IV. LOS CUATROPILARES DEL ANALISISFUNCIONAL

El sugestivo tıtulo que proponemos para este capıtulo, y uti-lizado por varios autores, quiere indicar que toda la estructuradel Analisis Funcional esta basada en cuatro poderosos pilares:los teoremas de Hahn-Banach, de Banach-Steinhaus, de la apli-cacion abierta y del grafico cerrado. Tanto en este capıtulo comoen los siguientes se ofrece una amplia gama de aplicaciones yconsecuencias que han permitido un desarrollo significativo en lateorıa que nos ocupa.

SECCIONES

1. Teorema de Hahn-Banach.

2. Consecuencias del teorema de Hahn-Banach. Espacio doble dual.

3. Teorema de categorıa de Baire.

4. Principio de acotacion uniforme y teorema de Banach-Steinhaus.

5. Convergencia de sucesiones en espacios normados.

6. Teorema de la aplicacion abierta.

7. Teorema del grafico cerrado.

8. Clausura de un operador.

9. Ejercicios.

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1. TEOREMA DE HAHN-BANACH.

El teorema de Hahn-Banach es un teorema de extension de funcionales li-neales (entendemos por un teorema de extension aquel en donde, definido unobjeto matematico sobre un subconjunto Y ⊂ X, se quiere definir dicho ob-jeto sobre todo el conjunto X de manera que se mantengan las propiedadesbasicas del objeto en el conjunto donde se extendio).

En Analisis son frecuentes los casos en que un funcional lineal es dominadopor un funcional sublineal convexo. Por ejemplo, la integral de Riemann deuna funcion x = x(t) es un funcional lineal f(x) =

∫ 10 x(t)dt; en cambio, la

integral superior p(x) es sub-lineal y se tiene que f(x) ≤ p(x). Queremosextender tambien aquı un funcional lineal que verifique una propiedad deacotacion similar. Por el teorema de representacion de Riesz, sabemos quetodo funcional lineal en un espacio de Hilbert es un producto escalar. Quere-mos saber ahora bajo que condiciones existen funcionales lineales acotadosen un espacio de Banach arbitrario y la respuesta a esto la da el teorema deHahn-Banach.

Se probara primero el caso donde el espacio normado es real (resultado debi-do a Hahn en 1927 y Banach en 1929) y luego veremos como ciertas modifica-ciones permiten demostrar el caso complejo (que fue hecho por Bohnenblusty Sobczyk en 1938).

1.1.- Definicion. Sean X un espacio vectorial sobre E y p : X → R unfuncional. Diremos que

(1) p es sub-aditiva cuando p(x + y) ≤ p(x) + p(y), ∀x, y ∈ X;

(2) p es homogenea positiva cuando p(αx) = αp(x), ∀x ∈ X, α ≥ 0;

(3) p es simetrica cuando p(αx) = |α|p(x), ∀x ∈ X, α ∈ E;

(4) p es convexa cuando p(αx+(1−α)y) ≤ αp(x)+(1−α)p(y), ∀x, y ∈ X,α ∈ [0, 1].

Ası diremos que p es funcional sublineal si es sub-aditiva y homogenea po-sitiva y p es seminorma si es sub-aditiva y simetrica.

En particular, la norma es un funcional sublineal e incluso una seminor-ma.

Una primera relacion entre dichos conceptos viene dada en el siguiente re-sultado, cuya demostracion omitimos.

1.2.- Lema. Un funcional p : X → E en un espacio vectorial es una semi-norma si y solo si es una aplicacion simetrica y convexa.

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1.3.- Lema. Sea X un espacio vectorial real, M un subespacio propio deX, x0 ∈ X \ M . Sea N = 〈M ∪ {x0}〉, f : M → R un funcional lineal,p : X → R un funcional sub-lineal tal que f(x) ≤ p(x), ∀x ∈ M. Entoncesexiste F : N → R funcional lineal tal que F (x) ≤ p(x), ∀x ∈ N , y f(x) =F (x), ∀x ∈ M (F es entonces una extension de f).

Demostracion. Si y1, y2 ∈ M, entonces

f(y1)−f(y2)=f(y1−y2)≤p(y1−y2)=p(y1+x0−x0−y2)≤p(y1+x0)+p(−y2−x0),

de donde −p(−y2 − x0)− f(y2) ≤ p(y1 + x0)− f(y1).

Como el primer miembro no depende de y1 y el segundo no depende de y2,entonces, llamando

a = sup{−p(−y2 − x0)− f(y2) : y2 ∈ M},b = ınf{p(y1 + x0)− f(y1) : y1 ∈ M},

es claro que a ≤ b.

Llamamos c ∈ R a un numero que verifica a ≤ c ≤ b. Por tanto, ∀y ∈M,

(∗) −p(−y − x0)− f(y) ≤ c ≤ p(y + x0)− f(y).

Definimos F : N → R como F (y + αx0) = f(y) + αc, con y ∈ M, α ∈ R,que es un funcional lineal en N y evidentemente extiende a f .

Falta comprobar que F esta acotado por p:

(a) Si α = 0, F (y + αx0) = f(y) ≤ p(y) =⇒ F (x) ≤ p(x), ∀x ∈ M.

(b) Si α > 0, aplicamos la segunda desigualdad de (∗) al elemento y/α :

c ≤ p(y/α + x0)− f(y/α) =⇒ 1α

f(y) + c ≤ p(y/α + x0)

=⇒ f(y) + αc ≤ p(y + αx0)=⇒ F (y + αx0) ≤ p(y + αx0).

(c) Si α < 0, aplicamos la primera desigualdad de (∗) al elemento y/α:

−p(−y/α− x0)− f(y/α) ≤ c =⇒ − 1α

f(y)− c ≤ p(−y/α− x0)

=⇒ f(y) + αc ≤ p(y + αxo)=⇒ F (y + αx0) ≤ p(y + αx0). ♦

1.4.- Teorema (Hahn-Banach real). Sea X un espacio vectorial real, M unsubespacio de X, p un funcional sub-lineal sobre X, f un funcional lineal

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sobre M tal que ∀x ∈ M, f(x) ≤ p(x). Entonces existe F : X → R funcionallineal que extiende a f y tal que F (x) ≤ p(x), ∀x ∈ X.

Demostracion. Consideremos el conjuntoS = {g : D(g) → R : g lineal, g|M = f y g(x) ≤ p(x), ∀x ∈ D(g)}.

El conjunto S es no vacıo porque f ∈ S; definimos un orden parcial en Sası:g1 ≤ g2 si g2 es extension de g1, es decir, si D(g1) ⊂ D(g2) y g2|D(g1) = g1.

Veamos que S es inductivo, es decir que toda cadena (subconjunto total-mente ordenado) en S posee una cota superior en S:

Sea pues C = {gα : α ∈ I} un subconjunto de S totalmente ordenado, ydefinimos g : D(g) → R como g(x) = gα(x), si x ∈ D(gα). Ası, D(g) =⋃

α∈I D(gα).

• D(g) es un subespacio de X:Si x, y ∈ D(g), y λ, µ ∈ R, entonces ∃α, β ∈ I : x ∈ D(gα), y ∈ D(gβ)e incluso λx ∈ D(gα), µy ∈ D(gβ). Si suponemos que D(gα) ⊂ D(gβ),entonces λx, µy ∈ D(gβ) y λx + µy ∈ D(gβ). De aquı resulta queλx + µy ∈ D(g).

• g esta bien definido:Si x ∈ D(gα) y x ∈ D(gβ), entonces g(x) = gα(x), g(x) = gβ(x). ComoC esta totalmente ordenado, si D(gα) ⊂ D(gβ), gβ extiende a gα, demodo que gβ(x) = gα(x).

Es facil comprobar que g es lineal, que extiende a f , que g(x) ≤ p(x), ∀x ∈D(g) y que gα ≤ g, ∀α ∈ I. Podemos ası aplicar el lema de Zorn, que asegurala existencia de F ∈ S elemento maximal de S.

Solo falta probar que D(F ) = X. Si suponemos lo contrario, deberıa existiralgun x0 ∈ X \D(F ). Por el lema anterior, ∃F ′ definido en 〈D(F ) ∪ {x0}〉,que extiende a F y tal que F ′(x) ≤ p(x), ∀x ∈ D(F ′). Esto quiere decir queF ′ ∈ S y F no puede ser maximal, lo que lleva a una contradiccion.♦

Observacion. Si queremos evitar el uso del lema de Zorn (que hace quela prueba no sea constructiva) podrıamos aplicar el metodo indicado enel lema previo. Se construye ası una sucesion de espacios N1, N2, . . . talesque M ⊂ N1 ⊂ N2 ⊂ . . . y una sucesion de funcionales lineales F1, F2, . . .definidos en N1, N2, . . . cada uno extension del anterior y todos acotados porp. La demostracion estarıa completa si pudieramos escribir X =

⋃∞i=1 Ni,

lo cual no siempre es cierto. Sin embargo la mayorıa de los espacios quese encuentran en Analisis verifican lo anterior. Ademas en los espacios deHilbert tambien se simplifica mucho la demostracion como mostraremos enbreve.

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1.5.- Teorema (Hahn-Banach complejo). Sea X un espacio vectorial com-plejo, M un subespacio de X, p una seminorma en X. Sea f un funcionallineal sobre M tal que ∀x ∈ M, |f(x)| ≤ p(x). Entonces existe F : X → Cfuncional lineal que extiende a f y tal que |F (x)| ≤ p(x), ∀x ∈ X.

Demostracion. Si escribimos f(x) = f1(x)+if2(x) con f1 = Re f, f2 = Im f,probaremos en primer lugar que f1 y f2 son funcionales lineales reales, esdecir, ∀x ∈ M, ∀α ∈ R : fi(αx) = αfi(x), i = 1, 2 :

Sea pues α ∈ R. Ası,

f(αx) = f1(αx) + if2(αx),αf(x) = αf1(x) + iαf2(x).

Igualando las partes real e imaginaria, obtenemos lo deseado.

Por otra parte, como if(x) = if1(x)− f2(x) = f1(ix) + if2(ix), resulta quef1(ix) = −f2(x).

Por hipotesis, como |f(x)| ≤ p(x), resulta en particular que f1(x) ≤ p(x).

Aplicamos el teorema de Hahn-Banach real a f1 y probamos la existenciade F1 : X → R que extiende a f1 y tal que F1(x) ≤ p(x), ∀x ∈ X.

Definimos ahora F (x) = F1(x)− iF1(ix) y probaremos lo siguiente.

• F extiende a f : Si x ∈ M, F1(x) = f1(x) y F1(ix) = f1(ix) = −f2(x) dedonde F (x) = f1(x) + if2(x) = f(x).

• F es un funcional lineal real (evidente porque F1 lo es).

• F es un funcional lineal complejo: Como

F (ix) = F1(ix)− iF1(−x) = F1(ix) + iF1(x)

y ademas iF (x) = iF1(x) + F1(ix), entonces F (ix) = iF (x) y portanto, F (αx) = αF (x).

• |F (x)| ≤ p(x): Supongamos que F (x) 6= 0, y escribimos F (x) = reiϑ. Ası,F (e−iϑx) = r = |F (x)|. Por tanto, la parte imaginaria de F (e−iϑx)es cero, −F1(ie−iϑx) = 0, con lo que F (e−iϑx) = F1(e−iϑx). ComoF1(x) ≤ p(x),

|F (x)| = F (e−iϑx) = F1(e−iϑx) ≤ p(e−iϑx) = p(x). ♦

Como aplicacion estudiaremos la situacion de los funcionales lineales acota-dos en espacios normados, tal como nos preguntabamos al principio de laseccion.

1.6.- Teorema (Hahn-Banach en espacios normados). Sea f un funcionallineal y acotado sobre un subespacio M de un espacio normado X. Entonces

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existe un funcional lineal y acotado F sobre X que extiende a f y conservala norma.

[Esto asegura que existe alguna extension de f que tiene norma mınima.]

Demostracion. Si M = {0}, f = 0 y su extension es F = 0.

Si M 6= {0}, definimos el funcional p : X → R por p(x) = ‖f‖M · ‖x‖.Ası definido, se verifica que p(x+y) ≤ p(x)+p(y) y p(αx) = |α| ·p(x), ∀α ∈C.

Efectivamente, p(x+ y) = ‖f‖ · ‖x+ y‖ ≤ ‖f‖ · ‖x‖+ ‖f‖ · ‖y‖ = p(x)+ p(y)y p(αx) = ‖f‖ · ‖αx‖ = |α| · ‖f‖ · ‖x‖ = |α| · p(x).

Ademas, como f esta acotado, |f(x)| ≤ ‖f‖ · ‖x‖ = p(x).

Se cumplen ası las condiciones del teorema de Hahn-Banach, lo que asegurala existencia de un funcional lineal F : X → C tal que F (x) = f(x), ∀x ∈ M,y |F (x)| ≤ p(x), ∀x ∈ X.

Como |F (x)| ≤ ‖f‖ · ‖x‖, entonces ‖F‖X ≤ ‖f‖M . Pero al ser F extensionde f , ‖F‖X ≥ ‖f‖M , con lo que se deduce la igualdad de las normas.♦

Como anunciabamos antes, el caso especial de espacios de Hilbert es ex-tremadamente simple, debido al teorema de representacion de Riesz. Comotodo funcional sobre M tiene la forma f(x) = 〈x, y〉, y ∈ M , y el productointerior se puede definir en todo X, existe F (x) = 〈x, y〉, ∀x ∈ X extensionde f y ‖F‖ = ‖y‖ = ‖f‖.

2. CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE HAHN-BANACH.ESPACIO DOBLE DUAL.

Ilustramos en esta seccion algunas consecuencias del teorema de Hahn-Banach y proponemos en los ejercicios al final del capıtulo mas aplicacionesdel mismo. Una version geometrica del teorema se sugiere como tema com-plementario y puede ser consultado en las obras de referencia.

2.1.- Teorema. Sea M un subespacio de un espacio vectorial normado X yx0 ∈ X un elemento que verifica d = d(x0,M) > 0. Entonces existe F : X →E lineal y acotado tal que ‖F‖ = 1, F (x0) = d, F (x) = 0, ∀x ∈ M.

Demostracion. Sea M1 = {z ∈ X : z = αx0 + x, α ∈ E, x ∈ M}. Definimosf : M1 → E por f(z) = αd. Observamos en primer lugar que la represen-tacion z = αx0 + x es unica: en caso contrario, si ademas z = α′x0 + x′,

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entonces (α′ − α)x0 = x− x′ ∈ M, de donde α′ − α = 0 y x− x′ = 0. Estoquiere decir que f esta bien definido. Ademas f es lineal en M1 y se anulasobre M . Por otra parte, como

|f(αx0 + x)| = |α|d ≤ |α| ·∥∥∥x0 +

x

α

∥∥∥ = ‖αx0 + x‖,

f esta acotado en M1 y ‖f‖ ≤ 1. Como ademas, dado cualquier ε > 0, ∃x1 ∈M : ‖x0 − x1‖ < d + ε, entonces f(x0 − x1) = d y

|f(x0 − x1)|‖x0 − x1‖

>d

d + ε= 1− ε

d + ε,

resulta que ‖f‖ = 1.

Por el teorema de Hahn-Banach, existe un operador F : X → E lineal yacotado tal que ‖F‖ = 1 y F = f en M1. ♦

2.2.- Corolario. Sea X un espacio vectorial normado y x0 6= 0 un elementode X. Entonces existe un funcional F lineal y acotado sobre X tal que ‖F‖ =1 y F (x0) = ‖x0‖.

Demostracion. Basta hacer M = {0} en el teorema anterior. ♦

Este resultado prueba que el dual de un espacio no trivial es tambien notrivial. Ademas en un espacio normado X existen funcionales que separanpuntos distintos de X, es decir si x 6= y, existe f ∈ X ′ tal que f(x) 6=f(y).

2.3.- Corolario. Si x1 ∈ X es tal que f(x1) = 0 para todo funcional linealy acotado f de X, entonces x1 = 0.

Dado un espacio normado (X, ‖ · ‖), a cada x ∈ X le hacemos corresponderel funcional x : X ′ → E definido por x(f) = f(x). Ası definido, se pruebaque x esta en el doble dual de X.

2.4.- Proposicion. Para cada x ∈ X,

a) x es lineal.

b) |x(f)| ≤ ‖x‖ · ‖f‖, para todo f ∈ X ′.

c) x ∈ X ′′ y ‖x‖ ≤ ‖x‖.

La demostracion es evidente.

2.5.- Proposicion. Para cada x ∈ X, ‖x‖ = ‖x‖.

Demostracion. Por el teorema de Hahn-Banach, para cada x ∈ X, existef ∈ X ′ tal que ‖f‖ = 1 y f(x) = ‖x‖. Para esta f tenemos que

|x(f)| = |f(x)| = ‖x‖ = ‖x‖ · ‖f‖.

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Luego ‖x‖ = sup‖f‖=1 |x(f)| ≥ ‖x‖. ♦

La proposicion anterior indica que la aplicacion Φ : X → X ′′ definida porΦ(x) = x es una isometrıa lineal. Esta aplicacion es la llamada inmersionnatural y origina el siguiente concepto.

2.6.- Definicion. Un espacio normado X es reflexivo cuando la aplicacionΦ es sobre. En este caso X y X ′′ son isometricos.

Ejemplo. Si 1 < p < ∞, `p es reflexivo. En primer lugar, (`p)′′ es isomorfoa `p; falta pues verificar que la composicion del isomorfismo natural de `p

en (`p)′ con el isomorfismo natural de (`p)′ en (`p)′′, da lugar a la inmersionde `p en (`p)′′.

Los siguientes resultados muestran que los espacios reflexivos forman unaclase comprendida entre las de los espacios de Hilbert y los de Banach.

2.7.- Proposicion. Si X es reflexivo, entonces X es de Banach.

La demostracion es evidente porque, al ser X ′′ de Banach y X isometrico aX ′′, X debe ser tambien de Banach.

2.8.- Proposicion. Todo espacio normado de dimension finita es reflexi-vo.

Tambien la prueba es directa pues si dim X = n, entonces dim X ′ = n, dedonde dim X ′′ = n. Esto prueba la reflexividad de X.

2.9.- Proposicion. Todo espacio de Hilbert es reflexivo.

Demostracion. Basta probar que la aplicacion Φ : X → X ′′ definida porΦ(x) = x es sobre.

Para ello sea g ∈ X ′′ y definimos f : X → E por f(x) = g(Tx), dondeT : X → X ′ viene dada por (Tx)(y) = 〈y, x〉.

El operador T es antilineal y ‖T‖ = 1, lo que permite deducir que f ∈ X ′.Por el teorema de representacion de Riesz, existe z ∈ X tal que f(x) = 〈x, z〉.Por tanto g(Tx) = 〈z, x〉 = (Tx)(z) = Φ(z)(Tx). Como ademas T es sobre(lo que se puede comprobar tambien mediante el teorema de representacionde Riesz), Φ(z) = g, como querıamos demostrar. ♦

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3. TEOREMA DE CATEGORIA DE BAIRE.

La completitud de ciertos espacios suele ser fundamental en muchos teoremasdel Analisis. En el caso de espacios metricos, un instrumento de muchautilidad es el teorema de categorıa que exponemos en esta seccion.

3.1.- Definicion. Sea X un espacio metrico y M ⊂ X.

(a) M es raro o nunca denso de X si M tiene interior vacıo (lo que equivalea que M

c es denso en X).

(b) M es de primera categorıa si es union numerable de conjuntos nuncadensos.

(c) M es de segunda categorıa si no es de primera categorıa.

3.2.- Ejemplos. 1) Si d es la metrica trivial, el unico conjunto nunca densoes el vacıo.

2) El conjunto vacıo es de primera categorıa. Por lo tanto, no puede ser desegunda categorıa.

3) En R con la metrica usual, Q es de primera categorıa pues, por ser nu-merable, Q =

⋃∞i=1{xi} y {xi} = {xi}, int{xi} = ∅.

4) Si {Ai}∞i=1 son de primera categorıa,⋃∞

i=1 Ai tambien lo sera.

5) Si A es de primera categorıa y C de segunda, con C = A ∪ B, entoncesB es de segunda categorıa. Por tanto, en el ejemplo 3), como R = Q ∪ I y Res de segunda categorıa, I tambien lo sera.

3.3.- Lema (teorema de interseccion de Cantor). Sea (X, d) un espaciometrico completo y (Fn)n∈N una sucesion decreciente de subconjuntos novacıos y cerrados de X tales que δ(Fn) → 0 (donde se define δ(M) =sup{d(x, y) : x, y ∈ M}. Entonces

⋂∞n=1 Fn contiene exactamente un pun-

to.

Demostracion. Sea xn ∈ Fn. Por ser δ(Fn) → 0, la sucesion (xn)n∈N es deCauchy, por lo que existe x = lım xn. Fijado n0 ∈ N, xn ∈ Fn0 , ∀n ≥ n0.Como Fn0 es cerrado, x ∈ Fn0 =⇒ x ∈

⋂n≥1 Fn.

Ademas, como δ(⋂

n≥1Fn) ≤ δ(Fn) → 0, δ(

⋂n≥1

Fn) = 0 =⇒⋂

n≥1Fn = {x}.

♦

3.4.- Lema. Sean X un espacio metrico completo, A ⊂ X un subconjuntonunca denso y B ⊂ X una bola abierta. Entonces existe B1 ⊂ B bola cerradatal que B1 ∩ A = ∅. Ademas se puede elegir B1 para que δ(B1) < k, ∀k >0.

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Demostracion. Como int(A) = ∅, debe ser B 6⊂ A, de modo que ∃x ∈ B\ A.Por ser B abierto y A cerrado, existe r > 0 : B(x, r) ∩ A = ∅. Podemoselegir r de modo que B(x, r) ⊂ B y B(x, r) ∩ A = ∅. Ademas, dado k > 0,tomando r < k/2, δ( B(x, r)) < k. ♦

3.5.- Teorema (categorıa de Baire). Si un espacio metrico X 6= ∅ es com-pleto, es de segunda categorıa.

Demostracion. Dada cualquier sucesion (An)n∈N de conjuntos nunca densosen X, probaremos que existe x ∈ X : x 6∈

⋃n∈N An.

Por el lema 3.4, existe F1 bola cerrada con δ(F1) < 1, F1 ∩A1 = ∅.

Ademas, existe F2 ⊂ int(F1) bola cerrada con δ(F2) < 1/2 : F2 ∩ A2 =∅.

Aplicando el mismo procedimiento, obtenemos una sucesion (Fn)n∈N de bo-las cerradas tales que Fn ⊂ int(Fn−1), δ(Fn) < 1/n, Fn ∩An = ∅.

Por el lema 3.3, existe x ∈⋂

n∈N Fn, de modo que x 6∈ An, ∀n, lo que implicaque x 6∈

⋃n∈N An. ♦

Observaciones. 1) El recıproco de este teorema no es cierto (vease en[Bou1] un ejemplo de un espacio normado incompleto que es de segundacategorıa).

2) Una aplicacion curiosa del teorema consiste en probar la existencia de fun-ciones continuas en todo [0, 1] y no derivables en ningun punto del intervalo(se puede ver en [BN]).

4. PRINCIPIO DE ACOTACION UNIFORME Y TEOREMA DEBANACH-STEINHAUS.

Las ideas de la seccion anterior las aplicaremos a continuacion para demos-trar otro de los teoremas fundamentales del capıtulo, como es el principio deacotacion uniforme. Dicho teorema proporciona un criterio para determinarcuando una familia de operadores lineales y acotados esta acotada unifor-memente. Mas precisamente, veremos cuando la acotacion puntual implicala acotacion uniforme.

4.1.- Definicion. Dados dos espacios normados X e Y , una familia de ope-radores {Aα}α∈I ⊂ L(X, Y ) se dice equicontinua cuando supα∈I ‖Aα‖ <∞.

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4.2.- Teorema (Principio de acotacion uniforme). Sea {Aα}α∈I una familiade elementos de L(X, Y ), donde X es de Banach. Si {‖Aαx‖}α∈I esta aco-tada para todo x ∈ X, entonces la familia {Aα}α∈I es equicontinua. En otraspalabras, si ∀x ∈ X, ∃cx > 0 : ‖Aαx‖ ≤ cx =⇒ ∃c > 0 : ‖Aα‖ ≤ c.

Demostracion. (a) Supongamos que I es numerable. Ası {An}n∈I es unasucesion. Sea Mk = {x ∈ X : ‖Anx‖ ≤ k, ∀n}, ∀k ∈ N.

Cada Mk es cerrado, porque si x ∈ Mk, entonces existe {xi}i∈N en Mk talque xi → x. Como An es continua, Anxi → Anx, de donde ‖Anxi‖ → ‖Anx‖.Ademas, como xi ∈ Mk, ‖Anxi‖ ≤ k. Por lo tanto, ‖Anx‖ ≤ k con lo quex ∈ Mk.

Por construccion, X =⋃

k∈N Mk. Ası, como X es completo, segun el teoremade categorıa de Baire, existe k0 : B0 = B(x0, r) ⊂ Mk0 , ∃x0 ∈ Mk0 (no todoslos Mk pueden ser nunca densos).

Sea x ∈ X y definimos z = x0+γx, con γ = r/2‖x‖. Entonces ‖z−x0‖ ≤ r/2,de donde z ∈ Mk0 y ‖Anz‖ ≤ k0, ∀n. Ademas, ‖Anx0‖ ≤ k0, ∀n. Deaquı,

‖Anx‖ = γ−1‖An(z − x0)‖ ≤ 2k0/γ.

Esto implica que ‖An‖ = sup‖x‖=1 ‖Anx‖ ≤ 4k0/r.

(b) Si I no es numerable, supongamos que sup ‖Aα‖ = ∞. Entonces existeuna sucesion {An}n∈N tal que ‖A1‖ > 1, ‖A2‖ > 2, . . . Aplicando la parte(a) a la sucesion {An}n∈N, probamos que supn ‖An‖ < ∞, lo que contradicela construccion anterior. ♦

Es interesante remarcar que la hipotesis de categorıa es esencial como mues-tra el ejemplo dado en [La].

A continuacion veremos algunas consecuencias y aplicaciones del teorema.

4.3.- Corolario (Teorema de Banach-Steinhaus, 1927). Sean X un espaciode Banach, Y un espacio normado y {Tn}n∈N ⊂ L(X, Y ). Si {Tnx}n∈N esconvergente para todo x ∈ X, entonces {Tn}n∈N es equicontinuo. Ademas, silımn Tnx = Tx, ∀x ∈ X, entonces T ∈ L(X, Y ) y ‖T‖ ≤ lım inf ‖Tn‖.

Demostracion. Por ser convergente, la sucesion (Tnx)n∈N esta acotada. Porel principio de acotacion uniforme, {Tn}n∈N es equicontinuo.

Como ‖Tn‖ ≤ M para todo n, ‖Tx‖ ≤ M‖x‖ para todo x ∈ X. Claramente,T es lineal y ‖Tx‖ = lım ‖Tnx‖ ≤ lım inf ‖Tn‖ · ‖x‖ (la sucesion (‖Tn‖)n∈Nesta acotada por lo que tiene lımite inferior). ♦

Si X no es de Banach, este resultado es falso, como muestra el siguienteejemplo.

163

Hagamos X = C[0, 1] con ‖f‖1 =∫ 10 |f(t)|dt y Tn : C[0, 1] → R definidos

por Tn(f) = n∫ 1/n0 f(t)dt.

Cada Tn es lineal y continuo:

|Tn(f)| ≤ n

∫ 1/n

0|f(t)|dt ≤ n · ‖f‖1 =⇒ ‖Tn‖ ≤ n.

Ademas,

∀f ∈ C[0, 1], lımn

Tn(f) = lımn

∫ 1/n0 f(t)dt

1/n= f(0).

Por tanto, ∃ lımn Tn(f) = f(0), pero el funcional F : f 7→ f(0) no esta aco-tado pues si consideramos la sucesion

gn(t) =

{−n3(t− 1/n2) si x ∈ [0, 1/n2]0 si x ≥ 1/n2,

entonces ‖gn‖ = 12n → 0 pero F (gn) = gn(0) = n →∞.

4.4.- Corolario. Sea X un espacio de Banach y (fn)n∈N ⊂ X ′ una sucesiontal que ∃ lımn fn(x) = f(x), ∀x ∈ X. Entonces f ∈ X ′.

Demostracion. Es consecuencia directa del anterior.

Este resultado indica que, en un espacio de Banach, la convergencia pun-tual de funcionales lineales continuas implica la continuidad de la funcionlımite.

4.5.- Ejemplo. En el espacio de las funciones integrables es sabido que, si{fn}n∈N ⊂ L1(R) es tal que supn∈N

∫R |fn| < ∞, entonces supn∈N

∫R |fng| <

∞, ∀g ∈ C0(R). El teorema de acotacion uniforme garantiza el recıproco,pues podemos interpretar los elementos de L1(R) como funcionales linealescontinuos, L1(R) ⊂ C0(R)′.

Sin embargo, el resultado es falso en el espacio Cc(R) de las funciones conti-nuas con soporte compacto, que no es de Banach: ∀g ∈ Cc(R), supn

∫|fng| <

∞ pero supn

∫R |fn| = ∞ para alguna sucesion {fn}n∈N ⊂ L1(R) pues, to-

mando fn = χ[0,n],

supn

∫|fng| = sup

n

∫ n

0|g| ≤

∫ ∞

−∞|g| < ∞ y sup

n

∫|fn| = supn = ∞.

4.6.- Corolario. El espacio normado X de los polinomios x(t) =∑∞

i=0 aiti,

con norma ‖x‖ = maxi |ai|, no es completo.

Demostracion. Construimos la sucesion de funcionales An : X → R porAn0 = 0, Anx = a0 + · · · + an−1. Ası definidos, An son lineales y acotados

164

pues, como |ai| ≤ ‖x‖, entonces |Anx| ≤ n‖x‖. Como todo polinomio x degrado Nx tiene como maximo Nx +1 coeficientes no nulos, tenemos |Anx| ≤(Nx+1)‖x‖ = cx, ∀n, la cual es una de las hipotesis del teorema de acotacionuniforme. Ahora bien, si elegimos x(t) = 1+ t+ · · ·+ tn, resulta que ‖x‖ = 1y Anx = n = n‖x‖. Como ‖An‖ ≥ |Anx|/‖x‖, entonces ‖An‖ ≥ n y {‖An‖}no esta acotada. Al ser falsa la tesis del teorema, debe ser porque X no escompleto. ♦

Hacemos por ultimo la siguiente observacion: es sabido que la continuidadno es condicion necesaria para la convergencia (sirva como contraejemplo

la funcion x(t) =

{0 si − π ≤ t < 01 si 0 ≤ t ≤ π

, x(t + 2π) = x(t)). Pero ademas el

principio de acotacion uniforme permite probar que ni siquiera es condicionsuficiente, es decir, que existen funciones continuas cuya serie de Fourierdiverge en un punto (ver [Kr]).

5. CONVERGENCIA DE SUCESIONES EN ESPACIOS NOR-MADOS.

Ademas de los conceptos de convergencia puntual y convergencia uniformede sucesiones de funciones continuas, podemos estudiar en el contexto de losespacios normados otros tipos de convergencia lo que dara lugar a topologıasdiferentes a la inducida por la norma. La teorıa de convergencia debil quemostramos a continuacion hace uso del teorema de acotacion uniforme y es,de hecho, una de la mayores aplicaciones del mismo.

5.1.- Definicion. Una sucesion {xn}n∈N en un espacio normado X es con-vergente en sentido fuerte o convergente en norma si existe x ∈ X talque

lımn→∞

‖xn − x‖ = 0.

Se dice que x es lımite fuerte de {xn}n∈N y se escribe xn → x. Este es elconcepto usual de convergencia.

5.2.- Definicion. Una sucesion {xn}n∈N en un espacio normado X es con-vergente en sentido debil si existe x ∈ X tal que f(xn) → f(x), ∀f ∈ X ′. Sedice entonces que x es lımite debil de {xn}n∈N y se escribe xn

d→ x.

5.3.- Lema. Sea xnd→ x. Entonces:

(a) El lımite debil es unico.

165

(b) Toda subsucesion de {xn}n∈N converge debilmente a x.

(c) La sucesion {‖xn‖}n∈N esta acotada.

Demostracion. a) Supongamos que xnd→ x, xn

d→ y; entonces f(xn) → f(x)y f(xn) → f(y), ∀f ∈ X ′. Por tanto f(x) = f(y) y f(x − y) = 0. Como loanterior es cierto para toda f ∈ X ′, x = y.

b) Se deduce de que {f(xn)}n∈N es una sucesion numerica convergente ytoda subsucesion de ella converge al mismo lımite f(x).

c) Por hipotesis, {f(xn)}n∈N esta acotada, digamos |f(xn)| ≤ cf , ∀n. Defi-nimos gn ∈ X ′′ como gn(f) = f(xn), ∀f ∈ X ′. Entonces |gn(f)| = |f(xn)| ≤cf , ∀n.

Como X ′ es completo, por el teorema de acotacion uniforme, {‖gn‖}n∈Nesta acotada. Pero ‖gn‖ = ‖xn‖ debido a la proposicion 2.5. Ası quedaprobada la tesis. ♦

Veamos a continuacion la relacion entre los dos tipos de convergencia defi-nidos.

5.4.- Teorema. Sea X un espacio normado.

(a) Si xn → x, entonces xnd→ x.

(b) El recıproco de (a) no siempre es cierto.

(c) Si dim X < ∞, la convergencia debil implica la convergencia fuer-te.

Demostracion. a) Supongamos que xn → x, es decir, ‖xn−x‖ → 0. Entonces|f(xn)− f(x)| = |f(xn − x)| ≤ ‖f‖ · ‖xn − x‖ → 0, ∀f ∈ X ′.

b) Sea H un espacio de Hilbert y {en}n∈N una sucesion ortonormal. Porel teorema de representacion de Riesz, ∀f ∈ H ′, ∃z ∈ H : f(x) = 〈x, z〉.Aplicando la desigualdad de Bessel,

∑∞n=1 |〈en, z〉|2 ≤ ‖z‖2, con lo que la

serie de la izquierda converge y entonces 〈en, z〉 → 0.

Como f(en) = 〈en, z〉, lo anterior implica que end→ 0. Sin embargo, {en}n∈N

no es fuertemente convergente pues ‖en − em‖2 = 〈en − em, en − em〉 = 2, sin 6= m.

c) Sea {e1, . . . , ek} una base de X y xnd→ x. Escribimos

xn =k∑

i=1

α(n)i ei, x =

k∑i=1

αiei.

Por hipotesis, f(xn) → f(x), ∀f ∈ X ′. Definiendo fj(ei) = δij , i, j =

166

1, . . . , k, tenemos α(n)j → αj , j = 1, . . . , k. De este modo,

‖xn − x‖ ≤k∑

i=1

|α(n)i − αi| · ‖ei‖ → 0

y xn → x. ♦

Observaciones. 1) Existen tambien espacios de dimension infinita dondela convergencia fuerte y debil son equivalentes. Fue probado por Schur queel espacio `1 es un ejemplo de ellos.

2) Es evidente, gracias al teorema de Riesz, que, en un espacio de HilbertH, xn

d→ x si y solo si 〈xn, z〉 → 〈x, z〉, ∀z ∈ H.

3) Una especie de recıproco de (a) es el siguiente resultado.

Si xnd→ x en X, entonces existe {yn}n∈N tal que yn es combinacion lineal

de xn y ‖x − yn‖ → 0 (ver [CC]). Esto equivale a decir que x pertenece alespacio generado por la sucesion (xn)n∈N.

4) Como los elementos de X pueden pensarse como funcionales lineales sobreX ′, podemos decir tambien que xn

d→ x si xn(f) → x(f), ∀f ∈ X ′; esdecir, la convergencia debil en X no es mas que la convergencia puntualconsiderando X como espacio de funciones sobre X ′.

5.5.- Lema. Sea X un espacio normado y {xn}n∈N una sucesion en X.Entonces xn

d→ x si y solo si la sucesion {‖xn‖}n∈N esta acotada y ∃M ⊂X ′ subconjunto completo, (es decir, 〈M〉 = X ′) tal que f(xn) → f(x),∀f ∈ M .

Demostracion. a) Si xnd→ x, por el lema 5.3, la sucesion {‖xn‖}n∈N esta aco-

tada. El resto es evidente.

b) Por hipotesis, ‖xn‖ ≤ c, ∀n, y elegimos c para que ‖x‖ ≤ c.

Sea f ∈ X ′. Entonces existe g ∈ 〈M〉 tal que ‖f − g‖ < ε/3c. Escribimosg(x) =

∑n0k=1 αkfk(x), con fk ∈ M . De este modo, ∃N ∈ N:

|g(xn)− g(x)| ≤n0∑

k=1

|αk| · |fk(xn)− fk(x)| < ε/3, ∀n > N

teniendo en cuenta que fk(xn) → fk(x), ∀k = 1, . . . , n0.

Aplicando ahora la desigualdad triangular, tenemos que para todo n >N :

|f(xn)− f(x)| ≤ |f(xn)− g(xn)|+ |g(xn)− g(x)|+ |g(x)− f(x)|< ‖f − g‖ · ‖xn‖+ ε/3 + ‖g − f‖ · ‖x‖< ε/3c · c + ε/3 + ε/3c · c = ε. ♦

167

Un ejemplo donde se aplica lo anterior es el espacio `p, con 1 < p < ∞, dondexn

d→ x si y solo si la sucesion {‖xn‖}n∈N esta acotada y ξ(n)j → ξj , ∀j, siendo

xn = (ξ(n)j )j∈N, x = (ξj)j∈N.

En efecto, como el dual de `p es `q y una base de Schauder de `q es {en}n∈N,con en = (δnj)j∈N, basta aplicar el lema con M = {en}n∈N.

ANEXO. Veamos como el concepto de convergencia debil viene sugerido por el de

topologıa debil. Para ello recordamos los siguientes conceptos:

Definicion. Sea τ una topologıa en X . Se dice que una familia β es una base de τ si

∀A ∈ τ, x ∈ A, existe B ∈ β tal que x ∈ B ⊂ A.

Definicion. Un espacio vectorial topologico es un espacio vectorial X sobre un cuerpo

E con una topologıa τ tal que las funciones suma y producto por escalar son continuas.

Ası, por ejemplo, todo espacio vectorial topologico de dimension finita n es isomorfo a

En, y todo espacio normado es un espacio vectorial topologico. En este caso la topologıa

inducida por la norma se llama topologıa fuerte.

Definicion. Si X es un espacio vectorial y F una familia de funcionales lineales definida

en X , se define la topologıa debil generada por F a la topologıa mas debil (la menor) en Xque hace a cada f ∈ F un funcional continuo. Claramente, la topologıa debil generada

por F es la topologıa generada por los subconjuntos de X de la forma f−1(U) con

f ∈ F , U abierto en E. Una base de la topologıa debil generada por F es la formada

por los conjuntos de la forma

N(x0, f1, . . . , fm, ε1, . . . , εm) = {x ∈ X : |fk(x)−fk(x0)| < εk, k = 1, . . . ,m},

donde x0 ∈ X , m ∈ N, f1, . . . , fm ∈ F , ε1, . . . , εm > 0.

Debido a que N(x0, f, ε) = f−1(B(f(x0), ε)), se deduce que

N(x0, f1, . . . , fm, ε1, . . . , εm) =m⋂

k=1

N(x0, fk, εk).

Con estas ideas, si X es un espacio normado, a la topologıa debil generada por X ′ se le

llama topologıa debil en X y se pueden probar sin dificultad los siguientes resultados:

Proposicion. a) La topologıa debil es mas debil que la topologıa fuerte (la inducida por

la norma).

b) Una sucesion (xn)n∈N converge a x en la topologıa debil si y solo si f(xn) →f(x), ∀f ∈ X ′.De este modo los conceptos y propiedades de la convergencia debil son consecuencia de

los mas generales aquı expuestos.

Vamos a estudiar ahora el caso de sucesiones de operadores entre espaciosnormados donde distinguiremos entre tres tipos de convergencia (las defini-ciones y terminologıa fueron introducidas por von Neumann en 1929).

5.6.- Definicion. Sean X, Y espacios normados. Una sucesion {Tn}n∈N deoperadores en L(X, Y ) se dice

168

(1) uniformemente convergente si {Tn}n∈N converge en la norma de L(X, Y ),es decir, si existe T ∈ L(X, Y ) tal que ‖Tn − T‖ → 0;

(2) fuertemente convergente si {Tnx}n∈N converge fuertemente en Y , paratodo x ∈ X, es decir, ‖Tnx− Tx‖ → 0;

(3) debilmente convergente si {Tnx}n∈N converge debilmente en Y , para todox ∈ X, es decir, |f(Tnx)− f(Tx)| → 0, ∀f ∈ Y ′.

No es difıcil probar que (1) =⇒ (2) =⇒ (3), y los recıprocos no son necesa-riamente ciertos.

5.7.- Ejemplos. 1) En `2 consideramos la sucesion Tn : `2 → `2 de operado-res lineales y acotados definidos por Tnx = (0, (n). . ., 0, ξn+1, ξn+2, . . . ) dondex = (ξ1, . . . , ξn, ξn+1, . . . ). Es evidente que {Tn}n∈N converge fuertementea 0; sin embargo no converge uniformemente porque ‖Tn − 0‖ = ‖Tn‖ =1.

2) Si definimos ahora Tn : `2 → `2 como

Tn(ξ1, . . . , ξn, . . . ) = (0, (n). . ., 0, ξ1, ξ2, . . . ),

Tn es tambien lineal y acotado, debilmente convergente a cero pero no fuer-temente.

En efecto, ∀f ∈ (`2)′, ∃z = (ηj)j∈N : f(x) = 〈x, z〉 =∑∞

j=1 ξj ηj , dondex = (ξj)j∈N, debido al teorema de representacion de Riesz. Ası pues,

f(Tnx) = 〈Tnx, z〉 =∞∑

j=n+1

ξn−j ηj =∞∑

k=1

ξk ηn+k.

Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz,

|f(Tnx)|2 = |〈Tnx, z〉|2 ≤∞∑

k=1

|ξk|2 ·∞∑

m=n+1

|ηm|2.

Como la ultima suma es el resto de una serie convergente, |f(Tnx)| → 0 =f(0x).

Sin embargo, para x = (1, 0, 0, . . . ), ‖Tmx − Tnx‖ =√

12 + 12 =√

2, param 6= n, por lo que la sucesion no converge fuertemente.

Estudiamos ahora el lımite de una sucesion de operadores segun el tipo deconvergencia.

Si la convergencia Tn → T es uniforme, T ∈ L(X, Y ). Sin embargo, si laconvergencia es fuerte o debil, T es lineal pero no acotado, como se ve en elsiguiente ejemplo.

169

Sea X = {x ∈ `2 : x tiene un numero finito de componentes no nulas}. Sedefine Tn(ξj) = (ξ1, 2ξ2, 3ξ3, . . . , nξn, ξn+1, ξn+2, . . . ). Esta sucesion convergefuertemente a T (ξj) = (jξj) que es un operador lineal no acotado.

Sin embargo, si X es completo, tenemos el siguiente resultado.

5.8.- Lema. Sea {Tn}n∈N ⊂ L(X, Y ), donde X es un espacio de Ba-nach e Y un espacio normado. Si Tn → T en sentido fuerte, entoncesT ∈ L(X, Y ).

Demostracion. La linealidad de T se deduce de la de Tn. Ademas, de laconvergencia Tnx → Tx, ∀x ∈ X, se deduce que la sucesion {‖Tnx‖}n∈Nesta acotada para todo x. Por el teorema de acotacion uniforme, como X escompleto, {‖Tn‖}n∈N esta acotada. Por tanto,

‖Tnx‖ ≤ ‖Tn‖ · ‖x‖ ≤ k‖x‖ =⇒ ‖Tx‖ ≤ k‖x‖. ♦

5.9.- Teorema. Dados dos espacios de Banach X, Y una sucesion {Tn}n∈Nde operadores en L(X, Y ) converge en sentido fuerte si y solo si {‖Tn‖}n∈Nesta acotada y {Tnx}n∈N es de Cauchy en Y , para todo x de un subconjuntocompleto M de X.

Demostracion. Si Tnx → Tx, ∀x ∈ X, por el teorema de acotacion uniforme,{‖Tn‖}n∈N esta acotada. El resto es trivial.

Recıprocamente, si ‖Tn‖ ≤ c, ∀n, sean x ∈ X y ε > 0 arbitrarios. Como〈M〉 es denso en X, existe y ∈ 〈M〉 tal que ‖x− y‖ < ε/3c. Ademas

‖Tny − Tmy‖ < ε/3, ∀m, n > N.

De aquı, por la desigualdad triangular, es facil probar que {Tnx}n∈N es deCauchy en Y :

‖Tnx− Tmx‖ ≤ ‖Tnx− Tny‖+ ‖Tny − Tmy‖+ ‖Tmy − Tmx‖≤ ‖Tn‖ · ‖x− y‖+ ε/3 + ‖Tm‖ · ‖x− y‖ < ε.

Como Y es completo, {Tnx}n∈N converge en Y . ♦

5.10.- Definicion. Una sucesion {An}n∈N en L(X, Y ) se dice de Cauchy ensentido fuerte cuando {Anx}n∈N es de Cauchy, ∀x ∈ X.

5.11.- Teorema. Si X, Y son espacios de Banach, L(X, Y ) es completo ensentido fuerte, es decir, toda sucesion de Cauchy fuerte converge fuertemen-te.

Demostracion. Por hipotesis, sea {Tnx}n∈N de Cauchy, ∀x ∈ X. Como Y es

de Banach, Tnx → Tx. Ası definido, T es lineal y Tnf→ T. Falta probar que

T ∈ L(X, Y ).

170

Por el teorema anterior, ‖Tn‖ < M, ∀n. Entonces ‖Tnx‖ < M‖x‖, de dondelım ‖Tnx‖ ≤ M‖x‖ y, por la continuidad de la norma, ‖ lım Tnx‖ ≤ M‖x‖ osea ‖Tx‖ ≤ M‖x‖. Ası, T es acotado. ♦

Los funcionales lineales son tambien operadores lineales pero el hecho de quesu imagen este en R o C hace que la convergencia fuerte y debil sean equi-valentes (pues {Tnx}n∈N esta en un espacio de dimension 1). Los conceptosque se aplican aquı son los siguientes.

5.12.- Definicion. Sea {fn}n∈N una sucesion de funcionales lineales acota-dos en un espacio normado X.

(a) Decimos que {fn}n∈N converge en sentido fuerte a f ∈ X ′ si ‖fn− f‖ →0.

(b) Por otra parte, decimos que {fn}n∈N converge en sentido debil-∗ a f ∈ X ′

si fn(x) → f(x), ∀x ∈ X.

Si X es un espacio normado, entonces X ⊂ X ′′ y ∀x ∈ X, ∃l ∈ X ′′ : l(f) =f(x). Una sucesion {fn}n∈N ⊂ X ′ converge debilmente si l(fn) → l(f), ∀l ∈X ′′, es decir, fn(x) → f(x), ∀x ∈ X.

El recıproco no es cierto cuando X 6= X ′′ pues pueden existir l ∈ X ′′ \X conlo que no se debe confundir la topologıa debil con la topologıa debil-∗ en X ′.Como un simple corolario del teorema 5.9, se demuestra lo siguiente.

5.13.- Teorema. Una sucesion {fn}n∈N de funcionales lineales acotados enun espacio de Banach X es convergente debil-∗ y el lımite es lineal y acotadosi y solo si {‖fn‖}n∈N esta acotada y {fn(x)}n∈N es de Cauchy, para todox ∈ M donde 〈M〉 = X.

Tabla de los distintos tipos de convergencia

Espacio Tipo Notacion Definicion

X Fuerte xn → x ‖xn − x‖ → 0

X Debil xnd→ x f(xn) → f(x), ∀f ∈ X ′

L(X, Y ) Uniforme Tn → T ‖Tn − T‖ → 0

L(X, Y ) Fuerte Tnf→ T ‖Tnx− Tx‖ → 0, ∀x ∈ X

L(X, Y ) Debil Tnd→ T Tnx

d→ Tx, ∀x ∈ X

L(X, E) Fuerte fn → f ‖fn − f‖ → 0

L(X, E) Debil-∗ fnd∗→ f ‖fnx− fx‖ → 0, ∀x ∈ X

En el estudio de espacios normados tiene importancia el teorema de Bourbaki-Alaoglu. Su enunciado es el siguiente:

La esfera unitaria cerrada S∗ = {f ∈ X ′ : ‖f‖ ≤ 1} en el espacio X ′ dualdel espacio normado X es compacta en la topologıa debil-∗ de X ′.

171

Por el teorema de Riesz (capıtulo 2, teorema 5.3) sabemos que la esferaS∗ no puede ser compacta en la topologıa de la norma metrica de X ′ sidim X = ∞. El teorema anterior muestra que la topologıa debil-∗ no puededarse por una norma.

6. TEOREMA DE LA APLICACION ABIERTA.

A continuacion vamos a establecer condiciones para que un operador acotadosea una aplicacion abierta y para que tenga inverso acotado. Nuevamente elmarco natural son los espacios de Banach y la herramienta basica el teoremade categorıa de Baire.

6.1.- Definicion. Sean X, Y espacios metricos. Una aplicacion T : D(T ) →Y con D(T ) ⊂ X es abierta si para todo abierto A en D(T ), T (A) es abiertoen Y .

Observacion. Si T no es sobre, hay que distinguir entre los conceptos deaplicacion abierta de D(T ) en Y o sobre su rango. Este segundo conceptoes mas debil que el primero, porque si X ⊂ Y , la aplicacion identidad de Xen Y es abierta si y solo si X es subconjunto abierto de Y , mientras que laidentidad de X sobre su rango es siempre abierta.

El teorema de la aplicacion abierta da condiciones para que un operadorlineal sea abierto y para que tenga inverso acotado. Usaremos para su de-mostracion el siguiente lema previo.

6.2.- Lema (bola unidad abierta). Sean X, Y de Banach y T : X → Yun operador lineal acotado sobre. Si llamamos B0 = B(0, 1) ⊂ X, entoncesT (B0) contiene una bola abierta de centro 0 ∈ Y.

Demostracion. Lo demostraremos en varios pasos:

(a) Si B1 = B(0, 2−1), T (B1) contiene alguna bola B∗:

∀x ∈ X, ∃k > 2‖x‖ : x ∈ kB1. Esto implica que X =⋃∞

k=1 kB1. Como T essobre y lineal, Y = T (X) =

⋃∞k=1 kT (B1) =

⋃∞k=1 kT (B1).

Por el teorema de categorıa de Baire, Y es de segunda categorıa. Por tanto,algun kT (B1) debe contener una bola abierta y tambien T (B1) contieneuna bola abierta, digamos B∗ = B(y0, ε).

En consecuencia, B∗ − y0 = B(0, ε) ⊂ T (B1)− y0.

172

(b) B∗ − y0 ⊂ T (B0):

B∗ − y0 = B(0, ε) ⊂ T (B1)− y0 ⊂ T (B1)− T (B1) = 2 T (B1) = T (B0).

(c) Si Bn = B(0, 2−n) ⊂ X, entonces T (Bn) contiene alguna bola Vn alre-dedor de 0 ∈ Y :

Como T es lineal, T (Bn) = 2−n T (B0). De aquı se deduce que

Vn = B(0, ε/2n) ⊂ T (Bn).

(d) Por ultimo, T (B0) contiene alguna bola abierta alrededor de 0 ∈ Y. Masprecisamente, veremos que V1 = B(0, ε/2) ⊂ T (B0):

Sea y ∈ V1. Entonces y ∈ T (B1) =⇒ ∃v ∈ T (B1) : ‖y − v‖ < ε/4. Perov = Tx1 con x1 ∈ B1; entonces

‖y − Tx1‖ < ε/4 =⇒ y − Tx1 ∈ V2 ⊂ T (B2).

Esto implica a su vez que

∃x2 ∈ B2 : ‖(y − Tx1)− Tx2‖ < ε/8 =⇒ y − Tx1 − Tx2 ∈ V3 ⊂ T (B3)

y ası sucesivamente. Existe entonces xn ∈ Bn tal que

∥∥y −n∑

i=1

Txi

∥∥ < ε/2n+1, n ≥ 1.

Sea zn = x1 + · · ·+ xn. Como xi ∈ Bi, ‖xi‖ < 2−i.

Para n > m,

‖zn − zm‖ ≤n∑

k=m+1

‖xk‖ <∞∑

k=m+1

12k

→ 0

si m → ∞. Por tanto, {zn}n∈N es de Cauchy y, por ser X completo, existe

x ∈ X tal que zn → x. Ademas, x ∈ B0 pues∞∑

k=1

‖xk‖ <∞∑

k=1

12k = 1.

Como T es continua, Tzn → Tx. Como ademas Tzn → y, Tx = y lo queimplica que y ∈ T (B0). ♦

6.3.- Teorema (aplicacion abierta o inversa acotada). Sean X e Y espaciosde Banach y T : X → Y un operador lineal acotado.

a) Si T es sobre, entonces T es abierto.

b) Si T es biyectiva, entonces T−1 es continua (y por tanto acotada).

173

Demostracion. Debemos probar que si A ⊂ X es abierto, entonces T (A) esabierto. Para ello, si y = Tx ∈ T (A), debe existir una bola abierta centradaen y y contenida en T (A).

Sea pues y = Tx ∈ T (A). Por ser A abierto, contiene una bola abierta decentro x. Entonces A− x ⊃ B(0, r). Si k = 1/r, k(A− x) ⊃ B(0, 1). Por ellema 6.2, T (k(A− x)) = k(T (A)− Tx) contiene una bola de centro 0, comotambien T (A)− Tx. Entonces T (A) contiene una bola abierta alrededor deTx = y.

Si ademas T es inyectiva, como T−1 es lineal, T es acotada. ♦

En el teorema anterior las hipotesis de completitud son esenciales como semuestra en los ejercicios al final del capıtulo. Una consecuencia elemental esla siguiente.

6.4.- Corolario. Sea X un espacio vectorial que es de Banach con respectoa las normas ‖ · ‖1 y ‖ · ‖2. Si existe c > 0 tal que ‖x‖2 ≤ c‖x‖1, ∀x ∈ X,entonces las normas son equivalentes.

Basta tener en cuenta que la identidad es un operador acotado.

7. TEOREMA DEL GRAFICO CERRADO.

En las aplicaciones practicas, no todos los operadores son acotados (estos sonparticularmente importantes en Mecanica Cuantica). Sin embargo, practi-camente todos son cerrados (cuya definicion veremos a continuacion), o almenos clausurables. El teorema del grafico cerrado, objeto de esta seccion,da condiciones para que un operador cerrado sea acotado.

7.1.- Definicion. Dados dos espacios normados X, Y y un operador linealT : D(T ) → Y con dominio D(T ) ⊂ X. Se dice que T es un operador cerradosi su grafico G(T ) = {(x, y) : x ∈ D(T ), y = Tx} es cerrado en el espacionormado X × Y , definido mediante las operaciones

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2), α(x, y) = (αx, αy),

y la norma ‖(x, y)‖ = ‖x‖X + ‖y‖Y .

Observacion. Si X e Y son de Banach, entonces X × Y tambien lo es.Sea, en efecto, una sucesion {zn}n∈N = {(xn, yn)}n∈N de Cauchy en X × Y .Entonces

‖zn − zm‖ = ‖xn − xm‖+ ‖yn − ym‖ < ε, ∀n, m > N.

174

Esto implica que {xn}n∈N, {yn}n∈N son de Cauchy en X e Y , respectiva-mente; por tanto convergen. Si xn → x, yn → y, entonces (xn, yn) → (x, y),trivialmente.

Ejemplos. 1) El adjunto de un operador es siempre cerrado (capıtulo VII,corolario 1.9).

2) Si f : R → R es continua, entonces G(f) es cerrado.

Probaremos que, bajo ciertas condiciones, si el grafico es cerrado, la funciones continua.

Probaremos en primer lugar una propiedad que es usada a veces como defi-nicion de operador cerrado.

7.2.- Teorema. Sea T : D(T ) ⊂ X → Y un operador lineal, donde X e Yson normados. Entonces T es cerrado si y solo si cada vez que xn → x conxn ∈ D(T ) y Txn → y, entonces x ∈ D(T ) y Tx = y.

Demostracion. a) Supongamos que T es cerrado y sea (xn)n∈N una sucesionen D(T ) tal que xn → x y Txn → y. Entonces:

‖(xn, Txn)− (x, y)‖ = ‖xn − x‖X + ‖Txn − y‖Y → 0.

Como el grafico es cerrado, (x, y) ∈ G(T ), de modo que x ∈ D(T ) y Tx =y.

b) Recıprocamente, para probar que G(T ) es cerrado, consideramos en G(T )la sucesion ((xn, Txn))n∈N tal que (xn, Txn) → (x, y). Entonces

‖xn − x‖+ ‖Txn − y‖ → 0,

con lo que ‖xn−x‖ → 0 y ‖Txn−y‖ → 0. Por hipotesis, x ∈ D(T ) y Tx = y,lo que quiere decir que (x, y) ∈ G(T ). ♦

7.3.- Teorema (grafico cerrado). Sea T : D(T ) ⊂ X → Y un operador linealentre dos espacios de Banach X e Y . Si D(T ) es cerrado en X, entonces Tes cerrado si y solo si T es acotado.

Demostracion. a) Si T es acotado, es continuo. Por el teorema anterior, esevidente que T es cerrado.

b) Supongamos ahora que G(T ) es cerrado en X ×Y , donde D(T ) es cerra-do en X; en consecuencia, G(T ) y D(T ) son completos. Consideramos laaplicacion P : G(T ) → D(T ) definida como P (x, Tx) = x que es lineal yacotada pues

‖P (x, Tx)‖ = ‖x‖ ≤ ‖x‖+ ‖Tx‖ = ‖(x, Tx)‖.

Ademas P es biyectiva porque su inversa P−1 : D(T ) → G(T ) es P−1x =(x, Tx). Podemos aplicar el teorema de la aplicacion abierta; ası P−1 es

175

acotada y existe k : ‖(x, Tx)‖ ≤ k‖x‖, ∀x ∈ D(T ). Entonces T esta acotadoporque

‖Tx‖ ≤ ‖x‖+ ‖Tx‖ = ‖(x, Tx)‖ ≤ k‖x‖, ∀x ∈ D(T ). ♦

7.4.- Ejemplo (operador diferencial). Sea X = C[0, 1] y T : D(T ) → Xdefinida por Tx = x′, donde x′ representa la derivada y D(T ) es el conjuntode funciones con derivada continua en [0, 1]. Entonces T es cerrado pero noacotado.

Demostracion. Si consideramos la sucesion {xn}n∈N definida por xn(t) = tn,t ∈ [0, 1], entonces Txn(t) = ntn−1 y ‖xn‖ = max0≤t≤1 |xn(t)| = 1, con loque ‖Txn‖ = n; por lo tanto no existe k ∈ R tal que ‖Txn‖ ≤ k. EntoncesT no esta acotado.

Sea la sucesion {xn}n∈N en D(T ) tal que xn → x y Txn = x′n → y. Como laconvergencia en norma de C[0, 1] es la convergencia uniforme, tenemos∫ t

0y(s)ds =

∫ t

0lım x′n(s)ds = lım

n

∫ t

0x′n(s)ds = x(t)− x(0).

Esto implica que x(t) = x(0) +∫ t0 y(s)ds y, por tanto, x ∈ D(T ) y x′ =

y.

Por el teorema anterior, T es cerrado.

Esto a su vez implica que D(T ) no es cerrado en X porque, en caso contrario,T serıa acotado. ♦

Veamos a continuacion que tambien existen operadores acotados pero nocerrados. Si T : D(T ) → D(T ) ⊂ X es el operador identidad, donde D(T )es un subespacio denso propio de X, es trivial que T es lineal y acotado,pero no es cerrado porque si x ∈ X \D(T ), existe {xn}n∈N en D(T ) tal quexn → x.

Sin embargo, existe una relacion como se expresa a continuacion.

7.5.- Lema. Sea T : D(T ) → Y un operador lineal acotado con dominioD(T ) ⊂ X y X, Y espacios normados. Entonces:

(a) Si D(T ) es cerrado en X, entonces T es cerrado.

(b) Si T es cerrado e Y es completo, entonces D(T ) es cerrado en X.

Demostracion. (a) Sea (xn)n∈N ⊂ D(T ) tal que xn → x y Txn → y. Entoncesx ∈ D(T ) = D(T ) y Txn → Tx porque T es continuo.

(b) Sea x ∈ D(T ). Entonces existe {xn}n∈N en D(T ) tal que xn → x. ComoT es acotado, ‖Txn − Txm‖ ≤ ‖T‖ · ‖xn − xm‖. Por tanto, {Txn}n∈N es

176

de Cauchy, con lo que converge a y ∈ Y por ser Y completo. Como T escerrado, x ∈ D(T ) (y Tx = y), lo que prueba que D(T ) es cerrado. ♦

8. CLAUSURA DE UN OPERADOR.

En el apartado anterior se consideran operadores cerrados. Estudiaremosahora la manera de construir operadores cerrados como extension de ciertosoperadores.

Consideremos un operador lineal T : D(T ) ⊂ X → Y entre dos espaciosnormados X e Y . Como sabemos, T es cerrado si y solo si su grafo G(T ) escerrado en X × Y . Supongamos ahora que T no es cerrado.

8.1.- Definicion. Se dice que T es clausurable si existe una extension cerra-da de T , es decir ∃T1 operador cerrado tal que T1|D(T ) = T .

8.2.- Proposicion. Si T es clausurable, admite una extension cerrada mini-mal, llamada clausura de T y que representaremos por T . Ademas G( T ) =G(T ).

Demostracion. Sea T1 una extension cerrada de T . Entonces G(T1) es cerradoy G(T ) ⊂ G(T1) ası como G(T ) ⊂ G(T1). Por tanto G(T ) no contienepuntos de la forma (0, y) con y 6= 0. Esto a su vez implica que G(T ) es elgrafico de un operador, que llamaremos T , el cual es evidentemente cerrado.Cualquier otro operador cerrado T ′ que sea extension de T debera verificarque G(T ) ⊂ G(T ′) de donde G(T ) = G(T ) ⊂ G(T ′), es decir sera tambienextension de T . ♦

De lo anterior se deduce que x ∈ D( T ) si y solo si existe una sucesion(xn)n∈N contenida en D(T ) tal que xn → x y Txn → Tx, con lo queD(T ) ⊂ D( T ) ⊂ D(T ).

Damos a continuacion algunas caracterizaciones de los operadores clausura-bles.

8.3.- Proposicion. Dado un operador lineal T : D(T ) ⊂ X → Y , sonequivalentes:

i) T es clausurable.

ii) G(T ) no contiene puntos de la forma (0, y) con y 6= 0.

iii) Si (xn)n∈N ⊂ D(T ) es tal que xn → 0, Txn → y, entonces y = 0.

177

Para la demostracion basta tener en cuenta el resultado anterior y el hechode que, si (0, y) ∈ G(T ), existe (xn)n∈N ⊂ D(T ) tal que xn → 0, Txn → y,de modo que iii) =⇒ ii).

8.4.- Ejemplo. Consideramos el operador derivacion Tx = x′ en el espacioL2[0, 1]. En este caso D(T ) = {x ∈ L2[0, 1] : ∃x′ ∈ L2[0, 1]}. Este operadorya no es cerrado como lo era en el caso de las funciones continuas. Veamos sinembargo que es clausurable. Sea para ello z ∈ C1

0 [0, 1] una funcion de claseC1 que se anula en los extremos 0 y 1. Si x ∈ D(T ), entonces

∫ 10 x′(t)z(t)dt =

−∫ 10 z′(t)x(t)dt.

Sea (xn)n∈N ⊂ D(T ) una sucesion tal que xn → 0 y Txn = x′n → y.Como

∀z ∈ C10 [0, 1], 〈y, z〉 = lım〈x′n, z〉 = lım

∫ 1

0x′n(t)z(t)dt

= − lım∫ 1

0xn(t)z′(t)dt = − lım〈xn, z′〉 = 0,

al ser C10 denso en L2[0, 1], sera y = 0. Por la proposicion anterior se deduce

que T es clausurable.

Ası pues, D( T ) es el espacio de las funciones x ∈ L2[0, 1] para las cuales∃(xn)n∈N ⊂ C1

0 [0, 1], con ‖xn − x‖2 → 0 y ∃y ∈ L2[0, 1], con ‖x′n − y‖2 → 0.Aunque un elemento de D( T ) puede no ser derivable, la funcion y se llamaderivada generalizada de x en sentido de Sobolev. El espacio D( T ) se sueledesignar por W ′

2 y llamarse espacio de Sobolev.

Mostramos por ultimo una clase particular de operadores clausurables, paralos que D( T ) = D(T ) y obtenidos mediante el principio de extension porcontinuidad. Para ello supondremos que T : D(T ) ⊂ X → Y es un operadorlineal acotado e Y es de Banach.

8.6.- Lema. Bajo las condiciones anteriores, existe un unico operador linealacotado T definido en D(T ), que extiende a T y tal que ‖T‖ = ‖T‖. Dichooperador es precisamente la clausura de T .

Para probar este resultado basta definir T como T x = lım Txn, donde xn ∈D(T ) y xn → x.

CONSIDERACIONES FINALES. Un contexto mas abstracto dondese pueden enunciar versiones mas generales de los resultados del capıtulocorresponde a los espacios de Frechet, que son espacios vectoriales topologi-cos cuya topologıa esta inducida por una metrica invariante por traslacionesy completa (ver [Ru]). Se deja al lector el analisis comparativo de los resul-tados en uno y otro contexto.

178

EJERCICIOS.

1. Si un funcional sub-aditivo p sobre un espacio normado X escontinuo en 0 y p(0) = 0, probar que p es continuo para todo x.

Resp.: Por hipotesis, si xn → 0, p(xn) → p(0) = 0.

Sea ahora una sucesion (yn)n∈N tal que yn → y. Entonces

yn − y → 0 =⇒ p(yn − y) → 0y − yn → 0 =⇒ p(y − yn) → 0.

Ahora bien,

|p(yn)− p(y)| =

p(yn)− p(y) ≤ p(yn − y) → 0op(y)− p(yn) ≤ p(y − yn) → 0

=⇒ p(yn) → p(y).

����

2. Probar que un funcional p : X → E sobre un espacio vectorial Xes una seminorma si y solo si es simetrica y convexa.

Resp.: =⇒) Si p es seminorma, debemos ver que es convexa:

∀x ∈ X, α ∈ [0, 1] : p(αx + (1 − α)y) ≤ p(αx) + p((1 − α)y) =αp(x) + (1− α)p(y).

⇐=) Veamos ahora que p es subaditiva:

p(x + y) = 2p(x/2 + y/2) ≤ 2 ·(12p(x) +

12p(y)

)= p(x) + p(y).

����

3. Sea p un funcional sub-lineal sobre un espacio vectorial real X.Si x0 es un elemento fijo de X, llamamos

Z = {x ∈ X : x = αx0, α ∈ R}

y definimos f(x) = αp(x0), para todo x ∈ Z. Probar que existeF : X → R lineal tal que F (x) ≤ p(x), ∀x ∈ X.

Resp.: Basta probar que f es lineal sobre Z y verifica f(x) ≤ p(x), ∀x ∈Z. El resto se deduce del teorema de Hahn-Banach.

179

• Si x = x0, f(x0 = p(x0).

• Si x = αx0, α > 0 : f(x) = αp(x0) = p(αx0) = p(x).

• Si x = αx0, α < 0 : f(x) = αp(x0) = −(−αp(x0)) = −p(−αx0) =−p(−x). Como p es sub-lineal, p(0) ≤ p(x) + p(−x), pero p(0) ≥ 0, loque implica que −p(−x) ≤ p(x) y ası f(x) ≤ p(x).

����

4. Sean X e Y dos espacios de Banach y T ∈ L(X, Y ). Se define eladjunto de T como el operador T ∗ : Y ′ → X ′ definido por

(T ∗g)(x) = g(Tx), ∀g ∈ Y ′, x ∈ X.

Probar que T ∗ ∈ L(Y ′, X ′) y ‖T ∗‖ = ‖T‖.

Resp.: Veamos en primer lugar que T ∗ es lineal y acotado.

• T ∗ es lineal pues, ∀x ∈ X:

T ∗(λ1g1 + λ2g2)(x) = (λ1g1 + λ2g2)(Tx) = λ1g1(Tx) + λ2g2(Tx)= λ1(T ∗g1)(x) + λ2(T ∗g2)(x) = (λ1T

∗g1 + λ2T∗g2)(x).

• T ∗ acotado: Por definicion,

‖T ∗‖ = sup‖g‖=1

‖T ∗g‖ con ‖T ∗g‖ = sup‖x‖=1

|(T ∗g)(x)| = sup‖x‖=1

|g(Tx)|.

Ahora bien, como |g(Tx)| ≤ ‖g‖ · ‖Tx‖ ≤ ‖g‖ · ‖T‖ · ‖x‖, ∀x, sededuce que ‖T ∗g‖ ≤ ‖g‖ · ‖T‖. Por tanto, ‖T ∗‖ ≤ ‖T‖.

• Para probar que ‖T ∗‖ = ‖T‖, usaremos el siguiente resultado (co-rolario 2.2 del teorema de Hahn-Banach):

∀x ∈ X, ∃g ∈ Y ′ : ‖g‖ = 1, g(Tx) = ‖Tx‖.

Por tanto,

‖Tx‖ = g(Tx) = (T ∗g)(x) ≤ ‖T ∗g‖·‖x‖ ≤ ‖T ∗‖·‖g‖·‖x‖ = ‖T ∗‖·‖x‖,

lo cual implica que ‖T‖ ≤ ‖T ∗‖.

����

180

5. Sea X un espacio de Banach. Dados dos subespacios M ⊂ X,N ⊂ X ′, se definen los anuladores de M y N como

M⊥ = {f ∈ X ′ : f(x) = 0, ∀x ∈ M},⊥N = {x ∈ X : g(x) = 0, ∀g ∈ N},

respectivamente.

a) Probar que M⊥ y ⊥N son subespacios cerrados de X ′ y X,respectivamente, y que ⊥(M⊥) = M .

b) Si M es un subespacio cerrado de X, probar que existe unisomorfismo isometrico entre M ′ y X ′/M⊥.

c) Probar que N(T ∗) = R(T )⊥ y N(T ) = ⊥R(T ∗).

Resp.: a) Es facil comprobar que M⊥ y ⊥N son subespacios. Veamosque son cerrados:

• Si f ∈ M⊥, ∃{fn}n∈N ⊂ M⊥ : fn → f , es decir ‖fn − f‖ → 0.Como fn ∈ M⊥, fn(x) = 0, ∀x ∈ M . Ademas,

|fn(x)− f(x)| = ‖(fn − f)(x)‖ ≤ ‖fn − f‖ · ‖x‖ → 0,

de modo que f(x) = 0, ∀x ∈ M , es decir f ∈ M⊥.

• Sea x ∈ ⊥N . Entonces ∃{xn}n∈N ⊂ ⊥N tal que ‖xn − x‖ → 0.Por definicion, g(xn) = 0, ∀g ∈ N . Ademas |g(xn) − g(x)| =|g(xn−x)| ≤ ‖g‖ · ‖xn−x‖ → 0, de modo que g(x) = 0, ∀g ∈ N ,es decir x ∈ ⊥N .

Veamos ahora que ⊥(M⊥) = M .

• Si x ∈ M , f(x) = 0 cuando f ∈ M⊥. Por tanto, x ∈ ⊥(M⊥). Como⊥(M⊥) es cerrado, M ⊂ ⊥(M⊥).

• Supongamos por reduccion al absurdo que ∃y ∈ ⊥(M⊥) pero y 6∈M . Entonces d(y, M) = d > 0. Por el teorema de Hahn-Banach,∃f ∈ X ′, con ‖f‖ = 1, tal que f(x) = 0, ∀x ∈ M (es decirf ∈ M⊥) y f(y) 6= 0. Por otro lado, como y ∈ ⊥(M⊥), f(y) =0, ∀f ∈ M⊥ lo que es absurdo.

b) Dado m′ ∈ M ′, por el teorema de Hahn-Banach, existe x′ ∈ X ′

extension lineal de m′ con ‖x′‖ = ‖m′‖. Definimos ası σ : M ′ →X ′/M⊥ por σ(m′) = x′ + M⊥.

• σ esta bien definida:Si x′, y′ son extensiones de m′, x′−y′ ∈ M⊥, de donde x′+M⊥ =y′ + M⊥.

181

• σ es lineal:Si z′ + M⊥ = σ(m′ + n′), x′ + M⊥ = σ(m′), y′ + M⊥ = σ(n′),entonces x′|M = m′, y′|M = n′ y z′|M = m′ + n′, de donde

(x′ + y′ − z′)(m) = m′(m) + n′(m)− (m′ + n′)(m) = 0, ∀m ∈ M

por lo que x′ + y′ − z′ ∈ M⊥ y σ(m′ + n′) = σ(m′) + σ(n′).Analogamente se prueba la homogeneidad de σ.

• σ es sobre:Dado x′+M⊥ ∈ X ′/M⊥, llamamos m′ = x′|M . Entonces m′ ∈ M ′

y σ(m′) = x′ + M⊥.

• σ es isometrıa:Si m′ ∈ M ′ y x′ ∈ X ′ es una extension de m′, entonces ‖m′‖ ≤‖x′‖. Como ‖x′ + M⊥‖ = ınf{‖x′ + m′

1‖ : m′1 ∈ M⊥} ≤ ‖x′‖,

entonces ‖m′‖ ≤ ‖σ(m′)‖ ≤ ‖x′‖. Por el teorema de Hahn-Banach, existe x′ extension de m′ con ‖x′‖ = ‖m′‖. Entonces‖m′‖ = ‖σ(m′)‖.

c) Aplicando las definiciones, se deduce facilmente que:

∈ N(T ∗) ⇐⇒ T ∗g = 0 ⇐⇒ (T ∗g)(x) = 0, ∀x ∈ X

⇐⇒ g(Tx) = 0, ∀x ∈ X ⇐⇒ g ∈ R(T )⊥.

x ∈ N(T ) ⇐⇒ Tx = 0 ⇐⇒ g(Tx) = 0, ∀g ∈ Y ′ ⇐⇒ (T ∗g)(x) = 0, ∀g ∈ Y ′

⇐⇒ f(x) = 0, ∀f ∈ R(T ∗) ⇐⇒ x ∈ ⊥R(T ∗).

����

6. a) Sea X un espacio normado y M ⊂ X un subespacio. Probarla equivalencia:

M = X ⇐⇒ M⊥ = 0.

b) Sean X e Y dos espacios normados y T ∈ L(X, Y ). Probar queT ∗ es inyectiva si y solo si R(T ) es denso en Y.

Resp.: a) =⇒: Dado x ∈ X, por hipotesis ∃{xn}n∈N ⊂ M tal quexn → x. Si f ∈ X ′ es tal que f(x) = 0, ∀x ∈ M , entonces f(xn) = 0.Por la continuidad de f se deduce que f(xn) → f(x) de modo quef(x) = 0.

⇐=: Sea ahora x ∈ X y llamamos d = d(x,M). Si x 6∈ M , entoncesd > 0 y existe F ∈ X ′ tal que ‖F‖ = 1, F (x) = d y F (z) = 0, ∀z ∈ M .Por hipotesis, como F (z) = 0, ∀z ∈ M , entonces F (x) = 0, de modoque d = 0, lo que es absurdo.

182

b) =⇒: Supongamos que T ∗ es inyectiva. Si R(T ) 6= Y , por el apartadoa), existe un funcional g ∈ Y ′ no nulo tal que g(y) = 0, ∀y ∈ R(T ).Esto implica que g(Tx) = 0, ∀x ∈ X y, por definicion del adjunto,(T ∗g)(x) = 0, ∀x ∈ X, es decir, T ∗g = 0. Esto implica que g ∈ N(T ∗),lo que contradice la hipotesis.

⇐=: Recıprocamente, si R(T ) = Y , por el apartado a), todo funcionalg ∈ Y ′ tal que g(y) = 0, ∀y ∈ R(T ), es nulo. Pero g(y) = 0, ∀y ∈ R(T )implica que g(Tx) = 0, ∀x ∈ X, es decir (T ∗g)(x) = 0, ∀x ∈ X. De laafirmacion anterior se deduce que N(T ∗) = 0, es decir T ∗ es inyectiva.

����

7. Sea X un espacio normado. Probar que ∀x ∈ X, ∃f ∈ X ′ tal que‖f‖ = ‖x‖ y f(x) = ‖x‖2. Concluir que

∀x ∈ X, ‖x‖ = sup{|f(x)| : f ∈ X ′, ‖f‖ ≤ 1}.

Resp.: Fijado x ∈ X, definimos M = {λx : λ ∈ E} y f0(λx) = λ‖x‖2.

Ası definido, f0 : M → E es lineal y acotado y ‖0f‖ = ‖x‖.

Por el teorema de Hahn-Banach, ∃f : X ∈ E : f(x) = ‖x‖2 y ‖f‖ =‖x‖.

Para probar la segunda parte, por un lado, como ∀f ∈ X ′, |f(x)| ≤‖f‖ · ‖x‖, entonces

sup{|f(x)| : f ∈ X ′, ‖f‖ ≤ 1} ≤ ‖x‖.

Por otra parte, si aplicamos el apartado anterior, dado x, ∃f ∈ X ′

tal que ‖f‖ = ‖x‖ y f(x) = ‖x‖2. Si definimos f1(x) = f(x)‖x‖ , entonces

‖f1‖ = 1 y f1(x) = ‖x‖ lo que implica que ‖x‖ ≤ sup{|f(x)| : f ∈X ′, ‖f‖ ≤ 1}.

����

8. Sean X, Y espacios normados y x0 ∈ X, x0 6= 0. Dado y0 ∈ Y ,probar que existe T : X → Y lineal y continua tal que T (x0) = y0,de forma que ‖T‖ · ‖x0‖ = ‖y0‖.

Resp.: Si definimos f0 : 〈{x0}〉 → E por f0(λx0) = λ, entonces f0 eslineal y continua. Ademas ‖f0‖ = supλ6=0 |f0(λx0)|/‖λx0‖ = 1/‖x0‖.

Por el teorema de Hahn-Banach, ∃f ∈ X ′ : f |〈{x0}〉 = f0 y ‖f‖ =‖f0‖ = 1

‖x0‖ .

183

Dado y0 ∈ Y, definimos g : E → Y por g(λ) = λy0. Entonces g eslineal y continua, por lo que T = g ◦ f es lineal y continua. AdemasT (x0) = (g ◦ f)(x0) = y0 y ‖(g ◦ f)(x)‖ = ‖f(x)y0‖ = |f(x)| · ‖y0‖ loque implica que

‖T‖ = supx 6=0

‖(g ◦ f)(x)‖‖x‖

= supx 6=0

|f(x)| · ‖y0‖‖x‖

= ‖f‖ · ‖y0‖ =‖y0‖‖x0‖

.

����

9. Sean X, Y espacios normados con X 6= {0}. Probar que Y es deBanach si L(X, Y ) es de Banach.

Resp.: Sea {yn}n∈N una sucesion de Cauchy en Y .

Como X 6= {0}, ∃x0 ∈ X con ‖x0‖ = 1. Por un corolario del teoremade Hahn-Banach, ∃f ∈ X ′ tal que f(x0) = 1 y ‖f‖ = 1.

Definimos la sucesion {Tn}n∈N de operadores Tn : X → Y por Tn(x) =f(x)yn, que es evidentemente lineal.

Como f es continua, ∃M > 0 : |f(x)| ≤ M‖x‖, ∀x ∈ X; entonces

‖Tn(x)‖ = ‖f(x)yn‖ = |f(x)| · ‖yn‖ ≤ M‖yn‖ · ‖x‖, ∀x ∈ X,

lo que implica que cada Tn es continua.

Como ‖f‖ = 1, |f(x)|‖x‖ ≤ 1,∀x 6= 0, es decir |f(x)| ≤ ‖x‖; entonces

‖Tn(x)‖ = |f(x)| · ‖yn‖ ≤ ‖x‖ · ‖yn‖ =⇒ ‖Tn‖ ≤ ‖yn‖.

Ademas, como ‖Tn(x0)‖ = |f(x0)| · ‖yn‖ = ‖yn‖ =⇒ ‖yn‖ ≤ ‖Tn‖.Los resultados anteriores muestran pues que ‖Tn‖ = ‖yn‖. Ası pues,{Tn}n∈N es tambien de Cauchy y, por ser L(X, Y ) de Banach, ∃T ∈L(X, Y ) tal que Tn → T . Probaremos que {yn}n∈N converge a T (x0).En efecto, como

‖yn − T (x0)‖ = ‖Tn(x0)− T (x0)‖= ‖(Tn − T )(x0)‖ ≤ ‖Tn − T‖ · ‖x0‖ = ‖Tn − T‖,

dado ε > 0, ∃n0 : ‖Tn − T‖ < ε, ∀n ≥ n0 y tambien ‖yn − T (x0)‖ <ε, ∀n ≥ n0.

����

184

10. Sea X un espacio normado y x ∈ X un elemento de norma 1.Probar que existe un subespacio cerrado M de X tal que X =M ⊕ 〈{x}〉 y d(x,M) = 1.

Resp.: Definimos f : 〈{x}〉 → E por f(αx) = α. Como |f(αx)| =|α| = |α| · ‖x‖, es claro que ‖f‖ = 1.

Por el teorema de Hahn-Banach, ∃F : X → E lineal y acotado tal que‖F‖ = 1 y F (x) = 1.

Sea M = N(F ), que es un subespacio cerrado de X.

Para todo y ∈ X, si llamamos α = F (y), F (y−αx) = F (y)−αF (x) =0, es decir, y − αx ∈ M. De este modo, y = αx + m, con m ∈ M.

Ademas, como ‖F‖ = 1, entonces |F (y)| ≤ ‖y‖, ∀y ∈ X. En particular,si y = x−m, |F (y)| = 1 y 1 ≤ ‖x−m‖, lo que implica que d(x,M) ≥ 1.

Ahora bien, como ‖x‖ = ‖x− 0‖ = 1, d(x,M) = 1.

����

11. Sea S(0, r) una esfera arbitraria en un espacio normado X y x0 ∈S(0, r) un punto cualquiera. Probar que existe un hiperplano H0

que contiene a x0 y tal que la bola cerrada B(0, r) esta contenidaen uno de los dos semiespacios determinados por H0.

Resp.: Es consecuencia del anterior. Obtenemos M = N(F ) y defini-mos H0 = x0 + M , H0 = {x ∈ X : F (x) = r}.

Graficamente, la idea es la siguiente:

x0

〈{x0}〉

����

12. Sea S : `2 → `2 el operador definido por

S(x1, x2, . . . ) = (x3, x4, . . . )

185

y llamamos Tn = Sn. Encontrar una cota para ‖Tnx‖ y calcularlımn ‖Tnx‖, ‖Tn‖, lımn ‖Tn‖.

Resp.: Es facil comprobar que

Tn(x1, x2, . . . ) = Sn(x1, x2, . . . ) = (x2n+1, x2n+2, . . . ).

Entonces, ‖Tnx‖2 = (∑

k≥2n+1 |xk|2)1/2 ≤ ‖x‖2, de donde lımn ‖Tnx‖ =0 por ser el resto de una serie convergente.

Ademas, como ‖Tnx‖ ≤ ‖x‖, ‖Tn‖ ≤ 1. Por otra parte, para e1 =(1, 0, 0, . . . ), ‖Tne1‖ = ‖e2n+1‖ = ‖e1‖, lo que implica que ‖Tn‖ = 1,de donde lımn ‖Tn‖ = 1.

Observese que lımn ‖Tnx‖ 6= lımn ‖Tn‖ · ‖x‖.

����

13. Sean (X1, ‖ · ‖1) un espacio normado y (X2, ‖ · ‖2) un espacio deBanach. Consideramos la familia {Tα}α∈I ⊂ L(X1, X2) tal quelım supα ‖Tα‖ < ∞. Sea L = {x ∈ X1 : ∃ lımα Tα(x)}. Probar que Les un subespacio cerrado de X1. Concluir que si {Tα(x)}α con-verge para todo x ∈ M , para algun M denso en X1, entonces{Tα(x)}α converge para todo x ∈ X1.

Resp.: a) La prueba de que L es subespacio es directa. Veamos quees cerrado:

Sea x ∈ L; entonces ∃xn ∈ L : xn → x.

Como xn ∈ L, ∃ lımα Tαxn = yn.

Ası, {yn}n∈N es una sucesion en X2 tal que

‖Tαxn − Tαxm‖ ≤ ‖Tα‖ · ‖xn − xm‖ → 0,

de donde ‖yn − ym‖ → 0. Como X2 es completo, ∃y ∈ X2 : yn → y.

Veamos que lımα Tαx = y:

|Tαx− y‖ ≤ ‖Tαx− Tαxn‖+ ‖Tαxn − yn‖+ ‖yn − y‖≤ ‖Tα‖ · ‖x− xn‖+ ‖Tαxn − yn‖+ ‖yn − y‖ → 0.

Esto quiere decir que x ∈ L y L es cerrado.

b) Supongamos por el contrario que ∃x ∈ X1 : {Tαx}α no converge;entonces x 6∈ L.

186

Como M = X1, ∃xn ∈ M : xn → x. Entonces {Tαxn}α converge, ∀n,de donde xn ∈ L, ∀n.

De aquı, x ∈ L = L, lo que contradice lo anterior.

����

14. Probar que la completitud de un espacio X es esencial en el teo-rema de acotacion uniforme.

Resp.: Consideramos el conjunto

X = {x ∈ `∞ : ∃N = N(x), xn = 0, ∀n > N}

y definimos la sucesion de funcionales Tn : X → E por Tn(x) = nxn.

Esta claro que X no es completo pues x(n) = (1, (n). . ., 1/n, 0, . . . ) ∈ Xpero lımn x(n) = (1, 1/2, . . . ) 6∈ X.

Como ∀x ∈ X, ∃N : xn = 0, ∀n > N , entonces Tnx =

{0 si n > N

nxn si n ≤ N.

Ası pues, |Tnx| = 0 si n > N y |Tnx| ≤ N · ‖x‖ si n ≤ N.

Como ‖Tn‖ ≥ |Tnx|‖x‖ , ∀x 6= 0, tomando x = (1, (n). . ., 1, 0, . . . ), entonces

Tnx = n y ‖x‖ = 1, de donde ‖Tn‖ ≥ n y {‖Tn‖}n∈N no esta acotado.

����

15. Sea c0 ⊂ `∞ el subespacio de las sucesiones complejas que con-vergen a cero, y sea y = (yn)n∈N una sucesion tal que

∑n∈N xnyn

converge para todo x = (xn)n∈N ∈ c0. Probar que∑

n∈N |yn| < ∞.

Resp.: Definimos Tn : c0 → C por Tnx =∑n

k=1 xkyk, ∀y ∈ M , donde

M = {y = (yn)n :∑n∈N

xnyn converge, ∀x ∈ c0}.

Como |Tnx| =∣∣ ∑n

k=1 xkyk

∣∣ esta acotado por ser {∑n

k=1 xkyk}n∈N unasucesion convergente (sucesion de sumas parciales de una serie conver-gente), podemos aplicar el teorema de acotacion uniforme.

De lo anterior se deduce que ‖Tn‖ ≤ c, ∀n. Como

‖Tn‖ ≥|Tnx|‖x‖

=

∣∣ ∑nk=1 xkyk

∣∣‖x‖

,

187

elegimos x =

{yk/|yk| si k ≤ n

0 si k > n,y resulta ‖Tn‖ ≥

∣∣∣ P|yk|

∣∣∣1 =

∑nk=1 |yk|.

Tenemos ası una sucesion {∑n

k=1 |yk|}n∈N acotada superiormente ycreciente (todos sus terminos son positivos). Entonces {

∑nk=1 |yk|}n∈N

converge y la serie correspondiente∑∞

k=1 |yk| es convergente.

����

16. Si X e Y son espacios de Banach y Tn ∈ L(X, Y ), n ≥ 1, probarla equivalencia de las siguientes proposiciones:

i) {‖Tn‖}n es acotada.

ii) {‖Tnx‖}n es acotada para todo x ∈ X.

iii) {|g(Tnx)|}n es acotada para todo x ∈ X y todo g ∈ Y ′.

Resp.: i) =⇒ ii) =⇒ iii) son evidentes.

iii) =⇒ i). Para cada x ∈ X, definimos la sucesion de funcionales yn :Y ′ → C por yn(g) = g(Tnx). Por hipotesis, {|yn(g)|}n∈N esta acotadalo que implica que {‖yn‖}n∈N es acotada. Pero, como ‖yn‖ = ‖Tnx‖,por el teorema de acotacion uniforme, {‖Tn‖}n∈N esta acotada.

����

17. Si xnd→ x0 en un espacio normado X, probar que x0 ∈ M , donde

M = 〈{xn}n∈N〉.

Resp.: Si, por el contrario, x0 6∈ M, por un corolario del teorema deHahn-Banach, llamando d = d(x0, M) > 0, existe f ∈ X ′ : ‖f‖ =1, f(y) = 0, ∀y ∈ M y f(x0) = d.

Ahora bien, como xn ∈ M, f(xn) = 0, ∀n ∈ N, y de la convergenciaxn

d→ x0, se deduce que f(xn) → f(x0). Por lo tanto, f(x0) = 0, loque contradice la suposicion anterior.

����

18. Sea H un espacio de Hilbert y {ek}k∈N una base ortonormal. Dadauna sucesion {xn}n∈N en H, probar que

xnd→ x ⇐⇒ 〈xn, ek〉 → 〈x, ek〉, ∀k.

188

Resp.: =⇒: Para cada ek existe, por el teorema de representacion deRiesz, un funcional fk ∈ H ′ tal que 〈x, ek〉 = fk(x), ∀x ∈ H. Como,por hipotesis, fk(xn) → fk(x), deducimos que 〈xn, ek〉 → 〈x, ek〉.

⇐=: Sea f ∈ H ′ arbitrario. Nuevamente por el teorema de represen-tacion de Riesz, existe un unico elemento y ∈ H tal que f(x) = 〈x, y〉,∀x ∈ H. Al ser {ek}k∈N una base ortonormal de H, y =

∑k∈N〈y, ek〉ek,

de modo que

f(x) = 〈x, y〉 =∑k∈N

〈y, ek〉〈x, ek〉 y f(xn) = 〈xn, y〉 =∑k∈N

〈y, ek〉〈xn, ek〉.

De estas igualdades y de la hipotesis 〈xn, ek〉 → 〈x, ek〉 se deduce laconvergencia f(xn) → f(x), es decir xn

d→ x.

����

19. En el espacio C[0, 1] con la norma ‖f‖ =∫ 10 |f(t)|dt, encontrar

una sucesion (fn)n∈N convergente en norma a g ∈ C[0, 1] pero noconvergente puntualmente.

Resp.: Definimos fn(t) = tn. Ası ‖fn‖ =∫ 10 tndt = 1/(n + 1) de modo

que fn → 0 en la norma ‖ · ‖1.

Por otra parte, lımn→∞ tn =

{0 si t < 11 si t = 1,

que no es continua en

[0, 1].

����

20. a) Se define la sucesion fn : [0,∞) → R por

fn(x) =

{nx3 e−n/2x2

si x 6= 0,

0 si x = 0.

Estudiar la convergencia puntual, en L1 y en L∞.

b) Idem para la sucesion fn(x) = sen2 πx · χ[ 1

n+1, 1n ](x), fn(0) = 0.

Resp.: a) Como

lımn→∞

n

x3e−n/2x2

= lımn→∞

n/x3

en/2x2 = lımn→∞

1/x3

(1/2x2)en/2x2 = 0

189

si x 6= 0, entonces fn → 0 puntualmente pues |fn(x)| → 0, ∀x ∈ [0,∞].

Por otra parte,

‖fn‖1 =∫ ∞

0

n

x3e−n/2x2

dx = lımB→∞

e−n/2x2∣∣B0

= 1

lo que implica que fn 6→ 0 en L1.

Para estudiar la convergencia en L∞, calculemos ‖fn‖∞ = supx∈[0,∞]

nx3 e−n/2x2

.

Debido a que

f ′n(x) =(n2

x6− 3n

x4

)e−n/2x2

=n

x4

(n− 3x2

x2

)e−n/2x2

,

se deduce que fn alcanza el maximo en x =√

n/3. De aquı,

‖fn‖∞ = fn(√

n/3) =3√

3√n

e3/2 → 0

cuando n →∞; por tanto, fn → 0 en la norma uniforme.

b) Para los valores x 6∈ [0, 1], fn(x) = 0, con lo que fn(x) → 0.

Si x ∈ (0, 1], ∃n0 ∈ N : x > 1/n0, es decir x 6∈[

1n0+1 , 1

n0

]; entonces

fn(x) = 0, ∀n > n0, y nuevamente fn(x) → 0.

La convergencia no es uniforme porque, tomando xn = 22n+1 , es claro

que xn → 0 pero lımn→∞ fn(xn) = 1 6= f(0) = 0.

Para cualquier p ≥ 1 tenemos:

‖fn‖pp =

∫ ∞

−∞|fn(x)|pdx =

∫ 1n

1n+1

(sen2 π

x

)pdx ≤ 1

n− 1

n + 1=

1n(n + 1)

→ 0.

De aquı se deduce que fn → 0 en Lp, ∀p ≥ 1.

����

21. Sean X un espacio de Banach, Y normado y Tn ∈ L(X, Y ). Si{Tn}n∈N converge fuertemente, probar que {‖Tn‖}n∈N es acotado.O bien: si Tnx → Tx, ∀x ∈ X =⇒ T ∈ L(X, Y ).

Resp.: Por hipotesis, la sucesion {Tnx}n∈N converge, ∀x ∈ X. Estoimplica que {‖Tnx‖}n∈N es acotado.

Por el teorema de acotacion uniforme, {‖Tn‖}n∈N es acotado.

����

190

22. Probar que el operador T : L1[1,∞) → L1[1,∞) definido por(Tf)(t) = t−1f(t) es acotado pero no abierto.

Resp.: Debido a la acotacion

‖Tf‖1 =∫ ∞

1|Tf(t)|dt =

∫ ∞

1

∣∣∣f(t)t

∣∣∣dt ≤∫ ∞

1|f(t)|dt = ‖f‖1,

resulta que ‖T‖ ≤ 1.

Para ver que no es abierto, basta encontrar una sucesion de funcionesgn ∈ R(T ), con gn → 0 pero ‖T−1gn‖ > 1.

En efecto, si definimos gn(t) =

{2/n2, t ∈ (1, n + 1)0 resto

, entonces:

|tgn(t)‖ =∫ n+1

1t · 2

n2dt =

(n + 1)2 − 1n2

> 1,

‖gn‖ =∫ n+1

1

2n2

dt =2[(n + 1)− 1]

n2→ 0.

Ademas, gn ∈ R(T ) pues t · gn(t) ∈ L1.

����

23. Sea X el subespacio de `∞ formado por las sucesiones que tie-nen como maximo un numero finito de terminos no nulos y seaT : X → X el operador definido por y = Tx = (x1, x2/2, x3/3, . . . ).Probar que T es lineal y acotado pero T−1 no esta acotado. ¿Con-tradice esto el teorema de la aplicacion abierta?

Resp.: Es evidente que T es lineal. Para ver que es acotado, bastaobservar que ‖Tx‖∞ = ‖(xn

n )‖∞ ≤ ‖x‖∞, de donde ‖T‖ ≤ 1.

T es sobre pues ∀x ∈ X, ∃y = (nxn)n∈N ∈ X : Ty = x.

T es inyectiva: x 6= y =⇒ ∃n ∈ N : xn 6= yn =⇒ xnn 6= yn

n =⇒ Tx 6= Ty.

Sin embargo T−1 no es acotado pues, debido a que ‖T−1y‖ = ‖nyn‖,si elegimos yn = (δnk)∞k=1, entonces T−1(yn) = (nδnk)∞k=1, de donde‖T−1yn‖ = n →∞.

Al no ser X de Banach, no es aplicable el teorema de la aplicacionabierta.

����

191

24. En el espacio X de las funciones reales continuas en [0, 1] sedefine el operador T : X → X por (Tf)(t) =

∫ t0 f(s)ds, ∀t ∈ [0, 1].

Encontrar Y = R(T ). Probar que T : X → Y es un operador linealacotado y biyectivo pero T−1 : Y → X no es acotado como podrıaesperarse del teorema de la aplicacion abierta. ¿Por que?

Resp.: Si g ∈ R(T ), ∃f ∈ X : g(t) =∫ t0 f(s)ds =⇒ g′(x) = f(x), g(0) =

0. Por tanto, R(T ) = {g ∈ C1[0, 1] : g(0) = 0}.

Veamos que T es acotado:

|(Tf)(t)| ≤∫ t

0|f(s)|ds ≤ ‖f‖∞ · t =⇒ ‖Tf‖ ≤ ‖f‖∞.

Ademas, T es inyectiva pues, si Tf = 0, entonces∫ t0 f(s)ds = 0, ∀t =⇒

f(t) = 0, ∀t =⇒ f = 0.

Sin embargo, T−1 no es acotado pues T−1g = g′ (operador derivada).

No se puede aplicar el teorema de la aplicacion abierta porque el es-pacio X no es completo.

����

25. Sean X e Y espacios de Banach y T : X → Y un operador linealacotado e inyectivo. Probar que T−1 : R(T ) → X es acotado si ysolo si R(T ) es cerrado en Y .

Resp.: a) Si R(T ) es cerrado, es completo. Por el teorema de la apli-cacion abierta, como T : X → R(T ) es biyectivo, ∃T−1 : R(T ) → Xacotado.

b) Sea y ∈ R(T ); entonces ∃(yn)n∈N ⊂ R(T ) : yn → y y ∃(xn)n∈N ⊂X : Txn = yn. Como

‖xn − xm‖ = ‖T−1(yn − ym)‖ ≤ ‖T−1‖ · ‖yn − ym‖ → 0,

y X es de Banach, ∃x = lımn xn.

Por ultimo, teniendo en cuenta que

‖yn − Tx‖ = ‖Txn − Tx‖ ≤ ‖T‖ · ‖xn − x‖ → 0,

deducimos que Tx = y, es decir y ∈ R(T ).

����

192

26. Sea T un operador lineal cerrado. Si dos sucesiones {xn}n∈N e{yn}n∈N en D(T ) convergen al mismo lımite x y si {Txn}n∈N y{Tyn}n∈N convergen, probar que {Txn}n∈N y {Tyn}n∈N tienen elmismo lımite.

Resp.: Si xn → x, yn → x, entonces xn − yn → 0.

Por otra parte, si Txn → u, Tyn → v, entonces T (xn − yn) → u − v.Por el teorema del grafico cerrado, T (0) = 0 = u− v =⇒ u = v.

����

27. Sea X un espacio vectorial y ‖·‖1, ‖·‖2 dos normas en X tales que(X, ‖ · ‖1), (X, ‖ · ‖2) son de Banach. Probar que las dos normasson equivalentes si y solo si ∃M > 0 : ‖x‖1 ≤ M‖x‖2, ∀x ∈ X.

Resp.: Probemos que la aplicacion identidad I : (X, ‖·‖1) → (X, ‖·‖2)es lineal y continua. Para ello, supongamos que ‖xn − x‖1 → 0 y‖I(xn)− y‖2 → 0. Entonces

‖I(x)−y‖1 = ‖x−y‖1 ≤ ‖x−xn‖1+‖xn−y‖1 ≤ ‖x−xn‖1+M‖I(xn)−y‖2 → 0,

lo que implica que I(x) = y.

Esto prueba que I es un operador cerrado. Por el teorema del graficocerrado, I es continua. Entonces ‖I(x)‖2 ≤ b‖x‖1 y de la hipotesis sededuce que las normas son equivalentes.

����

28. Supongamos que X es un espacio de Banach respecto a dos nor-mas ‖ · ‖1 y ‖ · ‖2, y que si una sucesion (xn)n∈N ⊂ X converge alos lımites y y z en ambos espacios, entonces y = z. Probar quelas dos normas son equivalentes.

Resp.: De la hipotesis, al igual que el ejercicio anterior, se obtieneinmediatamente que la aplicacion identidad I : (X, ‖ · ‖1) → (X, ‖ · ‖2)es biyectiva y cerrada. El teorema del grafico cerrado asegura que I escontinua, es decir ‖Ix‖2 ≤ M‖x‖1, lo que prueba que las normas sonequivalentes.

����

193

29. Sea X un espacio de Banach y M,N subespacios cerrados de X.Supongamos que cada x ∈ X tiene una representacion unica dela forma x = y + z con y ∈ M, z ∈ N . Probar que existe k tal que‖y‖ ≤ k‖x‖, x ∈ X.

Resp.: Se define T : X → X como la proyeccion Tx = y, si x = y + z,con y ∈ M , z ∈ N .

Veamos que T cumple las condiciones del teorema del grafico cerrado:

Supongamos que xn → x, Txn → y. Como Txn ∈ M y M es cerrado,y ∈ M , de donde y = Ty.

Por otra parte, como xn−Txn ∈ N y N es cerrado, entonces x−y ∈ N ,de donde T (x− y) = 0, es decir Tx = Ty.

De lo anterior deducimos que y = Tx. El teorema del grafico cerradoprueba entonces que T es continuo, lo que da lugar a la tesis.

����

30. Sea T : C1[0, 2π] → C[0, 2π] el operador definido por (Tf)(x) =f(x)+f ′(x). Probar que T es lineal y cerrado pero no acotado (sesupone definida la norma infinito en ambos espacios). Deducirde lo anterior que C1[0, 2π] no es de Banach.

Resp.: Para ver que T es cerrado, consideramos una sucesion (fn)n∈Nde funciones en C1[0, 2π] tal que fn → f, Tfn → g.

Por la convergencia uniforme en [0, 2π], tenemos que:∫ t

0g(x)dx = lım

n

∫ t

0(Tfn)(x)dx = lım

n

∫ t

0[fn(x) + f ′n(x)]dx

= lımn

[fn(t)− fn(0) +∫ t

0fn(x)dx] = f(t)− f(0) +

∫ t

0f(x)dx

=⇒ f(t) = f(0) +∫ t

0g(x)dx−

∫ t

0f(x)dx =⇒ f ′(t) = g(t)− f(t).

De este modo, f ∈ D(T ) y Tf = g.

Para ver que T no es acotado, basta tomar la sucesion fn(x) = sennx,que verifica ‖fn‖∞ = 1, pero ‖Tfn‖∞ = supn∈N |n cos nx+sennx| ≥ n.

����

194

31. Sea T un operador lineal cerrado con dominio D(T ) en un espaciode Banach X y rango R(T ) en un espacio normado Y . Si T−1

existe y es acotado, probar que R(T ) es cerrado.1

Resp.: Probemos que T−1 es cerrado:

Si (yn)n∈N es una sucesion de elementos en D(T−1) tal que yn → y,T−1yn → x, entonces ∃(xn)n∈N ⊂ D(T ) : Txn = yn → y, de dondeT−1yn = xn → x. Como T es cerrado, entonces x ∈ D(T ) y Tx = y,es decir y ∈ D(T−1), T−1y = x.

Pero si T−1 es cerrado, entonces D(T−1) = R(T ) es cerrado.

Otra forma de probarlo es ver que G(T−1) = {(Tx, x) : x ∈ D(T )} ⊂Y ×X es cerrado, pero como la aplicacion f : X×Y → Y ×X, definidapor f(x, y) = (y, x), es isometrıa y G(T ) es cerrado, entonces G(T−1)es cerrado.

����

32. Sea T : D(T ) ⊂ X → Y un operador lineal con grafo G(T ), dondeX e Y son espacios de Banach. Probar que T tiene una extensionT que es un operador lineal cerrado con grafo G(T ) si y solo siG(T ) no contiene ningun elemento de la forma (0, y), con y 6= 0.

Resp.: a) Supongamos que ∃T extension lineal cerrada de T con grafoG(T ) = G(T ). Por ser T lineal, T (0) = 0, de modo que (0, y) 6∈ G(T )con y 6= 0, es decir (0, y) 6∈ G(T ).

b) Supongamos ahora que G(T ) no contiene ningun elemento de laforma (0, y), con y 6= 0. Si existieran (x1, y1), (x1, y2) ∈ G(T ), entonces(0, y1 − y2) ∈ G(T ) =⇒ y1 − y2 = 0.

Esto asegura que el operador T x = y1 = y2 esta bien definido y es unaextension de T . Ademas, T es lineal pues G(T ) es espacio vectorial yT es cerrado pues G(T ) es cerrado.

����

33. Demostrar que un operador T : D(T ) ⊂ X → Y es clausurable siy solo si

xn ∈ D(T ), xn → x, Txn → yx′n ∈ D(T ), x′n → x, Tx′n → y′

}=⇒ y = y′.

Resp.: Se deduce inmediatamente de la proposicion 8.3.

195

De esta propiedad es claro tambien que

D( T ) = {x ∈ X : ∃(xn)n∈N ⊂ D(T ), xn → x, ∃ lımn

Txn}.

TEMAS COMPLEMENTARIOS

1. Version geometrica del teorema de Hanh-Banach ([La], [CC]).

2. Integracion numerica y convergencia debil-∗ ([Kr]).

3. Sucesiones de Cauchy debiles ([Sc]).

196