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Universidad de Puerto Rico. Recinto Universitario de Mayagüez

Departamento de Ciencias Matemáticas Examen Departamental III Mate 3031

29 de marzo de 2017

Nombre______________________ Profesor_________________ Número de estudiante________________ I. Llene los blancos (35 puntos)

1. (4 puntos)Encuentre los números críticos de

𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 3𝑥2 − 36𝑥. ________________________________________________

2. Suponga que 𝐴 = √2𝑥 + 1, donde 𝐴 𝑦 𝑥 son funciones de 𝑡. a. (3 puntos)Si 𝑑𝑥

𝑑𝑡= 3, encuentre 𝑑𝐴

𝑑𝑡 cuando 𝑥 = 4

_______________________________________

b. (3 puntos)Si 𝑑𝐴𝑑𝑡

= 5, encuentre 𝑑𝑥𝑑𝑡

cuando 𝑥 = 12 _______________________________________

3. (4 puntos) Suponga que 𝑓′′ es continua en (−∞, ∞). Si 𝑓′(3) = 0 y 𝑓′′(3) = −4, entonces 𝑓 tiene un ________________________en _____________.

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4. Si 𝑡 se mide en segundos y 𝑠 se mide en pies, el movimiento de una partícula que se mueve a lo largo de una recta está gobernado por la función 𝑠(𝑡) = sen (𝜋𝑡

2) , 0 ≤ 𝑡 ≤ 6.

a) (3 puntos)Encuentre la velocidad de esta partícula cuando han transcurrido 2 segundos.

__________________________________________

b) (3 puntos)¿Cuándo la partícula está en reposo? _________________________________________

c) (3 puntos)¿Cuándo la partícula se mueve en la dirección positiva?

_________________________________________

d) (3 puntos)¿Cuál es la distancia total recorrida durante los primeros 6 segundos?

_________________________________________

e) (3 puntos)¿Cuál es la aceleración de la partícula cuando ha transcurrido 1 segundo?

_________________________________________

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5. Sean 𝑓 y g las funciones cuyas gráficas se muestran a la derecha.

a. (1 puntos)Encuentre

𝑓′(0) = ___________

b. (1 puntos)Encuentre 𝑔′(0) = ________________

c. (4 puntos) Si 𝐿(𝑥) = ln ( (𝑓𝑔)(𝑥)). Encuentre 𝐿′(0) = ___________________

II. Conteste las siguientes preguntas de respuesta abierta. Muestre todo el trabajo necesario para llegar a sus respuestas. Soluciones presentadas sin trabajo podrían no recibir crédito. Respuestas numéricas deben presentarse como expresiones matemáticas exactas, no mediante una aproximación decimal. Use aproximaciones decimales solo en casos en que las instrucciones del problema las pida.

1. (6 puntos)La ley de Boyle establece que cuando una muestra de gas

se comprime a una temperatura constante, la presión 𝑃 y el volumen V del gas satisfacen la ecuación 𝑃𝑉 = 𝐶, donde 𝐶 es una constante. Suponga que en cierto instante el volumen es de 600 cm3, la presión es de 150 kPa y la presión está aumentando a una tasa de 20 kPa/min. ¿A qué tasa cambia el volumen en ese instante?

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2. Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥 ln𝑥

a) (4 puntos)Encuentre la linealización de 𝑓 alrededor de 𝑎 = 1.

b) (3 puntos) Use la linealización obtenida en la parte (a) para aproximar el valor de 𝑓(1.01).

3. (10 puntos)Encuentre el valor máximo absoluto y el valor mínimo absoluto de 𝑓(𝑥) = 3𝑥

23(𝑥 + 15) en el intervalo [−8,1].

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4. Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 − 9𝑥 + 4. a) (5 puntos)Encuentre los intervalos dónde 𝑓 es creciente o

decreciente.

b) (4 Puntos)Encuentre los máximos y mínimos locales de 𝑓.

c) (5 puntos) Encuentre los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión de 𝑓

5. (7 puntos)Verifique que la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 3𝑥 + 1 satisface la hipótesis del Teorema del Valor Medio en el intervalo [0,2]. Encuentre todos los números 𝑐 que satisfacen la conclusión del Teorema del Valor Medio.

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6. (7 puntos) Encuentre la derivada de 𝑦 = 𝑥sen𝑥.

7. (7 puntos)Encuentre lim𝑥→0+

𝑥sen𝑥.

8. (7 puntos)Encuentre lim𝜃→𝜋

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1−sen𝜃1+cos 2𝜃

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