jhonny de jesús meza orozco - ecoe ediciones | libros ... la hoja de cálculo excel modificael...

Jhonny de Jesús Meza Orozco

Ingeniero en Transportes y Vías de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia. Especialista en Finanzas y especialista en Gestión Gerencial de la Universidad de Cartagena. Diplomado en Ingeniería Financiera en el ITSM de Monterrey. Diplomado en Finanzas Avanzadas de la Uninorte y Eafit.

Profesor de tiempo completo en la Universidad Popular del Cesar. Catedrático de Matemáticas Financieras en la Universidad de Santander. Profesor de Posgrado en el área financiera de las universidades del Norte, del Sinú, de Sucre, Tecnológica de Bolívar, de Cartagena, Popular del Cesar; en la Corporación Universitaria del Caribe.

Vicerrector de Investigación y Extensión de la Universidad Popular del Cesar. Miembro de la Sociedad Colombiana de Ingenieros. Autor de Evaluación Financiera de Proyectos.

Matemáticas financieras aplicadas

Quinta edición


Tabla de contenido

Prólogo .................................................................................................................................................. XIII

CAPÍTULO 0. PRELIMINARES ..................................................................................................... 11. Introducción ............................................................................................................................... 12.Ecuacionesdeprimergradoconunaincógnita .......................................................... 2

2.1Principiosfundamentalesdelasecuaciones ........................................................ 23. Potenciación ............................................................................................................................... 4

3.1Operacionesconpotencias......................................................................................... 43.2Operacionesinversasdelapotenciación ....................................................... 6 Radicación ......................................................................................................................... 7Operacionesconradicales.......................................................................................... 8

4.Logaritmos .................................................................................................................................. 94.1Propiedadesdeloslogaritmos ................................................................................. 94.2Operacionesconlogaritmos ..................................................................................... 104.3 Sistemas de logaritmos ............................................................................................... 11Logaritmosdecimalesovulgares(LogaritmosdeBriggs) ............................. 11Logaritmosnaturalesoneperianos ........................................................................ 12 Antilogaritmos ................................................................................................................. 12

5.Ecuacionesexponenciales .................................................................................................... 13

CAPÍTULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES .................................................................. 150. Introducción ........................................................................................................................... 151. Valordeldineroeneltiempo .......................................................................................... 162. Interés ....................................................................................................................................... 18

2.1Tasadeinterés ................................................................................................................ 193. Equivalencia ............................................................................................................................ 204. Resumendelosconceptosfundamentales ................................................................ 215. Símbolosysusignificado .................................................................................................. 226. Flujodecaja ........................................................................................................................... 23Cuestionario ..................................................................................................................................... 26Ejerciciosdeautoevaluación .................................................................................................... 27Ejerciciospropuestos .................................................................................................................... 28

VIII


CAPÍTULO 2. INTERÉS SIMPLE .............................................................................................. 310. Introducción ........................................................................................................................... 311. Definicióndeinteréssimple ............................................................................................. 32

1.1Característicasdelinteréssimple ............................................................................ 322. Cálculodelinterés ................................................................................................................ 323. Interéscomercialyreal ...................................................................................................... 344. Cálculodelnúmerodedíasentrefechas .................................................................... 355. Valorfuturoainteréssimple ............................................................................................ 386. Desventajasdelinteréssimple ........................................................................................ 397. Intereses moratorios ............................................................................................................ 418. Valorpresenteainteréssimple ....................................................................................... 429. Cálculodelatasadeinteréssimple .............................................................................. 4210. Cálculodeltiempodenegociación .............................................................................. 4311. Operacionesdedescuento ............................................................................................... 44

11.1 Descuento comercial ................................................................................................. 4411.2 Descuento racional o justo ...................................................................................... 45

Cuestionario ..................................................................................................................................... 47Ejerciciosdeautoevaluación ...................................................................................................... 48Ejerciciospropuestos .................................................................................................................... 48

CAPÍTULO 3. INTERÉS COMPUESTO ...................................................................................... 510. Introducción ........................................................................................................................... 511. Definicióndelinteréscompuesto .................................................................................. 52

1.1Capitalización .................................................................................................................. 521.2Períododecapitalización ........................................................................................... 52

2. Valorfuturoainteréscompuesto................................................................................... 523. Característicasdelinteréscompuesto .......................................................................... 544. Análisisdelafórmuladeinteréscompuesto ............................................................. 555. Introducciónalmanejodelacalculadorafinanciera ............................................. 59

5.1LahojadecálculoEXCEL ............................................................................................ 666. Valorfuturocontasavariable .......................................................................................... 707. Valorpresenteainteréscompuesto.............................................................................. 73

7.1Valorpresentecontasavariable .............................................................................. 768. Tasadeinteréscompuesta ................................................................................................ 789. Tiempodenegociación ..................................................................................................... 8010. Ecuacionesdevalor ............................................................................................................ 82

10.1Pasosparaconstruirunaecuacióndevalor ..................................................... 8311. Cálculodefechasdesconocidas ..................................................................................... 9212. EcuacionesdevalorconBuscarobjetivodeExcel .................................................. 98 Referenciasrelativasyreferenciasabsolutas ............................................................. 98

Amortización .......................................................................................................................... 99 Composicióndelospagos ............................................................................................... 100 Tabladeamortización ........................................................................................................ 100

IX


Cuestionario ..................................................................................................................................... 109Ejerciciosdeautoevaluación ...................................................................................................... 110Ejerciciospropuestos .................................................................................................................... 111

CAPÍTULO 4. TASAS DE INTERÉS ............................................................................................. 1230. Introducción ........................................................................................................................... 1231. Tasanominal ........................................................................................................................... 124

1.1Formasdeexpresarlatasanominal ....................................................................... 1241.1.1Enbancoscomerciales,compañíasdefinanciamientocomercialycorporacionesfinancieras ....................................................... 1241.1.2TasanominalreferenciadaconlaD.T.F. ..................................................... 1241.1.3TasanominalreferenciadaconlaUVR ...................................................... 125

2. Tasaefectiva ........................................................................................................................... 1253. Tasaperiódica ........................................................................................................................ 1254. Relaciónentrelatasanominalylatasaperiódica .................................................. 1275. Diferenciaentrelatasanominalylatasaefectiva .................................................. 1286. Ecuacióndelatasaefectiva ............................................................................................. 1287. Relaciónentrelastasasefectivasperiódicas .............................................................. 1308. Tasasequivalentes ................................................................................................................ 132

8.1Caso1(Efectiva⇔Efectiva) ...................................................................................... 1338.1.2Casodeefectivaperiódicamenoraefectivaperiódicamayor ........................................................................................................... 1338.1.3Casodeefectivaperiódicamayoraefectivaperiódicamenor ....... 135

8.2Caso2(Efectiva⇔Nominal) .................................................................................... 1398.3Caso3(Nominal⇔Efectiva) .................................................................................... 1418.4Caso4(Nominal⇔Nominal) .................................................................................. 144

9. Tasadeinterésanticipada ................................................................................................ 1479.1Conversióndeunatasaanticipadaenvencida ................................................. 1499.2Conversióndeunatasavencidaenanticipada ................................................. 151

10. Ecuacióndelatasaefectivaenfuncióndelatasa efectivaperiódicaanticipada ........................................................................................... 16211. Diagramadeconversióndetasasdeinterés ............................................................. 16512. Aplicacióndelatasaanticipadaconinteréscompuesto ...................................... 16613. Descuentosporprontopago .......................................................................................... 16714. D.T.F.(depósitoatérminofijo) ......................................................................................... 17215. Unidaddevalorreal(UVR) ............................................................................................... 174

15.1CaracterísticasdelaUVR.......................................................................................... 17415.2CálculodelaUVR ....................................................................................................... 175

16. Tasadeinflación ................................................................................................................... 17617. Tasarealotasadeflactada ................................................................................................ 187

17.1Rentabilidadnetadeunainversión ..................................................................... 18817.2Costodeladeudadespuésdeimpuestos ........................................................ 19117.3Rentabilidadrealdeunainversión ....................................................................... 193

X


17.4Costorealdeuncrédito ........................................................................................... 198Apéndice:factoresquedeterminanelcostodeldinero ................................................. 200Ejerciciosdeautoevaluación ...................................................................................................... 203Ejerciciospropuestos .................................................................................................................... 204

CAPÍTULO 5. ANUALIDADES O SERIES UNIFORMES ..................................................... 2190. Introducción ........................................................................................................................... 2191. Definicióndeanualidad ..................................................................................................... 221

1.1Rentaopago ................................................................................................................... 2211.2Períododerenta ............................................................................................................ 221

2. Condicionesparaqueunaseriedepagosseaunaanualidad ........................... 2213. Clases de anualidades......................................................................................................... 2214. Anualidadvencida ............................................................................................................... 222

4.1Valorpresentedeunaanualidadvencida ............................................................ 2224.2Valorpresentedeunaanualidadvencidacontasavariable ........................ 2284.3Valordelacuotaenfuncióndelvalorpresente ................................................ 2294.4Valorfuturodeunaanualidadvencida ................................................................. 234

4.4.1Valorfuturodeunaanualidadvencidacontasavariable .................. 2374.5Valordelacuotaenfuncióndelvalorfuturo ..................................................... 2424.6Cálculodeltiempodenegociación ....................................................................... 2474.7Cálculodelatasadeinterés ..................................................................................... 256

5. Anualidadconinterésglobal ........................................................................................... 2636. Cálculo del saldo insoluto ................................................................................................. 2697. Anualidadanticipada .......................................................................................................... 283

7.1Valorpresentedeunaanualidadanticipada ...................................................... 2847.2Valordelacuotadeunaanualidadanticipada ................................................. 2967.3Cálculodeltiempodenegociación ....................................................................... 3027.4Cálculodelatasadeinterésdeunaanualidadanticipada ........................... 3047.5Valorfuturodeunaanualidadanticipada ........................................................... 312

8. Anualidaddiferida ............................................................................................................... 3149. Anualidadperpetua ............................................................................................................. 320

9.1Valorpresentedeunaanualidadperpetua ......................................................... 32010. Anualidad general ................................................................................................................ 321

10.1Períododecapitalización ......................................................................................... 32210.2Períododepago .......................................................................................................... 322

Apéndice:arrendamientofinanciero(LEASING) ................................................................ 328Cálculodelcanondearrendamientovencido .................................................................... 329Cálculodelcanondearrendamientoanticipado .............................................................. 333Ejerciciosdeautoevaluación ...................................................................................................... 337Ejerciciospropuestos .................................................................................................................... 338

XI


CAPÍTULO 6. GRADIENTES O SERIES VARIABLES ............................................................ 353 Introducción ......................................................................................................................................... 3531. Definición ................................................................................................................................ 3552. Condicionesparaqueunaseriedepagosseaungradiente .............................. 3553. Gradientelinealoaritmético ........................................................................................... 355

3.1Gradientelinealcreciente .......................................................................................... 3564. Gradientelinealdecreciente ............................................................................................ 370

4.1Valorpresentedeungradientelinealdecreciente........................................... 3705. Gradientegeométricooexponencial ........................................................................... 376

5.1Gradientegeométricocreciente .............................................................................. 3765.2Gradientegeométricodecreciente ......................................................................... 382 Valorpresentedeungradientegeométricodecreciente ............................ 382

6.Gradienteescalonadooenescalera ............................................................................... 3856.1Valorpresentedeungradientegeométricoescalonado .............................. 385

Conclusionesdelejemploresumen ........................................................................................ 393Ejerciciosdeautoevaluación ...................................................................................................... 397Ejerciciospropuestos .................................................................................................................... 397

CAPÍTULO 7. SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN .................................................................... 405 Definición .............................................................................................................................................. 405 1. Sistema de amortización ..................................................................................................... 405

1.1Composicióndelospagos......................................................................................... 4061.2Tabladeamortización ................................................................................................. 4061.3 Cálculo del saldo insoluto .......................................................................................... 406

2. Sistemas de amortización ................................................................................................. 4062.1Amortizaciónconpagoúnicodelcapitalalfinaldelplazo ......................... 4072.2Sistemadecuotafija .................................................................................................... 4082.3Sistemadecuotafijaconcuotasextraordinarias .............................................. 4102.4Sistemadecuotafijaconperíododegracia ...................................................... 4122.5Sistemadeabonoconstanteacapital .................................................................. 416Coninteresesvencidos ....................................................................................................... 416

Coninteresesanticipados ................................................................................................. 4212.6Sistemadecuotafijaconinterésglobal ............................................................... 4252.7Sistemadecuotascrecientesenformalineal .................................................... 4272.8Sistemadecuotascrecientesenformageométrica ........................................ 4302.9Amortizaciónconcuotasmensualesfijas,crecientesanualmenteenunporcentajefijo .................................................................................. 4322.10Sistemadecuotafijacontasavariable(D.T.F.)................................................. 4342.11Sistemadeabonoconstanteacapitalcontasavariable(D.T.F.) ............... 4372.12FinanciacióndelaviviendaenColombia ......................................................... 438Comparaciónentrelossistemasdeamortización ....................................... 445

Ejerciciosdeautoevaluación ...................................................................................................... 446Ejerciciospropuestos ................................................................................................................... 446

XII


CAPÍTULO 8. EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN ............................... 455 Introducción ......................................................................................................................................... 4551. Tasadedescuento ................................................................................................................ 4562. Valorpresenteneto(VPN) ................................................................................................ 456

2.1CriteriosparaseleccionaralternativasusandoelVPN .................................... 4622.2¿QuémuestraelVPN? ................................................................................................. 4702.3ConclusionessobreelVPN ........................................................................................ 4712.4Valorpresentenetonoperiódico(VPN.NOPER.) ........................................... 471

3. Tasainternaderetorno(TIR) ............................................................................................ 474 MétodográficoparacalcularlaTIR .............................................................................. 480 ¿CómosegraficaelperfildelVPN? .............................................................................. 481 SignificadodelaTIR ............................................................................................................ 481 CriteriosdeseleccióndealternativasusandolaTIR ............................................... 4834. Tasaverdaderaderentabilidad(TIRmodificada) ..................................................... 4835. Tasainternaderetornonoperiódica(TIR.NO.PER.) ............................................. 487Cuestionario ..................................................................................................................................... 489Ejerciciosdeautoevaluación ...................................................................................................... 490Ejerciciospropuestos ................................................................................................................... 491

BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................................... 501

XIII

Prólogo

Losoportunoscomentarios recibidosdepartedeprofesoresde lamateria,alumnosdepregradoyposgrado,asícomodepequeñosempresariosyconsultoresfinancierossobrelacuartaedicióndeestelibro,yelavancetecnológicoenmateriadeherramientascomputacionalesaplicablesa lasfinanzashicieron imperiosa lanecesidaddeescribirestaquintaedición.Sonmuchosloscambiosconrespectoalacuartaedición.ElusoeficientedelahojadecálculoExcelmodificaelsistematradicionaldeenseñanzadelasMatemáticasFinancieras,queseapoyanenelsupuestodelareinversiónaunamismatasadeinterés,yestoenlaprácticaes,muchasveces,irreal.BajoestaconcepciónseenseñatodavíalaMatemáticaFinancierayasífueronconcebidaslasfórmulasparahacercálculosfinancieros.Enlavidareallastasasdeinteréssonfluctuantesenperíodoscortosdetiempo,detalformaquelaconcepcióntradicionalpresentasuslimitaciones.Porestasrazones,enestetexto,seplanteannuevassituacionesatravésdeejerciciosresueltosypropuestos,enlascualesesnecesarioconsiderarelescenariodetasasvariables.

Enelcapítulo3,Interéscompuesto,seincluyeelcálculodelvalorfuturoyvalorpresentecontasavariable.Enestemismocapítuloseutiliza,paralosejerciciosqueeranresueltosconunaecuaciónmatemáticaconocidacomoecuacióndevalor,laherramientadeExcel,Buscar objetivoqueresuelvecualquierecuacióndeunaincógnita,comolosonlasecua-cionesdelasMatemáticasFinancieras.TambiénseincorporanaloscálculosfinancieroslasnuevascalculadorasfinancierasFC100VyFC200V.

Enelcapítulo4,Tasasdeinterés,seresuelvennuevosejerciciosdeconversionesdetasasdeinterés,orientadosalsectorfinancieroyaplicadoalavidapráctica.Seestableceunaimportantediscusiónsobrelaconsideracióndelastasasperiódicascomotasasefectivas.SeestudiaendetallelatasadereferenciaDTFylaunidaddevalorreal(UVR).

Enloscapítulos5y6(AnualidadesyGradientes)losejerciciosseresuelven,ademásdelaaplicacióndelasfórmulasylacalculadorafinanciera,conlafuncióndeExcelBuscar objetivo, escenarioesteque lepermitiráal lector visualizar a travésdeuna tabladeamortizaciónlaevolucióndelaoperaciónfinanciera.

XIV


Enelcapítulo7,Sistemasdeamortización,ademásdelossistemastradicionalesqueseutilizanparaamortizarunaobligaciónfinanciera,seplanteaelcasodelsistemadecuotafijaytasavariable,específicamenteelcasodeuncréditobancarioocomercialreferenciadoconlatasaDTF.

Enelcapítulo8,ademásdelestudiodelVPNylaTIRenproyectosconflujosnetosdeefec-tivoperiódicos,seestudiansituacionesfinancierasenlascualeséstosnonecesariamentetienenqueserperiódicos,queseresuelvenpormediodelVPNylaTIRnoperiódicos.

Creemosquedeestaformapresentamosalacomunidaduniversitariayalsectorem-presarialunaobraactualizada,conlasnuevasconcepcionesyherramientasfinancierasquelespermitanpotenciarsuacervoacadémico,ycontarconlossuficienteselementosdejuicioparatomarenformaacertadalasdecisionesfinancieras.


[email protected]

Hay dos tipos de expertos en finanzas: los que han hecho enormes fortunas personales y los que no poseen nada en absoluto. Para un millonario, mil millones de pesos es algo

concreto y comprensible.

Para el experto en matemáticas aplicadas y para el conferencis-ta de temas económicos (suponiendo que ambos se encuentren en la miseria) mil millones de pesos son tan irreales como un millón de pesos, pues nunca han poseído esas sumas. Pero el mundo está lleno de personas que se hallan entre ambas categorías extremas, personas que nada saben de millones pero que están muy acostumbradas a pensar en miles, y son precisamente éstas las que forman los comités de finanzas.

C. Northcote Parkinson

1

Capitulo 0

Preliminares

La Matemática es la reina de las ciencias y la Aritmética la reina de la Matemática.

C. F. Gauss

1. IntroduccIón

Hasidoevidenteparaelautor,porsuexperienciacomodocenteuniversitarioeneláreadefinanzas,elbajoniveldepreparaciónque,enlacienciadelosnúmeros,exhibeunabuenapartedelalumnadoqueasistealcursodeMatemáticasFinancieras,noobstantehabercursadolasmatemáticasbásicasenlosprimerossemestresdeeducaciónsuperior.Lascausassondiversas,entrelasquesedestacancircunstanciassicológicasy,sobretodo,metodológicas.Enprimerlugar,pocoesloquesehahechopordesarraigarlaprevencióndequelacienciamatemáticaesdemasiadodifícilyestádestinadaapersonasdotadasdecondicionesexcepcionalmenteespeciales.Y,porotraparte,lametodologíadesarro-lladaporalgunosdocentesnodespiertanelentusiasmoyelinteréshaciaestaciencia.

LaMatemáticaFinancieraesunaramadelamatemáticabásicacuyosoporteeslaArit-mética.Tantoesasí,quealgunosautorescoincidenenafirmarquebienpodríallamarseAritmética Financiera,yaqueparasumanejoycomprensiónsóloesnecesarioaplicarlasoperacionesfundamentalesdelaaritmética,algodesentidocomúnycapacidaddeanálisis.

Conscienteelautordeestarealidadyconelánimodequeellectorpuedaabordarsinprejuicioselestudiodeestetexto,seproponeexponerenestecapítulo,enunaformaclarayresumida,lasoperacionesfundamentalesdelaAritmética,haciendoreferenciaalostemasespecíficosqueseaplicanenlasolucióndelosproblemasdelasMatemáticasFinancieras,aunqueloidealseríaqueellectorhicieraunrepasogeneralyconcienzudodeestamateriautilizandocualquieradelostantostextosquesobreestetemaexisten.

Otros títulos de interés

Evaluación Financiera de proyectos


Contabilidad administrativaGonzalo Sinisterra

Contabilidad generalÁngel María Fierro

Estado de flujo de efectivoRodrigo Estupiñan Gaitán

Costos para PyMECarlos Augusto Rincón

Contabilidad de costosGonzalo Sinisterra Valencia

Estados FinancierosJavier A. Carvalho

Gstión financieraMarcial Córdoba Padilla

Es común para cualquier persona que abre una cuenta de ahorros, constituye un CDT, solicita un crédito bancario, comercial o de vivienda y tiene en mente realizar una inversión; sentirse agobiado por la di�cultad de comprender los indicadores y sistemas de pagos propios de nuestros sistemas �nanciero y comercial, tales como tasa efectiva, tasa nominal, DTF, UVR, TIR, VPN, sistemas de amortización de créditos, etcétera. En esta quinta edición se tratan en una forma sencilla estos, y otros, aspectos propios de las Matemáticas Financieras utilizando además de los procedimientos de cálculo tradicionales, los equivalentes con las diferentes calculadoras �nancieras y el Excel.

Como material de enseñanza complementario el lector podrá descargar del SIL (Sistema de Información en Línea) los siguientes archivos:1.. plicativo de conversión de tasas de interés2.. plicativo para el cálculo de intereses moratorios3.. olucionario de ejerciciosEl texto está orientado más al aprendizaje que a la enseñanza, de tal forma que cualquier persona con los fundamentos matemáticos básicos y con deseos de aprender esta disciplina, puede abordarlo sin di�cultad.

Colección: Ciencias administrativasÁrea: Contabilidad y �nanzas.

Matemáticasfinancieras aplicadas

9 789587 710021

ISBN: 978-958-771-002-1

e-ISBN: 978-958-771-003-8

jhonny de jesús meza orozco - ecoe ediciones | libros ... la hoja de cálculo excel modificael...

Documents