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7/28/2019 L4 OSCILACIONES ROTATORIAS LIBRES Y FORZADAS -M.pdf

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UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER

Escuela de FsicaLaboratorio de Fsica III

L4: OSCILACIONES ROTATORIAS LIBRES Y FORZADAS-M

INTRODUCCIN:El pndulo de Pohl es un sistema oscilante que consta de un anillo de cobre unido a un resorte helicoidal que puede giraralrededor de un eje horizontal. El disco se frena mediante las corrientes de Foucault que genera el campo magntico producido por una bobina en elanillo de cobre. El momento de fuerzas que ejerce el campo magntico sobre las corrientes inducidas es proporcional a la velocidad angular de rotacin

y de sentido contrario a sta. La intensidad del campo magntico es proporcional a la corriente i que pasa por la bobina, la fuerza sobre dichas

corrientes es tambin proporcional al campo magntico. El momento de frenado es proporcional, por tanto, al cuadrado de la intensidad de la corriente

que pasa por la bobina.

La fuerza oscilante se proporciona mediante un motor de velocidad variable, que dispone de una rueda impulsora y una excntrica unida a una biela. La

biela se atornilla a una varilla que puede girar alrededor del mismo eje y cuyo extremo est unido al muelle helicoidal. La varilla dispone de una ranura

que permite ajustar la amplitud de la oscilacin forzada. La varilla impulsora y el disco giran independientemente uno del otro, solamente estn

conectados por el muelle helicoidal.

OBJETIVOS:Parte A:

Medir la amplitud de oscilaciones rotatorias como funcin de tiempo Determinar la constante de amortiguamiento y el decremento logartmico Investigar la forma de la transicin para el caso de la oscilacin dbilmente amortiguada al caso lmite

Parte B: Medir la amplitud de las oscilaciones rotatorias forzadas como funcin de la frecuencia de excitacin para varias constantes de

amortiguamiento Determinar la frecuencia natural del oscilador Investigar el cambio de fase entre el excitador y el oscilador

FUNDAMENTO TERICOOscilaciones libres amortiguadasLos fenmenos oscilatorios (y ondulatorios) son bien conocidos por todas partes debido a su presencia en la naturaleza y la tcnica. Suinvestigacin es as en ambos desde punto de vista experimental como desde el punto de vista terico un tema importante que permiteestudiar los mtodos y conceptos fundamentales de la fsica.

Las oscilaciones rotatorias son un caso especial entre varios modelos de osciladores mecnicos (pndulo compuesto, pndulo de resorte,etc.) qu permite investigar los fenmenos ms importantes que ocurren en todos los tipos de oscilaciones.

Fig. 1: Representacin esquemtica de varias curvas de oscilaciones amortiguadas: (A) el caso dbilmente amortiguado: 02 > 2. (B) el caso fuertemente

amortiguado: 02 < 2 comparado con una oscilacin amortiguada del tipo (A). (C) caso limite no peridico: 02 = 2 comparado con el caso fuertementeamortiguado (B).

El movimiento de un sistema oscilante (rotatorio) libremente amortiguado puede describirse por la ecuacin diferencial

02

2

Ddt

dk

dt

dI (1)

I es el momento de inercia; D: la cantidad direccional (constante de torsin); k: el coeficiente de amortiguamiento (coeficiente defriccin); : el ngulo de rotacinCon la constante de amortiguamiento

I

k

2 (2)

Con la frecuencia angular natural de una oscilacin no amortiguada

ID0 (3)

y la frecuencia angular de la oscilacin amortiguada22

0 (4)

la ecuacin (1) puede resolverse por tet t cos0 (5)

0: ngulo inicial de rotacin en el instante t = 0; : constante de amortiguamiento; 0: frecuencia caracterstica de un sistema "noamortiguado"; : frecuencia angular de la oscilacin amortiguada.De la ecuacin (5) sigue que la amplitud disminuye por el factor de amplitud e -t (Fig. 1 - caso (A)). As despus de que un tiempo 1/e laamplitud ha disminuido a 1/e de su valor inicial 0. Es ms, de la ecuacin (5) sigue que el cociente de dos amplitudes sucesivas n y n + 1es constante.

t

n

n eq

1

(6)

q: razn de amortiguamiento


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El exponente se llama decremento del logaritmo

qTn

n lnln1

(7)

Sin embargo, segn la ecuacin (5) las oscilaciones slo ocurren cuando la frecuencia angular (es decir la ecuacin (IV)) tiene un positivoradiante (Fig. 1: caso (A)):

22

0

Si 02 < 2 la solucin tiene la forma

ttt eeet 0 (8)El sistema oscilante se aproxima asintticamente a la posicin de equilibrio despus de una oscilacin (para el caso llamado fuertementeamortiguado o sobre-amortiguado - Fig. 1 caso (B). La constante de amortiguamiento ms alta hace ms lenta la aproximacin a cero.Si 0

2 = 2 la solucin tiene la forma tebtt 0 (9)

El amortiguamiento es tan grande que simplemente no hay ms de un cruce a travs de la posicin de equilibrio. Cualquier reduccin enamortiguamiento da una oscilacin. Esto es as llamado caso limite no peridico que es de importancia prctica porque es el tiempomnimo requerido para alcanzar la posicin cero. Un instrumento de medicin que tiene un indicador de un sistema de movimiento-rollose disea as con amortiguamiento no peridico (Fig. 1 caso (C).

Parte AEn este experimento una rueda de metal que rota con inerciaIes usada como oscilador. Un resorte helicoidal acta en la rueda cuando sedesplaza un ngulo de su posicin de equilibrio para producir una torsin restauradoraMque est dada aproximadamente por:

DM (10)

Debido a las fuerzas de friccin inevitables (en la pelota expuesta etc.) la amplitud de la oscilacin mecnica disminuye con tiempo. LosComo resultado se producen el una oscilacin amortiguada libre. En muchos (pero no en todos!) los casos, las fuerzas de friccin(torsiones) son proporcionales a la velocidad (angular) en el primer orden de aproximacin:

dt

dkMF

(11)

En el pndulo de torsin el amortiguamiento conforme a la ecuacin (XI) se realiza pasando la rueda de metal a travs del campo de unelectroimn. Los electrones experimentan la fuerza de Lorentz. As los electrones se despliegan perpendicular al campo del electroimn yla direccin del movimiento de la rueda. Ellos fluyen atrs a travs la parte libre del campo de la rueda (Fig. 2). Como resultado se

produce un circuito cerrado de corriente-parsita iparsita.La parte de la rueda de metal en el campo magntico acta como conductor que transporta el movimiento de corriente en que acta unafuerza F opuesta a la direccin de movimiento y proporcional a la velocidad v. Esto genera una torsin de desaceleracin MF.

Fig. 2: Generacin de corriente iparsita.

Oscilaciones armnicas forzadasLas oscilaciones rotatorias son un caso incidental entre los varios modelos de osciladores mecnicos que permite investigar los fenmenosms importantes que ocurren en todos los tipos de oscilaciones.En este experimento se investigar cmo el oscilador reacciona a una fuerza peridica externa.Al aplicar la torsin peridica

tMM exex sen0 (12)

se obtiene la ecuacin de movimiento para el sistema oscilante rotatorio amortiguado forzado (comprela con ecuacin (1)):

tMDdt

dk

dt

dI ex

sen02

2(13)

I: el momento de inercia; D: cantidad direccional (torsin restauradora); k: coeficiente de amortiguamiento (coeficiente de friccin);:ngulo de rotacin; M0: Mxima torsin externa;ex = 2: frecuencia de torsin externaLa solucin de esta ecuacin diferencial no homognea es la suma de una solucin especfica (particular) y la solucin general de laecuacin diferencial homognea correspondiente (M0 = 0). La ltima, sin embargo, disminuye exponencialmente (comprela con laecuacin (5)) y no es muy significativa despus de un perodo suficientemente largo de tiempo.

Fig. 3: (a) Curva de resonancia y cambio de fase entre el excitador y el oscilador (b) para las varias constantes de amortiguamiento.

La siguiente relacin para la solucin especfica puede usarse: tt exex sen0 (14)


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Sustituyendo la ecuacin (14) en la ecuacin (13) da despus de varias transformaciones trigonomtricas la amplitud de la oscilacinforzada:

2

20

00

exex

ex

I

k

IM (15)

La frecuencia en que la amplitud de oscilacin es mxima se llama frecuencia de resonancia R (amplitud de resonancia). ste es el casocuando el radicando en el denominador es mnimo. Igualando la derivada del radicando con respecto a a cero se encuentra la relacinsiguiente para la frecuencia de resonancia:

222

22 2

2 ooR

I

k (16)

Con

I

D0 (frecuencia natural);

I

k

2 (constante de amortiguamiento)

El ms bajo amortiguamiento la menor frecuencia de resonancia difiere de la frecuencia natural 0 y la ms grande es la amplitud. En ellmite donde el amortiguamiento desaparece (k 0), la amplitud a la frecuencia de resonancia (ex = 0) tendera hacia infinito (asllamada catstrofe de resonancia).De la ecuacin (15) se sigue que la amplitud de la oscilacin forzada tiende a cero para frecuencias muy altas. Para frecuencias muy bajas

( 0) la amplitud tiende hacia el valor M0/I (qu es diferente de cero). La curva de resonancia no es simtrica con respecto a lafrecuencia de resonancia R.Nota: La resonancia en energa tiene que ser distinguida de la resonancia en amplitud considerada arriba. Es posible mostrar que eloscilador posee un mximo de energa cuando la frecuencia de la torsin externa iguala la frecuencia natural: ex = 0 (resonancia enenerga). Se obtienen as las resonancias en energa y en amplitud a frecuencias de excitacin diferentes.El cambio de fase 0 entre la excitacin externa y el sistema oscilante esta dado por:

2202

tanex

ex

(17)

De esta relacin sigue:Para ex > 0el oscilador y el excitador casi oscilan en oposicin de fase ( ~ ).Para ex = 0el oscilador se retrasa del excitador exactamente por/2.

BIBLIOGRAFIA ALONSO M., FINN E. Fsica. Volumen I. Ed. Fondo Educativo Interamericano. RESNICK R., HALLIDAY D., Fsica, Parte I Compaa Editorial Continental S.A. TIPLER P. Fsica, editorial Revert S.A. SEARS, ZEMANSKY. Fsica. Ed Aguilar. TIPPENS, PAUL E. Fsica conceptos y aplicaciones, editorial McGraw-Hill SERWAY, RAYMOND A. Fsica. Editorial McGraw-Hill FRANCO GARCA A., Fsica con ordenador Curso Interactivo de Fsica en Internet:http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/libres/libres.htm;http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/amortiguadas/amortiguadas.htm;http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/forzadas/forzadas.htm; http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/pohl/pohl.htm

TEMAS PARA CONSULTAAntes de realizar este experimento usted deber poder definir y explicar los siguientes temas: Ecuaciones del M.A.S. Movimiento Oscilatorio Libre Amortiguado Movimiento Armnico Amortiguado Forzado Pndulo de PohlEQUIPO

Pndulo de Pohl

Parte A:1 pndulo de Pohl1 fuente de alimentacin DC 0... 16V/0... 5A1 ampermetro, DC, i < 2 A1 cable de conexin, 100cm, azul1 par de cables, rojo y azul, 100 cm1 cronmetro

Parte B:1 pndulo de Pohl1 fuente de alimentacin DC 0... 16V/0... 5A1 fuente de alimentacin plug-in para el pndulo de torsin1 ampermetro, DC, I < 2 A1 voltmetro, DC, U < 24 V1 cable de conexin, 100cm, azul2 pares de cables rojo y azul, 100cm,1 cronmetro


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ARREGLO EXPERIMENTALParte A:Realice el montaje del experimento como se muestra en la Fig. 3. El tiempo es medido por un cronmetro (no mostrado en la Fig. 3).Ponga el indicador de la rueda de metal (3a) en la posicin cero de la escala volviendo a llevar la rueda a (3e).

Fig. 3: arreglo experimental (diagrama esquemtico de conexiones) para observar las oscilaciones rotatorias amortiguadas.

Nota de seguridad

La corriente a travs del freno de corriente parsita no debe exceder 2A durante mucho tiempo.Parte BEl dispositivo del experimento se muestra en la Fig. 4 esquemticamente. El perodo T del excitador es medido por el cronmetro (nomostrado en la Fig. 4).

Fig. 4: Representacin esquemtica (diagrama de conexiones) del arreglo experimental: (A) el excitador, (B) el freno de corriente parsita.

Notas de seguridad

La corriente a travs del freno de corriente parsita no debe exceder 2A durante mucho tiempo. Evite acalorar de las bobinas midiendo demasiado tiempo con corriente grande I0 > 1 A.

PROCEDIMIENTOParte Aa) Investigando el amortiguamiento de la oscilacin

Ponga la corriente para el electroimn en un valor pequeo, por ejemplo i = 0.18A Mueva el indicador del pndulo a la posicin lmite y la amplitudA en el mismo lado de la escala despus de cada Tde

oscilacin (para el caso de amortiguamiento dbil despus de 5 o 10 oscilaciones).

Adicionalmente, mida varias veces el tiempo para 10 oscilaciones para determinar el perodo de oscilacin T.Indicacin: Si el pndulo alcanza el equilibrio en menos de 10 oscilaciones miden el tiempo varias veces para obtener el valor promedio. Repita el experimento de la misma manera para una corriente ms grande (por ejemplo i = 0.4A).

b) Investigando la transicin de la oscilacin al caso lmite Aumente la corriente hasta que el pndulo realice una oscilacin representada por la curva en la Fig. 1 (B). Mueva el indicador del pndulo a la posicin lmite y mida el tiempo tomado para una oscilacin hasta que la posicin de

equilibrio se alcance. Determine el perodo de la oscilacin como el valor promedio de varias medidas. Aumente la corriente hasta que el pndulo realice la oscilacin representada por la curva en la Fig. 1 (C). Mida el tiempo tomado por el pndulo cuando se libera desde la posicin lmite. Determine el valor promedio de por ejemplo 5

medidas.

Parte B:c) Determinacin de la amplitud como funcin de la frecuencia - registrando la curva de resonancia

Ponga la corriente para el electroimn (freno de corriente parsita) a un valor medio, por ejemploI= 0.4 A. Ponga la frecuencia del excitador ajustando el voltaje aplicado - la salida con un valor pequeo, por ejemplo (~ 0.1 Hz),Nota: elperiodo ser grande, superior al minuto.


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Orientacin: Mida el voltaje aplicado al excitador sirve en este experimento slo como control. Para medir la amplitud como funcin de

la frecuencia del excitador se recomienda determinar el perodo T del excitador y evaluar la frecuencia = 1/T a la vez mientras se

realiza el experimento.

Mida el perodo del excitador y determine la frecuencia. Para determinar el perodo mida el tiempo 10Tpara 10 revoluciones dela rueda impulsora.

Lea la amplitud cuando la oscilacin forzada ha alcanzado un estado estable y la amplitud de oscilaciones sucesivas sonconstantes.

Nota: Al medir la amplitud como funcin de la frecuencia del excitador, es decir la curva de resonancia, tienen que ser esperados varios

minutos hasta que la amplitud sea suficientemente constante y el establecimiento del proceso de la oscilacin forzada se ha completado.

Esto se mantiene especialmente para el caso de amortiguamiento dbil. El proceso de establecimiento es particularmente notable cuando

se esta cerca de la resonancia. (Por esta razn una corriente media tiene que ser escogida como valor inicial.)

Cuando se cambia la frecuencia del excitador a un nuevo valor podra ser necesario reajustar el voltaje del excitador despus demedir y determinar la frecuencia para tener un valor de frecuencia apropiada con respecto al ajuste anterior de frecuencia.En la regin de aumento rpido de la amplitud la frecuencia tiene que ser cambiada en pasos pequeos.

Se recomienda detener el oscilador completamente entre los diversos ajustes de la frecuencia del excitador y empezar desde el principio

la oscilacin forzada. As el tiempo del proceso de establecimiento se minimiza.

Compare los movimientos de los indicadores del excitador y el oscilador. Observe la relacin de fase cualitativamente entre elexcitador y el oscilador.

Repita el experimento para pequeo (por ejemplo i = 0 A) y grande amortiguamiento (por ejemplo i = 0.7 A).d) Determinacin de la frecuencia natural del oscilador

Ponga la corriente del freno de corriente parsita para i = 0 A y desvi el pndulo para realizar las oscilaciones rotatorias libres. Determine la frecuencia natural 0 midiendo 10-veces el perodo T0 para 10 oscilaciones con el freno de corriente parsita

desactivado (i = 0 A).

Calcule la frecuencia naturalcT

100

Nota: La frecuencia natural 0 slo pueden estimarse como un valor lmite de la oscilacin casi no amortiguada. Debido a las fuerzas

friccionales inevitables la oscilacin siempre se amortigua.

ANALISIS E INTERPRETACIN DE DATOSParte Aa) Investigando el amortiguamiento de la oscilacin Con los datos tomados complete las tablas 1 y 2 de la hoja de datos. En una misma grfica trace las curvas deA como funcin del tiempo tde acuerdo con la Tabla 1. La constante de amortiguamiento

puede ser determinada por ejemplo ajustando la ecuacin (5) a los datos experimentales. Alternativamente, ajuste a una lnea recta los datos trazndolas en otra grfica de A como funcin del tiempo tdan la constante de

amortiguamiento desde la cual el decremento logartmico puede determinarlo (antelo en la Tabla 3).

b) Investigando la transicin de la oscilacin al caso lmite i = 1.3A. El perodo de oscilacin medido fue: ______ i = 1.5A. El perodo de oscilacin medido fue: ______ Para que corriente i = ____. el pndulo alcanza el equilibrio? El perodo de la oscilacin medido es____. Para que corriente i = ____ el pndulo alcanza el equilibrio en t= _____ sin oscilar sobre la posicin cero (crtico). En este caso as

llamado a peridico el tiempo de ajuste requerido por el sistema para retornar al equilibrio es un mnimo.

Informacin suplementariaLas oscilaciones con una torsin restauradora descrita por la ecuacin (10) se llaman oscilaciones armnicas. El oscilador armnico es

slo un caso especial entre sistemas que son capaces de oscilar. La mayora de las oscilaciones reales no son armnicas, es decir la

relacin (10) no se satisface estrictamente. Sin embargo, muchas oscilaciones pueden ser consideradas como oscilaciones armnicas por

lo menos en una primera aproximacin desarrollando la torsin restauradora (fuerzas) como funcin sobre de la posicin de equilibrio

en series y descuidando los trminos no lineales. La ecuacin de movimiento (1) de tal sistema oscilante generalmente no puede

resolverse analticamente.

Parte B:c) Determinacin de la amplitud como funcin de la frecuencia - registrando la curva de resonancia Con los datos tomados complete las tablas 4 a 6 de la hoja de datosFase: Para valores de frecuencia pequeos como se mueven el indicador del excitador y el oscilador? Para frecuencias grandes Cmo es la fase entre el indicador del excitador y el oscilador?. Para amplitudes grandes, es decir para las frecuencias cerca de la frecuencia de resonancia, cmo es el desfase entre el indicador del

excitador y el oscilador?b) Determinacin de la frecuencia natural del oscilador Cul es el perodo natural medido sobre 10 perodos,10T0 = _____?. Desde el cual la frecuencia: 0 = _______ Curvas de resonancia para corrientes de frenado diferentes. Grafique los datos listados en las tablas 4 a 6. En la curva de resonancia

la amplitud (A = 0) como se comporta a medida que se incrementa la corriente de frenado?. Cmo es el pico de la curva deresonancia de acuerdo con la ecuacin (16). Represente la curva terica en la misma figura, ajuste de acuerdo a la ecuacin (15),lstelos en la Tabla 7.

Analice y compare estas grficas. La curva de resonancia es simtrica con respecto a la frecuencia de resonancia R? Cul es el valor calculado de la frecuencia de resonancia R (= /2) = _____ Hz para i = 0 A. Corresponde aproximadamente a la

frecuencia natural 0 = ______ Hz que se estim midiendo 10-veces el perodo de oscilacin de la oscilacin libre (es decir casioscilacin no amortiguada) con el freno de corriente parsita desactivada.

Los desplazamientos de fase observados estn de acuerdo con la ecuacin (17) y la grfica?


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Fig. 5: La biela se puede cambiar de puesto para fijar la amplitud del excitador.

Informacin suplementaria

Todas las oscilaciones armnicas forzadas llevan a una ecuacin diferencial (II). La solucin de este modelo general del oscilador obtenida en este

experimento puede transferirse a otro tipo de oscilaciones as, por ejemplo oscilaciones elctricas forzadas.

La influencia de la amplitud del excitador en la amplitud de la oscilacin forzada puede ser investigada por ajustes diferentes de la biela (Fig. 6).

OBSERVACIONES

CONCLUSIONES


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HOJA DE DATOS (sugerida, llenar con lapicero de tinta durante la prctica)

L4: OSCILACIONES ROTATORIAS LIBRES Y FORZADAS-M

fecha:___________ grupo_______ subgrupo _______ estudiantes ___________________________________

Instrumento de medicin 1 _________________ sensibilidad _________

Instrumento de medicin 2 _________________ sensibilidad _________

Tabla. 1: Amplitud de oscilacin A medida como funcin de tiempo nT( n-veces el perodo de oscilacin) para por ej. i = 0.18A e i = 0.25 A.# oscilaciones = __ i1 = # oscilaciones = __ i2 =

t1 t2 t3 tprom[s] A [] t1 t2 t3 tprom [s] A []20.2 20.2

Tabla. 2: Perodo de oscilacin (valor promedio determinado por 5 medidas) para diferentes corrientes parsitas.Corriente parsita i[A] Periodo de oscilacin T [s]i1 =

i2 =

Tabla. 3: Perodo de oscilacin T(de la Tabla 2). la constante de amortiguamiento (determinada por un ajuste a los datosexperimentales trazados en la grfica) y el decremento logartmico para varias corrientes parsitas i.

i[A] T[s] [s-1]

Tabla. 4: 10-tiempos el perodo de oscilacin T, frecuencia = 10/Ty amplitud de oscilacinA = 0 paraI= 0.4 A.10T [s] [HZ] A []

Tabla. 5: 10-veces el perodo de oscilacin T, frecuencia = 10/T y amplitud de oscilacinA = 0 paraI= 0 A.10T [s] [HZ] A []

Tabla. 6: 10-tiempos el perodo de oscilacin T, frecuencia = 10/Ty amplitud de oscilacinA = 0 paraI= 0.79A.10T [s] [HZ] A []

Tabla. 7: Parmetros obtenidos por un ajuste de la ecuacin (15) a las curvas de resonancia. Los parmetros indicadosM0 y Ksemantienen constantes entre las curvas de ajustes de varias de corriente.

i[A] M0 [Nrad] I[kgrad2] 0[Hz] para i = 0 A K[rad/s]

Observaciones

________________________________________Vo Bo Profesor (firma)

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