=−1x2

¿

f (x)=1x⇒ f '(x )=−1

x2

Ejemplo 11: Utilizando la definición de derivada determine f ’ si f (x)=√x

f ' (x)=limh→ 0

f ( x+h)−f (x )h

=limh→0

√ x+h−√ xh

∙ √ x+h+√x√ x+h+√x

limh→0

(√ x+h )2−√x2

h (√ x+h+√ x )=¿ lim

h→0

x+h−xh (√x+h+√x )

=limh→0

hh (√x+h+√ x )

=¿¿¿

limh→ 0

1(√ x+h+√ x )

=¿ 12√x

¿

f (x)=√x⇒ f ' (x)= 12√x

Ejemplo 12: Utilizando la definición de derivada determine f ’ si f (x)=sen x

f ' (x)=limh→0

f ( x+h)−f (x )h

=limh→0

sen (x+h)−sen xh

∙

limh→0

sen x ∙cosh+sen h∙cos x−sen xh

=¿ limh→0

sen x (cos h−1)+sen h∙cos xh

¿

limh→ 0

sen x (cosh−1)h

+limh→0

sen h∙cos xh

=cos x

f (x)=sen x⇒ f ' (x)=cos x

Otras notaciones para representar la derivada de la función y=f (x )

y ' …………………………………. Para denotar la función derivada

y ' (x0)

……………………………...

Para denotar la derivada en x0

dy (x0)dx

……………………………....

Para denotar la derivada en x0

dydx

……………………………………

Para denotar la función derivada

dfdx

……………………………………

Para denotar la función derivada

Ejercicios 3:

(1) Aplicando la definición de derivada, calcula la derivada de la función en el punto

indicado.

(a) y=4 x+3en x0=1 (b) y=x2+5en x0=−1

(c ) y=4−x2 enx0=2 (d ) y=3 x2−2x+5en x0=3

(e ) y=√2 x+1enx0=0 ( f ) y=2

x+1en x0=

23

(g) y=e2t+3en x0=0 (h) y=ln(2x )enx0=12

(i) y=a x2+bx+c en x0=1 ( j) y=cos x en x0=π

(2) La recta de ecuación y=5 x−12 es tangente al gráfico de la función “f” en el punto

x=2, determine f ' (2).

(3) La figura adjunta muestra la gráfica de “f” y de su recta tangente, calcule f ' (3).

(4) En la figura adjunta aparece

representada una función “f” y su recta

tangente, calcule f ' (5).

(5) Calcule la función derivada de :

(a) f (x)=1−2x−x2 (b) f (x)=2x+1x (c ) f (x )=

x+12 x−1

(d ) f (x )=√2x+3 (e ) f (x)= 3√x−2 ( f ) f (x)=e2 x+4

(g)g (t )=2e1−3x (h) f (u)=ln (2u−1) (i) p(v)=tg v

( j) p (a)=2a3−3a+4 (k )g ( y )=3 y4−4 y2+5 y−1

(6) Determine los puntos de la curva f (x)=x−x2 en los cuales la tangente forma con

el eje X un ángulo de:

(a)45 ° (b)0 °(c )135 °

(7) Determina el ángulo de inclinación de la tangente a la curva en el punto indicado.

(a) y=x3en(0,0)(b) y=x4 en (2,6)

(8) Analiza la siguiente gráfica de la función y=f (x )

Y diga cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas y cuales son falsas,

fundamente su respuesta.

(a)En los puntos A(x2 , f (x2)) y B(x4 , f (x4)) la curva de la función tiene mínimos

relativos y su pendiente es igual a cero.

(b) La derivada de la función en los puntos C (x1 , f (x1)) y D(x3 , f (x3)) es igual a cero.

(c) Los valores y= f (x1), y= f (x3) son máximos relativos de y=f (x ).

(d) En los intervalos (c , x1) ,(x2 , x3) y (x4 , d) la función y=f (x ) es creciente y su

derivada es positiva.

(e) En los intervalos (x1 , x2) y (x3 , x4) la función y=f (x ) es decreciente y su derivada es

negativa.

(9) En base a la gráfica de la función y=f (x ), ¿cuál de las siguientes proposiciones es

verdadera?

(a) f tiene pendiente cero en x=3

(b) f tiene pendiente cero en x=0

(c) f tiene pendiente negativa en x=−1

(d) f tiene pendiente positiva en x=0

(e) f tiene pendiente cero en x=−2

(f) f tiene pendiente cero en x=2

(10) De la función polinomial y=x3−3x2−9x+15, y considerando que los puntos

donde una función tiene máximos y mínimos relativos su derivada es iguala cero,

determine sus valores máximos y mínimos y los intervalos donde es creciente y

decreciente.

CÁLCULO DE DERIVADAS MEDIANTE REGLA, FÓRMULAS Y TÉCNICAS DE

DERIVACIÓN.

Continuará………….