Iteración de punto fijo

Este permite resolver sistemas de ecuaciones

No necesariamente lineales.

Es también denominado método de

aproximación Sucesiva se puede utilizar

para determinar raíces de una función

de la forma f(x),requiere volver a escribir la

ecuación f(x) = 0

en la forma x = g(x)

A la solución de esta ecuación se le llama

un punto fijo de la función g.

Ecuación general f(x)=0

● Se desea encontrar la raíz real de x.

El primer paso consiste en transformar f(x)=0, a X=g(x).

El segundo paso es dar un valor de tanteo de raíz , este valor de inicio será x0.

En el tercer paso se evalúa g(x) en x0 y el valor resultante será x1. g(x0)=x1

Caso comparación de x0 con x1

● Caso 1

--- que x1=x0

-Esto indica que se ha elegido como valor inicial una

raíz y el problema queda concluido. Recuerde que si xR

es raíz de la ecuación. Se cumple que f(xR)=0 y que g(xR)=xR

● Caso 2

---que x1 ≠x0

-Esto es lo mas frecuente ,indica que x1 y x0 son

diferentes de la xR . Y se tiene que f(xR) ≠ 0 y que g(xR) ≠ xR.

En estas circunstancias se procede a hacer una segunda evaluación,

de g(x) ahora en x1, denotándose el resultado como x2 . g(x1)=x2

Este proceso se repite y queda el siguiente esquema

Si al resolver y los resultados de las iteraciones ,se vanalejando ,es por que están divergiendo y se debe detenerel procedimiento e iniciar con una nueva ec.de x=g(x) ;Y si los valores se acercan cada vez mas a uno solo es porque convergen y nos esta dando el valor de la raíz.

Posibles x=g(x)

Ejemplo

Resultados Diverge(los valores se Alejan del resultado)

Converge (que se acercan al resultado)

I xi G(xi)

0 2 3

1 3 13

2 13 333

3 333 221773

I xi G(xi)

0 2.00000 1.87083

1 1.87083 1.85349

2 1.85349 1.85115

3 1.85115 1.85083

Criterio de convergencia

Mientras mas iteraciones halla los valores xi,xi+1,se van acercando cada vez mas entre si como se ve en la figura

x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6

x

Métodos numéricos Aplicados a la Ingeniería. Antonio Nieves. México DF 2003

Bibliografía