juego de dados musical de mozart. presentación
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2º Premio en el II concurso "Las matemáticas del Planeta Tierra" 2015, organizado por el IMUVA, Universidad de Valladolid Mozart, probabilidad, juegos de dados, músicaTRANSCRIPT
En el presente trabajo se recoge un estudio sobre la obra de Mozart K516f “Juego de dados musical”.
Se da cuenta de las instrucciones del juego (lanzamiento de dos dados cuya suma determinan un compás compuesto previamente)
Se buscan pautas y regularidades numéricas y musicales en las tablas y compases.
Se presentan los aspectos
probabilísticos más importantes del
juego musical
Se revisan y corrigen los cálculos
elaborados por otros autores
Por último, jugamos a los dados y
componemos
Contenidos
Se examinaron especialmente 3 trabajos: El juego de dados de Mozart: un recurso didáctico para la
Enseñanza-aprendizaje de la probabilidad. Yeimy
Rodríguez García y otros. Universidad Distrital Francisco
José De Caldas, Colombia. Actas del VII Congreso
Iberoamericano de Eduación Matemática, ISSN 2301-
0797
El sigilo aleatorio de Mozart. Bohdan Syroyid.
Conservatorio Superior de Música de Málaga.
Teoría de la probabilidad en la composición musical
contemporánea. Tesis de Susana Tiburcio Solís.
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla Escuela de
Artes
Juego de dados musical, k516f
A finales del siglo XVIII y principios del
XIX son muy populares los pasatiempos
musicales:
Valses, polonesas, minuetos, tríos, …
El más conocido, “Juego de dados
musical” k516f de Mozart
Juego de dados, k516f
176 compases agrupados en 2 tablas
Juego de dados, k516f
El primer compás de la columna I, el segundo de la columna II, …
Se lanzan 2 dados, si suman 5 el compás se escoge de la fila 5, …
El proceso se repite hasta obtener los 16 compases
I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII XIV XV XVI
2 96 22 141 41 105 122 11 30 70 121 26 9 112 49 109 14
3 32 6 128 63 146 46 134 81 117 39 126 56 174 18 116 83
4 69 95 158 13 153 55 110 24 66 139 15 132 73 58 145 79
5 40 17 113 85 161 2 159 100 90 176 7 34 67 160 52 170
6 148 74 163 45 80 97 36 107 25 143 64 125 76 136 1 93
7 104 157 27 167 154 68 118 91 138 71 150 29 101 162 23 151
8 152 60 171 53 99 133 21 127 16 155 57 175 43 168 89 172
9 119 84 114 50 140 86 169 94 120 88 48 166 51 115 72 111
10 98 142 42 156 75 129 62 123 65 77 19 82 137 38 149 8
11 3 87 165 61 135 47 147 33 102 4 31 164 144 59 173 78
12 54 130 10 103 28 37 106 5 35 20 108 92 12 124 44 131
Pautas y regularidades
numéricas
¿Porqué las tablas no comienzan en el
1, siguen con el 2 y terminan en el 176?
Pautas y regularidades
numéricas
¿Hay alguna secuencia escondida,
alguna serie, …?
¿Incluyó algún juego numérico en sus
tablas?
Pautas y regularidades
numéricasNos ayudamos de “The on-line encyclopedia of integer sequences”
Pautas y regularidades
numéricas
Pero…
“Sorry, but the terms do not match
anything in the table”
¡No encontramos nada!
Pautas y regularidades musicales
Creemos que la estructura de los
compases de una misma columna
tienen que ser similares para que todos
los minuetos suenen bien
Recortamos y pegamos los compases
uno a uno en folios siguiendo las tablas
de Mozart
Pautas y regularidades musicales
¡¡¡Sorpresa!!!
Había compases con distinta
numeración y que eran exactamente
iguales.
Pautas y regularidades musicales
¡¡¡Sorpresa!!!
Todos los compases de la columna VIII
son iguales, y en la XVI sólo hay dos
compases diferentes
Pautas y regularidades musicales I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII XIV XV XVI
2 96 22 141 41 105 122 11 30 70 121 26 9 112 49 109 14
3 32 6 128 63 146 46 134 81 117 39 126 56 174 18 116 83
4 69 95 158 13 153 55 110 24 66 139 15 132 73 58 145 79
5 40 17 113 85 161 2 159 100 90 176 7 34 67 160 52 170
6 148 74 163 45 80 97 36 107 25 143 64 125 76 136 1 93
7 104 157 27 167 154 68 118 91 138 71 150 29 101 162 23 151
8 152 60 171 53 99 133 21 127 16 155 57 175 43 168 89 172
9 119 84 114 50 140 86 169 94 120 88 48 166 51 115 72 111
10 98 142 42 156 75 129 62 123 65 77 19 82 137 38 149 8
11 3 87 165 61 135 47 147 33 102 4 31 164 144 59 173 78
12 54 130 10 103 28 37 106 5 35 20 108 92 12 124 44 131
Colores iguales, compases iguales CLAVES
Pautas y regularidades musicales I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII XIV XV XVI
2 96 22 141 41 105 122 11 30 70 121 26 9 112 49 109 14
3 32 6 128 63 146 46 134 81 117 39 126 56 174 18 116 83
4 69 95 158 13 153 55 110 24 66 139 15 132 73 58 145 79
5 40 17 113 85 161 2 159 100 90 176 7 34 67 160 52 170
6 148 74 163 45 80 97 36 107 25 143 64 125 76 136 1 93
7 104 157 27 167 154 68 118 91 138 71 150 29 101 162 23 151
8 152 60 171 53 99 133 21 127 16 155 57 175 43 168 89 172
9 119 84 114 50 140 86 169 94 120 88 48 166 51 115 72 111
10 98 142 42 156 75 129 62 123 65 77 19 82 137 38 149 8
11 3 87 165 61 135 47 147 33 102 4 31 164 144 59 173 78
12 54 130 10 103 28 37 106 5 35 20 108 92 12 124 44 131
¡Un solo
compás!¡Dos
compases
diferentes!
Pautas y regularidades musicales
Mozart introduce una regularidad en la
estructura de sus obras, y además,
estos compases no juegan al azar, ni a
los dados.
¡Lo camufló!
Pautas y regularidades musicales
Nuestros conocimientos de música sonmuy escasos. Pedimos ayuda a laprofesora de música
Los cuatro primeros compases y los cuatroúltimos tienen el tono de DO M y el restode SOL M
También hay regularidades en el grado decada compás. Sigue el sistema armónicobásico
Pautas y regularidades musicales
I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII XIV XV XVI
Tonalidad D D D D S S S S S S S S D D D D
Grado I I V I V I IV I V I IV I I I IV I
Sistema Armónico Básico
Pautas y regularidades musicales
Mozart organiza las tablas siguiendo
este sistema armónico básico
Así garantiza que la melodía está “bien
construida”
Pautas y regularidades musicales
Además, las repeticiones de las
columnas VIII y XVI dan a la obra:
Cadencia
Estructura
Y garantiza que casi todas las
composiciones finalizan del mismo modo
Juegos de dados y probabilidad
Estudiamos el experimento “lanzar dos
dados y anotar su suma”
Ya estaba estudiado en clase
Juegos de dados y probabilidad
Espacio muestral
+ 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
Probabilidades
Juegos de dados y probabilidad
Distribución de probabilidad
todos los compases son igualmente probables
todas las composiciones son equiprobablesNO
Juegos de dados y probabilidad
Composición más probable:
Compases de la fila 7
I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII XIV XV XVI
7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
104 157 27 167 154 68 118 91 138 71 150 29 101 162 23 151
La probabilidad de obtener esta composición aparentemente es
Juegos de dados y probabilidad
Pero… recuerda VIII y XVI
I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII XIV XV XVI
2 96 22 141 41 105 122 11 30 70 121 26 9 112 49 109 14
3 32 6 128 63 146 46 134 81 117 39 126 56 174 18 116 83
4 69 95 158 13 153 55 110 24 66 139 15 132 73 58 145 79
5 40 17 113 85 161 2 159 100 90 176 7 34 67 160 52 170
6 148 74 163 45 80 97 36 107 25 143 64 125 76 136 1 93
7 104 157 27 167 154 68 118 91 138 71 150 29 101 162 23 151
8 152 60 171 53 99 133 21 127 16 155 57 175 43 168 89 172
9 119 84 114 50 140 86 169 94 120 88 48 166 51 115 72 111
10 98 142 42 156 75 129 62 123 65 77 19 82 137 38 149 8
11 3 87 165 61 135 47 147 33 102 4 31 164 144 59 173 78
12 54 130 10 103 28 37 106 5 35 20 108 92 12 124 44 131
p = 1 p = 34/36
Juegos de dados y probabilidad
Composición más probable:
Cálculo correcto
I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII XIV XV XVI
7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
104 157 27 167 154 68 118 91 138 71 150 29 101 162 23 151
6
36
6
36
6
36
6
36
6
36
6
36
6
36 𝟏
6
36
6
36
6
36
6
36
6
36
6
36
6
36
𝟑𝟒
𝟑𝟔
Juegos de dados y probabilidad
Aquí aparece uno de los errores más
frecuentes en la bibliografía consultada
No se tienen en cuenta los compases
repetidos, es decir, compases iguales
con distintos números.
Juegos de dados y probabilidad
Pero…
¿cuántos minuetos pueden aparecer en
Juego de dados musical? I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII XIV XV XVI
Nº
compases
diferentes
11 11 11 11 11 11 11 1 11 11 11 11 11 11 11 2
nº minuetos =
759 billones de composiciones diferentes
frente a la cantidad propuesta de 1116 en la mayor parte de
documentos y páginas web examinadas.
Juegos de dados y probabilidad
759 billones de composiciones
diferentes
Y cada pieza dura aproximadamente 23
segundos
553 millones de años de forma
ininterrumpida
Edad del Universo = 13 770 millones de
años.
Somos compositores
Después de tanto trabajo había que
divertirse, así que
¡A lanzar los dados!
Somos compositores
I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII XIV XV XVI
Suma 5 8 9 5 9 9 9 12 10 7 10 11 7 7 7 10
Compás 40 60 114 85 140 86 169 5 65 71 19 164 101 162 23 8
Probabilidad
Somos compositores
Juego de dados musical de Mozart,k516f
“Las Matemáticas del Planeta Tierra”
Somos compositores
La probabilidad de la composición es
1.8 x 10-16
Somos compositores
Aparecerá una vez por cada
5000 billones de “juegos”.
Somos compositores
Sonará una vez cada
4 000 millones de años
Somos compositores
por lo que podemos afirmar que casi con
toda probabilidad seguridad que
SOMOS LOS ÚNICOS
que hemos escuchado esta pieza
Somos compositores
y te invitamos a participar de un hecho
“tan excepcional” para nosotros
Las Matemáticas del Planeta Tierra
La Orquesta…
Celia Martínez Bodero
Elvira Martínez Bodero
Carolina Morales Redondo
Jénnifer Pérez Cantero
María T. Tejido González
El Director…
Fernando Diez Vegas
del IES Virgen de la Calle de Palencia
Muchas gracias