investigacion de operaciones

Primer parcial

InvestigaciónDe operaciones

UNIDAD I: INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

1.1DEFINICIÓN, DESARROLLO Y TIPOS DE MODELO DE INVESTIGACIÓN

MODELOS

Definición modelo: Es una presentación o abstracción de una situación u objeto real, que muestran las relaciones (directas o indirectas) i las interrelaciones de la acción y las relaciones en términos de causa y efecto.

Tipos de modelo:

Modelo icónico: es una representación física de algún objeto ya sea en forma idealizada (bosquejo) o escala distinta, ejemplos: maquetas, prototipos, planos, mapas, etc.

Modelo analógico: pueden representar situaciones dinámicas o cíclicas son más usuales y pueden representar las características y propiedades del acontecimiento que se estudia, ejemplo: línea del tiempo, diagrama de flujo, curva de demanda, curva de distribución de secuencia.

Modelo simbólico o matemático: son representaciones de la realidad en forma de cifras, números matemáticos y funciones, para representar variables de decisión y relaciones que no permiten describir y analizar el comportamiento del sistema.o Cuantitativos y cualitativoso Estándares y hechos a la medidao Probabilísticos y determinísticoso Descriptivos y de optimizacióno Estadísticos y dinámicoso De simulación y no simulación.

FASES DE ESTUDIO DEL INVESTIGADOR DE OPERACIONES

FORMULACIÓN

SOLUCIÓN

APLICACIÓN

1.2DEFINICIONES DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

TAHA.

La Investigación de Operaciones aspira a determinar el mejor curso de acciónóptimo de un problema de decisión con la restricción de recursos limitados, aplicando técnicas matemáticas para representarlo por medio de un modelo y analizar problemas de decisión.

Formular el problema real.

Supuestos y variables del

problema.Formular el modelo

matemático.

HILLIER - LIEBERMAN. Significa hacer investigación sobre las operaciones referentes a la conducción y coordinación de actividades dentro de una organización aplicada a una gama extraordinariamente amplia.

PRAWDA.Es la aplicación por grupos interdisciplinarios de Método Científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o de sistemas en relación al hombre-máquina, con el fin de producir soluciones óptimas para dichas organizaciones.

NAMAKFOROOSH.La Investigación de Operaciones es la aplicación del Método Científico a los problemas de decisión en las empresas y otras organizaciones, incluyendo el gobierno y la milicia.

MOSKOWITZ - WRIGHT.La Investigación de Operaciones toma al Método Científico aplicado a la solución de problemas y la toma de decisiones de la gerencia en función a la construcción de un modelo simbólico examinando y analizando entre relaciones que lleguen a una técnica en la toma de decisiones en base a los resultados óptimos.

THIERAUF Y GROSSE.La Investigación de Operaciones utiliza el enfoque planeado (Método Científico) y un grupo interdisciplinario a fin de representar las complicadas relacionesFuncionales como modelos matemáticos para suministrar una base cuantitativa en la toma de decisiones y descubrir nuevos problemas para un análisis cuantitativo.

FASE DEL INVESTIGADOR DE OPERACIONES

La compañía fantasía produce dos juguetes el oso Bobby y el oso tedy cada uno de estos productos debe ser procesado en dos máquinas diferentes. Una maquina tiene 12 horas disponibles y la segunda 8 horas.

Cada Bobby producido necesita 2 horas de tiempo de ambas máquinas y cada tedy producido requiere 3hrs de tiempo en la maquina uno y una hora en la maquina dos, las ganancias es 6 pesos por Bobby y 7 por cada tedy tomando en cuenta que se pueden vender tantas unidades de Bobby y tedy sean posibles.

Optimizar

Minimizar costos

Maximizar ganancias

Función objetivo

Z=6x+7y

Restricciones

2x+3y≤12

B T Tiempo disponible

Maq1. 2 3 12

Maq2. 2 1 8

Ganancias 6 7

1.4 PRINCIPALES APLICACIONES DE I.O.

Personal

La automatización y la disminución de costos, reclutamiento de personal, clasificación y asignación a tareas de mejor actuación e incentivos a la producción.

Mercado y distribución

El desarrollo e introducción de producto, envasado, predicción de la demanda y actividad competidora, localización de bodegas y centros distribuidores.

Compras y materiales

Las cantidades y fuentes de suministro, costos fijos y variables, sustitución de materiales, reemplazo de equipo, comprar o rentar.

Manufactura

La planeación y control de la producción, mezclas óptimas de manufactura, ubicación y tamaño de planta, el tráfico de materiales y el control de calidad.

Finanzas y contabilidad

Los análisis de flujo de efectivo, capital requerido de largo plazo, inversiones alternas, muestreo para la seguridad en auditorías y reclamaciones.

Función objetivo

Z=6x+7y

Restricciones

2x+3y≤12

B T Tiempo disponible

Maq1. 2 3 12

Maq2. 2 1 8

Ganancias 6 7

MÉTODOS PARA LA FORMULACIÓN DE MODELOS

Variables: Son parámetros de decisión (incógnitas).

Función objetivo: Función matemática que relaciona las variables de decisión.

Restricciones: Conjunto de desigualdades que limitan los valores que puedan tomar las variables de definición en la solución.

Linealidad: x, y.

Desigualdad: ≤, ≥.

No negatividad: x, y≥0

1.5 FORMULACIÓN DE MODELOS LINEALES.

Son muy variados sus modelos adoptan muchas formas, y esta diversidad puede confundirse y hacer difícil reconocer cuando debe aplicarse la programación lineal para estudiar problemas administrativos.

Con capacidad para reconocer la aplicación de la programación lineal es una aptitud administrativa y desarrolla cual es el objetivo.

La formulación y análisis de un modelo de programación lineal es una aptitud administrativa y se desarrolla el objetivo de la unidad.

Para que el modelo refleje con precisión la perspectiva administrativa del problema. La programación lineal es una técnica determinística para el análisis para elegir la mejor alternativa con frecuencia y viable la cual influye en satisfacer criterios y al mismo tiempo se puede ir un paso más adelante y dividir los criterios.

I.O. MODELO MODELO ICONICO MODELO ANALOGICO MODELO MATEMATICO

Función objetiva Variables Restricciones Linealidad Desigualdades No negatividad

Restricciones: Condiciones que debe satisfacer una solución que está bajo consideración sin más de una alternativa y satisfacer todas las restricciones factibles se usa el objetivo para seleccionar entre todas las alternativas.

Modelos de líneas de espera: Consiste en una formulación y relación matemática que pueden usarse para determinar las características operativas, medidas de desempeño para cada una de las características operativas de interés; incluye la siguiente probabilidad de que no haya unidades o clientes en el sistema. Cantidad promedio de unidades lineales de espera más la cantidad de unidades que se están atendiendo tiempo promedio que pasan una unidad en el sistema (el tiempo de espera más el tiempo de servicio).

Modelo de inventario: Comúnmente los inventarios están relacionados con la atención de cantidades suficientes de bienes (insumos, repuestos) que garanticen una operación fluida en un sistema o actividad comercial la forma efectiva de manejar inventarios en maximizando su impacto adverso encontrando un punto medio entre cada reserva y el exceso de reserva. Este método fue utilizado por los países industrializados de occidente.

Modelo de remplazo: Son una política de mejora continua de un producto como introducen nuevos modelos que vienen descontinuados y cuál es el tipo recomendado para sustituirlo.

Modelo de mantenimiento: Es un ciclo de mejora continua que se alinea a las estrategias políticas e individuales claves para el negocio y de elaboración de modelo que se presentan se ha considerado numerosas propuestas que se ordenan cronológicamente en tiempos.

Modelo de asignación de recursos: Modelos de programación lineal que involucran la asignación de recursos limitados a las actividades, con las características que identifican cualquier modelo.

1.6 MÉTODO GRAFICO

Representando geométricamente las restricciones, las condiciones técnicas y objetivo.

El modelo se puede resolver en forma gráfica si tiene 2 variables para modelos con más variables el método grafico es impráctico o imposible.

El método grafico se asocia una variable a cada eje coordenado y luego realiza 4 pasos básicos:

Reemplazar el signo de la desigualdad en una restricción por un signo de igualdad y calcular las intersectas donde la ecuación satisface la condición de igualdad.

Dibujar la línea correspondiente de la función. Identificar el sentido de la línea dependiente del sentido de la desigualdad

en la restricción. Sombrear la restricción de la gráfica que satisfaga las restricciones

formuladas hasta el momento.

Tipo de restricciones:

a) Cuando el signo de la restricción es ≤ el sentido ira dirigido hacia el origen, es decir hacia dentro.

b) Cuando el sentid de la restricción es ≥ el sentido del vector ira dirigido hacia fuera del origen.

Nota: cuando la función es maximizar se busca el punto más alejado del origen y si fuera minimizar se busca el más cercano al origen.

Realiza los siguientes ejercicios.

2x1 + 3x2=12 2x1=12-3x2

=12-3(2)

=-6

X1=3

2x1=12-3x2

X1=12-3x1

2

X1=6-3/2

2x1+ x2= 8

vv

EJERCICIOS:

1.

2.

2x1=8

X1=8/2

X1=4

X2=8

Max: Z= 300x1+100x2

40x1+8x2≤800

10x1+5x2≤320

X2≤60

X1,X2≥0

Z=6x1+7x2

2x1+3x2≤12

2x1+x2≤8

3x2=12

X2=12/3

X2=4

2x1=12

X1=12

X1=12/2

X1=6

A=(0,0)

B=(0,4) 7(4)=28

C=(3,2) 6(3)+7(2)=32

D=(4,0) 6(4)=24

El mayor es: x1=3 x2=2

1. X1=20 x2=1002. X1=32 x2=643. X2=60

A=(0,0) B=(0,60) 100(60)=6000C=(2,60) 300(2)+100(60)=6600D=(12,40) 300(12)+100(40)=7600E=(20,0) 300(20)=600

3.

4.

1. X2=102. X1=30 x2=123. X1=18 x2=184. X1=14.6 x2=44

A=(0,0)

B=(0,10) 10=10

C=(10,5) 2(10)+5=25

D=(9,8) 2(9)+8=26

E=(12,5) 2(12)+5=29

F=14.6.0) 2(14.6)=29.2

Max: x1=14.6 x2=0

Max: Z=2x1+x2

X2≤10

2x1+5x2≤60

X1+x2≤18

3x1+x2≤44

X1,X2≥0

1. X1= 120 X2=602. X1=90 X2=90

A=(0,0)

B=(0,60) 50(0)+80(60)=4800

C=(60,30) 50(60)+80(30)=5400

D=(90,0) 50(90)+80(0)=4500

MIN: X1=90 X2=0

Min: Z=50x1+80x2

X1+2x2≤120

X1+x2≤90

X1, X2≥0

1. X1=20 x2=1002. X1=32 x2=643. X2=60

A=(0,0) B=(0,60) 100(60)=6000C=(2,60) 300(2)+100(60)=6600D=(12,40) 300(12)+100(40)=7600E=(20,0) 300(20)=600

5.

EJEMPLOS:

Imagine usted que tiene un compromiso de negocios en 5 semanas entre monterrey y Durango. Vuela hacia monterrey el lunes y regresa el miércoles. Un boleto normal de viaje redondo cuesta 400 pesos pero se ofrece el 20% de descuento si las fechas del boleto abarcan un fin de semana. Un boleto de viaje en cualquier dirección cuesta 75% del precio normal ¿Cómo debe comprar sus boletos para el periodo de cinco semanas?

MIN: Z:3X1+2X2

2X1+X2≤100

X1+X2≤80

X1≤40

X1, X2≥0

1. X1=50 X2=1002. X1=80 X2=803. X1=40

A=(0,0)

B=(0,80) 3(0)+2(80)=160

C=(20,60) 3(20)+2(60)=180

D=(40,20) 3(40)+2(20)=160

E=(40,0) 3(40)=120

MIN= X1= 40 X2=0

1. X1= 120 X2=602. X1=90 X2=90

A=(0,0)

B=(0,60) 50(0)+80(60)=4800

C=(60,30) 50(60)+80(30)=5400

D=(90,0) 50(90)+80(0)=4500

MIN: X1=90 X2=0

¿Cuáles son las alternativas de decisión?

Bajo qué restricciones se toma la decisión.

¿Cuál es el criterio objetivo adecuado para evaluar las alternativas?

Tiempo: 5 semanas

Opciones:

Comprar 5 boletos normales=2000 Comprar 1 boleto de monterrey a Durango, 4 normales que abarquen fin de

semana y uno de Durango a monterrey=1880 Comprar un boleto de monterrey a Durango y de Durango a monterrey que

cubran los viajes redondos cada boleto de esta alternativa abarca una semana= 1660

Un fabricante desea despachar 4 unidades de un artículo a 3 tiendas T1, T2, T3. Dispone de 2 almacenes desde donde realiza él envió A y B en el primero dispone de 5 unidades de este articulo y el segundo de 10. La demanda de cada tienda es de 8, 5, 2 unidades respectivamente. Los gastos de transporte de un artículo desde cada almacén a cada tienda están expresados en la siguiente tabla.

La compañía comercializadora de bebidas energéticas (Cilantro Salvaje) se encuentra promocionando 2 nuevas bebidas la tipo A y tipo B, dado que se encuentra en promoción se puede asegurar el cumplimiento de cualquier cantidad de demanda sin embargo existen dos políticas que la empresa debe considerar; Una de ellas es que la cantidad de bebidas tipo A no pueden ser menor que las tipo B; y la segunda es que se deben vender por lo menos 1000 bebidas de cualquiera de los dos tipo.

A T1 T2 T3 UNIDADES

A 1 2 3 5

B 3 2 1 10

DEMANDA 8 5 2

Z=8X1+5X2+2X3

Gastos de transporte

1x1+2x2+4x3=5

3x1+2x2+x3=10

Dado que se encuentran en promoción el precio de ambas bebida equivale a $1,800.

Determine la cantidad de unidades que se deben vender.

2 A*B

Restricciones:

A≥B A+B≥1500 Z= 1800+1800=3600.

La fábrica de hilados y tejidos Salazar requiere fabricar 2 tejidos de calidad diferente de Q’ y Q; se dispone de 500Kg de hilo de tipo A y 300Kg de tipo B y 108Kg de tipo C.

Para obtener 1m de Q diariamente se necesitan 125gr de hilo tipo A, 150gr de hilo tipo B y 72gr de tipo C. Para obtener hilo Q’ por día se necesitan 200gr de tipo A, 100gr de tipo B y 27 gr de tipo C. el Q se vende a $4000 el metro, si se debe obtener el máximo beneficio. ¿Cuántos metros de Q y Q’ se deben fabricar?

Q Q'TIPO A 125 gr 200 gr 500 KgTIPO B 150 gr 100 gr 300 KgTIPO C 72 gr 27 gr 108 Kg

$ 4,000.00

$ 5,000.00

Restricción:

1.- 125Q’+200Q≤500,000

2.- 150Q’+100Q≤300,000

3.- 72Q’+27Q≤108,000

125 X=500,000

X=4000

200 Y= 500,000

Y= 2,500

150 X= 300,000

X= 2000.

100 y= 300,000

Y= 3000

72 x= 108,000

X= 1500

27 y= 108, 000

Y=4000

A=0

B=(0,2500)

C=(1000,2000)

D=(3000,0)

UNDAD2

UNIDAD 2 METODO SIMPLEX

Es un procedimiento interactivo que progresivamente permite obtener una solución óptima para los problemas de programación lineal el proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando dicha solución.

El interés en la forma estándar en la programación lineal se basa en las ecuaciones lineales simultaneas esta situación (algebraica) define completamente los puntos extremos geométricos del espacio de la solución. El algoritmo simplex está diseñado para la localización de manera eficiente de la solución óptima de estas soluciones básicas se fundamentan en dos criterios:

a) criterio de optimibilidad: este principio garantiza que nunca encontrara soluciones inferiores a la del punto ya considerado

b) criterio de factibilidad: este criterio nos asegura que si comenzamos una solución óptima factible siempre en contra remos soluciones básicas factibles.

A la integración de toda la fila de la variable de salida con la columna de la variable de entrada se multiplica por su inverso para obtener lo que se llamara eje pivoté los coeficientes de las variables básicas en cualquier tabla simplex se conforma una matriz de identidad.

LEYES DEL METODO SIMPLEX

1. Una tabla se optimiza para casos de maximización cuando está en una zona infinito sean positivos o cero viceversa para el caso de maximización.

2. Para elegir la variable de entrada se toma el elemento más negativo de la zona infinito para el caso de la maximización y viceversa para el caso de minimización.

3. Para definir una variable de salida se forman coeficientes donde los numeradores se toman de la columna de la solución únicamente de las restricciones y donde los denominadores serán los números correspondientes en la columna de la variable de entrada.

OPTIMIZACION

Intenta aportar respuestas a un tipo general de problemas que consiste en seleccionar el mejoramiento entre un conjunto de elementos ayuda a encontrar la solución que le brinda los mejores resultados y dela utilidad más alta (producción o valor deseado), lo cual es el resultado con el mínimo costo (desperdicio o valor no deseado).

Estos problemas involucran el uso más eficiente de los recursos incluyendo tiempos dinero maquinaria personal inventario y más.

En programación lineal (PL) es una técnica matemáticamente que proporciona un método para encontrar una decisión optima entre un gran número de decisión optima entre un gran número de decisiones posibles.

FACTIBILIDAD

Se refiere a la disponibilidad de los recursos necesarios para llevar acabo los objetos o metas señalados generalmente la factibilidad se determina sobre un proyecto. Su estudio es una de las principales etapas para el desarrollo en un sistema informático su estudio incluye los objetivos alcances y restricciones sobre el sistema, además de un modelo lógico de alto nivel del sistema actual (si existe). A partir de ella se crean soluciones alternativas para el nuevo sistema analizando cada uno de estos diferentes tipos.

TIPOS DE FACTIBILIDAD.

ECONMICA

OPERACIONALORGANIZADA

TECNICA

EJEMPLO1

MAX Z=4x1+3x2

2X1+3X2<=6

-3X1+2X2<=3

2X2<=5

Zo=-4X1-3X2

2X1+3X2+S1=6

-3X1+2X2+S2=3

2X2+S3=5

2X1+X2<=4

X1,X2>=0

2X1+X2+S4=4

X1,X2,S1,S2,S3,S4>=0

n= número de variables o incógnitas =6

m=número de restricciones=4

Numero de variables no básicas= n-m = 6-4 =(3)

Zo=-4X1+3X2-S1-S2-S3-S4=0

BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 S4 S0L RAZONZ 1 -4 -3 0 0 0 0 0

S1 0 2 3 1 0 0 0 6 6/2=3S2 0 -3 2 0 1 0 0 5 -3/3=-1S3 0 0 2 0 0 1 0 3 5/0=N/ES4 0 2 1 0 0 0 1 4 4/2=2Z 1 0 -1 0 0 2 8 8

S1 0 0 2 1 0 0 -1 2 2/2=1

S2 0 0 7/2 0 1 0 3/2 9 9/7/2=2.

5S3 0 0 2 0 0 1 0 5 5/2=2.5X1 0 1 1/2 0 0 0 ½ 2 2/1/2=4Z 1 0 0 1/2 0 2 17/2 9

X2 0 0 1 1/2 1 0 -1/2 1

S2 0 0 0 -7/4 0 0 13/

4 11/2S3 0 0 0 -1 0 1 1 3X1 0 1 0 -1/4 0 0 3/4 3/2

Comprobación

Z=4(3/2)+3(1)=9

2(3/2)+3(1)=6

-3(3/2)+2(1)+11/2=3

2(1)+3=5

2(3/2)+1=4

Valor de cada variable

X1=3/2

X2=1

S2=11/2

S3=3

EJEMPLO 2

MAX Z=2X1+X2

X1+2X2<=8

-3X1+2X2<=4

4X1+2X2<=24

X1+X2>=0

Zo=-2X1-X2

X1+2X2+S1=8

-3X1+2X2+S2=4

4X1+2X2+S3=24

X1.X2,S1,S2,S3>=0

BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 S0L RAZONZ 1 -2 -1 0 0 0 0

S1 0 1 2 1 0 0 8 8/1=8S2 0 -3 2 0 1 0 4 4/-3=-4/3S3 0 4 2 0 0 1 24 24/4=6Z 1 0 0 0 0 1/2 12

S1 0 0 3/2 1 0 -1/4 2S2 0 0 1/2 0 1 3/4 22X1 0 1 1/2 0 0 1/4 6

Z=2(6)+0=12

(6)+(0)+2=8

-3(6)+2(0)+22=4

4(6)+2(0)+(0)=24

Valor de las variables

S1=2

S2=22

X1=6

EJEMPLO 3

MIN Z=X1-3X2-2X3

3X1-X2+2X3<=7

-2X1+4X2<=12

Zo= -X1+3X2+2X3

3X1-X2+2X3+S1=7

-2X1+4X2+S2=12

-4X1+3X2+8X3<=10

X1,X2,X3>=0

-4X1+3X2+8X3+S3=10

X1,X2,X3,S1,S2,S3>=0

BASE Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 S0L RAZONZ 1 -1 3 2 0 0 0

S1 0 3 -1 2 1 0 0 7 7/2=3.5S2 0 -2 4 0 0 1 0 12 12/0=N/E

S3 0 -4 3 8 0 0 1 10 10/8=1.2

5Z 1 0 9/4 0 0 0 -1/4 -5/2

S1 0 -3 -7/4 0 1 0 -1/4 9/2S2 0 -2 4 0 0 1 0 12X3 0 -4/8 3/8 1 0 0 1/8 10/8

Z=0-3(0)-2(10/8)=-5/2

3(0)-(0)+2(10/8)+(9/2)=7

-2(0)+4(0)+12=12

-4(0)+3(0)+8(10/8)=10

X1,X2,X3,S1,S2,S3>=0


S1=9/2

S2=12

X3=10/8

Método de la gran “M”

Se añaden variables no negativas en cada una de las ecuaciones cuyas restricciones originales tengan (>= o =). Estas variables artificiales y su presencia es una violación a las leyes del algebra. Esta dificultad se supera asegurando que esta variable artificial sea cero en la solución final.

Utilizar las variables artificiales para la solución básica inicial, para ella la función objetivo debe ser ajustada de acuerdo.

Las variables artificiales proporcionan un artificio matemático para obtener la solución inicial. Son variables ficticias y no tienen ningún significado físico directo en términos del problema original.

Ejemplo:

MIN Z= 4X1+X2

3X1+X2=3

4X1+3X2>=6

X1+2X2<=4

X1,X2>=0

PASO 1

Pasar a formato estándar y añadir variables artificiales en las restricciones que tengan una desigualdad >=

MIN Z= 4X1+X2

3X1+X2=3

4X1+3X2+S1=6

X1+2X2+S2=4

X1,X2,S1,S2>=0

PASO 2

Se añade en la función objetivo, él coeficiente M contrario a su signo de dicha función, para cada variable artificio contenido en las restricciones y se iguala a 0

MIN Z= 4X1+X2-0S1-0S2+Mw1+Mw2

Z=-4X1-X2+0S1+0S2-Mw1-Mw2

PASO 3

Armar el tablero en la base simple que la desigualdad sea de signos (>= o =), la variable a contemplar será la artificial y en las desigualdades <= será siempre la base de las variables de holgura

EJEMPLO 1

MIN Z= 4X1+X2 R1=3-3X1-X2

3X1+X2+R1=3

4X1+3X2-S1+R2=6

X1+2X2+S2=4

X1,X2,S1,S2>=0

R2=6-4X1-3X2+S1

.

BASE Z X1 X2 S1 S2 R1 R2 S0L RAZONZ 1 -4 -1 0 0 -M -M 0

S1 0 3 1 0 0 1 0 3S2 0 4 3 0 0 0 1 6S3 0 1 2 1 1 0 0 4

Z=4X1+X2+MR1+MR2

Z=4X1+X2+M(3-3X1-X2)+M(6-4X1-3X2+S1)

4X1+X2+3M-3MX1-MX2+6M-4MX1-3MX2+MS1

9M+X1(4-7M)+X2(1-4M)+MS1

9M=(-4+7M)X1+(-1+4M)X2-MS1

BASE Z X1 X2 S1 S2 R1 R2 S0L RAZON

Z 1-

4+7M -1+4M -M 0 0 0 9MR1 0 3 1 0 0 1 0 3 3/3=1R2 0 4 3 -1 0 0 1 6 6/4=1.5S2 0 1 2 0 1 0 0 4 4/1=4Z 1 0 1+5M/ -M 0 4-7M/3 0 4+2M

3X1 0 1 1/3 0 0 1/3 0 1 1/1/3=3

R2 0 0 5/3 -1 0 -4/3 1 2 2/5/3=1.

2

S2 0 0 5/3 0 1 -1/3 0 3 3/5/3=1.

8

Z 1 0 0 1/5 0 8/6-M -1/5-

M 18/5X1 0 1 0 -1/5 0 3/5 -1/5 3/5X2 0 0 1 -3/5 0 -4/5 3/5 6/5S2 0 0 0 1 1 1 -1 1

Z= 4(3/5)+(6/5)

3(3/5)+(6/5) =3

4(3/5)+3(6/5) =6

(3/5)+2(6/5)+1=4

Valores de las variables

Z=18/5

X1=3/5

X2=6/5

S2=1

EJEMPLO 2

MIN Z=3X1+5X2

4X1+X2>=4

-X1+2X2>=2

X2<=3

X1,X2>=0

Zo=-3X1-5X2

4X1+X2+R1-S1=4

-X1+2X2+R2-S2=2

X2+S3=3

X1,X2>=0

R1=4-4X1-X2+S1

R2=2+X1-2X2+S2

BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 R1 R2 S0L RAZONZ 1 -3 -5 0 0 0 -M -M 0

R1 0 4 1 -1 0 0 1 0 4

R2 0 -1 2 0 -1 0 0 1 2S3 0 0 1 0 0 1 0 0 3

Z=3X1+5X2+M (4-4X1-X2+S1)+M (2+X1-2X2+S2)

Z=3X1+5X2+4M-4MX1-MX2+MS1+2M+MX1-2MX2+MS1

6M+X1(3-3M)+X2(5-3M)+MS1+MS2

6M= (-3+3M) X1+ (-5+3M) X2-MS1-MS2

BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 R1 R2 S0LRAZO

N

Z 1 -

3+3M -5+3M -M -M 0 0 0 6MR1 0 4 1 -1 0 0 1 0 4 1R2 0 -1 2 0 -1 0 0 1 2 -2S3 0 0 1 0 0 1 0 0 3 N/E

Z 1 0

-17+9M

/4 -3-M/4 -M 0 3-3M/4 0 3+3M

X1 0 1 1/4 -1/4 0 0 1/4 0 1 4R2 0 0 9/4 -1/4 -1 0 1/4 1 3 4/3S3 0 0 1 0 0 1 0 0 3 3

Z 1 0 0-

5/18 17/9 0 1/9-M 17/9-M 26/3X1 0 1 0 -2/9 1/9 0 2/9 -1/4 2/3

X2 0 0 1 -

4/36 -4/9 0 4/36 4/9 4/3

S3 0 0 0 4/3

6 4/9 1 -4/36 -4/9 5/3

Z=3(2/3)+5(4/3)

4(2/3)+(4/3)=4

-(2/3)+2(4/3)=2

(4/3)+(5/3)=3


Z=26/3

X1=2/3

X2=4/3

5/3

MÉTODO SIMPLEX DE 2 FASES

En el método m el uso de la penalización puede conducir a un error de redondeo. El método de las 2 fases elimina el uso de la constante M como su nombre lo indica, resuelve la programación lineal en 2 fases., En la 1º fase se trata de encontrar la solución y se haya 1, se invoca la fase 2 para resolver el problema original.

FASE 1:

Ponga el problema en forma de ecuación y agregue las variables artificiales necesarias a las restricciones (exactamente como en el método de la M), para tener certeza de una solución básica a continuación, determine una solución básica de las ecuaciones resultantes.

Que siempre minimize la suma de las variables artificiales, independientemente si la programación lineal es maximizar o minimizar.

Si el valor mínimo de la suma es positivo el problema de programación lineal no tiene una solución factible. De lo contrario si el valor mínimo es 0 prosiga con la fase 2.

FASE 2:

Use la solución factible de la fase 1 con una solución factible básica inicial para el problema original.

MAX 3X1+5X2

4X1+X2+R1-S1=4

-X1+2X2+R2-S2=2

X2+S3=3

X1,X2,S1,S2,S3>=0

0 0 0 0 0 1 1 04 1 -1 0 0 1 0 4

-4 -1 1 0 0 0 1 -4-1 2 0 -1 0 0 1 2-3 -3 1 1 0 0 0 -6

BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 R1 R2 S0L RAZONZ 1 3 3 -1 -1 0 0 0 6

R1 0 4 1 -1 0 0 1 1 4R2 0 -1 2 0 -1 0 0 0 2S3 0 0 1 0 0 1 0 0 3Z 1 0 9/4 -1/4 -1 0 -3/4 0 3

X1 0 1 1/4 -1/4 0 0 1/4 0 1S2 0 0 9/4 -1/4 -1 0 1/4 1 3S3 0 0 1 0 0 1 0 0 3Z 1 0 0 0 0 0 -1 -1 0

X1 0 1 0 -2/9 1/9 0 2/9 -1/9 2/3X2 0 0 1 -1/9 -4/9 0 1/9 4/9 4/3S3 0 0 0 1/9 4/9 1 1/9 -4/9 5/3

2º FASE

BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 S0LRAZO

NZ 1 -3 -5 0 0 0 0

X1 0 1 0 -2/9 1/9 0 2/3X2 0 0 1 -1/9 -4/9 0 4/3S3 0 0 0 1/9 4/9 1 5/3

Z 1 -3 0 -5/9 -

20/9 0 20/

3X1 0 1 0 -2/9 1/9 0 2/3X2 0 0 1 -1/9 -4/9 0 4/3S3 0 0 0 1/9 4/9 1 5/3

Z 1 0 0 -1/9 -

23/9 0 26/

3X1 0 1 0 -2/9 1/9 0 2/3X2 0 0 1 -1/9 -4/9 0 4/3S3 0 0 0 1/9 4/9 1 5/3

Z 0 0 -

7/12 0 23/9 73/

4 X1 1 0 -1/4 0 -1/4 ¼ X2 0 1 0 0 1 3

S2 0 0 ¼ 1 9/4 15/

4

Z 0 0 0 28/1

2 281/3

6 27 X1 1 0 0 1 2 4 X2 0 1 0 0 1 3 S1 0 0 1 4 9 15

MAX 3(4)+5(3)

4(4)+8(3)-15=4

-(4)+2(3) =2

(3)=3

X1,X2,S1,S2,S3>=0

Valor de las variables

Z=27

X1=4

X2=3

S1=15

UNIDAD 3

“ANALISIS DE LA DUALIDAD Y SENSIBILIDAD”

El análisis de la sensibilidad proporciona técnicas de cómputo eficientes para estudiar el comportamiento dinámico de la solución óptima que resulta al hacer cambios en los parámetros del modelo.

El problema dual es una programación lineal definida en forma directa y sistemática a partir del modelo original (primal) de programación lineal.

El problema primal se da en forma de ecuaciones todas las restricciones son ecuaciones con lado derecho no negativo y todas las variables son no negativas; todo el resultado obtenido a partir de la solución primal optima se aplican en forma directa al problema dual asociado.

Las reglas para determinar el sentido de la optimización (máx. o mín.), el tipo de restricción (<=, >=, =), y el signo de las variables duales (siempre no restringido) se da en la siguiente tabla:

Objetivo del problema primal

Problema dual

Objetivo Tipo de restricciones

Signo de variables

MaximizaciónMinimización

MinimizaciónMaximización

>=<=

No restringidoNo restringido

El sentido de la optimización en el dual siempre es opuesto al del primal, asi cuando el objetivo del cual es minimizar, las restricciones son del tipo >=.

Para plantear la tabla simplex una vez obtenida la matriz identidad se modifican los elementos para producir la matriz inversa.

Para llegar a la solución óptima existen dos métodos: (valores óptimos de las variables duales)= (vector renglón de los

coeficientes objetivos originales de las variables básicas optimas primales)*(inversa primal optima)

(coeficiente Z-primal optimo (costo reducido) de cualquier variable X)= (lado izquierdo de la j-ésima restricción dual)*(Lado derecho de la j-ésima restricción dual)

El análisis de la sensibilidad investiga el cambio de la solución óptima que resulta de hacer cambios en los parámetros del modelo de programación lineal. Los casos posibles en el análisis, se dan en la siguiente tabla:

Condición resultante de los cambios Acción recomendada

*La solución actual queda óptima y factible.

*La solución actual se vuelve no

*No es necesaria acción alguna.*Usar el simplex dual para recuperar la factibilidad.*Usar el simplex primal para

factible.

*La solución actual se vuelve no óptima.

*La solución actual se vuelve no factible y no optima al mismo tiempo.

recuperar la solución optima*Usar el método simplex generalizado para obtener una nueva solución.

Cambios que afectan la factibilidad: Cambios en el lado derecho:

(Nuevo lado derecho de la tabla en la iteración “i”)= (inversa en la iteración “i”)*(nuevo lado derecho de la iteración “i”)

Adición de nuevas restricciones lo cual nos puede llevar a dos casos:- La nueva restricción es redundante, es decir, se satisface con la

solución óptima actual; se puede eliminar.- La solución actual viola la nueva restricción; se puede aplicar simplex

dual para recuperar la factibilidad.

Ejemplo 1:

Max Z=3 X1+5 X2

X1≤4

2 X2≤12

3 X1+2 X2≤18

X1 , X2≥0

1. Las restricciones se vuelven “Y” y se minimiza; las igualdades de mis restricciones pasan a ser mi función objetivo y “Z” se sustituye por “W”.

MinW =4 y1+2 y2+18 y3Y 1+3Y 3≥32Y 2+2Y 3≥5

BASE W Y1 Y2 Y3 S1 S2 SOL

W 1 4 12 18 0 0 0

S1 0 1 0 3 -1 0 3

S2 0 0 2 2 0 -1 5

W 1 -2 12 0 6 0 -18

Y3 0 1/3 0 1 -1/3 0 1

S2 0 -2/3 2 0 2/3 -1 3

W 1 2 0 0 2 6 -36

Y3 0 1/3 0 1 -1/3 0 1

Y2 0 -2/6 1 0 2/6 -1/2 3/2

W =36Y 3=1Y 2=32

Comprobación :MinW =4 y1+2 y2+18 y3→0+18+18=36

Y 1+3Y 3→0+3=3

2Y 2+2Y 3=2(32 )+2 (1 )=3+2=5

Ejemplo 2:

Min Z=4 X1+2 X2+X3

X1+4 X2≥8

5 X1+2 X2+X3≥12

2 X2+X3≥15

X1 , X2 , X3≥0

Max W=8 y1+12 y2+5 y32Y 1+5Y 3+S1≤44 Y 1+2Y 2+2Y 3+S2≤2Y 2+Y 3+S3≤1

BASE W Y1 Y2 Y3 S1 S2 S3

SOL

W 1 -8 -12

-15 0 0 0 0

S1 0 2 5 0 1 0 0 4

S2 0 4 2 2 0 1 0 2

S3 0 0 1 1 0 0 1 1

W 1 -8 3 0 0 0 15 15

S1 0 2 5 0 1 0 0 4

S2 0 4 0 0 0 1 0 0

Y3 0 0 1 1 0 0 1 1

W 1 0 23 0 4 0 0 31

Y1 0 1 5/2 0 1/2 0 0 2

S2 0 0 -10

0 -2 -1 0 -8

Y3 0 0 1 1 0 0 -1 1

W =31Y 1=2Y 3=1S2=1 Comprobación :

Max W=8 y1+12 y2+5 y3→8 (2 )+0+15=312Y 1+5Y 3+S1=4→4+0+0=4

4 Y 1+2Y 2+2Y 3+S2=2→8+0+2−8=2 Y 2+Y 3+S3=1→0+1+0=1

“MODELO DE TOYCO”

Este modelo nos ayuda para demostrar cómo se obtienen resultados con la tabla simplex óptimo. La solución óptima de una programación lineal se basa en una forma instantánea de las condiciones que prevalecen en el momento de formular y resolver el modelo.

En el mundo real los ambientes de decisión raramente permanecen estáticos y cambia la solución óptima. Cuando se modifican los parámetros del modelo, eso es lo que hace el análisis de sensibilidad.

El sistema dual se utiliza para presentar un tratamiento álgebra ico dual; es una programación lineal definida en forma directa y sistemática a partir del modelo original (primal) de programación lineal.

En las presentaciones de linealidad se definen para varias formas de primal dependiendo del sentido de la optimización (más. o min.), tipos de restricciones y la orientación de las variables no negativas o no restringidas. Este da como resultado todo lo obtenido a partir de la solución primal óptima.

Se aplican en la forma directa al problema dual asociado. Para mostrar cómo se forma el problema dual se define en primal en forma de ecuación:

Max o Min Z=∑i=1

n

C J X i

∑i=1

n

aij x j=bi ,i=1,2,3 ,… ,m ,xj ≥0 , j=1 ,2 ,3 ,…,n

Los excedentes, holguras y variables artificiales se tienen que:

1. Se define un variable dual por una ecuación primal (restricción).

2. Se define una restricción dual por cada variable primal.

3. Los coeficientes de restricción dual y su coeficiente objetiva define el lado derecho.

4. Los coeficientes objetivos de dual son iguales al lado derecho de las incursiones de restricción primal.

“RELACIÓN PRIMAL-DUAL”

1. ¿Por qué se plantean el programa dual?

R: por una parte permite resolver problemas lineales donde el número de restricciones es mayor que el número de variables y lo que nos proporciona de forma automática la solución del otro programa.

2. ¿Qué significado tiene su solución?

R: identifica en donde está la vulnerabilidad, el rango de poder o en donde se puede aún tomar decisiones.

3. ¿La solución de dual se puede obtener desde primal?

R: si se puede, pero el dual es más óptimo.

Ejemplo:

El entrenador de basquetbol está interesado en preparar lo que ha bautizado como la ensalada vitamínica, la cual puede prepararse a través de 5 verduras básicas disponibles, definidas como 1, 2, 3, 4, 5. Se desea que la ensalada contenga por lo menos 10 unidades de la vitamina A y 25 de la vitamina C. La relación entre el contenido vitamínico y el costo de las verduras se considera en la siguiente tabla.

Vitaminas 1 2 3 4 5

A 2 0 3 4 1

C 1 2 2 1 3

Costo 100

80 95 100

110

Min Z=100 X1+80 X 2+953+100 X4+110 X5

2 X1+3 X3+4 X4+ X5≥10

X1+2 X2+2 X3+X 4+3 X5≥25

DUAL Max W=10 y1+25 y22Y 1+Y 3+S1≤1002Y 2+S2≤803Y 1+2Y 2+S3≤954 Y 1+Y 2+S4≤100Y 1+3Y 2+S5≤11O

BASE W Y1 Y2 S1 S2

S3 S4 S5 SOL

W 1 -10 -25 0 0 0 0 0 0

S1 0 2 1 1 0 0 0 0 100

S2 0 0 2 0 1 0 0 0 80

S3 0 3 2 0 0 1 0 0 95

S4 0 4 1 0 0 0 1 0 100

S5 0 1 3 0 0 0 0 1 110

W 1 -5/3 0 0 0 0 0 25/3 2750/3

S1 0 2/3 0 1 0 0 0 -1/2 190/3

S2 0 -2/3 0 0 1 0 0 -2/3 20/3

S3 0 7/3 0 0 0 1 0 -2/3 65/3

S4 0 11/3 0 0 0 0 1 -1/3 190/3

Y2 0 1/3 1 0 0 0 0 1/3 110/3

W 1 0 90/11 10400/11

S1 0 0 -29/66 380/11

S2 0 0 -8/11 200/11

S3 0 0 -5/11 -205/11

Y1 0 1 0 0 0 0 3/11 -3/33 190/11

Y2 0 0 1 0 0 0 -3/33 4/11 340/11

W =1040011

Y 1=19011

Y 2=34011

S1=33011

S2=20011

S3=−20511

Comprobación :

Max W=10 y1+25 y2→10( 19011 )+25( 34011 )=1040011

2Y 1+Y 3+S1→2(19011 )+( 34011 )+( 33011 )=1002Y 2+S2→2( 34011 )+( 20011 )=80

3Y 1+2Y 2+S3→3 (19011 )+2( 34011 )+(−20511 )=95

4 Y 1+Y 2+S4→4(19011 )+( 34011 )+0=100Y 1+3Y 2+S5→( 19011 )+3 (34011 )+0=110

PRIMAL

Min Z=100 X1+80X 2+953+100 X4+110 X5

2 X1+3 X3+4 X4+ X5≥10

X1+2 X2+2 X3+X 4+3 X5≥25

Z0=−100 X1−80 X2−953−100 X4−110X5

2 X1+3 X3+4 X4+ X5−S1=10

X1+2 X2+2 X3+X 4+3 X5−S2=25

BASE Z X1 X2 X3 X4 X5 S1 S2 SOL

Z 1 100 80 95 100 110 0 0 0

S1 0 2 0 3 4 1 -1 0 10

S2 0 1 2 2 1 3 0 -1 25

Z 1 190/3 20/3 65/3 100/3 0 0 0 -2750/3

S1 0 5/3 -2/3 7/3 11/3 0 -1 1/3 5/3

X5 0 1/3 2/3 2/3 1/3 1 0 -1/3 25/3

Z 1 0 32 -67 -76 0 38 -38/3 -980

X1 0 1 -2/5 7/5 11/5 0 -3/5 1/5 1

X5 0 0 4/5 1/5 -1/15 1 1/5 -2/5 8

Z 1 0 -120

-105 -190/3

-140 0 1102/3 -2500

X1 0 1 2 2 2 3 0 -29/5 25

S1 0 0 4 1 -1/3 5 1 -10 40

Z=2500 X1=25 S1=40

Min Z=100 X1+80 X 2+953+100 X4+110 X5→100 (25 )=2500

2 X1+3 X3+4 X4+ X5−S1→2 (25 )−40=10

X1+2 X2+2 X3+X 4+3 X5−S2→25=25

“Programación lineal entera”

Los problemas de programación con enteros se formulan de la misma manera que los problemas de programación lineal pero agregando la condición de que:

1) Todas las variables de decisión deben tomar valores enteros (programación entera pura).

2) Sólo algunas de las variables de decisión deben tomar valores enteros (programación entera mixta).

3) Todas las variables de decisión deben tomar los valores enteros 0 y 1 (programación entera binaria).

“Método del plano de corte”

1) Es una variante del método simplex Resolver el problema como si fuera un problema ordinario de PL ignorando las restricciones enteras.

2) agregar las nuevas restricciones problema, las cuales:

- hace no factible la solución óptima no entera previa.

-no excluyen cualesquiera de las soluciones enteras factibles.

- las nuevas restricciones agregadas son llamadas planos de corte.

3) obtener el proceso una nueva solución por el método simplex.

4) repetir el proceso (desde el punto 2) hasta obtener una solución entera.

Ejemplo 1:

Max Z=X1+5 X2+7 X3+3 X4

7X1+3 X2+2 X3+4 X4≤15

8 X1+2 X2+3 X3+5 X 4≤17

X1≤4 X3≤1X 2≤4 X4≤1

BASE Z X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3

S4 SOL

Z 1 -1 -5 -7 -3 0 0 0 0 0

S1 0 7 3 2 4 1 0 0 0 15

S2 0 8 2 3 5 0 1 0 0 17

S3 0 0 1 0 0 0 0 1 0 4

S4 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1

Z 1 -1 -5 0 -3 0 0 0 7 7

S1 9 7 3 0 4 1 0 0 -2 13

S2 9 8 2 0 5 0 1 0 -3 14

S3 9 0 1 0 0 0 0 1 0 4

X3 9 0 0 1 0 0 0 0 1 1

Z 1 -1 0 0 -3 1 0 5 7 27

S1 0 7 0 0 4 1 0 -3 -2 1

S2 0 8 0 0 5 0 1 -2 -3 6

X2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 4

X3 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1

Z=27S1=1S2=6 X 2=4 X3=1

Max Z=X1+5 X2+7 X3+3 X4→5 (4 )+7 (1 )=27

7X1+3 X2+2 X3+4 X4→3 (4 )+2 (1 )=15

8 X1+2 X2+3 X3+5 X 4→2 (4 )+3 (1 )=17

Ejemplo 2:

Max Z=5 X1+2 X2

72 X1+2 X2≤9

3 X1+X2≤11

X1 , X2≥0

BASE Z X1 X2 S1 S2 SOL

Z 1 -5 -2 0 0 0

S1 0 2 2 1 0 9

S2 0 3 1 0 1 11

Z 1 0 -1/3 0 5/3 55/3

S1 0 0 4/3 1 -2/3 5/3

X1 0 1 1/3 0 1/3 11/3

Z 1 0 0 3/12 3/2 18.75

X2 0 0 1 /4 -6/12 15/12

X1 0 1 0 -3/12 1/2 13/4

*Como mis resultados son decimales tengo que hacer otro simplex, tomando “X2” ya que es el valor más pequeño, de este modo tengo que hacer dos simplex de la siguiente manera:

Max Z=5 X1+2 X2

72 X1+2 X2≤9

3 X1+X2≤11

X2≤1

BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 SOL

Z 1 -5 -2 0 0 0 0

S1 0 2 2 1 0 0 9

S2 0 3 1 0 1 0 11

S3 0 0 1 0 0 1 1

Z 1 0 -0.33 0 5/3 0 18.33

S1 0 0 1-33 1 -2/3 0 1.66

X1 0 1 1/3 0 1/3 0 11/3

S3 0 0 1 0 0 1 1

Max Z=5 X1+2 X2

72 X1+2 X2≤9

3 X1+X2≤11

X2≥2

Z 1 0 0 0 5/3 0.33 18.66

S1 0 0 0 1 -2/3 -1.33 0.33

X1 0 1 0 0 1/3 -1/3 10/3

X2 0 0 1 0 0 1 1

Z 1 -5 -2 0 0 0 0

S1 0 2 2 1 0 0 9

S2 0 3 1 0 1 0 11

S3 0 0 1 0 0 -1 2

Z 1 0 -0.33 0 5/3 0 55/3

S1 0 0 1-33 1 -2/3 0 1.66

X1 0 1 1/3 0 1/3 0 11/3

S3 0 0 1 0 0 -1 2

Z 1 0 0 33/133 599/399 0 16.50

X1 0 0 1 1/1-33 -2/3.99 0 2.50

X2 0 1 0 -100/399

599/1197

0 2

S3 0 0 1 0 1 1 0

*Realizando otro simplex porque mis resultados aún fueron decimales, obtenemos el siguiente resultado:

𝑍= 18.67 𝑋1 = 3.33

𝑋2 = 1

Z=17

X1=3

Z=16.50

X1=2.50

Solucion

NO

factible

X1≤3

X1≥4

Mayor Z

PARCIAL 4

PROBLEMA DE TRANSPORTE

Consiste en decir cuántas unidades trasladar desde ciertos puntos de origen (plantas, ciudades, etc.)De modo de destino (centros de distribución, ciudades, etc.) de modo de minimizar los costos de transporte, dada la oferta y la demanda en dichos puntos. Se suponen conocidos los costos unitarios de transporte, los requerimientos de demanda y oferta disponible.

METODO DE LA ESQUINA NOROESTE

Comienza asignando la cantidad máxima permisible para la oferta y la demanda a la variable x.

La columna satisfecha se tacha indicando que las variables restantes en la columna o reglón se satisfacen tachado son igual a cero. Si la columna y el renglón se satisfacen simultáneamente, únicamente uno (cualquiera de los dos) debe tacharse.

Esta condición garantiza localizar las variables básicas ceros si es que existen. Después de ajustar las cantidades de oferta y demanda para todos los renglones y columnas no tachados, la cantidad máxima factible se asigna al primer elemento no tachado en la nueva columna o renglón el procedimiento termina cuando exactamente un renglón o una columna se dejan sin tachar.

METODO DE APROXIMACION DE VOGEL

Es un método heurístico de la resolución de problemas de transporte capaz de alcanzar una solución básica no artificial de inicio. Este modelo requiere de la realización de un número generalmente mayor de iteraciones que los demás métodos heurísticos existentes con este fin, sin embargo producen mejores resultados iniciales que los mismos. El método de aproximación de Vogel es un método heurístico de resolución de problemas de transporte capaz de alcanzar una solución básica no artificial de inicio, este modelo requiere de la realización de un número generalmente mayor de iteraciones que los demás métodos heurísticos existentes con este fin, sin embargo produce mejores resultados iniciales que los mismos

Se aplica 1.-Determinar para cada fila y columna una medidaUn algoritmo de penalización restando los dos costos menores en filas y columnas.

2.-Escoger la fila o columna con mayor

penalización si hay empate se escoge una a juicio personal.

3.- De la fila o columna se debe escoger la celdaSe deben agotar con menor costo, y en esta asignar la mayorOfertas y demandas cantidad posible de unidades.

4.-De ciclo y excepciones:

Detenerse cuando no se tacha fila/columna con cero ofertas.

Aplicar costos mínimos si no se tacha fila/columna con demanda positiva.

Costos mínimos si columna /fila son cero.

PROCEDIMIENTO DE OPTIMIZACION

Partiendo de una solución inicial factible es necesario probar la optimización de la asignación evaluando todas las celdas no asignadas (vacías) y determinando la conveniencia de asignar en ellas.

En la evaluación de las celdas vacías para un posible mejoramiento, una ruta cerrada (ciclo) es seleccionada.

La ruta se mueve y , considerando que las celdas asignadas y no asignadas pueden ser brincadas en el movimiento para localizar un celda adecuada. Todas deben asignarse menos la que se está evaluando.

Cuando los movimientos alrededor de la ruta cerrada se realizan en cada celda que toque la ruta , que resulta con la adición de una unidad y la resta de una unidad de cada fila y columna incluida en la ruta.

Para evaluar la celda vacía se realiza la sumatoria de los costos de cada una de las celdas en la ruta.

Si alguna celda arrojara un signo negativo (min) se evalúa más negativo. Esto indica que una reducción en el costo total puede lograrse transfiriendo tantas unidades como sea posible a esa celda.

El número de unidades posibles a ser transferido será igual a la mínima cantidad que se encuentra asignada en las celdas de la ruta con costo negativo.

Si la evaluación de todas las celdas vacías arrojan valores positivos, se dice que la asignación es óptima.

PROBLEMAS DE ASIGNACION

Es una variación de problema original de transporte, variación en la cual las variables de decisión x (i, j) solo pueden tomar valores binarios (0,1) en la solución

óptima, lo que supone que la oferta y la demanda están perfectamente alineadas, de hecho son iguales a uno.

Este modelo ayuda a resolver que fuente satisface mejor el destino.

No es necesario que el número de fuentes sea igual al número de destinos.

METODO HONGURO

Es un método de optimización se basa en un algoritmo:

1.- Construir la matriz de costo n*m o matriz m*m donde, n=m. Se encuentra el elemento más pequeño en cada fila de la matriz.

2.-Se construye una nueva matriz n*m, en donde se asignaran los valores resultantes de la diferencia entre cada costo y el valor mínimo de la fila a la cual cada costo correspondiente.

3.-Realizar pasó 1 y 2 pero con columnas.

4.- Trazar líneas horizontales o verticales o ambas con el objetivo de cubrir todos los ceros de costos reducidos con el menor número de líneas posibles. Si filas = columnas (líneas) se ha logrado la optimización.

5.-Encontrar el menor elemento de los valores que no están cubiertos por las líneas. Se resta del restante de elementos no cubiertos por las líneas. Ese mismo valor se suma a los valores que están en las intersecciones de las líneas.

Al finalizar volver al paso 4.

Fuente: http:www.ingenieriaindustrial.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigacio%c3%B3n-de-operaciones/m%C3%A9todo-de-aproximaci%C3%B3n-de-yogel/.

ESQUINA NOROESTE

MAS DE UN ORIGEN

DEMANDA Y OFERTA COSTOS

EJEMPLO:

La compañía Sound Right. Transporta granos de 4 silos hasta 6 molinos. La oferta y demanda son:

Destinos(Molinos)

Fuentes

(Silos)

1 2 3 4 5 6 Oferta Operaciones

1 2 30 1 20 3 3 2 5 50 50-30=20

20-20=0

2 3 2 30 2 10 4 3 4 40 40-30=10

10-10=0

3 3 5 4 10 2 40 4 10 1 60 60-10=50

50-40=10

10-10=0

4 4 2 2 1 2 20 2 11 31 31-20=11

11-11=0

Demanda 30 50 20 40 30 11 181

30 10 20 0

DIAGRAMA

SILOS MOLINOS

30 COSTOS DE TRANSPORTE 20 30(2)+20+2(30)+2(10)+4(10)+2(40)+4(10)+

30 2(20)+2(11)=

10 60+20+60+20+40+80+40+40+22= 382

1

2

3

4

1

2

3

4

5

10

40

20 10

11

EJEMPLO 2

3 Fábricas envían su producto a 5 distribuidores. Las disponibilidades, los requerimientos, y costos unitarios de transporte se dan en la siguiente tabla:

Fabricación

Distribuidores

1 2 3 4 5 Oferta

1 20 30 19 10 14 21 16 40 40-30=10

10-10=0

2 15 20 30 13 30 19 16 60 60-30=30

3 18 15 18 20 20 40 x 10 70 70-20=50

50-40=10

Demanda 30 40 50 40 60

40-10=30 50-30=20 60-10=50

DIAGRAMA

FABRICACION DISTRIBUIDORES

30

10

6

1

1

1

2

30

30

20

40

COSTO DE TRANSPORTE

600+190+600+390+360+800= 2940

EJEMPLO 3

Fabricas

Distribuidores

1 2 3 4 5 Costos

A 42 11 42 8 44 40 44 19 19-11=8

B 34 42 5 40 7 46 16 48 28 28-5=23

23-7=16

C 46 44 42 48 1 46 24 25 25-1=24

Demanda 11 13 7 17 24 170

13-8=5 17-16=1

DIAGRAMA

FABRICAS DISTRIBUIDORES

11

2

3

3

4

5

1

8

5

7

16

1

COSTO DE TRANSPORTE

462+336+210+280+736+48+1104= 3176

COSTO MINIMO 30/06/2015

CARACTERISTICAS:

Tiene en cuenta los costos para hacer las asignaciones. Es más elaborado que el método de las esquinas noroeste.

1.-Construya una tabla de disponibilidades, requerimientos

y costos.

2.-Empiece en la casilla que tenga el menor costo de todala tabla, si hay empate escoja arbitrariamente.

3.-Asigne lo máximo posible entre la disponibilidad y elrequerimiento (el menos de los dos).

4.-Rellene con ceros la fila o columna satisfecha y actualice la disponibilidad y el requerimiento restándoles lo asignado.ALGORITMO

NOTA: Recuerde que no debe eliminar o satisfacer filas

A

1

B

C

2

3

4

5

y columnas al mismo tiempo, en caso de la oferta sea igual a la demanda se usara el épsilon.

5.-Muevase a la casilla con el costo mínimo de la tabla resultante (sin tener en cuenta la fila o columnasatisfecha.

6.-Regrese a los puntos 3,4 y 5 sucesivamente hastaQue todas las casillas queden asignadas.

EJERCICIO 1 30/06/2015

La compañía Sound Right. Transporta granos de 4 silos hasta 6 molinos. La oferta y demanda son:

Destinos(Molinos)

Silos 1 2 3 4 5 6 Oferta Operaciones

1 2 10 1 10 3 0 3 0 2 30 5 0 50 50-10=40

40-30=10

2 3 0 2 40 2 0 4 0 3 0 4 0 40

3 3 20 5 0 4 20 2 9 4 0 1 11 60 60-11=49

49-9=40

40-20=20

4 4 0 2 0 2 0 1 31 2 0 2 0 31

Demanda 30 50 20 40 30 11 181

30-10=20 50-40=10 40-31=9

DIAGRAMA

SILOS MOLINOS

COSTOS DE TRANSPORTE

11

10 10 20+10+60+80+60+80+18+11+31=370

40

20 20 30

9

31EJEMPLO 2 30/06/2015

Fabricas

Distribuidores

1 2 3 4 5 Costos Operaciones

A 42 0 42 2 44 0 40 17 44 0 19 19-17=2

B 34 11 42 10 40 7 46 0 48 0 28 28-11=17

17-7=10

C 46 0 44 1 42 0 48 0 46 24 25 25-1=24

Demanda 11 13 7 17 24 170

13-2=11

11-10=1

DIAGRAMA


11

2

10

17

2

3

4

2

3

4

5

6

A

1

B

1

2

3

7

1

24

COSTO DE TRANSPORTE

84+680+374+420+280+44+1104=2986

TAREA

COSTO MINIMO

1 2 3 4 5 Oferta Operaciones

1 20 0 19 0 14 0 21 0 16 40 40

2 15 0 20 0 13 50 19 0 16 10 60 60-50=10

3 18 0 15 20 18 0 20 40 M 10 70 70-50=20

20-10=10

4 0 30 0 20 0 0 0 0 0 0 50 50-30=20

Demanda 30 40 50 40 60

40-20=20 60-40=20

20-10=10

DIAGRAMA

C 4

5

1

1

40

50 20

10

40

30

20

10


640+650+160+300+800=2550

ESQUINA NOROESTE

1 2 3 4 5 Oferta Operaciones

1 20 30 19 10 14 21 16 40 40-30=10

2 15 20 30 13 30 19 16 60 60-30=30

30-30=0

3 18 15 18 20 20 40 M 10 70 70-20=50

50-40=10

4 0 0 0 0 0 50 50

Demanda 30 40 50 40 60

2

3

4

2

3

4

5

40-10=30 50-30=20 60-10=50

DIAGRAMA

30

10

30

30

20

40

50 10


600+190+600+390+360+800=2940

METODO VOGEL 02/07/2015

Algoritmo

1.-Construir una tabla de disponibilidad (ofertas), requerimientos (Demanda) costos.

2.- Calcular diferencia entre costos más pequeños y el segundo costo más pequeño, para cada fila y para cada columna.

1

2

3

4

1

2

3

4

5

3.-Escoger entre las filas y columnas la que tenga la mayor diferencia (en caso de empates decida arbitrariamente).

4.-Asigne al máximo posible en la casilla con menor costo en la fila o columna escogida en el punto 3.

5.-Asigne 0 a las otras casillas de la fila o columna donde la disponibilidad o requerimiento quede satisfecho.

6.-Repita los pasos del 2 al 5 sin tener en cuenta las filas o columnas satisfechas hasta que todas las casillas queden asignadas.

NOTA: Recuerde que más debe satisfacer filas o columnas al mismo tiempo en caso que la disponibilidad sea igual al requerimiento en tal caso use épsilon E.

EJERCICIO 1

fabricas Distribuidores

1 2 3 4 5 Oferta Penalizaciones

1 20 0 19 0 14 20 21 0 16 20 40 2 2 2

2 15 30 20 0 13 30 19 0 16 0 60 2 2 3

3 18 0 15 40 18 0 20 0 M 30 70 3 3 M-18

4 0 0 0 0 0 0 0 40 0 10 50 0 0

Demanda 30 40 50 40 60

Diferencia entre las más

pequeñas

15 15 13 19 16

3 4 4 1 0

DIAGRAMA


30

20 COSTOS DE TRANSPORTE

20 280+320+450+390+600=2040

30

40

40 30

10

EJERCICIO 2

Distribuidores

1

2

3

4

2

3

4

5

1

Fabricas 1 2 3 4 5 Costos Penalizaciones

A 42

0 42 2 44 0 40 17 44 0 19

2

2 2 2

B 34

11 42 10 40 7 46 0 48 0 28

17

10

6 2 6

C 46

0 44 1 42 0 48 0 46 24 25

24

2 2 2

Demanda 11 13 7 17 24


pequeñas

8 3

1

0

2 6 2

6

DIAGRAMA


11

2

10

17

7

1

24

A

1

B

C

1

2

3

4

5

COSTO DE TRANSPORTE

84+680+374+420+280+44+1104=2986

EJERCICIO 3

La compañía Sound Right. Transporta granos de 4 Fuentes hasta 6 molinos. La oferta y demanda son:

Fuentes

Destinos(Molinos)

1 2 3 4 5 6 Oferta Penalizaciones

1 2 0 1 20 3 0 3 0 2 30 5 0 50

20

1 1

2 3 0 2 20 2 20 4 0 3 0 4 0 40

20

1 1

3 3 30 5 10 4 0 2 9 4 0 1 11 60

49

40

10

1 2

4 4 0 2 0 2 0 1 31 2 0 2 0 31 1

Demanda 30 50 20 40 30 11 181


pequeñas

1 1 1 1 1 1

DIAGRAMA

SILOS MOLINOS

COSTOS DE TRANSPORTE 10 20+60+40+40+90+50+18+11+31=360

20

20

30 10

9 30

31

11

1

2

3

4

1

2

3

4

5

6

investigacion de operaciones

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