irrev
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PROCESOS IRREVERSIBLESTRANSCRIPT
Irreversibilidad y Entropıa
Gonzalo Abal
Instituto de Fısica – Facultad de Ingenierıa
11 de febrero de 2005
Resumen
En estas notas abordamos la aplicacion de la Segunda Ley al prob-lema de la determinacion de los lımites teoricos de eficiencia para dis-positivos que intercambian trabajo. Se introducen los conceptos detrabajo reversible, irreversibilidad y disponibilidad acompanadas dealgunos ejemplos de su aplicacion a problemas de ingenierıa.
Indice
1. Introduccion 3
2. Trabajo Reversible 3
3. Irreversibilidad 73.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.1.1. Transferencia entre tanques . . . . . . . . . . . . . . . 83.1.2. Produccion de amonıaco . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4. Eficiencia de segunda ley 104.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.1.1. Transferencia entre tanques . . . . . . . . . . . . . . . 11
5. Disponibilidad 115.1. Regimen Permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.2. Sistemas fuera de regimen permanente . . . . . . . . . . . . . 12
5.2.1. Trabajo util . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.2.2. Disponibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.3.1. Turbina con division de flujo . . . . . . . . . . . . . . . 145.3.2. Produccion de amonıaco . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
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INDICE INDICE
6. Intercambio de calor con otros sistemas 156.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6.1.1. Intercambio con una Reserva Termica ademas del ambiente 176.1.2. Transferencia de calor en una caldera . . . . . . . . . . 18
A. ¿Porque el trabajo reversible es maximo? 22
2
2 TRABAJO REVERSIBLE
1. Introduccion
La Segunda Ley de la Termodinamica es una de las leyes mas profundasde la Fısica. Correspondientemente, su comprension y utilizacion implicandificultades conceptuales importantes. Los diferentes textos de nivel inter-medio tratan este tema de diversas maneras y usando diversos enfoques ynotaciones, lo cual en definitiva contribuye a la confusion.
En estas notas abordamos la aplicacion de la Segunda Ley al problemade la determinacion de los lımites teoricos de eficiencia para dispositivos queintercambian trabajo. Intentamos plantear el problema en forma unificada,aclarando cuales son los resultados conceptos fundamentales y aquellos queson subordinados, de interes secundario.
Estas notas se apoyan en el conocimiento previo de la Primera y Segundaley y se espera que el lector conozca el concepto de entropıa (desde el puntode vista macroscopico) y sepa calcular sus variaciones. Para una comprensionmas profunda del concepto de entropıa y de la Segunda Ley, es indispensableun enfoque microscopico1.
2. Trabajo Reversible
Consideramos un proceso arbitrario en un sistema cualquiera como semuestra en la Fig. 1 y nos planteamos la siguiente pregunta:
¿Cual es la mayor cantidad de trabajo que se puede obtener de unatransformacion que lleve la masa en el volumen de control de unestado inicial (i) a otro estado final (f) en este ambiente?
La respuesta (cualitativa) a la pregunta anterior es sencilla: cualquierproceso reversible que lleva a masa en el volumen de control del mismo estadoinicial (i) al mismo estado final (f) producira el maximo trabajo.
Consideramos por lo tanto un proceso virtual reversible entre los mismosestados de la sustancia original y en el mismo ambiente a T0 y calculamos eltrabajo generado por este proceso virtual. Es importante notar que el trabajoy el calor intercambiados por el proceso reversible (Fig. 2) son, en general,diferentes de los intercambiados por el proceso real2.
Consideramos un modelo de estado y flujo uniforme (EUFU) como lasituacion mas general. Sera facil particularizar luego los resultados a otroscasos. Tambien consideramos al expresarnos una direccion concreta en el flujode energıa (el trabajo sale, el calor ingresa al sistem), solo para simplificar
1Un paso en esta direccion es el modulo de Termodinamica Estadıstica2Recuerde que ambos son funciones de camino y dependen del proceso.
3
2 TRABAJO REVERSIBLE
sistema abierto
ambiente
ambiente
PSfrag replacements
W
Q
me
ms
T0
(i)proceso−→ (f)
Figura 1: Proceso en un sistema abierto generico que intercambia calor y trabajo con unambiente a T0. La masa en el volumen de control pasa de un estado (i) a otro (f) en elproceso.
el texto. Todas las expresiones que siguen son validas aun si el trabajo o elcalor son negativos.
La primera y segunda ley aplicadas al proceso virtual en el volumen decontrol descrito en la Fig. 2 resultan en
mfef −miei +mshs −mehe = Qrev −W revS (1)
mfsf −misi +msss −mese =
∫ f
i
δQrev
T. (2)
En la primera de estas ecuaciones aparece la entalpıa generalizada por unidadde masa,
h ≡ h + gz +1
2w2 (3)
que incluye los terminos de energıa potencial y cinetica de los flujos en-trantes/salientes. Evidentemente, en caso de que haya mas de una entra-da/salida con diferentes propiedades, basta sumar las contribuciones de cadauna de ellas como es usual. En la segunda ecuacion, vale la igualdad ya queel proceso virtual es reversible. La temperatura T es la del punto3 de lasuperficie de control en el cual se intercambia el flujo de calor Qrev. Estatemperatura puede variar durante el proceso, por lo que es necesario integrarelementos diferenciales de la potencia que se intercambia como calor, δQrev.
La transferencia de calor a traves de una diferencia de temperatura finitagenera irreversibilidad. Si el proceso virtual es reversible, el calor intercambia-do entre el sistema y el ambiente debe ser transferido a traves de una maquina
3Si hay mas de un punto por el cual se intercambia calor, basta con sumar los terminosadicionales que corresponda.
4
2 TRABAJO REVERSIBLE
sistema abierto
ambiente
ambiente
proceso virtual
T
Rev
(i) (f)
PSfrag replacements
W revS
W revMC
Qrev
Qamb
me
ms
T0
Figura 2: Proceso virtual que lleva la masa en el volumen de control del mismo estado(i) a otro (f). Observe que los flujos masicos son los mismos que los del proceso real.
termica reversible (maquina de Carnot), como se indica en la Fig. 2. Estoimplica tres cosas:
1. el calor se extrae del ambiente a una tasa Qamb diferente de la queingresa al sistema, Qrev.
2. la transferencia de calor produce trabajo a una tasa W revMC = Qamb −
Qrev.
3. el trabajo total producido en el proceso virtual y es por tanto la sumade dos terminos,
W rev = W revS +W rev
MC . (4)
uno de los cuales, corresponde al intercambio directo con el ambientey se obtiene de la ecuacion (1).
El trabajo producido por el intercambio de calor mediado por la maquinade Carnot se debe calcular integrando pequenas etapas diferenciales, porquela temperatura T es, en general, variable durante el proceso. En cada etapadiferencial se transfiere un calor δQrev al sistema y se genera un trabajo
δW revMC = δQamb − δQrev = δQrev
[
δQamb
δQrev− 1
]
= δQrev
[
T0
T− 1
]
. (5)
En la ultima expresion se ha usado el hecho de que la maquina termica esreversible y por lo tanto
δQamb
T0
=δQrev
T. (6)
5
2 TRABAJO REVERSIBLE
Observe que la ecuacion (6) solo es valida en terminos diferenciales, dadoque T varıa en el proceso. Integrando la ecuacion (5) en todo el proceso, seobtiene la expresion para la contribucion al trabajo que realiza la maquinareversible
W revMC =
∫ f
i
δW revMC = T0
∫ f
i
δQrev
T−Qrev. (7)
La integral en (7) es la misma que aparece en la segunda ley para el procesovirtual, ec. (2), de modo que se puede eliminar en terminos de variaciones deentropıa del sistema de modo que, finalmente
W revMC = T0 [mfsf −misi +msss −mese] . (8)
Ahora estamos en condiciones de sustituir (8) y (1) en (4). Luego de cance-lar la contribucion del calor, se obtiene una expresion para el trabajo totalintercambiado por el proceso reversible
W rev = me
(
he − T0se
)
−ms
(
hs − T0ss
)
− [mf (ef − T0sf ) −mi (ei − T0si)]
(9)que depende de las propiedades iniciales y finales (o de entrada y salida) dela masa en el volumen de control ademas de la temperatura ambiente T0.Este es el resultado central del tema de irreversibilidad.
La expresion (9) ha sido obtenida para un modelo EUFU. Los primerosdos terminos corresponden a la entrada y salida de masa, en tanto que losterminos entre parentesis rectos corresponden a variaciones de la masa en elvolumen de control. La expresion es valida en cualquier circunstancia, salvopor una limitacion4: el intercambio de calor del proceso real debe ser unica-mente con el ambiente. Si hay intercambios con otros sistemas, la expresion(9) no contempla la situacion completa.
Hasta aquı nos hemos expresado como si W rev > 0 y el trabajo asociado alproceso reversible es el maximo posible5 entre los estados dados. Sin embargo,puede ser W rev < 0 sin perdida de generalidad. Es decir, el proceso virtualpuede ser un consumidor de trabajo. En ese caso, la cantidad de trabajo|W rev| es la menor posible entre los estados dados. Por ejemplo, una bombareversible que eleva la presion del agua de 100 kPa a 1 MPa consume menostrabajo que una bomba con irreversibilidades.
Se pueden escribir expresiones similares para otras situaciones. Por ejem-plo, para un sistema cerrado basta omitir los terminos del flujo masico yeliminar la masa,
W rev = − [(ef − ei) − T0(sf − si)] = − [∆e− T0∆s] (10)
4Que es levantada en la Seccion 6.5demostrado en el apendice
6
3 IRREVERSIBILIDAD
donde las ∆ estan asociadas a variaciones en el volumen de control (final -inicial).
Otra instancia de interes es el caso de regimen permanente, donde no hayvariacion de propiedades en el volumen de control,
W rev =∑
e
me
(
he − T0se
)
−∑
s
ms
(
hs − T0se
)
(11)
y las sumas son sobre todas las entradas y salidas. En el caso particular deuna entrada y una salida, se puede expresar el trabajo reversible por unidadde masa circulante, wrev = W rev/m,
wrev =(
he − T0se
)
−(
hs − T0se
)
= − [∆′e− T0∆′s] (12)
donde el sımbolo ∆′ esta asociado a las diferencias entre las propiedades delfluido entrante y saliente (salida - entrada).
3. Irreversibilidad
En general, todos los procesos reales son irreversibles. Pero algunos sonmas irreversibles que otros. Es deseable contar con una medida cuantitativade la irreversibilidad de un proceso. Una forma de cuantificar la irreversibil-idad de un proceso consiste en comparar el trabajo W que intercambia elproceso con el trabajo W rev asociado al proceso virtual reversible entre losmismos estados inicial y final. Especıficamente, se define la irreversibilidad Icomo
I = W rev −W. (13)
Esta cantidad se expresa en unidades de energıa y es intrınsecamente nonegativa, dado que siempre W rev > W . Para cualquier proceso reversibleI = 0. Mas adelante, en la Seccion 4, veremos otra forma de cuantificar lairreversibilidad de un proceso.
La irreversibilidad es muy util ya que, si el intercambio de calor es solo conel ambiente, se vincula directamente a la variacion de entropıa del universoasociada al proceso.
Consideramos el proceso general descrito en la Fig. 1. La primera ley paraeste proceso (modelo EUFU) permite expresar el trabajo intercambiado como
W = −mfef +miei −mshs +mehe +Q. (14)
Por otra parte, la ecuacion (9), da la expresion para el trabajo reversibleasociado a este proceso en un ambiente a T0. De modo que, despues de
7
3.1 Ejemplos 3 IRREVERSIBILIDAD
algunas cancelaciones,
I = T0 [msss −mese +mfsf −misi] −Q. (15)
Esta es una expresion general para la irreversibilidad de un proceso queintercambia calor unicamente con un ambiente a T0.
Consideramos ahora las variacion de entropıa del universo6 asociada aeste proceso,
∆Suniv = ∆SV C + ∆Samb (16)
Un balance de entropıa da la variacion en el volumen de control
∆SV C = mfsf −misi (17)
en tanto que para el ambiente
∆Samb = msss −mese −Q
T0
. (18)
Para esta ultima expresion se ha usado el hecho de que el ambiente estaa temperatura constante y que opera como una reserva termica, es decirque pierde una entropıa Q/T0 al entregar un calor Q al sistema. Ademas, elambiente es abierto y tiene una variacion de entropıa debida al intercambiode masa con el sistema.
En suma, la variacion de entropıa del universo asociada al proceso es,
∆Suniv = mfsf −misi +msss −mese −Q
T0
. (19)
Una inspeccion de las ecuaciones (15) y (19) muestra que
I = T0∆Suniv. (20)
El concepto de irreversibilidad es complementario del de trabajo reversible,en tanto proporciona una informacion adicional que es el grado de irreversibil-idad (o la entropıa generada) por un proceso dado.
3.1. Ejemplos
3.1.1. Transferencia entre tanques
Como primer ejemplo, supongamos que se cuenta con el dispositivo mostra-do en la Fig. 3, en el cual el tanque A,de 4 m3 contiene inicialmente R-12
6O, lo que es lo mismo, la entropıa generada por el proceso.
8
3.1 Ejemplos 3 IRREVERSIBILIDAD
Wtanque A
tanque B
R-12
vacio
PSfrag replacements
T0 = 20oCVA = 4m3
Figura 3: Configuracion inicial para el dispositivo del Ejemplo 3.1.1.
a 100 kPa y en equilibrio termico con el ambiente a 20oC. El tanque B estainicialmente vacıo.a) Con la valvula bypass cerrada, se transfiere todo el R-12 del tanque A altanque B mediante un compresor y las condiciones finales en el tanque B son500 kPa y 20oC. ¿Cual serıa el mınimo trabajo necesario para realizar estatarea?b) Con el compresor apagado, se abre el bypass y se permite que el R-12 delos tanques A y B alcancen el equilibrio. ¿Cual es la irreversibilidad de esteproceso?
El sistema A+B solo intercambia calor con el ambiente, por lo que seaplican directamente las consideraciones de las Secciones anteriores. Se des-precian terminos cineticos y potenciales por lo que e = u. Parte (a):El trabajo mınimo estara dado entre por un proceso reversible los estadosindicados. La masa de R-12 es m = V/v1 = 20,3 kg. Para el sistema cerradoA+B, de la ec. (10), se tiene
W rev = −m [(u2 − u1) − T0(s2 − s1)] = −660,15 kJ
donde hemos indicado por 1 el estado inicial y 2 el estado final, con parte delR-12 en el tanque B. El signo negativo indica que el trabajo es consumidoen el compresor y que el menor trabajo posible requerido para realizar estaoperacion en este ambiente es 660.15 kJ.
Parte (b):El proceso real es una expansion a traves de una valvula y no involucratrabajo de modo que en este caso la irreversibilidad es identica al trabajoreversible.
I = W rev = −m [(u3 − u2) − T0(s3 − s2)]
Es necesario determinar el estado final de equilibrio 3, para el cual se sabe
9
4 EFICIENCIA DE SEGUNDA LEY
que la temperatura es Tf = T0 = 20oC. El estado 2 es conocido y permitehallar VB = mv2 = 0,724m3. Por lo tanto, se conoce el volumen especıficofinal v3 = (VA + VB)/m = 0,2327m3/kg y queda determinado el estado 3.Evaluando resulta I = 726,1 kJ .
Una forma alternativa de determinar la irreversibilidad del proceso serıacalcular la entropıa generada en el mismo y usar (20). La variacion de entropıadel volumen de control se obtiene directamente por diferencia,
∆S = m(s3 − s2) = 2,83 kJ/K.
La variacion de entropıa en el ambiente requiere el calor transferido que seobtiene de la primera ley al sistema A+B:
Q = m(u3 − u2) = 103,1 kJ ⇒ ∆Samb = −Q
T0
= −0,352 kJ/K
Finalmente,
∆Suniv = ∆S + ∆Samb = 2,48 kJ/K ⇒ I = T0∆Suniv = 726,1 kJ.
3.1.2. Produccion de amonıaco
regımen. permanente (produccion de NH3)
4. Eficiencia de segunda ley
La eficiencia de segunda ley es una alternativa al concepto de irreversibil-idad, pero no proporciona informacion adicional. De hecho en ciertas situa-ciones es posible obtener una de estas cantidades en terminos de la otra.
La definicion para un proceso que intercambia trabajo es simple. Se tomael cociente entre el trabajo reversible y el trabajo real de modo que el mismosea menor que 1. Para procesos que generan trabajo, W rev ≥ W > 0 de modoque
η2 =W
W rev. (21)
A partir de la definicion de irreversibilidad, ec. (13), es evidente que en estecaso
I = W rev (1 − η2) . (22)
Para procesos que consumen trabajo, |W rev| ≤ |W | de modo que
η2 =|W rev|
|W |. (23)
10
4.1 Ejemplo 5 DISPONIBILIDAD
En este caso, usando I = W rev−W y el hecho de que W rev/W = |W rev|/|W |,se tiene
I = |W | (1 − η2) . (24)
Estas definiciones garantizan que η2 ≤ 1 si W 6= 0. Evidentemente, η2 = 1para procesos reversibles y η2 → 0 si el proceso es muy irreversible ya queW es muy diferente de W rev. Finalmente, hacemos notar que no se debeconfundir la eficiencia de segunda ley con la eficiencia termica ηT = W/QH
asociada a maquinas termicas y vinculada a la primera ley, ni con la eficienciausada para caracterizar compresores, bombas y turbinas reales que comparael trabajo generado o consumido por un dado proceso entre dos niveles depresion (por ejemplo, un proceso adiabatico) con su version reversible.
Si un proceso no intercambia trabajo las definiciones anteriores se aplican.Sin embargo, es posible generalizar el concepto de eficiencia de segunda leya irreversibilidades generadas por intercambio de calor entre dos sistemas.Esto se ilustra en el ejemplo 6.1.2.
4.1. Ejemplo
4.1.1. Transferencia entre tanques
Podemos usar el proceso analizado en el primer ejemplo de la Seccion ante-rior, para ilustrar el concepto de eficiencia de segunda ley. Se calculo allı quese consume un mınimo de W rev = −660,15 kJ para trasferir el R-12 deltanque A al tanque B. Supongamos que sabemos que el proceso real 1 → 2consumio W = −800 kJ. ¿Cual es la eficiencia de segunda ley del proceso?En este caso se aplica la definicion (23) de modo que
η2 =|W rev|
|W |= 0,83
La eficiencia de segunda ley del proceso 2 → 3 es nula, de acuerdo a lasdefiniciones anteriores.
5. Disponibilidad
El concepto de disponibilidad tambien esta relacionado con el de trabajoreversible analizado en la Seccion 2. No aporta informacion nueva, sino quees una forma alternativa de mirar el mismo problema.
Se intenta responder a la siguiente pregunta:
¿Cual es el maximo trabajo que se podrıa obtener de una sustanciapartiendo de cierto estado de equilibrio en determinado ambiente?
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5.1 Regimen Permanente 5 DISPONIBILIDAD
Si se repasa la pregunta que condujo al resultado para el Trabajo Re-versible en la Seccion 2, se vera que son similares, salvo que aquı se hacereferencia a un estado de partida, pero no a uno de llegada. Esto es porque elestado final de la sustancia debe ser tal que sea imposible extraer mas trabajode la misma, en ese ambiente. Es decir, la sustancia debe estar en equilibriotermodinamico con el ambiente. A este estado se lo denomina estado muerto.
Llamamos disponibilidad Ψ de un estado de equilibrio de una sustanciaen cierto ambiente al maximo trabajo que puede realizar partiendo de eseestado en ese ambiente. La disponibilidad es una propiedad del estado deequilibrio y el ambiente.
En otras palabras, la disponibilidad es el trabajo reversible que se puedeobtener partiendo de un estado y llegando al estado muerto. Evidentemente,la disponibilidad del estado muerto es nula.
5.1. Regimen Permanente
En el caso de regimen permanente con una entrada y una salida, ladisponiblidad (por unidad de masa) del estado de entrada es
ψ = h− h0 − T0(s− s0) (25)
donde h, s son propiedades de la entrada, h0, s0 son propiedades de la sal-ida (en equilibrio con el ambiente) y T0 es la temperatura ambiente. Esteresultado se obtiene inmediatamente de (12) y las consideraciones anteriores.Similarmente, si hay varias entradas/salidas la disponibilidad (por unidad detiempo) de cualquiera de ellas esta dada por
Ψ = m[
h− h0 − T0(s− s0)]
(26)
donde m es el flujo masico de interes.Las diferencias de disponibilidad entre dos estados 1 y 2 son iguales al
trabajo que se puede obtener entre ellos por medio de un proceso reversible.expresando esto por unidad de tiempo se tiene,
W rev2→1
= Ψ2 − Ψ1. (27)
Esto se indica esquematicamente en la Fig. 4.
5.2. Sistemas fuera de regimen permanente
5.2.1. Trabajo util
Cuando consideramos sistemas que no estan en regimen permanente, elvolumen de control puede variar en el proceso. Durante un cambio de volumen
12
5.2 Sistemas fuera de regimen permanente 5 DISPONIBILIDAD
0
1
2 estado inicial
estado final
estado muertoPSfrag replacements
W rev2→1
Ψ1
Ψ2
Figura 4: Esquema que ilustra el concepto de disponibilidad. La escala vertical es energıa.La diferencia entre las disponibilidades de los estados 2 y 1 resulta en el trabajo maximoque se puede obtener saliendo de 1 y llegando a 2.
∆V > 0 se realiza un trabajo de expansion contra la presion ambiente P0
dado por P0∆V . Este tipo de trabajo que realiza el sistema no es aprovechabley se suele ”descontar” de las cuentas de trabajo generado por un sistema. Eltrabajo util se define como el trabajo realizado menos el termino P0∆V ,
W util ≡ W − P0∆V. (28)
El concepto de trabajo util solo tiene sentido para sistemas que no estan enregimen permanente, ya que en ese caso es ∆V = 0.
Es importante destacar que no hay nada fundamental en la definicion detrabajo util. El concepto es de uso corriente en ingenierıa y por eso se utilizajunto con la disponibilidad.
5.2.2. Disponibilidad
Para sistemas fuera de regimen permanente, la disponibilidad se define enrelacion al trabajo util. Por ejemplo, para un estado 1 de un sistema cerradode masa m en ambiente a T0 y P0, la disponibilidad es7
Ψ1 = W rev,util1→0
= m [e1 − e0 − T0(s1 − s0) + P0(v1 − v0)] . (29)
7En algunos textos se define la exergıa de un estado en un ambiente a T0 y P0 comoΦ ≡ H −T0S +P0V de modo que la disponibilidad es Ψ = Φ−Φ0. Observe que la exergıaNO ES una variable de estado (depende del ambiente). El concepto de exergıa no aportanada a esta discusion y no lo volveremos a mencionar.
13
5.3 Ejemplos 5 DISPONIBILIDAD
Finalmente, la disponibilidad para el estado 1 de un sistema abierto (EU-FU) en un ambiente a T0 y P0 es
Ψ1 = W rev,util1→0
= me(he − T0se) −ms(hs − T0ss) + (30)
m1(e1 − T0s1 + P0v1) −m0(e0 − T0s0 + P0v0).
Observe que los terminos asociados a la entrada y salida de masa no seven afectados por el trabajo util.
5.3. Ejemplos
5.3.1. Turbina con division de flujo
La turbina indicada en la figura opera en regimen permanente de acuerdoa los datos que se indican en la Fig. 5.
a) Determinar la disponibilidad del vapor (por unidad de masa) en cadapunto.b) Hallar la maxima potencia que se podrıa obtener de los estados y flujosmasicos indicados en este ambiente.c) Hallar la irreversibilidad del proceso real en la turbina.
Parte (a):Despreciando las variaciones de energıa cinetica y potencial, la disponibilidadde cada punto viene dada por la ec. (26). Para evaluarla se requieren laspropiedades h, s en los tres puntos ademas de las asociadas al estado muerto.
estado P (kPa) T (C) h (kJ/kg) s (kJ/kgK) calidad0 100 25 104.9 0.3674 liq. comp.(*)1 3000 350 3115.3 6.7428 sobecalentado2 500 200 2855.4 7.0592 sobrecalentado3 15 2361.8 7.2831 0.90
(*) Las propiedades del liquido comprimido se aproximan por las de lıquido saturado a la
misma temperatura.
A partir de estos datos resultan las disponibilidades
ψ1 = 1109,6 kJ/kg ψ2 = 755,3 kJ/kg ψ3 = 195,0 kJ/kg
Parte (b):La forma mas directa de evaluar el trabajo reversible es por diferencia dedisponibilidades. Previamente hay que incluir los flujos masicos y trabajar
14
6 INTERCAMBIO DE CALOR CON OTROS SISTEMAS
ambiente25 C100 kPa
1
2
3
3 MPa350 C
0,5 MPa200 C 15 kPa
x=0.9
PSfrag replacements
30 kg/s
5 kg/s 25 kg/s
Q = −150 kw
W
25C100 kPa
Figura 5: Turbina reversible con division de flujo.
con las potencias:
Ψ1 = m1ψ1 = 33,3 Mw
Ψ2 = m2ψ2 = 3,8 Mw
Ψ3 = m3ψ3 = 4,9 Mw
de modo que la potencia generada es
W rev = Ψ1 − Ψ2 − Ψ3 = 24,6 Mw.
Parte (c):Para determinar la irreversibilidad podemos calcular la potencia real gener-ada y usar su definicion, ec. (13). Determinar la potencia real generada esuna aplicacion elemental de la Primera Ley,
W = Q+ m1h1 − m2h2 − m3h3 = 20,0 Mw.
Por lo tanto,I = W rev − W = 4,6 Mw.
Notas:Verifique que este resultado coincide con el que se obtiene usando la ec. (20).Verifique que la eficiencia de segunda ley de este proceso es 81,3%.
5.3.2. Produccion de amonıaco
6. Intercambio de calor con otros sistemas
En esta seccion generalizamos el resultado de la Seccion 2 al caso en queel sistema intercambia calor con otro sistema, ademas del ambiente. En la
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6 INTERCAMBIO DE CALOR CON OTROS SISTEMAS
A
B
ambiente
A’
B’
PSfrag replacementsme,A
ms,A
me,B
ms,B
T0
QAWA
QB WB
QAB
Figura 6: Dos sistemas que intercambian calor entre si ademas de con el ambiente. Alcabo del proceso, uno de ellos pasa del estado A al estado A’. El otro, del estado B alestado B’.
Fig. 6 se muestra un sistema A que recibe un calorQA del ambiente y un calorQAB de otro sistema B. Los sistemas se consideran abiertos por generalidad8.Ademas cada sistema intercambia trabajo con el ambiente.
Con respecto a al proceso indicado, nos planteamos la siguiente pregunta:
¿Cual es la mayor cantidad de trabajo que se puede obtener delproceso en este ambiente?
Evidentemente, es necesario considerar un proceso virtual reversible queinvolucre a ambos sistemas y los lleve desde el mismo estado inicial al mismoestado final, con iguales flujos masicos involucrados. El trabajo generado poreste proceso virtual es la respuesta buscada.
Aparte de las limitaciones relativas a flujos masicos y estados de partida yllegada, tenemos absoluta libertad para definir el proceso reversible. Podemosusar esta libertad para considerar un proceso virtual en el que los sistemas A yB no intercambien calor entre si de modo de poder aprovechar directamenteel resultado de la Seccion 2. La Fig. 7 muestra este proceso virtual. Losintercambios de calor ahora son con el ambiente solamente y mediados pormaquinas termicas reversibles de modo de eliminar toda irreversibilidad.
Podemos entonces obtener el trabajo total generado simplemente suman-
8Ejemplificamos la discusion con el caso de regimen permanente, pero la misma idease aplica al modelo EUFU o a sistemas cerrados.
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6.1 Ejemplos 6 INTERCAMBIO DE CALOR CON OTROS SISTEMAS
barrera adiabatica
A
B
ambiente
A’
B’
PSfrag replacementsme,A
ms,A
me,B
ms,B
T0
QrevA
W revA
QrevB W rev
B
Figura 7: Version virtual del proceso real ilustrado en la Fig. 6. La barrera adiabaticaimpide la transferencia de calor entre A y B, de modo que cada subsistema solo intercambiacalor con el ambiente.
do la contribucion de cada subsistema,
W rev = W revA +W rev
B
donde los trabajos reversibles generados por cada subsistema estan dadospor la ec. (4).
Evidentemente, el metodo ha sido ilustrado con dos subsistemas peropuede generalizarse a cualquier numero de subsistemas que intercambiencalor entre si en cierto ambiente comun.
6.1. Ejemplos
6.1.1. Intercambio con una Reserva Termica ademas del ambiente
Este es un caso particularmente simple. Supongamos que un cierto sis-tema intercambia calor con el ambiente a T0 y con una reserva termica a TR
como se muestra en la Fig. 8. En este caso se aplica la ec. (6), donde A esel sistema en cuestion y B = R es una reserva termica, es decir un sistemacerrado de temperatura constante. En este caso el segundo termino de (6) sereduce a
W revR = −∆UR + T0∆SR = QAR
(
1 −T0
TR
)
. (31)
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6.1 Ejemplos 6 INTERCAMBIO DE CALOR CON OTROS SISTEMAS
Reserva Termica
A
ambiente
A’
PSfrag replacements
me,A
ms,A
T0
TR
QAWA
QB
WB
QAR
Figura 8: Un sistema intercambia calor con una reserva termica ademas de con el ambi-ente.
En lo anterior se ha usado la Primera ley para la reserva, ∆UR = QR = −QAR
y9 ∆SR = QR/TR = −QAR/TR. Es decir que la contribucion de la reserva esigual al flujo de calor que esta intercambia multiplicado por la eficiencia deCarnot (relativa al ambiente) como era de en virtud de la discusion anterior.
Por tanto, en el caso de un sistema que intercambia calor con el ambientey con una serie de reservas de temperaturas TR1, TR2 . . ., el trabajo reversiblees
W rev = W revA +
∑
i
QAR,i
(
1 −T0
TRi
)
,
donde W revA se calcula en la forma usual a partir de una de las versiones de
la ec. (9).
6.1.2. Transferencia de calor en una caldera
En una caldera, el calor de la combustion se transfiere al vapor de aguacirculante en un proceso que se describe esquematicamente en la Fig. 9.Supondremos que el sistema (con volumen de control determinado por lalınea punteada) opera en regimen permanente con un flujo de agua ma yde combustible mp. La temperatura de los productos de combustion decrecede 1100oC a 550oC en tanto la presion permanece estable en 100 kPa. Alos efectos de este ejemplo, supondremos que los productos de combustionpueden considerarse como un gas con calor especıfico a presion constante
9Por definicion de Reserva Termica la reserva entrega/recibe calor en forma interna-mente reversible.
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6.1 Ejemplos 6 INTERCAMBIO DE CALOR CON OTROS SISTEMAS
entrada de combustible
productos de combustion
vapor de agua
camara de combustion
PSfrag replacements
ma
mp
Figura 9: Esquema de una caldera en la que se quema combustible a una tasa mp ytransfiere calor al agua que circula a una tasa ma. La lınea punteada define el volumen decontrol. No hay intercambio de calor con el ambiente. Se supone que todo el calor generadopor la combustion pasa al agua.
cP =1.09 kJ/kgK. La presion de agua es 800 kPa, entra a 150oC y sale a250oC.
Se trata de determinar para este proceso, por kg de agua circulante:a) el trabajo reversible que se podrıa generar en un ambiente a 25oC.b) la irreversibilidad.c) la eficiencia de segunda ley.
Parte a:En este caso se aplica la ec. (6), con wrev = −∆fh + T0∆fs para cadasubsistema (el agua y los productos de combustion). Para los productos decombustion
∆fh = cP ∆fT = −599,6 kJ/kg
∆fs = cP ln
(
Ts
Te
)
= −0,558 kJ/kgK
wrevp = = −∆fh+ T0∆fs = 433,3 kJ/kg,
expresado por unidad de masa circulante de productos.
Para el agua, usando tablas:
wreva = −∆fh+ T0∆fs = −768,4 kJ/kg,
expresado por unidad de masa circulante de agua.
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6.1 Ejemplos 6 INTERCAMBIO DE CALOR CON OTROS SISTEMAS
La relacion de flujos masicos surge del Primer Principio al volumen decontrol indicado por la lınea punteada en la Fig. 9,
ma∆fha + mp∆fhp = 0 ⇒mp
ma
= −∆fha
∆fhp
= 3,866
De modo que, por kg de agua circulante,
wrev = wreva +
mp
ma
wrevp = −768,4 + 1675,1 = 906,7 kJ/kg-H2O
es la cantidad de trabajo que se podrıa obtener en este ambiente de la trans-ferencia espontanea de calor entre los productos de la combustion y el agua.
Parte b:Al no haber trabajo involucrado en el proceso real, la irreversibilidad10 essimplemente
i = wrev − w = wrev = 906,7 kJ/kg-H2O.
Sin embargo, podrıa calcularse a partir de la entropıa generada por elproceso a partir de la relacion (20). En regimen permanente no varıan laspropiedades del volumen de control y el mismo es adiabatico de modo que
Suniv = Samb = ma∆fsa + mp∆fsp ⇒ fracSunivma = 3,040 kw/K
y, por kg de agua circulante
i = T0
Suniv
ma
= 906,4 kJ/kg-H2O,
lo cual es consistente con el resultado anterior.
Parte c:Este es un ejemplo donde el proceso real no involucra trabajo y las defini-ciones usuales dadas en la Seccion 4 no se aplican. En casos como este, en elcual la irreversibilidad se debe exclusivamente a una transferencia de calorentre dos subsistemas y el conjunto es adiabatico, se puede extender la defini-cion de eficiencia de segunda ley como sigue:
η2 =
∣
∣
∣
∣
∣
W rev<
W rev>
∣
∣
∣
∣
∣
(32)
10A partir de su definicion es clara la naturaleza aditiva de la irreversibilidad.
20
6.1 Ejemplos 6 INTERCAMBIO DE CALOR CON OTROS SISTEMAS
donde los subındices < y > indican la cantidad menor y mayor respectiva-mente, en valor absoluto. De acuerdo a esta definicion, si el proceso real fuerareversible serıa η2 = 1, de otro modo η2 < 1.
En este caso concreto, por kg de agua circulante se tiene wreva = −768,4
kJ/kg y wrevp = 1675, 1 kJ/kg, de modo que
η2 =
∣
∣
∣
∣
wreva
wrevp
∣
∣
∣
∣
= 0,46
un proceso, que resulta en definitiva, bastante irreversible.
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A ¿PORQUE EL TRABAJO REVERSIBLE ES MAXIMO?
A. ¿Porque el trabajo reversible es maximo?
En la Seccion 2 se obtuvo una expresion para el trabajo que se puedeobtener de un proceso reversible entre dos estados de equilibrio, en un ambi-ente dado. Intuitivamente, es claro que eliminando las irreversibilidades, seobtiene mayor trabajo que en el caso de procesos irreversibles.
Esto es una consecuencia directa de la Segunda Ley y en este Apendicemostramos porque esto es ası. Consideramos un proceso diferencial, como elmostrado en la Fig. 10, para evitar problemas asociados a la variacion detemperatura en el sistema. Es claro que si esto es cierto para un procesodiferencial, sera cierto para el proceso global.
En el intervalo de tiempo considerado, entra (sale) una porcion diferen-cial de masa dme (dms) al volumen de control. Las propiedades del fluidoexperimentan una variacion finita al pasar por el volumen de control, pero almultiplicar por los diferenciales de masa, se obtiene una variacion11 diferen-cial que indicamos por dfH y dfS. Las propiedades de la masa en el volumende control varıan infinitesimalmente de modo que indicamos por dEV C ydSV C los cambios en energıa y entropıa en el volumen de control.
Usando esta notacion compacta, la Primera y Segunda leyes para esteproceso diferencial son
dEV C + dfH = δQ− δW (33)
dSV C + dfS ≥δQ
T. (34)
El hecho de haber considerado un proceso diferencial hace que no haya in-tegral en la ecuacion (34), dado que la temperatura de frontera en el puntode ingreso del calor, T , tiene un valor bien definido. Es claro que la igualdadrige si el proceso es internamente reversible.
Podemos eliminar el calor δQ de las ecs. (33) y (34) para obtener unadesigualdad que satisface el trabajo intercambiado,
δW ≤ −(dEV C − TdSV C) − (dfH − TdfS). (35)
La igualdad solo es satisfecha si no hay irreversibilidades en el volumen decontrol. Si ambos terminos son positivos, esto significa que δW ≤ δW rev
V C
y el trabajo generado por el proceso es el maximo posible cuando este esinternamente reversible. Si, en cambio, los procesos consumen trabajo y am-bos terminos son negativos, se puede ver que |δW | ≥ |δW rev
V C | y el trabajoconsumido es mınimo cuando el proceso es internamente reversible.
11Como es usual, se define la variacion de la propiedad X del flujo como ∆fX = Xs−Xe.En este caso, Xe = dmexe y ∆fX → df x = dmsxs − dmexe.
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A ¿PORQUE EL TRABAJO REVERSIBLE ES MAXIMO?
sistema abierto
PSfrag replacements
δW
δQdme
dms
TdEV C
dSV C
Figura 10: Proceso diferencial en un sistema abierto generico que intercambia calor ytrabajo con el ambiente.
En general, se habla de maximo trabajo, pensando en procesos reversiblesgeneradores de trabajo, como los que tienen lugar en turbinas. Para dispos-itivos reversibles consumidores de trabajo, como bombas o compresores, eltermino adecuado es mınimo trabajo.
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