La ciencia detrás de las leyendas I*

Josip Slisko

¿Era de oro la corona de Herón?

Dentro de la cultura popular relacionada con la ciencia y los científicos, un lugar destacado es ocupado

por tres leyendas. En la primera Arquímedes corre desnudo gritando ¡Eureka!, en la segunda Galileo deja

caer dos cuerpos de diferentes pesos desde la Torre Inclinada de Pisa y en la tercera una manzana golpea

la cabeza de Newton quien estaba disfrutando su siesta debajo de un árbol. Las tres a menudo son narradas

en libros de texto aun cuando no tienen fundamento histórico. Desafortunadamente, a los alumnos no se

ofrece algo más que lo anecdótico y no se las aprovecha para que entiendan física.

Como el nuevo programa de esta disciplina para secundaria requiere dar a los alumnos oportunidades

múltiples de conocer ejemplos del auténtico razonamiento científico, Correo del Maestro, en una serie de

tres artículos titulada La ciencia detrás de las leyendas, ofrece a los maestros de física de secundaria una

discusión de los saberes científicos que hay detrás de estos famosos cuentos, junto con algunas

sugerencias de cómo usar estas joyas del pensamiento en la práctica docente.

¿Era de oro la corona de Herón?

Arquímedes (¿287-212? a.C.) fue un matemático, físico e ingeniero griego. En matemática hizo el primer

cálculo preciso del cociente entre la circunferencia y el diámetro del círculo e inventó el método de calcular

volúmenes y áreas de cuerpos geométricos como esferas y cilindros. En física su contribución más

importante fue la cuantificación de la fuerza de empuje, hoy conocida como "el principio de Arquímedes": la

magnitud de la fuerza de empuje que sufre un cuerpo, parcial o totalmente sumergido en un fluido, es igual

al peso del fluido desalojado por el cuerpo. En ingeniería contribuyó con un gran número de inventos, desde

"el tornillo de Arquímedes" hasta la catapulta.

Sobre Arquímedes se narran muchas leyendas, lo que demuestra que su trabajo provocaba la atención

pública y despertaba la imaginación de sus admiradores. Se contaba que era capaz de encender la flota

romana usando un sistema de espejos o que le importaban más los cálculos que hacía en la arena que el

peligro mortal que corría después de la conquista de Siracusa por los soldados romanos. Pero la leyenda

más famosa es, sin duda alguna, la que cuenta cómo Arquímedes resolvió el problema que tuvo el rey

Herón con su nueva corona, supuestamente hecha de oro.

Dos maneras actuales de narrar la leyenda

El origen de la leyenda está relacionado con el asombro del pueblo frente al hecho de que fuera posible

determinar la composición de una corona sin dañarla o fundirla, es decir, el impulso inicial para crearla fue el

aprecio popular de la solución del problema basada en un genial razonamiento científico. El lugar del

descubrimiento (un baño público) o la manera de anunciar la solución (corriendo desnudo y gritando

¡Eureka!) fueron probablemente "adornos narrativos" para hacer el cuento más atractivo para los oyentes.

Ahora, después de que han pasado más de veinte siglos, no es milagro que la leyenda se narre con

otros fines. Para quienes la ciencia ya no es milagrosa, sino muy peligrosa, el problema y la solución son

menos importantes que la imagen negativa de los científicos que se puede proyectar hacia la sociedad

falsificando la leyenda. El científico que, al encontrar la solución, no tiene vergüenza y corre desnudo por las

calles es un útil arquetipo de alguien propenso a vender su alma al diablo para poder avanzar en su trabajo

científico. Si la leyenda se narra con tal propósito, entonces lo esencial de la situación original (el problema y

la solución) se pierde y todo se reduce a "adornos narrativos" que llevan implícitamente un mensaje contra la

ciencia y los científicos

Arquímides (¿287 -212? a. C.)

Otra manera de deformar la leyenda es atribuir a Arquímedes un método de resolver el problema que

seguramente no fue usado por él. En muchos libros de texto de física (Tipler, 1987; Giancolli, 1991) se

sugiere que Arquímedes midió el peso de la corona en el aire y su peso aparente cuando se sumerge en

agua. Conociendo el peso de la corona en el aire y la pérdida de peso debida al empuje, Arquímedes

supuestamente pudo calcular la densidad de la corona y, al compararla con la densidad del oro puro, estuvo

en posición de decir si la corona era de oro puro o no. Como Arquímedes no conocía el valor numérico de

las densidades del oro y del agua y, además, no disponía de las fórmulas actuales para calcular la densidad

de la corona con los datos mencionados, este método de resolver el problema no pudo ser el suyo.

¿Cómo resolvió Arquímedes el problema de la corona? No se sabe con certeza la respuesta a esta

pregunta (Hartman Hodderson, 1972),pero es posible reflexionar sobre las posibles vías de solución acordes

con el estado de conocimiento de la física y la matemática en la época de Arquímedes. Tal reflexión en el

salón de clase daría a los alumnos una oportunidad de ver cómo se podrían aplicar los conceptos de

densidad y de fuerza de empuje para solucionar el problema de la corona.

El problema de la corona

Todos saben que el rey Herón quiso tener una nueva corona y que dio a su platero una cantidad

conocida de oro puro para hacerla. Al recibir la corona, que tuvo el peso del oro entregado, el rey quiso

saber si la corona era de verdad de oro puro o si el platero reemplazó una parte de oro por plata.

"La formulación fuerte" del problema (Slisko,1997) sería: Suponiendo que la corona estaba hecha de oro

y plata, ¿cuál era el porcentaje de plata? Para entender las posibles soluciones de tal formulación se

requieren razonamientos físicos y procedimientos matemáticos bastantes avanzados y, por eso, "la

formulación fuerte" sería adecuada para los alumnos de preparatoria o del primer curso de física en la

universidad.

Hay que destacar que la versión más conocida de la leyenda, publicada por el arquitecto romano Marco

Vitruvio (Gamow, 1971; Chamizo Guerrero et al., 1995), presenta el problema en su "formulación fuerte"

(¿cuál era el porcentaje de plata?). Curiosamente, Vitruvio no proporciona los detalles de la solución, es

decir, se deja al lector la tarea de pensar cómo calcular el porcentaje de plata de la corona usando

volúmenes que corresponden a la corona y a pedazos de oro y plata cuyas masas son iguales a la masa de

la corona.

Para los alumnos de secundaria sería más adecuada "la formulación débil" del problema de la corona

(Slisko,1997): ¿Estaba la corona hecha de oro puro?

Es muy importante insistir en que la corona entregada pesaba igual que el oro recibido por el platero,

pues algunos alumnos creen que la corona pesaba menos y que el rey, al recibirla, no lo pudo notar porque

no existían las balanzas. Para ellos el procedimiento de Arquímedes fue una manera complicada de medir el

peso de la corona. Por eso, al formular el problema, es de suma importancia aclarar este punto. Tal vez,

narrando la parte correspondiente de la leyenda así:El rey tomó dos pedazos de oro puro, los puso en la balanza y mostró al platero que eran del mismo peso. También advirtió que, al recibir la corona, compararía su peso con el peso del pedazo patrón que quedaría en su posesión. Cuando el platero entregó la corona, el rey hizo lo advertido, comparó mediante la balanza los pesos de la corona y del patrón y encontró que la corona sí tenía el peso esperado.

Cada narrador puede agregar los detalles que explican por qué surge la desconfianza del rey (por

ejemplo, le susurró algo su consejero o corrió el rumor de que el platero quiso mostrar a su prometida que

era tan listo como para robar el oro real sin que el rey se diera cuenta). Lo que importa es formular el

problema de manera más sencilla:¿Estaba la corona hecha de oro puro o no?

También es útil agregar las condiciones "reales" para la búsqueda de la solución. Primero, no se puede,

de manera alguna, dañar la corona. Segundo, el rey, debido a su ignorancia matemática, no quiso aceptar

ningún cálculo como parte de la solución. Es decir, el procedimiento debería ser tan sencillo y contundente

como para que no quedara la más mínima duda sobre la composición de la corona.

Posibles soluciones de Arquímedes

¿Cómo iba a resolver Arquímedes el problema respetando las condiciones reales? Arquímedes tiene la

corona y un pedazo de oro de la misma masa y debe descubrir, sin ni siquiera rasguñar la corona, si está

hecha de oro puro.

Si la corona y el pedazo de oro están hechos de la misma sustancia, entonces deben tener la misma

densidad. Es decir, aparte de la misma masa, tienen que tener el mismo volumen. Así, el problema de la

corona se reduce a un problema más específico: ¿cómo comparar los volúmenes de dos cuerpos, de los

cuáles por lo menos uno (la corona) tiene una forma irregular cuyo volumen no es posible calcular?

Comparar volúmenes a través de agua desalojada

Si se sumerge un cuerpo en un recipiente con agua, el nivel de agua en el recipiente sube. Esto se debe

al desalojo de agua por la presencia del cuerpo (el agua no puede ocupar el espacio ocupado por el cuerpo).

El volumen de agua desalojada es igual al volumen del cuerpo sumergido. Arquímedes pudo usar este

hecho para comparar los volúmenes del pedazo patrón y de la corona.

Para la demostración se necesita un recipiente de vidrio con agua. El tamaño deberá ser adecuado. Si

es demasiado grande no será posible notar pequeñas diferencias en los niveles de agua. Si es demasiado

chico, el agua saldrá y, otra vez, la comparación de volúmenes será imposible.

Arquímedes pudo poner el pedazo patrón y marcar el nuevo nivel de agua en el recipiente debido a su

presencia. Después de sacar el pedazo patrón, se pone la corona. Antes de ponerla, Arquímedes pudo

explicar al rey:Si la corona está hecha de oro puro, su volumen es igual al volumen del pedazo patrón, y el nivel de agua, con la corona sumergida, será el mismo (Figura 1.a.). Si en la construcción de la corona se sustituyó algo de oro por plata, el volumen de la corona será mayor que el volumen del pedazo patrón. Esto se debe al hecho de que la densidad de la plata es menor que la densidad del oro. Si la cantidad de plata agregada tiene la misma masa que el oro faltante, debe tener un volumen mayor. Si éste es el caso, el nivel de agua, con la corona sumergida, debe ser más alto (Figura 1.b.).

Figura 1.a. Volúmenes iguales, la corona es de oro puro

Figura1.b. Vólumenes diferentes, la corona no es de oro puro

Aunque conceptualmente muy transparente, esta posible solución recibió muchas críticas, incluso la

criticó Galileo Galilei por posibles imprecisiones (Hartman Hoddeson,1972). Por eso, sería bueno discutir

con los alumnos qué factores podrían causar errores al medir los volúmenes del pedazo patrón y de la

corona y estimar el valor del posible error en milímetros cúbicos. Por ejemplo, para un recipiente cilíndrico

cuyo radio es de 150 milímetros, un error en la marcación del nivel de una sola centésima de milímetro lleva

a un error en la comparación de volúmenes que es mayor de 700 milímetros cúbicos.

Para elaborar más esta idea, una buena pregunta podría ser: De dos recipientes cilíndricos de la misma

capacidad pero uno más alto que el otro, ¿cuál sería más adecuado para comparar volúmenes?

Comparar volúmenes a través de la fuerza de empuje

Si Arquímedes se dio cuenta de que el primer método no tiene la precisión suficiente, pudo usar la fuerza

de empuje para comparar volúmenes indirectamente con una precisión mucho mayor. Su explicación al rey

pudo ser ésta:La corona y el pedazo patrón tienen el mismo peso, lo que se mostró usando la balanza (Figura 2.a.). Si la corona está hecha de oro puro, tiene el mismo volumen que el pedazo patrón. Por tener el mismo volumen, ambos, al ser sumergidos en agua, desalojarán la misma cantidad de agua y sufrirán la misma fuerza de empuje (igual, como apenas mostré, al peso de agua desalojada). En tal caso, el equilibrio de la balanza no será afectado al sumergir la corona y el pedazo patrón en agua (Figura 2.b.).

Figura2.a La corona y la barra de oro puro tienen la misma masa

Figura 2.b. No hay desbalance, la corona es de oro puro Si falta algo de oro en la corona y la masa que falta se "recupera" agregando plata, el volumen de la corona será mayor que el volumen del pedazo patrón. Esto se debe al hecho de que la densidad de la plata es menor que la densidad del oro. Si la cantidad de plata agregada tiene la misma masa que el oro que falta, debe tener un volumen mayor. Si éste es el caso, la corona sumergida sufrirá una mayor fuerza de empuje y, al sumergir la corona y el pedazo patrón, el equilibrio de la balanza no se mantendrá. El peso aparente del pedazo patrón será mayor y el extremo del cual está colgado bajará (Figura 2.c.)

Figura 2.c. Hay desbalance, la corona no es de oro puro

Para demostrar a los alumnos la gran diferencia en precisión entre estos dos métodos de comparar

volúmenes, sería bueno tener una balanza sensitiva. Al establecer equilibrio entre un cuerpo y las pesas

correspondientes, explorar con los alumnos cuántas gotas de agua, puestas con un gotero sobre uno de los

platillos, bastan para desequilibrar la balanza. Normalmente son sólo unas cuantas. Su volumen (unos

milímetros cúbicos) representa el posible error en la comparación de volúmenes de manera indirecta usando

la fuerza de empuje.

Como conclusión

Cómo termina la leyenda, con un platero honesto o deshonesto, depende del gusto personal del

narrador. Sea el que sea el destino del platero, es seguro que los alumnos, con el enfoque expuesto,

tendrán una plena experiencia con los razonamientos en que se basan los dos diferentes caminos hacia la

solución de un problema famoso de la historia de la ciencia. Además, los alumnos verán que tales caminos

no son equivalentes respecto a la certeza de las conclusiones, pues en uno los posibles errores son más

grandes que en el otro. ¡Conocer los límites de la ciencia es tan importante como admirar su belleza

intelectual!

Bibliogarfía

GUERRERO, Chamizo, J. A.; Tonda Mazón, J.; Trigueros Gaisman, M. y Waldegg Casanova, G. Libro para el maestro de física. Educación Secundaria. SEP, México, D. F. ,1995. p. 155.

GAMOW, G. Biografía de la física. Salvat Editores y Alianza Editorial. Madrid, 1997. pp. 20-21.GIANCOLLI, D. Physics. Principles with Applications. Third Edition. Englewood Cliffs, Prentice Hall, New Jersey, 1991. p. 246.HODDESON, Hartman L. How Did Archimedes Solve King Itiero´s Crown Problem? An Unaswered Question. The Physics Teacher, 1972.10(1), pp.14-19.SLISKO, J. La corona de Herón en la enseñanza de la física. Boletín de la Sociedad Méxicana de Fisica. México,1997.11(4), pp.231-232.TIPLER, P.A. College Physics. Worth Publishers, New York, 1987. p.233.