Juegos Dinámicos

Tema 2: Juegos Dinámicos con Información Imperfecta

Universidad Carlos III  

JD con información Imperfecta (JDII)

Ø Algún jugador desconoce la acción que ha tomado otro jugador Ø Cuando un jugador no sabe en cuál de sus vértices se encuentra diremos que los vértices pertenecen a un mismo conjunto de información (CI).

En un JDII, un CI puede contener cualquier número de vértices

Gráficamente: unimos con líneas de puntos los vértices que pertenecen a un mismo conjunto de información.

Recordemos el juego del ejemplo 1. Si el jugador 2 elige sabiendo  lo que ha hecho la jugadora 1, tenemos un JDIP. Si el jugador 2  elige sin saber lo que ha hecho la jugadora 1, tenemos un JDII, que es equivalente a un juego estático. Llamemos a este nuevo juego, juego 1-bis. 1

 I D

2.1 2.2

I D i d

3 0 0 1 1 0 0 3

1  

I D

2  

I D i d

3 0 0 1 1 0 0 3

JDII, Juego 1-Bis  

Estrategias en un JDII   Ø En una situación de información imperfecta, no se puede

condicionar la acción al vértice en que se encuentra, sino al conjunto de información.

Ø Para que esto tenga sentido el número de ramas que parten de cada vértice de un determinado conjunto de información debe ser el mismo. (Si no fuera así, el jugador adquiriría nueva información al contar las alternativas de que dispone).

Definición de Estrategia Una estrategia de un jugador es una acción para cada uno de sus conjuntos de información. (Es decir, se elige siempre la misma acción en todos los vértices de un mismo conjunto de información).

Ø En el juego 1-bis: Estrategias de 1: {I, D}. Estrategias de 2: {I, D}. En cambio en el juego 1, como el jugador 2 podía condicionar sus acciones a dos conjuntos de información, tenía 4 estrategias.

Conceptos de Solución  

Ø No es siempre posible usar la inducción hacia atrás en un juego con información imperfecta. (E.g.: en el ejemplo 1-bis

¿cuál es la acción que maximiza el pago del segundo jugador?)

Ø Antes de resolver el problema del jugador 2 hay que resolver el problema del jugador 1. Pero, a su vez, el jugador 1 no puede establecer cuál es su mejor acción hasta no saber lo que hará el jugador 2.

Ø El concepto de equilibrio perfecto en subjuegos (ENPS)

permite considerar los problemas de ambos jugadores simultáneamente y ofrecer una solución.

Este será el concepto de solución para JDII  

Subjuegos   Subjuego. La definición es la misma que con información

perfecta (subconjunto del juego original que siga teniendo una estructura de juego), pero añadiendo dos condiciones: El vértice inicial del subjuego debe ser el único vértice de un conjunto de información. Si el subjuego contiene un vértice de un conjunto de información, debe contener también todos los demás vértices de ese mismo conjunto. Intuitivamente, estas condiciones significan que los subjuegos no

pueden romper los conjuntos de información del juego original. En el juego 1-bis solamente hay un subjuego, el que comienza con la jugadora 1. Si se considera cualquier otro vértice como inicial de otro subjuego, se rompería el conjunto de información de 2. Como el único subjuego es el juego original, los equilibrios perfectos en subjuegos en estrategias puras son los equilibrios de Nash en puras (I,I), (D,D).

Ejemplo 2 Dado el siguiente juego representado en forma extensiva

I1 D1

2 I2 D2 I2 D2

3 -1 0 10 5 -1 0 2

La forma normal asociada:

I2 D2

I1 3, 5 -1, -1 D1 0, 0 10, 2

de donde se obtiene fácilmente que EN(G ) = {(I1 , I2),(D1 , D2)}.

Supongamos ahora que el Jugador 1 observa la decisión del Jugador  2 antes de tomar su decisión. Si 1 observa el movimiento de 2 el árbol del juego pasa a tener 3 subjuegos (fijémonos en que el orden de los pagos refleja el orden de movimiento):

2  

I2 D2

1.1 1.2

I1 D1 i1 d1

5 0 -1 2 3 0 -1 10

Ejemplo  2  •  Su  forma  normal  es:  

 •  EN(G  )  =  {(I2  ,  I1  i1  )  ,  (I2  ,  I1  d1  )  ,  (D2  ,  D1  d1  )}    •  Como  el  juego  es  con  información  perfecta  los  ENPS  los  

podemos  obtener  por  inducción  hacia  atrás:  •  En  1.1  el  jugador  1  elegirá  I1  ya  que  3  >  0.  •  En  1.2  elegirá  d1  (10  >  -­‐1).  •  El  2  ha  de  optar  entre  I2  que  le  da  pagos  de  5  y  D2  que  

le  da  pagos  de  2,  optará  por  I2.  •  ENPS  (G  )  =  {(I2  ,  I1d1  )}    

Ejemplo 3

Juego de Fórmula 1. Supongamos que antes de decidir que tipo de ruedas va a poner, Al puede realizar una maniobra estratégica que impediría la participación de Ham en la carrera. Así, en una primera etapa, Al decide si impide o no (decisiones I y NI) la participación de Ham en la carrera. Si impide la salida de Ham, Al tendría 4 puntos al final de la carrera y Ham no tendría ninguno. Si no impide la salida de Ham, los dos pilotos eligen el tipo de ruedas simultáneamente, para lluvia o tiempo seco, con los resultados que se indican en la forma extensiva a continuación.

AL.1  

I  

4  0  

L  

1  

NI  

AL.2  L S

HAM  

S L S

2 5 0

2 3 4 3

Estrategias y Subjuegos  

Estrategias Al: { IL, IS , NIL, NIS } HAM: { L, S }

Subjuegos Hay 2 subjuegos el que comienza en AL.1 (el juego completo) y el que comienza en AL.2.

ENPS   Calculamos los EN de todos los subjuegos. El subjuego que

comienza en AL.2 es un juego estático:

AL.2  

L  

1  2  

L S

HAM  

S L S

2 5 0 3 4 3

Subjuego que comienza en AL.2 Los jugadores deben jugar un EN. Ham

L S

L S 1,2 2,3

5,4 0,3 EN en estrategias puras: {(S, L), (L, S )}.

EN en estrategias mixtas: {(1/2[L]+1/2[S], 1/3[L]+2/3[S])}

Al recibe en cada uno de estos equilibrios la utilidad esperada 5, 2, y 5/3, respectivamente.  

Al

Juego Completo  

En la primera etapa. Tanto si Ham elige S como si juegan el equilibrio en mixtas, Al prefiere evitar el subjuego anterior. Obtiene menos de 4 puntos que es lo que puede ganar de forma segura si toma la decisión de impedir la salida de Ham. De aquí surgen (I, (L,S)), y (I, (1/2, 1/3)) como ENPS.

Por otra parte, si H hace L entonces Al prefiere NI (5>4):

ENPS : {(I, (L, S)), (NI, (S, L)), (I, (1/2,1/3))}

Ejemplo 4  

Dos hermanas, Alicia y Beatriz se plantean la forma de repartirse dos euros. •  En primer lugar, Alicia decide si quiere un reparto igualitario o no. •  Si decide igualitario se acaba el juego con el reparto igualitario. •  Si decide que no lo sea, se juegan los dos euros a suertes: cada una

saca simultáneamente 1 o 2 monedas. Si la suma de las monedas es par, Alicia se queda 1,25 euros y Beatriz 0,75. Si la suma es impar, Beatriz se queda 1,5 y Alicia 0,5.

a) Representar el juego en forma extensiva, determinando los conjuntos de información de cada jugadora. b) Calcular los ENPS.  

Al.1  

I NI

1 1 Al.2

1 2

Be

1 2 1 2

1.25 0.5 0.5 1.25 0.75 1.5 1.5 0.75

EN del subjuego Al.2  

B1 B2 A1 1.25, 0.75 0.5, 1.5 A2 0.5, 1.5 1.25, 0.75

q1.25 + 0.5(1- q) = 0.5q + 1.25(1 - q) à q = 0.5 0.75p + 1.5(1- p) = 1.5p + 0.75(1 - p) à p = 0.5

Pagos EN (0.875, 1.125)

ENPS  Si reparto igualitario: Alicia=1

Si no igualitario: Alicia=0.875 Alicia prefiere I

ENPS = ((I , 1/2) , 1/2)

Ejemplo 5  

Consideremos de nuevo el juego entre Alicia y Beatriz pero supongamos ahora que en la primera etapa ambas deciden simultáneamente si quieren un reparto igualitario (I) o no (NI). Si ambas eligen NI, se juegan los dos euros a suerte como antes. Si una elige I y la otra NI se acaba el juego y la que dijo si se lleva 1.25 de los 2 euros. Calculemos el ENPS de este nuevo juego.

Conjuntos de Información: Tanto Alicia como Beatriz tienen 2 CI

Subjuegos Este juego tiene único subjuego (aparte del juego completo), el que comienza si ambas optan por NI.

Estrategias Las estrategias de ambas jugadoras tienen dos elementos

Para calcular el ENPS sustituimos TODO el Subjuego que comienza tras (NI, NI) por sus pagos en el EN, tal como se calculó en el Ejemplo 4. El juego resultante es:

A.1

IA NIA

B.1 IB NIB IB NIB

1 1.25 0.75 0.875 1 0.75 1.25 1.125

Lo pasamos a forma normal y calculamos sus EN:  

IB NIB IA 1,1 1.25, 0.75 NIA 0.75,1.25 0.875, 1.125

Como Ii domina estrictamente a NIi para i = A, B, hay único EN con EN (G) = (IA , IB). Por lo tanto:

ENPS = {(IA, IB), (1/2,1/2)} o bien, en otra notación:

ENPS = {(IA, 1/2), (IB, 1/2)}