isbn 978-956-227-454-8 e. canales – d. melo dinÁmica

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DINÁMICA DE

PROCESOS PARA

INGENIEROSQUÍMICOS

EDGARDO CANALESDIÓGENES MELO

EDITORIAL UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN

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En este libro se estudian los fundamentos y las principales aplicacionesdel estado no estacionario o régimen dinámico de los procesos químicos.Incluye numerosos ejemplos de procesos químicos en los que participanlíquidos, gases y sólidos, así como la interacción de las fases líquido-gas,sólido-líquido y sólido-gas. Además se incorporan ejemplos de simulacióndinámica con MATLAB de sistemas lineales y no lineales con el fin de entregarherramientas más elaboradas de autoaprendizaje al ingeniero de procesospara mejorar la comprensión de los fundamentos teóricos y las aplicacionesmás importantes de la Dinámica de Procesos.

Su fundamento es el principio de conservación (balances dinámicos) depropiedades extensivas como materia (global y por especies), energía(mecánica, interna) y cantidad de movimiento lineal.

El enfoque es fenomenológico de acuerdo a los mecanismos de transporte delas referidas cantidades, tales como convección, difusión o dispersión, reac-ciones químicas y relaciones termodinámicas. Su propósito es el análisis yla simulación de los procesos, a partir de los modelos físico-matemáticosresultantes de la aplicación del principio de conservación; no se pretende eldiseño que se da por hecho.

El objetivo general es proporcionar al ingeniero de procesos una herramientaanalítica cuantitativa causa-efecto en el estado no estacionario para vari-adas condiciones operativas.

9 789562 274548

ISBN 978-956-227-454-8

Q∫UdeCI

NGENIERIA

QUIMICA

CIVIL

EDGARDO CANALES REBOLLEDO. Profe-sor del Departamento de Ingeniería Química dela Universidad de Concepción entre los años1964 y 2014, es Ingeniero Civil Químico de laUniversidad de Concepción y MSc en IngenieríaQuímica de la Universidad de Minnesota, Es-tados Unidos. Enseñó cursos de Mecánica deFluidos, Transferencia de Calor, Dinámica deProcesos, Control de Procesos, Fenómenos deTransporte.

DIÓGENES MELO LAGOS. Profesor del De-partamento de Ingeniería Química de la Univer-sidad de Concepción, es Ingeniero Civil Químicode la Universidad de Concepción y PhD en Inge-niería Química de la Universidad de Rochester,Nueva York, Estados Unidos. Enseña cursosde Balances de Materia y Energía, Dinámicade Procesos, Control de Procesos, Optimizaciónde Procesos, Análisis Numérico en IngenieríaQuímica.

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DINÁMICA DEPROCESOS PARAINGENIEROS QUÍMICOS

Edgardo Canales Rebolledo

Diógenes Melo Lagos

EDITORIAL UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN

Serie CIENCIA

Q∫UdeCI

NGENIERIA

QUIMICA

CIVIL

Universidad de ConcepciónFacultad de IngenieríaDepartamento de Ingeniería Química

Dinámica de procesos para ingenieros químicosEdgardo Canales Rebolledo – Diógenes Melo Lagos©2019 Universidad de ConcepciónRegistro de Propiedad Intelectual Nº 304994

ISBN 978-956-227-454-8Editorial Universidad de Concepción

Primera edición, julio 2019

Biblioteca Central, Of. 11, Campus UniversitarioFono (56-41) 2204590 - Casilla 160-C, Correo 3Concepción - ChileE-mail: [email protected]

Diseño / ediciónDiógenes Melo Lagos

ImpresiónImpresos Valverde S.A.

IMPRESO EN CHILE / PRINTED IN CHILE

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra

Contenido

Prefacio vii

1 Introducción a la Dinámica de Procesos 11.1 La Dinámica de Procesos en la Ingeniería Química . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Variables de Procesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Alcances de la Dinámica de Procesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Modelos Matemáticos de Procesos �ímicos 92.1 Leyes Fundamentales de Conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Modelos Dinámicos de Sistemas de Parámetros Concentrados . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 Sistemas Capacitivos-Resistivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.2 Análisis de los Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3 Modelos Dinámicos de Sistemas de Parámetros Distribuidos . . . . . . . . . . . . 352.3.1 Análisis de los Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.4 Forma General de Modelos Dinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.5 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3 Métodos de Análisis 513.1 Linealización de Modelos de Sistemas de Parámetros Concentrados . . . . . . . . 513.2 Linealización de Modelos de Sistemas de Parámetros Distribuidos . . . . . . . . . 633.3 Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.3.1 Definición y Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.3.2 Transformadas de Laplace de Algunas Funciones Comunes . . . . . . . . 663.3.3 Inversión de Transformadas por Fracciones Parciales. Solución de Ecuacio-

nes Diferenciales Ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.4 Funciones de Transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.4.1 Funciones de Transferencia de Sistemas de Parámetros Concentrados . . . 733.4.2 Funciones de Transferencia de Sistemas de Parámetros Distribuidos . . . . 763.4.3 Función de Transferencia del Retardo de Transporte . . . . . . . . . . . . 823.4.4 Polos y Raíces de las Funciones de Transferencia . . . . . . . . . . . . . . 853.4.5 Funciones de Transferencia en Procesos Químicos . . . . . . . . . . . . . 89

3.5 Álgebra de Diagramas de Bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.6 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4 Respuestas de Sistemas Dinámicos 934.1 Sistemas Dinámicos de Primer Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.1.1 Forma General de Sistemas de Primer Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.1.2 Respuestas de Sistemas Dinámicos de Primer Orden . . . . . . . . . . . . 97

vi Contenido

4.2 Sistemas Dinámicos de Segundo Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.2.1 Forma General de Sistemas de Segundo Orden . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.2.2 Respuestas de Sistemas Dinámicos de Segundo Orden . . . . . . . . . . . 122

4.3 Sistemas Dinámicos de Alto Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.3.1 Sistemas Interactuados y no Interactuados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.3.2 Baterías en Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4.4 Sistemas Dinámicos con Respuesta Máxima y con Respuesta Inversa . . . . . . . . 1574.5 Sistemas de Parámetros Distribuidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1624.6 Sistemas Dinámicos con Dispersión Axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

4.6.1 El Mecanismo de Dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1674.7 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

5 Respuestas de Frecuencia 1735.1 Respuesta de Frecuencia de Sistemas de Primer Orden . . . . . . . . . . . . . . . . 1735.2 Diagramas de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1805.3 Efecto de Filtro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1835.4 Forma General de la Respuesta Estacionaria de Frecuencia . . . . . . . . . . . . . 184

5.4.1 Sistemas sin Fase Mínima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1915.5 Respuesta de Frecuencia de Sistemas de Segundo Orden . . . . . . . . . . . . . . . 1955.6 Respuesta de Frecuencia de Sistemas en Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

6 Estabilidad de Sistemas Dinámicos 2076.1 Condiciones de Estabilidad en Sistemas Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2076.2 Criterios de Estabilidad en Sistemas Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2116.3 Método de Sustitución Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2186.4 Efecto del Retardo de Transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2196.5 Criterio de Estabilidad de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2226.6 Estabilidad de Sistemas No Lineales. Teorema de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . 2296.7 Estabilidad de un reactor en el plano de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2376.8 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

7 Identificación Experimental de Sistemas Dinámicos 2477.1 Identificación por Prueba Escalón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

7.1.1 Modelos de Primer Orden con Retardo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2487.1.2 Modelos de Segundo Orden con Retardo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2527.1.3 Modelos de Respuesta Inversa y Respuesta Máxima . . . . . . . . . . . . . 260

7.2 Identificación de Sistemas por Análisis de Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . 2627.2.1 Señal Sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2657.2.2 Pruebas de Pulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2667.2.3 Prueba Escalón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

7.3 Identificación de Sistemas en Lazo Cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2677.4 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

Prefacio

En este libro se estudian los fundamentos y las principales aplicaciones del estado no estaciona-rio o régimen dinámico de los procesos químicos. Incluye numerosos ejemplos de procesos quími-cos en los que participan líquidos, gases y sólidos, así como la interacción de las fases líquido-gas,sólido-líquido y sólido-gas. Además se incorporan ejemplos de simulación dinámica con MATLABde sistemas lineales y no lineales con el fin de entregar herramientas más elaboradas de auto-aprendizaje al ingeniero de procesos para mejorar la comprensión de los fundamentos teóricos ylas aplicaciones más importantes de la Dinámica de Procesos.

Su fundamento es el principio de conservación (balances dinámicos) de propiedades extensivascomo materia (global y por especies), energía (mecánica, interna) y cantidad de movimiento lineal.

Su enfoque es fenomenológico de acuerdo a los mecanismos de transporte de las referidas can-tidades, tales como convección, difusión o dispersión, reacciones químicas y relaciones termodi-námicas. Su propósito es el análisis y la simulación de los procesos, a partir de los modelos físico-matemáticos resultantes de la aplicación del principio de conservación; no se pretende el diseñoque se da por hecho.

El objetivo general es proporcionar al ingeniero de procesos una herramienta analítica cuanti-tativa causa-efecto en el estado no estacionario para variadas condiciones operativas.

El libro empieza con una introducción a la Dinámica de Procesos en la Ingeniería Química, sedefinen y describen las variables de procesos y los problemas característicos en el estudio dinámicode los procesos.

Luego se presentan las leyes fundamentales de conservación que son la base para construir losmodelos matemáticos de los procesos químicos. Se ilustra con ejemplos en el planteamiento debalances no estacionarios de materia y de energía para varias unidades típicas de la ingenieríade procesos, tales como recipientes de almacenamiento de líquidos, reactores químicos con agita-ción o en escurrimiento, unidades de transferencia de calor, torres de destilación y de adsorción,enfriamiento de sólidos granulares, transferencia de materia líquido - gas.

Los modelos matemáticos de procesos químicos son esencialmente no lineales. En el Capítulo3 se estudia la linealización de modelos no lineales y se presenta una herramienta matemática, latransformada de Laplace que simplifica el tratamiento de ecuaciones diferenciales y el análisis desistemas. Se presenta también el concepto de función de transferencia, propio del estudio dinámicoen el espacio de Laplace.

En el Capítulo 4 se caracterizan los sistemas dinámicos mediante parámetros estacionarios (ga-nancias estáticas) y dinámicos (constantes de tiempo y retardos). Se analizan las respuestas desistemas dinámicos ante estímulos típicos, abordando por separado el análisis desde los sistemasmás simples hasta los más complejos.

En el Capítulo 5 se repite el análisis del Capítulo 4 ahora ante señales periódicas que dan lugara las respuestas de frecuencia, identificando sistemas resonantes y no resonantes.

Las respuestas de los sistemas dinámicos ante estímulos acotados pueden ser convergentes o

viii Prefacio

divergentes en el tiempo; en el Capítulo 6 se desarrollan las condiciones para la estabilidad desistemas lineales, y se establecen los criterios necesarios y suficientes para averiguar conductasdinámicas estables. Posteriormente, se hace extensivo el análisis a los sistemas no lineales.

Finalmente, en el Capítulo 7 se presentan varias técnicas empleadas en la modelación empíri-ca de procesos químicos basadas en el análisis de la respuesta experimental del sistema frente aestímulos típicos acotados en el tiempo.

Edgardo Canales Rebolledo

Diógenes Melo Lagos

1 Introducción a la Dinámica de Procesos

Pasáronse las flores del verano,el otoño pasó con sus racimos,pasó el invierno con sus nieves cano;

las hojas que en las altas selvas vimos,cayeron, ¡y nosotros a porfíaen nuestro engaño inmóviles vivimos!

Andrés Fernández de Andrada,Epístola Moral a Fabio

Las leyes de la física y de la ingeniería planteadas en régimen permanente o estado estacionarioofrecen resultados confiables en el cambio entre dos de tales estados de trabajo, pero no entreganinformación de la conducta dinámica durante el cambio de estado. Tal situación se resuelve si lasmismas leyes físicas se replantean en estado no estacionario o dinámico, al considerar el tiempocomo variable independiente explícita en un término adicional en los respectivos balances de laspropiedades extensivas.

1.1 La Dinámica de Procesos en la Ingeniería �ímica

En la industria de procesos químicos es frecuente modelar, calcular, simular o diseñar las uni-dades de transferencia de calor y materia en el estado estacionario de operación. Aún cuando éstees el caso de muchos procesos, el régimen permanente puede ser alterado por cambios producidosen la planta. Algunas de estas modificaciones pueden ser programadas, como una sustitución demateria prima, o un nuevo nivel de producción; y otras pueden ser inadvertidas, como la hetero-geneidad en la calidad de los materiales en proceso, o condiciones variantes en el suministro deservicios. Estos cambios operativos apartan al proceso del estado estacionario y lo desvían haciaun régimen transitorio de adecuación a las nuevas condiciones de la planta.

Bajo condiciones de estabilidad una planta o equipo alcanza y se mantiene en el estado estacio-nario si las cargas que ingresan al proceso, tales como flujos de materia y de energía, y el estadode estas cargas (temperatura, presión, composición) se mantienen constantes en el tiempo. Ba-jo esta situación el proceso alcanza condiciones operativas fijas (presión, temperatura, niveles delíquido) y se logra el régimen permanente de trabajo. Sin embargo, si una variable de entrada ex-perimenta una perturbación y se establece en otro valor, el proceso modifica sus condiciones de

2 1 Introducción a la Dinámica de Procesos

operación y evoluciona a otro estado estacionario, de acuerdo a los balances de materia, de ener-gía, y de cantidad de movimiento. Aún cuando el cambio en el agente externo sea relativamenterápido, el acondicionamiento del sistema al nuevo régimen permanente tiene lugar en un períodode tiempo más prolongado, que está en relación a la inercia del proceso dada por las capacidadesde los inventarios de materia y de energía. Este período de tiempo corresponde al régimen tran-sitorio de operación, o estado no estacionario, o régimen dinámico, para distinguirlo del régimenestacionario.

El estudio del comportamiento dinámico de los procesos se justifica para la comprensión y aná-lisis de muchas situaciones reales que ocurren en condiciones no estacionarias. De hecho existenreactores químicos que trabajan en forma discontinua o batch, en que a partir de una carga inicialcerrada de reactivos se desarrolla la reacción química en serie A → B → C , en que las variacionesde concentración de las especies con el tiempo se esquematizan en la Figura 1.1. Del mismo modoexisten operaciones de transferencia de calor y/o de materia que se conducen en estado no esta-cionario (secador de bandejas, digestores discontinuos de pulpa de madera, alto horno de acerías,cocción de alimentos, etc.).

Con

centración

tiempo

CA

CB

CC

Figura 1.1: Operación de un reactor discontinuo

Otro ejemplo que ilustra la conducta dinámica de plantas es la partida y parada de equipos, enque se programa una secuencia de etapas intermedias para alcanzar el estado final deseado a travésdel tiempo. En la partida de un horno de procesos se planifica alcanzar la temperatura de trabajomediante varios estados anteriores durante determinados períodos de tiempo. La temperatura realse aproxima a la programada como se observa en la Figura 1.2.

Una aplicación muy importante de la dinámica de procesos es el control automático para tratarde mantener una o más variables del proceso en condiciones preestablecidas de operación. Si las

1.1 La Dinámica de Procesos en la Ingeniería Química 3

tiempo

Temperatura

Figura 1.2: Partida de un horno de procesos

variables que afectan al procesomodifican sus valores en el tiempo, éste se apartará de su condiciónde régimen permanente, en particular si una de estas variables no está accesible al operador, comoes el caso de una variable ambiental. En esa situación el proceso deriva a otro estado estacionariocorrespondiente al nuevo valor de la variable modificada, evolución que ocurre en el tiempo. En laFigura 1.3 se esquematiza el enfriamiento de una corriente líquida en un estanque con agitaciónmediante un serpentín de agua de refrigeración. Ante un aumento súbito de la temperatura Twdel agua fría, la temperatura T del líquido observa el incremento gradual mostrado en la figura.La forma de enfrentar esta desviación es manejando otra variable cuyo efecto contrarreste al dela variable primitiva, como sería el aumento del flujo qw de agua de refrigeración, de modo deretornar la temperatura al estado original. Esta operación constituye el control automático de latemperatura del líquido.

La nomenclatura del proceso de la Figura 1.3 es la siguiente:

q0, q, qw : flujos volumétricos, m3/sT0, T , Tw , TL : temperaturas, ◦C�0, � : densidades, kg/m3V : volumen, m3ℎ : nivel, m

Dinámica de Procesos es el estudio del comportamiento no estacionario de los procesos físi-cos, químicos, biológicos, o de otra índole, que modifican sus condiciones en el tiempo debido alos cambios en los estímulos que los afectan. En ingeniería la palabra dinámica se ha constituídoen sinónimo del cambio temporal del estado de la materia a consecuencia de las variaciones de los


q0, T0, �0

q, T , �ℎV , T

qw ,Tw TL

T(t)

Tw (t) qw(t)

tiempo

Figura 1.3: Enfriamiento de un líquido en un estanque con agitación

agentes externos. El término deriva de la física, en que dinámica es aquella rama de la mecánicaque estudia la acción de las fuerzas sobre un cuerpo en movimiento. Si la resultante de las fuerzasactuantes es nula el cuerpo se mantiene a velocidad uniforme. De lo contrario, ante cualquier des-balance de fuerzas, el cuerpo adquiere una aceleración y su velocidad se modifica en el transcursodel tiempo.

El concepto de régimen dinámico se ha extendido a otros campos de la física, por ejemplo, laenergía interna: las varias contribuciones térmicas sobre una substancia alteran su temperaturamientras ocurre el proceso, salvo si estos aportes de calor se cancelan exactamente, en cuyo casola temperatura se mantiene constante. En la ingeniería química son de gran ocurrencia los balancesdinámicos de materia, de energía y, en menor grado, los de cantidad de movimiento.

Un proceso puede comprender una gran variedad de fenómenos físicos en el estado no esta-cionario y la característica común es la variación de sus condiciones con el tiempo. Mediante elanálisis dinámico se puede caracterizar un número ilimitado de sistemas reales en un número re-lativamente pequeño de categorías bien definidas.

Las bases para la modelación del comportamiento estacionario o dinámico de todos los procesosson leyes de conservación comunes, por lo que el comportamiento dinámico se puede clasificar deacuerdo a las ecuaciones que modelan el sistema. Los fundamentos de la dinámica son los mismosindependiente del punto de vista de la aplicación, ya sea ésta control de procesos, cinética dereacciones, escurrimiento de fluidos, transferencia de calor, transferencia de masa, etc.

La disponibilidad de un modelo dinámico posibilita la simulación de diversas condiciones ope-rativas y su efecto en el desempeño del proceso, lo que permite seleccionar la mejor alternativa detrabajo, sin necesidad de la experimentación real en un equipo instalado. La contribución de un

1.2 Variables de Procesos 5

modelo dinámico, en comparación a un modelo en estado estacionario, es la determinación de lostiempos y de las formas en que ocurren los cambios.

1.2 Variables de Procesos

Para sistematizar el estudio dinámico de procesos, las variables se clasifican en las siguientescategorías:

Variables de entrada: variables externas que afectan al sistema y pueden inducir cambios en lacondición del proceso, por lo que también se denominan cargas o estímulos. En este sentidoson variables causales. En el ejemplo de la Figura 1.3 son claramente variables de entradalos flujos q0 y qw , las temperaturas T0 y Tw y la densidad �0; bajo ciertas circunstancias elflujo de descarga q puede también ser una variable de entrada, como se discutirá al final deesta sección.

Las variables de entrada se dividen en aquellas que se pueden cambiar a voluntad y quese llaman variables manipulables o agentes de control (en general flujos de materia ode energía), y en variables que no se pueden manejar, y corresponden a condiciones delambiente externo, denominadas variables no manipulables o perturbaciones (tempera-turas, densidades, concentraciones).

Además, algunas perturbaciones son conocidas y otras son desconocidas; y de las conocidasalgunas son medibles y otras no lo son.

Variables de estado: variables internas del proceso que describen completamente el estado ocondición de éste, y corresponden a los efectos de las variables de entrada. En la Figura 1.3son variables de estado el volumen V (o su equivalente el nivel ℎ), las temperaturas T y TL,la densidad �, y el flujo q para condiciones distintas a cuando es variable de entrada. Lasvariables de estado son generalmente observadas o medidas. Como se verá en el Capítulo 2,aparecen en forma natural en el término de acumulación de un balance dinámico de materia,de energía, de cantidad de movimiento o de otra cantidad extensiva.

Variables de salida: variables que proporcionan información sobre el estado del proceso, y co-rresponden a lamedición de las variables de estado.Muchas veces coinciden con las variablesde estado, o están en relación con ellas, como ser el voltaje de una termocupla para medirtemperatura, o la caída de presión en un medidor de placa–orificio para determinar caudal.Una variable de salida puede ser el resultado de más de una variable de estado, como la pre-sión hidrostática en el fondo de un estanque, p = �gℎ. En la terminología de la dinámica deprocesos, las variables de salida y las variables de estado se designan bajo el nombre genéricocomún de respuestas del proceso.

Algunas variables de salida son medibles directamente mientras que otras no lo son. La Figura1.4 es un diagrama de información causa–efecto, o diagrama de bloques, que no debe confundirse


con un diagrama de flujos. Se usará la siguiente nomenclatura respecto de las variables:

u(t) ∶ vector de variables manipulables

d(t) ∶ vector de perturbaciones

x(t) ∶ vector de variables de estado

y(t) ∶ vector de variables de salida

Procesou(t) x(t)

d(t)

y(t)Medición

Figura 1.4: Diagrama de información

La Figura 1.5 a) corresponde a una alternativa de diagrama de bloques del proceso ilustrado enla Figura 1.3, y en él se aprecia que la corriente de salida q del diagrama de flujos se convierte envariable de entrada en el diagrama de bloques, en el sentido que las variaciones de q (como causa)provocarán cambios de nivel y de temperatura en el estanque (como efectos). Esta situación sepresenta cuando el flujo de descarga q es manipulable por el operador mediante una válvula, y esempleado como agente de control para regular el nivel de líquido. Asimismo el flujo qw de agua derefrigeración se manipula para regular la temperatura del líquido. En tanto el flujo de alimentaciónq0 no es manipulable por provenir de un proceso anterior, y debe ser aceptado como perturbaciónflotante en el estado en que ingresa.

La Figura 1.5 b) ilustra otra alternativa posible de diagrama de bloques. Esta vez el flujo alimen-tado es manipulable por provenir directamente de un estanque o de una matriz de suministro, yla corriente de descarga q se convierte en variable de salida (efecto) si las tuberías no disponen dedispositivos de regulación, y este flujo debe adaptarse a los cambios de nivel de líquido.

1.3 Alcances de la Dinámica de Procesos

Los diagramas de bloques de las Figuras 1.4 y 1.5 se pueden simplificar a la forma presentada enla Figura 1.6.

La relación funcional entre variables de entrada y de estado de la Figura 1.6 es,

x = f(u, d)en que f es un operador que representa al proceso, y genera los estados x bajo la acción de losestímulos u y d. Dado que las perturbaciones d no son manejables, con las restantes variables u y

1.3 Alcances de la Dinámica de Procesos 7

Proceso

qw

q

ℎ�TTL

T0 Tw q0 �0

a)

a) q y qw manipulables, q0 flotanteb) q0 y qw manipulables, q flotante

Proceso

qw

q0

ℎ�TTLq

T0 Tw �0

b)

Figura 1.5: Diagrama de información para el estanque de enfriamiento

x y el operador f se distinguen tres situaciones de problemas característicos, dependiendo de cualsea la incógnita, que se resumen en la Tabla 1.1.

En el problema de operación son conocidos el proceso y las variables de entrada, y el ejerciciose aboca a determinar las respuestas. Un ejemplo típico es el caso de un intercambiador de calorinstalado (o por instalar), de características físicas conocidas, en que a partir de las condiciones deingreso de las dos corrientes se pretende conocer las temperaturas de salida de ambas corrientes.Este problema admite dos formas de solución: la práctica, llevada a cabo por un operador (o unregistrador) en un equipo en terreno, en que sencillamente se miden las temperaturas de salida;ésta es la solución física generada por el proceso real; y la solución matemática, llevada a cabo porel ingeniero calculista, que a partir de las leyes y correlaciones que gobiernan el funcionamientode los intercambiadores de calor, estima las temperaturas de salida. En la dinámica de procesos seutilizan ambas formas de solución: la física, en que se registran las respuestas de un proceso realcausadas por un cambio en los estímulos de entrada; y la matemática, en que a partir de un modelodinámico del proceso se calculan las salidas para determinadas entradas. Este último procedimientoes también denominado simulación de procesos. En el Capítulo 2 de este texto se presentará laformulación de modelos dinámicos de procesos. En el Capítulo 3 se estudiarán algunas técnicasanalíticas de solución, y en los Capítulos 4 y 5 se derivarán las respuestas de distintas categoríasde procesos ante formas típicas de estímulos.

En el problema de diseño el objetivo es determinar las características que debe satisfacer elproceso para lograr las respuestas deseadas, a partir de condiciones conocidas de las variables de


f(u, d)u(t) x(t)

d(t)

Figura 1.6: Diagrama de información simplificado

Tabla 1.1: Problemas característicos

Datos Incógnita Problema

u, f x de operación

u, x f de diseño

f, x u de control

entrada. Esto puede significar el dimensionamiento del equipo (superficie, número, diámetro y dis-posición de tubos, en el caso del intercambiador de calor), como también establecer las condicionesoperativas (temperatura, presión, etc.). Por lo general el diseño de equipos y procesos es una tareade cálculos para operación en estado estacionario. Sin embargo también existe la versión expe-rimental, no en el diseño, sino en la identificación del sistema (o proceso) mediante el métodocientífico de estímulo-respuesta. A través del análisis y el tratamiento de la información entrada-salida es posible postular un modelo y determinar sus parámetros característicos. En el Capítulo 7se estudiará la identificación experimental de sistemas dinámicos por estas técnicas.

Por último, en el problema de control, se requiere determinar el valor de una variable de entradapara lograr una respuesta deseada en una unidad o equipo existente. Por ejemplo, cuánto debe serel flujo de agua fría o de gas en un calefón para alcanzar una temperatura de agrado en la ducha.Este problema también admite una solución física, cuando el usuario manipula estos flujos porprueba y error, o una solución analítica, si el diseñador calcula tales variables con la ayuda deun modelo matemático. En el Capítulo 6 se hace una introducción al control de procesos y a lascondiciones de estabilidad que lo hacen posible.

El control de procesos es una de las aplicaciones más importantes de la dinámica de procesos,y su empleo en la industria es cada vez más intenso; dispone de una teoría muy desarrollada y suestudio justifica un curso separado de control de procesos.

2 Modelos Matemáticos de Procesos�ímicos

Un modelo es una abstracción matemática que representa los aspectos más relevantes de unsistema físico. La base común de todos los modelos en las leyes de conservación permite la genera-lización de su tratamiento. Un modelo de una situación física permite predecir el comportamientode sus variables ante determinada circunstancia.

Todas las variables de procesos mencionadas en el Capítulo 1 dependen del tiempo y/o de laposición por lo que se consideran como variables dependientes. El tiempo y la posición espacialson las variables independientes.

2.1 Leyes Fundamentales de Conservación

Ignorando efectos relativísticos, las leyes fundamentales de la naturaleza que conducen a laformulación de modelos de procesos químicos son la conservación de la materia, de la energía yde la cantidad de movimiento. Estas leyes se aplican tanto en el estado estacionario como en el noestacionario para cualquier cantidad extensiva en cualquier sistema:

⎛⎜⎜⎝Velocidad deacumulaciónen el sistema

⎞⎟⎟⎠= ⎛⎜⎜⎝

Flujoqueentra

−Flujoquesale

⎞⎟⎟⎠⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟“Flujo Neto”a través de los

límites del sistema

+ ⎛⎜⎜⎝Velocidad

degeneración

−Velocidad

deconsumo

⎞⎟⎟⎠⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟“Generación Neta”

al interior delsistema

(2.1)

La elección del sistema y la elección de la cantidad extensiva dependen de cada situación. En lossistemas perfectamente agitados, que presentan homogeneidad espacial, los balances se aplican enforma macroscópica a todo el volumen del sistema, y conducen a sistemas de ecuaciones diferen-ciales ordinarias en el tiempo. Se denominan sistemas de parámetros concentrados. En sistemasque presentan cambios espaciales en sus variables (sistemas de flujo pistón, con o sin dispersión),los balances se deben aplicar a un elemento diferencial de volumen, y se obtienen sistemas de ecua-ciones diferenciales parciales en el tiempo y en una o más direcciones espaciales. Estos sistemasse denominan de parámetros distribuidos.

El término de velocidad de acumulación en el sistema representa la variación de la propiedadextensiva en el tiempo, esto es, la inercia al cambio del sistema dinámico; en términos matemá-ticos se expresa por la derivada de la cantidad extensiva con respecto al tiempo. Las propiedades

10 2 Modelos Matemáticos de Procesos Químicos

extensivas más comunes son: la masa en el sistema, m = �V , en que � es la densidad de la sus-tancia y V el volumen del sistema; la cantidad de movimiento mv, en que v es la velocidad a quese desplaza la materia en el sistema; los moles de una especie, ni = CiV = Cim/�, en que Ci esla concentración molar del componente i; la entalpía, H = mCpT , en que Cp y T son el calor es-pecífico y la temperatura de la materia; la energía interna, la energía mecánica, etc. Se observaque toda propiedad extensiva es proporcional a la masa de la sustancia, y se puede expresar enfunción de propiedades físicas como densidad, capacidad térmica y otras, y de variables intensivascomo concentración, temperatura, velocidad, nivel de líquido (V = Sℎ), etc. Si G es la propiedadextensiva, y G es su específica (por unidad de masa), entonces G = mG, y el término de velocidadde acumulación se escribe, dG

dt = ddt (�V G)

en sistemas de parámetros concentrados en que G es solo función del tiempo, y como,

)G)t = )

)t (�V G)en sistemas de parámetros distribuidos, en que la propiedad G depende además de la posición enel sistema.

Las formas de los flujos de ingreso y egreso en el sistema en la ecuación (2.1) resultan de la in-teracción del sistema con el ambiente a través de la superficie delimitante. Estos límites pueden serfísicos reales como una pared sólida, o bien matemáticos virtuales como la sección transversal deuna tubería. Los mecanismos físicos de los flujos se expresan mediante ecuaciones constitutivasy son esencialmente tres:

a) Convección. Si un flujo volumétrico q (m3/s) de materia ingresa al sistema, también lo haceel flujo másico correspondiente �q; y el flujo entálpico �qCpT , y los flujos de energía, deentropía, etc.

Si la sustancia es una mezcla o solución, se incorporan los flujos de cada una de las especies,Ciq. La convección es la velocidad de traslado espacial de la materia que porta consigo todassus propiedades asociadas.

b) Transferencia en interfases reales (sólido-sólido, sólido-fluido, líquido-gas o vapor, líquido-líquido inmiscibles). Corresponden a la transferencia de calor ℎAΔT (ley de enfriamiento deNewton), o a la transferencia de materia kmAΔCi (ley de Graham), o a las fuerzas de roce o dearrastre de un fluido sobre un objeto, F = (f/2)�v2A, en que f es el coeficiente de fricción o dearrastre. Estas leyes se complementan con las correlaciones correspondientes para el cálculode los coeficientes de transferencia, en términos de grupos adimensionales como Re, Pr, Sc,Nu, Sh, etc. Además, entre cuerpos grises a distinta temperatura, interviene el intercambiode calor por radiación (ley de Stefan-Boltzmann).

c) Transporte en fases continuas a través de interfases virtuales internas. Son las leyes de vis-cosidad de Newton �yx = −� dvx/dy (transporte de cantidad de movimiento), de conducciónde Fourier qy = −k dT/dy (transporte de calor), de difusión de Fick Ji = − dCi/dy (trasporte demateria), expresadas en términos de sus respectivos gradientes de velocidad, de temperaturay de concentración.

2.2 Modelos Dinámicos de Sistemas de Parámetros Concentrados 11

En el término de generación interna de la ecuación (2.1), se presentan habitualmente dos situa-ciones:

d) Reacciones químicas basadas en la ley de acción de masas, con expresiones cinéticas tipoArrhenius, como mecanismos de generación y consumo de especies químicas. Además, silas reacciones son exotérmicas o endotérmicas, generan o consumen calor.

e) Fuerzas de campo que actúan a distancia sobre toda la masa del sistema, y que modifican elestado demovimiento de la materia, incrementando o reduciendo la cantidad demovimiento.Ejemplos son el campo gravitacional, el campo centrífugo, campos eléctrico, electroquímico,etc.

La formulación del modelo de la ecuación (2.1) se complementa con las relaciones termodinámi-cas pertinentes, como ecuaciones de estado, relaciones del equilibrio químico y de fases, isotermasde adsorción, etc.

2.2 Modelos Dinámicos de Sistemas de Parámetros Concentrados

Para los sistemas de parámetros concentrados, las ecuaciones constitutivas son siempre relacio-nes algebraicas y las ecuaciones de conservación entregan siempre sistemas de ecuaciones dife-renciales ordinarias de primer orden en el tiempo. Ejemplos de sistemas perfectamente agitados:mezcladores, evaporadores, estanques de almacenamiento, estanques calefactores, reactores, her-vidores, etapas de equilibrio, molinos de bolas, etc.

Ejemplo 2.1 Estanque con descarga por gravedad

En la Figura 2.1 se esquematiza un estanque acumulador de sección circular S instalado en unalínea de proceso que recibe una alimentación de líquido q0 (m3/s) y que descarga por gravedad alambiente. Se desea averiguar los cambios de inventario de líquido.

El contenido de líquido del estanque está dado por su masa �V . Para un depósito de secciónconstante esto corresponde a �Sℎ. Ver Figura 2.1.

Para una densidad homogénea del líquido, esto es, sin variaciones espaciales de la concentra-ción de la materia, es aplicable un balancemacroscópico de masa total, para la cual los términosde generación y consumo internos son nulos; por la mezcla perfecta el estado de la corriente dedescarga es el mismo que el del líquido contenido en el depósito:

dmdt = w0 − w [kg/s] (2.2)

pero, m = �V = �Sℎw = �q

luego, d(�Sℎ)dt = �0q0(t) − �q(t) (2.3)


ℎS

q0, �0

q, �

pamb

p1 b pamb

Figura 2.1: Estanque acumulador

La diferencia (�0q0 − �q) corresponde al cambio convectivo de masa total. Suponiendo que ladensidad es constante, es decir �0 ≈ �, se obtiene la ecuación diferencial ordinaria,

S dℎdt = q0(t) − q(t) (2.4)

La condición inicial corresponde a,

t = 0, ℎ = ℎi (arbitrario) (2.5)

El caudal q0 es externo y no depende de lo que ocurre en el estanque. El flujo de descarga dependede la caída de presión disponible en la tubería de salida,

q = f (−Δp)(−Δp) = p1 − pamb

en que la presión p1 queda dada por la carga estática de líquido en el estanque,

p1 = pamb + �gℎLuego la caída de presión disponible en el tubo para la descarga por gravedad corresponde a la

carga de líquido en el depósito,

(−Δp) = �gℎ (2.6)


Se distinguen dos casos:

a) Descarga en escurrimiento laminar

De acuerdo a la ley de Hagen-Poiseuille, la caída de presión del fluido en el tubo es proporcionalal flujo de descarga,

(−Δp) ∝ q, esto es q ∝ �gℎpor lo que la ecuación constitutiva derivada de la ecuación (2.6) se escribe,

q = ℎR (2.7)

donde R [s/m2] es la resistencia hidráulica, constante propia del sistema hidráulico, e indepen-diente del estado inicial y de las condiciones operativas. El balance de materia se escribe como unaecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden,

SR dℎdt + ℎ = Rq0(t) (2.8)

El comportamiento en estado estacionario del estanque se puede obtener fácilmente haciendonulo el término de velocidad de acumulación en el sistema,

dℎdt = 0

y se obtiene,qs = q0s ; ℎs = Rq0s (2.9)

en que el subíndice s indica condiciones de régimen permanente. La ecuación (2.9) puede repre-sentar la condición inicial de la ecuación (2.8).

b) Descarga en escurrimiento turbulento

La caída de presión del fluido varía con el cuadrado de la velocidad,

(−Δp) ∝ q2y de la ecuación (2.6) el flujo de descarga está dado por una ecuación constitutiva de la forma,

q = k√ℎ (2.10)

siendo k una constante característica del sistema hidráulico. Se obtiene una ecuación diferencialordinaria no lineal,

S dℎdt = q0(t) − k√ℎ (2.11)

El resultado en estado estacionario para q0 constante es,qs = q0s ; ℎs = q20sk2 (2.12)

En ambas situaciones, el modelo dinámico de parámetros concentrados corresponde a una ecua-ción diferencial ordinaria de primer orden y la ecuación constitutiva es una ecuación algebraica.


El nivel de líquido ℎ es la variable de estado. El caudal de entrada q0(t) se considera dado exter-namente y por lo tanto es una perturbación. En muchas instalaciones el nivel propiamente tal noes accesible y se mide indirectamente como la presión ejercida por la columna de líquido medianteun manómetro, p = �gℎ. En este caso la presión hidrostática p es la respuesta y , ver Figura 2.2.El flujo q de descarga es la variable manipulada mediante la válvula para controlar el nivel anteperturbaciones en q0.

Procesoq(t) ℎ(t)

q0(t)

p(t)Medición

Figura 2.2: Diagrama de información del estanque

En la Figura 2.3 se presenta la respuesta dinámica del nivel de líquido cuando el caudal de entradase incrementa repentinamente en 10%. Se observa un período dinámico de variación paulatina delnivel hasta el nuevo estado estacionario final correspondiente a las condiciones arbitrarias delproblema: S = 1 y R = 1 en descarga laminar y S = 1 y k = 1.75 en descarga turbulenta, enunidades consistentes.

ℎ(t)

t

escurrimiento laminar

escurrimiento turbulento

Figura 2.3: Respuesta del nivel de líquido


Ejemplo 2.2 Conducta dinámica de un tubo de descarga de líquido

En el Ejemplo 2.1 no se ha considerado la inercia del líquido en el tubo de descarga, y se haplanteado una ecuación constitutiva algebraica para el flujo de descarga. En este desarrollo segeneraliza la conducta dinámica del líquido en el tubo. El balance de materia para el inventario dellíquido en el estanque se mantiene,

S dℎdt = q0(t) − q(t) (2.4)

Se postuló para el flujo de salida una funcionalidad pseudo-estacionaria con el nivel de líquidoen el depósito, tanto en descarga laminar como turbulenta,

q = q(ℎ)Se desea encontrar una relación general en estado dinámico para el flujo de descarga de líquido

por gravedad a través del tubo.Para encontrar la funcionalidad general se debe plantear un balance dinámico de líquido en el

tubo que considere la aceleración gradual del fluido ante cambios de nivel. Para densidad constanteun balance de materia no es contributivo (ver Figura 2.4), ya que la masa de líquido en el tubo semantiene constante, d

dt (S0L�) = S0v�|z=0 − S0v�|z=L = 0donde

v|z=0 = v|z=L = v|∀z y v = v(t)

pamb

ℎ(t)L

S0 = �d2/4

q0(t)

q = S0v(t)pL = pamb

b b

1 0

Figura 2.4: Tubo de descarga de líquido


Este resultado expresa que para un fluido incompresible la velocidad instantánea v(t) del líquidoserá la misma en cualquier posición del tubo, en concordancia con la relación de continuidadw(t) =�q(t) = �S0v(t).

Las variaciones de velocidad v(t) se deducen mas bien de un balance de energía mecánica (o decantidad de movimiento) aplicado a toda la masa líquida del tubo dada la homogeneidad espacialdel flujo. Si la masa de fluido en el tubo es m = �S0L, entonces contiene la energía mecánicam(v2/2 + gz) [J], cuya variación temporal (inercia al cambio) se expresa por,

ddt [m(v2

2 + gz)] [J/s=W]

Dadas las unidades de este término acumulativo, el balance de energía mecánica debe plantearseen forma extensiva. De este modo el flujo convectivo de energía mecánica resulta w [kg/s] × B[J/kg], en que w es el flujo másico �q y B es el número de Bernoulli. En ausencia de máquinashidráulicas en el tubo que entreguen potencia mecánica, el balance de energía mecánica se derivadel principio de conservación, ver Figura 2.4:

ddt [�S0L(

v22 + gz)] = w0B0 − wLBL − wlf (2.13)

en que,

B = v2/2 + p/� + gz, número de Bernoulliz = z0 = zL = constantev0 = vL = v(t)w0 = wL = w(t) = �S0v(t)pL = pamblf = pérdida de carga = (v2/2)(4f L/d +∑Ki)f = factor de fricción de FanningKi = factores de resistencia hidráulicos en válvulas y ac-cesorios en el ducto

El balance se simplifica a la forma:

Ldvdt = p0 − pL� − v22 (f 4Ld +∑Ki) (2.14)

La presión p0 se determina de la ecuación de energía mecánica (Bernoulli) aplicada en la regiónde ingreso de líquido al tubo (puntos 1 a 0):

p1� + v212 + gz1 = p0� + v202 + gz0 + Kc v22

en que Kc es el factor de resistencia por pérdida de carga en la contracción de entrada del líquido.Como v1 ≈ 0, z1 = z0, y v0 = v, se tiene,

p0 = p1 − (1 + Kc) � v22 (2.15)


A su vez la presión estática p1 es la resultante de la carga de líquido en el estanque,

p1 = pamb + �gℎEfectuando los reemplazos y desarrollando se obtiene la expresión final:

Ldvdt + v22 (1 + Kc + 4f Ld +∑Ki⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏟Kf

) = gℎ(t)

en que ℎ(t) es el estímulo y v(t) es la respuesta.Ldvdt + v2

2 (1 + Kf ) = gℎ(t) (2.16)

Esta relación establece que la función forzante gℎ(t) debe vencer la inercia del líquido amodificarsu velocidad, al desarrollo de la carga dinámica v2/2, y a absorber las pérdidas de carga. Este balancedebe resolverse en conjunto con el balance de materia en el depósito,

S dℎdt = q0(t) − S0v(t) (2.17)

sujetos a las condiciones iniciales,

ℎ(0) = ℎsv(0) = vs

El diagrama de bloques correspondiente a las ecuaciones (2.16) y (2.17) es el de la Figura 2.5.Las respuestas ℎ(t) y q(t) dependen de la perturbación q0(t), y ambas respuestas son interdepen-

dientes entre sí. Si se observan los balances demateria y de energía mecánica se constata que debenresolverse en forma simultánea porque las variables participan en ambas ecuaciones diferenciales,esto es, existe interacción entre los dos balances, lo que se aprecia en el diagrama de bloques de laFigura 2.5.

Una simplificación del balance de energía mecánica, ecuación (2.16), ocurre para la situacióncomún en que el inventario de líquido en el estanque supera con creces al contenido de líquido enel tubo,

�Sℎ ≫ �S0Len cuyo caso la gran inercia de la masa de líquido en el depósito controla la velocidad de respuestadel nivel, en tanto que la conducta transitoria del flujo de líquido en el tubo es muy rápida enalcanzar el equilibrio de fuerzas, y este balance se replantea en estado pseudo-estacionario:

v(t) =√( 2g

1 + Kf ) ℎ(t) (2.18)

Se presentan dos casos especiales:


Balance demateria

en el estanque

ℎ(t)

q0(t)

v(t)Balance deenergíamecánicaen el tubo

Figura 2.5: Diagrama de bloques del tubo de descarga de líquido

a) Descarga en escurrimiento turbulento (tubos cortos, líquido poco viscoso, en general baja re-sistencia hidráulica); para estas condiciones el coeficiente de fricción f es muy poco sensibleal flujo, y en consecuencia se obtiene,

q(t) = S0v(t) ≈ k√ℎ (2.19)

Para escurrimiento ideal, sin roce, se llega a la fórmula de Torricelli,

v = √2gℎ (2.20)

b) Descarga en escurrimiento laminar (tubo largo y delgado, líquido viscoso, en general altaresistencia hidráulica).

En este caso el término viscoso por pérdida de carga regular es dominante en ausencia deaccesorios y el balance se reduce a,

(4f Ld ) v22 ≈ gℎ (2.21)

Estas condiciones se satisfacen para números de Reynolds entre 200 y 2000 y para razonesL/d entre 10 y 100. A su vez el factor de fricción está dado por,

f = 16Re = 16�

dv� (2.22)

El resultado final es la ley de Hagen-Poiseuille,

q(t) = S0v(t) ≈ �d4128�L �gℎ(t)


o en breve,

q(t) ≈ ℎ(t)R (2.23)

Las relaciones (2.19) y (2.23) para q(ℎ) en descarga turbulenta y en descarga laminar fueronlas aplicadas en el Ejemplo 2.1.

2.2.1 Sistemas Capacitivos-Resistivos

Los resultados del Ejemplo 2.1 permiten una consideración adicional. El balance de materia enel estanque se puede reescribir como

q0(t) = ddt (Sℎ) + ℎ

R (2.24)

con la siguiente interpretación: la función forzante externa q0(t) debe vencer la oposición de doselementos constitutivos del proceso, la capacidad o inercia de la substancia, y la resistencia a ladescarga; por tal razón estos sistemas dinámicos se denominan capacitivos-resistivos, y la pre-sencia de ambos términos permitirá construir una constante de tiempo a través del producto � = SR(Sección 3.1).

Si la inercia del proceso es nula o despreciable (sección S muy estrecha), se obtiene un sistemasólo resistivo, de respuesta pseudo-estacionaria ante el estímulo,

ℎ(t) ≈ Rq0(t) (2.25)

Si el término resistivo es constante (q = qb por descarga con bomba) o nulo, se tiene un sistemasólo capacitivo, d

dt (Sℎ) = q0(t) − qbℎ − ℎ(0) = 1

S ∫ t0 (q0(t) − qb)dt (2.26)

también llamado un sistema integral.

Ejemplo 2.3 Estanque acumulador de gas

Un estanque acumulador cerrado que contiene metano con fracción molar inicial y1i recibe unflujo molar F0 con fracción molar de metano y0. El flujo molar de salida es F1 con fracción molarde metano y1. Se puede suponer que la operación es isotérmica y que los gases obedecen la ley degas ideal. Se desea desarrollar un modelo matemático que describa la variación de la presión delgas y la concentración de metano en el estanque. Ver Figura 2.6.

Se elige como sistema todo el contenido de gas en el estanque acumulador y se plantea el balanceglobal de gas, dn

dt = F0 − F1 [mol/s]

Utilizando la ley de gas ideal,

n = pVRT


p, y1F0y0

F1y1

Figura 2.6: Estanque acumulador de metano

como el volumen y la temperatura permanecen constantes,

VRT

dpdt = F0 − F1

t = 0, p(0) = pi(2.27)

Balance de metano en el estanque acumulador,

d(y1n)dt = y0F0 − y1F1sustituyendo la ley de gas ideal,

VRT

d(y1p)dt = y0F0 − y1F1desarrollando la derivada del producto,

pVRT

dy1dt + y1VRTdpdt = y0F0 − y1F1 (2.28)

Reemplazando la ecuación (2.27) en la ecuación (2.28):

pVRT

dy1dt + y1(F0 − F1) = y0F0 − y1F1se obtiene la ecuación diferencial ordinaria,

pVRT

dy1dt = F0(y0 − y1)t = 0, y1(0) = y1i

(2.29)

Las ecuaciones (2.27) y (2.29) resuelven para p(t) e y1(t) dados y0, F0, las condiciones iniciales yuna ecuación constitutiva para F1 = f (p).

El diagrama de bloques correspondiente se presenta en la Figura 2.7.


Balance global

de materia

en el estanque

p(t)

F0(t) y0(t)

y1(t)

F1(t)

Balance de

metano

en el estanque

Figura 2.7: Diagrama de bloques del estanque acumulador de gas

Ejemplo 2.4 Estanque de calefacción

Una corriente líquida de procesos se calienta en un estanque provisto de un agitador y de unserpentín por el que circula vapor saturado como medio calefactor. A la salida del serpentín seubica una trampa de vapor que evacúa el condensado. Ver Figura 2.8.

q0, T0, �0

q, T , �ℎV , T

Vapor

W (kg/s)Trampa

Condensado

Figura 2.8: Estanque calefactor


Se desea desarrollar el modelo matemático que describe el comportamiento dinámico del nivelde líquido en el estanque y de la temperatura de salida de la corriente de procesos.

a) Balance de materia en el líquido

d(�Sℎ)dt = �0q0(t) − �q(t)

Despreciando las variaciones de densidad, �0 ≈ �,S dℎdt = q0(t) − q(t) (2.4)

b) Balance de energía en el líquidoSe supone que la temperatura de la pared del serpentín está muy próxima a la temperatura de

saturación del vapor que condensa, Tw ≈ Tv , ver Figura 2.9, porque los coeficientes de transfe-rencia de calor por condensación de vapores son mucho mayores a los coeficientes convectivospara líquidos, ℎv ≫ ℎl . Las condiciones físicas de la descarga corresponden a las del líquido en elestanque debido a la agitación perfecta. Tanto la temperatura del vapor como la del líquido sonespacialmente homogéneas, y en consecuencia, lo es también la temperatura de la pared de lostubos.

Vapor Líquido

ℎv

Tv(t) Tw (t)

T (t)

ℎl

Figura 2.9: Perfil de temperatura en la pared del serpentín

d [�SℎCp(T − Tref )]dt = �0q0Cp0(T0 − Tref ) − �qCp(T − Tref )+ ℎlAl(Tw − T ) [W] (2.30)


en que Al es la superficie externa de transferencia de calor del serpentín. El producto �qCpT es laconvección de calor.

Para propiedades físicas constantes el miembro izquierdo de la ecuación anterior se puede desa-rrollar como,

d [�SℎCp(T − Tref )]dt = (T − Tref )�CpS dℎdt + �CpSℎd(T − Tref )dtEl grupo S dℎ/dt se reemplaza por el balance de materia, ecuación (2.4). Teniendo en cuenta que

la temperatura de referencia Tref para el cálculo del calor sensible es constante, se obtiene:

d [�SℎCp(T − Tref )]dt = �Cp(T − Tref )(q0(t) − q(t)) + �CpSℎdTdt (2.31)

Igualando el miembro derecho de esta ecuación con el miembro derecho del balance de energía,ecuación (2.30), y simplificando se obtiene:

SℎdTdt = q0(t)(T0 − T ) + ℎlAl�Cp (Tw − T ) (2.32)

c) Balance de energía en el serpentínEl cambio en la inercia térmica de la pared del serpentín corresponde a la diferencia entre el

calor que recibe por condensación del vapor calefactor y el calor entregado al líquido:

mwCw dTwdt = W (t)ΔHv − ℎlAl(Tw − T ) [W] (2.33)

con Tw ≈ Tv (homogénea dentro del serpentín). Si la capacidad térmica del serpentín mwCw esdespreciable frente a la capacidad térmica del líquido en el depósito mCp , entonces se plantea elbalance de calor en estado pseudo estacionario para el serpentín,

W (t)ΔHv ≈ ℎlAl(Tw (t) − T (t)) (2.34)

d) Condiciones inicialesDependen de la condición física en que se opera el equipo. Si se trata de la partida del estanque,

el nivel inicial puede ser arbitrario, ℎ(0) = ℎi , y las temperaturas del líquido y del serpentín podríanser iguales, T (0) = Tw (0) = Ti . Los flujos q0, q yW se iniciarían para t = 0. O bien puede tratarse dela operación en estado estacionario del equipo, ℎs , Ts , Tws , en que estos dos últimos valores quedandados por la resolución de los balances de energía en régimen permanente para valores fijos de q0,W y T0; ℎs es arbitrario dado por la condición q = q0. El sistema evoluciona a un nuevo estado sien seguida se produce un cambio cualquiera en las variables de entrada al proceso (q0, T0, W ).

e) Interacción y grados de libertadLa Figura 2.10 ilustra el diagrama de la información correspondiente a los tres balances que

describen la conducta dinámica en el estanque calefactor. En él se pueden apreciar las conductascausa–efecto entre las variables de entrada (q0, T0 como perturbaciones, y q, W como variablesmanipulables) y las respuestas (ℎ, T , Tw ). Se observa la interacción entre los balances de materia y


de energía. Es así como los cambios en los flujos de líquido (q, q0) alteran todas las respuestas, encambio la temperatura de ingreso de líquido (T0) y el flujo de vapor calefactor (W ) no modifican elnivel. Esta interacción puede ser unidireccional (los cambios de nivel afectan a las temperaturas,pero lo inverso no es válido), como también puede existir interacción bidireccional (la temperaturadel líquido afecta la temperatura del serpentín, y viceversa).

Balance demateria(líquido)

q(t) ℎ(t)

q0(t)

T (t)Balance deenergía(líquido)

T0(t)

Tw(t)W (t) Balance deenergía

(serpentín)

Figura 2.10: Diagrama de bloques del estanque calefactor

La descripción dinámica del proceso contiene siete variables (q0, q, ℎ, T0, T , Tw ,W ) y tres ecua-ciones correspondientes a los balances de materia y energía, además de un grupo de parámetros(S, �, Cp , ℎlAl , mwCw , ΔHv ) supuestos fijos. En consecuencia se tendrían 7 − 3 = 4 grados de li-bertad. De las siete variables involucradas en los tres balances, hay dos impuestas externamente(las perturbaciones q0 y T0), y basta especificar los valores de las dos variables manipuladas (q,W )para resolver el sistema de ecuaciones. Esto es así porque la cantidad de perturbaciones ejercidasexternamente reducen en igual número los grados de libertad. La libertad para asignar las variablesmanipuladas q yW a voluntad permite llevar al sistema a las respuestas ℎ y T deseadas, lo que seconoce como control de procesos.


Ejemplo 2.5 Reactor isotérmico con agitación

En un reactor con agitación que opera en fase líquida y en forma isotérmica, se lleva a cabo lareacción química irreversible (ver Figura 2.11),

A + 12B → C

q0, Cj0, �0

q, Cj , �V , T

Figura 2.11: Reactor isotérmico con agitación

La descripción dinámica del reactor se encuentra aplicando los siguientes balances de materia:a) Balance total de materia: d(�V )

dt = �0q0(t) − �q(t)suponiendo densidad constante (�0 ≈ �)

dVdt = q0(t) − q(t) (2.35)

b) Balance de materia por componente: Se supone que la alimentación contiene solamente a loscomponentes A y B.

d(VCA)dt = q0CA0 − qCA + VrA [mol/s] (2.36)

d(VCB)dt = q0CB0 − qCB + VrB (2.37)

d(VCC )dt = −qCC + VrC (2.38)


donde rA, rB y rC representan las velocidades de generación de las especies A, B y C por unidad devolumen y CA, CB y CC representan las concentracionesmolares de A, B y C en [moles]/[volumen].Los productos qCj forman la convección de materia de cada especie.

Si se supone que la velocidad de reacción de A por unidad de volumen es de segundo orden yuna función de la concentración de A y B,

rA = −kCACBrB = −12kCACBrC = kCACB

Desarrollando el término, d(VCA)dt = V dCAdt + CA dVdtCombinando esta relación con el balance de materia, ecuación (2.35), se obtiene:

V dCAdt + CA(q0 − q) = q0CA0 − qCA − VkCACB

ordenando, dCAdt = q0V (CA0 − CA) − kCACB (2.39)

De igual forma,

dCBdt = q0V (CB0 − CB) − 12kCACB (2.40)

dCCdt = −q0V CC + kCACB (2.41)

Condiciones iniciales,

t = 0, V = Vi , CA = CAi , CB = CBi , CC = CCiSe deja como ejercicio para el lector desarrollar el diagrama de bloques, analizar las posibles

interacciones y determinar el número de grados de libertad.Este modelo del reactor continuo se simplifica para el caso del reactor discontinuo (o batch),

haciendo nulos los flujos de carga y descarga:

dCAdt = rA = −kCACBdCBdt = rB = −12kCACBdCCdt = rC = kCACB


FxF , TF

Ln+1

Z0

Zn

bc

bcbc

bc

bcbc bc

bc

bc

bc

bc

bcbc

bcbc

bcbc

bc

bc

bcbc

bcbc

bc

bcbc

bc

bcbc bc

bc

bc

bc

bc bc

bcbc

bcbc

bc bcbc

bc

bcbc

bc

bcbc bc

bc

Mnxn

LnVn−1yn−1

Vnyn

etapa n + 1

etapa n

etapa n − 1

Figura 2.12: Plato de una columna de destilación

Ejemplo 2.6 Columna de Destilación

La Figura 2.12 es un esquema del plato de alimentación de una torre de destilación, que separauna mezcla binaria alcohol-agua y opera a presión constante. El inventario molar de líquido en elplato es Mn y los flujos molares de líquido y vapor son Ln y Vn respectivamente. El flujo molar Fde la alimentación corresponde a un líquido subenfriado.

Se desea desarrollar un modelo dinámico del proceso de destilación para la etapa de alimenta-ción.

Las simplificaciones usuales de la destilación son las siguientes:

En cada plato el inventario de vapores es muy pequeño comparado al inventario de líquido,y se desprecia, y los balances de materia y de energía se plantean sólo para la fase líquida.

La masa líquida se encuentra perfectamente agitada por el fuerte burbujeo de vapores através de las campanas o de los platos perforados.

La separación real de la etapa se obtiene a partir de la separación ideal dada por el equilibriolíquido-vapor corregida por la eficiencia del plato.

En cada plato hay equilibrio térmico entre las fases.

Balance global de materia:

dMndt = Ln+1 + Vn−1 − Ln − Vn + F (2.42)


Balance de alcohol:

d(Mnxn)dt = Ln+1xn+1 + Vn−1yn−1 − Lnxn − Vnyn + FxF (2.43)

en que xn e yn son las fracciones molares de alcohol en fases líquida y vapor respectivamente.Balance de energía:

d(Mnℎn)dt = Ln+1ℎn+1 + Vn−1Hn−1 − Lnℎn − VnHn + FℎF (2.44)

en que ℎn y Hn son las entalpías molares de las fases líquidas y vapor.Para un contacto muy íntimo y muy prolongado entre las fases líquida y vapor sería posible

alcanzar el equilibrio, dado por y∗n = Knxn (2.45)

y el enriquecimiento ideal de los vapores en el componente liviano en el plato n correspondería ala diferencia (y∗n − yn−1). El comportamiento real del plato no alcanza el equilibrio líquido-vapor, yla separación real (yn − yn−1) es menor. Se define así la eficiencia de plato,

En = yn − yn−1y∗n − yn−1 (2.46)

Dada la presión de trabajo, un cálculo del punto de burbuja determina la temperatura de las fasesen cada plato como Tn = T (xn , P ). Con esta información se calculan enseguida las entalpías ℎn yHn de las fases líquida y vapor, como así también la densidad molar �n del líquido y la constante deequilibrio líquido-vaporKn. La entalpía ℎF se calcula a partir de las condiciones de la alimentación.

El flujo de líquido que rebosa desde el plato está dado por la ecuación del vertedero, tambiénllamada fórmula de Francis, Ln = �nCd√gWZ 3/2n [lbmol/s] (2.47)

en que Cd es el coeficiente de descarga,W el ancho del vertedero y Zn el nivel de líquido por sobrela cresta del vertedero. Si S es la sección del plato y Z0 la altura del vertedero, entonces

�nS(Zn + Z0) = Mny el flujo molar de líquido queda finalmente expresado por:

Ln = �nCd√gW (Mn�nS − Z0)3/2(2.48)

El flujo de vapores Vn se despeja del balance de energía despreciando los cambios dinámicos deentalpía, por cuanto éstos son muy pequeños comparados a los cambios de calor latente que tienenlugar en cada etapa.

El diagrama de información de la Figura 2.13 muestra cómo es posible determinar todas lasvariables de cada etapa (inventario, flujos, concentraciones, temperatura, entalpías, densidad) apartir de la información de la alimentación y de los platos superior e inferior, si la eficiencia deplato es un parámetro conocido.


Balance deenergía

Balanceglobal

de materia

Balance de

etanol

Hidráulicade plato

Propiedadestermodi-námicas

Equilibrio

líquido-vapor

Punto deburbuja

Eficiencia

En

FLnLn+1

Ln

Mn

xn+1Ln+1 xfFxn

xn

xn

xnHn, ℎnℎF , FVn−1, Hn−1

Tn

y∗nTn

�nMn

P

ynVn−1yn−1Ln

VnVn−1

ℎn+1Ln+1 Mnyn−1

Figura 2.13: Diagrama de información del plato de alimentación

La descripción matemática del plato de alimentación se reescribe para cada etapa de la torre,con o sin alimentación, y se puede extender a más componentes y al retiro de corrientes laterales.Para el hervidor y el condensador se plantean balances similares que además incluyen el aportede calor en el fondo y el retiro de calor en el tope. Desarrollos en detalle se encuentran en Luyben(1990), y Smith y Corripio (1997).

La simulación dinámica de una columna piloto de destilación y su comparación con informaciónexperimental de la misma ha sido realizada por Robles (1992).

Ejemplo 2.7 Descarga de líquido bajo presión de gas

El estanque cerrado de la Figura 2.14 mantiene una masa constante de ng moles de gas no con-densable sobre el nivel de líquido mientras recibe un flujo volumétrico q0(t) de líquido a presiónmediante una bomba centrífuga. La descarga de líquido a través de la válvula ocurre en régimenturbulento. Desarrollar un modelo dinámico para el cambio de nivel de líquido en el estanque enfunción de la alimentación q0(t). El proceso es isotérmico.


Hℎ

L

q0(t)

ng , pg , T0

q(t), pa

b

1

2

Figura 2.14: Descarga de estanque bajo presión de gas

Balance de materia en el líquido:

dmdt = d

dt (�Sℎ) = �0q0(t) − �q(t)Para un líquido incompresible la densidad es constante bajo condiciones isotérmicas,

S dℎdt = q0(t) − q(t)La descarga q de líquido obedece el balance de energía mecánica bajo condiciones reales de

pérdidas de carga regulares y singulares:

v212 + p1� + gz1 = v222 + p2� + gz2 + f v222Ld + v222 (Kc + Kv)

en que d es el diámetro interno del tubo de descarga, L el largo del tubo, f es el factor de fricciónde Darcy, y Kc y Kv los factores de resistencia hidráulicos de la contracción depósito a tubo y dela válvula respectivamente. Para la situación del problema v1 ≈ 0, z1 − z2 = ℎ, p1 = pg , p2 = pa . Dedonde,

(pg − pa) + �g(z1 − z2) = � v222 (1 + f Ld + Kc + Kv)El miembro izquierdo de esta relación establece la disponibilidad de carga (o presión motriz)

para el escurrimiento del líquido, y el miembro derecho representa el uso de esta carga.Despejando la velocidad v2 de descarga,

v2 =√ 2

� ⋅ pg + �gℎ − pa1 + f L/d + Kc + Kv = C√2� (pg + �gℎ − pa)

en que C es el coeficiente de descarga de la línea.


El flujo de salida corresponde a

q(t) = v2�4 d2 = v2A = CA√2� (pg + �gℎ − pa)

Si se postula que el gas es muy poco soluble en el líquido, entonces ng = mg/Mg = constante.La presión pg del gas se obtiene de la ecuación de estado del gas ideal,

pg = ngRT0Vg = ngRT0S(H − ℎ)Reemplazando en el balance de materia del líquido,

S dℎdt = q0(t) − CA√2

� ( ngRT0S(H − ℎ) + �gℎ − pa)que es la ecuación diferencial ordinaria no lineal final sujeta a la condición inicial arbitraria,

t = 0 ℎ(0) = ℎiSe observa que la descarga de líquido ocurre por diferencias de presión y de nivel. Solo en el

caso del estanque abierto pg = pa , la descarga ocurre solo por gravedad. (Ejemplo 2.1). Nótese quese ha despreciado la rápida conducta dinámica del flujo de líquido en el tubo de descarga.

Ejemplo 2.8 Tambor rotatorio

Un tambor rotatorio horizontal se utiliza como unidad de enfriamiento de una carga batch desólidos granulares calientes. El tambor tiene un volumen útil de 12 ft3, del cual un 25% está ocupadopor el sólido. El tambor gira a tal velocidad que todo el sólido está suspendido y en recirculación,sin que haya partículas depositadas en el fondo. Inicialmente el tambor está operando cerrado y lossólidos y el aire en el interior permanecen a 300◦F. La partida del enfriamiento se realiza haciendofluir 10 ft3/min de aire a 80◦F por un extremo del tambor, el que sale por el otro extremo a travésde un filtro para evitar el escape de sólidos.

Se puede suponer que los sólidos y el aire están perfectamente mezclados en el interior deltambor; que las partículas sólidas son compactas y de igual tamaño, que la transferencia de calorentre las partículas y el aire ocurre por convección, y que el tambor está térmicamente aislado delexterior.

Plantear el modelo dinámico para ambas fases durante el enfriamiento. La operación se desa-rrolla a presión constante. Ver Figura 2.15.

El volumen de sólidos corresponde a

Vs = (1 − �)V = 0.25 × 12 = 3 ft3en que � es la porosidad.


q0, T0 q, Tgbc

bcbc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bcbc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc bc

bc

bcbc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bcbc

bc

bc

bc

bc

bcbcbc

bc

bc

bc

bc

bcbc

bc

bc

bc

bc bcbc

bc bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bcbc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bcbcbc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bcbc

bc

bc

bc

bc

bcbc

bc

bc

bcbc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc bc

bc

bc

bcbc

bc

bc

bc

bc

bcbc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bcbc

bc

bc

bc

bcbc

bc

bc

bc

bc

bcbc

bc

bc

bc

Ts

Tg

Figura 2.15: Tambor rotatorio horizontal

El volumen de aire es

Vg = �V = 0.75 × 12 = 9 ft3Ambos volúmenes permanecen constantes durante la operación. La temperatura inicial de los

sólidos y del aire es,

Ts(0) = Tg (0) = Ti = 300 + 459.67 = 759.67◦RLa temperatura del aire de ingreso está dada por,

T0 = 80 + 459.67 = 539.67◦RA su vez la densidad del aire, supuesto gas ideal, obedece,

�g = pMgRTgen que Mg es el peso molecular del gas.

De donde

�gTg = �0T0 = �iTi = pMgR = constante

y se deduce

�0 > �g > �iUn histograma de temperaturas y de densidad del aire se presenta en la Figura 2.16 y Figura

2.17.


t

T (t)Ti

T00

Tg Ts

Figura 2.16: Respuesta dinámica de Ts y Tg

t

�(t)

�i

�0

0

�g

Figura 2.17: Respuesta dinámica de la densidad del aire

El aire interior aumenta su densidad a medida que se enfría.Balance de materia en el aire:

dmgdt = ddt (�gVg) = Vg d�gdt = �0q0 − �gq > 0

de lo que se desprende que �0q0 > �gq, ya que lamasa de aire en el interior del tambor se incrementa


en el tiempo (d�g/dt > 0, Figura 2.17), y hay una progresiva acumulación de material gaseoso.La densidad �g puede expresarse como �iTiTg

luego,

Vg ddt (

�iTiTg ) = Vg�i ddt (TiTg) = �0qo − �iTiTg q(t) (2.49)

t = 0, Tg(0) = Ti = 759.67◦REsta ecuación diferencial ordinaria resuelve para q(t) conocido Tg (t).La transferencia de calor sólido–gas se expresa como Q = ℎA(Ts − Tg), en que A es el área

superficial de todos los sólidos. Si as es la superficie específica de la partículas, como (superficie departículas)/(volumen de partículas), entonces A = Vsas , y Q = ℎVsas(Ts − Tg).

Balance de energía interna en el aire:

ddt (�gVgCvgTg) = �0q0Cv0T0 − �gqCvgTg + ℎVsas(Ts − Tg)

El calor específico del aire Cvg varía muy poco en el rango de 540 a 760◦R. Luego,

VgCvg ddt (�gTg) = �0q0Cv0T0 − �gqCv0Tg + ℎVsas(Ts − Tg ))

Dado que el producto �T es constante:

0 = (�0T0Cv0)q0 − (�gTgCv0)q + ℎVsas(Ts − Tg))0 = (�0T0Cv0)(q0 − q) + ℎVsas(Ts − Tg)) (2.50)

Esta ecuación algebraica es pseudo-estacionaria, y como Ts > Tg se deduce que q0 < q(t), porcuanto el aire entra frío y sale más caliente, expandiéndose.

Balance de energía en los sólidos,

ddt (�sVsCpsTs) = −ℎVsas(Ts − Tg)

�sCps dTsdt = −ℎas(Ts − Tg) (2.51)

Inicialmente

Ts(0) = Ti = 759.67◦RLas ecuaciones (2.49), (2.50) y (2.51) resuelven para Ts(t), Tg(t) y q(t), para valores típicos de �0,Cv0. �i , �s , Cps , ℎ y as .

2.3 Modelos Dinámicos de Sistemas de Parámetros Distribuidos 35

2.2.2 Análisis de los Ejemplos

Conviene hasta este punto explicar la denominación de parámetros concentrados dada a lossistemas perfectamente agitados. Del análisis de los Ejemplos 2.1 al 2.8 se observa que estos pro-cesos presentan homogeneidad espacial, y luego se selecciona como sistema de estudio todo elvolumen macroscópico de la sustancia bajo transformación. La única variable independiente es eltiempo, ya que la mezcla perfecta cancela todo cambio o gradiente de velocidad, de temperatura ode concentración. A la vez la mezcla anula las resistencias a las transferencias de materia, de ener-gía y de cantidad de movimiento desde el sistema agitado hasta sus interfases. De otra manera, lasvelocidades de transferencia por difusión y convección no están controladas por el medio agitado,sino por las interfases con las cuales limita el sistema. De este modo la masa del sistema perfec-tamente agitado sólo presenta capacidad, que interviene en el término inercial de la ecuación(2.1) (velocidad de acumulación). Estos resultados conducen al modelo de capacidad del sistemaconcentrada en el volumen macroscópico de la sustancia. La capacidad del sistema perfectamenteagitado admite otros fenómenos volumétricos (generación neta en la ecuación (2.1)), como es elcaso de las reacciones químicas homogéneas (Ejemplo 2.5).

En oposición al inventario del sistema, en las interfases con los límites (secciones de entraday salida, paredes calefactoras, etc.) ocurren los cambios de velocidad, de temperatura, de concen-tración, ver Figura 2.9. Los flujos correspondientes se representan mediante las leyes definitoriasde los coeficientes de fricción, de transferencia de calor, de transferencia de materia. Luego lasresistencias a los flujos se concentran en las interfases. La película de materia adyacente a lassuperficies en que ocurren estos cambios es muy delgada, de masa y capacidad despreciables. Ladenominación de sistemas de parámetros concentrados obedece a agrupar toda la capacidaden el sistema macroscópico y toda la resistencia en las interfases. En el Ejemplo 2.1 la capacidadhidráulica se concentra en el inventario del estanque, y la resistencia hidráulica ocurre en el ductode descarga, al igual que en el Ejemplo 2.7. En el Ejemplo 2.4 la capacidad térmica está dada por lamasa de líquido caliente, y la resistencia térmica ocurre en la interfase entre el líquido y la paredcalefactora. Una situación similar se presenta en el Ejemplo 2.8. En el Ejemplo 2.2 se plantea unbalance macroscópico de energía mecánica para el líquido en el tubo de descarga del estanque, apesar que éste no es un sistema perfectamente agitado, sino de escurrimiento pistón en una tuberíade sección constante. Esto es posible porque la velocidad media seccional para un líquido incom-presible no presenta cambios espaciales sino solo temporales, v(t). La energía mecánica mv2/2 seconcentra en la masa de líquido en el ducto, y las fuerzas actuantes intervienen en las interfases(secciones de entrada y salida, manto interno del tubo).

2.3 Modelos Dinámicos de Sistemas de Parámetros Distribuidos

En contraste con los sistemas macroscópicos, para los sistemas microscópicos los balances demateria, de energía y de cantidad de movimiento conducen a ecuaciones diferenciales parciales conderivadas de primer orden con respecto al tiempo y derivadas de primer y/o segundo orden conrespecto a la posición debido a los gradientes espaciales de las variables. Ejemplos de ocurrenciapráctica en la ingeniería de procesos son: ductos de transporte de materiales, intercambiadoresde calor de tubos y carcasa, reactores tubulares, columnas de relleno de absorción o desorción,secadores rotatorios, neumático y atomizador, torres de enfriamiento, molinos de barras, etc.

isbn 978-956-227-454-8 e. canales – d. melo dinÁmica

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