La capacitanciaUn capacitor consiste de dos conductores a y b lla-mados placas. Se supone que están completamenteaislados y que se encuentran en el vacío.

Se dice que un capacitor está cargado si sus placastienen cargas iguales y opuestas, +q y −q.

Cuando se mencione a la carga, q, de un capacitorse considera a la magnitud de la carga de cualquierade las placas.

Un capacitor puede adquirir carga eléctrica si seconecta a las terminales de una batería. Puesto quelas placas son conductoras, entonces son equipoten-ciales, y la diferencia de potencial a través de las pla-cas será la misma que la de la batería.

Por conveniencia, a la magnitud de la diferencia depotencial entre las placas se le llama V .

La carga y la diferencia de potencial en un capaci-tor se relacionan por

q =CV (1)

donde C es una constante de proporcionalidad llama-da capacitancia. La unidad de medida de la capaci-tancia en el SI es el farad (abreviado F).

1 f arad = 1coulomb/volt

Ejercicio 1. Un capacitor de almacenamiento en unamemoria de aceso aleatorio (RAM en inglés) tieneuna cpacitancia de 55 fF. Si la diferencia de poten-cial es de 5.3 V, ¿cuál es el exceso de electrones en laplaca negativa?

Si la placa negativa tiene un exceso de N electro-nes, entonces porta una carga neta q = Ne. Así que

N =qe=

CVe

=(55×10−15F)(5,3V)

1,60×10−19C

N = 1,8×106electrones.

El cálculo de la capacitanciaConviene establecer un plan

1. se supone una carga q en las placas

2. se calcula el campo eléctrico E entre las placasen términos de su carga, usando la ley de Gauss

3. una vez conocido E, se calcula la diferencia depotencial V entre las placas y

4. se calcula C a partir de C = q/V .

El cálculo del campo eléctrico: de acuerdo con laley de Gauss (ver la figura 1)

14πε0

∮E ·dA = q (2)

1

Figura 1:

que, dadas las condiciones, da como resultado

ε0EA = q, (3)

donde A es el área de traslape entre las placas y lasuperficie gaussiana.

El cálculo de la diferencia de potencial. La dife-rencia de potencial se calcula según

Vf −Vi =∫ f

iE ·ds, (4)

aquí la integral se ha evaluado a lo largo de la tra-yectoria que inicia en una placa y termina en la otra.Dado que sólo nos interesa la magnitud de V , se pue-de establecer que Vf −Vi =−V , por lo que

V =∫ −+

E ds, (5)

donde los signos + y − indican que la trayectoriainicia en la placa con carga positiva y termina en laplaca con carga negativa.

Un capacitor de placas paralelasDe acuerdo con la figura 1, se tiene que

V =∫ −+

Eds =q

ε0A

∫ d

0ds =

qdε0A

. (6)

y de la definicion de capacitancia

C = ε0Ad. (7)

¡y sólo depende de la geometría del capacitor! Deaquí que otra forma de definir a ε0 da

ε0 = 8,85×10−−12F/m = 8,85pF/m.

Un capacitor cilíndricoLa figura 2 muestra, en seccion transversal, a un ca-pacitor cilíndrico de longitud L formado por dos ci-lindros coaxiales a y b.

Se supone que L >> b. La superficie gaussianamás conveneinte es un cilindro de longitu L y radior, con tapas en sus extremos. Así, la ecuacion (3) da

q = ε0EA = ε0E(2πrL)

2

Figura 2:

donde 2πrL es el área de la pared de la superficiegaussiana. Resolviendo para E

E =q

2πε0Lr. (8)

y, sustituyendo en la ecuacion (5)

V =∮ −+

E ds =q

2πε0L

∫ b

a

drr=

q2πε0L

ln(b

a

). (9)

por lo que

C = 2πε0L

ln(b/a)(10)

y, nuevamente, la capacitancia sólo depende de losfactores geométricos.

Un capacitor esféricoLa figura 2, también representa a la seccion transver-sal de un capacitor que consiste de dos cascaronesesféricos de radios a y b. Como superficie gaussianase elige una esfera de radio r.

Aplicando la ecuacion (3) a esta superficie

q = ε0EA = ε0E(4πr2),

Si se resuelve para E

E =1

4πε0

qr2 , (11)

y sustituyendo en la ecuacion (5) se encuentra

V =∫ −+

E ds =q

4πε0

∫ b

a

drr2 =

q4πε0

(1a− 1

b

)V =

q4πε0

b−aab

. (12)

Y sustituyendo en la ecuacion (12) en (1) y resolvien-do para C se obtiene

C = 4πε0ab

b−a. (13)

3

Una esfera aisladaSi b→ ∞ en la ecuacion (13) y se sustituye R por a,se encuentra que

C = 4πε0R. (14)

Ejercicio 2. Las placas de un capacitor de placasparalelas están separadas una distancia d=1.00 mm.¿Cuál debe ser el área de las placas para que la capa-citancia sea de 1.0 F?

Si la ecuacion (7) se resuleve para A y se obtiene

A =Cdε0

= 1·1×108m2.

Ejercicio 3. El espacio entre los conductores de uncable coaxial largo, usado para transmitir señales deTV, tiene un radio interno a=0.15 mm y un radio ex-terno b=2.1 mm. ¿Cuál es la capacitancia por unidadde longitud de este cable?

De la ecuacion (10) se tiene

CL=

2πε0

ln(b/a)= 21pF/m.

¿Cuál es la capacitancia de la Tierra, vista comouna esfera conductora aislada de radio 6370 km?

De la ecuacion (14) se tiene

C = 4πε0R = 710µF.

Capacitores en serie y en paraleloAl analizar los circuitos eléctricos, con frecuencia sedesea conocer la capacitancia equivalente de dos omás capacitores que están conectados de cierta ma-nera.

Por capacitancia equivalente se entiende la capa-citancia de un solo capacitor que se puede sustituirpor la combinación sin cambio en la operacion delresto del circuito.

Capacitores conectados en paraleloLa figura 3a muestra dos capacitores conectados enparalelo.

Figura 3:

Características:

4

1. para pasar de a a b se puede tomar una de dostrayectorias, pasando a traves de C1 o a través deC2, que son paralelas

2. Cuando se conecta una batería con diferencia depotencial V a través de la combinacion se esta-blece la misma diferencia de potencial a travésde cada capacitor

3. La carga total transportada por la batería a lacombinacion se reparte entre los capacitores.

Así, para cada capacitor se tiene

q1 =C1V y q2 =C2V. (15)

Y dada la característica (3), se tiene

q = q1 +q2. (16)

Si se reemplaza la combinación por un capacitorequivalente, Ceq y se conecta a la misma batería, sedebe tener la misma carga en las placas del capacitorequivalente, así que

q =CeqV. (17)

Sustituyendo la ecuacion (16) en la (17) y usando lasecuaciones (15) en el resultado, se tiene que

CeqV =C1V +C2V,

oCeq =C1 +C2. (18)

Si se tienen más de dos capacitores conectados enparalelo, entonces

Ceq = ∑n

Cn (19)

Capacitores conectados en serieLa figura 4 muestra dos capacitores conectados enserie. Características:

Figura 4:

1. para pasar a a b se debe recorrer todo el circuito,pasando a través de todos los elementos sucesi-vamente

2. cuando se conecta una batería a través de lacombinación, la diferencia de potencial V de labatería es igual a la suma de las diferencias depotencial a través de cada uno de los capacitores

5

3. la carga q en cada capacitor de la combinaciónen serie tiene el mismo valor

Para cada capacitor individual se tiene, usando laecuacion (1):

V1 =q

C1y V2 =

qC2

. (20)

con la misma carga a través de cada capacitor perodiferente mangnitud en la diferencia de potencial. Deacuerdo con la segunda propiedad se tiene

V =V1 +V2. (21)

Entonces, la capacitancia equivalente Ceq que puedereemplazar a la combinación debe almacenar la mis-ma carga al conectarla a la misma diferencia de po-tencial

V =q

Ceq. (22)

Sustituyendo la ecuacion (21) en la (22) y usando lasecuaciones (29) se tiene

qCeq

=q

C1+

qC2

,

o1

Ceq=

1C1

+1

C2. (23)

Si se tienen más de dos capacitores conectados enserie, entonces

1Ceq

= ∑n

1Cn

(24)

Ejercicio 5. (a) Encuentre la capacitancia equivalenteen la combinación que se muestra en la figura 5a.Suponga que

C1 = 12.0µF, C2 = 5.3µF y C3 = 4.5µF.

(b) Se aplica una diferencia de potencial V = 12,5V a las terminales de la figura 7a. ¿Cuál es la cargasobre C1?

Figura 5:

Los capacitores C1 y C2 están conectados en para-lelo, por lo que la capacitancia equivalente es

C12 =C1 +C2 = 17.3µF

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Como se muestra en la figura 7b, C12 y C3 están co-nectados en serie. De la ecuacion (23), la capacitan-cia equivalente final es (ver la figura 7c):

1C123

=1

C12+

1C3

= 0.280µF−1

oC123 = 3.57µF.

(b) A los capacitores C12 y C123 se les consideracomo a capacitores comúnes y corrientes. La cargasobre C123 en la figura 7c es, entonces,

q123 =C123V = (3.57µF)(12.5V ) = 44.6µC

Esta misma carga es la que se encuentra en cada ca-pacitor de la combinación en serie de la figura 7b. Ladiferencia de potencial a través de C12 en esa figuraes

V12 =q12

C12=

44.4µC17.3µF

= 2.58V

La misma diferenca de potencial aparece a través deC1 en la figura 7a, por lo que

q1 =C1V1 = (12µF)(2,68V) = 31µC.

La energía almacenada en un campoeléctricoComo ya se vió anteriormente, la energía potencialeléctrica U es igual al trabajo W realizado por unagente externo para ensamblar una configuracion decargas.

En un capacitor, el agente externo que transportacargas de una placa a la otra es la batería.

Suponga que en un tiempo t se ha transferido unacarga q′ de una placa a la otra. La diferencia de poten-cial V ′ entre las placas en ese momento es V ′ = q′/C.Si luego se transfiere un incremento de carga dq′, elpequeño cambio en dU en la energía potencial eléc-trica es, de acuerdo con ∆V = ∆U/q0,

dU =V ′ dq′ =q′

Cdq′

Si el proceso continua hasta que se haya transferidouna carga total q, la energía potencial total es

U =∫

dU =∫ q

0

q′

Cdq′ (25)

o

U =q2

2C. (26)

7

De la relación q =CV también se puede escribir

U =12

CV 2. (27)

De aquí, si se tiene un capacitor de placas paralelas,el campo eléctrico el campo eléctrico en el espacioentre las placas es uniforme (omitiendo los efectosde borde). Así, la densidad de energía u, que es laenergía almacenada por unidad de volumen, debe serla misma en todo el volumen entre las placas; u estádada por

u =UAd

=12CV 2

Ad.

Sustituyendo la ecuacion (7) se tiene

u =ε0

2

(Vd

)2.

pero E =V/d, por lo que

u = 12 ε0E2. (28)

Aunque se trató solamente para un capacitor de pla-cas paralelas, el resultado es válido para cualquiergeometría. Aunque en general E cambia con la lo-calización, así que u será función de las coordenadas.

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