investigacion de operaciones rodolfo valentin

Investigaciónde operaciones

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MÉXICO • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • MADRID • NUEVA YORK

SAN JUAN • SANTIAGO • SÃO PAULO • AUCKLAND • LONDRES • MILÁN • MONTREAL

NUEVA DELHI • SAN FRANCISCO • SINGAPUR • ST. LOUIS • SIDNEY • TORONTO

Rodolfo Valentín Muñoz CastorenaCentro Universitario de Ciencias Económico y Administrativas

Universidad de Guadalajara

María Bernardett Ochoa HernándezCentro Universitario de Ciencias Económico y Administrativas


Manuel Morales García Centro Universitario de Ciencias Económico y Administrativas


Investigaciónde operaciones

00 Munoz UNIDAD PRELIMINARES.indd III00 Munoz UNIDAD PRELIMINARES.indd III 02/03/11 01:53 PM02/03/11 01:53 PM

Director Higher Education: Miguel Ángel Toledo Castellanos

Editor sponsor: Jesús Mares Chacón

Coordinadora editorial: Marcela Rocha Martínez

Editora de desarrollo: Karen Estrada Arriaga

Supervisor de producción: Zeferino García García

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONESPrimera edición

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra,

por cualquier medio, sin la autorización escrita del editor.

DERECHOS RESERVADOS © 2011, respecto de la primera edición por:

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Pisos 16 y 17, Colonia Desarrollo Santa Fe,

Delegación Álvaro Obregón

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Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736

ISBN: 978-607-15-0598-9

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1098765432 1098765432101

Impreso en México Printed in Mexico

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Acerca de los autores ........................................................................................ VII

Introducción ............................................................................................... VIII

UNIDAD 1 ¿Qué es la investigación de operaciones? ......................... 11.1 Origen de la investigación de operaciones ................................................... 2

1.2 Modelo ............................................................................................................ 2

Clasificación de los modelos ........................................................................ 3

Ventajas y desventajas del empleo de modelos matemáticos ................... 4

1.3 Optimización .................................................................................................. 4

Problemas de optimización .......................................................................... 5

Unidad II Programación lineal ..................................................................... 72.1 Concepto de programación lineal ................................................................ 7

2.2 Planteamiento de problemas en términos de programación lineal ........... 7

2.3 Estructura general de un modelo de programación lineal .......................... 9

2.4 Método gráfico............................................................................................... 13

2.5 Teoría del método símplex ............................................................................ 19

2.6 Dualidad ......................................................................................................... 32

Unidad III Transporte y asignación ............................................................ 353.1 Modelos de transporte .................................................................................. 35

3.1.1 Método de la esquina noroeste ......................................................... 38

3.1.2 Método del costo menor ..................................................................... 42

3.1.3 Método Vogel ...................................................................................... 46

3.2 Método de cruce de arroyo o de piedra rodante .......................................... 53

Pasos para resolver el método de arroyo .................................................... 54

3.3 Modelo de asignación ................................................................................... 61

Pasos para aplicar el método húngaro ......................................................... 62

COntEnidO

V

00 Munoz UNIDAD PRELIMINARES.indd V00 Munoz UNIDAD PRELIMINARES.indd V 02/03/11 01:54 PM02/03/11 01:54 PM

Unidad IV Modelos de optimización de redes .......................................... 674.1 Modelos de redes ........................................................................................... 67

Ruta ................................................................................................................ 68

Lazo dirigido .................................................................................................. 68

4.2 Algoritmo de la ruta más corta ..................................................................... 70

Algoritmo de Dijkstra ..................................................................................... 70

Algoritmo de Floyd ......................................................................................... 70

4.3 Modelo de flujo máximo ................................................................................ 71

4.3.1 Características del modelo de flujo máximo ..................................... 71

Algoritmo de la trayectoria de aumento en el caso del problema de flujo máximo ............................................................................................. 71

4.4 CPM y PERT .................................................................................................... 71

Representación de las redes PERT y CPM .................................................... 72

Cálculo de la ruta crítica (CPM) .................................................................... 74

Ejercicios ............................................................................................................... 77

Problema 1 ............................................................................................................. 77

Problema 2 ............................................................................................................. 77

Problema 3 ............................................................................................................. 78

Problema 4 ............................................................................................................. 79

Problema 5 ............................................................................................................. 79

Problema 6 ............................................................................................................. 80

Glosario ...................................................................................................... 81Bibliografía ................................................................................................ 82Índice ......................................................................................................... 83

ContenidoVI

00 Munoz UNIDAD PRELIMINARES.indd VI00 Munoz UNIDAD PRELIMINARES.indd VI 02/03/11 01:54 PM02/03/11 01:54 PM

VII

Mtro. Rodolfo Valentín Muñoz Castorena

Es maestro en Tecnologías de Información por la Universidad de Guadalajara; actual-

mente cursa el Doctorado en Educación en la misma institución.

Es profesor de asignatura A en el Centro Universitario de Ciencias Económico

Administrativas (CUCEA), así como del Departamento de Métodos Cuantitativos y asis-

tente del Programa de Formación Docente en el CUCEA.

Además, desde el 2005 se desempeña como Secretario y Presidente de la Academia

de Optimización.

Mtra. María Bernardett Ochoa Hernández

Es licenciada en Economía por la Universidad de Guadalajara, maestra en Investiga-

ción Educativa por el Centro de Estudios Pedagógicos y Sociales de la Secretaría de

Educación Jalisco y actualmente cursa estudios de Doctorado en Educación en dicha

universidad.

Se desempeña como profesor investigador titular B de tiempo completo en el Cen-

tro Universitario de Ciencias Económico Administrativas (CUCEA).

Ha sido Presidente de la Academia de Investigación y Desarrollo del Departamento

de Administración por ocho años consecutivos (desde el 2003 hasta el 2010). Actual-

mente es profesora de los Departamentos de Administración y Métodos Cuantitativos y

Responsable del Programa de Formación Docente en el CUCEA.

En tres ocasiones ha contado con el perfil PROMEP y es autora de diversos libros

y artículos en revistas internacionales, además ha dirigido tesis a nivel licenciatura y

maestría.

Mtro. Manuel Morales García

Es licenciado en Economía por la Universidad de Guadalajara y maestro en Economía

y Administración de Empresas por el ESADE en Barcelona, España.

Hasta mayo del 2010 se desempeñó como Jefe del Departamento de Métodos Cuan-

titativos de la División de Economía y Sociedad del CUCEA. Actualmente es profesor

Titular B del Centro Universitario de Ciencias Económico Administrativas.

De 2001 a 2007 se desempeñó como Secretario de la Dirección de Finanzas de la

Universidad de Guadalajara. Además participó como miembro del Gabinete Econó-

mico Universitario, del Consejo Técnico de Planeación Universitario y del Comité de

Calidad de la Dirección de Finanzas.

Actualmente funge como titular del Órgano Técnico de Hacienda Pública de la

Comisión de Hacienda y Presupuestos en la LIX Legislatura del Congreso de Jalisco.

AcErcA dE lOs AutOrEs

00 Munoz UNIDAD PRELIMINARES.indd VII00 Munoz UNIDAD PRELIMINARES.indd VII 02/03/11 01:54 PM02/03/11 01:54 PM

VIII

El objetivo principal de este trabajo es servir como libro de consulta para el curso de

Investigación de operaciones, el cual se orienta a estudiantes de licenciatura y, funda-

mentalmente, a las áreas de estudio como Negocios internacionales, Administración y

Marketing. Los prerrequisitos son álgebra lineal, matemáticas y estadística.

El texto proporciona suficiente material para el curso, tratando de desarrollar en

cada unidad numerosos ejemplos basados en la realidad para una mejor comprensión

de los contenidos de esta disciplina.

Si se analizan los ejemplos, el lector adquirirá capacidad para resolver problemas

matemáticos y conocerá las principales áreas que componen la Investigación de opera-

ciones (desde el análisis del problema, la recopilación de la información, la formula-

ción del modelo y el análisis de resultados).

Esta última etapa se destaca por su importancia, por lo que se expondrán en forma

amplia temas como el de análisis de sensibilidad.

INtrOducciÓN

00 Munoz UNIDAD PRELIMINARES.indd VIII00 Munoz UNIDAD PRELIMINARES.indd VIII 02/03/11 01:54 PM02/03/11 01:54 PM

¿Qué es la investigación de operaciones?

Unidad I

Al finalizar el estudio de esta unidad, se espera que el lector sea capaz de: explicar qué se entiende por investigación de operaciones.

describir qué es un modelo.

mencionar algunas aplicaciones de la investigación de operaciones.

explicar los diferentes tipos de modelos.

diseñar modelos para casos específicos.

1

Unidad I

La investigación de operaciones (IO) es la disciplina que enfrenta un problema

concreto, lo divide en pequeñas partes, lo cual facilita el análisis de cada una de

ellas, para obtener un problema abstracto o, mejor aún, un modelo, todo ello

mediante una investigación del sistema donde ocurre el problema, con el fin de

ofrecer acciones o alternativas de solución.

[…]La investigación de operaciones es la aplicación, por grupos interdisciplinarios,

del método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones

o sistemas (hombre-máquina), a fin de producir soluciones que sirvan mejor a los

objetivos de la organización…1

Algunos autores utilizan el término ciencias de la administración como sinónimo de inves-

tigación de operaciones.2

La IO se define como un conjunto de modelos matemáticos aplicables a la solución de ciertos proble-

mas orientados a la toma de decisiones, en los que se involucran variables de decisión en los cuales

se desea optimizar:

1. El uso de los recursos para lograr un determinado fin cuantificable.

2. Los problemas más o menos complejos que se presentan en una organización social cuya solución

empírica resulta demasiado costosa e inadecuada.

1 Francisco J., González Hernández, Breve introducción a la investigación de operaciones, pp. 7 y 8. 2 Hillier y Lieberman, Investigación de operaciones, pp. 2 y 3.

Investigación de operaciones (IO). Disciplina que divide un problema con-creto en pequeñas partes que analiza para obtener un problema abstracto o un modelo y así ofrecer acciones o alternativas de solución.

01 Munoz UNIDAD 1.indd 101 Munoz UNIDAD 1.indd 1 02/03/11 01:55 PM02/03/11 01:55 PM

UNIDAD I ¿Qué es la investigación de operaciones?2

1.1 Origen de la investigación de operaciones

Los primeros esfuerzos por estructurar esta disciplina se realizaron durante la Segunda Guerra

Mundial en Gran Bretaña, donde la administración militar convocó a un grupo de científicos

de distintas áreas del conocimiento para que estudiaran y ofrecieran soluciones viables a pro-

blemas tácticos y estratégicos asociados con la defensa del país.

Aparentemente, la investigación de operaciones (IO) fue bautizada así debido a que el

equipo realizaba una investigación de operaciones militares.

Un grupo importante de administradores militares de Estados Unidos inició algunas in-

vestigaciones similares, motivados por los resultados alentadores que obtuvieron los equipos

británicos. Para llevarlas a cabo, reunieron a varios especialistas, quienes lograron resultados

tan sorprendentes que obligaron a concentrar la atención en este nuevo enfoque científico. En

sus estudios se incluyeron problemas logísticos complejos, tales como la planeación de minas

en el mar y la eficaz utilización de equipo electrónico.

Al término de la guerra y atraídos por los éxitos que consiguieron los estrategas militares,

algunos administradores industriales comenzaron a aplicar esta herramienta para resolver los

problemas que originaban el tamaño y la complejidad de las industrias.

En un principio se acreditó a Gran Bretaña el mérito de haber utilizado la IO como una

nueva disciplina, pero Estados Unidos tomó pronto el liderazgo en este campo creciente. La

primera técnica matemática ampliamente aceptada en el medio fue el método símplex de programación lineal, desarrollado en 1947 por el matemático esta-

dounidense George B. Dantzig. Desde entonces, se han incorporado nuevas téc-

nicas y otras se han perfeccionado gracias al esfuerzo y cooperación de expertos

interesados tanto en el área académica como en la industrial.

En el progreso impresionante de la investigación de operaciones fue deter-

minante el desarrollo de la computadora digital, que con sus enormes capacida-

des de velocidad de cómputo, almacenamiento y recuperación de información,

permitió a los tomadores de decisiones actuar con rapidez y precisión. De no haber sido por la

computadora digital, esta disciplina que plantea grandes problemas de computación no hubie-

ra crecido hasta el nivel en el que se encuentra hoy en día.

En la actualidad, la IO se aplica a distintas actividades, que trascienden los ámbitos milita-

res e industriales, para incluir actividades tales como la salud pública, instituciones financieras,

bibliotecas, planeación urbana, sistemas de transporte y sistemas de comercialización.3

Cabe mencionar que la IO ha sido un factor de primera importancia en el mejoramiento de

la eficiencia de numerosas organizaciones alrededor del mundo, y su aplicación ha contribuido

en gran medida al incremento de la productividad de la economía de algunos países.

1.2 Modelo

Un modelo se define como una representación simplificada o idealizada de una

parte de la realidad; o, según el Diccionario de la lengua española es:

[…]un esquema teórico, generalmente en forma matemática, de un sistema o de una

realidad compleja, como la evolución económica de un país, que se elabora para facilitar su compren-

sión y el estudio de su comportamiento[…].4

Los modelos, que se definen como una función objetivo y restricciones que se expresan en

términos de las variables alternativas de decisión del problema (véase figura 1.1), deben conte-

ner los siguientes tres elementos:

Método símplex de programación lineal. Primer procedimiento matemáti-co ampliamente aceptado en la inves-tigación de operaciones, basado en la iteración para ir mejorando la solución a cada paso.

Modelo. Representación simplificada o idealizada de una parte de la realidad.

3 Op. cit., p. 3.4 Real Academia Española, Diccionario de la lengua española, vigésima segunda edición, http://buscon.rae.es/draeI/SrvltConsulta?TIPO_

BUS=3&LEMA=modelo, consultado el 4 de octubre de 2010.


1.2 Modelo 3

1. Alternativas de decisión, de las cuales se hace una selección.

2. Restricciones, para excluir alternativas no factibles.

3. Criterios para evaluar y clasificar las alternativas factibles.5

Al resolver el problema simplificado o modelo, se obtiene una solución, la cual puede

tomarse del problema original o modificar nuestro modelo hasta que nos arroje los resultados

deseados.

Clasificación de los modelos

Los modelos pueden clasificarse según el siguiente criterio:

• Modelos mentales.

• Modelos a escala.

• Modelos matemáticos.

Los modelos matemáticos son aquellos que se construyen mediante símbo-

los matemáticos que sirven para representar los diferentes comportamientos del

problema. No todos son complejos; por ejemplo, podemos elaborar un modelo

matemático simple para determinar el ingreso por comisión que reciben Z pro-

motores de ventas que obtienen $200 por cada operación que efectúen.

Para crear este modelo, debe establecerse una relación función entre el

número de ventas y el ingreso total del promotor.

Sea x = número de ventas que realiza cada promotor

y = ingreso total del promotor

Ello genera una función relación ventas-ingreso:

y = 200x

donde, si el promotor llevara a cabo 3 ventas (x = 3), su ingreso total (y) sería de

Ingreso total del promotor = 200 (3) = $600

Ahora bien, los modelos matemáticos se clasifican en tres tipos generales:

1. Modelo descriptivo: Es el que representa la realidad mediante una relación funcional;

sin embargo, este tipo no indica ninguna evolución durante el transcurso del tiempo ni

los cursos de acción que se deben seguir. Por ejemplo, un organigrama es un modelo

descriptivo.

2. Modelo predictivo: Tiene mayor alcance que el modelo anterior, pues, además de describir

la realidad, señala cuál será la situación futura; por ejemplo, una función exponencial nos

puede indicar cuál será la población en México en el año 2015.

3. Modelo normativo (decisión, prescriptivo): Además de ser descriptivo y predictivo nos in-

duce a elegir un curso de acción para obtener un objetivo establecido, es decir, señala el

curso de acción que debe seguirse para lograr un objetivo definido (este tipo de modelos

también se denomina de optimización).

Figura 1.1 Proceso de construcción del modelo.

AbstractoAnaliza Llega

Problema concreto Problema simplificado Modelo

5 Juan Pilar Tormos, Investigación operativa para ingenieros, España, Ed. Universidad Politécnica de Valencia, p. 33.

Modelo matemático. Se construyen mediante símbolos matemáticos que representan diferentes comporta-mientos del problema; no todos son complejos.


UNIDAD I ¿Qué es la investigación de operaciones?4

Además de la clasificación anterior, existen otras que son independientes de los modelos

matemáticos que se mencionaron y que pueden agruparse bajo la perspectiva de uno o varios

de los términos que aparecen en la tabla 1.1.

Tabla 1.1 Términos de los modelos matemáticos

Tabla 1.2 Ventajas y desventajas de los modelos matemáticos

Término Definición

Modelos físicos Se representan a escala y se construyen con base en problemas concretos.

Modelos abstractos Se les denomina así debido a que es impredecible usar expresiones simbólicas para representar el comportamiento del sistema; es decir, se construyen mediante el empleo de gran cantidad de símbolos.

Modelos estáticos Representan la realidad en una determinada unidad de tiempo.

Modelos dinámicos Interpretan la evolución de una parte de la realidad en un tiempo determinado.

Modelos determinísticos Representan un fenómeno que se comporta regularmente a intervalos iguales y, por consiguiente, es factible predecir su comportamiento con un cierto margen de error aceptable o tolerable.

Modelos aleatorios Describen un fenómeno que se comporta regularmente en intervalos diferentes; por lo tanto, predecir su comportamiento es muy difícil.

Ventajas Desventajas

Permiten apreciar cuáles son las variables importan-tes del problema y cómo se relacionan entre sí.

Pueden llevar a simplificaciones exageradas o excesivas si se pretende que el modelo se aplique a situaciones muy diversas, lo que puede provocar la omisión de variables que puedan ser importantes.

Ayudan a operacionalizar las variables con base en ciertos patrones o indicaciones.

Su implementación puede ser demasiado costosa o compleja.

Suministran una base cuantitativa para la toma de decisiones.

Optimizar. Logro de mayores beneficios con una mínima inversión de recursos.

Es necesario destacar que, a pesar de la existencia de otras importantes clases de modelos,

el objetivo principal de esta sección es el estudio de los modelos matemáticos.

Ventajas y desventajas del empleo de modelos matemáticos

Cuando se utilizan modelos matemáticos para representar el comportamiento de una situación

en particular, se presentan las ventajas y desventajas de la tabla 1.2.

1.3 Optimización

Se considera que optimizar es la función de lograr mayores beneficios con la

mínima cantidad de recursos invertidos; es decir, buscar la mejor manera de

realizar una actividad.

Arsham Hosseim, experto en el tema, explica que la

…también denominada programación matemática, sirve para encontrar la respuesta que proporcio-

na el mejor resultado, la que obtiene mayores ganancias, mayor producción o felicidad o la que logra

el menor costo, desperdicio o malestar. Con frecuencia, estos problemas implican utilizar de la mane-

ra más eficiente los recursos, tales como dinero, tiempo, maquinaria, personal, existencias, etc. Los


Actividades de la unidad I 5

El problema: Minimizar: Z = x1 + x2

Sujeto a: x1 – x2 = 3 x2 ≥ 2

Maximizar Z = 4x1 + 5x2

Sujeto a: 3x1 + 2x2 ≤ 15 2x1 + 3x2 ≤ 4 x1, x2 ≥ 0

Cabe señalar que la última restricción, de no negatividad, indica que las variables que se utilizaron en el modelo deben ser positivas o ceros puesto que, si se deseara producir, por ejemplo, dulces, no se podrían producir –4 dulces.

1

1. Construya su propia definición de investigación de operaciones.2. Relacione la investigación de operaciones con las materias del contenido curricular de su carrera o nivel

educativo. Conteste:

a) ¿Cómo se relaciona?b) ¿Para qué sirve?

2

6 Arsham Hosseim. Modelos deterministas: optimización lineal, http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/opre640S/spanishD.htm#rop, consultado el 4 de octubre de 2010.

problemas de optimización generalmente se clasifican en lineales y no lineales, según las relaciones

del problema sean lineales con respecto a las variables…6

Problemas de optimización

En un problema se trata de maximizar o minimizar una cantidad específica llamada objetivo,

la cual depende de un número finito de variables de entrada. Éstas pueden ser independientes

entre sí o relacionarse a través de una o más restricciones.

Éste es un problema de optimización del objetivo z, en el que las variables de entrada son x1

y x2. Se desean obtener valores de las variables de entrada que minimicen el objetivo principal,

sujetos a las limitaciones impuestas por las restricciones.

Un programa matemático como el del ejemplo anterior es lineal si f(x1, x

2, …, xn) y cada

gi(x1, x

2, …, xn) donde (i = 1, 2, …, m) se dan como funciones matemáticas y como ilaciones

funcionales (como sucede en el primer ejemplo).


7

Programaciónlineal

Unidad II

Al finalizar el estudio de esta unidad, se espera que el lector sea capaz de: explicar qué entiende por programación lineal.

exponer los pasos para plantear un problema dado.

explicar cómo se forman las restricciones y la función objetivo.

mencionar la estructura general de un modelo de programación lineal.

resolver e interpretar problemas mediante el empleo del concepto de método gráfico.

resolver e interpretar problemas mediante el empleo del concepto de método símplex.

2.1 Concepto de programación lineal

La programación lineal, que es un procedimiento matemático que ayuda a asig-

nar de manera óptima los recursos escasos, consta de una o más funciones obje-

tivo, un conjunto de restricciones y una restricción de no negatividad.

Esta herramienta es una técnica de modelado matemático diseñada para

optimizar el empleo de los recursos limitados. Se aplica con éxito en el ejército,

la agricultura, la industria, el transporte, la economía, los sistemas de salud e,

incluso, en las ciencias conductuales y sociales.1

2.2 Planteamiento de problemas en términos de programación lineal

Los modelos de programación lineal son normativos y poseen tres conjuntos básicos de elemen-

tos, a saber:

• Variables de decisión y parámetros

• Conjunto de restricciones

• Una o más funciones objetivos

1 Hamdy A. Taha, Investigación de operaciones, 7a. ed., p. 11.

Programación lineal. Procedimiento matemático con una o más funciones objetivo, un conjunto de restricciones y una restricción de no negatividad para determinar la asignación óptima de recursos escasos.


UNIDAD II Programación lineal8

Variables de decisión. Cantidades que se desconocen y que deben determi-narse en la solución de un problema cuyo modelo se plantea.

Recursobásico

Mano de obra

Escritorios

Mesas

Figura 2.1 Distribución de mano de obra.

Parámetros. Valores que especifican la relación entre las variables de decisión.

Producto Horas laboradas OperaciónTotal de horas a la

semana

Mesa 6 6x1 + 8x2 ≤ 80

Escritorio 8

Tabla 2.1 Reunión de datos importantes de una restricción

Conjunto de restricciones. Son las limi-taciones que restringen las variables de decisión que consumirán valores permisibles en el modelo.

Las variables de decisión son las cantidades desconocidas que deben deter-

minarse en la solución de un problema cuyo modelo se plantea. Un ejemplo

para definir una variable de decisión podría ser la cantidad de un determinado

producto que debe fabricarse en una operación de producción que involucra

diversos productos a partir de un mismo recurso básico (véase figura 2.1).

En la figura 2.1 se indica que, a partir de un recurso básico, que en este ejemplo es la mano

de obra, pueden fabricarse diversos productos (escritorios y mesas).

Los parámetros son los valores que describen la relación entre las variables

de decisión y que permanecen constantes en cada problema, pero varían en

problemas distintos. Por ejemplo, las horas de mano de obra que se requieren

para elaborar cada uno de estos productos. Supongamos que en la producción

de cada mesa se emplean 6 horas y en la de cada escritorio, 8 horas; en conse-

cuencia, la relación función de mano de obra es la siguiente:

Mano de obra para fabricar los productos 6x1 + 8x

2

lo cual nos da el tiempo total que se consume en el proceso de fabricación.

Conjunto de restricciones. Para incluir las limitaciones que se presentan en

el problema cuyo modelo se plantea, éste debe contener cualquiera de las res-

tricciones que limiten las variables de decisión que consumirán valores permisi-

bles. Por ejemplo, supongamos que el departamento de fabricación de mesas y

escritorios trabaja 80 horas por semana; entonces, la restricción correspondien-

te a esta limitante sería:

6x1 + 8x

2 ≤ 80 horas

Si reunimos toda la información descrita en una tabla, ésta tendría la forma y los conteni-

dos siguientes:

La función objetivo define la eficacia del modelo en función de las variables de

decisión. Por ejemplo, si el objetivo debe definir éstas en términos de las varia-

bles de decisión en forma matemática indica que se obtiene una utilidad de 210

unidades monetarias por cada mesa y una utilidad de 360 por cada escritorio

que se fabrique y se venda.

Función objetivo. Define la eficacia del modelo en función de las variables de decisión.


92.3 Estructura general de un modelo de programación lineal

Una fábrica de muebles se especializa en la producción de dos tipos de comedores; cada uno requiere de un tiempo de construcción y otro diferente de pintura. Un comedor tipo 1 demanda 6 horas de producción y 8 horas de pintura; en la construcción de un comedor tipo 2 se emplean 12 horas y 4 horas para la pintura. El departamento de construcción cuenta con 120 horas diarias disponibles mientras que el de pintura sólo dispone de 64 horas. La compañía desea determinar el número de unidades de cada tipo de comedor que debe producir por día, de tal manera que las utilidades totales sean máximas.

La compañía logra una utilidad de $2 000 por cada comedor tipo 1 y $2 400 por cada comedor tipo 2.Plantee el modelo de programación lineal (MPL) correspondiente.

Solución:

Primero deben definirse las variables de decisión que se emplearán.

Sea x1 = número de comedores tipo 1 que se deben producirSea x2 = número de comedores tipo 2 que se deben producir

Cuando se definen las variables debe tomarse en cuenta que, en la mayoría de los casos, son numéri-cas, por lo que es importante especificar cuáles son las cantidades que se deben producir.

En el momento en que nos indican costos o utilidades, es indispensable precisar cuántas variables se van a utilizar en el problema.

1

Entonces se genera la función objetivo 210x1 + 360x

2 = Z,

cuyo propósito principal es maximizar las utilidades que genera la fabricación de mesas y escri-

torios.


A continuación se muestra la estructura que debe presentar un modelo de programación lineal

para su mejor comprensión y aplicación:

Función objetivo Optimizar z = c1x

1 + c

2x

2 +…+ c

nx

n

Sujeta a las siguientes restricciones:

a11

x1 + a

12x

2 +…+ a

1nx

n <, =, > b

1

a21

x1 + a

22x

2 +…+ a

2nx

n <, =, > b

2

. . . . . .

am1

x1 + a

m2x

2 +…+ a

mnx

n >, =, > b

m

x1, x

2,…, x

n > 0 (restricción de no negatividad)

Los pasos básicos que se deben dar para plantear un problema en términos de un modelo

de programación lineal (MPL) son los siguientes:

1. Identificar las variables importantes del problema (variables de decisión) y seleccionar una

notación adecuada para ellas.

2. Plantear la función objetivo en términos de las variables de decisión.

3. Identificar los recursos limitantes para, de esta manera, plantear cada una de las restricciones.

4. Formular el modelo de acuerdo con la estructura general.



La frase “La compañía obtiene una utilidad de $2 000 por cada comedor tipo 1 y $2 400 por cada comedor tipo 2” refleja con claridad cuántas variables de decisión se usarán y, a su vez, cuál será la función objetivo.

Otro aspecto que debe definirse con claridad es el objetivo del problema que se va a resolver; en este caso, se tiene:

Objetivo = maximizar utilidades

Por lo tanto, las utilidades totales se obtienen mediante la siguiente ecuación:

2 000x1 + 2 400x2

sujeta a las restricciones de tiempo disponible para construcción y pintura.En el caso de la construcción de comedores existe la siguiente restricción:

6x1 + 12x2 ≤ 120

Para la pintura, la restricción es:

8x1 + 4x2 ≤ 64

Luego de reunir todos los datos y de acuerdo con la estructura general de un MPL, se obtiene lo siguiente:

Maximizar z = 2 000x1 + 2 400x2

Sujeto a: 6x1 + 12x2 ≤ 120 8x1+ 4x2 ≤ 64 x1, x2 ≥ 0

Una compañía de zapatos, especialista en la fabricación de botas, no vende en forma directa al público, sino que lo hace a través de tiendas al menudeo. Según las fluctuaciones de los costos de la materia prima la empresa ha observado que el costo de producción varía de un mes a otro.

Debido a esas variaciones y a que el costo unitario del manejo y almacenamiento es de $11.00 por mes, la compañía considera que resulta conveniente fabricar pares de botas demás en algunos meses para venderlos en meses posteriores.

Los administradores han pronosticado la demanda y los costos de producción de los siguientes 8 me-ses. Además, desean programar la producción de este periodo para minimizar los costos totales de produc-ción y almacenamiento, como se muestra en la tabla 2.2.

2

Mes Costo proyectado por par Demanda pronosticada

1 360 150 000

2 420 110 000

3 380 180 000

4 400 100 000

5 350 200 000

6 390 180 000

7 370 110 000

8 410 170 000

Tabla 2.2 Costos proyectados por mes



Plantee el modelo de programación lineal correspondiente.

Solución:

En primer término , deben definirse las variables de decisión.

Sea:

xij = pares de botas que se fabrican en el mes i y se venden en el mes j.

Después, debe tenerse bien delimitado el objetivo del problema.Objetivo: Minimizar costos de fabricación y almacenamiento.

Min z = 360x1, 1+371x1,2+382x1,3+393x1,4+404x1,5+415x1,6+426x1,7

+437x1,8+420x2,2+431x2,3+442x2,4+453x2,5+464x2,6+475x2,7

+486x2,8+380x3,3+391x3,4+402x3,5+413x3,6+424x3,7+435x3,8

+400x4,4+411x4,5+422x4,6+433x4,7+444x4,8+350x5,5+361x5,6

+372x5,7+383x5,8+390x6,6+401x6,7+412x6,8+370x7,7+381x7,8

+410x8,8

En este caso, tomemos, por ejemplo, el 360x1,1 donde i = 1 y j = 1, es decir, el costo de las botas fabrica-das en el mes 1 y vendidas en el mes 1 es de $360.00 Bajo el supuesto de que en ese mes no se vendan todas las botas, las tendrán que vender en el mes 2 con un costo adicional de $11.00 por almacenamiento, lo cual significa que las botas fabricadas en el mes 1 y vendidas en el mes 2 tendrán un costo total de $371, esto es, $360 + $11, lo que da como resultado la variable “371x1, 2”.

Una vez que hayamos determinado la función objetivo, tendremos que definir las restricciones a las cuales se encuentra sujeta.

Sujeta a:

x1,1 ≥ 150 000x1,2 + x2,2 ≥ 110 000x1,3 + x2,3 + x3,3 ≥ 180 000x1,4 + x2,4 + x3,4 + x4,4 ≥ 100 000x1,5 + x2,5 + x3,5 + x4,5 + x5,5 ≥200 000x1,6 + x2,6 + x3,6 + x4,6 + x5,6 + x6,6 ≥ 180 000x1,7 + x2,7 + x3,7 + x4,7 + x5,7 + x6,7 + x7,7 ≥ 110 000x1,8 + x2,8 + x3,8 + x4,8 + x5,8 + x6,8 + x7,8+ x8,8 ≥ 170 000xi, j ≥ 0

Para obtener dichas restricciones se tomaron en cuenta las siguientes consideraciones:

Por ejemplo, en el mes 2, la restricción es:

x1,2 + x2,2 ≥ 110 000

Esta restricción indica que las botas que no se vendieron en el mes 1 y se guardaron para venderse en el mes 2 (x1,2) se suman a las que se fabricaron en el mes 2 (x2,2), con lo cual tenemos:

x1,2 + x2,2

Ahora, si en el mes 2 la demanda pronosticada es de 110 000 pares, se obtiene la restricción de ese mes:

x1,2 + x2,2 ≥ 110 000

Es así como se obtuvieron las restricciones de este problema.



En su proceso de producción, una pequeña empresa que elabora diversos productos químicos utiliza 3 ma-teriales para elaborar 2 productos, un aditivo y un disolvente.

El aditivo se vende a empresas petroleras y se emplea en la producción de diesel y otros combustibles similares. El disolvente se vende a empresas químicas para elaborar productos de limpieza industrial y para el hogar. Para formar el aditivo y el disolvente se mezclan las tres materias primas en forma específica.

La tabla 2.3 muestra que una tonelada de aditivo se obtiene mezclando 37

de 1 000 kg de la materia prima 1; y 4

7 de 1 000 kg de la materia prima 3; una tonelada de disolvente se logra con la mezcla de 1

4 de

1 000 kg de la materia prima 1, 25

de 1 000 kg de la materia prima 2 y 720

de 1 000 kg de la materia prima 3.Debido al deterioro y a la naturaleza del proceso de producción, cualquier materia prima que no se use

para la producción actual debe desecharse. La utilidad asciende a $4 000.00 por cada tonelada de aditivo y a $3 000.00 por cada tonelada de disolvente. Después de un análisis de la demanda potencial, la administra-ción de la empresa ha concluido que cuenta con las siguientes cantidades de materia prima:

Plantee el modelo de programación lineal correspondiente.

Solución:

Antes que nada, se extraen los datos del problema para tener la información de una forma clara y conci-sa, con la cual se puede generar la tabla 2.4.

Una vez elaborada la tabla 2.4 se deben definir las variables de decisión que se utilizarán:

Sea: x1 = 1 000 kg de aditivo que se producirán x2 = 1 000 kg de disolvente que se producirán

Proceso de restricciones:

En el caso de la materia prima 1, la restricción es:

37

x1 + 14

x2 ≤ 20 000 kilogramos

En el de la materia prima 2 existe la siguiente restricción:

25


3

Materia prima Cantidades disponibles para la producción

Materia prima 1 20 000.00 kg



Tabla 2.3 Cantidad de kilogramos disponibles de cada materia prima

Producto Materia prima 1 Materia prima 2 Materia prima 3

Aditivo37

047

Disolvente14

25

720

Tabla 2.4 Extracción de información importante del problema


132.4 Método gráfico

La materia prima 3, padece la siguiente restricción:

47

x1 + 720


El propósito de la empresa es maximizar las utilidades. Por ello, obtiene la función objetivo siguiente:

Max Z = 4 000x1 + 3 000x2

La expresión anterior significa que va a ganar $4 000 por cada tonelada de aditivo y $3 000 por cada tonelada de disolvente.

Por último, agregamos la restricción de no negatividad:

x1, x2 ≥ 0


El método gráfico se utiliza para solucionar problemas de programación lineal

mediante la representación geométrica de las restricciones, condiciones técni-

cas y objetivos.

El modelo puede resolverse en forma gráfica si sólo posee dos variables; en el

caso de modelos con tres o más variables, resulta impráctico o imposible de aplicar.

Cuando los ejes se relacionan con las variables del problema, el método se

conoce como método gráfico en actividad. Cuando lo hacen con las restriccio-

nes tecnológicas se denomina método gráfico en recursos.

Se recomienda el empleo del método gráfico sólo en el caso de modelos

que incluyan dos variables de decisión; sin embargo, este método muestra los

conceptos fundamentales que se emplean para desarrollar las técnicas algebrai-

cas necesarias para resolver modelos de programación lineal.

El propósito del método gráfico no es proporcionar un método práctico

para resolver problemas lineales, pues la mayoría de éstos incluyen un gran número de varia-

bles. Para entender la forma de operar de los modelos de programación lineal en su forma

general, es necesario conocer los siguientes conceptos:

Solución factible. Es aquella con más de m componentes positivos donde

m es el rango o número de restricciones. Si una solución básica factible tie-

ne exactamente m componentes positivos, se dice que es no degenerada; por el

contrario, si tiene menos de m componentes positivos, es una solución factible degenerada.

Puede decirse que una solución factible con más de m componentes positi-

vos es no básica.

Al conjunto de todas las soluciones factibles se le denomina espacio de solu-ciones factibles, pero también es conocido como región factible.

Cabe señalar que existe la posibilidad de que un problema no tenga solu-

ciones factibles.

Los pasos básicos que se deben seguir para resolver un problema lineal por

medio del método gráfico son los siguientes:

1. Después de elaborar el modelo correspondiente, el siguiente paso consiste en determinar

el conjunto de soluciones de cada una de las restricciones, propósito que se logra mediante

la graficación de cada una en el plano cartesiano R2.

2. Identificar la región factible, esto es, la intersección del conjunto solución de cada una de

las restricciones.

3. Marcar los puntos que intersecan en la frontera de la región factible.

Método gráfico. Se emplea para resol-ver problemas de programación lineal mediante la representación geométrica de restricciones, condiciones técnicas y objetivos.Método gráfico en actividad. Se aplica cuando los ejes se relacionan con las variables del problema. Método gráfico en recursos. Se utiliza cuando los ejes se vinculan con las restricciones tecnológicas.

Solución factible degenerada. Es la que cuenta con más de m componentes positivos donde m es el rango o núme-ro de restricciones.

Espacio de soluciones factibles o región factible. Conjunto de todas las soluciones factibles.



4. Ubicar el o los puntos factibles que den el mejor valor de la función objetivo.

A este punto se le conoce como punto óptimo.Punto óptimo. Punto factible que brinda el mejor valor de la función objetivo.

Suponga que x1 es el número de sillas tipo 1 que se van a producir y que x2 es el número de sillas tipo 2 que se elaborarán.

Sea el modelo lineal:

Max Z = 4x1 + 3x2

Sujeto a: 2x1 + 3x2 ≤ 6 –3x1 + 2x2 ≤ 3– 2x1 + x2 ≤ 4– 2x1, x2 ≥ 0

Como primer paso, es necesario determinar el conjunto de soluciones de cada una de las restricciones. Para obtener el conjunto de soluciones de una desigualdad en el plano cartesiano (R2), primero debemos considerarlo como una ecuación con objeto de graficar la recta que limitará al semiplano correspondiente a la solución de la desigualdad.

Para la primera restricción 2x1 + 3x2 ≤ 6

Al quitar la desigualdad 2x1 + 3x2 = 6

Despejamos a x1 sin tomar en cuenta el valor de x2:

2x1 = 6 x1 = 62

expresión de la cual se obtiene que x1 = 3

Ahora, despejamos x2 sin tomar en cuenta el valor de x1:

3x2 = 6 63

, que significa que x2 = 2

Se puede observar que x1 = 3 y x2 = 2. La gráfica de la restricción quedaría como se muestra en la figura 2.2.

Figura 2.2 Primera restricción.

Va hacia la izquierda

Región factible

x1

x2

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5



Para saber dónde se ubica la región factible debe tomarse un valor antes y uno después del de x1, si es que existe; de no ser así, podemos tomar x2; es decir, si en este caso el valor de x1 es de 3, se toma el valor de 2 y 4, respectivamente, y se sustituyen en la restricción 1.

Restricción 1 2x1 + 3x2 ≤ 6

Si x1 toma el valor de 2, al sustituirlo debemos cuestionarnos lo siguiente:

¿2 por el valor de x1, que es 2, es menor que 6? Si la respuesta es afirmativa, la región factible de esa restricción se encuentra hacia la izquierda y se desecha la siguiente suposición de que x1 tome el valor de 4; pero, si es negativa, la región factible se localiza hacia la derecha.

Nota: Si se utiliza el valor de x1, olvide el valor de x2 o supóngalo cero al sustituir los valores anteriormente descritos.

En este punto terminamos la restricción 1. En el caso de la restricción 2 se tiene lo siguiente:

Restricción 2 –3x1 + 2x2 ≤ 3

Al quitar la desigualdad –3x1 + 2x2 = 3

Luego, despejamos x1 sin tomar en cuenta el valor de x2:

–3x1 = 3 x1 = 3–3

y se obtiene x1 = –1

A continuación, despejamos x2 sin tomar en cuenta el valor de x1:

2x2 = 3 32

de lo que obtenemos x2 = 1.5Observe que x1 = –1 y x2 = 1.5. La gráfica de la restricción quedaría como se muestra en la figura 2.3.

Figura 2.3 Segunda restricción.

Para saber hacia dónde se encuentra la región factible debe tomarse un valor antes y uno después del valor de x1, si es que existe x1; si no se tiene x1 podemos tomar x2, es decir, si en este caso el valor de x1 es de –1, se toma el valor de –2 y 0, respectivamente, y se sustituyen en la restricción 2.

Restricción 2 –3x1 + 2x2 ≤ 3

x1

x2

1

2

32.5

1.5

1 2 3 4 5–5 –4 –3 –2 –1



Si x1 toma el valor de –2, al sustituirlo surge la siguiente pregunta:

¿–3 por el valor de x1, que es –2, es menor que 3? Si la respuesta es positiva, la región factible de esa restricción se encuentra hacia la izquierda y se desecha la siguiente suposición de que x1 tome el valor de 0; pero, si es negativa, entonces la región factible se localiza hacia la derecha.

Nota: Si se utiliza el valor de x1, olvide el valor de x2 o supóngalo cero al sustituir los valores descritos.En este punto terminamos con la restricción 2. En el caso de la restricción 3 se tiene lo siguiente:

Restricción 3 2x1 + x2 ≤ 4

Eliminamos la desigualdad 2x1 + x2 = 4

Luego despejamos x1 sin tomar en cuenta el valor de x2:

2x1 = 4 x1= 42

y obtenemos que x1 = 2

Ahora, despejamos x2 sin tomar en cuenta el valor de x1:

x2 = 4 de lo cual resulta que x2 = 4

Observe que x1 = 2 y x2 = 4. Por lo tanto, la gráfica de la restricción quedaría como muestra la figura 2.4.

Figura 2.4 Tercera restricción.

Para saber hacia dónde se localiza la región factible, debe tomarse un valor antes y uno después del valor de x1, si es que existe x1; si no es así podemos tomar x2, es decir, si en este caso el valor de x1 es 2, se toma el valor de 1 y 3, respectivamente, y se sustituyen en la restricción 3.

Restricción 3 2x1 + x2 ≤ 4

Si x1 adopta el valor de 1, al sustituirlo surge la pregunta siguiente:

¿2 por el valor de x1, que es 1, es menor que 4? Si la respuesta es afirmativa, la región factible de esa restricción se encuentra hacia la izquierda y se desecha la siguiente suposición de que x1 tome el valor de 3; pero, si es negativa, la región factible se localiza hacia la derecha.

Nota: Si se emplea el valor de x1, olvide el valor de x2 o supóngalo cero al sustituir los valores descritos.En este punto terminamos con la restricción 3.El siguiente paso es unir las tres gráficas en una sola e identificar la región factible que es la intersección

entre las tres áreas.Para determinar en qué punto factible se alcanza el mejor valor de la función objetivo, nos apoyaremos

en las curvas de nivel o frontera de la región factible óptima, para lo cual será necesario evaluar los puntos de intersección existentes dentro del cuadrante uno, como se observa en la figura 2.5.

x1

x2

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5



Figura 2.5 Unión de las 3 restricciones.

En la gráfica pueden observarse cuatro puntos óptimos posibles: A, B, C y D, de los cuales sólo se dedu-cen A y D, ya que intersecan el eje x1 y el x2; por otra parte, los valores de los puntos B y C los tenemos que obtener por medio de un método de resolución de ecuaciones.

En nuestro ejemplo utilizaremos el método de suma y resta para obtener los valores de los puntos B y C. El primero de ellos interseca con las restricciones 1 y 2, mientras que el segundo interseca las restricciones 1 y 3.

El punto B tiene el siguiente sistema de ecuaciones, el cual resolveremos por el método de suma y resta:

2x1 + 3x2 = 6 restricción 1

–3x1 + 2x2 = 3 restricción 2

Como se puede observar sólo se tiene que multiplicar por 3 la restricción 1 y por 2 la restricción 2 para poder eliminar una variable, a partir de lo cual se obtiene:

6x1 + 9x2 = 18 (se multiplica por 3)

–6x1 + 4x2 = 6 (se multiplica por 2)

Note que no es necesario multiplicar por un valor negativo puesto que ya lo tiene

Después de multiplicar la restricción 1 por 3 y la restricción 2 por 2, se tiene lo siguiente:

6x1 + 9x2 = 18

–6x1 + 4x2 = 6

13x2 = 24

De este resultado, si despejamos el valor de x2: x2 = 2413

Para encontrar el valor de x1 se sustituye x2 en cualquiera de las dos ecuaciones iniciales. En este caso sustituiremos el valor en la restricción 1, despejaremos la variable x1 y, por último, determinaremos el valor del punto B.

2x1 + 3x2 = 6

2x1 + 3 (2413) = 6

2x1 = 6 – 7213

2x1 = 613

x1 = 313

Luego, el punto queda así: B ( 313

, 2413)

1

x1

BA

C

Región factible

D

x2

1

2

3

3

24

5

1.5

1 2 3 4 5–1 1.5



El punto C tiene el siguiente sistema de ecuaciones, el cual resolveremos por el método de suma y resta:

2x1 + 3x2 = 6 restricción 1

2x1 + x2 = 4 restricción 3

Como se puede observar, cualquier restricción debe multiplicarse por –1, puesto que los dos valores de x1 son iguales.

2x1 + 3x2 = 6

2x1 + x2 = 4 (–1)

Luego de multiplicar la restricción 3 por –1, se logra lo siguiente:

2x1 + 3x2 = 6

–2x1 – x2 = 4

2x2 = 2

De este resultado, despejamos el valor de x2 para obtener: x2 = 22

x2 = 1

Ahora, para encontrar el valor de x1 se sustituye x2 en cualquiera de las dos ecuaciones iniciales. En este caso, sustituiremos el valor en la ecuación 1, despejaremos la variable x1 y, finalmente, obtendremos el valor del punto C.

2x1 + 3x2 = 6

2x1 + 3 (1) = 6

2x1 = 6 – 3

2x1 = 3

x1 = ( 32 )

Luego, el punto queda así: C ( 32

, 1)Como ya determinamos los valores de los cuatro posibles puntos óptimos, procederemos a obtener la Z

final que satisfaga nuestras expectativas de maximizar utilidades.Sustituyendo en la función objetivo los valores de los puntos A, B, C y D obtenemos:

Z = 4x1 + 3x2

Entonces,

ZA = 4(0) + 3( 32 ) = 9

2 ) = 4.5

ZB = 4( 313) + 3( 24

13 ) = 8413 ) = 6.4615

ZC = 4( 32 ) + 3(1) = 9

ZD = 4(2) + 3(0) = 8

� Z Max = 9 Punto óptimo

lo cual indica que se va a lograr una utilidad máxima de 9 si la fábrica produce 32

de sillas del tipo 1 y 1 del tipo 2.


Suponga que usted produce galletas y que gana $6.00 por cada galleta cuadrada y $5.00 por cada galleta redonda. El modelo del problema se resume a continuación:

Observe que x1 es el número de galletas cuadradas y x2 de galletas redondas unido a la ganancia de cada galleta.

Max Z = 6x1 = + 5x2

Sujeto a: x1 + x2 ≤ 9 x1 – x2 ≥ 1 x1, x2 ≥ 0

Para resolver este problema, en primer lugar debemos convertir la función objetivo a la forma estándar.¿Cómo se lleva a cabo esta tarea?La función objetivo Max Z = 6x1 + 5x2 deberá cambiar de signo; es decir, si son valores negativos, la

función tomará valores positivos; y si son valores positivos, la función asumirá valores negativos, según sea el caso. Así, tenemos:

Max Z = –6x1 – 5x2 Note el cambio de signo de positivo a negativo

Continuemos ahora con las restricciones. La primera restricción x1 + x2 ≤ 9 debe convertirse a la forma estándar, el valor de x1 y x2 no cambia. Por lo tanto, queda x1 + x2 = 9, pero tenemos que quitar la desigualdad agregando una variable de holgura, la cual llamaremos s1, tarea que se debe repetir con cada restricción; si la desigualdad de la restricción es ≤, la variable de holgura tomará un signo positivo, es decir, se suma a la restricción y queda de la siguiente forma:

x1 + x2 + s1 = 9

192.5 Teoría del método símplex


En los ejemplos anteriores puede apreciarse que, para encontrar la solución óptima de un mo-

delo lineal con la herramienta que se tiene hasta el momento, deben analizarse todos los puntos

posibles extremos, lo cual puede resultar una tarea bastante laboriosa. Por fortuna, George

Dantzig, el “padre de la programación lineal”, elaboró un método a finales de la década de

1940 que permite resolver un problema lineal sin necesidad de analizar de manera explícita el

valor de la función objetivo en cada punto extremo. Esta herramienta se conoce como método símplex, cuya teoría veremos en seguida:

Considerando el modelo lineal en la forma conocida, el cual después de

añadir variables de holgura puede llevarse a la forma estándar, deben ponerse

tantas variables de holgura como restricciones existan en cada problema, y se

asigna una variable de holgura denominada Sn en cada restricción:

Max Z = Cxi + Cxj

Sujeto a: xi + xj ≥ b1

xi + xj ≤ b2

xi, xj ≥ 0

Max Z = – Cxi – Cxj

Sujeto a: xi + xj – s1 = b

1

xi + xj + s2 = b

2

xi, xj, s1, s

2 ≥ 0

Método símplex. Método que permite resolver un problema lineal sin necesi-dad de analizar, a profundidad, el valor de la función objetivo en cada punto extremo.

Variable de holgura



Ahora, en el caso de la segunda restricción, la variable de holgura asumirá un valor negativo ya que la desigualdad es ≥ y queda de la siguiente forma:

x1 – x2 – s2 = 1

En la figura 2.6 se muestra la conversión final del modelo a la forma estándar.

Forma original Forma estándar

Max Z = 6x1 + 5x2 Genera Max Z = –6x1 – 5x2

Sujeto a: x1 + x2 ≤ 9 Sujeto a: x1 + x2 + s1 = 9 x1 – x2 ≥ 1 x1 – x2 – s2 = 1 x1, x2 ≥ 0 x1, x2, s1, s2 ≥ 0

Figura 2.6 Conversión del modelo a la forma estándar.

El siguiente paso es introducir los valores del modelo de la forma estándar a la tabla símplex.

x1 x2 s1 s2 Solución

s1 1 1 1 0 9

s2 1 –1 0 –1 1

Z –6 –5 0 0 0

Ya con los valores en la tabla se debe resolver este problema de acuerdo con los siguientes pasos:

Paso 1. Elegir el valor de Z más negativo. El valor de Z que se elija indicará la columna que se debe y se llamará columna pivote o columna de

entrada. En la siguiente tabla símplex se muestra cómo se llevó a cabo este paso.

Columna de entrada o pivote


s1 1 1 1 0 9

s2 1 –1 0 –1 1

Z –6 –5 0 0 0

Más negativo

En la tabla anterior puede observarse que x1 es la variable de entrada.

Paso 2. Se determina la variable de salida mediante la división de la columna solución de las restriccio-nes entre la columna pivote o de entrada. Recuerde que este procedimiento sólo se aplica a las restricciones, no a la función objetivo Z.

Nombre que seles da:

Restricción 1Restricción 2



A continuación se muestra cómo se realiza este paso.


s1 1 1 1 0 9

9 entre 1 = 9


s2 1 –1 0 –1 1

1 entre 1 = 1

Observe que los resultados son 9 y 1, por lo que se elige el valor positivo más pequeño sin tomar en cuenta valores negativos o ceros.


s1 1 1 1 0 9 9/1 = 9

s2 1 –1 0 –1 1 1/1 = 1

Z –6 –5 0 0 0

Aquí se observa que s2 es la variable que debe salir y la que entra es x1.

Paso 3. A la intersección entre la columna de entrada y el renglón de salida se le llama pivote.

x1

1 Pivote

s2 1 –1 0 –1 1

–6

Paso 4. Es muy importante que el pivote tome el valor 1; si éste no tiene dicho valor, conviértalo a 1 dividiendo todo el renglón entre el valor del pivote.

En este caso, el pivote ya es 1; por lo tanto, el renglón queda igual.

Paso 5. Hacer ceros los demás valores de la columna de entrada o pivote cambiado sólo el nombre de la restricción de s2 a x1.

x1 x2 s1 s2 Solución s1 1

s1 1 1 1 0 9 x1 Pivote

x1 –1 0 –1 1 Z –6

Z –6 –5 0 0 0

1

1

Pivote

Note el cambio del nombre de la variable


Convertirlos en ceros

÷

÷



En primer término, se tiene que multiplicar el renglón x1 por el inverso del valor que se hará cero y su-márselo al renglón que desea convertirse; es decir, si queremos hacer cero al 1, multiplicamos al renglón x1 por –1, que es el inverso de 1 y el resultado se lo sumamos a s1.


s1 1 1 1 0 9

x1 1 –1 0 –1 1

(–1)(pivote) Valor buscado

(–1)(1) = –1 + 1 = 0 Ingreso del valor a hacer cero

Ahora, en el caso de los demás valores:


s1 0 2 1 1 8

x1 1 –1 0 –1 1

Ya es cero(–1)(–1) = 1 + 1 = 2(–1)(0) = 0 + 1 = 1(–1)(–1) = 1 + 0 = 1(–1)(1) = –1 + 9 = 8

Una vez terminado el renglón s1, continuamos con el renglón Z multiplicando al renglón x1 por 6 ya que es el inverso de –6. Además, el renglón x1 es el que tiene el pivote.


x1 1 –1 0 –1 1

Z –6 –5 0 0 0

Inverso de –66* 1 = 6 + (–6) = 06* –1 = –6 + (–5) = –116* 0 = 0 + 0 = 06*–1 = –6 + 0 = –66* 1 = 6 + 0 = 6

lo cual genera:


x1 1 –1 0 –1 1

Z 0 –11 0 –6 6

Si se resume la información se obtiene lo siguiente:


s1 0 2 1 1 0

x1 1 –1 0 –1 1

Z 0 –11 0 –6 6

Multiplicar por 6 y sumar a Z

Note que ya son ceros



Paso 6. Si en el renglón de Z aún existen valores negativos, regrese al paso 1, hasta que el renglón Z no tenga valores negativos.

Como el renglón Z todavía tiene valores negativos, regresamos al paso 1, el cual indica que se tiene que elegir el mayor valor negativo. En este caso, se tienen 2 valores, –11 y –6, y el valor que elegimos es –11.

La nueva columna entrante es:

Nueva columna de entrada o pivote


s1 0 2 1 1 8 82

= 4

x2 1 –1 0 –1 1 1–1

= –1

Z 0 –11 0 –6 6

Pivote

En este punto ya se han definido todas las variables; la variable que entra es x2 y la que sale es s1. Aho-ra, debemos realizar nuevamente las operaciones correspondientes y hacer que el renglón pivote tenga un valor de 1 y los demás valores de la columna de entrada o pivote tengan valores de 0.

En primer lugar, debe convertirse el renglón pivote en 1. Se divide todo el renglón entre 2.


x2 0 2 1 1 8

0/2 = 02/2 = 112 = 1

2 12 = 1

2 82 = 4

A continuación se introducen los valores que obtuvimos para ubicarlos en el renglón pivote, lo que genera:


x2 0 112

12

4

Note que ya cambió a 1

Para convertir en ceros los valores de la columna de entrada o pivote, se debe emplear el pivote:

x2 Pivote

x1 –1

Z –11

En seguida, se debe multiplicar al renglón x2 por el inverso de cada valor que se convertirá en cero y sumárselo al renglón que se desea convertir; es decir, si queremos hacer cero al –1, debemos multiplicar el renglón x1 por 1 y sumárselo al renglón x1.

No se toma en cuenta ya que es negativo

Renglón elegido

Cambió de s1 a x2

Valores a convertir en ceros

02

= 0 22

= 1 12

= 12

12

= 12

82

= 4




x2 0 112

12

4

x1 1 –1 0 –1 1

1* 0 = 0 + 1 = 11* 1 = 1 + (–1) = 0

1* 12 = 1

2 + 0 = 12

1* 12 = – 1

2 + (–1) = – 12

1* 4 = 4 + 1 = 5

lo que queda como sigue:


x2 0 112

12

4

x1 1 012

– 12

5

Una vez terminado el renglón x1, continuamos con el renglón Z multiplicando al renglón x2 por 11 ya que es el inverso de –11.


x2 0 112

12

4

Z 0 –11 0 –6 6

11* 0 = 0 + 0 = 011* 1 = 11+ (–11) = 0

11* 12 = 11

2 + 0 = 11

2

11* 12 = 11

2 + –6 = – 1

2

11* 4 = 44 + 6 = 50

operación que genera:


x2 0 112

12

4

Z 0 0112

– 12

50

Resumiendo la información se obtiene la tabla siguiente:


x2 0 112

12

4

x1 1 012

– 12

5

Z 0 0112

– 12

50

Multiplicar por 11 y sumárselo a Z




Como podemos observar, aún tenemos valores negativos en el renglón Z; por lo tanto, tenemos que realizar de nueva cuenta las operaciones correspondientes hasta lograr que el renglón Z no tenga ningún valor negativo.



x2 0 112

12

4 4/ 12

= 8

x1 1 012

– 12

5 5/– 12

= –10

Z 0 0112

– 12

50

Pivote

En principio, debemos ubicar las variables de entrada que, en este caso, es s2, que tiene el valor de – 12 ;

éste es el único valor negativo que queda en el renglón Z. El renglón de salida es x2 y el pivote es 1

2 . Con base en el reglón pivote, debemos hacer que el pivote tenga el valor 1 y los demás valores que

componen la columna de entrada o pivote obtengan valores de 0. Para convertir el renglón pivote en 1 es necesario dividir el renglón pivote entre 1

2 . Queda como sigue:


x2 0 112

12

4

0/ 12 = 0

1/ 12 = 2

12 / 1

2 = 1

12 / 1

2 = 1

4/ 12 = 8

Después introducimos los valores que obtuvimos en el renglón pivote.


x2 0 2 1 1 8

Pivote Note que ya cambió a 1

El siguiente paso implica convertir a ceros los valores de la columna de entrada o pivote utilizando el pivote para hacerlo:

x2 Pivote

x1– 1

2

Z – 12

No se toma en cuenta puesto que es negativo

Renglón elegido

Valores a convertiren ceros

012

= 0 112

= 2 1212

= 1 1212

= 1 412

= 8



En seguida, debe multiplicarse al renglón x2 por el inverso de los valores que se harán cero y sumárselos al renglón que se convertirá; es decir, si queremos hacer cero al 1

2 , entonces debemos multiplicar el renglón x2 por 1

2 y sumarlo a x1.


s2 0 2 1 1 8

x1 1 012

– 12

5

12 * 0 = 0 + 1 = 112 * 2 = 1 + 0 = 112 * 1 = 1

2 + 12 = 1

12 * 1 = 1

2 + (– 12 )= 0

12 * 8 = 4 + 5 = 9

Luego del paso anterior queda como sigue:


s2 0 2 1 1 8

x1 1 1 1 0 9

Ya terminado el renglón x1, continuamos con el renglón Z multiplicando el renglón x2 por 12 ya que es el

inverso de – 12 .


s2 0 2 1 1 8

Z 0 0112

– 12 50

12 * 0 = 0 + 0 = 012 * 2 = 1 + 0 = 1 12 *1 = 1

2 + 112

= 6 12 *1 = 1

2 + (– 12 ) = 0

12 *8 = 4 + 50 = 54

Aquí se genera:


s2 0 2 1 1 8

Z 0 1 6 0 54

Multiplicar por 12

y sumar a x1

Multiplicar por 12

y sumar a Z



Luego de reunir toda la información se obtiene la siguiente tabla símplex:


s2 0 2 1 1 8

x1 1 1 1 0 9

Z 0 1 6 0 54

Como se puede observar esta tabla símplex no incluye valores negativos en Z, lo cual indica que el problema ha sido resuelto.

Cuando no aparece una de las variables básicas (x1 y x2) en la tabla símplex final, se supone que es igual a cero. Ahora, sólo nos queda resumir los resultados que obtuvimos y dar una conclusión:

x1 = 9x2 = 0 Z = 54

Como conclusión, puede decirse que deben fabricarse 9 galletas de tipo cuadrada y 0 de tipo redonda, pues esas cantidades generan una utilidad máxima de $54.00.

Para asegurarnos de que realizamos las operaciones adecuadas, puede hacerse una comprobación en cualquiera de las ecuaciones del problema. Vamos a llevarla a cabo en la función objetivo original para verificar.

Max Z = 6x1 + 5x2

54 = 6 * 9 + 5 * 0 54 = 54

Hemos finalizado todo el procedimiento por el método símplex.

2 Forma estándarMax Z = 5x1 + 2x2 Max Z = –5x1 – 2x2

Sujeto a: 6x1+10x2 ≤ 30 Sujeto a: 6x1 + 10x2 + s1 = 30 10x1 + 4x2 ≤ 20 10x1 + 4x2 + s2 = 20 x1, x2 ≥0 x1, x2, s1, s2 ≥ 0

Los valores debemos ubicarlos en una tabla símplex, de esta manera:


s1 6 10 1 0 30

s2 10 4 0 1 20

Z –5 –2 0 0

El valor más negativo del renglón Z es –5, por lo cual ésa será la columna entrante.


s1 6 10 1 0 30 306

= 5

s2 10 4 0 1 20 2010

= 2

Z –5 –2 0 0 0

Renglón elegido


Pivote



Hasta este momento hemos definido todas las variables; la que entra es x1 y la que sale es s2. Ahora tenemos que realizar de nueva cuenta las operaciones correspondientes y hacer que el renglón pivote tenga un valor de 1 y los demás valores de la columna de entrada o pivote posean valores de 0.

Para empezar, debemos convertir el renglón pivote en 1 mediante la división de todo el renglón entre 10, que es el mismo valor del pivote.


x1 10 4 0 1 20

1010

= 1

410

= 25

010

= 0

110

= 110

2010

= 2

A continuación, introducimos los valores que obtuvimos para ubicarlos en el renglón pivote, con lo cual la tabla queda así:


x1 125

01

102

Luego convertimos a ceros los valores de la columna de entrada o pivote usando el pivote para hacerlo:

s1 6

x1 Pivote

Z –5

A continuación debe multiplicarse el renglón x1 por el inverso de cada valor que se transformará en cero y sumarlo al renglón que se convertirá.


s1 6 10 1 0 30

x1 125 0

110 2

–6 * 1 = –6 + 6 = 0

–6 * 25

= – 125

+ 10 = 385

–6 * 0 = 0 + 1 =1

–6 * 110

= – 35

+ 0 = – 35

–6 * 2 = –12 + 30 = 18

Cambió de s2 a x1



Multiplicar por –6 y sumar a s1



El resultado es el siguiente:


s1 0385

1 – 35

18

x1 125

01

102

Una vez que hemos resuelto el renglón x1, continuamos con el renglón Z. Ahora debemos multiplicar el renglón x2 por 11 ya que es la inversa de –11.


x1 125

01

102

Z –5 –2 0 0 0

5 * 1 = 5 + (–5) = 0

5 * 25

= 2+ (–2) = 0

5 * 0 = 0 + 0 = 0

5 * 110

= 12

+ 0 = 12

5 * 2 = 10 + 0 = 10

Esta operación genera:


s1 125

01

102

Z 0 0 012

10

Resumiendo la información se obtiene lo siguiente:


x2 0385

1 – 35

18

x1 125

01

102

Z 0 0 012

10

Como se puede ver, esta tabla símplex no tiene valores negativos en el renglón Z, lo cual nos indica que hemos terminado. Ahora sólo nos queda resumir los resultados que obtuvimos:

s1 = 18; x1 = 2; s2 = 0; x2 = 0 y Z = 10.

A continuación, podemos hacer una comprobación en cualquiera de las ecuaciones del problema para asegurarnos de que efectuamos las operaciones adecuadas. Para llevarla a cabo vamos a verificar la función objetivo original.

Max Z = 5x1 + 2x2

10 = 5(2) + 2(0) 10 = 10

Hemos finalizado todo el procedimiento por el método símplex.

Multiplicar por 5 y sumarlo a Z




3 Forma estándarMax Z = 3x1 + x2 Max Z = –3x1 – x2

Sujeto a: 2x1+ x2 ≤ 8 Sujeto a: 2x1 + x2 + s1 = 8 2x1 + 3x2 ≤ 12 2x1 + 3x2 + s2 = 12 x1, x2 ≥ 0 x1, x2, s1, s2 ≥ 0

Debemos ubicar los valores en una tabla símplex, de esta manera:


s1 2 1 1 0 8

s2 2 3 0 1 12

Z –3 –1 0 0 0

El valor más negativo del renglón Z es –3, por lo cual ésa será la columna entrante.


s1 2 1 1 0 8 82

= 4

s2 2 3 0 1 12 122

= 6

Z –3 –1 0 0 0

Hasta este punto hemos definido todas las variables: la que entra es x1 y la que sale es s1; ahora debe-mos efectuar de nuevo las operaciones correspondientes y hacer que el renglón pivote tenga un valor de 1 y los demás valores de la columna de entrada o pivote tengan valores de 0.

Para empezar debemos convertir el renglón pivote en 1 mediante la división de todo el renglón entre 2, que es el mismo valor del pivote.


x1 2 1 1 0 8

22

= 1

12

= 12

12

= 12

02

= 0

82

= 4

Luego de la división, introducimos los valores que obtuvimos para ubicarlos en el renglón pivote, activi-dad que genera la siguiente tabla:


x1 112

12 0 4


Renglón elegido


Pivote

Cambió de s1 a x1



Para convertir a ceros los valores de la columna de entrada o pivote, utilizamos el pivote:

x1 Pivote

s2 2

Z –3

A continuación debe multiplicarse el renglón x1 por el inverso de cada valor que se transformará en cero y sumarlo al renglón que se convertirá.


x1 112

12

0 4

s2 2 3 0 1 12

–2 * 1 = –2 + 2 = 0

–2 * 12

= –1 + 3 = 2

–2 * 12

= –1 + 0 = –1

–2 * 0 = 0 + 1 = 1–2 * 4 = –8 + 12 = 4

La tabla que se obtiene será:


x1 112

12

0 4

s2 0 2 –1 1 4

Una vez resuelto el renglón x1 continuamos con el renglón Z multiplicando al renglón x1 por 3, ya que es el inverso de –3.


x1 112

12

0 4

Z –3 –1 0 0 0

3 * 1 = 3 + (–3) = 0

3 * 12

= 32

+ (–1) = 12

3 * 12

= 32

+ 0 = 32

3 * 0 = 0 + 0 = 03 * 4 = 12 + 0 = 12


Multiplicar por –2 y sumar a s2

Multiplicar por 3 y sumar a Z



Esta operación genera:


x1 112

12

0 4

Z 012

32

0 12

Si resumimos la información podemos ordenarla en la siguiente tabla:


x1 112

12

0 4

s2 0 2 –1 1 4

Z 012

32

0 12

Como podemos observar, en esta tabla símplex no hay ningún valor negativo en el renglón Z, lo cual nos indica que hemos concluido. Ahora, sólo nos queda resumir los resultados que obtuvimos, a saber:

s1 = 0; x1 = 4; s2 = 4; x2 = 0 y Z = 12.

Ahora podemos hacer una comprobación en cualquiera de las ecuaciones del problema para asegurarnos de que efectuamos las operaciones adecuadas; para verificar, nos enfocaremos en la función objetivo original.

Max Z = 3x1 + x2

12 = 3(4) + 0 12 = 12

Hemos finalizado todo el procedimiento que señala el método símplex.

2.6 Dualidad

El término dualidad señala la existencia de dos fenómenos o caracteres diferentes en un mismo

estado. En este sentido, las nociones del bien y el mal son un ejemplo de dualidad; la filosofía

china también cuenta con los conceptos del yin y el yang para resumir la dualidad de todo lo

que existe en el universo.

Dentro de la investigación de operaciones, el concepto de dualidad desempeña un papel

importante tanto en la teoría como en la práctica. Todo modelo de programación lineal está

asociado a otro modelo llamado modelo dual; al modelo de programación inicial también se le

conoce como modelo primal.Entre otras cosas, las estructuras duales permiten:

• Resolver problemas lineales que tienen más restricciones que actividades. Por ejemplo, el

grado de dificultad para resolver un programa lineal por medio de una computadora que

está en función del número de filas de la matriz A y no en el número de columnas, al aplicar

la dualidad a un problema primario donde m > n, se obtiene otro problema lineal donde

el número de columnas m < n. Una vez que se resuelve el problema primario, de manera

automática se soluciona su correspondiente dual o viceversa.

• Hacer interpretaciones económicas de las soluciones óptimas de los problemas de programa-

ción lineal.


332.6 Dualidad

• Concebir nuevos algoritmos para solucionar problemas de redes de optimización.

• Generar métodos como el dual símplex para realizar análisis de sensibilidad de los progra-

mas de programación lineal.

Para poder entender el concepto de dualidad debemos referirnos al tema de matriz trans-

puesta.

Podemos decir que la matriz A transpuesta, que se conoce con la simbología AT, es aquella

en donde las columnas se transforman en filas o viceversa.

Ejemplo: Si tenemos la siguiente matriz:

A =

a b c

1 15 20 25

2 10 30 40

Cuestiones importantes que se deben tomar en cuenta:

Cuestión 1. Si el primal es un problema de maximización, su dual será un problema de mi-

nimización o viceversa.

Max Min

Cuestión 2. Los coeficientes de la función objetivo del problema primal se convierten en los

coeficientes del vector de disponibilidad del problema dual.

Cuestión 3. Los coeficientes del vector de disponibilidad del problema original se convierten

en los coeficientes de la función objetivo (vector de costo o precio) del problema dual.

Cuestión 4. Los coeficientes de las restricciones del problema primal serán la matriz de co-

eficientes del dual.

Cuestión 5. Los signos de desigualdad del problema dual son contrarios a los del primal.

Cuestión 6. Si el primal tiene m restricciones y n variables, el dual tendrá n restricciones y

m variables. Así, las variables xn del primal se convierten en nuevas variables ym del dual.

Primal Dual

Max Z = Cx Min G = BT y

Sujeto a: Ax ≤ B Sujeto a : AT y > CT

x ≥ 0 y > 0

Donde:

C = constante

x = variable

Cx = función objetivo

En la figura 2.7 se ilustra quién es A; B; C para, posteriormente, convertirse en su dual.

Figura 2.7 Estructura de un problema dual.

Primal C

Max Z = 5x1 + 12x2 + 4x3

BSujeto a: 1x1 + 2x2 + 1x3 ≤ 10 1x1 – 1x2 + 3x3 ≥ 8

A x1 ≥ 0

AT =

a b

1 15 10

2 20 30

3 25 40

Genera



1. Resuelva los siguientes ejercicios con el empleo del método gráfico:

a) Max Z = 3x1 + 2x2

Sujeto a: 7x1 + 3x2 ≤ 15 3x1 + x2 ≤ 20 x1 + x2 ≤ 5 x1, x2 ≥ 0

2. Resuelva los siguientes ejercicios por medio del método símplex:

a) Max Z = 3x1 + 2x2 + 5x3

Sujeto a: 7x1 + 3x2 – x3 ≤ 15 2x1 – 2x2 + 3x3 ≤ 20 x1 + x2 + x3 ≤ 5 x1, x2, x3 ≥ 0

3. Convierta a su forma dual los siguientes modelos primales:

a) Min Z = 3x1 + 2x2

Sujeto a: 3x1 + 2x2 ≤ 30 x1 + 2x2 ≥ 20 x1, x2 ≥ 0

b) Max Z = 6x1 – 2x2 + 3x3

Sujeto a: 2x1 – x2 + 2x3 ≤ 2 x1 + 4x3 ≤ 4 x1, x2, x3 ≥ 0

b) Max Z = 2x1 + 3x2

Sujeto a: x1 + 3x2 ≤ 9 3x1 + 2x2 ≤ 12 x1, x2 ≥ 0

b) Min Z = 6x1 + 7x2

Sujeto a: x1 + x2 ≥ 2 5x1 + x2 ≥ 4 x1, x2 ≥ 0

c) Max Z = 2x1 + x2 + 2x3

Sujeto a: 4x1 + 3x2 + 8x2 ≤ 12 4x1 + x2 + 12x3 ≤ 8 4x1 – x2 + 3x3 ≤ 8 x1, x2, x3 ≥ 0

c) Max Z = 20x1 + 30x2

Sujeto a: 2x1 + 2x2 ≤ 150 x1 + 2x2 ≤ 120 x1, x2 ≥ 0

Dual

Max J = 7y1 + 12y2 + 5y3

Sujeto a: 3y1 + 2y2 – 2y3 ≥ 1 –y1 – 4y2 + 3/2y3 ≤ 3 2y1 + 4y3 ≥ 2 yi ≥ 0

Primal

Min Z = x1 + 3x2 + 2x3

Sujeto a: 3x1 – x2 + 2x3 ≤ 7 2x1 – 4x2 ≥ 12 –2x1 + 3/2 x2 + 4x3 ≤ 5 xi ≥ 0

Cabe destacar que, una vez solucionados el dual como el primal por medio del método símplex, la solu-ción es la misma.

2

Primal

Min Z = 15x1 + 12x2

Sujeto a: x1 + 2x2 ≥ 3 2x1 – 4x2 ≤ 5 xi ≥ 0

Note que xi = x1, x2, …, xn según las variables utilizadas

Dual

Max G = 3y1 + 5y2

Sujeto a: y1 + 2y2 ≤ 15 2y1 – 4y2 ≥ 12 yi ≥ 0


35

Transportey asignación

Unidad III

Al finalizar el estudio de esta unidad, se espera que el lector sea capaz de: explicar qué entiende por modelos de transporte.

desarrollar los pasos para resolver problemas de transporte.

resolver problemas por el método de la esquina noroeste.

solucionar problemas por medio del método de costo menor.

resolver problemas por medio del método Vogel.

exponer el modelo de asignación.

solucionar problemas de asignación por medio del método húngaro.

3.1 Modelos de transporte

El modelo de transporte es una clase especial de programación lineal que abor-

da la situación en la cual se envía un bien desde los puntos de origen (por ejem-

plo, fábricas) hasta los puntos de destino (bodegas). El objetivo es determinar

las cantidades que se deben enviar desde cada punto de origen hasta cada punto

de destino que minimicen el costo total del envío y que, al mismo tiempo, satisfa-

gan tanto los límites de la oferta como los requisitos de la demanda (figura 3.1).

Modelo de transporte. Clase especial de programación por medio del cual se minimizan los costos del transporte de personas o productos desde los puntos de origen hasta los puntos de destino.

Figura 3.1 Forma de enviar un bien de un origen a un destino.

a1

a2

am

c11 x11

cmn xmn

Ofer

ta

Dem

anda

1

2

m

1 b1

b2

bn

2

n


UNIDAD III Transporte y asignación36

El modelo supone que el costo de envío por una ruta específica es directamente proporcio-

nal al número de unidades enviadas (por esa ruta). En general, el modelo de transporte puede

ampliarse a otras áreas, entre ellas el control de inventarios, horarios de empleo y asignación

de personal.

A partir de la figura 3.1 se deduce que:

xij = Cantidad enviada

cij = Constante.

La función objetivo se obtiene de la siguiente forma:

Min Z = c11

x11

+ c12

x12

+…+ cij xij

Una fábrica de autos cuenta con 3 plantas fabriles, una en Guanajuato, otra en Michoacán y otra en Nayarit. También posee 2 centros de distribución principales, uno en México y otro en Guadalajara. Las capacida-des de producción de las 3 plantas durante el próximo trimestre son de 2 000, 2 400 y 3 000 automóviles, mientras que la demanda durante el mismo periodo de los 2 centros de distribución será de 4 600 y 2 800 automóviles.

La tabla 3.1 proporciona la distancia en kilómetros que existe entre las plantas y los centros de distribución.

La compañía encargada del transporte de los automóviles cobra 16 centavos por kilómetro por auto.Para obtener el costo de envío por cada ruta, debe multiplicarse la distancia por el costo de transporte

que, en este caso, será de 16 centavos por kilómetro.

Origen Destino México (en kilómetros) Guadalajara (en kilómetros)

Guanajuato 2 000 5 380

Michoacán 2 500 2 700

Nayarit 2 550 1 700

Origen Destino México Guadalajara

Guanajuato 2 000 � 0.16 5 380 � 0.16

Michoacán 2 500 � 0.16 2 700 � 0.16

Nayarit 2 550 � 0.16 1 700 � 0.16

Origen Destino México Guadalajara

Guanajuato 320 860.8

Michoacán 400 432

Nayarit 408 272

Tabla 3.1 Distancia entre plantas y centros de distribución

En resumen, de la tabla anterior se obtienen los siguientes costos:

Dado que la tabla de costos puede resolverse por medio del método símplex, elabore el modelo de pro-gramación lineal correspondiente al problema (véase figura 3.2).



Sea xij = Número de automóviles enviados del origen (i) al destino (j).Donde:

i = Origen (Guanajuato, Michoacán, Nayarit)j = Destino (México, Guadalajara)

Origen Destino México Guadalajara Oferta

Guanajuato 320 x11 860.8 x12 2 000 2 000 +

Michoacán 400 x21 432 x22 3 000 3 000 +

Nayarit 408 x31 272 x32 2 400 2 400 =

Demanda 4 600 2 800 7 400 7 400

4 600 + 2 800 = 7 400

Figura 3.2 Formas de enviar automóviles desde la fábrica hasta los puntos de venta.

Min Z = 320 x11 + 860.8x12 + 400x21 + 432x22 + 408x31 + 272x32

Sujeto a: x11 + x12 ≤ 2 000

x21 + x22 ≤ 3 000 Oferta

x31 + x32 ≤ 2 400

x11 + x21 + x31 = 4 600 Demanda

x12 + x22 + x32 = 2 800

xij ≥ 0

Guanajuato

Michoacán

México

Guadalajara

Nayarit272x32

408x31

432x22

400x21

860.8x12

320x111

2

3

1

2

Nótese que la demanda es igual a la oferta

El modelo de programación lineal puede resolverse con el método símplex; sin embargo, la

estructura especial de las restricciones nos permite solucionarlo de una manera más convenien-

te con ayuda de la tabla símplex de transporte que se muestra a continuación:

Origen Destino México Guadalajara Oferta

Guanajuato 320 860.8 2 000

Michoacán 400 432 3 000

Nayarit 408 272 2 400

Demanda 4 600 2 800 7 400



Determinación de la solución inicialUn modelo de transporte general con m puntos de origen y n puntos de destino posee m + n

ecuaciones de restricción, una para cada punto de origen y destino; no obstante, debido a que

el modelo de transporte siempre está equilibrado, una de estas ecuaciones debe ser redundan-

te. Así, el modelo tiene m + n – 1 variables básicas.

La estructura especial del modelo de transporte admite una solución básica inicial no arti-

ficial empleando uno de los tres métodos:

• Método de la esquina noroeste

• Método del costo menor

• Método de aproximación de Vogel

La diferencia entre los tres métodos es la calidad de la solución básica inicial, pues cuando

ésta es más precisa da un valor objetivo más pequeño. Desde este punto de vista general, el mé-

todo de Vogel aporta la mejor solución básica inicial y el método de la esquina noroeste, la peor.

La ventaja es que el método de la esquina noroeste implica menor cálculo.

3.1.1 Método de la esquina noroeste

El método de la esquina noroeste empieza en el cuadro (ruta) de la esquina noroeste de la tabla

símplex (variable x11

) (véase figura 3.3).

Figura 3.3 Esquina noroeste de la tabla símplex.

Pasos para aplicar el método de la esquina noroesteA continuación desglosaremos los pasos para aplicar este método:

Paso 1. Asigne tanto como sea posible al cuadro seleccionado y ajuste las cantidades asocia-

das de oferta y demanda; luego, reste la cantidad asignada.

Paso 2. Tache el renglón o la columna con 0 oferta o demanda para indicar que no pueden

hacerse asignaciones adicionales en ese renglón o columna. Si tanto el renglón como la colum-

na, de manera simultánea, dan 0, tache sólo uno de ellos y deje una oferta o demanda de 0 en

el renglón o columna no tachado.

Paso 3. Si queda sin tachar un renglón o una columna, deténgase; de lo contrario, avance

al siguiente cuadro a la derecha si acaba de tachar una columna o al inferior si ha tachado un

renglón. Regrese al paso 1.

Esquinanoroeste

Tenemos 3 granjas de pollos (A, B, C) con una oferta de 120, 130 y 250 pollos cada una, que deben cubrir la demanda de 3 rosticerías (1, 2, 3) que es de 150, 130 y 220 pollos.

Los costos de envío de la granja A a las rosticerías 1, 2 y 3 son de 10, 15 y 18 pesos por pollo; los de la granja B son de 1, 5 y 3 pesos y los de la granja C son de 7, 11 y 9 pesos, respectivamente, por pollo.

Elabore el modelo de programación lineal correspondiente y determine cuántos pollos se deben enviar desde las granjas (A, B, C) a las rosticerías (1, 2, 3).

2



Granjas Rosticería 1 2 3 Oferta (pollos)

A 10 15 18 120

B 1 5 3 130

C 7 11 9 250

Demanda (pollos) 150 130 220 500

Nota: La oferta no puede ser mayor que lo que se tiene en la demanda.

Por lo tanto, como la oferta es igual a la demanda, se dice que la tabla está en equilibrio.Paso 1. Para resolver este problema, en primer lugar se debe asignar tanto como sea posible al cuadro de la

esquina noroeste seleccionado (en este caso sería A, 1) y ajustar las cantidades asociadas de oferta y demanda mediante la resta de la cantidad asignada.


A 10 15 18 120

B 1 5 3 130

C 7 11 9 250


Los recuadros representan las siguientes referencias:

Cuadro seleccionado (esquina noroeste) Oferta de la granja A: 120 pollos Demanda de la rosticería 1: 150 pollos

Enviamos 120 pollos a la rosticería 1 que pide 150, con lo cual sólo quedan por satisfacer 30 pollos.

Observe que, al entregar 120 pollos, la granja A ya no puede vender más, por lo que se cancelan los demás espacios.

Paso 2. Tache el renglón o la columna con 0 oferta o demanda para indicar que no pueden hacerse asigna-ciones adicionales en ese renglón o columna. Si tanto el renglón como la columna, de manera simultánea, dan 0, tache sólo uno de ellos y deje una oferta o demanda de 0 en el renglón o columna no tachados.


A 10 120 15 18 120 – 120 = 0

B 1 5 3 130

C 7 11 9 250

Demanda (pollos) 150 – 120 = 30 130 220 380




A 10 120 15 18 120 – 120 = 0

B 1 5 3 130

C 7 11 9 250

Demanda (pollos) 150 – 120 = 30 130 220 380

Paso 3. Si queda sin tachar un renglón o una columna, deténgase; de lo contrario, avance al siguiente cuadro a la derecha si acaba de tachar una columna o al inferior si ha tachado un renglón. Regrese al paso 1.

Como se tachó el renglón de la granja A, avanzamos a la siguiente esquina noroeste para satisfacer los 30 pollos que solicita la rosticería 1.


A 10 120 15 18 120 – 120 = 0

B 1 5 3 130

C 7 11 9 250

Demanda (pollos) 150 – 120 = 30 130 220 380

Cuadro seleccionado (esquina noroeste)


A 10 120 15 18 0

B 11 30 5 3 130 – 30 = 100

C 7 11 9 250

Demanda (pollos) 30 – 30 = 0 130 220 350

Ahora, la granja A no tiene pollos para vender y la rosticería 1 cubrió su demanda. Se avanza a la si-guiente rosticería (2) y se le asigna lo más que se pueda a la granja B.


A 10 120 15 18 0

B 11 30 5 100 3 100 – 100 = 0

C 7 11 9 250

Demanda (pollos) 0 130 – 100 = 30 220 250

Se tacha porque se agota la oferta de la granja A

Se tacha porque se agota la oferta de la granja A

Se tacha porque satisface la demanda de la rosticería 1

Se le asignan 30 ya que la rosticería 1 sólo pide 30 y la granja B tiene 30 disponibles

100 pollos disponibles que oferta la granja B

Se tacha porque se agota la oferta de la granja B



La rosticería 2 aún necesita 30 pollos, que deben ser proporcionados por la granja C ya que la B agotó su oferta.


A 10 120 15 18 0

B 11 30 5 100 3 0

C 7 11 30 9 250 – 30 = 220

Demanda (pollos) 0 30 – 30 = 0 220 220


A 10 120 15 18 0

B 11 30 5 100 3 0

C 7 11 30 9 250 – 30 = 220


Debido a que la demanda de la rosticería 2 ya fue satisfecha, se tacha y se avanza a la siguiente rosticería.


A 10 120 15 18 0

B 11 30 5 100 3 0

C 7 11 30 9 220 220 – 220 = 0

Demanda (pollos) 0 0 220 – 220 = 0

En este ejemplo, la solución óptima es:

La granja A debe enviar 120 pollos a la rosticería 1; la granja B, 30 pollos a la rosticería 1 y 100 al 2; la granja C, 30 pollos al 2 y 220 al 3 (figura 3.4).

Los costos de envío de pollos de las granjas son: Min Z = 10 (120) + 1 (30) + 5 (100) + 11 (30) + 9 (220) = 4 040 pesos� El costo de envío será de 4 040 pesos.

Siguiente esquina noroeste

No tiene demanda Se tacha porque se satisface la demanda de la rosticería 2

Siguiente esquina noroeste

No tienen oferta

Demanda satisfecha

Oferta satisfecha

Granjas depollos Rosticerías

22030

10030

120A

B

C

1

2

3

Figura 3.4 Diagrama de distribución de pollos.

Este punto es donde se satisface por completo la demanda con la oferta



3.1.2 Método del costo menor

El método del costo menor permite encontrar una mejor solución inicial pues

se concentra en las rutas más económicas. En vez de empezar con el cuadro

noroeste, comienza por asignarle tanto como sea posible al cuadro con el costo

más bajo por unidad de toda la tabla; después, se tacha el renglón o la columna

satisfechos y se ajusta la cantidad de la oferta y de la demanda conforme a ello.

Si tanto un renglón como una columna se satisfacen de manera simultánea,

sólo se tacha uno de ellos; luego, se busca el cuadro no tachado con el menor

costo unitario y se repite el proceso hasta que, al final, queda exactamente un renglón o una

columna no tachados.

Pasos para aplicar el método del costo menorA continuación desglosaremos los pasos para aplicar este método:

Paso 1. Asígnele tanto como sea posible al cuadro con el costo más bajo por unidad de toda

la tabla.

Paso 2. Tache el renglón o la columna con 0 oferta o demanda para indicar que no pueden

hacerse asignaciones adicionales en ellos. Si tanto el renglón como la columna dan 0 de manera

simultánea, tache sólo uno de ellos y deje una oferta o demanda de 0 en el renglón o columna

no tachado.

Paso 3. Si queda sin tachar un renglón o una columna, deténgase; de lo contrario, avance

al siguiente cuadro con el costo más bajo por unidad de la tabla no tachada. Regrese al paso 1.

Método del costo menor. Se concen-tra en las rutas económicas. Asigna el costo más bajo a cada unidad y después se ajusta la cantidad de la oferta y la demanda.

Para este tema, retomaremos el ejercicio que se trabajó en la sección anterior (método de la esquina noroeste). Tenemos 3 granjas (A, B, C), con una oferta de 120, 130 y 250 pollos, respectivamente, que deben cu-

brir la demanda de 3 rosticerías (1, 2, 3), que es de 150, 130 y 220 pollos.


A 10 15 18 120

B 1 5 3 130

C 7 11 9 250


Paso 1. Asígnele tanto como sea posible al cuadro con el menor costo unitario de toda la tabla y ajuste las cantidades asociadas de oferta y demanda mediante la resta de la cantidad asignada.


A 10 15 18 120

B 1 5 3 130

C 7 11 9 250

Demanda (pollos) 150 130 220 500 – 130 = 370

3

Costos de envío de pollos de las granjas a las rosticerías

Ejemplo: de la granja B a la rosticería 2, el costo de envío por pollo es de 5 pesos

Nota: La oferta no puede ser mayor que la demanda



Paso 2. Tache el renglón o la columna con 0 oferta o demanda para indicar que no pueden hacerse asig-naciones adicionales en ellos. Si tanto el renglón como la columna dan 0 de manera simultánea, tache sólo uno de ellos y deje una oferta o demanda de 0 en el renglón o columna no tachados.


A 10 15 18 120

B 1 130 5 3 130 – 130 = 0

C 7 11 9 250

Demanda (pollos) 150 – 130 = 20 130 220 500 – 130 = 370


A 10 15 18 120

B 1 130 5 3 0

C 7 20 11 9 250 – 20 = 230

Demanda (pollos) 20 – 20 = 0 130 220 370 – 20 = 350


A 10 15 18 120

B 1 130 5 3 0

C 7 20 11 9 220 230 – 220 = 10

Demanda (pollos) 0 130 220 – 220 = 0 350 – 220 = 130


A 10 15 18 120

B 1 130 5 3 0

C 7 20 11 10 9 220 10 – 10 = 0

Demanda (pollos) 0 130 – 10 = 120 0 130 – 10 = 120

Se tacha porque se satisface la demanda de la rosticería 1

Siguiente costo más bajo, se le asigna lo que pide la rosticería 3 (220) quedando aún 10 pollos por colocar de la granja C

Siguiente costo más bajo

Tomar en cuenta que la rosticería pide aún 20 pollos que va a satisfacer la granja C


Se tacha porque satisface la demanda de la rosticería 3

Siguiente costo más bajo sólo se le asigna 10 pollos ya que la granja C sólo dispone de 10 y la rosticería 2 aún requiere 10 pollos




Paso 3. Si queda sin tachar un renglón o una columna, deténgase; de lo contrario, avance al siguiente cuadro con el costo más bajo por unidad de la tabla no tachada. Regrese al paso 1.


A 10 15 120 18 120 – 120 = 0

B 11 130 5 3 0

C 7 20 11 10 9 220 0

Demanda (pollos) 0 120 – 120 = 0 0 120 – 120 = 0

El costo total por el envío de los pollos es:

Min Z = 1 (130) + 7 (20) + 9 (220) + 11 (10) + 15 (120) = 4 160

Observe que el costo es mayor que en caso del método de la esquina noroeste, lo cual demuestra que no siempre este método es mejor.

Último costo más bajo se le asigna el total de pollos disponibles de la granja A

Note que tanto la demanda como la oferta quedaron satisfechas

Tres fábricas de calzado (1, 2, 3) con una oferta de 15, 25 y 10 mil pares de zapatos, respectivamente, deben cubrir los pedidos de 4 tiendas (A, B, C, D), cuyas demandas ascienden a 5, 15, 15 y 15 mil pares de zapatos cada una.

Elabore el modelo de programación lineal correspondiente y determine cuántos pares de zapatos se van a enviar desde las fábricas (1, 2, 3) a cada una de las tiendas (A, B, C, D).

Fábrica Tienda A B C D Oferta (miles)

1 10 2 15 20 11 15 – 15 = 0

2 12 7 9 20 25

3 4 14 16 18 10

Demanda 5 15 15 15 50 – 15 = 35


1 10 2 15 20 11 0

2 12 7 9 20 25

3 4 5 14 16 18 10 – 5 = 5

Demanda 5 – 5 = 0 0 15 15 35 – 5 = 30

Se elimina porque se abastece la demanda de la columna A.

4

La oferta de la fila 1 llega al límite




1 10 2 15 20 11 15 – 15 = 0

2 12 7 0 9 20 25

3 4 5 14 16 18 10

Demanda 0 15 – 15 = 0 15 15 30

Se elimina porque se abastece la demanda de la columna B

Cabe que recordar que no se puede eliminar al mismo tiempo una fila y una columna, por eso se otorga 0 a B2 (note que no se eliminó desde la primera tabla)


1 10 2 15 20 11 0

2 12 7 0 9 15 20 25 – 15 = 10

3 4 5 14 16 18 10 – 5 = 5

Demanda 0 0 15 – 15 = 0 15 30 – 15 = 15

Se elimina porque se abastece la demanda de la fila C


1 10 2 15 20 11 10 15 – 15 = 0

2 12 7 9 15 20 25 – 15 = 10

3 4 5 14 16 18 5 5 – 5 = 0

Demanda 0 0 0 15 – 5 = 10 15 – 5 = 10

La oferta de la fila 3 llega al límite


1 10 2 15 20 11 10 0

2 12 7 0 9 15 20 10 – 10 = 0

3 4 5 14 16 18 5 0

Demanda 0 0 0 10 – 10 = 0 10 – 10 = 0

Se abastece la demanda de la columna D

Nota: En este punto se llega al abastecimiento de la demanda y se agota la oferta, lo que da como resultado:

Llega al límite La oferta de la fila 3




1 10 2 15 20 11 10 0

2 12 7 0 9 15 20 0

3 4 5 14 16 18 5 0

Demanda 0 0 0 0 0

En este ejemplo la solución óptima es:

En este caso, para optimizar los costos de envío, de la fábrica 1 se deben enviar 15 000 pares de zapa-tos a la tienda B y 10 000 pares a la tienda D; de la fábrica 2, 15 000 pares a la tienda C y, por último, 5 000 pares de la fábrica 3 a la tienda A y 5 000 a la tienda D.

Los costos de envío son:

Min Z = 2(15) + 4(5) + 7(0) + 9(15) + 5(18) + 20(10) = $ 475 000� El costo de envío será de $ 475 000.

3.1.3 Método Vogel

Este método es una versión mejorada del de costo menor que, por lo regular, produce mejores

soluciones iniciales.

Pasos para aplicar el método de VogelA continuación detallamos los pasos a seguir para aplicar este método:

Paso 1. En el caso de cada renglón o columna con una oferta o una demanda estrictamente

positiva, determine una medida de penalidad restando el elemento del costo por unidad más

bajo del renglón o columna del siguiente elemento de menor costo.

Paso 2. Identifique el renglón o columna con penalidad más grande y asígnele tanto como

sea posible a la variable con el costo más bajo, ajuste la oferta y demanda y tache el renglón o

columna satisfechos; si se satisfacen de manera simultánea un renglón y una columna, sólo se

tacha uno de ellos.

Paso 3. Si queda un renglón o una columna sin tachar con 0 oferta y 0 demanda, deténgase. Si

queda sin tachar un renglón o una columna con una oferta o demanda positiva, precise las variables

básicas del renglón o columna por el método del costo menor; de lo contrario, regrese al paso 1.

Para explicar este tema se retomarán los ejercicios que se trabajaron en las dos secciones anteriores (mé-todo de la esquina noroeste y método del costo menor) para, al final, poder hacer una comparación entre los métodos que se utilizaron.

Tres granjas de pollos (A, B, C), con una oferta de 120, 130 y 250, respectivamente, deben cubrir la demanda de 3 rosticerías (1, 2, 3) que es de 150, 130 y 220 pollos.

Granjas Rosticería 1 2 3 Oferta pollos

A 10 15 18 120

B 1 5 3 130

C 7 11 9 250


5

Costos de envío de pollos de las granjas a las rosticerías



Costos más bajos por renglón y columna

Paso 1. En el caso de cada renglón o columna con una oferta o una demanda estrictamente positiva, establezca una medida de penalidad mediante la resta del elemento de menor costo unitario del renglón o columna del siguiente elemento de costo más bajo.

Granjas Rosticería 1 2 3 Oferta (pollos) Penalidad 1

A 10 15 18 120 15 – 10 = 5

B 1 5 3 130 3 – 1 = 2

C 7 11 9 250 9 – 7 = 2


Penalidad 1 7 – 1 = 6 11 – 5 = 6 9 – 3 = 6

Paso 2. Identifique el renglón o columna con penalidad más grande y asígnele tanto como sea posible a la variable con el costo más bajo. Ajuste la oferta y demanda y tache el renglón o columna satisfechos; si se satisfacen de manera simultánea un renglón y una columna, sólo se tacha uno de ellos.

En esta tabla se puede observar que la mayor penalidad es 6 en 3 diferentes lugares; por ello, debemos elegir sólo una de las tres posibilidades y buscar el costo menor de estas tres.

Se elige esta columna pues el costo menor elegido es 1, mientrasque los demás son 5 y 3, aunque las penalidades sean 6


A 10 15 18 120 15 – 10 = 5

B 1 5 3 130 3 – 1 = 2

C 7 11 9 250 9 – 7 = 2


Penalidad 1 7 – 1 = 6 11 – 5 = 6 9 – 3 = 6

Después de elegir el costo menor (1), se le asigna lo más que se pueda al renglón elegido (B); en este caso, 130 de los 150 pollos que se piden.


A 10 15 18 120 15 – 10 = 5

B 1 130 5 3 130 3 – 1 = 2

C 7 11 9 250 9 – 7 = 2


Penalidad 1 7 – 1 = 6 11 – 5 = 6 9 – 3 = 6



Ya asignada la cantidad de 130, se ajustan las cantidades de oferta y demanda como se muestra a continuación.


A 10 15 18 120 15 – 10 = 5

B 1 130 5 3 130 – 130 = 0 3 – 1 = 2

C 7 11 9 250 9 – 7 = 2

Demanda (pollos) 150 – 130 = 20 130 220 380

Penalidad 1 7 – 1 = 6 11 – 5 = 6 9 – 3 = 6

Luego, se tachan los renglones o columnas satisfechos con cero oferta o cero demanda.


A 10 15 18 120 15 – 10 = 5

B 1 130 5 3 130 – 130 = 0 3 – 1 = 2

C 7 11 9 250 9 – 7 = 2

Demanda (pollos) 150 – 130 = 20 130 220 380

Penalidad 1 7 – 1 = 6 11 – 5 = 6 9 – 3 = 6

La siguiente etapa implica regresar al paso 1 y encontrar otra penalidad (penalidad 2) mediante la resta de los dos valores más pequeños por renglón y por columna.


A 10 15 18 120 15 – 10 = 5

B 1 130 5 3 130 – 130 = 0

C 7 11 9 250 9 – 7 = 2

Demanda (pollos) 150 – 130 = 20 130 220 380

Penalidad 2 10 – 7 = 3 15 – 11 = 4 18 – 9 = 9

Ahora se elige esta columna puesto que es la penalidad más grande



Una vez que se eligió la columna, se asigna al valor más pequeño lo más que se pueda.

Valor más pequeño de la columna no tachado


A 10 15 18 120 15 – 10 = 5

B 1 130 5 3 130 – 130 = 0

C 7 11 9 250 9 – 7 = 2

Demanda (pollos) 150 – 130 = 20 130 220 380

Penalidad 2 10 – 7 = 3 15 – 11 = 4 18 – 9 = 9

Al cuadro elegido se le asignan 220 pues la oferta es de 250.


A 10 15 18 120 15 – 10 = 5

B 1 130 5 3 130 – 130 = 0

C 7 11 9 220 250 9 – 7 = 2

Demanda (pollos) 150 – 130 = 20 130 220 380

Penalidad 2 10 – 7 = 3 15 – 11 = 4 18 – 9 = 9

Luego de asignar la cantidad de 220, se ajustan las cantidades de oferta y demanda como se muestra a continuación.


A 10 15 18 120 15 – 10 = 5

B 1 130 5 3 130 – 130 = 0

C 7 11 9 220 250 – 220 = 30 9 – 7 = 2

Demanda (pollos) 150 – 130 = 20 130 220 – 220 = 0 380

Penalidad 2 10 – 7 = 3 15 – 11 = 4 18 – 9 = 9





A 10 15 18 120 15 – 10 = 5

B 1 130 5 3 130 – 130 = 0

C 7 11 9 220 250 – 220 = 30 9 – 7 = 2

Demanda (pollos) 150 – 130 = 20 130 220 – 220 = 0 380

Penalidad 2 10 – 7 = 3 15 – 11 = 4 18 – 9 = 9

La siguiente etapa exige regresar al paso 1 y encontrar otra penalidad (penalidad 3) mediante la resta de los dos valores más pequeños por renglón y por columna.


A 10 15 18 120 15 – 10 = 5

B 1 13 5 3 130 – 130 = 0

C 7 11 9 220 250 – 220 = 30 9 – 7 = 2

Demanda (pollos) 150 – 130 = 20 130 220 – 220 = 0 380

Penalidad 3 10 – 7 = 3 15 – 11 = 4

Si se eligió la columna, se asigna al valor más pequeño lo más que se pueda.


A 10 15 18 120 15 – 10 = 5

B 1 130 5 3 130 – 130 = 0

C 7 11 9 220 250 – 220 = 30 11 – 7 = 4

Demanda (pollos) 150 – 130 = 20 130 220 – 220 = 0 380

Penalidad 3 10 – 7 = 3 15 – 11 = 4

Ahora se elige este renglón, puesto que es la penalidad más grande



Si se eligió el renglón, se asigna al valor más pequeño lo más que se pueda.

Valor más pequeño del renglón no tachado


A 10 15 18 120 15 – 10 = 5

B 1 130 5 3 130 – 130 = 0

C 7 11 9 220 250 – 220 = 30 11 – 7 = 4

Demanda (pollos) 150 – 130 = 20 130 220 – 220 = 0 380

Penalidad 3 10 – 7 = 3 15 – 11 = 4

Al cuadro elegido se le asignan 20 pollos pues es lo último que se pide aunque A ofrezca aún 120 pollos.


A 10 20 15 18 120 15 – 10 = 5

B 1 130 5 3 130 – 130 = 0

C 7 11 9 220 250 – 220 = 30 11 – 7 = 4

Demanda (pollos) 150 – 130 = 20 130 220 – 220 = 0 380

Penalidad 3 10 – 7 = 3 15 – 11 = 4



A 10 15 18 120 – 20 = 100 15 – 10 = 5

B 1 130 5 3 130 – 130 = 0

C 7 11 9 220 250 – 220 = 30 11 – 7 = 4

Demanda (pollos)150 – 130 = 20

20 – 20 = 0130 220 – 220 = 0 380

Penalidad 3 10 – 7 = 3 15 – 11 = 4



De inmediato se regresa al paso 1, pero como ya sólo queda una columna no tachada se continúa el proceso por medio del método del costo menor.


A 10 15 18 120 – 20 = 100

B 1 130 5 3 130 – 130 = 0

C 7 11 9 220 250 – 220 = 30


20 – 20 = 0130 220 – 220 = 0 380

Columna no tachada que se resuelve por medio del método de costo menor

El método de costo menor establece que se debe elegir el costo más pequeño de entre todos los ele-mentos. En este caso se elige el costo menor de la columna no tachada.


A 10 15 18 120 – 20 = 100

B 1 130 5 3 130 – 130 = 0

C 7 11 9 220 250 – 220 = 30


20 – 20 = 0130 220 – 220 = 0 380

Se elige este cuadro

Se le asigna lo más que se pueda al cuadro elegido, en este caso, 30 pollos, con lo cual el cuadro queda de la siguiente forma.


A 10 15 18 120 – 20 = 100

B 1 130 5 3 130 – 130 = 0

C 7 11 9 220 250 – 220 = 30


20 – 20 = 0130 220 – 220 = 0 380


533.2 Método de cruce de arroyo o de piedra rodante

En seguida se tachan los renglones o columnas satisfechos con cero oferta o cero demanda.


A 10 20 15 18 120 – 20 = 100

B 1 130 5 3 130 – 130 = 0

C 7 11 30 9 220250 – 220 = 30

20 – 20 = 0


20 – 20 = 0130 – 30 = 100 220 – 220 = 0 380

Por último, se asignan 100 pollos al cuadro final no tachado y se ajustan las ofertas y demandas corres-pondientes.


A 10 20 15 100 18120 – 20 = 100100 – 100 = 0

B 1 130 5 3 130 – 130 = 0

C 7 11 30 9 220250 – 220 = 30

30 – 30 = 0


20 – 20 = 0130 – 30 = 100100 – 100 = 0

220 – 220 = 0 380

Como ya todo está asignado, la solución lineal a este problema es:

Min Z = 10 (20) + 1 (130) + 15 (100) + 11 (30) + 9 (220) = 4 140

En el problema de los modelos anteriores (modelos de la esquina noroeste, del costo me-

nor y modelo de Vogel, respectivamente) se manejó el mismo ejemplo para poder hacer una

comparación entre estos tres métodos y, como puede observarse, ninguno de ellos es cien por

ciento seguro ya que tendría que hacerse una comprobación previa antes de poder tomar una

decisión.


El método de cruce de arroyo o de piedra rodante recibe su nombre debido

a que los primeros en utilizarlo le denominaban “celda de piedra” a las celdas

con asignación a las cuales se desea hacer una asignación; en este método es

necesario encontrar un procedimiento de reasignación, pues se debe pisar sólo

en las celdas de piedra, no en las de agua, es decir, pisar sólo donde es posible

apoyarse.

Método de cruce de arroyo. Método a través del cual debe encontrarse un procedimiento de reasignación en el que sólo se pisen las celdas de piedra y ninguna de agua pues, en estas últimas, no es posible apoyarse.



Pasos para resolver el método de arroyo

A continuación explicaremos cuáles son los pasos que se deben seguir para aplicar este método:

Paso 1. Calcule el índice de mejoramiento (IMij), de cada celda vacía hasta que encuentre

una trayectoria cerrada que comience en dicha celda y continúe alternativamente sobre las

celdas llenas, es decir, con valor asignado, de forma horizontal y/o vertical. El IMij se calcula

mediante la suma y resta de manera alternativa de los costos de las celdas sobre la trayectoria.

Paso 2. Si todos los IMij calculados son mayores o iguales a cero, el procedimiento finaliza y

se dice que la solución actual es la óptima, en caso contrario, donde exista algún valor negativo,

indicará que hay una mejor solución a la que aquí se presenta.

Elija la variable de entrada correspondiente al menor (IMij) y la variable de salida que

corresponda a la casilla de menor valor asignado en la trayectoria y que se reste y sume de los

demás según sea el caso en el cálculo de IMij. Sea k el valor de dicha casilla.

Asigne a la casilla de entrada k unidades y recalcule de nueva cuenta los valores de las casi-

llas sobre la trayectoria.

Paso 3. Elija la variable de entrada correspondiente a la menor (IMij) y la variable de salida

que corresponda a la casilla de menor valor asignado y que se reste en el cálculo del IMij. Sea k

el valor de dicha casilla.

Paso 4. De acuerdo con el costo más bajo que eligió en el paso anterior, asigne la cantidad que

tiene la celda a la variable de entrada y, por lo tanto, reasigne los valores de manera que queden

con los totales que la tabla exige. Regrese al paso 1.

Con los datos del problema que se incluyen en la tabla siguiente, determine la solución óptima.

Origen 1 2 3 Oferta

A 5 10 10 55

B 20 30 20 80

C 10 20 30 75

Demanda 70 100 40

En este caso aplicaremos el método del costo mínimo para asignar los valores a la tabla, de lo cual resulta:

Origen D1 D2 D3 Oferta

s1

555 10 10 55

s2 2030

4020

40 80

s3

1015

2060

30 75

Demanda 70 100 40

Z = (5)(55) + (30)(40) + (20)(40) + (10)(15) + (20)(60) = 3 625

Paso 1. Para hallar la trayectoria que debe seguir la celda vacía S1, D2, debe buscarse la opción que permita pasar por celdas llenas, que puede ser: pasar primero por (S1, D1), después ir hasta la siguiente celda llena que nos dé dirección diferente, es decir (S3, D1). La siguiente celda llena es (S3, D2) y, por último, la celda para cerrar la trayectoria es (S2, D2). Cabe destacar que no importa el orden en que hayamos encontrado la trayectoria, pues bien podríamos haber iniciado en (S2, D2), después continuar en (S3, D1) y terminar en S1, D1.

1



Recuerde que, para conocer los índices de mejoramiento nos debemos enfocar en los costos, no en las cantidades que hemos asignado a cada una de las celdas.


s1

555

10Inicio 10 55

s2 2030

4020

40 80

s3

1015

2060

30 75

Demanda 70 100 40

Nota: Las flechas indican la trayectoria que debe seguirse para asignar nuevos valores. La flecha roja especi-fica dónde comienza la trayectoria.

El índice de mejoramiento (IM) de las celdas S1 y D2.

IM12 = 10 – 5 + 10 – 20 = – 5

La trayectoria que debe seguirse para la celda vacía S1, D3 es (S1, D3); (S2, D3); (S2, D2); (S3, D2); (S3, D1) y (S1, D1). Como podemos observar, en esta ocasión, la trayectoria tuvo que pasar por todas las celdas llenas que, a veces, se encuentran con esta ruta.


s1

555

1010

Inicio 55

s2 2030

4020

40 80

s3

1015

2060

30 75

Demanda 70 100 40

En consecuencia, el IM quedaría como sigue:

IM13 = 10 – 20 + 30 – 20 + 10 – 5 = 5

La trayectoria para la próxima celda vacía (S2, D1) sería:(S2, D1); (S2, D2); (S3, D2) y (S3, D1).


s1

555

10 10 55

s2

20Inicio

3040

2040 80

s3

1015

2060

30 75

Demanda 70 100 40

Note la trayectoria de la celda (S1, D2)





Por lo tanto, el índice de mejoramiento es:

IM21 = 20 – 30 + 20 – 10 = 0

La trayectoria para la siguiente celda vacía y última (S3, D3) quedaría así: (S3, D3); (S3, D2); (S2, D2) y (S2, D3).


s1

555

10 10 55

s2 2030

4020

40 80

s3

1015

2060

30Inicio

75

Demanda 70 100 40

Con ello, el IM sería:

IM33 = 30 – 20 + 30 – 20 = 20

Reuniendo todos los IMij se tiene lo siguiente:

IM12 = 10 – 5 + 10 – 20 = –5 note que el valor es negativoIM13 = 10 – 20 + 30 – 20 + 10 – 5 = 5IM21 = 20 – 30 + 20 – 10 = 0IM33 = 30 – 20 + 30 – 20 = 20

Paso 2. Como en este caso IM12 es negativo, tendremos que reasignar valores a las celdas con el objetivo de conseguir que, en el siguiente cálculo, ningún valor sea negativo.

Paso 3. Elija la variable de entrada que es la correspondiente a la menor (IMij) y la variable de salida que corresponda a la casilla de menor valor asignado y que se reste en el cálculo del IMij.

Sea k el valor de dicha casilla.En este caso, la variable de entrada es donde está la celda (S1, D2) que elegimos debido a que ahí se

encuentra el índice negativo. Recordemos la trayectoria que seguía esta celda vacía.


s155 5 Inicio 10 10 55

s220 40 30 40 20 80

s3

15

10 60 20 30 75

70 100 40

Los costos de la trayectoria de esta celda son: 10, 5, 10 y 20. Como corresponde, tomaremos el costo más bajo de la trayectoria, es decir, 5.

Celda vacía a la cual reasignaremos un nuevo valor por tener un índice de mejoramiento negativo

Costo más bajo que sigue la trayectoria



Paso 4. En este caso, el costo más bajo es 5, por lo cual debemos asignar la cantidad que tiene esta celda (55) a la variable de entrada y, por lo tanto, reasignar los valores de manera que queden con los totales que la tabla exige. La nueva tabla queda como se presenta a continuación:


s1 510

0 + 5510 55

s2 2030

4020

40 80

s3

1015

2060

30 75

Demanda 70 100 40

Nota: Recordemos que reasignamos el 55 a la celda vacía porque ésta tenía un valor negativo en su índice de mejoramiento y que reacomodamos los valores de la tabla de tal modo que cada columna y fila quedaran satisfe-chas con el valor asignado. Para reasignar los valores con los que quedará la tabla para satisfacer los requisitos de la tabla total, sólo debemos mover los valores sobre los cuales se movió la trayectoria y todos los demás por los que no pasaba permanecerán iguales.

Es por eso que a la celda (S3, D1), que al inicio tenía un valor de 15, al reasignarle el valor de 55 para satisfacer la columna, debemos sumarle 15 + 55 = 70. La celda (S3, D2) también debe ser reasignada y, por esa razón, debemos restar los 55 que reubicamos, de lo cual resulta: 60 – 55 = 5.


s1

555 – 55

100 + 55

10 55

s2 2030

4020

40 80

s3

1015 + 55

2060 – 55

30 75

Demanda 70 100 40

Observe que los valores de la tabla, tanto de la oferta como de la demanda, quedan satisfechos. Ahora, la nueva tabla quedaría de la siguiente forma:


s1

50

1055

10 55

s2 2030

4020

40 80

s3

1070

205

30 75

Demanda 70 100 40

Para obtener de nueva cuenta el costo total del problema se debe realizar la siguiente operación:

Z = (55)(10) + (40)(30) + (5)(20) + (70)(10) + (40)(20) = 3 350

Observemos cómo el valor que tenía la celda de menor costo cambió a la celda donde teníamos un índice de mejoramiento negativo sumándolo



Luego, de regreso al paso 1, calculamos nuevamente los índices de las variables:

IM11 = 5 – 10 + 20 – 10 = 5IM13 = 10 – 10 + 30 – 20 = 10IM21 = 20 – 30 + 20 – 10 = 0IM33 = 30 – 20 + 30 – 20 = 20

Como en este caso no obtuvimos ningún valor negativo, el resultado final nos indica que el valor de Z es 3 350.

Cuando existe un 0 en los índices de mejoramiento, eso indica que hay otra solución factible

Con los datos relativos al problema de transporte elaboramos la siguiente tabla:


s1

$8.00 $6.00 $10.00125

s2

$4.00 $9.00 $8.00150

s3

$7.00 $6.00 $5.00 95

Demanda 110 85 175

En este caso utilizaremos el método de costo mínimo para asignar valores a la tabla, que quedará así:


s1

8 685

1040

125

s2

4110

9 840

150

s3

7 6 595

95

Demanda 110 85 175

Z = (85)(6) + (40)(10) + (110)(4) + (40)(8) + (95)(5) = 2 145


s1

8Inicio

685

1040

125

s2

4110

9 840

150

s3

7 6 595

95

Demanda 110 85 175

2



El índice de mejoramiento de la celda vacía S1, D1:

IM11 = 8 – 10 + 8 – 4 = 2


s1

8 685

1040

125

s2

4110

9Inicio

840

150

s3

7 6 595

95

Demanda 110 85 175

IM22 = 9 – 8 + 10 – 6 = 4


s1

8 685

1040

125

s2

4110

9 840

150

s3

7Inicio

6 595

95

Demanda 110 85 175

IM31= 7 – 4 + 8 – 5 = 6


s1

8 685

1040

125

s2

4110

9 840

150

s3

7 6Inicio

595

95

Demanda 110 85 175

IM32 = 6 – 6 + 10 – 5 = 5

En este caso, ninguno de los índices de mejora muestra valores negativos; por lo tanto, la solución ópti-ma indica que Z tiene un valor de 2 145.



Una cervecería cuenta con 3 plantas de embotellamiento de marcas genéricas, desde las cuales se distribu-ye el producto a 5 bodegas. La siguiente tabla sintetiza los costos de distribución, las capacidades mensua-les de las plantas y las necesidades de cada bodega expresadas todas ellas en cientos de cajas.

Bodega

Planta 1 2 3 4 5Capacidad mensual

1 $20.00 $35.00 $30.00 $40.00 $42.00 400

2 $45.00 $30.00 $42.00 $36.00 $38.00 350

3 $38.00 $40.00 $36.00 $35.00 $50.00 450

Necesidadmensual

150 300 200 250 175

Se puede observar que, en este ejercicio, las cantidades de la demanda y la oferta no son iguales; por lo tanto, debemos igualarlas. Para hacerlo, añadiremos otra columna antes de los valores finales con la can-tidad que hace falta, que en este caso es 125.

Agregando la bodega ficticia, queda de la siguiente forma:

Bodega

Planta 1 2 3 4 5 FicticiaCapacidad mensual

1 20 35 30 40 42 400

2 45 30 42 36 38 350

3 38 40 36 35 50 450

Necesidadmensual

150 300 200 250 175 125

Después de resolver el problema se tiene la siguiente solución inicial:

Bodega


120

15035 30

20040 42

500

400

245 30

30042 36 38

500

350

338 40 36 35

25050

750

125450

Necesidadmensual

150 300 200 250 175 125

Z = (150)(20) + (300)(30) + (200)(30) + (50)(42) + (50)(38) + (75)(50) + (250)(35) = 34 500

3


613.3 Modelo de asignación

Luego de equilibrar los valores, procederemos a asignar valores a la tabla. Al final, insertaremos la co-lumna de la bodega ficticia para equilibrar la tabla.

A continuación debemos calcular los índices de mejoramiento de cada una de las celdas vacías que son:

IM12 = 35 – 42 + 38 – 30 = 1IM14 = 40 – 42 + 50 – 35 = 13IM21 = 45 – 20 + 42 – 38 = 29IM23 = 42 – 30 + 42 – 38 = 16IM24 = 36 – 38 + 50 – 35 = 13IM31 = 38 – 20 + 42 – 50 = 10IM32 = 40 – 30 + 38 – 50 = –2IM33 = 36 – 30 + 42 – 50 = –2

Como aparecieron valores negativos, es necesario reasignar valores a la tabla mediante el método de asignación.

Bodega


120

15035 30

20040 42

500

400

245 30

22542 36 38

1250

350

338 40

7536 35

25050 0

125450

Necesidadmensual

150 300 200 250 175 125

Z = (150)(20) + (200)(30) + (50)(42) + (225)(30) + (125)(38) + (75)(40) + (250)(35) = 34 350

A continuación debemos calcular los índices de mejoramiento de cada celda vacía, que son:

IM12 = 35 – 42 + 38 – 30 = 1IM14 = 40 – 35 + 40 – 30 + 38 – 42 = 11IM21 = 45 – 20 + 42 – 38 = 29IM23 = 42 – 30 + 42 – 38 = 16IM24 = 36 – 35 + 40 – 30 = 11IM31 = 38 – 20 + 42 – 38 + 30 – 40 = 12IM33 = 36 – 40 + 30 – 38 + 42 – 30 = 0IM35 = 50 – 38 + 30 – 40 = 2

Observe que existe otra opción óptima para resolver este problema, pero la solución que acabamos de hallar también satisface todos los lineamientos que se requerían.


El modelo de asignación es un caso especial del de transporte en donde cada

fuente (origen) tiene una oferta de uno, y cada destino, una demanda unitaria.

Son problemas en donde a m elementos (por ejemplo, vendedores) se les debe

asignar a n destinos.

Modelo de asignación. Modelo en el que cada fuente y cada destino poseen una demanda unitaria.



Aunque este tipo de problemas podría resolverse con el método de transporte, existe uno

más eficiente, al que se conoce como método húngaro.

Pasos para aplicar el método húngaro

A continuación presentamos los pasos para aplicar este método:

Paso 1. Con base en la tabla original de costos, desarrolle otra tabla para reducir cada fila

restándole el menor valor de ésta.

Paso 2. De la tabla que encontró en el paso anterior, reduzca ahora cada columna, restán-

dole el menor elemento.

Paso 3. De la tabla que desarrolló en el paso 2, elimine todos los ceros cruzándolos con el

menor número de líneas horizontales o verticales.

Si el menor número de líneas que trazó es igual a m, el problema queda resuelto y se proce-

de a la asignación, que debe hacerse empleando sólo celdas en cero. Si el número de líneas que

trazó en este paso es menor que m, réstele el menor elemento no cubierto por una línea a todos

los elementos que no fueron eliminados por una línea; luego, súmeselo a todos los elementos

que se encuentran en una intersección de dos líneas. Los demás elementos quedan igual. Con

la tabla así formada, se vuelve al inicio de este paso.

El proceso concluye cuando el menor número de líneas que trazó, que cubran todos los

ceros, sea igual a m.

Cuatro vendedores (A, B, C, D), deben asignarse a cuatro destinos (1, 2, 3, 4). Los costos de la asignación aparecen en la tabla que a continuación se presenta:

DestinosVendedores

1 2 3 4

A 16 7 10 9

B 4 14 8 7

C 9 10 5 11

D 4 6 8 12

Paso 1. Haga la resta del menor costo por fila.

DestinosVendedores

1 2 3 4

A 16 7 10 9

B 4 14 8 7

C 9 10 5 11

D 4 6 8 12

Nota: Los valores menores de cada fila aparecen en gris.

3 1



DestinosVendedores

1 2 3 4

A 16 – 7 = 9 7 – 7 = 0 10 – 7 = 3 9 – 7 = 2

B 4 – 4 = 0 14 – 4 = 10 8 – 4 = 4 7 – 4 = 3

C 9 – 5 = 4 10 – 5 = 5 5 – 5 = 0 11 – 5 = 6

D 4 – 4 = 0 6 – 4 = 2 8 – 4 = 4 12 – 4 = 8

El resultado es el siguiente:

DestinosVendedores

1 2 3 4

A 9 0 3 2

B 0 10 4 3

C 4 5 0 6

D 0 2 4 8

Paso 2. Reste el menor costo por columna.

DestinosVendedores

1 2 3 4

A 9 0 3 2

B 0 10 4 3

C 4 5 0 6

D 0 2 4 8

Nota: Como el costo menor en cada columna es 0, sólo se procederá a restar donde no tenga cero dicha colum-na; en este caso, sería la 4:

DestinosVendedores

1 2 3 4

A 9 0 3 0

B 0 10 4 1

C 4 5 0 4

D 0 2 4 6



Paso 3. Elimine todos los ceros de la tabla que desarrolló cruzándolos con el menor número de líneas horizontales o verticales.

DestinosVendedores

1 2 3 4

A 9 0 3 0

B 0 10 4 1

C 4 5 0 4

D 0 2 4 6

Como el número de líneas no es igual a m (4 vendedores), debe restarse el menor costo no cubierto por una línea y luego sumarlo a las intersecciones de las líneas, luego de lo cual el cuadro queda como sigue:

DestinosVendedores

1 2 3 4

A 9 + 1 = 10 0 3 + 1 = 4 0

B 0 10 – 1 = 9 4 1 – 1 = 0

C 4 5 – 1 = 4 0 4 – 1 = 3

D 0 2 – 1 = 1 4 6 – 1 = 5

Nota: En este caso, el costo menor no cubierto por ninguna línea es el número 1 ubicado en B,4; como se men-cionó, se suma dicho número en donde hay intersección y a los números que no fueron cubiertos por las líneas se les restará el costo menor.

El resultado es el siguiente. Cabe recordar que debe procederse a trazar las líneas en donde hay ceros.

DestinosVendedores

1 2 3 4

A 10 0 4 0

B 0 9 4 0

C 4 4 0 3

D 0 1 4 5

En este caso, como el número de filas es igual a m (4), debe hacerse la asignación:

DestinosVendedores

1 2 3 4

A 10 0 4 0

B 0 9 4 0

C 4 4 0 3

D 0 1 4 5


65Actividades de la unidad III

La asignación quedaría así: el vendedor A se dirige al destino 2 con un costo de 7 (que es el valor inicial de la primera tabla), el B al punto de arribo 4 con un costo de 7, el C al 3 con un costo de 5 y el vendedor D va al destino 1 con un costo de 4.

DestinosVendedores

1 2 3 4

A 16 7 10 9

B 4 14 8 7

C 9 10 5 11

D 4 6 8 12

Luego de sumar los costos de cada vendedor en relación con cada uno de los destinos se obtiene:

7 + 7 + 5 + 4 = 23

1. Una empresa que fabrica automóviles cuenta con 3 plantas de producción, una en Toluca, otra en Coahui-la y otra en San Luis Potosí. Sus centros de distribución principales están ubicados en las ciudades de México y Monterrey. Las capacidades de las tres plantas durante el trimestre próximo son de 5 000, 4 500 y 3 200 automóviles. Las demandas trimestrales en los dos centros de distribución son de 7 300 y 5 400 vehículos, respectivamente. El envío de automóviles se realiza por vía férrea con un costo aproximado de 8 centavos por cada 2 000 km. El diagrama de la distancia que existe entre las plantas y los centros de distribución es el siguiente:

Ciudad de México Monterrey

Toluca 75 km 875 km

Coahuila 993 km 348 km

San Luis Potosí 407 km 501.2 km

a) Elabore la tabla de costosb) Formule el modelo de acuerdo a la estructura general de la programación lineal.c) Encuentre la solución mediante los métodos de costo menor y de Vogel.d) Explique cuál de los dos métodos es mejor.

2. Encuentre la solución inicial mediante cualquiera de los métodos que se expusieron en el capítulo (es-quina noroeste, costo menor y Vogel) y utilice el método de cruce del arroyo para encontrar la solución óptima del siguiente problema.

W X Y Z Oferta

A 10 1 9 11 600

B 12 14 20 20 100

C 2 7 16 18 140

Demanda 120 80 100 540



3. Utilizando el método húngaro encuentre la asignación óptima asociada de cada uno de los trabajos a cada una de las máquinas y calcule el costo final.

Máquina A B C

1 5 7 9

2 14 10 12

3 15 13 16


67

Modelos de optimización de redes

Unidad IV

Al finalizar el estudio de esta unidad, se espera que el lector sea capaz de: explicar qué entiende por red.

explicar qué es una ruta, nodo, arco, árbol, lazo.

resolver problemas mediante el algoritmo de Dijkstra.

resolver problemas mediante el algoritmo de Floyd.

resolver problemas mediante el algoritmo de flujo máximo.

resolver problemas mediante los métodos PERT y CPM

4.1 Modelos de redes

Una red consta de un conjunto de nodos unidos por arcos o ramas (véase figura 4.1). La nota-

ción para describir una red es (N, A) en donde N es el conjunto de nodos y A es el conjunto de

arcos.

Nodo Arco o rama

5

4

1

2

3

N = 1, 2, 3, 4, 5

A = (1, 3) (1, 2) (3, 5) (3, 4) (4, 5) (2, 3) (2, 4)

Figura 4.1 Representación de una red.


UNIDAD IV Modelos de optimización de redes68

¿Por qué el arco (3, 1) no está en el conjunto A? Porque se repetiría el arco puesto que el

(1, 3) sí existe.

En general, el flujo de una red está limitado por la capacidad de sus arcos, los cuales pue-

den ser finitos e infinitos.

Se dice que un arco está dirigido u orientado si permite un flujo positivo en una dirección

y un flujo 0 en la dirección opuesta; una red dirigida tiene todas las ramas orientadas.

Ruta

Una ruta es una secuencia de ramas distintas que unen a dos nodos sin que

importe la dirección del flujo de cada rama. Una ruta forma un lazo o ciclo si

conecta un nodo consigo mismo, como muestra la figura 4.2.

Figura 4.2 Lazo o ciclo.

En la figura anterior (2, 3) (3, 4) (4, 2) forman un ciclo.

Lazo dirigido

Un lazo dirigido o circuito es un círculo en el cual todas las ramas están orien-

tadas en la misma dirección.

Red conectadaUna red conectada es aquella en la cual dos nodos se encuentran unidos, por lo

menos, por una ruta.

ÁrbolesPor su parte, un árbol es una red conectada que puede incluir sólo un subcon-

junto de todos los nodos de la red, mientras que un árbol de expansión une

todos los nodos sin permitir ningún lazo entre ellos.

Si se observa la figura 4.1, se obtiene lo siguiente (véase figura 4.3):Figura

Figura 4.3 Representación de un árbol y de un árbol de expansión.

Ruta. Secuencia de ramas diferentes que enlazan dos nodos sin que importe la dirección del flujo de cada rama.

5

4

1

2

3

Lazo dirigido (circuito). Círculo en el que todas las ramas se orientan en la misma dirección. Red conectada. Es aquella en la cual dos nodos se encuentran unidos, por lo menos, por una ruta.Árbol. Red conectada que puede con-tener sólo un subconjunto de todos los nodos de la red.Árbol de expansión. El que une todos los nodos sin permitir ningún lazo.

2

3

Árbol Árbol de expansión

1

4

5

2

3

1

6


694.1 Modelos de redes

RedUna red es la representación gráfica de un proyecto; las actividades que se desa-

rrollan en ella se simbolizan mediante círculos (nodos), mientras que las rela-

ciones de secuencia entre actividades con segmentos dirigidos (aristas).

RutaUna ruta es una secuencia entre actividades en una red.

En el caso de la siguiente figura, determine el conjunto de N, A y determine una ruta, un árbol de expansión, un árbol y un lazo o circuito.

N = 1, 2, 3, 4, 5

A = (1, 2) (1, 3) (3, 4) (3, 5) (2, 5) (4, 5) (5, 1)

2

51

3 4

Ejemplo: Representación de una ruta

2

51

5

3

1

Rutas:1, 2, 51, 3, 5

3

5

1

Árbol:1, 2, 51, 3, 5, 21, 3, 5

Ciclos:1, 2, 5, 11, 3, 5, 11, 3, 4, 5, 1

51

3 4

Ejemplo: Representación de uno de los ciclos

Red. Representación gráfica de un proyecto.Ruta. Secuencia entre actividades que se desarrollan en una red.

4

3

5

1

2

Incluye todos los nodos de la red evitando ciclos



4.2 Algoritmo de la ruta más corta

El problema de la ruta más corta determina la distancia menor entre un punto de origen y un

punto de destino. En una red de transporte, dicho modelo también puede utilizarse para mo-

delar diferentes situaciones. Por ejemplo, existen dos algoritmos que se utilizan para resolver

las redes críticas y las acríticas:

• Dijkstra

• Floyd

El algoritmo de Dijkstra es útil para determinar la ruta más corta entre el nodo del punto

de origen y cada uno de los otros nodos de la red. Por otra parte, el algoritmo de Floyd es más

general porque permite determinar la ruta más corta entre cualquier par de nodos de la red.

Algoritmo de Dijkstra

Los cálculos del algoritmo de Dijkstra avanzan de un nodo i a un nodo siguiente j, por medio

de un procedimiento especial de clasificación. La clasificación de nodos de acuerdo con el al-

goritmo de Dijkstra se representa en dos formas:

• Temporales

• Permanentes

Una clasificación temporal puede ser remplazada por otra si se puede encontrar una ruta

más corta al mismo nodo. Si se llega al punto en el cual es evidente que no existe una ruta me-

jor, el estado temporal cambia a permanente.

Pasos para resolver el algoritmo de DijkstraPaso 1. Clasifique el nodo del punto de origen (nodo 1) en la clasificación permanente.

Paso 2. Calcule las clasificaciones temporales de cada nodo j al que puede llegarse desde el

nodo i, siempre y cuando j no esté clasificado como permanente.

Si el nodo j es temporal y el nuevo valor es menor que el que tenía, entonces se reemplaza

con el nuevo.

Paso 3. Si todos tienen clasificaciones permanentes, deténgase. De lo contrario, seleccione

la clasificación con la distancia más corta de entre todas las temporales.

3

4

60

Permanente = 30

15

Permanente = 15

10 50

Permanente = 10

20100

2

30 51ji j

j j

i = 1j = 2, 3dij = 30

Ruta: 1, 3, 4, 2Costo: 55

1

Algoritmo de Floyd

El algoritmo de Floyd es más general que el de Dijkstra ya que determina la ruta más corta en-

tre cualesquiera dos nodos de la red. Este algoritmo representa una red de N nodos como una

matriz cuadrada con N renglones y N columnas. La entrada (i, j) de la matriz de la distancia


714.4 CPM y PERT

dij del nodo i al nodo j, que es finito. Por su parte, i está elaborado directamente con j; de lo

contrario, es infinito.

4.3 Modelo de flujo máximo

En este caso se trata de enlazar un nodo fuente y un nodo destino a través de una red de arcos

dirigidos. Cada arco tiene una capacidad máxima de flujo admisible. El objetivo es obtener la

máxima capacidad de flujo entre la fuente y el destino.

4.3.1 Características del modelo de flujo máximo

A continuación presentamos las características del modelo de flujo máximo:

• Todo flujo a través de una red conexa dirigida se origina en un nodo llamado fuente y termi-

na en otro denominado destino. Los nodos restantes son nodos de trasbordo.

• Se permite el flujo a través de un arco sólo en la dirección que indica la flecha, donde la

cantidad máxima de flujo está dada por la capacidad del arco. En la fuente,

todos los arcos apuntan hacia el exterior. En el destino, todos señalan hacia

el nodo.

• El objetivo es maximizar la cantidad total de flujo de la fuente al destino.

Tal cantidad se mide en cualquiera de dos maneras equivalentes: la cantidad

que sale de la fuente o la que entra al destino.

El problema de flujo máximo puede formularse como uno de programación lineal, resol-

verse con el método símplex y por medio de cualquier software. Sin embargo, se dispone de

un algoritmo de trayectorias aumentadas mucho más eficiente que se basa en dos conceptos

intuitivos: el de red residual y el de trayectoria aumentada.

Algoritmo de la trayectoria de aumento en el caso del problema de flujo máximo

Se identifica una trayectoria de aumento si en la red residual se encuentra algu-

na trayectoria dirigida del origen al destino, tal que cada arco sobre ella tenga

capacidad residual estrictamente positiva. (Si no existe ninguna, los flujos netos

asignados constituyen un patrón del flujo óptimo).

Se identifica la capacidad residual c* de esta trayectoria de aumento me-

diante la determinación del mínimo de las capacidades residuales de los arcos

sobre esta trayectoria. Se aumenta en c* el flujo de esta trayectoria.

Se disminuye en c* la capacidad residual de cada arco en esta trayectoria de

aumento. Se aumenta en c* la capacidad residual de cada arco en la dirección

opuesta en esta trayectoria. Se regresa al paso 1.1

4.4 CPM y PERT

El CPM (Critical Path Method) o método de la ruta crítica y el PERT (Program Evaluation and Review Technique) también conocido como técnica de evaluación

y revisión de programas, son métodos que se basan en redes diseñadas para

ayudar en la planificación, programación y control de proyectos. Un proyecto se define como un conjunto de actividades interrelacionadas en la cual cada una

requiere tiempo y recursos.

El objetivo del CPM y del PERT es proporcionar medios analíticos para

programar las actividades. Primero, definimos las actividades del proyecto, sus

Fuente. Nodo en el que todos los arcos apuntan hacia el exterior.Destino. Nodo en el cual todos los arcos señalan hacia el nodo.

Trayectoria de aumento. Se da cuando en la red residual hay una trayectoria del origen al destino en la que cada arco sobre ella tiene una capacidad residual positiva.Patrón del flujo óptimo. Ocurre cuando los arcos que hay en una red residual del origen al destino no tienen capaci-dad residual positiva.

CPM y PERT. Métodos basados en re-des que ayudan a planificar, programar y controlar proyectos.Proyecto. Conjunto de actividades interrelacionadas en la que cada una implica tiempo y recursos.

1 Hillier y Lieberman, Investigación de operaciones, p. 423.



relaciones de procedencia y sus requerimientos de tiempo; después, el proyecto se traduce a

una red que muestra las relaciones de procedencia entre las actividades. Por último, se hacen

cálculos específicos de red que faciliten el desarrollo del programa de tiempo del proyecto

(figura 4.4).

Figura 4.4 Proceso para elaborar un proyecto.

Las técnicas CPM y PERT difieren en que la primera supone duraciones deterministas de la

actividad; en cambio, la segunda supone duraciones probabilísticas.

Representación de las redes PERT y CPM

Cada actividad del proyecto se representa por medio de un arco direccional (flecha que apunta

en dirección del proyecto). Los nodos de la red establecen las relaciones de procedencia entre

las diferentes actividades del proyecto.

Existen tres reglas para construir una red, a saber:

1. Cada actividad se representa con una y sólo una flecha en la red.

2. Cada actividad debe identificarse por medio de dos nodos finales distintos.

Figura 4.5 Representación de varias actividades concurrentes.

3. Por definición, una actividad simulada normalmente se representa por medio de una fle-

cha de líneas punteadas, la cual no consume tiempo ni recursos. La figura 4.5 muestra

cómo debe utilizarse una actividad simulada para representar dos actividades concurrentes

(A y B).

Al insertar una actividad simulada en una de las tres reglas anteriores, mantenemos la con-

currencia de A y B, es decir, proporcionamos los nodos finales únicos para las dos actividades

concurrentes.

Para mantener las relaciones de precedencia correctas, se deben responder las siguientes

preguntas a medida de que se añade cada actividad en la red.

¿Cuál actividad debe preceder inmediatamente a la actual?

¿Cuál actividad debe seguir a la actual?

¿Cuáles actividades deben ocurrir de forma concurrente a la actual?

Programas de tiempos

Actividadesde proceso

Cálculosde la red

tiempo

3

1

2 B

A 3

1

2 B

A

3

2

1 B

A


734.4 CPM y PERT

Las respuestas a estas preguntas pueden requerir el empleo de actividades simuladas para

asegurar la presencia empleada entre las actividades.

Por ejemplo, supongamos que debe satisfacerse la siguiente precedencia. La actividad C

puede comenzar inmediatamente después de que se hayan completado las actividades A y B.

La actividad D puede empezar inmediatamente después de haberse completado sólo la

actividad B (véase figura 4.6).

Figura 4.6 Representación de una red.

Las flechas indican la trayectoria de las actividades, las cuales, a su vez, se representan con

círculos.

B

A

D

C

Un editor tiene un contrato con un autor para publicar un libro de texto. Las actividades simplificadas que se asocian con la producción del libro de texto se desarrollan y proporcionan a continuación.

Desarrolle la red que represente el proyecto.

Actividades Predecesoras Duración en semanas

A El editor corrige el manuscrito – 3

B El tipógrafo prepara las páginas de muestra – 2

C Diseño de la portada – 4

D Preparación de las ilustraciones – 3

E El autor aprueba el texto editado A, B 2

F Composición tipográfica del libro E 4

G El autor verifica la composición de las páginas F 2

H El autor verifica las ilustraciones D 1

I Producción de las placas para la impresión G, H 2

J Producción y encuadernación del libro C, I 4

Para poder elaborar la red, primero debe asignarse el punto de origen (nodo 1). Después, deben tomarse las actividades que no tengan ninguna actividad precedente; en este caso, serían A, B, C, D. Al finalizar estas actividades, comienzan a ubicarse las siguientes como:

E empieza al finalizar las actividades A y B. F se inicia cuando termina la actividad E. G comienza al cumplir con la tarea F. H principia al concluir con la actividadd D. I se inicia cuando acaban las tareas G y H. J empieza al finalizar las actividades C e I.

1



Cálculo de la ruta crítica (CPM)

Para lograr el resultado final con la construcción del programa de tiempo del proyecto de una ma-

nera conveniente, hacemos cálculos especiales que nos proporcionan la siguiente información:

• Duración total necesaria para completar el proyecto.

• Categorización de las actividades del proyecto como críticas y no críticas.

Se dice que cualquier actividad es crítica cuando no hay libertad para deter-

minar los tiempos de inicio y terminación como tales para completar el proyecto

sin demora.

Cada actividad crítica debe iniciarse y terminarse a tiempo. Una actividad

no crítica permite cierta holgura en la programación, de modo que el tiempo

de iniciarla puede adelantarse o retrasarse dentro de ciertos límites sin que ello afecte la fecha

de terminación del proyecto.

Para efectuar los cálculos, definimos un evento como un punto en el tiempo

en el cual se terminan ciertas actividades y se inician otras; en términos de la

red, el evento corresponde a un nodo.

Los cálculos de la ruta crítica implican dos pasos: el paso hacia adelante y

el paso hacia atrás. El que se dirige hacia adelante determina los primeros tiem-

pos de ocurrencia de los eventos, mientras que el paso hacia atrás calcula las últimas fechas de

ocurrencia.

B

A

D

CJ G

E

9

6 7

3

8

1

2 4 5F

H

I

Figura 4.7 Representación de la red del problema 3.

Con ello, se concluye la trayectoria de la red de dicho proyecto (véase figura 4.7).

Actividad crítica. Ocurre cuando no hay libertad para determinar los tiempos de inicio y terminación en un proyecto.

Evento. Punto en el tiempo en el que se concluyen determinadas actividades y se empiezan otras.

Calcule la ruta crítica dada la siguiente red.

Respuesta: Ruta: 1, 3, 4, 5, 6, 7 = 19

2

3

2

2

2

2

67

7

3

3

3

1

2

4

5

5

6


75Actividades de la unidad IV

1. Una compañía de televisión por cable está en proceso de proporcionar servicio a cinco nuevas áreas habitacionales. La figura siguiente representa los enlaces posibles de televisión entre las cinco áreas. La extensión de los cables se muestra en cada uno de los arcos. Determine la red de cable más económica en las conexiones de cable de la compañía:

2. Una compañía que renta automóviles desea desarrollar un plan de reposición de su flotilla para un horizonte de planeación de 4 años, que comienza el 1 de enero de 2006 y termina el 31 de diciembre de 2010. Al iniciar cada año se decide si un auto se debe mantener en operación o se debe sustituir. Cada vehículo debe estar en servicio durante 1 año como mínimo y 3 años como máximo. La figura siguiente muestra el costo de reposición en función del año de compra del vehículo y los años que tiene en funcionamiento.

El problema se formula como una red, en la cual se representan por los nodos del 1 al 5 los años de 2006 a 2010. Determine la ruta más corta entre los nodos 1 y 5:

3. Considere la siguiente figura. Luego, encuentre la ruta más corta del nodo 1 al 15.

1

2

3

4

5

6 810

12

14

15

13

11

7 9

4 000 4 300 4 800

8 700

6 200

5 000

9 800

7 100

4 90031 2 4 5

3

10

6

2

3

1

1

7

5

5 8

3

9

4

4

5

6

6



4. Resuelva el problema de recorrido mínimo en la red que se muestra en la figura siguiente. Los números sobre las ramas representan los costos de incluir estas ramas en la red final.

5. En la figura siguiente, identifique una ruta del origen A al destino G que permita un flujo positivo.

78

10

10

7

3

3

A

B

E

D

C

F

G

44

12

1

5

A

B

E

D

C

F

G

1

1

1

2

2

3

3

4

5

56

10

7


77

Ejercicios Problema 1

Afianzadora Insurgentes evalúa 3 proyectos de crecimiento; además, elaboró una planificación de

5 años para acrecentar su rentabilidad. A continuación se muestra una tabla de estimación de las

utilidades que proporcionará cada proyecto y los egresos que se relacionan con cada uno de ellos

y que se consideran anuales. Plantee el modelo de programación lineal.

Egresos (miles p)

Proyecto 1 2 3 4 5 Utilidad1 25 27 28 30 28 2152 18 22 21 28 31 3203 16 27 21 34 24 270

Fondos disponibles 120 140 120 150 110

x1 = proyecto 1

x2 = proyecto 2

x3 = proyecto 3

Objetivo: maximizar

Max Z = 215x1 + 320x

2 + 270x

3

S.A.

25x1 + 18x

2 + 16x

3 ≥ 120

27x1 + 22x

2 + 27x

3 ≥ 140

28x1 + 21x

2 + 21x

3 ≥ 120

30x1 + 28x

2 + 34x

3 ≥ 150

28x1 + 31x

2 + 24x

3 ≥ 110

xi ≥ 0

Problema 2

La compañía Higiene y Limpieza Institucional (HLI) desea evaluar y proyectar las utilidades de

cada uno de sus productos Fabuloso, así como su proceso de elaboración durante 5 años; se nos

proporcionan las utilidades esperadas de cada producto. Plantee el modelo de programación

lineal entero.

Tipo de Fabuloso Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5 Utilidades

Mar fresco 1 2 3 1 1 10 000

Lavanda 1 1 4 1 1 9 500

Frutas 1 1 1 1 1 7 000

Canela 2 5 3 2 1 14 000

Naranja 2 2 2 2 2 11 500

Fondos disponibles 20 28 26 30 37

05 Munoz EJERCICIOS.indd 7705 Munoz EJERCICIOS.indd 77 02/03/11 01:59 PM02/03/11 01:59 PM

Ejercicios78

Sea:

x1 = Fabuloso mar fresco

x2 = Fabuloso lavanda

x3 = Fabuloso frutas

x4 = Fabuloso canela

x5 = Fabuloso naranja

Objetivo: maximizar

Max Z = 10 000x1 + 9 500x

2 + 7 000x

3 + 14 000x

4 + 11 500x

5

1x1 + 1x

2 + 1x

3 + 2x

4 + 2x

5 ≤ 20

2x1 + 1x

2 + 1x

3 + 5x

4 + 2x

5 ≤ 28

3x1 + 4x

2 + 1x

3 + 3x

4 + 2x

5 ≤ 26

1x1 + 1x

2 + 1x

3 + 2x

4 + 2x

5 ≤ 30

1x1 + 1x

2 + 1x

3 + 1x

4 + 2x

5 ≤ 37

xi ≥ 0

Problema 3

Se analizan cuatro medios electrónicos de comunicación para lanzar la nueva campaña publi-

citaria de Desechables Jaguar. La campaña tendrá una duración de 3 meses. La siguiente tabla

proporciona los alcances totales y los costos mensuales presupuestados de cada medio. Elabore

el modelo de programación lineal entero.

Número Medio de comunicación Costos 1er. mes 2do. mes 3er. mes Alcance del medio

1 TV 35 000 22 000 16 000 3 425 000

2 Radio 16 000 10 000 5 000 275 000

3 TV por cable 18 000 14 000 9 000 49 000

4 Periódico 15 000 9 000 7 000 781 550

Total costos � mes presupuestados

84 000 55 000 37 000

Sea:

x1 = medio 1

x2 = medio 2

x3 = medio 3

x4 = medio 4

Max Z = 3 425 000x1 + 275 000x

2 + 49 000x

3 + 781 550x

4

S.A.

35 000x1 + 16 000x

2 + 18 000x

3 + 15 000x

4 ≤ 84 000

22 000x1 + 10 000x

2 + 14 000x

3 + 9 000x

4 ≤ 55 000

16 000x1 + 5 000x

2 + 9 000x

3 + 7 000x

4 ≤ 37 000

xi ≥ 0


79Ejercicios

Problema 4

Una compañía aérea debe evaluar tres proyectos promocionales, los cuales se llevarán a cabo

en los siguientes 12 meses y, para ello, cuenta con un capital limitado para cada mes, por lo cual

debe elegir la opción que más se adapte a sus necesidades. Los datos se muestran en la siguiente

tabla:

Requerimiento de capital (meses)(en pesos)

Mezcla de promociónValor actual � 3

meses (en pesos)

3 6 9 12

TV y prensa 8 000 16 000 15 000 18 000 25 000

Radio y prensa 6 000 7 000 12 000 10 000 4 000

Radio y TV 10 000 10 000 13 000 18 000 25 000

Fondo disponible 30 000 40 000 35 000 50 000

Sea:

x1 = TV y prensa

x2 = Radio y prensa

x3 = Radio y TV

Min Z = 8 000x1 + 6 000x

2 + 10 000x

3

Sujeto a: 16 000x1 + 7 000x

2 + 10 000x

3 ≤ 30 000

15 000x1 + 12 000x

2 + 13 000x

3 ≤ 40 000

18 000x1 + 10 000x

2 + 18 000x

3 ≤ 35 000

25 000x1 + 4 000x

2 + 25 000x

3 ≤ 50 000

xi ≥ 0

Problema 5

La empresa Sueño desea importar colchones de Tailandia, para lo cual debe evaluar las posibles

agencias aduanales a las que acudirá para ello.

A la compañía le interesa cumplir con los pedidos que tiene, así que uno de los factores más

importantes para elegir agencia es el tiempo en que llega el pedido al almacén de la tienda, sin

olvidar el costo y la utilidad.

La empresa está comprometida a entregar sus pedidos en no más de una semana y no pue-

de gastar más de 25 000 pesos por pedido.

La tabla ilustra las características de cada agencia aduanal.

Agencia aduanal Tiempo de entrega Costo total (en pesos) Ganancia

Tipo 1 4 días 24 000 10 000

Tipo 2 5 días 20 000 13 000

Tipo 3 5 días 19 500 12 000


Ejercicios80

¿Qué agencia aduanal debe elegir la empresa de acuerdo con la ganancia obtenida?

Sea:

x1 = contratar agencia aduanal tipo 1



Max Z = 10 000x1 + 13 000x

2 + 12 000x

3

S.A.

4x1 + 5x

2 + 5x

3 ≥ 7 días

24 000x1 + 20 000x

2 + 19 500x

3 ≤ 25 000

x1 ≥ 0

Problema 6

La empresa de telemarketing Atel trata de reducir sus costos; la estrategia es escoger la compa-

ñía telefónica que le ofrezca más llamadas a un costo reducido. Son tres las compañías telefó-

nicas: Telmex, que cobra 360 pesos por mes. AT&T, 450 pesos fijos al mes, y Avantel, cuya tarifa

fija es de 280 pesos mensuales.

La compañía debe cumplir con sus clientes, pero, debido a que la competencia ha aumen-

tado, tiene que ofrecerles planes muy atractivos. Ello significa un precio considerable para la

promoción o ventas de los productos de sus clientes, aunque sin poner en riesgo la buena pro-

moción de los productos.

Para que la empresa cumpla con sus clientes, debe hacer un promedio de 400 llamadas

al mes por empleado, pero sus costos extras no deben exceder de 2 000 pesos. En la siguiente

tabla se presentan los beneficios que se obtienen con cada una de las compañías telefónicas.

Compañía Renta mensual Núm. de llamadas al mes Costo por llamada extra

Telmex 350 350 2.00

AT&T 400 300 1.50

Avantel 280 300 2.20

¿Cómo debe repartir las llamadas la empresa para minimizar los costos?

Sea:

x1= contratar línea telefónica con Telmex

x2= contratar línea telefónica con AT&T

x3= contratar línea telefónica con Avantel

Min Z = 350x1 + 400x

2 + 280x

3

S.A.

350x1 + 300x

2 + 300x

3 ≥ 400

2x1 + 1.5x

2 + 2.2x

3 ≤ 2 000

x1 ≥ 0


A

Actividad crítica. Ocurre cuando no hay li-bertad para determinar los tiempos de inicio y terminación en un proyecto.

Árbol. Red conectada que puede contener sólo un subconjunto de todos los nodos de la red.

Árbol de expansión. El que une todos los nodos sin permitir ningún lazo.

C

Cola. Línea de espera. CPM y PERT. Métodos basados en redes

que ayudan a planificar, programar y controlar proyectos.

D

Destino. Nodo en el cual todos los arcos se-ñalan hacia el nodo.

E

Evento. Punto en el tiempo en el que se concluyen determinadas actividades y empiezan otras.

F

Fuente. Nodo en el que todos los arcos apun-tan hacia el exterior.

I

Investigación. Actividad que tiene por fin ampliar el conocimiento científico sin perseguir, en principio, ninguna aplica-ción práctica.

Investigación de operaciones (IO). Disci-plina que divide un problema concreto en pequeñas partes a las que analiza para obtener un problema abstracto o un modelo y así ofrecer acciones o al-ternativas de solución.

L

Lazo dirigido (circuito). Círculo en el que todas las ramas se orientan en la misma dirección.

M

Método de cruce de arroyo. Método a través del cual debe encontrarse un procedi-

miento de reasignación en el que sólo se pisen las celdas de piedra y ninguna de agua pues, en estas últimas, no es posi-ble apoyarse.

Método del costo menor. Se concentra en las rutas económicas. Asigna el costo más bajo a cada unidad y después se ajusta la cantidad de la oferta y la de-manda.

Método gráfico. Se emplea para solucionar problemas de programación lineal me-diante la representación geométrica de restricciones, condiciones técnicas y objetivos.

Método símplex de programación lineal.

Primer procedimiento matemático am-pliamente aceptado en la investigación de operaciones, basado en la iteración para ir mejorando la solución a cada paso.

Modelo. Representación simplificada o idea-lizada de una parte de la realidad.

Modelo de asignación. Modelo en el que cada fuente y cada destino poseen una demanda unitaria.

Modelo de transporte. Clase especial de programación por medio del cual se mi-nimizan los costos del transporte de per-sonas o productos desde los puntos de origen hasta los puntos de destino.

Modelo descriptivo. Representación de la realidad mediante una relación funcional.

Modelo matemático. Se construyen me-diante símbolos matemáticos que re-presentan diferentes comportamientos del problema; no todos son complejos.

Modelo normativo. Paradigma que señala el curso de acción que debe seguirse para lograr un objetivo.

Modelo predictivo. Paradigma que no sólo describe la realidad sino que señala las situaciones futuras.

Modelos abstractos. Herramientas de in-vestigación que utilizan expresiones simbólicas para representar el compor-tamiento de un sistema.

Modelos aleatorios. Describen un fenóme-no que se comporta regularmente en intervalos diferentes; por lo tanto, pre-decir su comportamiento es muy difícil.

Modelos determinísticos. Representación de un fenómeno que se comporta regu-larmente a intervalos iguales y, por con-siguiente, es factible predecir su compor-

tamiento con un cierto margen de error aceptable o tolerable.

Modelos dinámicos. Interpretan la evolu-ción de una parte de la realidad en un tiempo determinado.

Modelos estáticos. Representan la realidad en una determinada unidad de tiempo.

Modelos físicos. Paradigmas que repre-sentan la realidad a escala y se constru-yen con base en problemas concretos.

O

Operación. Conjunto de reglas que permi-ten, a partir de una o varias cantidades o expresiones, llamadas datos, obtener otras cantidades o expresiones deno-minadas resultados.

Optimizar. Logro de mayores beneficios con una mínima inversión de recursos.

P

Parámetros. Valores que especifican la re-lación entre las variables de decisión.

Patrón del flujo óptimo. Ocurre cuando los arcos que hay en una red residual del origen al destino no tienen capacidad residual positiva.

Programación lineal. Procedimiento mate-mático con una o más funciones obje-tivo, un conjunto de restricciones y una restricción de no negatividad para deter-minar la asignación óptima de recursos escasos.

Proyecto. Conjunto de actividades interre-lacionadas en la que cada una implica tiempo y recursos.

R

Red. Representación gráfica de un proyecto.Red conectada. Es aquella en la cual dos

nodos se encuentran unidos, por lo me-nos, por una ruta.

Ruta. Secuencia de ramas diferentes que enlazan dos nodos sin que importe la dirección del flujo de cada rama. Se-cuencia entre actividades que se desa-rrollan en una red

T

Teoría de colas. Conjunto de modelos ma-temáticos que describen sistemas de

81

06 Munoz GLOSARIO-BIBLIO.indd 8106 Munoz GLOSARIO-BIBLIO.indd 81 02/03/11 01:59 PM02/03/11 01:59 PM

Bibliografía82

HILLIER–LIEBERMAN, Investigación de operaciones, séptima edición, México, McGraw-Hill, 2002.HOSSEIN ARSHAM, Modelos deterministas: optimización lineal, http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/opre640S/SpanishD.htm#rop

Introducción a la investigación de operaciones, www.investigacion-operaciones.com/Introduccion_IO.htmTAHA HAMDY, A., Investigación de operaciones una introducción, sex-ta edición, Prentice Hall, 1998.

líneas de espera particulares o de siste-mas de colas. Los modelos sirven para encontrar una relación óptima entre los costos del sistema y los tiempos prome-dio de la línea de espera de un sistema dado.

Trayectoria de aumento. Se da cuando en la red residual hay una trayectoria del origen al destino en la que cada arco sobre ella tiene una capacidad residual positiva.

V

Variables de decisión. Cantidades que se desconocen y que deben determinarse en la solución de un problema cuyo mo-delo se plantea.


AActividad crítica, 74, 81Algoritmo de Dijkstra, 67, 70 de Floyd, 67, 70 de flujo máximo, 67 de la ruta más cercana, 70Árbol, 67, 68, 69, 81 de expansión, 68, 69, 81Arco, 67, 68, 71Arista, 69Arsham Hossein, 4

CCálculo de la ruta crítica (CPM), 74Ciclo, 68Ciencias de la administración, 1Circuito, 68, 69, 81Cola, 81Conjunto de restricciones, 7, 8

DDestino, 71, 81Dualidad, 32

EEcuaciones de restricción, 38Eficacia, 8Espacio de soluciones factibles, 13Evento, 74, 81

FFuente, 71, 81Función, 2Función exponencial, 3Función objetivo, 7-11, 13, 19, 20, 27, 29,

32, 33, 36

GGeorge B. Dantzig, 2, 19

IÍndice de mejoramiento (IM), 55, 56, 57,

59, 61Investigación de operaciones (IO), 1-6, 81Iteración, 2

LLazo, 67, 68, 69Lazo dirigido, 68, 81

MMétodo celda de piedra, 53 CPM (Critical Path Method), 67, 71, 72, 81 de asignación, 61 de costo menor, 35, 38, 42, 46, 52, 54,

58, 65, 81 de cruce de arroyo, 53, 54, 65, 81 de la esquina noroeste, 35, 38, 42, 44,

46, 65 de la ruta crítica, 71 de piedra rodante, 53 de suma y resta, 18 de transporte, 61, 62 dual símplex, 33 gráfico, 7, 13, 34, 81 gráfico en actividad, 13 gráfico en recursos, 13 húngaro, 35, 62, 66 PERT (Program Evaluation and Review

Technique), 67, 71, 72, 81 símplex, 1, 7, 19, 29, 34, 36, 37, 71, 81 Vogel, 35, 38, 46, 65Modelos, 1, 2, 3, 4, 81 abstractos, 4, 81 a escala, 2 aleatorios, 4, 81 de asignación, 35, 61, 81 de flujo máximo, 71 de programación lineal (MPL), 9-13, 32,

36-38, 44, 65, 77, 78 descriptivo, 81 desventajas, 4 determinísticos, 4, 81 de transporte, 35, 36, 81 dinámicos, 4, 81 dual, 32 estáticos, 4, 81 físicos, 4, 81 lineal, 14, 19 matemáticos, 2, 81 descriptivos, 3 normativos, 3 predictivos, 3 mentales, 2 normativo, 81 predictivo, 81 primales, 32, 34 ventajas, 4

NNodo, 67-72 permanentes, 70

temporales, 70No negatividad, 5, 9, 13Número de restricciones, 13

O

Objetivo, 5, 11Operación, 81Optimización, 3, 5, 33Optimizar, 4, 9, 81Organigrama, 3

P

Parámetros, 7, 8, 81Patrón de flujo óptimo, 71, 81Pivote, 20, 21, 23, 24, 28, 30, 31Plano cartesiano, 13, 14Problemas lineales, 5, 13Problemas no lineales, 5, 7Programación lineal, 7, 9, 33, 35, 81Programación matemática, 4Proyecto, 71, 81Punto óptimo, 14, 17, 18

R

Ramas, 67, 68, 76Rango, 13Red, 67-74, 76, 81 conectada, 68, 81 residual, 71Región factible, 13-16Restricciones, 5, 7, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 20Ruta, 67, 68, 69, 81

S

Sistema, 4Solución factible, 13Solución factible degenerada, 13Solución factible no degenerada, 13

T

Tabla símplex, 20, 27, 29, 30, 32, 37, 38Técnica de evaluación y revisión de

programas, 71Teoría de colas, 81Trayectoria aumentada, 71, 82

V

Variables, 5, 9, 13 de decisión, 7-13, 81 de holgura, 19, 20 numéricas, 9

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