juan carlos colonia distribuciones continuas · la probabilidad de que un circuito tenga una vida...
TRANSCRIPT
![Page 1: Juan Carlos Colonia DISTRIBUCIONES CONTINUAS · La probabilidad de que un circuito tenga una vida entre 3 y 12 años. b. La probabilidad de que un circuito que ha vivido más de 10](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022022104/5bc9e1e509d3f2ca148b59ee/html5/thumbnails/1.jpg)
DISTRIBUCIONES CONTINUAS
Juan Carlos Colonia
![Page 2: Juan Carlos Colonia DISTRIBUCIONES CONTINUAS · La probabilidad de que un circuito tenga una vida entre 3 y 12 años. b. La probabilidad de que un circuito que ha vivido más de 10](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022022104/5bc9e1e509d3f2ca148b59ee/html5/thumbnails/2.jpg)
ALGUNAS DISTRIBUCIONES CONTINUAS
IMPORTANTES
Entre las principales distribuciones continuas
tenemos:
Distribución Exponencial
Distribución Normal
![Page 3: Juan Carlos Colonia DISTRIBUCIONES CONTINUAS · La probabilidad de que un circuito tenga una vida entre 3 y 12 años. b. La probabilidad de que un circuito que ha vivido más de 10](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022022104/5bc9e1e509d3f2ca148b59ee/html5/thumbnails/3.jpg)
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
![Page 4: Juan Carlos Colonia DISTRIBUCIONES CONTINUAS · La probabilidad de que un circuito tenga una vida entre 3 y 12 años. b. La probabilidad de que un circuito que ha vivido más de 10](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022022104/5bc9e1e509d3f2ca148b59ee/html5/thumbnails/4.jpg)
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
La distribución exponencial suele ser usada para
modelar fenómenos aleatorios que miden el
tiempo que transcurre entre que ocurren dos
sucesos. Por ejemplo tiempos entre llegadas en
instalaciones de servicio, tiempo de falla de
componentes y sistemas eléctricos, entre la
puesta en marcha de una cierta componente y su
fallo o el tiempo que transcurre entre dos
llamadas consecutivas a una central telefónica.
![Page 5: Juan Carlos Colonia DISTRIBUCIONES CONTINUAS · La probabilidad de que un circuito tenga una vida entre 3 y 12 años. b. La probabilidad de que un circuito que ha vivido más de 10](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022022104/5bc9e1e509d3f2ca148b59ee/html5/thumbnails/5.jpg)
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Definición:
Una variable aleatoria X tiene distribución de exponencial con parámetros , si su función de densidad esta dado por:
Notación:
Características numéricas:
x
X
e x 0f x
0 x 0
0
X Exp
1
E X
2
1V X
x es el
intervalo
de interés
![Page 6: Juan Carlos Colonia DISTRIBUCIONES CONTINUAS · La probabilidad de que un circuito tenga una vida entre 3 y 12 años. b. La probabilidad de que un circuito que ha vivido más de 10](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022022104/5bc9e1e509d3f2ca148b59ee/html5/thumbnails/6.jpg)
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Propiedad: Si entonces:
Debido a esta propiedad, se dice que la distribución
exponencial no tiene memoria. Por ello, se suele utilizar
cuando medimos el tiempo de vida restante de poblaciones
que no envejecen con el tiempo.
Esta propiedad es bien frecuente, determinados dispositivos
electrónicos, por ejemplo, no sufren desgaste, por lo que
prácticamente no envejecen, por tanto su probabilidad de
fallo no aumenta con su vida útil.
T Exp
t
0 0 0P T t t T t P T t e t , t 0
![Page 7: Juan Carlos Colonia DISTRIBUCIONES CONTINUAS · La probabilidad de que un circuito tenga una vida entre 3 y 12 años. b. La probabilidad de que un circuito que ha vivido más de 10](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022022104/5bc9e1e509d3f2ca148b59ee/html5/thumbnails/7.jpg)
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Ejemplo 1:
El tiempo medio de vida de cierto tipo de circuitos es 8 años. Calcular:
a. La probabilidad de que un circuito tenga una vida entre 3 y 12 años.
b. La probabilidad de que un circuito que ha vivido más de 10 años,
viva 15 años más.
T : tiempo de vida de los circuitos
Como , entonces , luego
Por tanto la función de densidad es: 0.125t
Tf t 0.125e t 0
T Exp 0.125 E T 81
8
![Page 8: Juan Carlos Colonia DISTRIBUCIONES CONTINUAS · La probabilidad de que un circuito tenga una vida entre 3 y 12 años. b. La probabilidad de que un circuito que ha vivido más de 10](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022022104/5bc9e1e509d3f2ca148b59ee/html5/thumbnails/8.jpg)
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Ejemplo 1:
a. La probabilidad de que un circuito tenga una vida entre 3 y 12 años.
b. La probabilidad de que un circuito que ha vivido más de 10 años, viva 15
años más.
12
0.125t
3
P 3 T 12 0.125e dt 0.46
0.125 15P T 25 T 10 P T 15 e 0.15
![Page 9: Juan Carlos Colonia DISTRIBUCIONES CONTINUAS · La probabilidad de que un circuito tenga una vida entre 3 y 12 años. b. La probabilidad de que un circuito que ha vivido más de 10](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022022104/5bc9e1e509d3f2ca148b59ee/html5/thumbnails/9.jpg)
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Ejemplo 2:
Una oficina de reclamos, recibe un promedio de cinco llamadas por hora.
Empezando en un momento aleatoriamente seleccionado, hallar la
probabilidad de que la primera llamada llegue dentro de la media hora
siguiente.
Se desea calcular la probabilidad para un intervalo de tiempo, lo cual implica
que se trata de una distribución exponencial. De acuerdo al problema, el
promedio es el número de eventos por un intervalo de tiempo diferente (5
llamadas por hora) o sea el valor de es 5, por tanto en media hora
2.5
![Page 10: Juan Carlos Colonia DISTRIBUCIONES CONTINUAS · La probabilidad de que un circuito tenga una vida entre 3 y 12 años. b. La probabilidad de que un circuito que ha vivido más de 10](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022022104/5bc9e1e509d3f2ca148b59ee/html5/thumbnails/10.jpg)
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Ejemplo 2:
T : tiempo entre llamadas
2.5t
Tf t 2.5e t 0
T Exp 2.5
1
2.5t
0
P T 1 2.5e dt 0.9179 Se toma 1 por que se trata de un
tiempo de media hora
![Page 11: Juan Carlos Colonia DISTRIBUCIONES CONTINUAS · La probabilidad de que un circuito tenga una vida entre 3 y 12 años. b. La probabilidad de que un circuito que ha vivido más de 10](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022022104/5bc9e1e509d3f2ca148b59ee/html5/thumbnails/11.jpg)
DISTRIBUCIÓN NORMAL
![Page 12: Juan Carlos Colonia DISTRIBUCIONES CONTINUAS · La probabilidad de que un circuito tenga una vida entre 3 y 12 años. b. La probabilidad de que un circuito que ha vivido más de 10](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022022104/5bc9e1e509d3f2ca148b59ee/html5/thumbnails/12.jpg)
DISTRIBUCIÓN NORMAL
La distribución normal es la distribución de probabilidad más importante del Cálculo de probabilidades y de la Estadística.
Conocida y estudiada desde hace mucho tiempo, es utilizada para describir el comportamiento aleatorio de muchos procesos que ocurren en la naturaleza y los realizados por los humanos, por ejemplo alturas, pesos, errores de medición en experimentos científicos.
![Page 13: Juan Carlos Colonia DISTRIBUCIONES CONTINUAS · La probabilidad de que un circuito tenga una vida entre 3 y 12 años. b. La probabilidad de que un circuito que ha vivido más de 10](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022022104/5bc9e1e509d3f2ca148b59ee/html5/thumbnails/13.jpg)
DISTRIBUCIÓN NORMAL
Definición:
Una variable aleatoria X tiene distribución de probabilidad normal con parámetros y si su función de densidad es de la forma:
Notación:
Características numéricas:
2
2
2
x
2X
1f x e x
2
2X N ,
2V X E X
![Page 14: Juan Carlos Colonia DISTRIBUCIONES CONTINUAS · La probabilidad de que un circuito tenga una vida entre 3 y 12 años. b. La probabilidad de que un circuito que ha vivido más de 10](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022022104/5bc9e1e509d3f2ca148b59ee/html5/thumbnails/14.jpg)
DISTRIBUCIÓN NORMAL
Grafica:
![Page 15: Juan Carlos Colonia DISTRIBUCIONES CONTINUAS · La probabilidad de que un circuito tenga una vida entre 3 y 12 años. b. La probabilidad de que un circuito que ha vivido más de 10](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022022104/5bc9e1e509d3f2ca148b59ee/html5/thumbnails/15.jpg)
GRAFICAS
Igual diferente Diferente igual
2 2
![Page 16: Juan Carlos Colonia DISTRIBUCIONES CONTINUAS · La probabilidad de que un circuito tenga una vida entre 3 y 12 años. b. La probabilidad de que un circuito que ha vivido más de 10](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022022104/5bc9e1e509d3f2ca148b59ee/html5/thumbnails/16.jpg)
DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR
Definición:
Una variable aleatoria X tiene distribución de probabilidad normal estándar si y . La función de densidad toma la forma:
Notación:
0 2 1
2x
2X
1f x e x
2
X N 0 ,1
![Page 17: Juan Carlos Colonia DISTRIBUCIONES CONTINUAS · La probabilidad de que un circuito tenga una vida entre 3 y 12 años. b. La probabilidad de que un circuito que ha vivido más de 10](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022022104/5bc9e1e509d3f2ca148b59ee/html5/thumbnails/17.jpg)
ESTANDARIZACIÓN
Si X una variable aleatoria tal que entonces
la variable
Tiene distribución normal estándar .
Esta transformación se llama estandarización.
2X N ,
XZ
Z N 0 ,1
![Page 18: Juan Carlos Colonia DISTRIBUCIONES CONTINUAS · La probabilidad de que un circuito tenga una vida entre 3 y 12 años. b. La probabilidad de que un circuito que ha vivido más de 10](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022022104/5bc9e1e509d3f2ca148b59ee/html5/thumbnails/18.jpg)
PROBABILIDADES EN LA DISTRIBUCIÓN
NORMAL
Para calcular probabilidades para cualquier
distribución normal, se requiere de una tabla con
probabilidades para una .
Se realiza la estandarización de la variable y se
calcula la correspondiente probabilidad en la .
N 0 ,1
N 0 ,1
![Page 19: Juan Carlos Colonia DISTRIBUCIONES CONTINUAS · La probabilidad de que un circuito tenga una vida entre 3 y 12 años. b. La probabilidad de que un circuito que ha vivido más de 10](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022022104/5bc9e1e509d3f2ca148b59ee/html5/thumbnails/19.jpg)
Parte
entera
Parte
decimal
Probabilidad
TABLA DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR
![Page 20: Juan Carlos Colonia DISTRIBUCIONES CONTINUAS · La probabilidad de que un circuito tenga una vida entre 3 y 12 años. b. La probabilidad de que un circuito que ha vivido más de 10](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022022104/5bc9e1e509d3f2ca148b59ee/html5/thumbnails/20.jpg)
PROBABILIDADES EN LA DISTRIBUCIÓN
NORMAL
Propiedades:
P Z a P Z a 1 P Z a
P Z a P Z a
![Page 21: Juan Carlos Colonia DISTRIBUCIONES CONTINUAS · La probabilidad de que un circuito tenga una vida entre 3 y 12 años. b. La probabilidad de que un circuito que ha vivido más de 10](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022022104/5bc9e1e509d3f2ca148b59ee/html5/thumbnails/21.jpg)
DISTRIBUCIÓN NORMAL
Ejemplo:
X N 175 , 36
180 175
P X 180 P Z P Z 0.83336
180 175
P X 180 P Z 1 P Z 0.83336
P X 180 P Z 0.8333 0.7967
P X 180 1 P Z 0.8333 0.2033
![Page 22: Juan Carlos Colonia DISTRIBUCIONES CONTINUAS · La probabilidad de que un circuito tenga una vida entre 3 y 12 años. b. La probabilidad de que un circuito que ha vivido más de 10](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022022104/5bc9e1e509d3f2ca148b59ee/html5/thumbnails/22.jpg)
DISTRIBUCIÓN NORMAL
P X 180 0.7967 P X 180 0.2033
0.7967
0.2033
![Page 23: Juan Carlos Colonia DISTRIBUCIONES CONTINUAS · La probabilidad de que un circuito tenga una vida entre 3 y 12 años. b. La probabilidad de que un circuito que ha vivido más de 10](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022022104/5bc9e1e509d3f2ca148b59ee/html5/thumbnails/23.jpg)
DISTRIBUCIÓN NORMAL
Ejemplo:
165 175P X 165 P Z P Z 1.67
6
P X 165 P Z 1.67 P Z 1.67 0.9525
X N 175 , 36
0.9525 0.9525
![Page 24: Juan Carlos Colonia DISTRIBUCIONES CONTINUAS · La probabilidad de que un circuito tenga una vida entre 3 y 12 años. b. La probabilidad de que un circuito que ha vivido más de 10](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022022104/5bc9e1e509d3f2ca148b59ee/html5/thumbnails/24.jpg)
DISTRIBUCIÓN NORMAL
Ejemplo:
165 175P X 165 P Z P Z 1.67
6
P Z 1.67 P Z 1.67 1 P Z 1.67 1 0.9525 0.0475
X N 175 , 36
0.0475 0.0475
![Page 25: Juan Carlos Colonia DISTRIBUCIONES CONTINUAS · La probabilidad de que un circuito tenga una vida entre 3 y 12 años. b. La probabilidad de que un circuito que ha vivido más de 10](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022022104/5bc9e1e509d3f2ca148b59ee/html5/thumbnails/25.jpg)
DISTRIBUCIÓN NORMAL
Ejemplo:
165 175 165 180P 165 X 180 P Z
6 6
X N 175 , 36
P 165 X 180 P 1.67 Z 0.8333
P 165 X 180 P Z 0.8333 P Z 1.67
P 165 X 180 0.7967 1 0.9525 0.7492
P 165 X 180 P Z 0.8333 1 P Z 1.67
![Page 26: Juan Carlos Colonia DISTRIBUCIONES CONTINUAS · La probabilidad de que un circuito tenga una vida entre 3 y 12 años. b. La probabilidad de que un circuito que ha vivido más de 10](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022022104/5bc9e1e509d3f2ca148b59ee/html5/thumbnails/26.jpg)
DISTRIBUCIÓN NORMAL
Ejemplo:
165 175 165 180P 165 X 180 P Z 0.7492
6 6
X N 175 , 36
0.7492
![Page 27: Juan Carlos Colonia DISTRIBUCIONES CONTINUAS · La probabilidad de que un circuito tenga una vida entre 3 y 12 años. b. La probabilidad de que un circuito que ha vivido más de 10](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022022104/5bc9e1e509d3f2ca148b59ee/html5/thumbnails/27.jpg)
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
1. Si para cualquier número a, b se tiene:
2. Si X y Y son dos variables independientes tal que y entonces: 2
X XX N , 2
Y YY N ,
2 2
X Y X YX Y N ,
2X N ,
2 2aX b N a b , a
![Page 28: Juan Carlos Colonia DISTRIBUCIONES CONTINUAS · La probabilidad de que un circuito tenga una vida entre 3 y 12 años. b. La probabilidad de que un circuito que ha vivido más de 10](https://reader031.vdocuments.co/reader031/viewer/2022022104/5bc9e1e509d3f2ca148b59ee/html5/thumbnails/28.jpg)
APROXIMACIONES A LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
Aproximación Normal de la Distribución Binomial
Sea tal que n tiende a infinito entonces:
Esta aproximación será buena si y
Aproximación Normal de la Distribución de Poisson
Sea entonces:
Para
X B n , p
X N np , np 1 p
np 5 n 1 p 5
X P
X N ,
10