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Juan Suárez García

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R.P.I. Nº: _______________________________

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CONTENIDO ARQUÍMEDES ................................................................................... 5 Famoso ingeniero ............................................................................ 5 Pasión por la geometría................................................................. 11 NOTICIA DE SU OBRA ................................................................... 15 DE ALEJANDRÍA A CONSTANTINOPLA ...................................... 25 La Biblioteca Real de Alejandría ................................................... 25 Los últimos sabios alejandrinos................................................... 27 BIZANCIO ........................................................................................ 31 Isidoro de Mileto............................................................................. 31 León el Geómetra ........................................................................... 36 LA BAJA EDAD MEDIA .................................................................. 41 La Sicilia normanda ....................................................................... 41 Los Hohenstaufen en Sicilia.......................................................... 44 El gran saqueo de Constantinopla ............................................... 46 Los códices en la corte papal ....................................................... 50 EL CÓDICE VALLA ......................................................................... 55 ARQUÍMEDES REDIVIVO ............................................................... 65 Revolución Científica ..................................................................... 65 El libro de Torelli ............................................................................ 68 EL PALIMPSESTO .......................................................................... 73 Descubrimiento .............................................................................. 73 Publicación ..................................................................................... 80 DEL CÓDICE CON EL MÉTODO AL PALIMPSESTO.................... 83 DESAPARICIÓN DEL PALIMPSESTO ........................................... 87 REAPARICIÓN DEL PALIMPSESTO ............................................. 95 TRAS LAS HUELLAS PERDIDAS ................................................ 103 EL “MÉTODO” .............................................................................. 113 El tratado, por fin.......................................................................... 113 La alargada sombra de Arquímedes........................................... 129 LISTA DE ILUSTRACIONES......................................................... 135 BIBLIOGRAFÍA ............................................................................. 139 NOTAS........................................................................................... 149

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ARQUÍMEDES

Famoso ingeniero Arquímedes nació en 287 a. C. en la ciudad-estado de Siracu-

sa, en el sur de la isla de Sicilia, parte por entonces de la Magna

Grecia, el nombre dado por los romanos al territorio ocupado por los

colones griegos en el sur de Italia. No debió ser de modesto linaje,

pues era hijo de un astrónomo y estaba emparentado con el famoso

rey Hierón II, con quien colaboró estrechamente durante su largo rei-

nado. En su juventud viajó a Egipto durante el reinado del faraón To-

lomeo II Filadelfo, gran protector de las artes y las ciencias. Debió

estudiar en Alejandría, el gran centro cultural de su tiempo, con los

sucesores del importante matemático Euclides, puesto que en sus

futuras obras cita a varios científicos contemporáneos residentes en

esa ciudad. Establecido definitivamente en su ciudad natal, Arquíme-

des adquirió fama sobre todo por su genio mecánico, que tuvo oca-

sión de desarrollar en beneficio de la ciudad durante los años de paz.

Antes que matemático, Arquímedes fue ingeniero, dispuesto siempre

a resolver problemas prácticos, de los que seguramente surgieron

algunos de los problemas teóricos que se planteó. Según la tradición,

todas las especialidades mecánicas fueron de su incumbencia: cons-

truyó maquinaria bélica, fortificación militar, sistemas de poleas com-

puestas, aparatos de extracción de agua, y otros artilugios.

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Los episodios de la vida de Arquímedes fueron narrados mu-

cho después de su muerte por los historiadores de la Antigua Roma.

De él sobreviven muchos más detalles biográficos que de cualquier

otro científico de la Antigüedad, en su mayor parte anécdotas refle-

jando la impresión producida en la imaginación popular por su genio

mecánico, como es el caso de la invención del artificio para elevar

agua llamado el tornillo de Arquímedes, Probablemente es cierta la

historia de cómo Arquímedes determinó el grado de adulteración con

plata, en una corona supuestamente de oro puro encargada por el

rey Hierón II, contrastando en una balanza la flotabilidad de la corona

contra la flotabilidad de la misma masa de oro puro. En cambio, no

hay prueba fehaciente de que un día alardeara en la corte de Hierón

de poder mover la Tierra entera si se le proporcionaba un punto de

apoyo. En todo caso, esta leyenda ejemplifica el potencial sin límites

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que se le llegó a asignar a las hazañas de Arquímedes, quien fue

ciertamente capaz de echar al agua el pesado barco de tres mástiles

del rey, valiéndose de una combinación de triple polea, torno y torni-

llo sinfín. Construyó además admirables planetarios, en los que una

serie de esferas podían moverse imitando el movimiento de los cuer-

pos celestes. Una de estas esferas mostraba en una sola revolución

como el Sol, la Luna y los planetas conocidos se movían en relación

con las estrellas fijas en el curso de un día, e incluso mostraba las

sucesivas fases y eclipses de la luna. El propio Arquímedes parece

haber considerado este invento como el más valioso de sus logros

prácticos.

Después del gobierno de Hierón, Siracusa quedó en crisis po-

lítica y se vio implicada en la Segunda Guerra Púnica como aliada de

Cartago. Cuando fue sitiada la ciudad por el ejército de la República

Romana al mando del general Marco Claudio Marcelo, Arquímedes

se distinguió en la defensa dirigiendo la construcción de temibles

máquinas de guerra. Haciendo uso de su vasto conocimiento mate-

mático, diseño un sistema de catapultas para lanzar rocas, maderos

y otros objetos pesados a los barcos enemigos fondeados, salvando

la gran distancia desde las murallas. También diseño grúas especia-

les con ganchos para volcar las naves asaltantes. Parece incierta, sin

embargo, las historia de que usó grandes conjuntos de espejos para

incendiar los barcos romanos, si bien está probado que estudió la

catóptrica, la rama de la óptica que trata de la reflexión de la luz en

los espejos. Se dijo que la ciudad pudo resistir el asedio durante dos

años gracias a estas máquinas. Cuando fue finalmente tomada, en

212 a.C, Arquímedes murió asesinado por un legionario, con gran

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disgusto del general Marcelo, quien deseaba aprovechar el talento

del sabio griego en beneficio de Roma.

Pese a la admiración que seguramente despertaban, no existe

en los escritos de Arquímedes referencia alguna a sus invenciones

mecánicas y trabajos prácticos. En esto seguía la tendencia marcada

en la ciencia griega por Platón, quien despreciaba las observaciones

experimentales, y consideraba la abstracción deductiva como la úni-

ca forma digna de obtener el verdadero conocimiento. Aunque fuera

de esperar que su interés por la mecánica influenciara de alguna

manera su pensamiento matemático, todos los trabajos arquimedia-

nos conocidos fueron de carácter teórico,

La peculiar fama de Arquímedes entre la gente ilustrada de la

Antigüedad pervivió en las obras de literatos e historiadores del Im-

perio Romano. La narración del sitio de Siracusa del gran historiador

Polibio, escrita a los setenta años de la muerte de Arquímedes, fue

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usada después como fuente por Tito Livio y el notable greco-romano

Plutarco de Queronea, quien, haciéndose eco en su “Vida de Marce-

lo”, de la alta estima en que se tenía al antiguo sabio de Siracusa,

escribió : “Poseía tan alto espíritu, alma tan profunda, y tales tesoros

de conocimiento científico, que aunque estas investigaciones le

habían granjeado el renombre de sagacidad sobrehumana, no se

rebajaba a dejar tras él ningún comentario o escrito de tales asuntos

como las máquinas bélicas, sino que, repudiando como deleznable e

innoble todo lo relacionado con la ingeniería y cualquier arte que se

presta al uso meramente práctico, puso todo su afecto y ambición en

las especulaciones más puras que no pueden tener relación con las

vulgares necesidades de la vida, en los estudios cuya superioridad

sobre todos los otros es incuestionable, y en los que la sola duda

puede ser si la belleza y grandeza de la materia examinada, de la

precisión y la convicción de los métodos y elementos de prueba,

puedan merecer nuestra admiración”. Siendo Arquímedes sobre todo

un apasionado de la geometría, por entonces la ciencia por excelen-

cia, relata el historiador más adelante:”Cuando los sirvientes lo con-

vencían de ir a los baños, aún estando allí, no dejaba de trazar figu-

ras geométricas en las propias cenizas de la chimenea, y mientras le

ungían con aceites aromáticos, con los dedos trazaba líneas sobre

su cuerpo desnudo, hasta ese punto estaba fuera de sí, por el deleite

que le proporcionaba el estudio de la geometría”.

Arquímedes dio a conocer sus trabajos sobre todo a través de

las cartas enviadas a los principales matemáticos de su tiempo, so-

bre todo a Conon de Samos a quien después se dirige como amigo

en sus escritos, y Eratóstenes de Cirene a quien dedicó dos de sus

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obras. Depender tanto de la comunicación epistolar con la relativa-

mente lejana Alejandría, contribuyó sin duda a la dispersión de sus

trabajos, y a que estos no sobrevivieran tan bien como la obra de

Euclides. En los escritores antiguos se hallan bastantes referencias a

importantes obras de Arquímedes sobre poliedros, centros de grave-

dad, palancas y balanzas, que hoy se dan por definitivamente des-

aparecidas. Faltan también un escrito mencionado en el siglo IV por

el matemático Pappus de Alejandría, donde explicaba cómo hizo la

esfera para imitar los movimientos de los astros, y un tratado sobre

los espejos llamado “Catóptrica” del cual sólo se conoce un pasaje

sobre la refracción citado por matemático y astrónomo de la misma

época Theon de Alejandría. Fue sólo al final de su vida cuando Ar-

químedes escribió, en el dialecto griego dórico hablado Siracusa, sus

más importantes tratados y ecuaciones en una colección de rollos de

papiro. Aunque estos rollos originales se perdieron, quedaron por

fortuna para la posteridad las copias efectuadas por autores hoy des-

conocidos.

Los inventos mecánicos le dieron fama a Arquímedes, pero

sus escritos matemáticos no fueron muy conocidos en los primeros

tiempos del Imperio Romano fuera del círculo de los matemáticos

alejandrinos. .Aunque el sabio siguió siendo recordado por un puña-

do de notables romanos, parece que los siracusanos lo olvidaron con

los años. Había transcurrido poco más de un siglo desde la caída de

Siracusa, cuando el joven y famoso filósofo y político Marco Tulio

Cicerón llegó a la dominada Sicilia en calidad de cuestor. Estando en

Siracusa, quiso visitar la tumba del gran hombre, pero ningún nativo

sabía donde estaba. Acompañado de un grupo de notables fue a las

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afueras y se puso a examinar las tumbas a ambos lados del camino,

hasta que descubrió un monumento cubierto de matojos del que no

percibía más que la cima. Acercándose, vio una pequeña columna

rematada por una esfera y un cilindro. Cicerón hizo que quitaran las

zarzas que cubrían el lugar, y en la desgastada piedra pudo leer aún

el epitafio en verso de Arquímedes.

Pasión por la geometría El tropiezo de los matemáticos griegos con los números irra-

cionales, es decir, aquellos números imposibles de representar me-

diante fracciones de números enteros, se produjo en tiempos de Pi-

tágoras de Samos, después de muchos intentos de hallar el valor

exacto de la raíz cuadrada de dos, problema que había surgido al

tratar de conmensurar el lado del cuadrado y su diagonal. Otro núme-

ro irracional, la raíz cúbica de dos, surgió en la geometría al tratar de

solucionar el problema de la duplicación del cubo, es decir hallar el

cubo de doble volumen a partir de un cubo de arista dada. Por otra

parte, se había comprobado desde muy antiguo que la razón del pe-

rímetro de un círculo a su diámetro, lo que luego se llamó número π,

era también un número irracional. Los egipcios habían descubierto

antes los números irracionales antes que los griegos, y habían re-

suelto el problema en la práctica conformándose con aplicar valores

aproximados, pero no era ésta una opción aceptable para los grie-

gos, obsesionados con la exactitud del lenguaje matemático. El dis-

gusto por la existencia de números irracionales condujo a los mate-

máticos griegos a rechazar a la aritmética como base de las matemá-

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ticas, y fue el principal motivo de que las magnitudes geométricas no

fueran en general cuantificadas numéricamente Los griegos sólo pu-

dieron tratar los números irracionales estableciendo una separación

entre magnitud y número. Los números eran siempre discretos, mien-

tras que las magnitudes, al variar continuamente, podían usarse para

cuantificar con precisión cualquier entidad geométrica.

Fue el astrónomo y matemático Eudoxio de Cnido, quien intro-

dujo la idea de magnitud matemática no cuantificada para describir y

trabajar con entidades geométricas continuas, tales como líneas, án-

gulos, áreas y volúmenes, evitando así el uso de números irraciona-

les. Del cambio de enfoque de Eudoxio, unido a la actitud intelectual

despreocupada de los problemas prácticos fomentada por Platón, se

derivó la pérdida de interés de los matemáticos griegos por el desa-

rrollo de técnicas en aritmética y algebra. Para los griegos, en parti-

cular para Platón, las dos líneas perfectas eran la recta y la circunfe-

rencia y, por lo tanto, la única geometría admisible era la que podía

plantearse sólo con el uso de regla y compás. Desde el siglo IV a.C,

bajo la influencia de idealismo platónico, se estableció una jerarquía

en las construcciones geométricas desde la “abstracta y noble” a ba-

se de líneas rectas y círculos hasta la “mecánica y terrenal”, con el

uso de secciones cónicas (elipses, parábolas e hipérbolas) y el em-

pleo de cualquier otro instrumento de dibujo. Esto invirtió el énfasis

en el número y la aritmética de la primitiva escuela pitagórica, y con-

virtió a los conceptos geométricos en la base de la ciencia matemáti-

ca. Así por ejemplo, Euclides en sus “Elementos” toma el antiguo

teorema pitagórico y lo demuestra con pura geometría, a partir de

cuadrados construidos sobre la hipotenusa y los catetos, sin repre-

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sentar por números ni la longitud de los lados del triángulo ni las

áreas de los cuadrados auxiliares.

El trabajo de Arquímedes en geometría consistió principalmen-

te en investigaciones originales sobre la cuadratura de las figuras

curvilíneas planas y de las superficies curvadas. Sus demostraciones

geométricas se atuvieron en general a los procedimientos clásicos

iniciados por Eudoxio y recogidos por Euclides, descansando funda-

mentalmente en la tradición de la teoría de las proporciones. Pero el

propósito principal de Arquímedes no era desarrollar las matemáticas

a partir de las bases establecidas, sino mejorar los resultados cono-

cidos, plantear nuevos problemas y sugerir nuevas vías de solución.

Para los problemas imposibles de resolver usando sólo regla y com-

pás, como la división de un ángulo en tres partes iguales, precisa

para dibujar ciertos polígonos regulares superiores al hexágono, Ar-

químedes no dudaba en liberarse del platonismo y recurrir a la técni-

ca de la neusis1, o sea la construcción de figuras con el auxilio de

una regla graduada. El que dentro del la pureza de la ciencia se con-

siderara indeseable y poco menos que espurio este simple recurso,

es un claro indicador de la barrera que constituyó el espíritu platónico

para un mayor desarrollo del empirismo en la Antigüedad. Sin em-

bargo, a pese a evitar por principio las representaciones numéricas,

los matemáticos griegos realizaron importantes descubrimientos que

requirieron la cuantificación de las magnitudes geométricas. Esto fue

fundamentalmente posible desde que Eudoxio estableció las reglas

correctas para la comparación de las proporciones, a partir de la de-

finición del significado de la igualdad entre dos razones. Esta defini-

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ción2, incorporado por Euclides en sus “Elementos”, constituyó para

Arquímedes su axioma esencial.

Arquímedes también usó magistralmente el llamado método

exhaustivo, puesto a punto por Eudoxio a principios del siglo IV a. C..

El método exhaustivo es una forma de hallar el área de una figura,

generalmente una curva, inscribiéndole una serie de elementos poli-

gonales, de forma tal que la suma de las áreas de los elementos sea

equivalente al área de la figura. En el caso del círculo, la diferencia

entre su área y el área de un polígono inscrito se vuelve arbitraria-

mente pequeña en tanto crece el número de lados del polígono. Co-

mo esto lleva naturalmente a hallar siempre un valor por defecto, el

método exhaustivo se confirmaba a menudo con una forma de prue-

ba por contradicción conocida como “reductio ad absurdum”. La

prueba se basa en efectuar el mismo tipo de operación sobre un po-

lígono circunscrito, y hallar asimismo que el área del polígono se

aproxima al área de la figura tanto como se quiera, pero mantenién-

dose siempre superior. De esta forma se deducía con total certeza

que el área real del círculo debía encontrarse entre las dos áreas

poligonales. A partir del método exhaustivo, Arquímedes ejecutó de-

terminaciones notables, como el área de la espiral, el área y el volu-

men de la esfera y del segmento de esfera, y los volúmenes de cua-

lesquiera segmentos de los sólidos de revolución de segundo grado

(elipsoides, paraboloides e hiperboloides). Los resultados que Ar-

químedes obtuvo mediante estos procedimientos esencialmente

geométricos, solo pudieron reproducirse unos dieciocho siglos des-

pués, cuando se dispuso del cálculo infinitesimal.

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NOTICIA DE SU OBRA

Los principales tratados de Arquímedes hoy conocidos se de-

rivan de aquella primitiva colección de papiros salida de sus manos al

final de su vida. El orden en que éstos se han agrupado en las dife-

rentes ediciones habidas desde la Alta Edad Media hasta principios

del siglo XX ha variado a criterio de los diferentes editores. Las bre-

ves noticias que a continuación siguen pretenden respetar el orden

cronológico en que fueron compuestos por Arquímedes, teniendo en

cuenta las aclaraciones en los prefacios de algunos tratados, y el uso

en ciertos trabajos de resultados previamente obtenidos en otros.

Las aportaciones de Arquímedes a la ciencia mecánica en el

tratado Sobre el equilibrio de los planos fueron extraordinarias. No

solo estableció las primeras leyes de las máquinas simples, llegando

en la práctica al diseño de sistemas de poleas compuestas, sino que

desarrolló la estática para determinar los centros de gravedad de

múltiples sólidos y figuras. Este tratado, consistente en dos libros,

podría considerarse el punto inicial de la mecánica teórica en la histo-

ria de la física, pues Arquímedes interpreta en el primer libro la ley de

la palanca, estableciendo que las magnitudes están en equilibrio

cuando se encuentran a distancias del punto de apoyo recíproca-

mente proporcionales a sus pesos. En el primer libro usa estos prin-

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cipios de equilibrio para calcular los centros de gravedad, de forma

muy similar a la que todavía hoy se emplea para las figuras rectilí-

neas planas, como triángulos, paralelogramos y trapecios. El segun-

do libro está dedicado a hallar los centros de gravedad de los seg-

mentos de la parábola y el paraboloide.

Sobre la cuadratura de la parábola es un tratado escrito por

Arquímedes en forma de carta a su amigo Dositeo, matemático ale-

jandrino, donde consigna una serie de proposiciones en relación a

las parábolas, que culminan en el cálculo del área de un segmento

parabólico. Las secciones cónicas se conocían desde hacía casi un

siglo cuando Arquímedes escribió este tratado. Su contemporáneo

Apolonio de Pérgamo había escrito un trabajo completo sobre ellas,

pero no se había progresado nada en la determinación de sus cua-

draturas y cubaturas. Fue Arquímedes quien primero logró cuadrar

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una sección cónica parabólica, es decir, hallar la superficie de la sec-

ción del corte de un cono recto por un plano paralelo a la generatriz.

Para emplear el método exhaustivo en la cuadratura del seg-

mento de parábola, practica la inscripción en el segmento de un nú-

mero progresivamente creciente de triángulos. Cada uno de estos

triángulos está inscrito en su propio segmento de parábola a partir de

los márgenes de un triángulo original inscrito por el vértice del seg-

mento. El área buscada resulta igual a la suma de los términos de

una serie geométrica, donde cada término sucesivo es un cuarto del

anterior. La descripción detallada de la resolución de este problema,

que representa el uso más sofisticado del método exhaustivo en las

matemáticas antiguas, se tratará en un capítulo posterior de este tra-

bajo.

Arquímedes usó razonamientos netamente geométricos parti-

cularmente complejos e ingeniosos, para probar los teoremas en los

dos libros del tratado Sobre la esfera y el cilindro Los resultados prin-

cipales fueron que la superficie de cualquier esfera es 4 veces la su

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circulo mayor, y el volumen es 2/3 del volumen del cilindro cir-

cunscrito con base igual al círculo máximo y la altura igual al diáme-

tro. Los matemáticos posteriores encontraron admirables estos

hallazgos, pero hasta el siglo XIX no se pudo encontrar explicación

precisa de cómo había podido llegar Arquímedes a sus conclusiones.

Arquímedes estaba tan orgulloso de haber sido el primero en calcular

del volumen de la esfera, que dejó instrucciones para grabar sobre

su tumba la figura de la esfera inscrita en el cilindro.

La espiral de Arquímedes, estudiada en el tratado Sobre las

espirales, es quizás el primer ejemplo planteado por un matemático

griego de una curva mecánica, o sea una curva trazada por un punto

móvil. Se define como la trayectoria de un punto que se mueve con

velocidad uniforme desde el extremo fijo de una línea recta, que a

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su vez gira uniformemente sobre un plano. Valiéndose del estudio de

las tangentes a la espiral, Arquímedes halló que el área de una revo-

lución completa resultaba igual a 1/3 del círculo con centro en el ori-

gen y radio en el final del arco de espiral, con lo que estableció otra

forma de efectuar la cuadratura del círculo. También determinó una

forma de trisecar un ángulo usando la espiral.

En Sobre los conoides y los esferoides se determinan los vo-

lúmenes de los conoides rectos, es decir de los sólidos formados por

la revolución de las curvas cónicas alrededor de su eje. Para ello

compara el volumen de cualquier segmento del conoide cortado por

un plano perpendicular al eje, con el volumen de un cono o un cilin-

dro con la misma base, altura y eje. Por ejemplo, establece que el

volumen de cualquier segmento recto de un paraboloide de revolu-

ción es 3/2 veces mayor que el segmento de cono con la misma base

y altura. Los correctos resultados obtenidos sólo pudieron confirmar-

se con la invención del cálculo integral.

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Sobre los cuerpos flotantes es el primer trabajo conocido de

hidrostática en la historia de la ciencia, por el que, unido a sus traba-

jos de mecánica, se considera a Arquímedes como fundador de la

física matemática. Consta de dos libros escritos alrededor del 250

a.C, El Libro I establece el principio general de la hidrostática con el

concepto de presión de un fluido, de donde deriva lo que ahora se

conoce como principio de Arquímedes: cualquier cuerpo sumergido

total o parcialmente en un fluido, experimenta una fuerza hacia arriba

igual al peso del fluido que desaloja. Este logro científico se anticipó

casi dieciocho siglos al trabajo sobre la naturaleza de los fluidos, des-

arrollado durante la Revolución Científica por investigadores como

Blaise Pascal y Evangelista Torricelli . En el largo intervalo hasta el

siglo XVII, la teoría arquimediana sirvió principalmente para determi-

nar la densidad de objetos, tales como gemas y artefactos hechos de

metales preciosos, comparando sus pesos en el aire y en el agua.

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El Libro II es un logro matemático probablemente sin parangón

en la historia hasta hoy mismo. De los trabajos conocidos de Arquí-

medes, es considerado como su mayor hazaña intelectual. Contiene

una investigación detallada de las posiciones de equilibrio estable de

paraboloides rectos de varios perfiles y densidades relativas, flotando

en un fluido de mayor densidad, referida a los casos en que la base

del paraboloide esté enteramente encima o enteramente debajo de la

superficie del fluido. Esta investigación arquimediana de la flotabili-

dad de los paraboloides, parece una idealización de los perfiles de

los cascos de los barcos con vistas a la aplicación en la construcción

naval. El libro contiene una serie de construcciones geométricas

complejas, que sólo se pudieron dilucidar mucho más tarde con ayu-

da del algebra, la trigonometría y la geometría analítica, y cuando el

campo de la mecánica alcanzó la madurez necesaria para manejar

los conceptos de equilibrio y estabilidad que introdujo Arquímedes.

Sólo entonces se convirtió este libro en el punto de partida de los

científicos y arquitectos navales para examinar la estabilidad de los

barcos y otros cuerpos flotantes.

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En el libro Medida del círculo, probablemente parte de otro tra-

tado más amplio, Arquímedes utilizó el método exhaustivo para cal-

cular la longitud de la circunferencia, es decir hallar el número irra-

cional π, la razón de la longitud de la circunferencia a su diámetro.

Para ello, dibujó un polígono regular inscrito y otro circunscrito a una

misma circunferencia, de manera que la longitud de la circunferencia

queda acotada por los valores de los perímetros de los dos polígo-

nos. A medida que se incrementa el número de lados de los polígo-

nos las diferencias se acortan, y se obtiene una aproximación más

exacta. Para ello recurrió a determinar el perímetro del polígono re-

gular de 96 lados. Siendo necesario conocer el valor del número irra-

cional √3 para poder calcular el tamaño de los lados de estos polí-

gonos y por ende sus perímetros, Arquímedes usó para ello un valor

de √3 acotado en el intervalo 265 / 153 < √3 < 1351 / 780. El origen

de estos límites, de los que Arquímedes no aporta ninguna explica-

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ción, ha sido hasta hoy motivo de múltiples conjeturas entre los histo-

riadores de las matemáticas3. Empleando finalmente este valor en el

cálculo de la razón de los perímetros al diámetro de la circunferencia,

Arquímedes halló que el valor de π debía encontrarse entre 310 / 71

y 31 / 7, lo cual es una buena aproximación al valor actual. A conti-

nuación demostró también que el área del círculo era igual a π multi-

plicado por el cuadrado del radio del círculo.

El contador de arena es un corto trabajo de ocho páginas, en

el que Arquímedes se propone determinar el límite superior del nú-

mero de granos de arena que cabrían en el Universo, ideado para

contradecir la opinión popular, inaceptable para la filosofía griega, de

que serían infinitos o incontables. Para hacer esto, tuvo primero que

definir el tamaño del Universo, e inventar luego una forma de nom-

brar en griego números extremadamente grandes. Para prefigurar el

Universo usó el modelo heliocéntrico del contemporáneo astrónomo

griego Aristarco de Samos, considerándolo una esfera de radio hasta

las estrellas y centro en el Sol. Este trabajo de Arquímedes es una de

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las pocas referencias positivas antiguas a la marginada teoría de

Aristarco, que sobreviviría sin embargo hasta inspirar la revolución

copernicana en el siglo XVI. Para los grandes números, Arquímedes

diseñó un sistema de cálculo basado en la “miriada”, equivalente al

número 10.000. Usando un sistema en el que utilizaba como unidad

una miriada de miriadas (100 millones), Arquímedes determinó final-

mente que el diámetro del Universo no superaba los 1014 estadios

(unos 2 años-luz), y que se requerirían no más de 55 miriadas de

miriadas (1063) de granos de arena para llenarlo.

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DE ALEJANDRÍA A CONSTANTINOPLA

La Biblioteca Real de Alejandría Tras la desaparición de Arquímedes en 212 a. C., muchas de

sus obras quedaron dispersas en las cartas que había dirigido a sus

colegas en Alejandría. Con el paso de los años, algunas copias de

los trabajos terminaron seguramente en la Biblioteca Real, que fue

dirigida desde 245 a.C por el geógrafo Eratóstenes, corresponsal y

amigo del sabio de Siracusa. Desde que el faraón Tolomeo II Filadel-

fo fundara la Biblioteca como anexo al famoso Museo, su interés por

la institución había sido grande, haciéndola funcionar como si su ob-

jetivo fuera recolectar todo el conocimiento del mundo. Lo originales

se adquirían mediante un espléndido presupuesto real que implicaba

el pago de viajes para captar libros en otras ciudades civilizadas co-

mo Rodas y Atenas. La colección se acrecentaba además mediante

la laboriosa copia en rollos de papiro por un buen número de escri-

bas, de todos los originales que se pudieran captar incluidos también,

según parece, los libros hallados en los barcos que llegaban a puer-

to, los cuales habían de llevarse obligatoriamente a la biblioteca para

ser copiados. Mientras Alejandría continuó siendo la capital intelec-

tual del mundo helénico, se estima que la Biblioteca Real llegó a reu-

nir más de 600.000 volúmenes.

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En el año 47 a. C. durante la Gran Guerra Civil Romana, Julio

Cesar se vio involucrado, tras el asesinato en Egipto de su rival

Pompeyo, en la lucha dinástica de los faraones. Decidido a favorecer

la candidatura de Cleopatra, Cesar se vio sitiado en Alejandría y pre-

firió incendiar su flota antes de que cayera en manos del enemigo. El

fuego se propagó con tal violencia que devoró unos almacenes de

grano y desde allí pasó a la Biblioteca Real, con lo que ardieron cien-

tos de miles de libros. Es fama que atendiendo al interés por rehabili-

tar la Biblioteca cuanto antes por parte de Cleopatra, ya convertida

en reina, su amante el general romano Marco Antonio trasladó a Ale-

jandría el contenido de la importante biblioteca rival de Pérgamo, es-

timado en 200.000 pergaminos. La actividad intelectual en la Biblio-

teca Real continuó durante casi tres siglos, hasta que en el año 273

la guerra vino a asestar un nuevo duro golpe a la institución. Durante

una rebelión en Egipto, el ejército del emperador Aureliano I, incen-

dió el distrito de Alejandría donde estaba la Biblioteca Real. No existe

noticia del número de las obras perdidas, que seguramente fueron

cuantiosas.

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Los últimos sabios alejandrinos

En 313 el emperador Constantino I el Grande proclamó me-

diante el Edicto de Milán la tolerancia del cristianismo en todo el Im-

perio Romano. Alejandría se convirtió en la sede de un patriarcado

influyente en todo el mundo cristiano, y pasó de ser centro de la tra-

dición intelectual helenística a escenario de violentos enfrentamien-

tos ideológicos protagonizados por el fundamentalismo cristiano. A

los naturales conflictos con los defensores del paganismo grecorro-

mano siguieron otros no menos intensos con las nacientes sectas

cristianas como la del clérigo alejandrino Arrio, cuya doctrina antitrini-

taria fue anatemizada en 325, en el primer concilio de Nicea.

La persecución cristiana de los paganos extendida durante el

siglo IV por todo el Imperio, alcanzó gran intensidad en Alejandría. Al

tiempo que se prohibían los antiguos rituales, templos y estatuas fue-

ron profanados y se cerraron las bibliotecas. La decadencia de la

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antigua capital del Egipto tolemaico era ya un proceso imparable a

finales del siglo. La parte oriental del Imperio Romano había comen-

zado a transformarse en una entidad cultural diferente, desde que

Constantino I decidió trasladar la capital del imperio al solar de una

antigua colonia griega llamada Bizancio, situada estratégicamente a

la entrada del estrecho del Bósforo, en las rutas comerciales de Eu-

ropa y Asia entre el Mediterráneo y el Mar Negro. La nueva ciudad

fundada en 330, a la que primero se llamó Constantinópolis, no tardó

en convertirse en el centro cultural sucesor de Alejandría.

El emperador Constancio II, heredero de Constantino I, esta-

bleció en los años 350 en Constantinopla una Biblioteca Imperial. En

el escritorio de la nueva institución se trabajaba copiando en perga-

mino los deteriorados papiros de la literatura griega antigua, muchos

de ellos con toda probabilidad supervivientes del incendio de la Bi-

blioteca Real de Alejandría. El emperador Valente continuó por fortu-

na esta obra restauradora, empleando en el escritorio un nutrido

equipo de calígrafos griegos y latinos, de forma que la mayoría de los

clásicos griegos conocidos hoy lo son merced a las copias originadas

en la Biblioteca Imperial, que llegó a reunir unos 100.000 textos anti-

guos.

El último emperador que gobernó tanto la parte occidental co-

mo la oriental del Imperio Romano, Teodosio I, ordenó en 391 la de-

finitiva destrucción de todos los templos paganos. La motivación del

decreto era fundamentalmente religiosa, pero por desgracia, también

la riqueza bibliográfica de Alejandría sufrió el ataque de las enardeci-

das turbas cristianas, puesto que la reducida Biblioteca Real había

pasado a alojarse en el templo de Serapis, en la acrópolis de la ciu-

29

dad, por decisión de la reina Cleopatra según testimonios antiguos.

El fanático patriarca Teófilo de Alejandría llevó a cabo de inmediato

en Egipto el edicto imperial, y se valió de la destrucción de la acrópo-

lis y del templo de Serapis, para incendiar miles de rollos de papiro

de la biblioteca anexa.

Algunos de los libros más valiosos pudieron salvarse de la

destrucción, y los sabios siguieron acudiendo a la capital egipcia en

busca de conocimientos. No debía ser fácil la actividad intelectual y

la publicación de trabajos en el ambiente hostil de la turbulenta Ale-

jandría del siglo IV pero, de alguna forma, la Biblioteca Real continuó

siendo todavía un foco cultural. Los matemáticos Pappus y Theon,

estudiaron los descubrimientos de Arquímedes en los tratados “So-

bre la medida del círculo” y “ Sobre la esfera y el cilindro”, además de

en otros trabajos que citan en sus obras, pero que no han sobrevivi-

do. En 415, diez años después de la muerte de Theon, su única hija

Hypatia, también matemática y directora de una escuela neoplatónica

donde enseñaba filosofía y astronomía, fue salvajemente asesinada

por las turbas cristianas. Para algunos historiadores, el martirio de

Hypatia no sólo marca el colapso de la vida intelectual alejandrina,

sino también el verdadero final de la antigüedad clásica.

La crítica situación de Alejandría a principios del siglo V, con la

forzada decadencia de la Biblioteca Real, motivó el desplazamiento

de los centros de estudio clásico a otras ciudades. La mayoría de los

libros supervivientes pasó a engrosar la Biblioteca Imperial de Cons-

tantinopla. Los restantes volúmenes terminaron en la Academia de

Gondishapur del imperio persa sasánida, la última potencia iraní an-

tes de la ascensión del Islam, donde se refugiaron algunos los filóso-

30

fos helenistas y nestorianos sirios, que huían de la persecución reli-

giosa cristiana desatada en el Imperio.

Ya comenzado el siglo VI, el matemático palestino de habla

griega Eutocio de Ascalon escribió en Alejandría unos notables co-

mentarios de los tratados arquimedianos “Sobre la medida del círcu-

lo”, “ Sobre la esfera y el cilindro” y “Sobre el equilibrio de los pla-

nos”. Sin embargo, parece que ni siquiera tuviera noticia de “Cuadra-

tura de la parábola” y de “Sobre las espirales”, aunque estas obras

hayan después sobrevivido, porque si las hubiera conocido las

habría citado en ciertos puntos de sus comentarios, en lugar de

hacer de esos mismo temas referencias menos acertadas.

31

BIZANCIO Isidoro de Mileto La creciente diferenciación entre el oriente y el occidente del

Imperio Romano, plasmada en la crítica situación de la ciudad de

Roma frente a la pujanza de Constantinopla, culminó con división de

la administración del estado en dos partes autónomas tras la muerte

de Teodosio I en 395. Menos de un siglo después, desaparece de

hecho el Imperio Romano de Occidente con la deposición de Rómulo

Augustulo en 436 por el rey bárbaro germánico Odoacro, y Constan-

tinopla se convierte en la única capital del Imperio. El subsiguiente

periodo de la historia romana se conoce como Imperio Bizantino

aunque este término, creado por la erudición ilustrada europea occi-

dental en el siglo XVIII, no fue nunca utilizado por los habitantes del

Imperio, que continuaron llamándolo Romano durante sus restantes

diez siglos de existencia.

Entre 527 y 565, durante el reinado del emperador Justiniano

I, el último emperador bizantino que usó el latín como lengua mater-

na, el Imperio pareció recuperar la antigua grandeza con la recon-

quista de Italia, incluida la propia ciudad de Roma, los territorios del

norte de África y sur de la Península Ibérica. A mediados del siglo, el

general Flavio Belisario ocupó Sicilia como base para arrebatar a los

ostrogodos el resto de Italia. La provincia bizantina creada después

con Sicilia y Calabria, reviviendo la Magna Grecia, adquirió tal impor-

tancia, que el emperador Constans II, tras sus campañas en el sur de

32

Italia contra los lombardos, intentó sin éxito en 663 trasladar la capital

del Imperio a Siracusa. En aquellos años de triunfo, Justiniano prote-

gió la cultura clásica y acometió importantes trabajos de embelleci-

miento de Constantinopla. Su obra más famosa fue la construcción

de la basílica de Santa Sofía, realizada entre 532 y 537, empleando

más de 10.000 obreros y materiales procedentes de todo el Imperio.

La gran nave llena de raros mosaicos se convertiría durante un mi-

lenio en el centro de la cristiandad. Para diseñar y dirigir la gigantes-

ca obra fue comisionado el científico y geómetra Isidoro de Mileto,

junto con el veterano arquitecto Antemio de Tralles.

Isidoro había sido uno de los últimos directores en Atenas de

la Academia de Platón, que Justiniano había clausurado por impartir

enseñanzas paganas, y por aquellos tiempos enseñaba en la Uni-

versidad Imperial de Constantinopla, fundada en 425 por Teodosio II

(401-450). Mientras enseñaba en la Universidad, Isidoro produjo una

33

recopilación de los trabajos de Arquímedes disponibles en la ciudad,

en particular de los mencionados tres trabajos comentados en Ale-

jandría por Eutocio. Los alumnos tradujeron el contenido de los viejos

rollos de pergamino del sabio de Siracusa del griego dórico al griego

vernáculo, y los transformaron en códices de pergamino. En las tra-

ducciones se introdujeron algunos cambios en los textos, para hacer-

los más comprensibles a los principiantes, según se ha evidenciado

después comparando los manuscritos griegos modernamente dispo-

nibles con las primeras notas escritas por Eutocio.

Un cúmulo de fuerzas adversas pareció conspirar contra el

esplendor de Justiniano al final de su reinado. Durante la década de

los 530, pareció a algunos que el Imperio había atraído de alguna

manera la cólera de Dios. El Sol, aunque todavía producía el día,

velado por altas nieblas no daba apenas calor. Esto causó una ham-

bruna diferente a cualquier otra del pasado, debilitando a la gente de

Europa y de Oriente Medio. La causa de este desastre no se conoce

con exactitud, pero se sospecha de un efecto invernadero producido

por erupciones en los volcanes Rabaul, Ilopango y Krakatoa o un

choque con un grupo de meteoritos. Después del periodo de malas

cosechas, estalló en 542 una gran epidemia de peste, que mato a

millones de personas. Como gobernadores del Imperio, a Justiniano

y los miembros de la corte no les afectó la hambruna, pero si sufrie-

ron por la plaga, pues el propio Justiniano contrajo la pestilencia,

aunque sobrevivió. Una década después de la epidemia, el Medite-

rráneo oriental fue agitado por el terremoto de Beirut sentido desde

Antioquia hasta Alejandría y que desató un sunami, seguido por un

34

terremoto en Constantinopla que afectó gravemente a la ciudad, da-

ñando las murallas y la cúpula de Santa Sofía.

Por otra parte, las campañas de Justiniano en occidente

habían de alguna manera desguarnecido la contención de los persas

en oriente y de los eslavos en el norte. Los sucesores de Justiniano

tuvieron que defender un Imperio cristiano rodeado de enemigos, y

debilitado por las calamidades naturales. Se sostuvieron guerras en

Italia contra los lombardos, en el norte contra los eslavos y en oriente

contra los persas. Constantinopla, situada junto al mar y rodeada por

tierra de una imponente doble línea de murallas, pudo resistir en 626

el asedio de un ejército compuesto de persas, eslavos y guerreros

nómadas ávaros. Tres años después los bizantinos vencieron a los

persas y recuperaron Palestina, Jerusalén y Egipto.

Sólo unas décadas después tomó cuerpo en Oriente Medio un

nuevo enemigo formidable llamado el Islam, procedente de Arabia.

35

Los musulmanes se apoderaron de Siria y Palestina, e invadieron

Egipto tomando Alejandría en 642, con lo que llegó el final definitivo

de la gran Biblioteca Real, si es cierta la leyenda de que las huestes

del califa Omar ibn al-Katab utilizaron los libros restantes para ali-

mentar los hornos de los baños públicos.

Entre 674 y 679, reinando Constantino IV los musulmanes pu-

sieron renovados sitios a Constantinopla, pero finalmente su flota fue

dispersada con auxilio del llamado “fuego griego”, una nueva arma

secreta de los bizantinos, en forma de emulsión capaz de arder en el

agua. En 717, justo al comienzo del reinado de León III Isaurio tras

un golpe de estado, los árabes aprovecharon la discordia civil en el

Imperio para comenzar un nuevo asedio, con una fuerza superior a

los 100.000 hombres y una gran flota bloqueando los suministros a la

ciudad por el Bósforo. La tenaz resistencia opuesta por las murallas

bizantinas desgastó a los atacantes, y el fuego griego volvió a ser por

mar un importante factor de victoria. Incapaces de continuar el ata-

que ante la impenetrabilidad de las murallas, la falta de provisiones y

la llegada de refuerzos búlgaros aliados de los bizantinos, los árabes

se vieron forzados a levantar el sitio después de un año.

A principios del siglo VIII, un grave elemento de discordia civil

vino a sumarse en Constantinopla a los ruinosos efectos de la larga

serie de guerras externas, y las dramáticas luchas palaciegas por el

poder. A partir de un decreto del emperador León III prohibiendo el

culto a las imágenes religiosas en todo el Imperio, se inicia el impor-

tante conflicto iconoclasta, entre el patriarcado de Constantinopla y el

papado de Roma, partidario de las imágenes. Esta pugna con pretex-

to religioso, pero que nacía en realidad de la creciente rivalidad del

36

clero de Roma y el de Constantinopla por el gobierno del conjunto

de la Cristiandad, fue quizás el principal problema político bizantino

hasta finales del siglo IX. Produjo importantes enfrentamientos arma-

dos en Italia, y culminó con un refuerzo del poder del Patriarca de

Constantinopla frente al Papa de Roma, sentándose así la base del

futuro cisma de la iglesia cristiana de oriente culminado en 1054.

León el Geómetra

Los siglos IX y X fueron memorables para el Imperio Bizantino.

Constantinopla era inmensamente rica y físicamente segura. El Pala-

cio Imperial era un centro de cultura, y los monasterios florecieron.

Entre 829 y 842 reinó el emperador Teófilo I. Recuperó la Universi-

dad de Constantinopla, cerrada por León III en 726 al comienzo del

problema iconoclasta, dedicado sobre todo a formar a los vástagos

de las familias acomodadas, con vistas a servir luego tanto en la

Iglesia como en la Administración imperial. Para los miembros de las

clases altas hablar y escribir bien era considerado muy importante.

Los jóvenes de ambos sexos eran enviadas pronto a la escuela. La

instrucción primaria era provista en las ciudades y algunas veces en

los pueblos, la instrucción secundaria y avanzada era impartida por

tutores y por escuelas localizadas en los grandes centros del saber.

Teófilo no solo poseía una extraordinaria educación, sino también un

gusto muy pronunciado para el arte y las ciencias. Se mostró abierto

no sólo a la cultura propia de la capital bizantina, sino también a las

influencias culturales que irradiaba la corte califal de Bagdad. El en-

tusiasmo por el arte árabe le venía, al parecer, de su profesor Juan

37

VII el Gramático, patriarca de Constantinopla entre 837 y 843; a

quien le debía también la hostilidad contra las imágenes que le con-

virtió en un iconoclasta exaltado.

León el Geómetra, sobrino de patriarca Juan, fue educado con

esmero en Constantinopla, y también viajó en su juventud a los mo-

nasterios de la isla de Andros, donde pudo acceder a manuscritos

raros y aprendió matemáticas. En los años 820 se convirtió en profe-

sor privado con evidente éxito pues uno de sus alumnos, que había

leído a Euclides bajo su supervisión, fue capturado en la guerra con

los árabes y llevado a Bagdad, donde deslumbró al califa Abdula al-

Mamun con sus conocimientos matemáticos. Al enterarse del nombre

del profesor, el califa envió una delegación ofreciendo una espléndi-

da remuneración a León para que se estableciera en Bagdad. León

rechazó la oferta, lo que motivó que el emperador Teófilo, impresio-

nado por la reputación de León, le concediera el cargo de profesor en

la escuela de la constantinopolitana Iglesia de los Cuarenta Mártires.

38

León, además de matemático, llegó a ser un hombre de sabi-

duría universal, autor de trabajos filosóficos, filológicos y literarios, y

con múltiples habilidades prácticas, como la de crear célebres autó-

matas mecánicos o construir un sistema de telegrafía óptica capaz

de transmitir en una hora avisos de las incursiones árabes desde la

frontera del imperio. León fue un iconoclasta como Teófilo, quien en

el periodo 840-843, le nombró arzobispo de Tesalónica, pero al morir

el emperador perdió su cargo y regresó a Constantinopla. Alrededor

de 860, Bardas, antiguo ministro con Teófilo convertido en regente

en la minoría de edad del emperador Miguel IIII estableció una es-

cuela o universidad secular en el palacio Magnaura, un gran edificio

cercano a Santa Sofía. y le otorgo a León la jefatura, al mando de un

selecto grupo de sabios. En Magnaura, León y sus colaboradores

enseñaron filosofía aristotélica, geometría y astronomía, esforzándo-

se en revivir la ciencia clásica, y en particular la obra de Arquímedes,

como atestiguan las inscripciones alabando a León el Geómetra des-

cubiertas en dos manuscritos supervivientes de textos de Arquíme-

des.

Para tratar de reunir los trabajos de Arquímedes se partió en

Magnaura de la compilación de Isidoro de Mileto, que había perma-

necido durante más de trescientos años de azarosa historia bizantina

tras las imponentes murallas de la capital, a salvo de las múltiples

hordas de enemigos que rondaban incansablemente por tierra y por

mar las riquezas de la capital cristiana. Se compuso finalmente un

códice donde, además de los tres importantes trabajos acompañados

de los comentarios de Eutocio, se añadieron: “Sobre los conoides y

39

los esferoides”, “Sobre las espirales”, “Sobre la cuadratura de la pa-

rábola” y “El contador de arena” Aparte de este primer códice de

León se produjo en Magnaura un segundo códice, el llamado más

tarde códice Mechanicorum, que recogía los dos libros de “Sobre los

cuerpos flotantes”, y distintas obras de Arquímedes sobre mecánica y

óptica.

A partir de 867, con la ascensión al trono de Basilio I se pro-

duce un importante cambio en la historia bizantina. Con él comienza

la dinastía macedónica, que reinaría durante los próximos dos siglos

y medio. Fue un periodo de revitalización del poder militar y político

bizantino, en el que, aparte de la conquista de Bulgaria, Georgia y

Armenia, se pudieron recuperar importantes territorios como Creta,

Chipre y el sur de Italia. Aunque el Imperio era aún considerablemen-

te menor que durante el reinado de Justiniano, los territorios domina-

dos estaban menos dispersos y por tanto quedó más integrado en la

política, la economía y la cultura. Con Basilio I también se produjo

una revitalización de la filosofía y las artes. La política cultural de Ba-

silio fue continuada por su hijo y sucesor León VI el Sabio, poeta y

erudito más que soldado, que restauró la Universidad, y completó los

códigos legislativos iniciados por su padre.

Sin embargo, el Imperio sufrió después varias derrotas milita-

res en los Balcanes contra Bulgaria y contra los árabes en el Egeo.

Por otra parte, acababa la presencia bizantina de casi tres siglos en

Sicilia. Los musulmanes del emir de Túnez habían comenzado desde

principios del siglo IX la gradual conquista de la isla, y la completaron

en 965, con lo que Siracusa, la antigua patria de Arquímedes, dejaba

de nuevo de ser griega a pesar del renacimiento bizantino. En 912, al

40

fallecimiento del emperador León VI, los musulmanes llevaban años

atacando desde Sicilia la colonia bizantina de Calabria en Italia,

mientras Bizancio atendía sobre todo a la defensa de las extensas

fronteras orientales. Pero Constantinopla seguía siendo un bastión

inexpugnable. Tras la decadencia de Roma y Atenas y la definitiva

pérdida de Alejandría con la arabización de Egipto, sólo en las biblio-

tecas constantinopolitanas se seguían preservando los manuscritos

de los antiguos autores griegos como Arquímedes, durante la época

de desorden y destrucción que se abatía sobre la Europa occidental

y el norte de África con las invasiones bárbaras germánicas.

41

LA BAJA EDAD MEDIA La Sicilia normanda La dominación árabe se mantuvo en Sicilia hasta que merce-

narios normandos, traídos inicialmente en el siglo XI al sur de Italia

por el Papado en apoyo de la revuelta de los lombardos contra la

restante provincia bizantina en Italia, comenzaron la conquista de la

isla, que termino con la toma de Palermo en 1091. Al jefe norman-

do conde Roger I de Hauteville le sucedió su hijo Roger II (1095-1154), que había sido educado por eruditos griegos y árabes, lo que

más tarde se reflejó en su carácter abierto a todas las culturas. Roger

II comenzó el gobierno de Sicilia con sólo dieciséis años, y en 1112

reclamó también la Apulia para los Hauteville. Tuvo que luchar con la

oposición del Papado, que recelaba del creciente poder normando en

el sur de Italia, pero finalmente fue nombrado duque de Apulia y Ca-

labria en 1128 y coronado en Palermo dos años después rey de Sici-

lia.

Roger II llegó a ser el monarca más capaz de la Europa del si-

glo XII. Durante su reinado logró crear a partir de las facciones reli-

giosas y raciales más salvajemente opuestas que la historia ha cono-

cido, un reino político estable, donde las culturas árabe, bizantina,

lombarda, judía y normanda se mezclaron en un verdadero estado

cosmopolita. Para administrar el reino contrató a muchos griegos y

42

árabes, expertos en las tradicionales técnicas del gobierno centrali-

zado. Sicilia, en continuo contacto cultural con Bizancio, el Islam y la

Europa cristiana, se convirtió en un foco emisor desde donde penetró

en la Europa occidental mucho del saber árabe y griego. Su cancille-

ría producía documentos en cuatro lenguas: árabe, griego, latín y

hebreo, y su reino conoció un notable grado de tolerancia racial y

religiosa. En la corte de Palermo acogió bien a los hombres de letras

extranjeros, y apoyó incluso la publicación de obras como el “Libro

de Roger” del famoso geógrafo árabe Muhammad al-Idrisi, uno los

más importantes logros geográficos del medioevo. Roger hizo a Sici-

lia una significativa potencia marítima en el Mediterráneo, valiéndose

de la contratación de expertos marinos como Jorge de Antioquía, a

quien hizo de hecho primer vizir al modo de un califa. Con la resul-

tante flota siciliana, el gobierno de Roger fomentó el comercio e hizo

la guerra a los piratas del norte de África.

43

Desde finales del siglo X había comenzado el periodo históri-

co de las Cruzadas que iba a enfrentar intermitentemente a la Europa

occidental católica romana con el oriente musulmán y también con el

poder cristiano ortodoxo a lo largo de casi dos siglos. En la Primera

Cruzada, dirigida en 1095 contra los turcos selyúcidas, se logró esta-

blecer un reino cristiano en Jerusalén. La Segunda Cruzada, dirigida

en persona por Luis VII de Francia y Conrado III de Alemania, con la

ayuda de varios nobles europeos fue un fracaso y una gran victoria

para los musulmanes, culminado por la posterior caída de Jerusalen,

pero ofreció a Roger II en 1147 la oportunidad de hostigar a los bi-

zantinos, enemigos del creciente poder normando en Italia y el Medi-

terráneo. Manteniéndose en un segundo plano, Roger dio el mando

de la expedición contra Bizancio a su almirante Jorge de Antioquía,

quien zarpó de Otranto con setenta galeras para atacar Corfu, la cual

ocupó. Luego navegó al Peloponeso, saqueó Atenas, devastó la cos-

ta a lo largo de Eubea y el golfo de Corinto y penetró hasta Tebas,

donde desvalijó las fábricas de seda y se llevó cautivos a los tejedo-

res judíos a Palermo, finalizando la expedición con el saqueo de la

ciudad de Corinto.

Hubo pues en el siglo XII penetración normanda con ánimo de

expolio en el corazón de Bizancio, pero no hay noticia que relacione

la campaña de la Segunda Cruzada con la aparición en Sicilia de los

dos códices recopilatorios de las obras de Arquímedes producidos en

la escuela de Magnaura. Lo cierto es que la historia registra la pre-

sencia del códice de León y el códice Mechanicorum en la corte nor-

manda de Palermo, donde cabe imaginar a Roger II rodeado de sus

más doctos cortesanos, ojeando quizás con frustrada curiosidad

44

aquellas enrevesadas páginas. De la sorprendente salida de los va-

liosos documentos de su natural emplazamiento en Constantinopla,

podría pensarse que sólo pudo ser responsable algún personaje im-

portante, fuera académico, militar o político. Que el traslado ocurriera

cuando el emperador Constans II trató de trasladar su corte a Siracu-

sa es imposible, puesto que en los años 600 aún no se habían crea-

do los códices. En todo caso, ocurriría durante la segunda mitad del

siglo IX, cuando Sicilia era aún parte del Imperio Bizantino. Nadie

conoce el motivo del traslado de los códices desde la capital del Im-

perio, arrostrando los peligros de una larga y peligrosa travesía del

laberíntico mar Egeo y el Mediterráneo oriental cuajado de corsarios

y piratas, a la inestable provincia siciliana donde ya los bizantinos

sufrían los embates de las fuerzas musulmanas. Lo cierto es que en

algún momento de la segunda mitad del siglo IX, alguien, probable-

mente relacionado con el saber, depositó en Palermo los dos códi-

ces arquimedianos.

Los Hohenstaufen en Sicilia

Roger II murió en Palermo en 1154, a los 58 años, dejando a

su hijo Guillermo I un reino centralizado y fuerte formado por Sicilia y

todas las conquistas normandas en Italia. El dominio normando sobre

Sicilia perduró casi un siglo, hasta el reinado de Guillermo II, que

murió sin descendencia en 1189. La sucesión vino a recaer en Enri-

que VI de Hohenstaufen, por su matrimonio con Constanza de Hau-

teville, tía de Guillermo. La intromisión germánica resultó inaceptable

para los barones normandos, quienes apoyaron a Tancredo de Sici-

45

lia, nieto ilegítimo de Roger II, pero con la prematura muerte de Tan-

credo en 1194 se extinguió la dinastía normanda de los Hauteville, y

el gibelino Enrique pudo entrar sin oposición en Palermo al frente de

su ejército. Enrique había sido nombrado emperador del Sacro Impe-

rio tres años antes, al fallecer su padre Federico I Barbarroja tras un

largo e influyente reinado. Federico murió en campaña durante la

Tercera Cruzada, ocurrida entre 1189 y 1192, llamada de los reyes

por intervenir directamente en la guerra, además de Barbarroja, los

reyes de Inglaterra y Francia. Fue un intento de los líderes europeos

de reconquistar Tierra Santa de manos del poderoso Saladino, sultán

de Egipto y Siria. La campaña tuvo bastante éxito, capturándose las

importantes ciudades de Accre y Jaffa, y revirtiendo la mayoría de las

conquistas de Saladino. Sin embargo, no se logró recuperar Jerusa-

lén tomada por el sultán en 1187, el motivo emocional y espiritual de

la cruzada, lo que dio motivo después a la funesta Cuarta Cruzada.

Tras el corto reinado de Enrique VI, muerto en 1197, le suce-

dió en el trono de Sicilia su hijo Federico II que contaba entonces

tres años de edad, y asumió la corona en 1215 tras la regencia de su

madre, Constanza de Hauteville. Federico heredó de su abuelo ma-

terno normando el instinto político y el respeto de las letras y las

ciencias, convirtiéndose en una de las figuras más eminentes del

Medioevo. Sus ambiciones políticas y culturales, basadas en Sicilia,

se extendieron a Italia, Alemania, y aún Jerusalén. Estuvo frecuen-

temente en guerra con el Papado, incómodo entre el dominio de Fe-

derico de Italia en el norte y de Sicilia en el sur. Excomulgado cuatro

veces, Federico II, a quien el papa Gregorio IX llegó a llamar “el An-

46

ticristo”, fue a menudo vilipendiado en las crónicas favorables al Pa-

pado de su tiempo y en los posteriores.

El gran saqueo de Constantinopla En 1202, siendo Federico II aún niño, el papa Inocencio III

convocó la Cuarta Cruzada, dirigida a arrebatar Jerusalén a los mu-

sulmanes por medio de una invasión desde Egipto. La mayor parte

del ejército cristiano embarcó en Venecia, en las galeras comanda-

das por el dux Enrico Dandolo. En travesía hacia Egipto a principios

de 1203, la mayoría de los dirigentes de los cruzados, alentados por

el viejo Dandolo, a quien los cruzados debían la mayor parte del flete

los navíos, acordaron con el príncipe bizantino Alexios IV Angelos, el

cual prometía pagar el transporte a los venecianos y proporcionarles

refuerzos militares, desviar la expedición a Constantinopla para ayu-

47

darlo a recuperar el trono imperial, usurpado por su tío Alexios III An-

gelos. La intención de los cruzados era entonces continuar hacia Tie-

rra Santa después de recibir un espléndido pago del bizantino por su

labor mercenaria. A mediados de año la mayor parte de la flota atra-

có en Constantinopla. Con el apoyo de los cruzados, Alexios IV fue

coronado emperador, pero un levantamiento popular lo depuso poco

después. Los cruzados ya no podían recibir los pagos prometidos, y

cuando Alexios fue asesinado, cruzados y venecianos decidieron sin

reparos cobrarse con la conquista de la ciudad.

En los tiempos de la Cuarta Cruzada, Constantinopla era la

urbe más grande y sofisticada de la Cristiandad. Al contrario que los

principales centros urbanos de Occidente, había conservado en acti-

vo las estructuras cívicas, baños públicos, foros, monumentos y

acueductos de la Roma clásica. En su auge, la ciudad tenía una po-

blación estimada 500.000 personas al resguardo de veintidós kilóme-

tros de triples murallas. Por su estratégico emplazamiento, dominan-

do las rutas comerciales entre el Mediterráneo y el Mar Negro, China,

India y Persia. Su estratégico emplazamiento había hecho de Cons-

tantinopla, no solo la capital de la parte superviviente del Imperio

Romano, sino también el centro dominante de las rutas comerciales

entre el Mediterráneo y el Mar Negro, China, India y Persia. Por esta

razón era al mismo tiempo rival y objetivo de presa para las nuevas

potencias comerciales de Occidente, principalmente la República de

Venecia.

En 1204, tras una dramática y esforzada existencia de casi

nueve siglos, le llegó a Constantinopla su más grave peripecia, cuan-

do los cruzados la sometieron a un salvaje saqueo. El paso de los

48

siglos había convertido a la ciudad en un verdadero museo del arte

antiguo y bizantino, un emporio de tal magnitud que la soldadesca

invasora quedaba atónita antes sus riquezas. Durante tres terribles

días una gran cantidad de obras de arte antiguas griegas, romanas y

bizantinas medievales fueron robadas o destruidas. Muchos millares

ciudadanos fueron expoliados y masacrados. A pesar de los jura-

mentos cristianos y de la amenaza de excomunión, los cruzados die-

ron rienda suelta a su odio por los bizantinos profanando cruel y sis-

temáticamente los monasterios y las iglesias de la ciudad, incluida la

gran basílica de Santa Sofía, por entonces el templo cristiano más

grande del mundo Robaron todo lo que cayó en sus manos, y lo que

no podían llevarse lo destrozaban, quemaban o fundían sin que nada

fuera perdonado. Las obras de arte procedentes del botín de Cons-

tantinopla se dispersaron con el tiempo por toda Europa, al igual que

cientos de antiguas reliquias de todas clases, como los antiquísimos

caballos de bronce que adornaban el Hipódromo, llevados a Venecia

para adornar la fachada de la catedral de San Marcos. Se calculó

más tarde que el total monetario del botín de Constantinopla fue de

unos 800.000 marcos de plata. Venecia fue la principal beneficiada

del expolio, pues los venecianos recibieron 150.000 marcos como

resto de la deuda por alquiler de la flota, mientras que entre los cru-

zados y los venecianos se repartieron otros 150.000 marcos. Los

restantes 500.000 marcos fueron repartidos en secreto entre la ma-

yoría de los caballeros cruzados.

49

En los siglos finales de decadencia del Imperio Romano, el

mantenimiento de la historia de la civilización grecolatina se había

sostenido aún porque había copias de las obras clásicas distribuidas

en bibliotecas públicas y privadas, pero éstas instituciones fueron

destruidas poco a poco, a medida que los bárbaros germánicos aso-

laban la mitad occidental del Imperio, mientras que en oriente los

árabes invasores se apoderaban de todos los centros culturales clá-

sicos del Levante y la Anatolia. Así pues, al comenzar el siglo XIII,

Constantinopla era el único enclave donde seguían existiendo intac-

tos los principales documentos de la cultura griega. Después de la

destrucción de la Biblioteca Real de Alejandría y de las otras bibliote-

cas griegas importantes, la última superviviente era Biblioteca Impe-

rial constantinopolitana, pero también ésta cayó en el desastre de

1204, pues el edificio fue incendiado y su contenido en gran parte

reducido a cenizas. El ciego odio religioso se cebó en los documen-

50

tos, pues los cruzados no concedían ningún valor a los viejos perga-

minos paganos que arrojaban al fuego.

De haber estado en la Biblioteca Imperial los dos valiosos có-

dices de las obras de Arquímedes creados en la escuela de Magnau-

ra, probablemente hubieran desaparecido para siempre en la vorági-

ne, pero por uno de esos raros lances afortunados de la historia, se

hallaban a salvo desde los tiempos de Roger II en una biblioteca del

Palermo normando, protegidos por gentes, ironía del destino, con la

misma catadura moral que los que asolaban mientras tanto la capital

bizantina. Como resultado del saqueo de Constantinopla, la capital

de lo que quedaba del Imperio hubo de trasladarse a Nicea. Desde

esa antigua ciudad asiática los bizantinos comenzaron una campaña

contra el reino latino instaurado por los cruzados, y en 1261 el empe-

rador Miguel VIII Paleólogo logró reconquistar Constantinopla. En un

ala del Gran Palacio, el emperador trato de reconstituir la Biblioteca

Imperial con los libros que no habían sido destruidos o robados,

aunque las vicisitudes del obligado exilio a Nicea debieron mermar

aún más el ya muy maltrecho fondo bibliográfico.

Los códices en la corte papal En Sicilia, tras la muerte de Federico II en 1258 asumió el tro-

no su hijo ilegítimo Manfredo, contra los derechos del nieto Conra-

do, llamado Conradín en las crónicas por ser muy niño todavía, resi-

dente en el ducado alemán de Suavia. El papa Inocencio IV , que

deseaba colocar en Sicilia a un monarca favorable a sus intereses

políticos, viendo en la usurpación de los derechos de Conradín la

51

oportunidad de librarse de los Hohenstaufen, excomulgó a Manfredo

y comenzó a negociar la corona siciliana para Carlos de Anjou

(1227-1285), duque de Provenza y hermano menor del rey de Fran-

cia Luís IX. En 1264, cuando Carlos se aprestaba a reclamar la coro-

na, falleció el papa Urbano IV, pero el pontífice sucesor Clemente IV, un cardenal francés antiguo secretario del rey Luís, se hizo cargo de

inmediato del trato con el Anjou, el cual fue coronado rey de Sicilia

en Roma en 1266 con el beneplácito papal dado desde Viterbo, ciu-

dad donde la curia se había refugiado desde que los antipapistas

gibelinos controlaran la capital. Carlos de Anjou armó un poderoso

ejército y se dirigió al sur de Italia, donde Manfredo fue derrotado y

muerto en la batalla de Benevento. Tras el fin de su hermanastro, el

joven Conradín fue animado salir de Alemania para defender su de-

recho al reino de Sicilia, pero en 1268 también fue derrotado en la

batalla de Tagliacozzo y hecho prisionero cuando trataba de embar-

car a Sicilia. Acusado de traición por Carlos, no tardó en ser decapi-

tado en la plaza del mercado de Nápoles. Con el trágico final de Con-

radín, a la edad de dieciséis años, se extinguió la línea legítima de

los Hohenstaufen y se debilitó la causa gibelina en beneficio de la

Santa Sede.

Una vez establecido en la corte de Palermo, Carlos de Anjou

envió a Italia como regalo para Clemente IV toda la biblioteca de

Manfredo, conservada desde la época normanda, donde se hallaban

los dos códices arquimedianos de Magnaura. Los códices hubieron

de incorporarse a la biblioteca papal en la ciudad de Viterbo, residen-

cia de la curia desde hacía ya diez años, pues la comuna de Roma,

desde la elección como senador popular del gibelino Brancaleone

52

degli Andaló, seguía siendo hostil al Papado. En 1269 llegó a Viterbo

Guillermo de Moerbeke, contratado para hacer accesibles los textos

en griego de la biblioteca papal, pues entre los estudiosos era por

entonces muy escaso el conocimiento de ese idioma. Se trataba de

un fraile dominico que ya se había distinguido por revisar y traducir al

latín, a instancias de Tomás de Aquino, casi toda la obra disponible

de Aristóteles. Moerbeke trabajó concienzudamente durante más de

una década en la trascripción del códice de León al latín. Como no

era un experto matemático, su traducción fue muy literal pero tan fiel

a los textos, que ha resultado después casi equiparable al texto grie-

go original para la comprobación del legado de Arquímedes4. Moer-

beke añadió a la traducción del códice de León partes del códice Me-

chanicorum, con trabajos de mecánica y óptica, de donde tradujo

también los dos libros de “Sobre los cuerpos flotantes”.

53

Con anterioridad al trabajo de Moerbeke habían circulado al-

gunas obras de Arquímedes traducidas al latín desde fuentes árabes.

Es el caso del tratado Sobre la medida del círculo del que en el siglo

XII hubo dos traducciones de las que se conservan copias, una pro-

bablemente del matemático Platón de Tívoli y otra de Gerardo de

Cremona, arabista italiano establecido en Toledo. Obras de Arquí-

medes en latín aparecen también en libros procedentes de versiones

árabes de antiguos textos griegos perdidos o de dudosa adscripción.

Así, por ejemplo, en la colección de proposiciones geométricas lla-

mada “Libro de lemas” (Liber Asumptorum) procedente de la traduc-

ción del griego al árabe hecha en el siglo IX por el astrónomo Thabit

ibn Qurra, todos los teoremas no pueden ser obra directa de Arquí-

medes, ya en ellos se menciona varias veces su nombre como apo-

yo.

En el comienzo del siglo XIV, la buena relación del Papado

con el reino de Francia; mantenida durante la pugna con el Sacro

Imperio, cambió radicalmente al producirse un grave enfrentamiento

entre la curia romana y el clero francés. En 1305 un cónclave eligió

papa al francés Clemente V, el cual rehusó establecerse en Roma y

se mantuvo en Francia, y cuatro años después implantó la corte pa-

pal en la ciudad de Aviñón, donde permaneció durante 67 años, rein-

ando desde esa plaza un total de siete papas bajo la influencia de la

corona francesa.

Finalmente, el papa Gregorio XI, último papa de Aviñón, de-

volvió en 1378 la corte a Roma. A su muerte sólo dos años después,

el clero italiano se manifestó para asegurar la elección de un papa

romano. La curia eligió a Urbano VI, pero los cardenales franceses

54

nombraron por su parte a otro papa con el nombre de Clemente VII,

tildado de “antipapa” por los romanos, el cual restableció de nuevo la

sede en Aviñón. Ambos papas se excomulgaron mutuamente, co-

menzando así el llamado Cisma de Occidente5. La crisis de autoridad

reinante debió facilitar la relajación del control de los bienes mobilia-

rios eclesiásticos, pues el códice Mechanicorum, el mismo que

Moerbeke tuvo en su tiempo la fortuna de poder usar en Viterbo,

desapareció de la biblioteca papal sin dejar huella, con lo que ya no

se pudo disponer en los siglos siguientes del original griego del gran

trabajo de Arquímedes “Sobre los cuerpos flotantes”. Por otra parte,

se sabe que el importante códice de León permaneció en la bibliote-

ca de Roma hasta 1368, pero en algún momento a partir de esa fe-

cha pasó a manos desconocidas.

55

EL CÓDICE VALLA Caída de Constantinopla A partir de la reconquista de Constantinopla en 1261, los bi-

zantinos hubieron de seguir defendiéndose de sucesivos ataques de

latinos, servios, búlgaros y sobre todo de los turcos otomanos. En

1346 la gran epidemia de la Peste Negra alcanzó la ciudad, y en tres

años mató a la mitad de la población. Quedaban sólo unos 50.000

habitantes dentro del amplio perímetro de las viejas murallas teodo-

sianas, cuanto el sultán otomano Mehmet II, puso de nuevo sitio con

un ejército de más de 50.000 hombres, potente artillería y una flota

de 100 navíos. La ciudad, defendida sólo por 7000 soldados, de los

cuales 2000 eran extranjeros, sucumbió finalmente en 1543. Cons-

tantino XI Paleólogo , el último emperador romano, murió en el com-

bate. Durante el saqueo de tres días prometido por Mehmet a sus

soldados como botín de guerra, miles de civiles fueron masacrados y

30.000 esclavizados o deportados. Cuando se ordenó parar a las

tropas y retirarse fuera de las murallas, la ciudad quedó desierta y

casi en ruinas. Las iglesias habían sido despojadas y profanadas, los

comercios y almacenes estaban vacíos y las casas inhabitables. El

subsiguiente traslado de la capital del Imperio Otomano por Mehmet

II de Edirne a Constantinopla y la conversión en mezquita de la basí-

lica de Santa Sofía significó el fin de la milenaria ciudad greco-

romana. La Cristiandad europea nunca acudió en auxilio de Constan-

56

tinopla, pero su caída y el definitivo eclipse del poder bizantino en

oriente fue trascendental para el futuro de la Cristiandad, pues los

ejércitos islámicos otomanos pudieron a partir de entonces avanzar

hacia el centro de Europa, sin ninguna potencia adversa a sus espal-

das.

De la mermada Biblioteca Imperial, arrasada durante el sa-

queo, sólo unos pocos libros han sobrevivido. Muchos intelectuales

griegos huyeron antes y después de la toma de la ciudad, llevando

consigo un gran número de los manuscritos originales que habían

permanecido durante siglos en la bibliotecas de Constantinopla, bas-

tantes de ellos rescatados de las anteriores debacles ocurridas en la

vieja Alejandría. La mayoría de los refugiados bizantinos llegó a Italia

a través de Venecia y mucho se instalaron después en las urbes Ita-

lianas más florecientes, donde contribuyeron a la difusión de las

obras clásicas actuando como copistas del griego. El trabajo de los

emigrantes bizantinos durante el siglo XV se convirtió en un podero-

so estimulo del florecimiento del estudio de la literatura y la ciencia

de la Antigüedad clásica propio del humanismo renacentista.

57

El signo de los nuevos tiempos en los más prósperos estados

italianos fue el interés por la cultura helénica, y por acceder a ella de

primera mano, a partir de los manuscritos originales en griego. Así

desde el Estado Pontificio, el importante patronazgo del papa Nicolás

V, siendo él mismo un hombre de vasta erudición, contribuyó mucho

al avance del humanismo. Hasta su pontificado, comenzado en 1447,

el nuevo movimiento intelectual se había considerado en Roma con

suspicacia, como una posible fuente de cisma y herejía por su interés

en el paganismo. Nicolás V, sin embargo, consideró el humanismo

como un medio de engrandecer la capital de la cristiandad, y no dudó

en emplear en 1447 al rebelde humanista romano Lorenzo Valla, po-

lémico filólogo y escritor mal visto por los anteriores papas y conside-

rado más tarde precursor de Martín Lutero, para traducir al latín tex-

tos griegos, tanto cristianos como paganos. Después de la caída de

Constantinopla, envió emisarios a oriente para atraer estudiosos, y

enriqueció con manuscritos rescatados a los turcos la Biblioteca Vati-

cana, que fundó con la valiosa colaboración del humanista Enoch de

58

Ascoli, su agente a cargo de recolectar manuscritos por toda Europa,

y del erudito organizador Giovanni Tortelli. En la nueva biblioteca,

que llegó a tener nueve mil volúmenes, el papa protegió a los erudi-

tos y letrados que vinieron a estudiar en ella.

Giorgio Valla

Casi un siglo después de haber desaparecido de la biblioteca

papal durante el Cisma, los diligentes servidores del papa Nicolás V

detectaron el códice de León en la propia Roma. Aunque la antiquí-

sima recopilación arquimediana se encontraba seguramente en po-

der de algún personaje demasiado influyente, el profesor en Mantua

y Roma Jacobo de Cremona pudo, a instancias del Papa, hacer en

1450 una nueva traducción latina. Esta traducción no incluyó el im-

portante tratado “Sobre los cuerpos flotantes”, porque le faltaba a

Cremona el definitivamente perdido códice Mechanicorum. En 1468,

el astrónomo y matemático alemán Johann Müller “Regiomontano”

hizo una copia de la traducción latina de Jacobo de Cremona, que

confrontó con otra “vieja copia”, probablemente la traducción latina

de Moerbeke. El preciado códice de León apareció unos años des-

pués en Venecia, del que encargó una copia el erudito cardenal de

origen bizantino Basilios Bessarión, colaborador de Nicolás V, que al

parecer pudo usar Regiomontano para comprobar su propia copia

latina.

No se conoce quien poseyó por aquellos años del siglo XIV el

códice de León, copiado primero en Roma y luego en Venecia. Solo

a finales de siglo se aclara que el preciado original griego queda en

59

poder del humanista Georgio Valla, primo del famoso Lorenzo Valla,

por entonces secretario papal. Con el prestigio de haber traducido al

latín los “Elementos” de Euclides, Georgio Valla fue contratado en

1485 en Venecia como profesor de griego por el senado de la Repú-

blica. Siendo ya un eminente hombre de letras, comenzó a interesar-

se en la ilustrada corte veneciana por el estudio de las ciencias,

cuando se le presentó la oportunidad de adquirir el códice de León,

cosa que realizó seguramente sin escatimar en el precio, pues un

hombre capaz de apreciar el raro mérito de la obra. Del valioso códi-

ce, que pasó a ser conocido como “códice Valla”, tradujo Giorgio al

latín algunas partes y las incluyó en su libro “De expetendis et fu-

giendis rebus” (Lo que hay que buscar y de lo que hay que huir), que

publicado póstumamente en Venecia en 1501, fue la primera enci-

clopedia impresa de la historia. Giorgio Valla pareció estar dispuesto

a realizar una edición latina del códice completo, con todos los traba-

jos de Arquímedes y los comentarios de Eutocio, pero nunca la llevó

a efecto. Quizás para atenuar de alguna manera el sentimiento por la

frustración del proyecto, permitió en 1491, a pesar del celo con que

guardaba su tesoro, que el brillante humanista y filólogo Angelo Poli-

ziano mandara hacer una copia en Florencia para la biblioteca de la

familia Medici. Al fallecer Valla en 1500, el “códice Valla” fue compra-

do en 800 piezas de oro por el príncipe de la ciudad de Carpi Alberto

Pío, eminente renacentista, educado por su célebre tío Giovanni Pico

della Mirandola e íntimo de los papas Medici. Del príncipe obtuvo el

rey de Francia, Francisco I , una copia para su biblioteca de Fontai-

nebleau. Alberto Pío legó el “códice Valla” en 1530 a su sobrino el

cardenal humanista y patrón de las artes Rodolfo Pío , en cuya pose-

60

sión se sabe que permaneció al menos hasta 1544, año en que

permitió hacer una copia para la biblioteca del ilustrado cardenal y

diplomático francés Georges dÁrmagnac.

Cuando Rodolfo Pío falleció, en 1564, no figuraba referencia

alguna del “códice Valla” en el catálogo de su biblioteca. Así pues, en

algún momento entre 1544 y 1564, desapareció el arquetipo original

de la obra de Arquímedes, sin que nunca más se haya sabido de él.

Este fue el fin del trayecto del antiguo texto griego, salido hacía qui-

nientos años de las laboriosas manos de los alumnos de León el

Geómetra, en la por entonces imperial Constantinopla. I La desapari-

ción del códice de León no tuvo consecuencias tan duraderas como

las del códice Mechanicorum pues del “códice Valla” quedaron, por

fortuna para los estudiosos, las citadas copias: de Bessarion en Ve-

necia6; de Angelo Poliziano en Florencia7; de Francisco I en Fontai-

nebleau8 y de Georges d´Armagnac en París9

Los historiadores consignan hasta trece copias más proceden-

tes de estos cuatro códices, la mayoría hechas durante el siglo XVI.

Todos estos manuscritos fueron de gran importancia para la difusión

de los trabajos de Arquímedes en Europa, pero no para el completo

conocimiento de su obra. Sólo las más fiables primeras cuatro co-

pias, junto con la fiel traducción latina de Moerbeke, permitieron en la

posteridad reconstruir en gran parte los contenidos de los originales

griegos.

61

Las primeras ediciones impresas Cuando se realizó el último manuscrito de estas cuatro copias

maestras, hacía ya casi un siglo que la paciente labor manual de los

copistas, había dejado de ser el vehículo principal de transmisión de

cultura y conocimiento. Hasta mediados del siglo XV, todavía se di-

fundían los libros lenta y trabajosamente, por medio de las copias

manuscritas de monjes y frailes dedicados exclusivamente a la re-

producción caligráfica de ejemplares, destinados al provecho y delei-

te de los poderosos por encargo del propio clero o de reyes y nobles,

pero el invento que Johannes Gutemberg, un orfebre de la ciudad

alemana de Mainz, desarrolló en los años 1440 iba a cambiar radi-

calmente este estado de cosas. Se trataba de una tecnología de pro-

ducción de textos sobre papel mediante la impresión de páginas

compuestas con tipos móviles, es decir con letras moldeadas inter-

cambiables. Este invento facilitó la producción de libros en masa, y

con ello su abaratamiento y expansión a un público más amplio. Rá-

pidamente, la impresión se extendió desde Alemania por medio de

impresores emigrantes germanos y de los aprendices extranjeros

que volvían a sus países. Antes del fin del siglo XV había ya un buen

número de imprentas funcionando en toda Europa, Junto con el cre-

ciente número de manuscritos en griego, se habían acumulado nu-

merosos manuscritos latinos, de mayor importancia práctica aún para

el desarrollo de la ciencia occidental, de forma que pronto aparecie-

ron numerosas versiones impresas de trabajos aislados de Arquíme-

des en griego y latín,

62

La edición príncipe de las obras de Arquímedes en griego y

latín se publicó en Basilea en 1544, dirigida por el geómetra y teólogo

protestante Thomas Gechauff “Venatorius”. El texto latino se basó en

la ya citada copia hecha por Regiomontano, mientras que el texto

griego se compuso a partir de una copia del “códice Valla” con inter-

polaciones basadas en la traducción latina de Moerbeke, procedente

de Nuremberg10, donde fue llevada desde Roma por el prominente

renacentista alemán Wilibald Pirckheymer. Es posible que este códi-

ce también fuera usado por el matemático lombardo Niccolo Fontana

“Tartaglia” para su edición latina de obras de Arquímedes, publicada

en Venecia en 1503, donde para las traducciones de “Sobre la cua-

dratura de la parábola”, “Sobre la medida del círculo” y “Sobre los

cuerpos flotantes” se limitó al parecer a reproducir literalmente el

trabajo hecho por Moerbeke. Quizá la mejor de las traducciones al

latín de Arquímedes publicadas en el siglo XVI sea la del humanista y

matemático Federico Commandino, publicada en Venecia en 1558:

más técnicamente correcta que la de Moerbeke. Su traducción, con-

teniendo: “ Sobre la medida del círculo”, “ Sobre las líneas espirales”,

“Sobre la cuadratura de la parábola”, “ Sobre los conoides y esferoi-

des” y “El contador de arena”, estaba basada en la edición príncipe

de Basilea, pero también consultó el códice veneciano de Bessarión.

En 1565 Commandino publicó en Bolonia una traducción latina revi-

sada de los dos libros de “ Sobre los cuerpos flotantes”. Se distinguió

además por traducir a Euclides a partir de auténticos textos griegos,

cortando así con la larga tradición de enseñar la geometría euclidia-

na desde traducciones latinas tomadas de fuentes árabes. En 1615,

el matemático francés David Rivault publicó en París una nueva edi-

63

ción basada en el códice de Francisco I de Fontainebleau, con tra-

ducción latina y notas.

64

65

ARQUÍMEDES REDIVIVO Revolución Científica En la extraordinaria floración intelectual desarrollada en la Eu-

ropa Occidental en el siglo XVII, que fue la llamada Revolución Cien-

tífica, una rama especialmente brillante fue el desarrollo de las ma-

temáticas. Con parejo interés al que habían puesto los humanistas

del Renacimiento en la literatura y el arte grecorromano, los ojos de

los sabios se volvieron hacia los logros científicos de la antigüedad

clásica, hacia los importantes capítulos de la historia de la ciencia

matemática en Grecia. A tono con la creciente actividad científica se

produjeron nuevas traducciones en lenguas vernáculas de las ver-

siones latinas de los trabajos de Arquímedes, que pretendían mejorar

las interpretaciones de la ciencia contenida en éstas. Al avanzar en la

recuperación y divulgación del legado clásico griego, los matemáticos

encontraban enseñanza e inspiración, aunque las dificultades halla-

das en la comprensión de los geómetras antiguos eran a menudo

causa de bastante frustración, pese a la ya existente ayuda de los

modernos avances del álgebra y el cálculo numérico.

Los estudiosos de Arquímedes se preguntaban cómo había

podido concebir éste las impresionantes hipótesis sobre cuadraturas

y cubaturas, cuya certeza demostraba luego rigurosamente mediante

el prolijo método de exhausción. Sus determinaciones de las áreas

66

de un segmento parabólico y una espiral, o del volumen de una esfe-

ra y un segmento de esfera equivalen a modernas integraciones, pe-

ro logradas mediante recursos netamente geométricos. Usualmente,

obtiene el resultado después de una larga serie de proposiciones

preliminares, todas las cuales son eslabones en una cadena de ar-

gumentos laboriosamente forjada dirigida a un determinado propósi-

to. El estudioso encuentra en los desarrollos geométricos de Arquí-

medes proposiciones cuya relación con lo tratado no parece obvia a

primera vista, pero que aparecen para dirigirlo a la solución del pro-

blema planteado, mediante un sistema tan racionalmente sólido que

finalmente la dificultad del desarrollo apenas se aprecia.

Se comprende que el ilustrado Plutarco, a propósito del dis-

curso arquimediano, comentara en su siglo: “No es posible hallar en

geometría preguntas más difíciles y engorrosas, o explicaciones más

simples y lúcidas”. Sin embargo, este elogio se revela como una sim-

ple exageración retórica, cuando el historiador a continuación agrega

que, aunque la naturalidad con que cada paso de la cadena de razo-

namientos se relaciona con el siguiente induce al lector a creer que

cualquiera podía haber descubierto las relaciones por si mismo, éste

a menudo se queda sin tener idea de como intuyó Arquímedes que

tales pasos le llevarían a la solución deseada, o sin saber qué cálcu-

los o razonamientos apoyan la certeza de alguna de las proposicio-

nes empleadas. Así, por ejemplo, el matemático John Wallis, cuando

en 1678 preparaba en Oxford una edición de trabajos de Arquíme-

des, al acometer la traducción del griego al latín de “Sobre la medida

del círculo” encontró que Arquímedes introducía en sus razonamien-

tos la expresión correcta de la raíz cuadrada de tres, sin dar pista

67

alguna de cómo la había obtenido. A pesar de ser, él mismo, criptó-

grafo oficial del Parlamento, no pudo determinar el origen de las frac-

ciones empleadas para calcularla11 Quizás fuera este chasco la gota

que colmó el vaso de su paciencia, lo que le llevo a comentar un tan-

to agriamente: “Es como si cubriera a propósito las huellas de sus

pesquisas, escatimando a los que le sucedan el secreto de su méto-

do de búsqueda, al tiempo que deseara obtener de ellos la aproba-

ción de sus resultados. No sólo Arquímedes sino casi todos los anti-

guos, ocultaron tanto sus métodos de análisis a la posteridad, que

ahora la mayoría de los matemáticos encuentran más fácil inventar

uno nuevo método que desentrañar el viejo”.

Desde la Baja Edad Media al Renacimiento, al irse conociendo

más y más los tratados arquimédicos, cobró cuerpo la sospecha de

que para llegar a sus sorprendente resultados, Arquímedes había

dispuesto de alguna clave especial de investigación. Se trataría de

un recurso “milagroso” capaz de haberle sugerido los medios estric-

tamente matemáticos para establecer las leyes estáticas e hidrostáti-

cas, y auxiliarlo a concebir la forma en que demostraba geométrica-

mente mediante el método exhaustivo sus inéditas cuadraturas y

curvaturas. Lo malo era que tal “método milagroso”, no aparecía ex-

plicado en ninguna parte de la obra conocida. En Cambridge, el teó-

logo y catedrático de matemáticas Isaac Barrow, quien en 1675

también había publicado en Londres una edición latina de los traba-

jos de Arquímedes, escribió a este propósito: “Al no poder imaginar

qué ingenio mortal pueda llegar a tanto mediante la (sola) virtud del

razonamiento, estoy seguro que Arquímedes se vio ayudado por el

68

Álgebra, a la que conocía en secreto y que ocultaba de forma estu-

diada”.

La divulgación de los escritos de Arquímedes con el aumento

de la edición de sus traducciones latinas, daba pábulo a este senti-

miento de intriga. Se sabía que al final de la introducción de la carta

dirigida al matemático Dositeo adjunta a la Cuadratura de la parábo-

la, Arquímedes había escrito: “…Y he decidido publicar el método

una vez perfilado para que de a pensar algunos que al referirme a él

no hablaba por hablar”. Lograr la total comprensión de los originales

planteamientos de este tratado de la cuadratura, incluido por Tarta-

glia en su edición latina de los escritos arquimedianos en 1503, resul-

tó un poderoso acicate de las espectativas de los matemáticos rena-

centistas de hallar por fin la clave oculta, cuya publicación había

anunciado el propio autor. Pero Arquímedes se había referido a su

deseo hacía muchos siglos y, en las obras que llegaban a manos de

los hombres de la modernidad, salidas de fuentes tan antiguas como

el papiro primigenio donde un día expresó la promesa, el ansiado

método especial siguió sin aparecer, quizás perdido para siempre en

la incontrolable marejada de la historia.

El libro de Torelli

Giuseppe Torelli, nacido en Verona en 1721, fue un enamora-

do de las matemáticas y las bellas letras. Después de doctorarse en

jurisprudencia en la Universidad de Padua, heredó una considerable

fortuna al regresar a la ciudad natal. Su desahogada posición y con-

siderable talento le permitió adquirir dominio del griego, el hebreo y el

69

latín, y aprender francés, español y sobre todo ingles, de cuya litera-

tura era al parecer un entusiasta admirador. También se distinguió

por sus conocimientos de música, literatura y arquitectura, y realizó

profundas investigaciones en matemáticas. Como experto en griego

y antigüedades, Torelli acometió la tarea de reunir y traducir los dis-

persos manuscritos de Arquímedes. Llegó a culminar una amplia re-

copilación crítica con la intención de publicarla en Italia, según mani-

festaba en el prefacio que tenía preparado para el futuro libro. Era su

principal obra, pero quizás la perspectiva del considerable gasto eco-

nómico implicado o cierta indecisión de acometer las tediosas co-

rrecciones finales, le hizo retrasar la edición. Mientras tanto, hubo

contactos con la Universidad de Oxford por mediación del aristocráti-

co erudito y matemático inglés Philip Standhope para editar el libro

en la imprenta Clarendon.

A pesar del patrocinio de la prestigiosa universidad inglesa,

Torelli dudaba en confiar la publicación a manos extrañas, y siguió

retrasando el proyecto. Falleció Torelli en 1781 sin haberse decidido

y fue un amigo quien, creyendo interpretar las verdaderas intencio-

nes del extinto polímata, hizo donación a Oxford en calidad de alba-

cea de todos los papeles, incluidos los bloques de madera sobre los

que ya se habían grabado los diagramas. Los materiales completos

fueron puestos en manos del astrónomo y matemático escocés

Abraham Robertson, a cuyo cuidado se puso el control de la edición.

En el prefacio de su libro, Torelli, tras un breve resumen de la vida de

Arquímedes, razonaba la necesidad de una nueva edición que reme-

diara el efecto adverso sufrido por los originales griegos en los prime-

ros siglos de la era cristiana, cuando tantos manuscritos se perdie-

70

ron, y los pocos originales supervivientes se dispersaron en sucesi-

vas transcripciones, hechas por hombres ignorantes unas veces, y

otras más preocupados de la ganancia que atentos a la precisión.

Sabía que en Bizancio en el siglo V, un manuscrito recopilatorio muy

completo perteneciente a Isidoro de Mileto, uno de los arquitectos de

Santa Sofía, había sido copiado por su discípulo Eutocio de Escalón,

y que una de las copias de este arquetipo original desaparecido se

usó para la primera publicación impresa de las obras de Arquímedes,

hecha en Basilea en 1544. Ahora se proponía preparar un nuevo li-

bro mejor que el de Basilea, pero utilizándolo como base, pues las

otras publicaciones que pasaban por ser recopilatorios de originales

de Arquímedes, no eran más que traducciones de trabajos aislados.

Para ello, Torelli realizó una nueva traducción latina del total, e intro-

dujo una diferente distribución de los tratados. Robertson respetó las

ideas de Torelli, y empleó un diseño similar al de las obras de Eucli-

des y de Apolonio publicadas anteriormente en Oxford. Para una me-

jor lectura, los textos griegos y latinos se imprimieron en columnas

opuestas en la misma página; y los comentarios de Eutocio se situa-

ron inmediatamente después de las partes a las que se referían. En

el volumen impreso en Clarendon de esta forma en 1782, se incluye

una introducción previa al prefacio de Torelli, donde se da cuenta de

la forma en la que la Universidad adquirió los papeles del sabio ita-

liano papeles, seguida de una breve biografía laudatoria escrita por el

abad Clemente Sibiliati, profesor de la Universidad de Padua.

Después del cuidado libro de Torelli, aún se publicó otra edi-

ción completa de Arquímedes, A principios del siglo XIX, durante el

dominio de Napoleón en el norte de Italia y los Estados Papales, el

71

erudito François Peyrard cobró fama al descubrir entre los manuscri-

tos históricos sustraídos como botín de guerra de la Biblioteca Vati-

cana, la versión más antigua de la obra de Euclides. Tras ser nom-

brado profesor del Liceo Bonaparte, tradujo y comentó las obras de

Arquímedes, publicándolas en dos volúmenes en París en 1808. Li-

bros como el de Torelli o el de Peyrard pretendían contener la ver-

sión más completa y fiel del trabajo del sabio de Siracusa, pero aún

seguía faltando el texto griego original de “Sobre los cuerpos flotan-

tes” desaparecido desde el siglo XIV.

Una solución pareció llegar unos años después, derivada de la

brillante actividad salvadora de los clásicos del filólogo cardenal An-

gelo Mai, que trabajó primero en Milán en 1813 como encargado de

la biblioteca Ambrosiana y como director la Biblioteca Vaticana desde

1819. Mai ganó reputación europea por publicar por una notable se-

rie de textos antiguos previamente desconocidos. Su fama se basó

72

sobre todo, en la habilidad en la lectura de manuscritos medievales

en pergamino que habían sido borrados y vueltos a usar, empleando

productos químicos para leer el texto subyacente. En 1828, Mai cre-

yó haber descubierto en dos manuscritos de la biblioteca del Vatica-

no el original de Sobre los cuerpos flotantes. Publicó varios fragmen-

tos como pertenecientes al libro primero de ese trabajo arquimedia-

no, y durante un tiempo fueron considerados como parte auténtica de

la obra, pero más tarde pudo establecerse que los fragmentos eran

sólo intentos de reconstrucción del texto griego, desde un texto latino

manipulado en el siglo XVI por un académico desconocido.

73

EL PALIMPSESTO Descubrimiento Durante siglos, muchos copistas bizantinos, judíos, árabes y

europeos, trabajando bajo el patrocinio de hombres poderosos a me-

nudo eclesiásticos, se habían esforzado sobre los vetustos manuscri-

tos griegos, esforzándose en exponer en latín o en las nacientes len-

guas vernáculas los hallazgos de Arquímedes. En los albores del

siglo XX, una cantidad notable de documentos arquimedianos repo-

saba en las bibliotecas europeas después de pasar por las manos de

grandes señores, de codiciosos tratantes o falsificadores, moviéndo-

se por los entresijos y altibajos de la historia. Los únicos documentos

genuinos disponibles procedían del manuscrito arquetipo conocido

en el Renacimiento como el “códice Valla”. Pero en este códice falta-

ban bastantes trabajos, de cuyo contenido sólo se conocía el título o

apenas unas líneas por referencias de geómetras e historiadores de

la Antigüedad. Entre estas obras supuestamente perdidas descolla-

ban los dos libros originales de “Sobre los cuerpos flotantes”, el tra-

bajo arquimediano precursor de la moderna hidrostática del cual, tras

el fiasco de Maii, sólo seguía conociéndose la vetusta traducción lati-

na de Moerbeke.

Se lamentaba sobre todo la ausencia de algún manuscrito so-

bre el especial método de investigación, al que el propio Arquímedes

74

se había referido en la carta a Dositeo. La existencia de tal manuscri-

to estaba atestiguada por la Suda, una conocida enciclopedia bizan-

tina del siglo X, donde muchas entradas, a menudo procedentes de

compiladores cristianos medievales, se refieren a fuentes antiguas

irremisiblemente perdidas. En la Suda, preparada durante la deca-

dencia de la ciencia bizantina, no hay ninguna entrada especial sobre

Arquímedes aunque su nombre aparece en varias entradas en rela-

ción con dispositivos mecánicos, pero en la entrada sobre el astró-

nomo Teodosio de Bitinia , se revela que éste es autor de un comen-

tario sobre un método especial de Arquímedes. También existían

unas breves citas a un peculiar método arquimediano en el tratado

“Métrica” del ingeniero y matemático del siglo I Herón de Alejandría.

Así era la situación cuando el académico experto en temas bí-

blicos Constantin von Tischendorf estuvo en Constantinopla en 1840

durante un viaje por Turquía y Oriente Medio en busca de textos

griegos cristianos antiguos. En un libro con sus experiencias del viaje

publicado pocos años después, refiere una visita al Metochion o su-

75

cursal en Constantinopla de la Iglesia del Santo Sepulcro de Jerusa-

len, en el distrito Feder del Cuerno de Oro, habitado por muchos de

los griegos de Constantinopla. En la biblioteca del monasterio pudo

examinar un vetusto libro de oraciones, en el cual su experiencia con

palimpsestos le permitió distinguir huellas subyacentes de un texto

de matemáticas. Aunque la materia no estaba relacionada con sus

pesquisas religiosas, los signos le intrigaron y se atrevió a apoderar-

se de una hoja, que se llevó de regreso a casa. Esta hoja de palimp-

sesto fue vendida en 1876 por sus herederos a la Universidad de

Cambridge, donde iba a permanecer siendo una incógnita durante

largos años.

En 1899, la comunidad griega ortodoxa le encargó al acadé-

mico Atanasio Papadopoulos-Kerameus preparar un catálogo de los

manuscritos situados en escuelas, iglesias y monasterios pertene-

cientes al Patriarcado de Jerusalén. Atanasio emprendió la tarea con

los manuscritos de la biblioteca del Metochion, y al registrar el libro

del que Tischendorf había tomado una hoja, vio que era un palimp-

sesto y se le ocurrió transcribir unas líneas del texto subyacente. El

libro presentaba una inscripción del siglo XVI indicando que había

pertenecido al monasterio de San Sabas12, situado en el desierto de

Judea no lejos de Belén. Allí debió permanecer durante siglos, segu-

ramente muy usado por los monjes a juzgar por las muchas gotas de

cera sembradas sobre sus sobadas cubiertas, hasta principios del

siglo XIX, cuando fue trasladado, junto con otros manuscritos anti-

guos al Metochion de la Iglesia del Santo Sepulcro, para salvaguarda

bajo la jurisdicción del Patriarcado de Constantinopla.

76

El libro hubiera seguido ignorado en los polvorientos anaque-

les del monasterio, si Constantinopla no se hubiera convertido desde

finales del siglo XIX en un importante terreno de exploración de los

filólogos e historiadores europeos. En 1906, Johan Ludvig Heiberg

visitó la ciudad, y al revisar el catálogo de la biblioteca del Metochion

acertó a leer las líneas matemáticas transcritas por Papadopoulos-

Kerameus adjuntas a su descripción del libro de oraciones. Fue una

extraordinaria coincidencia que aquellos pocos arcaicos signos semi-

ocultos quedaran a la vista de Heiberg, profesor de filología clásica

de la Universidad de Copenhage, quizás el único hombre en el mun-

do preparado para identificarlos, pues no en vano había estudiado y

publicado la obra de Arquímedes veintiséis años atrás. El sabio da-

nés reconoció en seguida que aquel fragmento pertenecía al tratado

“Sobre la esfera y el cilindro”. Un examen más detallado le convenció

de que el libro todo era en realidad un palimpsesto. Aquel mismo día

escribió a un amigo y colega comunicándole que acababa de descu-

brir un nuevo manuscrito que podría contener trabajos perdidos de

Arquímedes. Heiberg se daba cuenta de las dificultades a las que se

enfrentaría para descifrar el texto oculto. “Será muy difícil de leer,

“escribió,”pero estoy empeñado en hacerlo, aún cuando si eso signi-

fica dedicar menos tiempo a Italia.” Heiberg se esforzó en transcribir

cuanto pudo, trabajando precariamente en la umbrosa biblioteca, pe-

ro estancia en la capital turca se agotaba y pronto se dio cuenta de

que no podría terminar el trabajo en el monasterio.

77

Trasladar la obra era impensable, pero al menos logró, des-

pués de laboriosas gestiones, que los monjes le permitieran tomar

fotos de todas las páginas del manuscrito. De regreso a Copen-

hague, Heiberg acometió sobre las fotos la titánica labor de arqueo-

logía matemática de transcribir letra a letra con ayuda de una simple

lupa el apenas discernible texto arquimediano, y tratar además de

restablecer el orden correcto de las hojas. Dos años después, Hei-

berg logró una ayuda económica universitaria en Copenhage, y re-

gresó a Constantinopla para completar el estudio del manuscrito una

vez obtenido el permiso del Patriarca de Jerusalen.

Aquel palimpsesto resultó ser el más antiguo manuscrito exis-

tente de Arquímedes, y contenía no menos de siete de sus tratados,

El sensacional descubrimiento de Heiberg se produjo, cuando hacía

tiempo que la documentación textual de la obra de Arquímedes se

consideraba definitivamente agotada. Con el inesperado hallazgo

78

quizás podría finalizar un periodo de siglos de incertidumbre en la

interpretación de la obra del genio de Siracusa, cuando ésta parecía

no tener ya solución. La noticia no solo entusiasmó al reducido círcu-

lo de historiadores y matemáticos familiarizados con el tema, sino

que saltó a la prensa internacional pues, aunque curiosamente fue

casi ignorada por el Times londinense, apareció en la primera plana

del New York Times en el verano de 1907 en un artículo bastante

bien informado, donde se especulaba incluso con que el manuscrito

hallado quizás pudiera contener “el trabajo sobre notación que se

supone escribió Arquímedes y que, cuando se perdió, significó la

pérdida para el mundo del sistema que inventó”. Entre 1910 y 1914,

Heiberg publicó transcripciones y fotos de las páginas del Palimpses-

to, pero su trabajo quedó interrumpido por el inicio de la Primera

Guerra Mundial.

El palimpsesto explorado por Heiberg era un libro de plegarias

bizantino en forma de códice compuesto de hojas de pergamino, que

contenía debajo del texto litúrgico las huellas de obras de Arquíme-

des y de otros autores. Por la forma de la escritura, Heiberg dedujo

que el libro fue hecho en el siglo XIII, y en Jerusalen porque muchas

de las plegarias eran específicas de los ritos propios de la Iglesia

jerosolimitana de la época.

En el curso de su agotador examen Heiberg logró descifrar en

el Palimpsesto fragmentos de los tratados “Sobre la esfera y el cilin-

dro”, “Sobre las espirales”, “Sobre la medida del círculo” y “Sobre el

equilibrio de los planos”. Estas eran obras ya conocidas, copiadas

durante el Renacimiento del códice de León, llamado por entonces

“códice Valla”, antes de que desapareciera a mediados del siglo XVI

79

de la biblioteca de Rodolfo Pío. Aún así, el descubrimiento del pa-

limpsesto de Arquímedes iba a contribuir considerablemente a mejo-

rar el conocimiento de las obras del sabio de Siracusa, al brindar la

posibilidad de la comparación entre diferentes copias de los mismos

trabajos. Aparte de estas obras ya conocidas, el Palimpsesto conte-

nía una considerable porción del trabajo “Sobre los cuerpos flotan-

tes”, cuyo original griego se había considerado perdido desde me-

diados del siglo XIV y que sólo había sobrevivido en la traducción

latina de Moerbeke13, y la única versión griega existente del Stoma-

quion, un corto trabajo del que, la única fuente era un manuscrito en

árabe encontrado en Berlín en 1899, conteniendo un breve pasaje

que afirmaba derivarse de un trabajo de Arquímedes sobre el Stoma-

chion, de que el historiador holandés de la ciencia E. J. Dijksterhuis,

después de estudiarlo, opinó que se trataba de una especie de juego

rompecabezas.

Pero, con mucho, lo más interesante de todo fue hallar, a con-

tinuación de una carta dirigida a Eratóstenes, la mayor parte de un

trabajo desconocido llamado El método de los teoremas mecánicos.

El pequeño pero denso tratado, que pasó más tarde a conocerse en

la historia de la ciencia abreviadamente como el Método, aparece

presentado por el propio Arquímedes como su principal medio de

investigación. Por fin surgía la revelación esperada durante siglos por

los matemáticos, la clave que iba a permitir el acceso de los historia-

dores al sustento oculto de las creaciones de Arquímedes.

80

Publicación El profesor Heiberg era el principal historiador de la obra de

Arquímedes antes de descubrir el Palimpsesto,. Cuando editó en

Leipzig en 1880-1 en dos volúmenes los textos griegos de Arquíme-

des tenía sólo 26 años, Aunque aún consideraba auténticos los ma-

nuscritos romanos del cardenal Maii, el trabajo de Heiberg fue consi-

derado como la obra definitiva que venía a sustituir a la edición oxo-

niense de Torelli, la cual se había considerado hasta entonces como

la más completa obra en griego sobre los trabajos del sabio de Sira-

cusa. AsÍ pues, cuando el historiador de las matemáticas de la anti-

gua Grecia Thomas. L. Heath publicó en 1897 en Cambridge la ver-

sión inglesa en notación moderna de los trabajos completos de Ar-

químedes, escribió en su prefacio que la única edición del texto grie-

go satisfactoria disponible entonces era la de Heiberg. Como mate-

mático además de especialista en la ciencia antigua, Heath debía

apreciar en todo su valor el esfuerzo hecho por el ilustre danés, sien-

do filólogo pero no matemático. Él conocía mejor que nadie las mu-

chas dificultades implicadas en la traducción e interpretación de los

particularmente intrincados desarrollos geométricos en los textos de

Arquímedes, donde todo se debía resolver mediante simple aritméti-

ca de proporciones en ausencia de cualquier planteamiento algebrai-

co, empleando además el incómodo sistema numérico no posicional

basado en letras14, y el complicado sistema egipcio de expresar las

fracciones.15

Pero no mucho después de que Heiberg publicara el primer

volumen de su obra supuestamente definitiva, se descubrió un nuevo

81

e importante documento arquimediano. En 1884 apareció en Roma el

original de la traducción latina Moerbeke del siglo XIII, con lo que se

hacía posible efectuar correcciones de posibles errores en las ver-

siones existentes de Sobre los cuerpos flotantes. Luego fue el propio

Heiberg quien, con el descubrimiento del Palimpsesto, arrojó nueva

luz sobre el conjunto de la obra del genio de Siracusa. El interés de

Heiberg se centró naturalmente en el único tratado desconocido en el

Palimpsesto, que además parecía contener el secreto de Arquíme-

des. La primera publicación del Método, en 1907, traducido por Hei-

berg y comentado por su amigo y compatriota, el matemático Hiero-

nymus G. Zeuthen, constituyó un espléndido ejemplo de fructífera

colaboración entre un humanista y un científico. El resultado apoyaba

brillantemente el enfoque de Zeuthen como historiador de las mate-

máticas, porque mostraba que los antiguos habían estado en pose-

sión de un método infinitesimal intuitivo, como él había supuesto en

base a los análisis matemáticos de las fuentes supervivientes.

Los nuevos hallazgos obligaron a Heiberg a preparar una nue-

va edición corregida y aumentada de su obra. En 1913 publicó en

Leipzig la nueva versión del texto griego de las obras de Arquímedes

tras el examen del Palimpsesto, para lo que hubo de reconstruir al-

gunos párrafos ilegibles o lagunas del manuscrito. Esta segunda y

definitiva edición de Heiberg, incluye el Método, donde Arquímedes

expone al fin el recurso experimental que había omitido en sus res-

tantes escritos científicos, y todas las partes de los dos libros de So-

bre los cuerpos flotantes que pudo restaurar a partir del texto griego

original, así como el fragmento del Stomachion. Por otra parte, el

hallazgo del Palimpsesto hizo también necesario que el historiador

82

inglés Heath publicara en 1912 un suplemento a su libro, con el Mé-

todo según la edición de Heiberg y Zeuthen de 1907. La obra revisa-

da de Heath contribuyó mucho a mejorar el conocimiento de Arquí-

medes por parte de los matemáticos, físicos e historiadores de habla

inglesa.

83

DEL CÓDICE CON EL MÉTODO AL PALIMPSESTO Hasta principios del siglo XX, el conocimiento de la obra de

Arquímedes se había basado sólo en los dos códices producidos en

la floreciente Constantinopla bizantina del siglo IX, el códice de León

y el códice Mechanicorum16. Con la aparición del palimpsesto de Ar-

químedes entra en juego una tercera fuente rescatada por la sabidu-

ría y tenacidad de Heiberg: el códice con el Método. Es posible que

los papiros conteniendo el Método fueran incluidos en el siglo VI por

Isidoro de Mileto en alguna otra recopilación de las obras de Arquí-

medes, distinta de la que se usó en el siglo IX en la escuela de Mag-

naura para crear ambos códices, puesto que pasaron a la posteridad

sin el Método. La paleografía ha permitido determinar que el códice

con el Método fue escrito en la segunda mitad del siglo X, segura-

mente en Constantinopla, el único lugar con una tradición de copia y

conservación de viejos textos, continuada desde la Antigüedad hasta

la Edad Media. Así pues, quizás un experto escriba de Constantino-

pla, probablemente formado en la tradición de la escuela de León el

Geómetra, creara en los años 950 un códice con la antigua recopila-

ción de Isidoro que incluía el Método. Durante la decadencia bizanti-

na, a principios del siglo XII, los códices de León y Mechanicorum

salieron para siempre de Constantinopla con destino a la corte nor-

manda de Palermo en Sicilia. Sin embargo, el códice con el Méto-

do17, el más importante legado del gran matemático, por alguna

84

razón hoy desconocida, permaneció en alguna biblioteca de la capi-

tal del Imperio.

Por lo tanto, el códice con el Método estaba en Constantinopla

en 1204, cuando la ciudad fue salvajemente saqueada por los mer-

cenarios latinos de la Cuarta Cruzada. Cuando las turbas invadieron

palacios y templos destruyéndolo todo, alguien lo descubrió. Pudo

ser por fortuna algún cruzado con cierta instrucción, quien juzgó con-

veniente salvar el libraco por si podía sacar de él algún provecho, en

vez de arrojarlo en una de las muchas hogueras donde ardían miles

y miles de preciosos manuscritos, alumbrando la ciudad en aquella

triste noche. Este desconocido guerrero debió ser uno de los pocos

miembros de la Cruzada que logró llegar después a Tierra Santa,

llevando el códice en su equipaje como una parte más del botín ob-

tenido en la capital bizantina. Al no encontrar en todo Jerusalen nadie

que apreciara el extraño libro, seguramente lo malvendió como un

trasto inútil a unos monjes copistas.

85

El códice con el Método permaneció unos años en un rincón

del escritorio monacal hasta los tiempos de la Sexta Cruzada, cuan-

do el levantisco Emperador y rey de Sicilia Federico II, a pesar de

haber sido excomulgado por su enemigo el papa Gregorio IX, logró

negociar una tregua con el sultán Al-Kamil, y coronarse rey de Jeru-

salen en 1229. El incruento triunfo, fruto de la astucia diplomática del

odiado Hohenstaufen, no aplacó la hostilidad contra el Emperador de

las órdenes militares y los barones cristianos partidarios de la Santa

Sede.. En tal situación de incertidumbre política, era natural que se

produjera una paralización de la actividad comercial en Tierra Santa,

y la consiguiente escasez de artículos provenientes del exterior co-

mo el pergamino. Quizás por esta la razón, el monje escriba Ioannes

Mironas, al recibir el encargo de editar un nuevo libro de oraciones,

se decidiera a reciclar los pergaminos de los manuscritos considera-

dos sin valor disponibles en el monasterio. Así fue cómo aquel libraco

adquirido al cruzado, junto con otros seis manuscritos más, fue des-

encuadernado y sus folios raspados y lavados para preparar el libro.

Los folios fueron después doblados por la mitad, para aumentar su

utilidad obteniendo cuatro páginas por folio. Mironas obtuvo así un

libro de formato mitad compuesto de 177 hojas, sobre las cuales es-

cribió en griego las oraciones y los textos piadosos. Así, el primitivo

códice con el Método fue integrado en un palimpsesto, donde los

vestigios de los textos arquimedianos y de los otros seis manuscritos

quedarían alineados de través bajo la nueva escritura.

El libro de Mironas pasó casi tres siglos en Jerusalen, hasta

que en algún momento a mediados de los años 1500 ya en tiempos

de la dominación turca otomana de Tierra Santa, un monje decidió un

86

día abandonar el conflictivo Jerusalén. Llevando consigo el libro de

oraciones, se dirigió al antiquísimo y venerable monasterio de San

Sabas. El monasterio dominando el valle de Kidron en un punto a

medio camino entre Jerusalen y el Mar Muerto, era desde muy anti-

guo un centro intelectual y espiritual. Allí sería recibido el libro como

el regalo más oportuno para incorporarlo a los oficios divinos, con

que se confortaba a los atribulados peregrinos que se acogían en las

alturas tras los ciclópeos muros del monasterio. El libro de oraciones

aportado por Mironas debió cumplir en el monasterio su piadosa fun-

ción probablemente durante mucho tiempo. En la biblioteca de San

Sabas llegó a haber hasta mediados del siglo XIX unos 1000 ma-

nuscritos, pero el libro de oraciones ya no esta allí. Por razones no

bien conocidas, quizás por desconfiar el Patriarca jerosolimitano de

la autoridad provincial otomana, el libro fue enviado desde San Sa-

bas a la Iglesia del Santo Sepulcro en Jerusalén, y trasladado a prin-

cipios del siglo XIX con otros valiosos manuscritos antiguos al Meto-

chion de Constantinopla, donde pudo verlo von Tischendorf en 1840.

El libro permaneció en el Metochion más de cincuenta años, hasta

que Papadopoulos-Kerameus descubrió que se trababa de un pa-

limpsesto y unos años después lo examinara Heiberg, el sabio desti-

nado a revelar al mundo su oculto contenido.

87

DESAPARICIÓN DEL PALIMPSESTO Las fotografías tomadas por Heiberg fueron el único testimonio

accesible del palimpsesto de Arquímedes, el cual continuó inmovili-

zado en el Metochion en la Constantinopla turca, mientras, el Imperio

Otomano se desmoronaba. En 1909, Austria-Hungría arrebató a los

turcos Bosnia-Herzegovina18 y tres años más tarde Italia hizo lo pro-

pio con Libia y las islas de Rodas y Kos; en 1912, una Liga Balcáni-

ca, formada por fuerzas de Grecia, Bulgaria, Serbia y Montenegro,

los expulsaron de Macedonia y la mayor parte de Tracia. Al indepen-

dizarse Albania el Imperio quedó limitado en Europa a la porción

fronteriza del este de Tracia. En la frontera nororiental, el amenazan-

te poder del Imperio Ruso también esperaba el desplome del enemi-

go turco. Al mismo tiempo se producían importantes movimientos

políticos en el interior del propio estado otomano.

En 1908, el Movimiento Nacional de “Los Jóvenes Turcos”,

formado por oficiales del ejército descontentos con la situación, había

tomado de hecho el poder con el objetivo de modernizar y fortalecer

el Imperio. En vísperas del conflicto mundial, Constantinopla estaba

llena de agentes alemanes en busca de la entrada en guerra de los

otomanos a su favor, cosa que quería el jefe supremo del ejército

pero no el sultán Mehmet VI. La elección de bando de los turcos es-

tuvo condicionada en primer lugar, porque era impensable una alian-

za con la Triple Entente, siendo la Rusia zarista uno de sus miem-

bros. Por otra parte, existían con el gobierno alemán intensas rela-

ciones, desde la ayuda que les habían prestado en la guerra ruso-

88

turca de 1877-78. Ya se había ya firmado un acuerdo secreto de

alianza con Alemania, cuando se produjo en 1914 la entrada en gue-

rra a favor de las Potencias Centrales, tras un conflicto naval con la

flota inglesa en los Dardanelos. Cualquier plan que pudo tener Hei-

berg para volver a Constantinopla a continuar más a fondo el trabajo

sobre el Palimpsesto fue fatalmente interrumpido por el estallido de

la Primera Guerra Mundial, que sumergió en el desastre a Europa y

Oriente Medio.

En los años de la guerra, mientras no lejos de Constantinopla

se combatía en una de las mayores y más sangrientas hecatombes

de la Historia, el Palimpsesto permaneció intacto en la abandonada

biblioteca del Metochion. Aunque fracasó en Gallipoli el intento de

invasión del ejército británico, cuyas tropas tuvieron que ser evacua-

das en 1916, Constantinopla fue finalmente ocupada en 1918 por

fuerzas británicas, francesas e italianas tras la victoria de la Entente.

Acabada la guerra, no tardó en comenzar a funcionar de nuevo el

Orient Express, la línea férrea que desde 1899 había puesto Cons-

tantinopla a tres días de París. Fue éste el camino por el cual, duran-

te la ocupación, llegaron muchas antigüedades y obras de arte orien-

tales a París y otras ciudades europeas, pero no parece que ningún

tratante o anticuario se interesara por el Palimpsesto, pues todavía

en 1920 estaba en la biblioteca del Metochion,

89

El fin de la Gran Guerra no significó para Turquía el fin de las

hostilidades. Los aliados occidentales, particularmente el primer mi-

nistro británico David Lloyd George, habían prometido a los griegos

ganancias territoriales a expensas del Imperio Otomano si entraban

en guerra a favor de la Entente. Ambicionando la soberanía sobre los

antiguos enclaves helénicos de la costa turca, en 1919 desembarca-

ron las fuerzas griegas en Esmirna, una ciudad que por entonces

tenía mayor población griega que la propia Atenas. Los griegos

avanzaron hacia el interior y tomaron el control del oeste y noroeste

de Anatolia. El avance fue parado en la batalla de Sakarya en 1921

por fuerzas del Movimiento Nacional turco. El frente griego colapsó

ante el contraataque turco de 1922, y la guerra acabó de hecho con

la reconquista turca de Esmirna. Los gobiernos griego y turco se avi-

nieron a un intercambio de poblaciones, que resultó en la casi com-

pleta eliminación de la presencia étnica griega en Turquía y una eli-

90

minación similar de la presencia étnica turca en la mayor parte de

Grecia.

El tratado de Lausana de 1923 reconoció la independencia de

la República de Turquía y su soberanía sobre Asia Menor, Constan-

tinopla y Tracia oriental. Mustafá Kemal, un jefe militar que había in-

tervenido en la victoria de Gallipoli sobre los ingleses, quedó a la

cabeza de la nueva nación surgida del fin del Imperio Otomano. La

gran Asamblea Nacional, dirigida por Kemal, abolió el sultanato, y

Mehmet VI fue expulsado de Constantinopla. Mustafá Kemal, como

primer presidente de la república estableció la nueva capital en la

ciudad de Ankara, en el interior de Anatolia, en cierta manera como

símbolo de la ruptura con el pasado. El califato, es decir la tradicional

conjunción musulmana del poder religioso y el poder político, fue

también abolido y todos los poderes pasaron a la Asamblea Nacio-

nal. En 1928 el gobierno reformista de Ataturk estableció en la nación

el alfabeto latino en lugar del vigente alfabeto árabe, e impuso des-

pués oficialmente a Constantinopla el nombre netamente turco de

Estambul.

Durante el turbulento periodo que vivió Estambul tras la guerra

greco-turca y la subsiguiente expulsión de la mayoría de las antiguas

comunidades griegas, la marejada de la guerra volvió a arrojar a las

calles de la milenaria ciudad todo tipo de valiosos objetos antiguos

donde no faltaban viejos manuscritos medievales, muchos de las

cuales procedían de griegos y armenios desarraigados por la furia

nacionalista de la nueva Turquía. Es entonces cuando desaparece el

Palimpsesto de la biblioteca del Metochion, sin que se sepa quién lo

sacó al mercado de antigüedades de la milenaria ciudad, fuera un

91

funcionario turco convertido en depredador, o algún monje con nece-

sidad de dinero para sobrevivir. Por unas u otras manos, el libro de-

bió ir a parar a alguno de los establecimientos de antigüedades esta-

blecidos en el europeizado distrito constantinopolitano de Pera.

La exótica vía férrea a Paris a través de la Europa Oriental era

un camino relativamente rápido para los traficantes y coleccionistas a

la búsqueda de oportunidades en Estambul. Uno de los asiduos del

Orient Express pudo ser el negociante parisino Louis Sirieux, quien

obtuvo de alguna forma el Palimpsesto en la década de 1920. No

está claro que Sirieux fuera propiamente coleccionista o traficante de

antigüedades. Lo cierto es que no tuvo interés alguno en exhibir el

libro, en cuanto lo guardó durante años en sótano de su casa parisi-

na. Puede que Sirieux actuara como agente o proveedor de su sue-

gro, el judío francés Solomon Guerson, comerciante de alfombras

raras y tapices antiguos. Guerson, como hombre más experimentado

92

en antigüedades, trató de vender el aparente libro de oraciones en

1932 sin lograrlo, aunque al parecer un conservador de manuscritos

llegó a darse cuenta durante el intento de venta de que se trataba de

un palimpsesto, e identificó incluso en una hoja la huella de un escri-

to matemático. Sin idea del valor del texto oculto en el Palimpsesto,

Guerson intentó a finales de los años 193019 aumentar el valor del

libro pintando sobre cuatro de las hojas, con pigmentos modernos y

panes de oro, falsificaciones de retratos medievales de los evangelis-

tas, tomando como modelos imágenes vistas en manuscritos griegos

de la parisina Biblioteca Nacional. Sin embargo, aún no se había po-

dido vender el libro cuando falleció Sirieux en 1956.

Sin posible detección de estos movimientos ocultos y tan leja-

nos al mundo académico, nadie tenía idea del paradero del extraor-

dinario Palimpsesto que el extinto Heiberg fotografiara más de cin-

cuenta años atrás. Pasaron los años sin rastro del documento, hasta

que Nigel Wilson, un experto en la Grecia antigua de la Universidad

de Oxford, se enteró en 1958 de la existencia de una página de pa-

limpsesto aislada en una biblioteca de Cambridge, y decidió exami-

narla. Iluminando la hoja con una lámpara ultravioleta pudo distinguir

las partes del texto, que con luz blanca eran ilegibles, y transcribir

casi completamente unas pocas frases con algunos términos mate-

máticos, que lo llevaron a sospechar que aquel papel era parte de un

ensayo de Arquímedes. Finalmente, Wilson descubrió con emoción

que la hoja del bibliófilo von Tischendorf, guardada allí hacía más de

un siglo, procedía en efecto del desaparecido palimpsesto de Arquí-

medes. Ahora se podría leer en el Palimpsesto todo cuanto había

resultado confuso bajo la lupa en tiempos de Heiberg, si se pudiera

93

poner el documento bajo una simple lámpara ultravioleta. Pero nadie

sabía qué había sido del Palimpsesto, ni siquiera si existía aún.

94

95

REAPARICIÓN DEL PALIMPSESTO Alrededor de 1970, el presunto libro de oraciones fue por fin

valorado por algún experto en una cantidad importante20, por lo que

Anne Guerson, la nuera de Solomon, comenzó cautelosamente a

tratar de vender el Palimpsesto en privado. Es probable que ofreciera

el manuscrito a instituciones culturales y universitarias, pero es evi-

dente que ninguna se mostró dispuesta a desembolsar la cantidad

solicitada. La poca importancia concedida al Palimpsesto se debería,

no sólo a la creencia de que ya Heiberg lo había explorado comple-

tamente, sino a su pésimo estado de conservación. Después de tres

décadas de frustrados intentos, los Guerson se decidieron a sacar el

Palimpsesto a subasta pública, arriesgándose a una disputa por la

propiedad.

A Félix de Marez, nuevo director del departamento internacio-

nal de libros de la casa de subastas londinense Christie´s, le llegó en

1991 a su oficina de París la carta de una familia que aseguraba po-

seer un palimpsesto, con un texto científico clásico de gran impor-

tancia. Félix contestó a la carta para ver el libro, y al recibir respuesta

se encontró con la sorpresa que los propietarios vivían cerca de su

residencia. Pronto se reunió con los Guerson, lo cuales le contaron

que un miembro de la familia amante del coleccionismo de antigüe-

dades, había adquirido el manuscrito durante un viaje a Estambul en

96

los años 20. El manuscrito había permanecido durante más de 80

años, en poder de la familia, pero ahora habían decidido venderlo, y

solicitaban que la empresa de Félix lo evaluara. La evaluación de

manuscritos históricos, y mucho más los palimpsestos, suele ser ex-

tremadamente difícil, Cualquier cantidad sería una simple estimación

dentro de márgenes muy dudosos, y seguramente los Guerson no

esperaban una gran cosa. Pero el dictamen del experto de Christie´s

superó todas la espectativas. Cuando descubrió, comparándolo con

las fotos publicadas por Heiberg, que el manuscrito era en verdad el

palimpsesto perdido de Arquímedes, no vaciló en tasarlo entre

800.000 y 1.200.000 dólares.

El Palimpsesto fue trasladado a Nueva York en 1998 para rea-

lizar la subasta. La noticia no tardó en filtrarse y despertar la consi-

guiente expectación entre el público opulento y especializado, sobre

todo porque el New York Times, casi pasados 90 años de haber

anunciado el hallazgo del Palimpsesto, volvió a entrar en la historia

anunciando la próxima subasta en Christie´s del manuscrito antiguo

más importante en la historia de las matemáticas. La publicidad del

evento dada por un diario de tal categoría mundial no fue, desde lue-

go, conveniente para un negocio que hubiera preferido más discre-

ción y, en efecto, la propiedad del Palimpsesto no tardó en ser re-

clamada. El día anterior al fijado para la venta, el Patriarcado Griego

Ortodoxo de Jerusalén presentó una demanda contra Christie´s, y

Anne Guerson en el tribunal federal de Nueva York, alegando ser el

legítimo propietario del Palimpsesto, pues éste había sido robado de

su biblioteca en Estambul en los años 1920.

97

Anne Guerson sólo podía argüir que su padre, Louis Sirieux,

había comprado el libro a un monje en 1929, pero no disponía de

ningún documento de venta. Tras presentar la demanda, el Patriar-

cado solicitó de inmediato una orden que invalidara cualquier venta

del libro. La asesoría jurídica de Christie´s solicitó entonces un juicio

sumario, para evitar un litigio largo con presentación de pruebas. El

tribunal lo concedió, y decidió aplicar el principio de dejación de la ley

francesa, el cual concede el título de propietario a aquel que haya

estado durante más de treinta años en continua posesión de un obje-

to sin reclamación contraria alguna. Como la acusación del Patriar-

cado llegaba con un retraso de más de 60 años, el tribunal desestimó

la demanda, y resolvió a favor de Christie´s y Guerson, con lo que la

subasta se pudo convocar.

En las primeras horas de una fría tarde del otoño neoyorquino

de 1998, la subasta comenzó en la sucursal de Christie´s de Park

98

Avenue. Frente a la amplia sala que comenzaba a llenarse, el oscuro

libro colocado en un alto atril lucía aún más pequeño e incongruente

bajo la resplandeciente iluminación. La decrepitud de tantos siglos

resaltaba en aquel lugar frecuentado por el lujo y la belleza. El rema-

tador miraba con aprensión el evidente mal estado del libro: las tapas

lucían renegridas, los bordes estaban mohosos y había restos de

pegamento adheridos al canto. En su fuero interno debía parecerle

absurdo que el elegante Félix de Marez hubiera fijado un precio de

salida de 800.000 dólares. En principio sólo parecía que fuera a

haber un solo potencial comprador: el cónsul general griego en Nue-

va York, en representación del ministro de cultura Evangelis Venize-

los. Sin embargo, el joven Simon Finch, un importante anticuario de

libros londinense, adquirió finalmente el libraco en representación de

un comprador anónimo por 2 millones de dólares. Así fue como, tras

veinte siglos de historia, el genio y la fama de Arquímedes causó la

fortuna de la familia que había llevado su principal obra casi hasta

destrucción en el último episodio de su vida oculta.

99

El palimpsesto de Arquímedes volvió a ser motivo de una noti-

cia sensacional en el New York Times. El sorprendente desenlace de

la subasta mereció ocupar un lugar de primera plana, acompañado

incluso de una foto de Simon Finch. Los periodistas trataron de son-

sacarle en la entrevista el nombre del misterioso comprador, pero

Finch sólo reveló que se trataba de un adinerado ciudadano esta-

dounidense relacionado con la informática. Todos pensaron en Bill

Gates, el opulento presidente de Microsoft, que cuatro años antes

había adquirido en Christie´s el códice Leicester, una colección de

escritos científicos de Leonardo da Vinci, por casi 31 millones de dó-

lares, pero Finch lo negó tajantemente. En general, a los académi-

cos asistentes a la subasta les resultó lamentable, que la propiedad

del Palimpsesto no hubiera recaído en una institución cultural públi-

ca. Chris Rorres, matemático experto en la obra de Arquímedes,

expresó en la sala el temor de que el Palimpsesto, al pasar a manos

privadas, volviera a desaparecer en la oscuridad y quedara fuera del

alcance de los estudiosos, los únicos capaces de sacar partido de su

100

rico legado. Pero Félix de Marez le tranquilizó asegurándole que, de

acuerdo con la personalidad del comprador, era predecible que a los

estudiosos se les facilitaría libre acceso al libro.

Aunque el nuevo propietario continuó manteniéndose en la

sombra, se dijo luego que probablemente se trataba del multimillona-

rio pionero de Internet Richard Adams, fundador en 1987 del mayor

proveedor comercial de servicios de Internet hasta finales de los

años 1990. Adams había comenzado a practicar el coleccionismo al

retirarse del negocio informático después de amasar una gran fortu-

na. En 1996 ya había actuado de mecenas donando un millón de

dólares a una fundación dedicada a desenmascarar supercherías

pseudo científicas, promovida por el famoso showman e ilusionista

retirado James Randi. La probable identificación de Adams21 como

comprador se basaba en que el escritor e historiador de la ciencia

Michael Shermer había publicado en su blog haber visto el palimp-

sesto de Arquímedes en el domicilio de “un buen amigo y mecenas

de Randi” durante una fiesta de cumpleaños en honor del octogena-

rio mago. Mientras tanto en Europa, la revista alemana Der Spiegel,

a tono con el rumor de que el comprador fuera un millonario del

mundo de la informática, supuso que podría tratarse de Jeff Bezos, el

joven fundador de Amazon.

Sobre el placer de coleccionista derivado de la mera posesión

del famoso Palimpsesto, el propietario deseaba al parecer que su

adquisición resultara útil de alguna manera. La ocasión se le presen-

tó cuando unos meses después de la subasta recibió por mediación

de su representante Simons, una solicitud de préstamo de la obra

para exhibición de parte del Walters Art Museum, uno de los más

101

prestigiosos museos de Estados Unidos. La institución se fundó en

1934 en la ciudad de Baltimore gracias al mecenas Henry Walters,

quien legó a la ciudad el edificio y una gran colección de obras de

arte y antigüedades, incluida una importante cantidad de manuscritos

medievales ilustrados, cuyo núcleo había heredado de su padre, un

magnate de los ferrocarriles del la costa este, que comenzó a colec-

cionar en París desde 1861, cuando hubo de exiliarse como simpati-

zante de la Confederación al comienzo de la Guerra Civil.

El propietario del Palimpsesto accedió a depositarlo en prés-

tamo en el museo Walters, esperando que sus especialistas no sólo

restauraran lo mejor posible el maltrecho documento, sino comproba-

ran si tenía más secretos que revelar empleando sobre él las técni-

cas de la moderna tecnología. Estaba dispuesto a financiar la opera-

ción y a que los resultados obtenidos fueran publicados libremente.

Esta desinteresada oferta hizo parecer infundados los temores de

102

acaparamiento, como los expresados por Chris Rorres el día de la

subasta.

De todas formas, muchos pensaron que las espectativas del

propietario parecían más bien un acto de fe sin justificación práctica,

pues seguramente nada más podría recobrarse del arcaico códice,

que incluso se había deteriorado mucho más desde los tiempos de la

meritoria exploración de Heiberg. El manuscrito estaba verdadera-

mente en una situación crítica. Después de sobrevivir a tantos ries-

gos a lo largo de la historia, había sido sobre todo en el siglo XX

cuando se le había infligido el mayor daño. Los manuscritos medie-

vales de pergamino resisten mejor el paso del tiempo en climas se-

cos, pero al estar guardado el Palimpsesto durante muchos años en

el húmedo sótano de los Guerson en París, había sido fuertemente

atacado por el moho. En comparación con las imágenes que Heiberg

tomó, había muchas zonas de los folios donde parecía haberse per-

dido definitivamente la huella del texto inferior. El Palimpsesto pre-

sentaba además sueltas las cuatro hojas con los falsos retratos de

los evangelistas, y faltaban tres del total de folios que estaban en el

Palimpsesto cuando Heiberg los fotografió en Constantinopla,.

103

TRAS LAS HUELLAS PERDIDAS El mal estado del libro representaba un gran problema para los

investigadores, pero el acaudalado propietario siguió dispuesto a fi-

nanciar la compleja actividad restauradora y exploratoria necesaria.

En 1999, expertos en conservación, erudición clásica e imaginería

científica, dirigidos por el doctor William Noel, curador de manuscri-

tos del museo Walters, prepararon un plan para descubrir en el Pa-

limpsesto todo lo más que fuera posible. Aparte de la meticulosa la-

bor de desmontaje y restauración del manuscrito hoja por hoja, había

que someterlo después a un escaneo página por página, empleando

las técnicas de imaginería digital más avanzadas. De todas formas,

el resultado de la profunda exploración planeada iba a depender en

primer término del grado de imperfección del borrado hecho en Jeru-

salen por los monjes hacía dos mil años. Por lo pronto, la luz natural

casi no permitía ver más que las plegarias sobrescritas; sólo los ojos

más avezados en paleografía podían detectar trazas del texto de Ar-

químedes en los espacios interiores libres del texto religioso, a cada

lado del pliegue central del libro.

104

La idea de partida era cambiar la longitud de onda de la luz

aplicada para hallar un color que facilitara la lectura, al ser absorbido

selectivamente por la tinta residual subyacente pero no por la tinta de

las plegarias ni por el pergamino. La luz ultravioleta se había usado a

menudo para mirar textos casi imperceptibles en manuscritos medie-

vales, porque el hierro contenido en la tinta antigua absorbe la luz

ultravioleta y vuelve visibles por contraste los trazos de la escritura.

Ya Nigel Wilson en la lectura de la hoja de Tischedorf en 1958 había

comprobado la efectividad de la iluminación con luz ultravioleta pro-

ducida por lámparas de cuarzo. Ahora se trataba de revelar los textos

ocultos por medio de los adelantos tecnológicos habidos desde en-

tonces, partiendo de igual forma de un especial tipo de iluminación, y

aplicando tratamiento informático a las imágenes obtenidas.

Los trabajos de imaginería digital sobre el Palimpsesto co-

menzaron en 2001. Al principio, cada página se fotografió en diez

secciones que se unían luego para maximizar la resolución. Para

105

buscar los mejores resultados se usaron tres tipos de luz: tungsteno,

flash y ultravioleta. Después de experimentar durante más de cinco

años, en 2007 se efectuó una sesión final de imaginería con una cá-

mara de alta resolución capaz de fotografiar directamente páginas

enteras. La resolución alcanzaba los 800 dpi para facilitar a los aca-

démicos la identificación de los signos griegos en imágenes amplia-

das. Se aplicó una técnica multiespectral, fotografiando cada página

con luz de doce diferentes longitudes de onda, cubriendo el espectro

del infrarrojo al ultravioleta. En ninguna de las imágenes individuales

obtenidas había texto legible, pues las imágenes definitivas se obte-

nían mediante un proceso informático posterior. Este proceso basado

en la composición de las doce imágenes digitales de cada página,

superaba ampliamente al método de observación con luz ultravioleta.

En las imágenes multiespectrales estaban presentes el texto del libro

de oraciones y el texto de Arquímedes, pero podían distinguirse por

la diferencia de matiz, El equipo de imaginería procesó también el

mismo conjunto de fotos ocultando por completo el texto del libro de

oraciones para exhibir sólo el texto inferior. Aunque estas imágenes

no les resultaron a los académicos más útiles que las multiespectra-

les, sí produjeron mejores reproducciones de los diagramas. Usando

este sistema se pudo repetir mejorado en sólo tres semanas el traba-

jo de seis años.

106

El descrito procedimiento de imaginería empleado para proce-

sar el Palimpsesto fue una forma muy efectiva de recobrar la mayor

parte el texto de Arquímedes, pero no sirvió para leer el texto debajo

de las páginas falsificadas. La presencia de las cuatro imágenes reli-

giosas bizantinas falsas sobrepuestas en París, presentaba un obs-

táculo importante para la finalización del trabajo. Parecía que el texto

cubierto por las imágenes se había perdido para siempre. Para inten-

tar resolver el problema, el equipo de científicos recomendó finalmen-

te utilizar la técnica de fluorescencia por rayos X, basada en irradiar

el documento y recoger la fluorescencia producida por la reflexión en

los diferentes elementos químicos presentes en la página ilustrada.

Los rayos X emitidos por los átomos de hierro, son diferentes de los

rayos X emitidos por cualquier otro componente metálico del docu-

mento, como los panes de oro empleados en las ilustraciones. Si es-

tos diferentes rayos X se detectan con un dispositivo capaz de dis-

criminarlos, se podían crear mapas de los diferentes elementos quí-

micos presentes en las páginas del Palimpsesto. De esta forma, gra-

107

duando la selectividad del detector se logró crear un mapa del hierro

de la escritura libre de interferencias, lo que equivalía a una repro-

ducción del texto. Una prueba con esta técnica sobre una pequeña

parte de una de las páginas falsificadas, permitió a los estudiosos

descubrir texto del tratado “Sobre el equilibrio de los planos”.oculto

detrás de la ilustración. Era un éxito, pero el escaneo del fragmento

tardó seis horas. Estaba claro que hacían falta rayos X más intensos,

y para esto se necesitaba un emisor más potente. Por esta razón se

recurrió al laboratorio de radiaciones del sincrotrón de la Universidad

de Stanford en California, con potencial para producir resultados si-

milares a los obtenidos22 pero mucho más rápidamente. Antes de

hacer la aplicación hubo que realizar pruebas, para determinar el ni-

vel máximo de radiación que podía usarse sin riesgo de dañar el per-

gamino. Finalmente las hojas falsificadas se escanearon con un haz

de fotones de alta energía, empleando un detector capaz de selec-

cionar los rayos X secundarios generados por el hierro y poder gra-

bar así en una placa sensible la imagen del texto oculto por las ilus-

traciones.

108

Desde la pérdida del arquetípico “códice Valla” en el siglo XVI,

hasta el examen del Palimpsesto, no se había podido tener certeza

razonable de la forma primitiva de los diagramas arquimédicos. La

obtención de una transcripción lo más fiel posible tenía un interés

especial, dada la importancia fundamental de los diagramas en las

matemáticas griegas pues, a diferencia de las matemáticas moder-

nas donde sirven como meras ilustraciones, son parte crucial de la

lógica de los argumentos utilizados. Arquímedes era un geómetra

que estudiaba sobre formas dibujadas y pensaba por medio de dia-

gramas. La mejora en la reproducción de los gráficos del Palimpses-

to, al aproximarse a la mano de Arquímedes, también aproximaría su

mente a los estudiosos.

Comparando los diagramas del Palimpsesto con los conteni-

dos en otros manuscritos supervivientes, se podía conjeturar hasta

que punto eran trasunto fiel de los trazados por el propio Arquímedes

en el siglo III a. C. Si los diagramas en los otros manuscritos existen-

109

tes resultaban notablemente distintos, se podía sospechar que los

escribas medievales habían ignorado los diagramas originales y los

habían sustituido por los suyos propios. Pero los escribas medievales

no sabían matemáticas, como se deduce de los muchos errores co-

metidos en las referencias del texto a los diagramas. Para el ignoran-

te del sentido del texto, la seguridad radicaba en la fidelidad escrupu-

losa de la copia, de forma que no solían alterar los diagramas, sino

que los reproducían con esmero. Éste resultó también en gran medi-

da el caso de la traducción latina de Moerbeke aún siendo ésta el

esfuerzo personal más evidente de un autor medieval por entender la

ciencia de Arquímedes. En el trabajo de Moerbeke, la versión del

tratado Sobre los cuerpos flotantes y la del Palimpsesto difieren en

muy poco, aunque se pueda asumir que el Palimpsesto proporcione

una versión algo más exacta de la forma original de los diagramas.

Las imágenes multiespectrales superaban a las viejas fotogra-

fías de Heiberg, pero cualquier imagen que la tecnología extrajera de

los frágiles pergaminos carecía de sentido, sin el ulterior análisis del

equipo de avezados expertos formado por matemáticos, paleógrafos

e historiadores. El joven Reviel Netz, profesor de historia antigua en

la californiana Universidad de Stanford, jugó un papel importante en

la interpretación de los textos revelados. Netz y Nigel Wilson, el vete-

rano profesor de Oxford traductor de la hoja de von Tischendorf casi

cincuenta años atrás, revisaron la transcripción realizada por Heiberg

y encontraron ciertamente algunas lagunas a la luz de las nuevas

imágenes. De todas formas, el propio Netz reconoce en el libro don-

de expone la historia de la investigación que, en gran parte, sólo lo-

graron certificar la extraordinaria labor de Heiberg. A tal respecto,

110

escribe: “Hemos sido críticos hacia Heiberg en todo este libro, (nos

hemos fijado en) las lagunas que dejó, las falsas suposiciones que

hizo, los diagramas de los que no se cuidó. Ahora es el momento de

admitir la verdad. Sin él nunca hubiéramos hecho (la nueva trans-

cripción). Mirábamos el texto y veíamos solo un amasijo de trazos, de

los que interpretábamos unos pocos y les suponíamos un sentido.

Luego comprobábamos la versión de Heiberg, y encontrábamos que

él ya les había encontrado el sentido e incluso había leído más allá.

Sólo entonces, volviendo a mirar la página, veíamos aquellos trazos

que le facilitaron la lectura y luego, basados en esos fundamentos,

podíamos avanzar y añadir (algo) a sus lecturas”.

Los potentes medios aplicados en el museo Walters al decré-

pito manuscrito terminaron desde luego por acrecentar el conoci-

miento de la obra de Arquímedes. La técnica permitió una lectura

más esclarecedora del fragmento del Stomachion, De este tratado

sólo sobrevive una página con la introducción que, por ser precisa-

mente la última del manuscrito, es de las más deterioradas. Como el

fragmento arábigo existente pertenece a una compilación muy tardía

y es también muy poco legible, ningún investigador había podido en-

contrar el verdadero sentido del tratado. La interpretación propuesta

en 2004 es que Arquímedes se refería a las muchas formas posibles

de resolver el enrevesado rompecabezas intercambiando una solu-

ción con otra. El tratado estaba, por lo tanto, dirigido a calcular el

número total de soluciones posibles23, lo que convierte a Arquímedes

en pionero de la matemática combinatoria, un campo que se creía

ignorado por los autores antiguos. Dado el interés exclusivo de Ar-

químedes en el cálculo de las curvas, se había buscado siempre que

111

el fragmento estuviera relacionado con algún problema geométrico.

Nadie había pensado antes en relacionar el Stomachion con la ma-

temática combinatoria. Ampliando la exploración del Palimpsesto, el

equipo del museo Walters descubrió además otros textos inéditos

del mundo antiguo, como un comentario a una obra de Aristóteles y

un discurso de Hyperides, político ateniense del siglo IV a. C. consi-

derado uno de los diez oradores canónicos de la Antigüedad. Se

equivocaron, por lo tanto, quienes pensaban que Heiberg ya había

sacado a la luz todo el contenido del Palimpsesto.

A finales de 2008, en el décimo aniversario de la compra del

Palimpsesto en la subasta de Christie´s, todos los datos obtenidos,

tanto imágenes como trascripciones, fueron alojados en una página

web, y las imágenes de las páginas también se publicaron en Inter-

net en forma de libro digital. El trabajo se dio por terminado en 2011,

después de trece años de costosos esfuerzos de investigación. A

finales de ese año se abrió una exposición en el museo Walters, para

que el público conociera la historia del Palimpsesto, la forma en que

se hicieron los trabajos, y los descubrimientos realizados. Al tiempo

de la exposición se publicaron dos libros en papel sobre el Palimp-

sesto preparados por Reviel Netz. El primer volumen cataloga los

diferentes manuscritos contenidos en el Palimpsesto, y proporciona

una historia del Palimpsesto y del proceso de conservación y digitali-

zación realizado para recuperar sus textos. El segundo volumen

contiene imágenes y transcripciones de los textos.

112

113

EL “MÉTODO”

El tratado, por fin Desde el hallazgo del Palimpsesto, se considera el tratado del

Método como el más importante trabajo de Arquímedes, y quizás la

contribución más significativa a la historia de las matemáticas. Con la

lectura del Método se comenzó a comprender la verdadera inspira-

ción de los teoremas de Arquímedes en la cuadratura y la cubicación

de figuras y sólidos, que venía intrigando a los matemáticos euro-

peos desde la Baja Edad Media.

En la carta a Eratóstenes a modo de corto prefacio al tratado,

Arquímedes comienza con la cita de dos teoremas que había descu-

bierto: la medición del volumen del segmento cilíndrico resultante del

corte de un cilindro inscrito en un cubo por un plano trazado desde

una arista al diámetro de la base , y del volumen de la intersección

ortogonal de dos cilindros, de los que solo le había comunicado antes

los enunciados, invitándolo, quizás retándolo, a descubrir las pruebas

por si mismo. A continuación le escribe:

“Considerándote... un estudioso serio, un hombre de eminen-

cia considerable en filosofía y un admirador de la investigación ma-

temática cuando se te presenta la ocasión, he pensado oportuno re-

dactarte un libro y a la vez explicarte en detalle en el mismo la pecu-

liaridad de un cierto método, el cual, cuando lo veas, te pondrá en

114

posesión de los medios por los que puedas investigar algunos pro-

blemas de matemáticas por medio de la mecánica. Este procedimien-

to es, estoy seguro, no menos útil para las pruebas de los problemas

reales también. Para ciertas cosas que primero me parecieron claras

mediante un método mecánico, después tuvieron que demostrarse

por geometría, porque su investigación por el citado método, no pro-

porcionó una demostración real. Pero es desde luego más fácil,

cuando se ha adquirido por el método mecánico algún conocimien-

to... de las cuestiones, proporcionar la prueba, que hallarla sin ningún

conocimiento previo”.

En las siguientes 15 proposiciones del Método, Arquímedes

resuelve una serie de difíciles problemas relacionados con curvas

valiéndose del citado método mecánico, una sorprendente combina-

ción de física y matemáticas. La clásica geometría euclidea conside-

ra la línea recta como una sucesión unidimensional de puntos y el

plano como un conjunto bidimensional de puntos, siendo estos pun-

tos entes abstractos sin dimensiones, y por lo tanto inmateriales. La

esencia del audaz recurso heurístico de Arquímedes fue considerar

eventualmente a los puntos geométricos como entes materiales y por

lo tanto con peso, estableciendo de esta forma un puente entre la

geometría y sus investigaciones físicas relativas a los centros de gra-

vedad de los cuerpos, la balanza y la ley de la palanca. Se apartaba

así, decididamente y en solitario, del ideal estrictamente abstracto

alejado de toda consideración material, que había impregnado la

ciencia griega a influjo del platonismo. Arquímedes era, desde luego,

consciente de que el lenguaje de la ciencia debía ser la pura geome-

tría, y que el éxito de su personal artificio para desentrañar la verdad

115

de un teorema, no le libraba en ningún caso de la posterior demos-

tración mediante estrictos métodos geométricos, necesaria para que

el teorema pudiera ser finalmente aceptado por la ciencia de la épo-

ca. Por lo tanto, no incluye el método mecánico en la pruebas de los

teoremas en sus demás tratados, sino que en ellos vuelve a resolver-

los rigurosamente por el clásico método exhaustivo, es decir, hallan-

do el límite superior e inferior que converge en la respuesta requeri-

da.

Para entender el esquivo secreto de Arquímedes, basta recor-

dar los rudimentos de la geometría y los principios más elementales

de la física. En la primera proposición del Método, Arquímedes obtie-

ne mediante el método mecánico el área de un segmento de parábo-

la. Se trata del mismo problema que aparece resuelto por vía estric-

tamente geométrica en su tratado Sobre la cuadratura de la parábola.

Cuando Arquímedes escribió este tratado, se sabía desde hacia casi

un siglo que la parábola era la curva formada por la intersección de

un plano paralelo a la generatriz con una superficie cónica de revolu-

ción, y se habían estudiado sus propiedades geométricas, pero el

cálculo del área contenida en ella parecía irresoluble. La resolución

por vía mecánica, que le sirvió luego de certera guía en Sobre la

cuadratura de la parábola, es como sigue:

Definido el segmento de parábola ABC cuya área se pretende

determinar, Arquímedes busca relacionar esta área con otra figura de

la que pueda calcular el área y el centro de gravedad. En este caso

se fija en el triángulo inscrito ABC, cuyo vértice B se obtiene al cortar

la parábola por el eje que pasa por D, punto medio de la cuerda AC.

116

Por el extremo C de la cuerda traza la tangente a la parábola y

por el extremo A una paralela al eje BD, con lo que se define el trián-

gulo AFC. Ahora, de acuerdo con una ya conocida propiedad geomé-

trica de las parábolas, todas las paralelas al eje en el triángulo AFC,

como la OM trazada por un punto P cualquiera de la curva, quedan

bisecadas por la recta KC prolongación de la cuerda BC, es decir:

EB = BD, MN = NO y FK = KA y entre las paralelas y las secciones dentro del segmento ABC se

cumplen además las proporciones:

MO/OP = CA/AO = KC/KN Arquímedes concibe ahora la idea de prolongar KC hasta el

punto externo H de forma que KH = KC, y considerar a HC como la

barra de una balanza y al punto K como fulcro de la misma. En tal

caso, y partiendo de la hipótesis, ajena a los principios elementales

de la geometría, de conceder materialidad gravitatoria a las líneas,

una línea TG igual a OP centrada en H equilibra en la balanza defini-

da con fulcro en K a la línea MO, puesto que en las citadas propor-

ciones de la parábola, a partir de MO/OP = KC/KN = KH/KN resulta

que: MO.KN = OP.KH, donde se cumple virtualmente la ley de la

117

palanca, pues las magnitudes están en equilibrio a distancias recí-

procamente proporcionales a sus pesos, tal como establece Arquí-

medes en el libro I de “Sobre el equilibrio de los planos”. Lo mismo

ocurre con todas las innumerables líneas paralelas, como FA, MO, ED… contenidas en el triángulo CFA, cuyas secciones tales como

OP considera Arquímedes que materializan al segmento parabólico.

Por lo tanto, el segmento de parábola ABC actuando en H equilibra

al triángulo CFA emplazado donde está. Suponiendo en W el centro

de gravedad del triángulo CFA, se cumple que:

área segmento ABC x KH = área ∆ CFA x WK En su trabajo Sobre el equilibrio de los planos asume que la

suma de los momentos de cada punto de una figura actuando en su

lugar, es igual al momento de la figura completa actuando en su cen-

tro de gravedad. A partir de este mismo trabajo sabe que el centro de

gravedad W del triángulo CFA está a 1/3 de la mediana KC a partir

de la base FA.. Por lo tanto, se cumple que:

WK = 1/3 KC y teniendo en cuenta que KH = KC, resulta:

área segmento ABC = 1/3 . área ∆ CFA Ahora es necesario relacionar el área del triángulo inscrito

ABC con el área del triángulo CFA. Para ello, Arquímedes razona

de la manera siguiente: dado que KC = 2BC, es fácil comprobar por

proporcionalidad que la altura del triángulo ABC es mitad de la altura

del triángulo ACK. Como la base de los triángulos es la misma e

igual a AC, resulta:

área ∆ ACK = 2. área ∆ ABC

118

Dado que los triángulos ACK y KFC tienen igual área por te-

ner igual altura e igual base KA = KF, es área ∆ CFA = 2. área ∆ ACK, de donde resulta la relación buscada

área ∆ CFA = 2. área ∆ ACK = 4. área ∆ ABC y de lo demostrado se desprende que:

área segmento ABC = 1/3. área ∆ CFA = 4/3 área ∆ ABC con lo que queda resuelta la cuadratura del segmento de parábola al

comprobar que su área es igual a 4/3 del área del triángulo ABC ins-

crito por el vértice.

Para aplicar el método mecánico, Arquímedes considera el

segmento parabólico y el triángulo inscrito como constituidos mate-

rialmente por líneas paralelas indefinidamente próximas unas a otras.

Este supuesto que, como se verá, volvió a surgir siglos después en

las matemáticas con el nombre de método de indivisibles, no es apli-

cable en pura ortodoxia geométrica euclidiana donde, por principio

las líneas carecen de grosor. En realidad, debería referirse a bandas

indefinidamente estrechas de un mismo grosor (diferenciales de su-

perficie en lenguaje actual) y con “peso” proporcional a su área y no

a su longitud. Sin embargo, Arquímedes logra así, combinando razo-

namientos puramente geométricos con la extravagante pero eficaz

aplicación de símiles mecánicos, determinar por vez primera en la

historia del conocimiento humano el área encerrada en una curva

cónica, en este caso un segmento de parábola, reduciendo el pro-

blema a la simple resolución del triángulo inscrito en el vértice.

En este símil, aplicado eficazmente en conjunción con el mé-

todo de indivisibles, pero contra las reglas matemáticas establecidas,

radica la clave que había traído de cabeza a generaciones de mate-

119

máticos, que no acababan de entender que aquel hombre pudiera

resolver de forma finalmente correcta los más complicados proble-

mas geométricos, como si alguien le hubiera revelado previamente

hacia que objetivo debía dirigirse. Arquímedes consideraba esta ma-

nera de razonar sólo como un método de descubrimiento. Había in-

ventado un brillante atajo hacia la verdad, pero el recurso de llenar

las figuras con líneas y luego pesarlas no le parecía públicamente

presentable. Al igual que ocurriera después con Isaac Newton, quien

prefirió mantenerse cautamente en la tradición geométrica clásica a

la hora de escribir su obra maestra, en lugar de emplear el nuevo

cálculo diferencial que él mismo había descubierto, el sabio griego

usó el método de cálculo no convencional para descubrir resultados,

pero los presentó luego al mundo sólo mediante las laboriosas y

complejas pruebas geométricas de costumbre. Así pues, Arquímedes

acomete en el tratado "Sobre la cuadratura de la parábola" la resolu-

ción del mismo problema mediante el arduo método exhaustivo, el

único sistema aceptable dentro de los cánones euclidianos, aunque

disponiendo de la gran ventaja de saber de antemano cual debía ser

el resultado correcto,

Una exposición abreviada quizás de una idea de la naturaleza

netamente geométrica y extremadamente laboriosa del método ex-

haustivo. Comienza inscribiendo de igual forma el triángulo ABC con

vértice en B en el segmento parabólico ABC, y traza por B la tan-

gente A1C1 paralela al segmento base AC. Las dos rectas paralelas

al eje DB por los extremos A y por C de la base, cortan a la recta

tangente del vértice B en los puntos A1 y C1 respectivamente. Cons-

truye seguidamente otros dos triángulos AB2B y BB1C de la misma

120

forma que se construyó el ABC, o sea, cortando los segmentos AB y

BC con sendas paralelas al eje por los puntos medios de las cuerdas

AB y BC.

Se propone ahora hallar la relación de las áreas de los triángulos

añadidos con el triángulo base. Para ello demuestra24 que el área del

triángulo BB1C es la cuarta parte del área del triángulo BDC, e

igualmente que el área del triángulo AB2B es la cuarta parte del trián-

gulo ABD y, por lo tanto:

área ∆ AB2B + área ∆ BB1C = (1/4) área ∆ BDC + (1/4) área ∆ DBA = (1/4) área ∆ ABC

Así pues, puede afirmar que el área de la figura poligonal ob-

tenida a partir del triángulo ABC añadiendo sucesivamente parejas

de triángulos en la forma descrita, es decir

área ∆ ABC + (1/4) área ∆ ABC + (1/42) área ∆ ABC + + (1/43) área ∆ ABC … = área ∆ ABC (1 + 1/4 + 1/42 + 1/43…)

121

puede aproximarse al área del segmento parabólico tanto como

quiera.

Arquímedes se encuentra ahora con la cuestión de demostrar

rigurosamente que la suma de la serie (1 + 1/4 + 1/42 + 1/43…) es

igual a 4/3, el resultado ya obtenido antes de forma más simple con

su peculiar método mecánico. En la actualidad, el problema de obte-

ner la suma de los términos de la serie geométrica planteada se re-

suelve con una sencilla fórmula fruto del desarrollo de la teoría de

límites25 pero el gran geómetra no disponía en su época de nada

parecido, ni siquiera del lenguaje del álgebra simbólica. Sin otro auxi-

lio que su extraordinario ingenio, estudia primero la sucesión A + B + C + D + E donde es A:B = B:C = C: D = D:E = 4 y descubre que para

la suma S de sus términos se cumple que S = (4/3) A - (1/3) E. La

demostración de este original teorema por parte de Arquímedes re-

sulta bastante prolija, pero con ayuda del algebra actual, es fácil

comprobar su veracidad26. El teorema se puede extender a cual-

quier número n de sumandos:

An = A + A/4 + A/42 + A/43 +......+ A/4n-1 = (4/3)·A - (1/3)·A/4n-1 en donde A = área ∆ ABC. Como el último término se puede hacer

tan pequeño como se quiera, se tiene que para un término n suficien-

temente grande An = (4/3)· A .

Arquímedes logró así hallar la suma de los términos de una

serie decreciente infinita, algo que no conseguirían los matemáticos

hasta muchos siglos después. Finaliza el problema demostrando la

veracidad del resultado obtenido mediante la obligatoria prueba, típi-

ca del método exhaustivo, por reducción al absurdo27 es decir, de-

122

mostrando que el área del segmento parabólico no puede ser ni ma-

yor ni menor que 4/3A. De entre el cálculo de centros de gravedad incluidos en el Mé-

todo destaca el correspondiente al paraboloide de revolución. La ubi-

cación de este centro de gravedad a 2/3 del vértice juega un papel

clave cuando Arquímedes estudia el equilibrio de un cuerpo flotante,

con la forma de una sección de paraboloide asimilable al perfil de

una nave.

En el Método demuestra que el volumen de la esfera es igual

al cuádruplo del volumen del cono inscrito cuya base sea igual al cír-

culo máximo y cuya altura sea igual al radio y, al igual que el tratado

Sobre la esfera y el cilindro, que equivale a 2/3 del volumen del cilin-

dro circunscrito.

123

Determina el volumen de cualquier segmento de esfera, elip-

soide, paraboloide o hiperboloide de revolución formado al cortar por

un plano perpendicular al eje, también en función del cono que tiene

la misma base y altura que el segmento.

124

Para el cálculo de los volúmenes de las secciones cilíndricas

descritas en la carta-introducción, Arquímedes anunciaba su inten-

ción de aplicar también recursos "clásicos" o puramente geométricos.

El cálculo del volumen del segmento de cilindro es un problema re-

suelto exclusivamente en el Método, donde ocupa las proposiciones

12, 13 y 14. Los teoremas contenidos en las proposiciones 12 y 13,

combinan el método de indivisibles y el método mecánico de la mis-

ma forma que en las proposiciones anteriores, pero el cálculo em-

pleado en la proposición 14 tiene un carácter especial, pues se basa

exclusivamente en el método de indivisibles.

La versión actual del palimpsesto de Arquímedes consta de la

transcripción de Heiberg, más las lecturas adicionales hechas posi-

bles a partir de 2001 mediante los métodos científicos modernos de

imaginería digital. El texto del Método establecido en su conjunto por

las transcripciones de Heiberg a partir de 1906, fue un logro extraor-

dinario pero, por la falta de medios técnicos, no pudo resolver ciertas

lagunas en el texto. Al encontrar en el cálculo de la sección cilíndrica

de la proposición 14 un párrafo ilegible de doce líneas, reconstruyó la

prueba de acuerdo con el método de indivisibles ya conocido, asu-

miendo de hecho que el contenido de la laguna no incidiría en la en-

jundia matemática del teorema y que éste difería de las proposicio-

nes 12 y 13 meramente en que no aplicaba en ella el método mecá-

nico, sin aportar nada nuevo a la naturaleza de los procedimientos

matemáticos de Arquímedes.

El método arquimediano de indivisibles, al considerar las figu-

ras formadas por infinidad de segmentos rectilíneos y los sólidos por

125

infinidad de secciones planas, se aproximaba de alguna manera al

concepto de infinito, pero no al infinito tal como se entiende en las

matemáticas modernas. Como los matemáticos griegos preferían

sobre todo tener pruebas rigurosas y precisas, evitaron siempre el

concepto del infinito real, considerando sólo cuando era preciso la

idea de entes indefinidamente extensibles pero finitos. Era éste el

concepto de infinito que de alguna manera contemplaba Arquímedes

al evaluar las superficies curvas con el método de indivisibles para

aplicar luego el método mecánico. En la determinación del área del

segmento de parábola, por ejemplo, la cantidad de líneas contenidas

en el triángulo inscrito y la cantidad de líneas adyacentes contenidas

en el segmento parabólico, son indefinidamente grandes pero limita-

das en cada caso, infinitas pero, por así decirlo, de manera mera-

mente potencial. Que el número de líneas fuera o no infinito no con-

dicionaba en realidad la aplicación del método mecánico, en tanto se

aceptara que esas líneas adyacentes constituían íntegramente los

elementos a equilibrar. Pero la aplicación de este planteamiento tal

cual resultaba inaplicable en la proposición 14 tras las lecturas de la

laguna logradas en 2001-2 por Netz . Se encontró que aquel párrafo

fuera del alcance de Heiberg no era intranscendente, sino que conte-

nía en realidad el corazón matemático de la prueba, un párrafo refe-

rente al infinito único en las matemáticas antiguas.

Arquímedes emplea el teorema de las proporciones de sumas

de conjuntos del tratado Sobre los conoides y los esferoides 28 en la

evaluación del volumen de la sección cilíndrica. Para ello asume, de

acuerdo con lo establecido en el teorema, que la razón de la suma de

todos los triángulos en la sección prismática y la suma de todos los

126

triángulos en la sección cilíndrica es igual a la razón de la suma de

todas las líneas del rectángulo base y la suma de todas las líneas en

la parábola. Como según el método de indivisibles los volúmenes

están enteramente compuestos por los triángulos y las superficies

por las líneas, resulta de la proporciones establecidas, que la razón

del volumen de la sección prismática al volumen de la sección cilín-

drica es igual a la ya conocida razón del área del rectángulo y la su-

perficie de la sección de parábola, o sea 3/2, de donde se obtiene

que la razón del cubo circunscrito y la sección cilíndrica es igual a 12

/ 2 = 6.

Pero para ello, Arquímedes necesita crucialmente sostener

que el número de los infinitos triángulos dentro del prisma y del seg-

mento cilíndrico, así como el número de las infinitas líneas dentro del

rectángulo y de la parábola, sean todos iguales entre si. Por lo tanto,

127

establece de hecho que: los triángulos (EDT) en la sección prismáti-

ca son de igual número que las líneas (ED) del rectángulo base, y de

igual número que los triángulos (KPX) en la sección cilíndrica; y las

líneas (KN) en la parábola inscrita en la base de la sección cilíndrica

son de igual número que las líneas (ED) del rectángulo base. De esa

forma pasa a apoyarse en un concepto de infinito que ya no era sólo

potencial sino, precisamente, la clase de infinito sin posible particula-

rización ni límite alguno que es el infinito real. Los conjuntos geomé-

tricos considerados son infinitos reales y por lo tanto equivalentes en

numerosidad, de forma que cuando Arquímedes aplica a continua-

ción el teorema de la igualdad en la proporciones de sumas de con-

juntos del tratado Sobre los conoides y los esferoides, la subsiguien-

te aceptación de que el cociente de la suma de todos los triángulos

en la sección prismática y la suma de todos los triángulos en la sec-

ción cilíndrica es igual al cociente de la suma de todas las líneas del

rectángulo base y la suma de todas las líneas en la parábola, resulta

posible sólo por su previa aceptación de la igualdad numérica de los

conjuntos infinitos. Este particular teorema de la sección cilíndrica se

basa pues en que Arquímedes, sin preocuparse de las discusiones

sobre el infinito que entretenían a los filósofos antiguos desde Aristó-

teles, no duda en extender el teorema del tratado Sobre los conoides

y los esferoides donde sólo lo prueba para conjuntos finitos, al caso

de conjuntos infinitos.

En consecuencia, el teorema de la proposición 14 no resulta

una mera variación de los teoremas en las proposiciones 12 y 13,

sino que, por el contrario, inicia un planteamiento único, completa-

mente diferente a cualquier cosa publicada antes en las matemáticas

128

griegas. El último descubrimiento importante hecho en el Palimpses-

to, que la intuición arquimediana se había adelantado en casi dos

milenios al uso matemático del infinito tal como lo entienden las ma-

temáticas actuales, se encerraba pues en una docena de líneas de

una proposición del Método, que las circunstancias del pasado habí-

an dejado ignoradas.

En cuanto al volumen de la intersección de dos cilindros inscri-

tos en las dos caras opuestas de un cubo nombrado al principio del

prefacio, Arquímedes declara que es igual a 2/3 del cubo, pero en el

texto recuperado del Método faltan de este teorema la investigación

mecánica y la correspondiente demostración geométrica. Se dan por

irrecuperables, pero existe un intento de los matemáticos e historia-

dores Heath y Zeuthen de reconstruir lo que hubiera sido el teorema

16 del Método, desarrollándolo con las pertinentes demostraciones al

estilo arquimediano.

129

La alargada sombra de Arquímedes

La particular incursión de Arquímedes en la física matemática

ejerció una notable influencia en la floración de la filosofía natural del

Renacimiento. Ya a finales del siglo XV, Leonardo da Vinci, que ad-

miraba las invenciones del sabio griego y estudiaba profundamente

sus trabajos de estática, se inspiró en el tratado Sobre el equilibrio de

los planos “ para escribir su manuscrito “Archimedes, de centro gravi-

tatis”. Luego, durante el fecundo siglo XVII, los artífices de la Revolu-

ción Científica, como Kepler, Galileo y Newton, conocerán la obra de

Arquímedes y se inspirarán en ella.

La fecunda hipótesis arquimediana de la materialidad de las lí-

neas inherente al método mecánico, resurgió en 1608 con el astró-

nomo y matemático Kepler al estudiar la órbita marciana en su “As-

tronomia nova”. .Partiendo de la hipótesis incorrecta de que la atrac-

ción del Sol sobre un planeta fuera inversamente proporcional a la

distancia, Kepler dedujo que el tiempo invertido en recorrer un ele-

mento infinitésimo de órbita debía ser proporcional al radio vector y

que, por lo mismo, la suma de los tiempos invertidos en recorrer la

suma de los arcos infinitésimos constitutivos de un arco finito de la

órbita, sería proporcional a la suma del haz de radio vectores corres-

pondientes, la cual equiparó finalmente al área del sector descrito29.

Como Arquímedes en su tiempo, también Kepler sabía muy bien que,

en estricta geometría, la suma de un número infinito de líneas conti-

guas nunca puede formar un área, sin embargo, él éxito de la segun-

130

da ley aplicada a la órbita de Marte hizo que, a pesar de ello, la juz-

gara plenamente demostrada.

En 1635, Bonaventura Cavalieri publicó su método de los indi-

visibles, un planteamiento geométrico similar al de Arquímedes, que

le permitió hallar el área y el volumen de varias figuras geométricas

curvas. Unos años después, John Wallis, inspirado en el método de

Cavalieri concibió la idea de calcular las áreas delimitadas por curvas

descomponiéndolas en bloques infinitamente pequeños y en su tra-

bajo “Arithmetica infinitorum”, editado en 1656, incluyó un proceso

equivalente a una moderna integración, hallando el área comprendi-

da entre una parábola, el eje de abscisas y una línea vertical. Se

avanzó de esta forma por el camino iniciado por Arquímedes en su

día, hasta que, a finales del siglo XVII, Leibniz y Newton descubrie-

ron conjuntamente el Cálculo infinitesimal.

Con su “Methodus fluxionum”, compuesto en 1671, Newton in-

trodujo un cambió significativo en el planteamiento ancestral, pues

decidió considerar las magnitudes como generadas por un movimien-

to continuo, más que por agregación de cantidades mínimas. De esta

forma, sustituía el uso de indivisibles geométricos estáticos por indi-

visibles análogos al tiempo, una magnitud ideal independiente que

crece invariable marcando la pauta de todo. Esta idea de la velocidad

de cambio lo diferenció de los matemáticos precursores, cuyos plan-

teamientos, netamente geométricos y ajenos a la noción de movi-

miento, habían estado orientados a los problemas de las curvas y

dedicados a hallar algoritmos definidores de las tangentes, las longi-

tudes y las áreas abarcadas. Leibniz por su parte, en su manuscrito

de 1675, continuó en cierta forma la tradición geométrica de los indi-

131

visibles, y se basó más bien en el concepto de incrementos infinita-

mente pequeños, a los que llamó diferenciales, pero a pesar de esta

disparidad metodológica, ambos matemáticos llegaron básicamente

a las mismas conclusiones. En el comienzo del Cálculo, el papel que

más tarde desempeñaría el concepto de límite para la obtención de

la función derivada y luego de la integral, corrió a cargo de la nueva

noción de infinitésimo, definido como una cantidad que, sin llegar a

anularse, era más pequeña que cualquier cantidad finita.

El concepto de velocidad aplicado a la tasa de cambio de una

función cualquiera estaba fijo en la mente de Newton, y aparece in-

corporado en su propio lenguaje, donde la idea de fluxión asimila de

alguna manera a toda variable independiente con el tiempo. Este

planteamiento, derivado de la investigación física, no estaba en las

mentes de los matemáticos que, siguiendo a Arquímedes, se habían

preocupado sobre todo de problemas geométricos puramente estáti-

cos. La introducción de la geometría analítica con la invención del

sistema de coordenadas, publicado en 1637 en el “Discurso del mé-

todo” del filósofo Descartes , y en 1679 en un manuscrito póstumo de

Fermat, facilitó la fusión de los puntos de vista estático y dinámico en

los planteamientos geométricos. Se pudieron entonces atacar los

viejos problemas de cálculo de áreas y volúmenes, a partir de la re-

presentación gráfica de la relación de dependencia entre las varia-

bles, es decir, de las ecuaciones de las curvas.

El importante problema de la cuadratura, o sea del cálculo del

área encerrada por una curva cualquiera, se abordó en general par-

tiendo de la idea de integración o suma del conjunto total de los infini-

tésimos componentes. El precedente de la integración estaba en el

132

cálculo de áreas complicadas por el procedimiento de dividirlas en un

gran número de componentes diminutos, algo que ya practicó Arquí-

medes, quien resolvía las áreas bien por el método exhaustivo, su-

poniéndolas formadas por una infinidad de polígonos regulares inscri-

tos cuya suma de áreas podía aproximarse indefinidamente al valor

real, o por la suma de infinidad de componentes indivisibles. Con la

invención del Cálculo, el primitivo concepto intuitivo de indivisible se

transformó en el concepto de infinitésimo. Los conceptos de indivisi-

ble e infinitésimo estaban íntimamente asociados, pero no eran idén-

ticos. Un indivisible era, por definición, algo que no podía dividirse,

pero no por carecer de de partes propiamente dichas tenía que ser

necesariamente un infinitésimo. El infinitésimo era ya un ente difícil

de encajar en el sentido común, al tener que aceptarse que las figu-

ras se compusieran de elementos tan pequeños que no había mane-

ra de medirlos, pues aunque tuvieran forma no tenían propiamente

tamaño. Por esta especie de incongruencia, la hipótesis infinitesimal

despertó de entrada algún rechazo, aunque no tardara en convertirse

por su efectividad práctica en la base definitiva del cálculo diferencial

e integral.

El éxito del Cálculo no impidió, desde luego, que el concepto

de infinitésimo tuviera que arrostrar desde su nacimiento el ataque de

algunos filósofos naturales. Así, el idealista Berkeley expresó en

1734 su disgusto por aquellos infinitamente pequeños incrementos

componentes de las fluxiones de Newton que, por no ser propiamen-

te cantidades finitas y, no obstante, resultar en la práctica “algo”, le

parecían más bien al escéptico obispo “fantasmas de cantidades au-

sentes”. Este disgusto encontró eco en destacados matemáticos, y

133

se prolongó hasta el siglo XIX, cuando se le encontró momentáneo

remedio en la teoría de límites, En el fondo era la eterna discusión de

la naturaleza y formas de ruptura de la continuidad, discusión en la

que Arquímedes, felizmente, jamás entró. En verdad, el gran geóme-

tra había triunfado en tan espinoso terreno muchísimo antes con sus

indivisibles, sin recurrir a nada ajeno a la intuición y al más sólido

sentido común. En sus creaciones no aparece un sólo “numero fan-

tasmagórico” de los que irritaban a Berkeley. Todo podía represen-

tarse con trazos precisos sobre una bandeja de arena de la perdida

Siracusa griega.

FIN

134

135

LISTA DE ILUSTRACIONES

Pág. 3 Arquímedes

La imagen se basa en un busto del Museo Nacional de Nápoles que

supuestamente representa a Arquímedes, aunque es más probable

que sea un busto de Archidamos III, un rey de Esparta del siglo III

a.C.

5 El fin de Arquímedes

Grabado de un libro de 1882, titulado: “La última hora de Arquíme-

des”

13 Ley de la palanca

14 Sección cónica parabólica

15 Esfera inscrita en un cilindro

16 Espiral y cuadratura del círculo

17 Volumen de un paraboloide

18 Paraboloides en flotación estable

20 Determinación del círculo por exhausción

24 Biblioteca Real de Alejandría

29 Basílica de Santa Sofía

Reconstrucción aproximada del aspecto de Hagia Sophia en el siglo

XII, antes de convertirse en mezquita.

32 La triple muralla de Constantinopla

Construida a principios del siglo V por Teodosio II. La altura de la

muralla interna era de unos 12 m.

34 Escuela de Magnaura

40 Roger II

136

43 Federico II

46 Los cruzados asaltan Constantinopla

Cuadro de Tintoretto (1518-1594)

49 Monje copista

54 Lorenzo Valla

67 Angelo Mai

70 Metochion del Santo Sepulcro en Constantinopla

El Metochion en un grabado de finales del siglo XIX. La biblioteca

donde estaba el Palimpsesto es el edificio pequeño junto a los árbo-

les. El edificio grande al fondo era la Escuela Nacional Griega.

73 Johann Ludvig Heiberg

81 Cruzados camino de Jerusalen

85 Ocupación aliada de Constantinopla

Tropas británicas marchan de Pera a Taksim en 1922

87 Orient Expres. Cartel de antes de la GM I

92 Sala de subastas de Christie´s en Nueva York

93 El Palimpsesto en el Museo Walters

Revisando el libro antes de desmontarlo en folios. La especialista no

usa guantes porque nada supera a la sensibilidad directa en el mane-

jo de los documentos frágiles.

96 Walters Art Museum

99 Folio del Palimpsesto

Después de desmontar el libro de oraciones, cada folio contenía dos

hojas del libro, escritas de través con respecto al folio.

101 Muestra de recuperación del texto oculto

Página de texto oculto recuperada desde la mitad de un folio

103 Principio de la fluorescencia por rayos X

137

110 Determinación del área de un segmento parabólico por el mé-

todo mecánico

114 Determinación del área de un segmento parabólico por el mé-

todo exhaustivo

116 Centro de gravedad de un paraboloide

117 Volumen de la esfera

117 Volumen de un segmento de elipsoide

120 Volumen de la sección de un cilindro

122 Volumen de la intersección de dos cilindros

133 Neusis. Trisección de un ángulo

138

139

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142

143

ÍNDICE ONOMÁSTICO

Abdula al-Mamun 34

Alberto Pío (1475-1531) ................................................................... 58

Alexios IV (1153-1211) ..................................................................... 44

Alexios III (1153-1211) ..................................................................... 44

Al-Kamil (1177-1238) ....................................................................... 82

Angelo Poliziano (1454-1494) .................................................... 57, 58

Anne Guerson 91, 92

Antemio de Tralles (c.474-c.558) ..................................................... 29

Apolonio de Pértgamo (c.262-c.190 a.C.) .................................. 13, 67

Aristarco de Samos (c.310-c.230 a.C.) ............................................ 20

Aristóteles (384-322 a.C.) ................................................ 50, 108, 124

Arrio (c.250-335) .............................................................................. 24

Aureliano I (214-275)....................................................................... 23

Bardas (? - >866) ............................................................................. 35

Barrow, Isaac (1630-1677) ............................................................... 64

Basilio I (811-886) ............................................................................ 36

Belisario, Flavio (500-565)................................................................ 28

Berkeley, George (1685-1753) ....................................................... 130

Bessarión, Basilios (1403-1472)................................................. 56, 61

Brancaleone degli Andaló (1220-1258) ............................................ 50

Carlos de Anjou (1227-1285) 49 Cavalieri, Bonaventura (1598-1647)............................................... 127

144

Cicerón (106-43 a.C.)..........................................................................7

Clemente IV (1185-1254)..................................................................49

Clemente Sibiliati (1719-1795)..........................................................67

Clemente V (1264-1314)...................................................................52

Clemente VII (1342-1394).................................................................52

Cleopatra (83-30 a.C.) ................................................................23, 26

Commandino, Federico (1509-1575) ................................................60

Conon de Samos (280-220 A.c.).........................................................6

Conrado (Conradino) de Hohenstaufen) (1252-1268) ................40, 48

Constancio II (317-361).....................................................................25

Constans I I (630-668) ................................................................29, 41

Constantino I (272-337) ..............................................................24, 25

Constantino IV (c652-685) ................................................................32

Constantino XI (1405-1453) ..............................................................53

Constanza de Hauteville (1154-1198).........................................42, 43

Dandolo, Enrico (1107-1205) ............................................................44

David Rivault (1571-1616) ................................................................61

Descartes, René (1596-1650).........................................................129

Enoch de Ascoli (c1400-c1457) ........................................................56

Enrique VI de Hohenstaufen (1165-1197)...................................42, 43

Eratóstenes de Cirene (276-195 a.C.) ............................7, 22, 76, 110

Euclides de Alejandría (323-283 a.C.) ....2, 7, 9, 10, 34, 57, 61, 67, 68

Eudoxio de Cnido (408-355 a.C.)............................................9, 10, 11

Eutocio de Ascalón (480-540)...................................27, 30, 36, 57, 67

Evangelis Venizelos (1957)...............................................................95

Federico II de Hohenstaufen...............................42, 43, 44, 48, 60, 82

Federico I de Hohestaufen (1122-1190) ...........................................42

145

Félix de Marez............................................................................ 92, 97

Fermat, Pierre de (1607-1665) ....................................................... 129

Francisco I (1494-1547) ............................................................. 58, 61

Gates, William (1955) 95 Galileo Galilei (1564-1642)............................................................. 126

Georges dÁrmagnac (1501-1585).................................................... 58

Georgio Valla (1447-1499) ............................................................... 57

Gerardo de Cremona (1114-1187) ................................................... 51

Giovanni Pico della Mirandola (1463-1494) ..................................... 58

Giovanni Tortelli (c1400-1466) ......................................................... 56

Gregorio IX (1145-1241) ............................................................ 43, 82

Gregorio XI (1330-1378) .................................................................. 52

Guerson,Solomon 88, 89

Guillermo I (1131-1166) ................................................................... 42

Guillermo II (1153-1189) .................................................................. 42

Heath, Thomas L. (1861-1940) .......................................... 77, 79, 125

Heiberg, Johan Ludvig (1854-1928) 73, 74, 75, 77, 78, 80, 83, 85,

86, 90, 92, 93, 99, 106, 108, 121, 122

Henry Walters (1848-1931) .............................................................. 98

Herón de Alejandría (10-70) ............................................................. 71

Hierón II (c308-215 a.C.) ............................................................ 2, 3, 4

Hypatia (c350/70 - 415).................................................................... 26

Hyperides (389-322)....................................................................... 108

Inocencio III (1161-1216) ................................................................. 44

Inocencio IV (1085-1254) ................................................................. 48

Isidoro de Mileto (442-537)....................................... 28, 29, 36, 67, 80

Jacobo de Cremona ......................................................................... 56

146

James Randi (1928)..........................................................................97

Jeff Bezos (1964)..............................................................................97

Johannes Gutemberg (1401-1468) ...................................................59

Julio Cesar (100-44 a.C.) ..................................................................23

Justiniano I (483-565) ...............................................28, 29, 30, 31, 36

Kemal, Mustafá (1881-1938).............................................................88

Kepler, Johannes (1561-1630)........................................................126

Leibniz, Gottfried (1646 -1716) ...............................................127, 128

León el Geómetra (c790 - >869) ....32, 33, 34, 35, 36, 41, 50, 52, 56,

57, 58, 75, 80

León III (685-741) .......................................................................32, 33

León VI (866-912) .............................................................................37

Leonardo da Vinci (1452-1519) 95,124

Lloyd George (1863-1945) ................................................................87

Lorenzo Valla (1407-1457)..........................................................55, 57

Luís IX (1214-1270) ..........................................................................49

Mai, Angelo (1782-1854)...................................................................68

Manfredo de Hohenstaufen (1232-1266) ....................................48, 49

Marcelo, Marco Claudio (268-208 a.C.) ..........................................4, 6

Marco Antonio (83-30 a.C.)...............................................................23

Martín Lutero (1483-1546) ................................................................55

Mehmet II (1432-1481)......................................................................53

Mehmet VI (1861-1926) ..............................................................85, 88

Michael Shermer (1954)....................................................................97

Miguel IIII (840-867) ..........................................................................35

Miguel VIII (1223-1282).....................................................................48

Mironas, Ioannes ........................................................................82, 83

147

Moerbeke, Guillermo de (1215-1286).....50, 51, 52, 56, 59, 60, 70, 76,

78, 106

Muhammad al-Idrisi (1100-1165) ..................................................... 39

Napoleón (1769-1821) ..................................................................... 67

Netz, Reviel (1968)......................................................... 106, 108, 122

Newton, Isaac (1643-1727) ............................ 116, 126, 127, 128, 130

Nicolás V (1397-1455) ............................................................... 55, 56

Odoacro (435-493) ........................................................................... 28

Omar ibn al-Katab (c583-644) .......................................................... 32

Papadopoulos-Kerameus, Atanasio (1856-1912)................. 72, 73, 83

Pappus de Alejandría (290-350)................................................... 7, 26

Pascal, Blaise (1623-1662) .............................................................. 17

Peyrard, François (1759-1822)......................................................... 68

Philip Standhope (1714-1786).......................................................... 66

Pirckheymer, Wilibald (1470-1530) .................................................. 60

Pitágoras de Samos (570-495 a.C.) ................................................... 8

Platón (427-347 a.C.) ......................................................... 5, 9, 29, 51

Plutarco de Queronea (46-119).................................................... 6, 63

Polibio (200-118 a.C.) ........................................................................ 5

Regiomontano, Johann Müller (1436-1476) ............................... 56, 60

Richard Adams................................................................................ 97

Robertson, Abraham (1751-1826).................................................... 66

Rodolfo Pío (1500-1564) ............................................................ 58, 76

Roger II (1095-1154) ................................................ 38, 40, 41, 42, 48

Roger I (1031-1101) ........................................................................ 38

Rómulo Augustulo (461- >507) ........................................................ 28

Rorres, Chris 95, 97

148

Saladino (1137-1193) .......................................................................42

Simon Finch ................................................................................95, 96

Sirieux, Louis (? -1956) 88,89,92

Tartaglia, Niccolò Fontana ..........................................................60, 65

Teodosio I (347-395).............................................................25, 28, 30

Teodosio II (401-450) 30 Teodosio de Bitinia (160-100 a.C.) ...................................................71

Teófilo (emperador de Bizancio) .....................................26, 33, 34, 35

Teófilo (patriarca de Alejandría (? -412) 27 Thabit ibn Qurra (836-901)................................................................51

Theon de Alejandría (335-405) .....................................................7, 26

Tischendorf, Constantin von (1815-1874) ..............71, 72, 83, 90, 106

Tito Livio (59 a.C.- 17).........................................................................6

Tolomeo II (309-246 a.C.) .............................................................2, 22

Tomás de Aquino (1225-1274) .........................................................50

Torelli, Giuseppe (1721-1781) ....................................1, 65, 66, 67, 77

Torricelli, Evangelista (1608-1647) ...................................................17

Urbano IV (1195-1285) .....................................................................49

Urbano VI (1378-1389) .....................................................................52

Valente (328-379) .............................................................................25

Venatorius, Thomas Gechauff (1488-1551) ......................................60

Wallis, John (1615-1703) ..........................................................63, 127

William Noel (1955)........................................................................100

Wilson, Nigel (1935)..........................................................90, 101, 106

Zeuthen, Georg Hieronymus (1839-1920) ..........................78, 79, 125

149

NOTAS

1 Trisección de un ángulo por Arquímedes mediante neu-

sis

Para trisecar el ángulo a, traza un círculo centrado en el verti-

ce O y un diámetro prolongación de un lado. A continuación se fija

una regla graduada en el punto A del otro lado y se gira hasta que el

punto de corte B con el círculo forme con la prolongación de diámetro

el segmento BC igual al radio OA.

En la geometría de los triángulos CBO y BOA se cumple que:

d = b + c ; e = a ─ c y b + c = a ─ c, de donde:

c = (a ─ b) / 2 Como OB = BC, es b = c, luego:

150

2c = a ─ c, de donde

c = 1/3 a 2 Simbólicamente, el axioma afirma que a/b = c/d cuando se

cumple que:

Si m.a < n.b, es m.c < n.d Si m.a = n.b, es m.c = n.d Si m.a > n.b, es m.c > n.d siendo m y n unos enteros cualquiera. Se entiende que estas expresiones se refieren a cantidades

similares, pero que no presuponen la existencia de una unidad co-

mún de evaluación.

3 Se han ocupado de ello matemáticos como Zeuthen, Tanne-

ry, Hultsch y Hunrath, entre otro, y han aportado diferentes conjetu-

ras. 4 El manuscrito con la traducción latina, escrito por la propia

mano de Moerbecke, fue a parar en 1790 en la Biblioteca Vaticana,

donde fue encontrado en 1884 y se conserva hoy.

5 El Cisma duró cuarenta años, hasta que en 1417, en el con-

cilio de Constanza, fue elegido papa Martín V (1369-1431)

6 Códice E de Heiberg. Biblioteca Marciana de Venecia

(Mar.gr.305)

151

7 Códice D de Heiberg. Biblioteca Laurentina de Florencia

(Laurent. XXVIII. 4) 8 Códice G de Heiberg. Biblioteca Nacional Francesa (París,

2360)

9 Códice H de Heiberg. Biblioteca Nacional Francesa (París,

2361)

10 Este códice aún se conserva en Nuremberg (Norim-

berg.Cent.V,15)

11 Arquímedes establecía sin más que: 265/153 < √3

<1351/780

12 El gran monasterio de San Sabas fue fundado por San Sa-

bas de Capadocia en el año 483. Es uno de los más antiguos monas-

terios todavía en activo del mundo. Está en el desierto de Judea, a

unos 16 kilómetros al este de Belén. En 1839, cuando el artista esco-

cés David Roberts pintó las famosas acuarelas de los edificios, el

libro había dejado ya el monasterio y había regresado a Estambul,

donde von Tischerdorf lo encontró y donde fue catalogado por Papa-

dopoulos-Kerameus.

13 Llamado por Heiberg códice B

14 Los números griegos eran decimales, basados en las poten-

cias de 10. La unidades del 1 al 9 se representaban por las primeras

152

nueve letras del alfabeto, desde alfa a theta. A cada múltiplo de diez

de 10 a 90 se le asignaban las siguientes nueve letras del alfabeto,

desde iota a koppa. A cada múltiplo de cien desde 100 a 900 se le

asignaban las siguientes nueve letras, desde rho a sampi. Este sis-

tema alfabético operaba con el principio aditivo, en el que los valores

numéricos de las letras se suman para obtener el total. Por ejemplo

242 se representaba σμα (200 + 40 +1). El papel numérico de las

letras se solía distinguir mediante una barra superior.

15 Desde 3000 AC, los egipcios habían usado una peculiar for-

ma de expresar las fracciones. Aunque tenían una notación para

fracciones de la unidad (1/2, 1/3, 1/4…), su notación no les permitía

escribir otras fracciones, como 2/5, 3/4, 4/7 etc. como se hace hoy.

En lugar de esto, ellos podían escribir cualquier fracción como suma

de fracciones de uno, donde todas éstas fueran diferentes, Por ejem-

plo: 3/4 = 1/2 + 1/4 o 6/7 = 1/2 + 1/3 + 1/42. A una fracción escrita

como suma de distintas fracciones unitarias se le llama “fracción

egipcia”. Con este sistema, una misma fracción se puede expresar

con diferentes grupos de fracciones unitarias.

153

16 Llamados por Heiberg códices A y β respectivamente

17 Llamado por Heiberg códice C

18 La anexión de Bosnia-Herzegovina al Imperio Austro-

Húngaro contra los intereses de Serbia sentó los cimientos de la Pri-

mera Guerra Mundial. 19 Se ha determinado que las pinturas fueron hechas después

de 1938, porque contienen un pigmento llamado verde de ftalociani-

na, que no sólo estuvo disponible después de esa fecha.

20 Al parecer, el experto fue A. Wasserman (1921-1995), pro-

fesor emérito de griego en la Universidad de Jerusalen, quien me-

diante algún folio enviado, pudo quizás identificar el libro con el des-

aparecido manuscrito MS355 del índice del Patriarcado. Se ha seña-

lado también a J. Ballack (1923-2012) profesor de literatura griega en

la Universidad de Lille.

21 Fuera o no el incógnito comprador del palimpsesto, Adams

era también un coleccionista capaz de invertir fuertemente en su afi-

ción. En 2009 fue noticia en los diarios por haber ganado un litigio

con el estado de Maine, el cual había tratado de recuperar un ejem-

plar de 1776 de la Declaración de Independencia, alegando que

Adams había comprado ilegalmente el documento en 2001 por

475.000 dólares

154

22 El sincrotron SSRL (Stanford Sychrotron Radiation Light-

source), operado por la Universidad de Stanford para el Departamen-

to de Energía del gobierno estadounidense, es la pieza central de un

laboratorio federal que se ocupa sólo de investigación básica, explo-

rando cuestiones límite en bioquímica, física de partículas y ciencia

de materiales. Un chorro de electrones, viajando casi a la velocidad

de la luz en un anillo cerrado, emite radiación electromagnética en

bandas desde infrarrojo a rayos X. Esta radiación de muy corta longi-

tud resulta ideal para revelar la intrincada arquitectura de muchas

clases de materia a nivel atómico y molecular.

23 Se ha determinado que, mediante sustituciones y rotaciones

de las figuras, hay 536 soluciones básicas, con 32 variantes cada

una: un total de 17.152 maneras de disponer las 14 piezas y formar

un cuadrado perfecto.

24 En la figura, D1 es el punto medio de DC porque ∆ Y1D1C ≈

∆ BDC. V el punto de corte con BD de la línea por B1 paralela a AC.

Según una propiedad característica del segmento parabólico

se cumple que: BV/BD = VB12/DC2 y teniendo en cuenta que

VB1 = DD1 = 1/2 DC, resulta: BV/ BD = (1/2 DC)2 / DC2 = 1/4 de donde BD = 4 BV ; por lo tanto, VD = 3BV, y siendo B1D1 = VD,

es:

B1D1 = 3 BV Como ∆ Y1D1C ≈ ∆ BDC, es Y1D1/ D1C = BD /DC; siendo D1C

= 1/2 DC, resulta:

Y1D1= 1/2 BD = 1/2 (4BV) = 2 BV;

155

de donde B1Y1 = BV , luego es Y1D1 = 2 B1Y1

Ahora se consideran los dos triángulos BD1C y BB1C. Ambos

tiene la misma base BC, y como por Y1D1 = 2 B1Y1 tiene ∆ BD1C do-

ble altura que ∆ BB1C es:

área (∆ BD1C) = 2 área (∆ BB1C) Similarmente, ∆ BDC y ∆ BD1C tienen la misma base BC y,

como DC = 2 D1C, la altura de ∆ BDC es doble de la de ∆ BD1C,

luego:

área (∆ BDC) = 2 área (∆ BD1C)

De lo que se sigue:

área (∆ BB1C) = 1/4 área (∆ BDC) 25 La suma S de una serie infinita de razón v < 1 es:

S = a + av + av2 ….. = a / (1-v)

En el caso estudiado es: S = 1/(1-1/4) = 4/3 26 La demostración algebraica se reduce a lo que sigue:

Multiplicar la expresión inicial por 4/3

(4/3)·S = (4/3)· ( A + B + C + D + E ) = (4/3)· A + (1/3)·( 4B + 4C+ 4D + 4E )

como por hipótesis 4B = A; 4C = B; 4D = C; 4E = D se tiene

que:

(4/3)· A + (1/3)·( 4B + 4C + 4D + 4E ) = (4/3)· A + (1/3)·( A + B + C + D)

Sumando y restando ahora (1/3)· E, se obtiene:

(4/3)·S = (4/3)· A + (1/3)·( A + B + C + D + E ) - (1/3)·E luego

156

(4/3)·S = (4/3)· A + (1/3)·S - (1/3)·E Restando (1/3)·S a los dos miembros de la igualdad anterior

se obtiene que:

(4/3).S = (4/3).A + (1/3). 27 Si S es el área del segmento parabólico, puede ocurrir una

de estas tres cosas: o bien S > (4/3)·A o bien S < (4/3)·A o bien S =

(4/3)·A. Supóngase que S > (4/3)·A. Entonces la cantidad S - (4/3)·A

sería positiva y se puede escoger un conjunto finito de triángulos cu-

ya suma de sus áreas S' difiera del área S del segmento en una can-

tidad menor que cualquier magnitud dada, por lo tanto S > S' >

(4/3)·A. Pero si S' contiene n términos por la expresión

A + A/4 + A/42 + A/43 +......+ A/4n-1 = (4/3)·A - (1/3)·A/4n-1

y se tiene

S' + (1/3)·A/4n-1 = (4/3)A,

de donde

S' < (4/3)·A

lo que contradice la hipótesis de partida.

Supóngase ahora que S < (4/3)·A. Entonces la cantidad

(4/3)·A - S es positiva. Como los triángulos inscritos son cada vez

más pequeños pueden existir unos triángulos de la sucesión cuya

área sea más pequeña que la cantidad (4/3)·A - S, es decir A/(4n-1 < (4/3)·A - S, en donde A/4n-1 representa el término enésimo de la su-

cesión. De la expresión

(A + A/4 + A/42 + A/43 +......+ A/4n-1) = (4/3)·A - (1/3)·A/4n-1

resulta

157

(1/3)·A/4n-1 = (4/3)·A - (A + A/4 + A/42 + A/43 +......+ A/4n-1) de lo cual se sigue que

A/4n-1 > (4/3)·A - (A + A/4 + A/42 + A/43 +......+ A/4n- 1)

Reordenando de nuevo resulta ahora

(A + A/4 + A/42 + A/43 +......+ A/4n-1) > (4/3)·A - (1/3)·A/4n-1

y como se supone

A/4n-1 < (4/3)·A – S resulta que S < (4/3)·A - A/4n-1

por lo tanto

(A + A/4 + A/42 + A/43 +......+ A/4n-1 > (4/3)·A - A/4n-1) > S

Pero esta última expresión es imposible puesto que la suma

de triángulos inscritos nunca puede ser superior al área del segmen-

to.

Queda así demostrado que S no puede ser ni mayor ni menor

que 4/3.A, lo que confirma que S = área segmento (APB) = 4/3.A, la

misma solución del problema obtenida con el método mecánico. 28 En el tratado “Sobre los conoides y esferoides” se tiene que

si con las series de magnitudes finitas

A1..... An.......

B1...Bn......

se cumple que A1/ Aj = Bi / Bj

y hay otras dos series finitas

C1......Cn.....

D1 .....Dn .....

en las que se cumple que Ai / Ci = Bi / Bj

también se cumple que:

(A1+ ....+ An...) / (C1 + ...+.Cn...) = (B1 + ....+Bn....) / (D1 + ....+

Dn....)

158

29 De ahí parte su segunda ley del movimiento planetario:

tiempo en describir un arco de órbita es proporcional al área del sec-

tor barrido por el radio vector, lo que, a velocidad angular constante,

equivale a decir que el radio vector barre áreas iguales en tiempos

iguales.