investigacion de operaciones no. 1 - r. campillo

Investigación de OperacionesInvestigación de OperacionesConceptos BásicosConceptos Básicos

MC. Ing. Rafael Campillo RodríguezMC. Ing. Rafael Campillo Rodrí[email protected]@prodigy.net.mx

Facultad de Ingeniería Mecánica Eléctrica, U.V., zona Xalapa

Qué es la IO Método Gráfico

Fundamentos de PLUn poco de Historia

Un poco de Historia …Un poco de Historia …

Los inicios de lo que hoy se conoce como IO se remonta a los años 1759 cuando el economista QUESNAY, comienza a aplicar algunos modelos incipientes de programación matemática, seguido mas tarde por WALRAS, en 1874.

Los modelos lineales de IO, tienen como sus iniciadores a JORDAN en 1873 y a FARKAS en 1903.

Los modelos dinámicos probabilísticos se atribuyen a MARKOV por el año de 1896. El desarrollo de los modelos de líneas de espera se originan con los estudios de ERLANG, a principios del siglo XX; mientras que los modelos de inventarios, al igual que los de tiempos y movimientos, se realizan allá por los años 1920’S. VON NEWMAN, en 1937, establece las bases de lo que años mas tarde se convertiría en la teoría de juegos.


Hay que hacer notar que los modelos matemáticos de la IO que utilizaron estos precursores, estaban basados en el Cálculo Diferencial e Integral (NEWTON, LAGRANGE, LAPLACE, LESBEQUE, LEIBNITZ, REIMMAN, STIELTJEN, por mencionar algunos) y en los principios de la Probabilidad y Estadística (BERNOULLI, POISSON, GAUSS, BAYES, GOSSET, SINEDECOR, ETC.).

El nombre de “Investigación de Operaciones” fue creado aparentemente por un grupo multidisciplinario de expertos que en Gran Bretaña estaba llevando a cabo la actividad de investigar la mejor forma de realizar operaciones militares durante la Segunda Guerra Mundial.


La Investigación de Operaciones tuvo una participación fundamental en el proyecto de los Ingleses de la creación del “Radar Electrónico” para la detección de los aviones de la Luftwaffe de la Fuerza Aérea Alemana con el objetivo de minimizar los bombardeos sobre Londres .

Hacia finales de la Segunda Guerra Mundial la IO tomó auge al ser utilizada en la estrategia para vencer a los Alemanes (Simulación y Teoría de Juegos) y, al finalizar la guerra, fue adoptada por las Fuerzas Armadas de los Estados Unidos para llevar a cabo la logística de distribución de todos los recursos militares de los aliados que se encontraban dispersos por todo el mundo.

Un poco de HistoriaUn poco de Historia

Este problema de la distribución de recursos causó que la Fuerza Aérea Norteamericana le encargara a un grupo de matemáticos que resolviera esta situación que estaba consumiendo demasiados recursos humanos, financieros y materiales. Fue GEORGE DANTZIG, en 1947, quién inventara el método SIMPLEX, con el que dio inicio la Programación Lineal.

Con el avance de las computadoras digitales la IO se empezó a utilizar en forma masiva y ha tenido gran auge a partir de los años 1950’s y hasta nuestros días.

George Dantzig

Qué es la IO …Qué es la IO …

La Investigación de Operaciones (IO) es la aplicación, por grupos interdisciplinarios, del Método Científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas (hombre-maquina) a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de toda la organización. *

Es una rama de las Matemáticas consistente en el uso de modelos matemáticos, estadística y algoritmos con objeto de realizar un proceso de toma de decisiones.

El proceso de la IO comienza de igual forma que cuando se lleva a cabo el método científico pero es mas que eso, ya que la IO también se ocupa de la administración de la organización, que conduce a soluciones rápidas y eficientes.

* Definición de CHURCHMAN, ACKOFF Y ARNOFF


El enfoque fundamental de la IO es el Enfoque de Sistemas, por el cual, a diferencia del enfoque tradicional, se estudia el comportamiento de todo un conjunto de partes o sub-sistemas que interaccionan entre sí, se identifica el problema y se analizan sus repercusiones, buscándose soluciones integrales que beneficien al sistema como un todo.

La IO está basada en los métodos que han demostrado tener éxito en la ciencia. Desde el punto de vista de la IO, una decisión es una recomendación de que se lleve a cabo un curso de acción que se espera produzca los “mejores” resultados en términos de los objetivos generales de la organización.


En la practica, la instrumentación de un proyecto de IO en la solución de un problema real en una organización, acarrea los siguientes beneficios:

1).- Incrementa la posibilidad de tomar mejores decisiones

Antes de la aplicación de la IO en una organización, las decisiones que se toman son generalmente de carácter intuitivo, ignorando la mayoría de las interrelaciones que existen entre los componentes del sistema. El ser humano, sin la ayuda de una tecnología mas sofisticada (como la IO) y de la herramienta mas moderna (computadoras electrónicas), no puede visualizar, mucho menos analizar todas las posibles alternativas generadas por los millares de interacciones que existen.


2).- Mejora la coordinación entre los múltiples sistemas componentes de la organización

La IO genera un mayor nivel de ordenación entre sistemas. Por ejemplo, de que sirve que se incrementen las exportaciones de México al mundo exterior, cuando la capacidad de maniobras de nuestros productores, industriales y puertos permanecen estancadas. El Gobierno debe coordinar esfuerzos con las Secretarias de Comercio, Hacienda, Comunicaciones, Marina y de Obras Públicas, tarea que pudiese resultar muy compleja.

Aquí el papel de la IO es integrar en su estudio el mecanismo de coordinación, para evitar que los componentes del sistema se desorganicen y actúen independientemente unos de otros.


3).- Logra el Control de la Organización

Al implementar procedimientos sistemáticos que supervisan por un lado las operaciones que se llevan acabo en los sistemas de la organización y por el otro lado, evitando que se comentan los errores del pasado.

4).- Logra una mejor Organización

Al hacer que sus sistemas operen con costos mas bajos, con interacciones mas fluidas, eliminando cuellos de botella y logrando una mejor combinación entre los elementos mas importantes de todo ella.


Las técnicas de la IO se aplican a dos categorías básicas de problemas, las cuales son las siguientes:

Problemas Determinísticos: son en los que la información necesaria para obtener una solución se conoce con certeza y en donde no hay cabida para ninguna intervención del azar.

Problemas Probabilísticos ó Estocásticos: son en los que parte de la información necesaria no se conoce con certeza, como en el caso de los determinísticos, sino que presentan comportamientos de tipo probabilístico con un alto contenido de azar en sus variables.


Marco de Aplicación en las decisiones de la organización:

En el ámbito productivo

(1) Qué producir.

(2) Cuánto producir.

(3) Cuándo producir.

(4) Cómo producir.

(5) A quién asignar las diferentes tareas.

(Programación del trabajo).

(6) etc.


Marco de Aplicación en las decisiones de la organización:

En el ámbito administrativo.

(1) En que invertir el capital.

(2) Dimensionar los stocks de materias primas,

repuestos, productos terminados, etc.

(3) Definir el sistema de mantenimiento de equipos y

maquinarias.

(4) Definir el sistema de abastecimiento hacia sucursales.

(5) Definir el sistema de adquisición de materias primas.

(6) Dimensionar la fuerza de trabajo.

(7) etc.


Métodos de Toma de Decisiones:

a) Decisiones basadas en la INTUICION.

b) Decisiones basadas en la EXPERIENCIA.

c) Decisiones basadas en un METODO CIENTIFICO

de análisis del sistema.


Fases del Método Científico de análisis de fenómenos:

a) Observar.

b) Plantear una hipótesis o modelo del comportamiento del

sistema y su reacción ante diferentes estímulos.

c) Implementar experiencias que comprueben la validez de la

hipótesis.

d) Observar los resultados y mejorar la hipótesis si esta no se

cumple.


Fases de un estudio de IO:

a) Observar el sistema considerando el objetivo deseado.

b) Identificar las variables y restricciones que intervengan

positiva y negativamente en el sistema y en el objetivo y

calcular los parámetros de interrelación entre ellas.

c) Plantear el modelo matemático que representa el

comportamiento del sistema según el objetivo deseado.

d) Encontrar una solución teórica óptima a través de los

algoritmos matemáticos apropiados.

e) Implementar la solución teórica óptima.

f) Observar los resultados reales y retroalimentar hacia a)

si la solución teórica difiere de la real.


Algunas definiciones básicas:

a) OPTIMO - Lo mejor posible dadas las restricciones del sistema.

b) EFICAZ - Quién logra cumplir el objetivo.

c) EFICIENTE - Quién logra cumplir el objetivo al menor costo posible, en tiempo, en dinero, etc.

d) MODELO - Abstracción representativa de la realidad.

ejemplos: Modelos físicos (Maquetas)

Modelos pictóricos (Mapas)

Modelos icónicos (De imagen por ej.: la TV)

Modelos matemáticos Ej.


Ejemplos de áreas de aplicación de la IO:

Programación Lineal (DANTZIG), Programación Dinámica (BELLMAN), Programación No Lineal (KUHH Y TUCKER), Programación Entera (GOMORY).

Redes de Optimización PERT – CPM (FORD Y FOLKERSON), Simulación (MARKOWITZ), Inventarios (AAROW, KARLIN, WHITIN), Análisis de Decisiones (RAIFFA) y Procesos Markovianos de Decisión (HOWARD).

Algunos otros como son: Teoría de Líneas de Espera (Teoría de Colas) (ERLANG y KENDALL) y Teoría de Juegos (VON NEUMANN, MORGENSTERN Y FORBES NASH).

Qué es la IOQué es la IO

Desarrollo de una aplicación de la IO:

Surge unanecesidad

Definición delProblema

Banco deConocimiento

BuscarAlternativas

Elección dealternativa

Salidas de laelección

Se satisfacenlos objetivos ?

Evaluar salidaTodo OK ?

Criterios oCaracterística

s

Metas yObjetivos

Modelo deDecisión

A1 R1 P1A2 R2 P2A3 R3 P3

Etc.

Si

No

“Aprendizaje”“Experiencia”

No todo

No todo

Re-plantear ($$)

Fundamentos de PL …Fundamentos de PL …

La Programación Lineal (PL) es una herramienta de la IO cuya filosofía es atacar el problema general de asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible (es decir, en forma Óptima).

El adjetivo Lineal significa que todas las funciones del modelo matemático utilizado son Funciones Lineales de Primer Grado y Programación se usa como sinónimo de Planeación.

Entonces, la PL trata de la planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo. Esto es, el resultado que mejor alcance la meta deseada entre varias alternativas de solución.


El objetivo fundamental de la PL es:

OPTIMIZAR

Objetivos Acciones

CostosRecursosTiempo

PlaneaciónProducción

Mano de ObraEtc …

Maximizaro

Minimizar


Grados de Libertad (GL):

Sea m el número de ecuaciones y n el número de variables en un sistema de ecuaciones lineales simultáneas.

Si m = n, se tiene un sistema matemático consistente, tradicional y el cuál que se resuelve por medio de métodos algebraicos.

Si m > n, se tiene un sistema sobre-definido porque tiene más relaciones funcionales para las mismas variables (algunas pueden no ser ciertas o estar duplicadas) y se dice que es inconsistente.

Si m < n, se tiene un sistema típico cuya solución no puede resolverse algebraicamente y debemos aplicar PL para obtener un resultado.


Se establece que los Grados de Libertad de un sistema de ecuaciones lineales simultáneas estarán dados por:

GL = n – m

Los GL representarán el número de variables que deben de ser “fijadas” para que el sistema de ecuaciones tenga resultado único.

Decimos que “fijar” equivale simplemente a “dar un valor” (que puede ser cualquiera aunque la mayoría de las veces será cero).

Al decidir fijar n – m variables, se estará “acotando” el sistema a un número finito de soluciones posibles o a una sola (si es posible).


Número de Soluciones de un Sistema con GL > 0:

¿Cuál será el número de soluciones posibles para un sistema de ecuaciones si se fijan n – m variables?

No. de Soluciones posibles:

Es decir:

Al conjunto de probables respuestas para el sistema se le conoce como “Conjunto Solución”


Variables “Libres”:

Así pues, la PL tratará de buscar el valor de la solución óptima en ese conjunto de soluciones posibles para el objetivo que se busca.

La aplicación de PL en problemas de ingeniería no da lugar para la “negatividad” por lo que las variables se “restringen” a tener valores de cero o positivos.

Todas las variables que aparecen en un modelo de PL serán restringidas a que sean no-negativas (xi >= 0) ya que por el tipo de problemas a los que se aplica, las variables negativas “carecen de sentido” (ej. Fabricar un lote de -25 artículos!).


Variables “Libres” …

Sin embargo, muchas veces existirán parámetros que por su propia naturaleza puedan tomar cualquier valor (negativos, cero o positivos) y a éstos se les denomina “Variables Libres”.

Cuando se presente una variable de tipo libre, se deberá de “romper” en dos variables restringidas que sean no-negativas, de la forma siguiente:

Sea , entonces se debe hacer que existan:

Donde, y .


El modelo de PL:

Supongamos que se tiene un número (m) de Recursos Limitados de cualquier clase, que deben asignarse a un número (n) de Actividades Competidoras de cualquier clase, que necesitan a dichos recursos para llevarse a cabo.

Designemos mediante los números: i = 1, 2, 3, …, m a los Recursos e igualmente: j = 1, 2, 3, …, n a las Actividades.

Sea xj el nivel (o cantidad realizada) de la actividad j (se establece una Variable de Decisión) para cada j = 1, 2, 3, …, n.


El modelo de PL …

Supongamos que se elige a Z como la medida global de la efectividad de la asignación de los recursos hacia todas las actividades (medida del objetivo por lograr).

Entonces, sea cj el incremento (o decremento) en Z que resultaría debido a cada unidad de incremento (o decremento) en xj para cada j = 1, 2, 3, …, n.

Denotemos por bi el nivel (o cantidad) del recurso i disponible para ser asignado para cada i = 1, 2, 3, …, m.


El modelo de PL …

Finalmente, sea aij la cantidad del recurso i asignada a cada unidad de la actividad j para cada i = 1, 2, 3, …, m y j = 1, 2, 3, …, n.

Resumiendo:

Z =valor de la medida global de efectividad (objetivo por lograr).

Xj =nivel de la actividad j (para j = 1,2,...,n).Cj =incremento (o decremento) en Z que resulta al aumentar (o

disminuir) una unidad en el nivel de la actividad j.bi =cantidad de recurso i disponible para asignar a las

actividades (para i = 1,2,...,m).aij = cantidad del recurso i consumido por cada unidad de la

actividad j.


El modelo de PL …

En forma Tabular:Actividad

Recurso 1 2 … j RHS

1 a11 a12 … a1j b1

2 a21 a22 … a2j b2

. . .

. . .

. . .i ai1 ai2 … aij bi

∆Z / unidad c1 c2 … cj

Variable x1 x2 … xj


Formulación General del modelo de PL:

1. Función Objetivo (FO). Consiste en optimizar el objetivo que persigue una situación la cual es una función lineal de las diferentes actividades del problema, la función objetivo se maximizar o minimiza.

Max (ó Min) Z = C1 X1 + C2 X2 + . . . + Cj Xj

2. Variables de Decisión. Son las incógnitas del problema. La definición de las variables es el punto clave y básicamente consiste en los niveles de todas las actividades que pueden llevarse a cabo en el problema a formular.



3. Restricciones Estructurales. Diferentes requisitos que debe cumplir cualquier solución para que pueda llevarse a cabo, dichas restricciones pueden ser expresadas en $$$, tiempo, capacidad, mercado, materia prima, mano de obra, etc.

S.A. a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1j xj <= (>= ó =) b1

a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2j xj <= (>= ó =) b2

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

ai1 x1 + ai2 x2 + . . . + aij xj <= (>= ó =) bi



4. Condición técnica. Todas las variables deben tomar valores positivos (en algunos casos puede ser que algunas variables tomen valores negativos).

X1 , X2 , … , Xj >= 0 j = 1, 2, 3, ... n

También se le conoce como Restricción de No-Negatividad.



NOTA:

El coeficiente Tecnológico (aij) es la cantidad que se emplea del recurso disponible bi para elaborar el producto Xj (dato técnico).

El recurso disponible bi, en algunos casos representa la capacidad, (cantidad que no se puede sobrepasar y se representa como menor e igual matemáticamente <=); en otros casos puede representar el requerimiento (cantidad que puede usarse por lo menos y se representa matemáticamente como mayor e igual >=) y en algunos casos este recurso deberá ser exactamente su valor ( cantidad que matemáticamente se representa como una igualdad =).


Ejemplo de Formulación General del modelo de PL:

Una compañía puede producir tablones para la construcción o láminas para puertas, la cantidad máxima de la fabrica es de 400 unidades, de las cuales necesariamente 100 unidades deben ser tablones y 150 láminas, para satisfacer la necesidades de los clientes, si la utilidad por tablón es de $200 y de $300 pesos por lámina. Determine el numero de tablones y láminas que se deben producir para obtener la máxima utilidad. (Formular y construir el modelo del problema).


Ejemplo de Formulación General del modelo de PL …

1. Formulación del Modelo:

a).- Determinar el objetivo del problema: Maximizar utilidades.

b).- Definir las Variables del problema: Z = Utilidad ($)

X1 = Número de tablones a producir ; C1 = $200 / Tablón.

X2 = Número de láminas a producir ; C2= $300 / Lámina.

c).- Establecer las restricciones del problema:

Capacidad máxima de producción: 400 unidades.

Requerimientos de producción de por lo menos 100 tablones y 150 láminas.

Fundamentos de PLFundamentos de PL

Ejemplo de Formulación General del modelo de PL …

2. Construcción del Modelo:

1) Función objetivo: Max Z = 200 X1 + 300 X2

2) Sujeta a las restricciones (sa):

a) Capacidad de producción: X1 + X2 <= 400

b) Requerimientos Mínimos: X1 >= 100

X2 >= 150

3) No negatividad: X1 , X2 >= 0

Método Gráfico …Método Gráfico …

Repaso de Geometría Analítica Plana:

a) La ecuación aX + bY = c representa en el plano una recta

de pendiente: m = - a / b.

b) La ecuación aX + bY = 0 representa en el plano una recta

que pasa por el origen de coordenadas.

c) En la ecuación normalizada de la recta

los términos c/a y c/b representan los

puntos de corte de los ejes X e Y, respectivamente.

d) La función Z = aX + bY, con Z una cte. indeterminada,

representa en el plano a una familia de rectas paralelas.


Repaso de Geometría Analítica Plana:

e) La inecuación aX + bY ≤ c representa un área

que se inicia en la recta aX + bY = c y se extiende

acercándose hacia el origen de coordenadas.

f) La inecuación aX + bY ≥ c representa un área

que se inicia en la recta aX + bY = c y se extiende

alejándose del origen de coordenadas.

g) La solución (X0,Y0) del sistema de ecuaciones:

aX + bY = c y dX + eY = f , indica las coordenadas

del punto de corte o intersección de ambas rectas.

Interpretación gráfica de las limitaciones de las Restricciones:

X2 X2

Requerimiento Mínimo

Capacidad Máxima P1

P1 aij Xj ≥ bj

aij Xj ≤ bj

0 P2 X1 0 P2 X1

X2

Uso Total

P1

aij Xj = bj

0 P2 X1



Metodología de solución para el Método Gráfico:

a) Encuentre el modelo matemático del PPL en dos variables.

b) Encuentre las ecuaciones normalizadas de las rectas límite de

las restricciones.

c) Tomando en consideración los puntos de corte definidos en las

ecuaciones normalizadas, dibuje los ejes coordenados con una

escala apropiada.

d) Dibuje en los ejes coordenados las rectas límite de las

restricciones e identifique el lugar geométrico que cada

restricción representa en el plano.



e) Identifique y destaque la “ZONA DE SOLUCIONES FACTIBLES”,

definida como el conjunto intersección de todos los lugares

geométricos que las restricciones representan en el plano.

f) Dibuje una de las rectas de la familia de rectas que la F.O.

representa en el plano, dando un valor arbitrario a Z, pero

adecuado a la escala de los ejes coordenados y denomínela

“Recta Objetivo de Referencia” (r.o.r.).



g) Dependiendo si la FO es de maximización o de minimización,

traslade la recta paralelamente, en el sentido de aumento o de

disminución de Z, hasta que esta toque un punto extremo de la

zona de soluciones factibles. Identifique dicho punto como

óptimo máximo u óptimo mínimo.

h) Para encontrar las coordenadas del punto óptimo resuelva el

sistema de ecuaciones de las rectas límite cuya intersección

define dicho punto.

i) Para encontrar el valor óptimo de Z reemplace las coordenadas

del punto óptimo en la función objetivo.


Ejemplo de la Metodología de solución por Método Gráfico:

Max Z = 6 X1 + 7 X2

sa: 2 X1 + 3 X2 ≤ 24

2 X1 + X2 ≤ 16

X1, X2 ≥ 0


Ejemplo de la Metodología de solución por Método Gráfico …

1. Graficar las restricciones:



2X1 + 3X2 ≤ 24



2X1 + 1X2 ≤ 16



2X1 + 3X2 ≤ 24

2X1 + 1X2 ≤ 16

Región Factible



2X1 + 3X2 ≤ 24

2X1 + 1X2 ≤ 16

Región Factible

6X1 + 7X2 = 42Max = 6X1 + 7X2

Método GráficoMétodo Gráfico


2X1 + 3X2 ≤ 24

2X1 + 1X2 ≤ 16

Región Factible

Solución:

X1 = 6, X2 = 4

Z = 64

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