juegos bayesianos

7/28/2019 Juegos Bayesianos

1/10

Games of Incomplete Information

Jonathan Levin

February 2002

1 Introduction

W e n o w s t a r t t o e x p l o r e m o d e l s o f i n c o m p l e t e i n f o r m a t i o n . I n f o r m a l l y , a

g a m e o f i n c o m p l e t e i n f o r m a t i o n i s a g a m e w h e r e t h e p l a y e r s d o n o t h a v e

c o m m o n k n o w l e d g e o f t h e g a m e b e i n g p l a y e d . T h i s i d e a i s t r e m e n d o u s l y

i m p o r t a n t i n c a p t u r i n g m a n y e c o n o m i c s i t u a t i o n s , w h e r e a v a r i e t y o f f e a t u r e s

o f t h e e n v i r o n m e n t m a y n o t b e c o m m o n l y k n o w n . A m o n g t h e a s p e c t s o f t h e

g a m e t h a t t h e p l a y e r s m i g h t n o t h a v e c o m m o n k n o w l e d g e o f a r e :

P a y o ff s

W h o t h e o t h e r p l a y e r s a r e

W h a t m o v e s a r e p o s s i b l e

H o w o u t c o m e d e p e n d s o n t h e a c t i o n .

W h a t o p p o n e n t k n o w s , a n d w h a t h e k n o w s I k n o w . . . .

T o t a k e a c o u p l e o f s i m p l e e x a m p l e s : ( 1 ) i n p r i c e o r q u a n t i t y c o m p e t i t i o n ,

fi r m s m i g h t k n o w t h e i r o w n c o s t s , b u t n o t t h e c o s t s o f t h e i r r i v a l s ; ( 2 )

fi r m s i n v e s t i n g i n R & D m i g h t k n o w h o w t h e i r p r o j e c t i s c o m i n g a l o n g , b u t

h a v e n o i d e a w h o e l s e i s w o r k i n g o n t h e s a m e p r o b l e m ; ( 3 ) t h e g o v e r n m e n t

m a y d e s i g n t h e t a x c o d e n o t e n v i s i o n i n g w h a t p l o y s p e o p l e w i l l c o m e u p

w i t h t o a v o i d t a x s ; ( 4 ) c o u n t r i e s m a y n e g o t i a t e c l i m a t e c h a n g e a g r e e m e n t s

h a v i n g d i ff e r e n t b e l i e f s a b o u t t h e c o s t s a n d b e n e fi t s o f g l o b a l c l i m a t e c h a n g e ;

( 5 ) p l a i n t i ff s m a y o ff e r s e t t l e m e n t s t o d e f e n d a n t s n o t k n o w i n g w h a t s o r t o f

c a s e t h e d e f e n d a n t w i l l b e a b l e t o b r i n g t o c o u r t , o r w h a t s o r t o f c a s e t h e

d e f e n d a n t t h i n k s t h e p l a i n t i ff w i l l b e a b l e t o b r i n g .

1


2/10

2 Examples

2.1 Entry with a Tough Incumbent

R e c a l l o u r c a n o n i c a l e n t r y m o d e l w h e r e F i r m 2 ( t h e e n t r a n t ) m u s t d e c i d e

w h e t h e r o r n o t t o e n t e r a m a r k e t , a n d F i r m 1 ( t h e i n c u m b e n t ) m u s t d e c i d e

w h e t h e r t o F i g h t o r A c c o m o d a t e e n t r y . L e t s m o d i f y t h i s g a m e b y a s s u m i n g

t h a t w i t h p r o b a b i l i t y 1 p , t h e i n c u m b e n t i s t o u g h , w h i l e w i t h p r o b a b i l i t y

p , t h e i n c u m b e n t i s n o r m a l . T h e p a y o ff s i n t h e g a m e d e p e n d o n w h e t h e r

t h e i n c u m b e n t i s t o u g h o r n o r m a l :

2

1

InOut

F A

-1, -1 1, 1

2, 0

2

1

InOut

F A

1, -1 -1, 1

2, 0

Entry w/ Normal Incumbent Entry w/ Tough Incumbent

2.2 Sealed Bid Auction

T w o b i d d e r s a r e t r y i n g t o p u r c h a s e t h e s a m e i t e m i n a s e a l e d b i d a u c t i o n .

T h e b i d d e r s s i m u l t a n e o u s l y s u b m i t b i d s b

1

a n d b

2

a n d t h e a u c t i o n i s s o l d

t o t h e h i g h e s t b i d d e r a t h i s b i d p r i c e ( t h i s i s c a l l e d a fi r s t p r i c e a u c t i o n ) .

I f t h e r e i s a t i e , t h e r e i s a c o i n fl i p t o d e t e r m i n e t h e w i n n e r . S u p p o s e t h e

p l a y e r s u t i l i t i e s a r e :

u

i

( b

i

, b

i

) =

v

i

b

i

i f b

i

> b

i

1

2

( v

i

b

i

) i f b

i

= b

i

0 i f b

i

< b

i

T h e k e y i n f o r m a t i o n a l f e a t u r e i s t h e e a c h p l a y e r k n o w s h i s o w n v a l u e f o r

t h e i t e m ( i . e . b i d d e r i k n o w s v

i

) , b u t d o e s n o t k n o w t h e v a l u a t i o n o f h i s

r i v a l . I n s t e a d , w e a s s u m e t h a t e a c h b i d d e r h a d a p r i o r b e l i e f t h a t h i s r i v a l s

v a l u a t i o n i s a d r a w f r o m a u n i f o r m d i s t r i b u t i o n o n [ 0 , 1 ] , a n d t h a t t h e s e p r i o r

b e l i e f s a r e c o m m o n k n o w l e d g e .

2


3/10

2.3 Public Good Provision

T w o f a c u l t y m e m b e r s i n t h e e c o n o m i c s d e p a r t m e n t b o t h w a n t t o r e c r u i t a

t o p g r a d u a t e s t u d e n t t o t h e i r d e p a r t m e n t . E i t h e r f a c u l t y m e m b e r c a n e n s u r e

t h e s t u d e n t w i l l a c c e p t t h e o ff e r b y g e t t i n g o n t h e p h o n e a n d s h a m e l e s s l y

p r o m o t i n g t h e g r a d u a t e p r o g r a m . H o w e v e r , t h e r e i s s o m e c o s t t o m a k i n g

t h i s c a l l . A s s u m e t h e p a y o ff s c a n b e r e p r e s e n t e d a s f o l l o w s :

C a l l D o n t

C a l l 1 c

1

, 1 c

2

1 c

2

, 1

D o n t 1 , 1 c

1

0 , 0

A s s u m e t h e f a c u l t y m e m b e r s c h o o s e t h e i r a c t i o n s s i m u l t a n e o u s l y ( o r a t l e a s t

w i t h o u t l e a r n i n g t h e o t h e r s a c t i o n ) a n d t h e f a c u l t y h a v e p r i v a t e i n f o r m a t i o n

a b o u t t h e i r c o s t s o f m a k i n g t h e c a l l . T h a t i s , f a c u l t y m e m b e r i k n o w s c

i

,

a n d b e l i e v e s t h a t c

j

i s a r a n d o m d r a w f r o m a u n i f o r m d i s t r i b u t i o n o n [ c , c ] .

F a c u l t y m e m b e r i s b e l i e f a b o u t c

j

i s c o m m o n l y k n o w n .

A n a l t e r n a t i v e f o r m u l a t i o n o f t h i s p r o b l e m i s t h a t f a c u l t y m e m b e r o n e

t e l l s e v e r y o n e e v e r y t h i n g , s o t h a t e v e r y o n e k n o w s h i s c o s t c

1

= 1 / 2 . H o w -

e v e r , c

2

{ c , c } i s k n o w n o n l y t o p l a y e r t w o .

O r , w e c o u l d a s s u m e t h a t p l a y e r o n e i s a s e n i o r f a c u l t y m e m b e r w h o

k n o w s f r o m l o n g e x p e r i e n c e t h a t c

1

= 1 / 2 a n d c

2

= 2 / 3 . H o w e v e r , p l a y e r

t w o i s a n e w a s s i s t a n t p r o f e s s o r w h o s e p r i o r b e l i e f i s t h a t c

1

, c

2

U [ 0 , 2 ] a n d

a r e i n d e p e n d e n t .

3 Definitions

D e fi n i t i o n 1

A g a m e w i t h i n c o m p l e t e i n f o r m a t i o n G = ( , S , P , u ) c o n s i s t s

o f :

1 . A s e t =

1

. . .

I

, w h e r e

i

i s t h e ( fi n i t e ) s e t o f p o s s i b l e t y p e s

f o r p l a y e r i .

2 . A s e t S = S

1

. . . S

I

, w h e r e S

i

i s t h e s e t o f p o s s i b l e s t r a t e g i e s f o r

p l a y e r i .

3 . A j o i n t p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n p (

1

, . . . ,

I

) o v e r t y p e s . F o r fi n i t e t y p e

s p a c e , a s s u m e t h a t p (

i

) > 0 f o r a l l

i

i

.

4 . P a y o ff f u n c t i o n s u

i

: S R

.

C o n s i d e r h o w t h i s d e fi n i t i o n r e l a t e s t o e a c h o f o u r e x a m p l e s .

3


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1 . E n t r y :

1

= { t o u g h , n o r m a l } ;

2

= { n o r m a l } .

2 . A u c t i o n :

1

=

2

= [ 0 , 1 ] .

3 . P u b l i c G o o d :

1

=

2

= [ c , c ] .

W e a s s u m e t h a t p l a y e r s k n o w t h e i r o w n t y p e s , b u t d o n o t k n o w t h e t y p e s

o f o t h e r p l a y e r s .

R e m a r k 1

N o t e t h a t p a y o ff s c a n d e p e n d n o t o n l y o n y o u r o w n t y p e , b u t o n

y o u r r i v a l s t y p e s . I f u

i

d e p e n d s o n

i

, b u t n o t o n

i

, w e s o m e t i m e s s a y

t h e g a m e h a s p r i v a t e v a l u e s .

I n o r d e r t o a n a l y z e t h e s e t y p e s o f g a m e s , w e r e l y o n a f u n d a m e n t a l ( a n d

N o b e l - p r i z e w i n n i n g ) o b s e r v a t i o n b y H a r s a n y i ( 1 9 6 8 ) :

G a m e s o f i n c o m p l e t e i n f o r m a t i o n c a n b e t h o u g h t o f a s g a m e s o f

c o m p l e t e b u t i m p e r f e c t i n f o r m a t i o n w h e r e n a t u r e m a k e s t h e fi r s t

m o v e ( s e l e c t i n g

1

, . . . ,

I

) , b u t n o t e v e r y o n e o b s e r v e s n a t u r e s

m o v e ( i . e . p l a y e r i l e a r n s

i

b u t n o t

i

) .

C o n s i d e r f o r m u l a t i n g t h e e n t r y m o d e l i n e x a c t l y t h i s w a y .

2

1

InOut

F A

-1, -1 1, 1

2, 0

1

InOut

F A

1, -1 -1, 1

2, 0

Nature

p 1 - p

I n a n a l y z i n g t h i s s o r t o f g a m e , w e c a m t h i n k o f n a t u r e s i m p l y a s a n o t h e r

p l a y e r . T h e o n l y d i ff e r e n c e i s t h a t r a t h e r t h a n m a x i m i z i n g a p a y o ff , n a t u r e

j u s t u s e s a fi x e d m i x e d s t r a t e g y .

T h i s o b s e r v a t i o n s h o u l d m a k e t h e f o l l o w i n g d e fi n i t i o n s l o o k o b v i o u s .

T h e y j u s t s a y t h a t t o a n a l y z e a g a m e o f i n c o m p l e t e i n f o r m a t i o n , w e c a n

l o o k a t t h e N a s h E q u i l i b r i u m o f t h e g a m e w h e r e n a t u r e i s a p l a y e r .

4


5/10

D e fi n i t i o n 2 A B a y e s i a n p u r e s t r a t e g y f o r p l a y e r i

i nG

i s a f u n c t i o n f

i

:

i

i

. W r i t e S

i

f o r t h e s e t o f B a y e s i a n p u r e s t r a t e g i e s .

D e fi n i t i o n 3 A B a y e s i a n s t r a t e g y p r o fi l e ( f

1

, . . . , f

I

)i s a B a y e s i a n N a s h

E q u i l i b r i u m i f f o r a l l i

,

f

i

a r g m a x

f

i

S

i

i

u

i

f

i

(

i

) , f

i

(

i

) ,

i

,

i

p (

i

,

i

)

o r a l t e r n a t i v e l y , f o r a l l i

,

i

a n ds

i

:

i

i

u

i

( f

i

(

i

) , f

i

(

i

) ,

i

,

i

) p (

i

|

i

)

i

i

u

i

( s

i

, f

i

(

i

) ,

i

,

i

) p (

i

|

i

)

T h e s e c o n d p a r t o f t h e d e fi n i t i o n j u s t s a y s t h a t i n o r d e r t o m a x i m i z e

y o u r e x p e c t e d p a y o ff g i v e n t h a t y o u k n o w y o u r t y p e s , t h e n t h e s t r a t e g y y o u

c h o o s e f o r e a c h t y p e s h o u l d m a x i m i z e y o u r p a y o ff c o n d i t i o n a l o n y o u r h a v i n g

t h a t t y p e .

R e m a r k 2 A B a y e s i a n N a s h E q u i l i b r i u m i s s i m p l y a N a s h E q u i l i b r i u m o f

t h e g a m e w h e r e N a t u r e m o v e s fi r s t , c h o o s e s

f r o m a d i s t r i b u t i o n w i t h

p r o b a b i l i t y p ( )

a n d r e v e a l s

i

t o p l a y e r i

.

4 Solving Bayesian Games

4.1 Public Good: version A

C o n s i d e r a v e r s i o n o f t h e p u b l i c g o o d g a m e w h e r e

P l a y e r 1 h a s a k n o w n

c o s t c

1


6/10

T o p r o v e t h i s , k e e p i n m i n d t h a t e a c h t y p e o f p l a y e r m u s t p l a y a b e s t

r e s p o n s e . W h e n p l a y e r 2 h a s t y p e c , t h e n c a l l i n g i s s t r i c t l y d o m i n a t e d :

u

2

( s

1

, C a l l ; c ) < u

2

s

1

, D o n

t ; c

,

f o r a l l s

1

. T h u s , f

2

( c ) = D o n

t .

N o w , f o r p l a y e r 1 ,

u

1

( C a l l , f

2

; c

1

) = 1

c

1

u

1

D o n

t , f

2

; c

1

= p u

1

D o n

t , f

2

( c ) ; c

1

+ ( 1

p ) u

1

D o n

t , f

2

( c ) ; c

1

p

1 + ( 1

p )

0 = p .

S i n c e 1

c

1

> p , t h e n f

1

( c

1

) = C a l l .

B u t t h e n w h e n p l a y e r 2 h a s t y p e c :

u

2

( f

1

, C a l l ; c ) = 1

c

u

2

f

1

, D o n

t ; c

= 1

s o f

2

( c ) = D o n

t .

N o t e t h a t t h i s p r o c e s s w o r k s a b i t l i k e i t e r a t e d d o m i n a n c e .

4.2 Public Good: version B

N o w i m a g i n e t h a t c

1

a n d c

2

a r e i n d e p e n d e n t r a n d o m d r a w s f r o m a u n i f o r m

d i s t r i b u t i o n o n [ 0 , 2 ] .

P r o p o s i t i o n 2

T h e ( e s s e n t i a l l y ) u n i q u e B a y e s i a n N a s h E q u i l i b r i u m i s

f

i

( c

i

) =

C a l l i f c

i

2 / 3

D o n

t i f c

i

> 2 / 3

T o p r o v e t h a t t h i s i s a c t u a l l y a B N E i s e a s y . W e c a n j u s t c h e c k t h a t e a c h

p l a y e r s c o n j e c t u r e d s t r a t e g y i s a b e s t r e s p o n s e t o t h e o t h e r s i n p a r t i c u l a r ,

t h a t e a c h p l a y e r s s t r a t e g y i s a b e s t r e s p o n s e g i v e n t h a t h i s o p p o n e n t w i l l

c a l l w i t h p r o b a b i l i t y 1 / 3 a n d w o n t c a l l w i t h p r o b a b i l i t y 2 / 3 .

T o i l l u s t r a t e u n i q u e n e s s , l e t s w o r k t h r o u g h h o w t o d e r i v e t h e e q u i l i b -

r i u m . T h e fi r s t o b s e r v a t i o n i s t h e f o l l o w i n g : i f f

i

( c

i

) = C a l l t h e n f

i

( c

i

) =

C a l l f o r a l l c

i

< c

i

. T o s e e t h i s , n o t e t h a t i f f

i

( c

i

) = C a l l , t h e n :

E

c

i

u

i

( C a l l , f

2

( c

i

) ; c

i

) E

c

i

u

i

D o n

t , f

2

( c

i

) ; c

i

6


7/10

w h i c h i m p l i e s t h a t :

1

c

i

z

i

w h e r e w e l e t z

i

d e n o t e t h e p a y o ff t o n o t c a l l i n g . T h i s i m p l i e s t h a t f o r a l l

c

i

< c

i

:

1

c

i

> z

i

o r e q u i v a l e n t l y

E

c

i

u

i

C a l l , f

2

( c

i

) ; c

i

E

c

i

u

i

D o n

t , f

2

( c

i

) ; c

i

.

T h e r e i s a s i m p l e i n t u i t i o n : n a m e l y t h a t c a l l i n g i s m o r e a t t r a c t i v e i f t h e c o s t s

a r e l o w e r .

I n l i g h t o f O b s e r v a t i o n 1 , a B a y e s i a n N a s h E q u i l i b r i u m m u s t b e o f t h e

f o r m :

f

1

( c

1

) =

C a l l i f c

1

c

1

D o n

t i f c

1

> c

1

f

2

( c

2

) =

C a l l i f c

2

c

2

D o n

t i f c

2

> c

2

f o r s o m e c u t - o ff c o s t s c

1

, c

2

. ( N o t e : i t w i l l t u r n o u t t h a t w h e n c

i

i s e x a c t l y

e q u a l t o c

i

, t h e n a g e n t i i s i n d i ff e r e n t t o c a l l i n g o r n o t . T h i s i s w h y t h e

e q u i l i b r i u m i s e s s e n t i a l l y u n i q u e . )

L e t

z

j

= P r

i w i l l c a l l g i v e n c u t - o ff c

j

= P r

c

j

c

j

=

1

2

c

j

.

F o r t h e s e s t r a t e g i e s t o b e a B N E , w e n e e d :

1

c

i

z

i

f o r a l l c

i

c

i

1

c

i

< z

i

f o r a l l c

i

> c

i

O r e q u i v a l e n t l y t h a t 1

c

i

= z

i

. T h u s , f o r i = 1 , 2 ,

1

c

i

=

1

2

c

i

a n d h e n c e t h e u n i q u e e q u i l i b r i u m i s t o c a l l w h e n e v e r c

i


8/10

4.3 Sealed Bid Auction


I n t h e fi r s t p r i c e s e a l e d b i d a u c t i o n w i t h v a l u a t i o n s u n i -

f o r m l y d i s t r i b u t e d o n [ 0 , 1 ] , t h e u n i q u e B N E i s f

i

( v

i

) = v

i

/ 2 f o r i = 1 , 2 .

A g a i n , t o v e r i f y t h a t t h i s i s a B N E i s r e l a t i v e l y e a s y . W e j u s t s h o w t h a t

e a c h t y p e o f e a c h p l a y e r i s u s i n g a b e s t r e s p o n s e . N o t e t h a t :

E

v

2

u

1

( b

1

, f

2

; v

1

, v

2

) = ( v

1

b

1

) P r [ f

2

( v

2

) < b

1

]

+

1

2

( v

1

b

1

) P r [ f

2

( v

2

) = b

1

] .

W e a s s u m e b

1

( 0 , 1 / 2 ] . N o l a r g e b i d m a k e s s e n s e g i v e n f

2

. T h e n :

E

v

2

u

1

( b

1

, f

2

; v

1

, v

2

) = ( v

1

b

1

) 2 b

1

M a x i m i z i n g t h i s b y c h o i c e o f b

1

, w e o b t a i n t h e fi r s t o r d e r c o n d i t i o n :

0 = 2 v

1

4 b

1

b

1

= v

1

/ 2 .

T o s h o w u n i q u e n e s s ( o r t o fi n d t h e e q u i l i b r i u m i f y o u d i d n t a l r e a d y k n o w

i t ) i s h a r d e r . T o d o i t , l e t s c o n s i d e r b i d d e r o n e s o p t i m i z a t i o n p r o b l e m g i v e n

f

2

. I f w e a s s u m e t h a t f

2

i s s t r i c t l y i n c r e a s i n g , t h e n t i e s o c c u r w i t h p r o b a b i l i t y

z e r o , s o b i d d e r o n e s p r o b l e m i s :

m a x

b

1

( v

1

b

1

) P r [ f

2

( v

2

) < b

1

]

I f w e f u r t h e r a s s u m e t h a t f

2

i s i n c r e a s i n g , t h e n w e h a v e

P r [ f

2

( v

2

) < b

1

] = P r

v

2

< f

1

2

( b

1

)

= f

1

2

( b

1

) .

F i n a l l y i f f

2

i s d i ff e r e n t i a b l e , w e c a n s o l v e :

m a x

b

1

( v

1

b

1

) f

1

2

( b

1

)

t o o b t a i n t h e fi r s t o r d e r c o n d i t i o n :

0 =

f

1

2

( b

1

) + ( v

1

b

1

)

1

f

2

f

1

2

( b

1

)

.

F o r f

1

, f

2

t o b e a n e q u i l i b r i u m , i t m u s t b e t h a t :

b

1

= f

1

( v

1

)

8


9/10

s o t h e fi r s t o r d e r c o n d i t i o n i s

0 =

f

1

2

( f

1

( v

1

) ) + ( v

1

f

1

( v

1

) )

1

f

2

f

1

2

( f

1

( v

1

) )

.

F i n a l l y , a s s u m i n g w e c a n l o o k f o r a s y m m e t r i c e q u i l i b r i u m w i t h f

1

= f

2

= f ,

t h e fi r s t o r d e r c o n d i t i o n f o r o p t i m a l i t y b e c o m e s :

0 =

v

1

+ ( v

1

f

1

( v

1

) )

1

f

( v

1

)

.

S o l v i n g t h i s d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n g i v e s t h e e q u i l i b r i u m .

4.4 A Lemons Problem

C o n s i d e r a s e l l e r o f a u s e d c a r a n d a p o t e n t i a l b u y e r o f t h a t c a r . S u p p o s e

t h a t q u a l i t y o f t h e c a r , , i s a u n i f o r m d r a w f r o m [ 0 , 1 ] . T h i s q u a l i t y i s k n o w n

t o t h e s e l l e r , b u t n o t t o t h e b u y e r . S u p p o s e t h a t t h e b u y e r c a n m a k e a n

o ff e r p

[ 0 , 1 ] t o t h e s e l l e r , a n d t h e s e l l e r c a n t h e n d e c i d e w h e t h e r t o a c c e p t

o r r e j e c t t h e b u y e r s o ff e r . ( N o t e : T h i s s o u n d s l i k e a d y n a m i c g a m e , b u t w e

c a n t h i n k o f i t a s s i m u l t a n e o u s - m o v e i f w e t h i n k o f t h e s e l l e r a s a n n o u n c i n g

t h e s e t o f a l l p r i c e s s h e w i l l a c c e p t a n d a l l t h o s e s h e w i l l r e j e c t . )

P a y o ff s a r e a s f o l l o w s :

u

S

=

p i f o ff e r a c c e p t e d

i f o ff e r r e j e c t e d

u

B

=

a + b

p i f o ff e r a c c e p t e d

0 i f o ff e r r e j e c t e d

A s s u m e t h a t a

[ 0 , 1 ) , t h a t b

( 0 , 2 ) , a n d t h a t a + b > 1 . T h e s e a s -

s u m p t i o n s i m p l y t h a t f o r a l l , i t i s m o r e e ffi c i e n t f o r t h e b u y e r t o o w n t h e

c a r .


T h e ( e s s e n t i a l l y ) u n i q u e B N E i s f o r t h e b u y e r t o o ff e r p =

a / ( 2

b ) a n d t h e s e l l e r t o a c c e p t i f a n d o n l y i f p

.

T o p r o v e t h i s , w e fi r s t c o n s i d e r t h e s e l l e r . I t i s e a s y t o s e e t h a t t h e

s t r a t e g y o f a c c e p t i n g i f a n d o n l y i f p

i s w e a k l y d o m i n a n t f o r t h e s e l l e r .

N o w c o n s i d e r t h e b u y e r s p r o b l e m .

E

u

B

( p ; S a c c e p t s i f p

) =

1

0

1

{ < p }

( a + b

p ) d

=

p

0

( a + b

p ) d

= p

a +

1

2

b p

p

9


10/10

C h o o s i n g p t o m a x i m i z e t h i s e x p r e s s i o n g i v e s t h e fi r s t o r d e r c o n d i t i o n

0 = a + ( b

2 ) p .

N o t e t h a t t h e e x a n t e q u a l i t y o f t h e c a r i s 1 / 2 . H o w e v e r , g i v e n a n o ff e r

p , t h e e x p e c t e d v a l u e o f t h e c a r c o n d i t i o n a l o n t h e s e l l e r a c c e p t i n g t h e o ff e r

( i . e . c o n d i t i o n a l o n

p ) i s p / 2

1 / 2 . T h i s i s s o m e t i m e s c a l l e d t h e

w i n n e r s c u r s e ( h e r e i t s r e a l l y a b u y e r s c u r s e ) . N o t e t h a t w h a t g i v e s r i s e

t o t h i s e ff e c t i s t h a t t h e s e l l e r s i n f o r m a t i o n i s d i r e c t l y p a y o ff - r e l e v a n t t o t h e

b u y e r . U n l i k e o u r p r e v i o u s e x a m p l e s , w e d o n o t h a v e p r i v a t e v a l u e s .

R e m a r k 4

I f a = 0 , t h e n t h e b u y e r s c u r s e i s s o s t r o n g t h a t t h e u n i q u e

e q u i l i b r i u m i s f o r t h e b u y e r t o o ff e r a p r i c e p = 0 . T r a d e n e v e r o c c u r s

d e s p i t e i t t h e f a c t t h a t t h e r e a r e a l w a y s g a i n s f r o m t r a d i n g .

1 0

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