investigacion de operaciones
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INVESTIGACION DE OPERACIONESTRANSCRIPT
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CATEDRTICO:
ING. ARGIA LILI PAZ MOLINA.
ASIGNATURA:
INVESTIGACIN DE OPERACIONES II.
PRESENTA:
JESS ABUNDIS MANZANARES.
CARRERA:
LICENCIATURA EN INFORMATICA.
INSTITUTO TECNOLGICO
SUPERIOR DE PNUCO
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INVESTIGACIN DE OPERACIONES II
GLOBAL
INDICE UNIDAD 1 ................................................................................................................................................. 6
INVENTARIOS ......................................................................................................................................... 6
1.-INTRODUCCIN. ............................................................................................................................... 7
1.2.- CLASIFICACIN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE
INVENTARIOS. ........................................................................................................................................ 8
SISTEMAS DE INVENTARIOS. ........................................................................................................ 8
MODELO DE INVENTARIO SIN DFICIT .................................................................................... 10
FUNDAMENTOS ............................................................................................................................... 10
ANLISIS DE ECUACIONES.......................................................................................................... 12
MODELO DE INVENTARIO CON DFICIT .................................................................................. 15
ANLISIS DE ECUACIONES .......................................................................................................... 16
MODELO DE PRODUCCIN SIN DFICIT ................................................................................. 19
MODELO DE PRODUCCIN CON DFICIT ............................................................................... 21
MODELO DE DESCUENTO EN TODAS LAS UNIDADES ........................................................ 24
MODELO CON DESCUENTO INCREMENTALES ..................................................................... 31
1.3 COSTOS DE INVENTARIOS ....................................................................................................... 37
COSTOS DE ALMACENAMIENTO. ............................................................................................... 40
COSTOS DIRECTOS DE ALMACENAJE ..................................................................................... 41
CALCULO DE LA TASA ANUAL AD-VALOREM ..................................................................... 42
COSTOS DE LANZAMIENTO DEL PEDIDO. .............................................................................. 45
COSTOS DE ADQUISICION ........................................................................................................... 45
COSTOS DE RUPTURA DE STOCK ............................................................................................ 46
1.4 MODELOS DETERMINSTICOS ................................................................................................. 47
MODELO DE INVENTARIO GENERAL ........................................................................................ 47
1.5 PLANEACIN DE REQUERIMIENTOS DE MATERIALES. ................................................... 49
UNIDAD 2 ............................................................................................................................................... 51
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LNEAS DE ESPERA ............................................................................................................................ 51
INTRODUCCION. .................................................................................................................................. 52
ORIGEN. ............................................................................................................................................. 53
2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA. .............................................................. 56
USO DE LAS TASAS DE LLEGADA Y DE SERVICIO ............................................................... 57
APLICACIONES DE LA TEORIA DE LINEAS DE ESPERA. ..................................................... 59
TIEMPOS UNIFORMES DE LLEGABA Y DE SERVICIO. ......................................................... 62
TEORIA DE LINEAS DE ESPERA DE UN SOLO CANAL. ........................................................ 64
2.3 MODELO CON REABASTECIMIENTO INSTANTANEO. ................................................... 65
2.3 TEOREMA DE LITTLE............................................................................................................... 68
2.4 PATRONES DE LLEGADAS Y DE SERVICIO. ......................................................................... 70
2.5 SOLUCION ANALITICA LINEAS DE ESPERA. ........................................................................ 78
USO DE LAS TASAS DE LLEGADA Y DE SERVICIO ............................................................... 78
APLICACIONES DE LA TEORIA DE LINEAS DE ESPERA ..................................................................... 79
TIEMPOS UNIFORMES DE LLEGABA Y DE SERVICIO. ......................................................... 82
TEORIA DE LINEAS DE ESPERA DE UN SOLO CANAL. ........................................................ 83
PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE (MODELOS DE POISSON).................................. 84
PROCESO DE NACIMIENTO PURO Y MUERTE PURA. ......................................................... 84
MODELO DE NACIMIENTO PURO. .............................................................................................. 84
MODELO DE MUERTE PURA. ....................................................................................................... 86
UNA COLA, UN SERVIDOR Y POBLACIN FINITA. ................................................................ 89
UNA COLA-SERVIDORES MULTIPLES EN PARALELO-POBLACION INFINITA. .............. 96
UNIDAD 3 ............................................................................................................................................. 109
SIMULACIN ....................................................................................................................................... 109
3.1 INTRODUCCIN. ......................................................................................................................... 110
3.2 PROCEDIMIENTO DE SIMULACION. ...................................................................................... 112
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Descripcin del procedimiento empleado en las simulaciones. ............................................... 112
3.3 LOS NUMEROS ALEATORIOS Y EL MUESTREO DE VARIABLES ALEATORIAS. ...... 115
NMERO ALEATORIO. ................................................................................................................. 115
3.4 SIMULACION DE INVENTARIOS. ............................................................................................ 116
3.5 SIMULACION DE SISTEMAS CON LINEAS DE ESPERA. .................................................. 117
3.6 VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA SIMULACION. ........................................................... 130
VENTAJAS: ...................................................................................................................................... 130
DESVENTAJAS: .............................................................................................................................. 131
UNIDAD 4 ............................................................................................................................................. 132
TEORA DE JUEGOS ......................................................................................................................... 132
4. INTRODUCCION ........................................................................................................................... 133
4.2 JUEGOS DE SUMA CERO ......................................................................................................... 135
4.3 JUEGOS DE SUMA DISTINTA A CERO .................................................................................. 136
HISTORIA: ........................................................................................................................................ 137
HISTORIA DE LA TEORA DE JUEGOS. ................................................................................... 138
APLICACIONES. ............................................................................................................................. 140
UNIDAD 5 ............................................................................................................................................. 144
CADENAS DE MARKOV ................................................................................................................... 144
5.- INTRODUCCION. .......................................................................................................................... 145
PROBABILIDADES DE TRANSICIN. ....................................................................................... 148
5.2 EL DIAGRAMA DE ESTADOS Y LA MATRIZ DE TRANSICION ......................................... 161
DIAGRAMAS DE ESTADO ............................................................................................................ 161
5.3 CALCULO DE PROBABILIDADES DE TRANSICION Y DE ESTADO ESTABLE. ........................................ 168
RESULTADOS. ................................................................................................................................ 169
UNIDAD 6 ............................................................................................................................................. 170
PROGRAMACIN DINAMICA. ......................................................................................................... 170
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INTRODUCCION. ............................................................................................................................ 171
10.1 MODELOS DE PROGRAMACIN DINMICA ................................................................. 172
6.2 FORMULACION DE MODELOS PROGRAMACION DINAMICA ......................................... 172
6.3 METODO HACIA ATRAS ............................................................................................................ 172
ANEXOS ............................................................................................................................................... 173
PROBLEMARIO. ................................................................................................................................. 173
UNIDAD I .............................................................................................................................................. 174
1.-INVENTARIOS. ................................................................................................................................ 174
UNIDAD II ............................................................................................................................................. 202
Lneas de espera. ................................................................................................................................ 202
Documento PDF ................................................................................................................................. 202
UNIDAD III ............................................................................................................................................ 202
Simulacin .......................................................................................................................................... 202
Documento PDF ................................................................................................................................. 202
UNIDAD IV............................................................................................................................................ 202
Teora de Juegos ................................................................................................................................. 202
Documento PDF ................................................................................................................................. 202
UNIDAD V ............................................................................................................................................. 202
Cadenas de Markov ............................................................................................................................ 202
Documento PDF ................................................................................................................................. 202
UNIDAD VI............................................................................................................................................ 202
Programacin ..................................................................................................................................... 202
Documento PDF ................................................................................................................................. 202
BIBLIOGRAFIAS. ................................................................................................................................ 203
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UNIDAD 1
INVENTARIOS
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1.-INTRODUCCIN.
Inventarios son bienes tangibles que se tienen para la venta en el curso ordinario del
negocio o para ser consumidos en la produccin de bienes o servicios para su
posterior comercializacin.
Los inventarios comprenden, adems de las materias primas, productos en proceso y
productos terminados o mercancas para la venta, los materiales, repuestos y
accesorios para ser consumidos en la produccin de bienes fabricados para la venta o
en la prestacin de servicios; empaques y envases y los inventarios en trnsito.
La base de toda empresa comercial es la compra y venta de bienes o servicios; de
aqu la importancia del manejo del inventario por parte de la misma. T.Q.M.S.L.
Este manejo contable permitir a la empresa mantener el control oportunamente, as
como tambin conocer al final del perodo contable un estado confiable de la situacin
econmica de la empresa.
Ahora bien, el inventario constituye las partidas del activo corriente que estn listas
para la venta, es decir, toda aquella mercanca que posee una empresa en el almacn
valorada al costo de adquisicin, para la venta o actividades productivas.
Clases de Inventarios: Inventario de Mercancas: Lo constituyen todos aquellos bienes
que le pertenecen a la empresa bien sea comercial o mercantil, los cuales los
compran para luego venderlos sin ser modificados.
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En esta Cuenta se mostrarn todas las mercancas disponibles para la Venta. Las que
tengan otras caractersticas y estn sujetas a condiciones particulares se deben
mostrar en cuentas separadas, tales como las mercancas en camino (las que han
sido compradas y no recibidas an), las mercancas dadas en consignacin o las
mercancas pignoradas (aquellas que son propiedad de la empresa pero que han sido
dadas a terceros en garanta de valor que ya ha sido recibido en efectivo u otros
bienes).
Inventario de Productos Terminados: Son todos aquellos bienes adquiridos por las
empresas manufactureras o industriales, los cuales son transformados para ser
vendidos como productos elaborados.
1.2.- CLASIFICACIN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS.
SISTEMAS DE INVENTARIOS.
Las empresas mantienen inventarios de materias primas y de productos terminados.
Los inventarios de materias primas sirven como entradas al proceso de produccin y
los inventarios de productos terminados sirven para satisfacer la demanda de los
clientes.
Puesto que estos inventarios representan frecuentemente una considerable inversin,
las decisiones con respecto a las cantidades de inventarios son importantes.
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LI. Jess Abundis Manzanares | 1.2.- CLASIFICACIN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS.
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Los modelos de inventario y la descripcin matemtica de los sistemas de inventario
constituyen una base para estas decisiones.
Mantener un inventario (existencia de bienes) para su venta o uso futuro es una
prctica comn en el mundo de los negocios. Las empresas de venta al menudeo, los
mayoristas, los fabricantes y an los bancos de sangre por lo general almacenan
bienes o artculos. Cmo decide una instalacin de este tipo sobre su poltica de
inventarios, es decir, cundo y cmo se reabastece.
En una empresa pequea, el administrador puede llevar un recuento de su inventario
y tomar estas decisiones. Sin embargo, como esto puede no ser factible incluso en
empresas chicas, muchas compaas han ahorrado grandes sumas de dinero al
aplicar la administracin cientfica del inventario. En particular, ellos.
1. Formulan un modelo matemtico que describe el comportamiento del sistema de
inventarios.
2. Derivan una poltica ptima de inventarios con respecto a este modelo.
3. Con frecuencia, utilizan una computadora para mantener un registro de los niveles
de inventario y sealar cundo conviene reabastecer.
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MODELO DE INVENTARIO SIN DFICIT
FUNDAMENTOS
Este modelo tiene como bases el mantener un inventario sin falta de productos para
desarrollar las actividades de cualquier empresa.
Este es un modelo de inventarios que se encuentra basado en las siguientes
suposiciones:
La demanda se efecta a tasa constante.
El reemplazo es instantneo (la tasa se reemplazo es infinita).
Todos los coeficientes de costos son constantes.
En este modelo no se permite la falta de productos para la venta, es decir, una
empresa que maneje este modelo de inventario no se puede quedar sin mercancas
para la venta.
En la siguiente figura se ilustra esquemticamente este modelo.
Smbolos.
Q = Cantidad optima a pedir.
Im = Inventario Mximo.
t = Periodo entre pedidos.
T = Periodo de Planeacin.
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En este modelo se representan iguales el inventario mximo y la cantidad econmica
pedida.
Cabe mencionar que esto no siempre es verdadero.
El costo total para un periodo en este modelo esta conformado por tres componentes
de costo:
Costo unitario del producto (C1)
Costo de ordenar una compra (C2)
Costo de mantener un producto en almacn (C3).
El costo para un periodo estar conformado de la siguiente manera:
Costo por periodo = [Costo unitario por periodo] + [Costo de ordenar un pedido] +
[Costo de mantener el inventario en un periodo]
El costo total para el periodo de planeacin estar conformado de la manera
siguiente:
Costo total = Costo por periodo x Numero de pedidos a realizar.
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ANLISIS DE ECUACIONES.
Costo unitario por periodo.
El costo unitario por periodo simplemente es el costo de la cantidad optima a pedir.
C1 Q
Costo de ordenar una compra.
Puesto que solo se realiza una compra en un periodo el costo de ordenar una compra
est definido por:
C2
Costo de mantener el inventario por periodo.
El inventario promedio por periodo es [Q / 2]. Por consiguiente el costo de
mantenimiento del inventario por periodo es:
Para determinar el costo en un periodo se cuenta con la siguiente ecuacin:
El tiempo de un periodo se expresa de la siguiente manera:
Nota: La demanda del artculo en un periodo de planeacin se define con la letra D.
El nmero de periodos se expresa de la manera siguiente:
Si se desea determinar el costo total en el periodo de planeacin (T) se multiplica el
costo de un periodo por el nmero de interperiodos (t) que contenga el periodo de
planeacin. Para determinar este costo se aplica la siguiente ecuacin:
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Costo Total = Costo (Q*)t
Otra manera de representar el costo total para el periodo de planeacin es por medio
de la siguiente ecuacin:
Cuando los componentes del costo total se representan grficamente se obtiene un
punto ptimo (de costo mnimo).
Una forma de determinar la cantidad ptima a pedir es suponer diversos valores de Q
y sustituir en la ecuacin anterior hasta encontrar el punto de costo mnimo. Un
procedimiento ms sencillo consiste en derivar la ecuacin del costo total con
respecto a Q e igualar la derivada a cero.
Al resolver esta derivada tenemos la ecuacin para determinar la cantidad ptima a
pedir.
Q =
Esta ecuacin ocasiona un costo mnimo y tiene como base un balance entre los dos
costos variables (costo de almacenamiento y costo de compra) incluidos en el
modelo. Cualquier otra cantidad pedida ocasiona un costo mayor.
Para entender este modelo se resolver un ejercicio en donde se aplican todos los
aspectos ms importantes de este modelo de compra.
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EJERCICIO
Una empresa vende un artculo que tiene una demanda de 18, 000 unidades por ao,
su costo de almacenamiento por unidad es de $ 1.20 por ao y el costo de ordenar
una compra es de $ 400.00. El costo unitario del artculo es $ 1.00. No se permite
faltante de unidades y su tasa de reemplazo es instantnea. Determinar:
La cantidad optima pedida
El costo total por ao
El nmero de pedidos por ao
El tiempo entre pedidos
Datos
C1= $ 1.00
C2 = $ 400.00
C3 = $ 1.20
La cantidad optima a pedir se calcula de la siguiente forma.
= 3 465 Unidades
El costo total estar determinado por:
Costo = [(1)(18000)] + [ (400)(18000/3465)] + [(1.2)(3465/2)] = $ 22, 156 por ao
El nmero de pedidos por ao es
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N = D / Q = 18 000 / 3465 = 5.2 Pedidos por ao
El tiempo entre pedidos es
t = Q / D = 3465 / 18000 = 0.1925 aos
MODELO DE INVENTARIO CON DFICIT
FUNDAMENTOS
El modelo de compra que permite dficit tiene como base las siguientes suposiciones:
La demanda se efecta a tasa constante.
El reemplazo es instantneo (la tasa se reemplazo es infinita).
Todos los coeficientes de costos son constantes.
Este modelo tiene costos normales (costo unitario del producto, costo de ordenar una
compra, costo de mantener en inventario) pero adems tiene un costo adicional, el
costo por unidad de faltante.
En este modelo es posible diferir un pedido, de manera que una vez recibida la
cantidad pedida desaparece el dficit, esto se representa claramente en el siguiente
esquema.
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Q = Cantidad optima a pedir
S = Cantidad de unidades agotadas
Im = Inventario Mximo
t = Periodo entre pedidos
T = Periodo de Planeacin
t1 = Tiempo en donde se cuenta con inventario
t2 = Tiempo en donde se cuentan con unidades agotadas.
Por consiguiente, en este modelo, los costos de dficit son ocasionados por
agotamiento de existencias durante el periodo de tiempo y no por la prdida de
ventas.
En este modelo se incluyen los costos de dficit para determinar el costo para un
periodo.
Costo por periodo = [Costo unitario por periodo] + [Costo de ordenar un pedido] +
[Costo de mantener el inventario en un periodo] + [costo de dficit por periodo]
ANLISIS DE ECUACIONES
El costo unitario y el costo de ordenar un pedido se determinan de una manera
semejante a como se determinan en el modelo de compra sin faltante.
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Para determinar el tiempo t1, el inventario mximo y el tiempo t2 en funcin de la
cantidad ptima a pedir (Q) y la cantidad de existencias agotadas (S) se realiza el
siguiente proceso.
El inventario mximo estar definido por:
Im = Q S
Las siguientes ecuaciones se obtienen a partir de la semejanza de tringulos:
Debido a que el tiempo de un periodo t es Q / D. Las ecuaciones anteriores pueden
representarse de la siguiente forma.
Sustituyendo las ecuaciones 1,2 y 5 en la ecuacin del costo por periodo tenemos.
Multiplicando el costo de un periodo por el nmero total de interperiodos que tiene el
periodo de planeacin obtenemos el costo total.
Para determinar la cantidad optima a pedir y la cantidad de existencias agotadas se
realiza una operacin de derivacin parcial con respecto a cada una de estas
variables.
El resultado de estas operaciones nos da como resultado.
Para entender este modelo se resolver un ejercicio en donde se aplican todos los
aspectos ms importantes de este modelo de compra.
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EJERCICIO
Una empresa vende un artculo que tiene una demanda de 18, 000 unidades por ao,
su costo de almacenamiento por unidad es de $ 1.20 por ao y el costo de ordenar
una compra es de $ 400.00. El costo unitario del artculo es $ 1.00. El costo por
unidad de faltante es de $ 5.00 por ao. Determinar:
La cantidad optima pedida
El costo total por ao
El nmero de pedidos por ao
El tiempo entre pedidos
Datos
C1= $ 1.00
C2 = $ 400.00
C3 = $ 1.20
C4 = $ 5.00
La cantidad ptima a pedir se calcula de la siguiente forma.
= 3 465 Unidades
El costo total estar determinado por:
= 747 Unidades
El nmero de pedidos por ao es
= 4.66
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El tiempo entre pedidos es
=0.215
MODELO DE PRODUCCIN SIN DFICIT
FUNDAMENTOS
Las suposiciones de este modelo son las siguientes.
La demanda se efecta a tasa constante.
El reemplazo es instantneo (la tasa se reemplazo es finita).
Todos los coeficientes de costos son constantes.
La tasa de manufacturacin es mayor que la tasa de demanda.
Este modelo es muy similar al modelo de compra sin dficit. En este modelo cambia el
costo de ordenar una compra por el costo de iniciar una tanda de produccin (C2).
Para determinar la cantidad optima a pedir, se sigue el procedimiento del modelo de
compra sin dficit.
En el siguiente esquema se representa este modelo.
Q = Cantidad optima a producir
R = Tasa de manufacturacin
Im = Inventario Mximo
t = Periodo entre tandas de produccin
T = Periodo de Planeacin
t1 = Tiempo en donde se cuenta con inventario disponible
t2 = Tiempo en donde no se cuenta con inventario
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El costo de organizar una tanda por periodo estar determinado por.
El tiempo entre tandas de produccin estar definido por.
Puesto que las unidades se utilizan de acuerdo a su definicin el inventario mximo
por periodo es el tiempo de manufacturacin t1 multiplicado por la tasa de
acumulacin, en donde la tasa de acumulacin es la tasa manufacturacin R menos
la tasa de demanda D, obteniendo como resultado:
Im= t1(R - D)
El tiempo de manufacturacin es el tiempo requerido para fabricar Q unidades:
Por consiguiente el inventario mximo estar definido por:
Otra forma de representar el costo por periodo es de la forma siguiente:
Para determinar el costo total por el periodo de planeacin se proceder a multiplicar
el costo por periodo por el nmero de tandas de produccin.
Para encontrar la cantidad optima a producir se derivada esta ecuacin y se iguala
con cero.
En donde el valor de Q se puede obtener mediante la siguiente ecuacin:
Esta cantidad ptima que debe fabricarse representa un balance entre los costos de
almacenamiento y los costos de organizacin de una tanda de produccin.
Para entender este modelo se resolver un ejercicio en donde se aplican todos los
aspectos ms importantes de este modelo de manufacturacin.
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EJERCICIO
La demanda de un artculo de una determinada compaa es de 18, 000 unidades por
ao y la compaa puede producir ese artculo a una tasa de 3 000 unidades por mes.
El costo de organizar una tanda de produccin es $ 500.00 y el costo de
almacenamiento de una unidad es de $ 0.15 por mes. Determinar la cantidad ptima
de debe de manufacturarse y el costo total por ao suponiendo que el costo de una
unidad es de $ 2.00,
= 4 470 Unidades
El costo total anual es
= $ 40, 026
El inventario mximo estara determinado por:
= 2 235 Unidades
MODELO DE PRODUCCIN CON DFICIT
FUNDAMENTOS
Las suposiciones para este modelo son las siguientes:
La demanda se efecta a tasa constante.
El reemplazo es instantneo (la tasa se reemplazo es finita).
Todos los coeficientes de costos son constantes.
La tasa de manufacturacin es mayor que la tasa de demanda.
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INVESTIGACIN DE OPERACIONES II
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En la siguiente figura se ilustra esquemticamente este modelo.
Q = Cantidad optima a pedir
S = Cantidad de unidades agotadas
Im = Inventario Mximo
t = Periodo entre tandas de produccin
T = Periodo de Planeacin
t1 t4= Tiempo de manufacturacin
t2 t3= Tiempo de consumo de las unidades producidas.
El costo de un periodo de produccin estar determinado por la siguiente ecuacin:
Por definicin tenemos otra manera de representar el costo de produccin para un
periodo tenemos.
Multiplicando la ecuacin anterior por el nmero de periodos de produccin tenemos
el costo total para el periodo de planeacin:
Para determinar la cantidad ptima Q se obtienen las derivadas parciales con
respecto a Q y a S.
Realizando las operaciones correspondientes obtenemos como resultado:
Para entender este modelo se resolver un ejercicio en donde se aplican todos los
aspectos ms importantes de este modelo de manufacturacin.
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EJERCICIO
La demanda de un artculo de una determinada compaa es de 18, 000 unidades por
ao y la compaa puede producir ese artculo a una tasa de 3 000 unidades por mes,
El costo de organizar una tanda de produccin es $ 500.00 y el costo de
almacenamiento de una unidad es de $ 0.15 por mes. Determinar la cantidad optima
de debe de manufacturarse y el costo total por ao suponiendo que el costo de una
unidad es de $ 2.00. El costo por unidad agotada es de $ 20.00 por ao.
Datos
D = 18, 000 Unidades por ao
R = 3,000 por mes
C1 = $ 2.00
C2 = $ 500.00
C3 = $ 0.15 por mes
C4 = $ 20.00 por ao
La cantidad ptima estar definida por:
= 4670 Unidades
Para calcular el costo anual primero se deben calcular el nmero de unidades
agotadas.
= 193 Unidades
El costo total quedara definido por
Costo Total = $ 39, 855 por periodo de planeacin.
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MODELO DE DESCUENTO EN TODAS LAS UNIDADES
FUNDAMENTOS
Este modelo se basa manejar diferentes costos segn las unidades pedidas, es decir,
la cantidad de productos a comprar definir el precio de los mismos.
Algunas empresas manejan este modelo de inventario debido a que sus costos le
permiten realizar este tipo de compras. Este modelo les proporciona sus costos
totales ms bajos segn sus necesidades y los recursos con los que cuenten. En la
siguiente grfica se representa este modelo.
Ni = Cantidades a pedir
Costo i = Costos de adquirir la cantidad Ni
En este modelo se realizan descuentos segn la cantidad a comprar, por ejemplo, una
empresa distribuye artculos, sus precios son los siguientes:
De A Costo Unitario 0
10, 000
$ 5.00
10, 001
20,000
$4.50
20, 001
30, 000
$3.00
30, 001
En adelante
$2.00
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INVESTIGACIN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Segn estos costos si nosotros deseamos comprar entre 0 y 10, 000 unidades estas
tendrn un costo de $5.00, entre 10, 0001 y 20, 000 un costo de $4.50, entre 20, 001
y 30, 000 un costo de $3.00 y arriba de 30, 001 un costo de $2.00.
En la siguiente grfica se presentan los datos antes descritos.
Esto resulta bueno para algunas empresas que cuenten con costos de mantener
inventarios muy bajos, ya que pueden realizar compras en gran escala a precios
bajos.
Con este tipo de modelo los costos unitarios de los productos se ven mermados pero
los costos de mantener un almacn se pueden ver incrementados sustancialmente.
Cabe mencionar que se debe de tomar en cuenta que la mercanca en ocasiones
mantenerla en un almacn le ocasiona deterioro.
Para realizar el desarrollo de este modelo estructuraremos un algoritmo que consta de
cuatro pasos, en los cuales se tomarn aspectos importantes de este modelo.
Pasos para la aplicacin de este modelo.
Para realizar el desarrollo de este algoritmo nos apoyaremos en la siguiente grfica
en donde se representa este modelo.
PASO 1.
El primer paso es determinar la cantidad optima a pedir segn los costos (Costo de
pedir, Costo de mantener) que maneje la empresa, para cada uno de los descuentos
con que se cuentan.
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INVESTIGACIN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Determinaremos la cantidad optima a pedir para cada uno de los costos (C1, C2, C3,
C4) de los descuentos.
Q = Cantidad Optima
D = Demanda del artculo.
C1 = Costo unitario del artculo.
C2 = Costo de ordenar un pedido.
i = Porcentaje sobre el precio del artculo por mantenimiento en inventario.
Existen ocasiones en que la empresa maneja un costo de almacn adicional,
entonces la ecuacin que definida de la siguiente forma:
En donde C3 + iC1j ser el costo total de mantener en almacn.
PASO 2.
El segundo paso es realizar una comparacin de los valores de Qj con sus
respectivos niveles de precio (Ci), por ejemplo, se compara el valor obtenido de Q1
con respecto al intervalo que corresponde el valor del costo de C1, si este se
encuentra entre el valor de 0 y el valor de N1 entonces este valor de Q se tomar
como un valor ptimo. De igual manera se realizar una comparacin entre Q2 y el
intervalo de N1 y N2. Esto operacin se realiza con todos los valores de Q obtenidos.
En caso de que el valor obtenido no se encontrara dentro de este intervalo, la
cantidad ptima estar definida por el lmite inferior del intervalo.
En la grfica el valor de Q1 no se encuentra dentro de su intervalo, por consiguiente el
valor de Q2 ser su lmite inferior, o sea, Q2 = N1.
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INVESTIGACIN DE OPERACIONES II
GLOBAL
PASO 3.
El tercer paso es determinar los costos totales para cada uno de los valores ptimos
obtenidos anteriormente. El costo total lo determinaremos con la siguiente ecuacin.
PASO 4.
El cuarto paso es determinar el menor costo total obtenido en el paso anterior. El valor
de Q utilizado para determinar este costo ser la cantidad optima a pedir segn los
costos estimados en el planteamiento del problema.
Para entender mejor este modelo se resolver un problema en donde se describirn
cada uno de los pasos anteriormente mencionados.
EJERCICIO.
Determine la cantidad optima a ordenar para una parte comprada que tiene las
siguientes caractersticas:
Uso estimado anual a tasa constante 10, 000 unidades
Costo de procesar una orden $ 32.00
Intereses anual, impuesto y seguro como una fraccin del valor de la inversin sobre
el inventario promedio 20 %.
El esquema de precios es el siguiente:
Cantidad
Precio
0 < Q < 1, 000
$ 3.50
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INVESTIGACIN DE OPERACIONES II
GLOBAL
1, 000 < Q < 2, 000
$ 2.95
2, 000 < Q
$ 2.00
No se permiten faltantes el lote se entrega en un embarque.
RESOLUCIN.
Datos.
D = 10, 000 Unidades
C2 = $ 32.00
C11 = $ 3.50
C12 = $ 2.95
C13 = $ 2.00
i = 20 %
Nota: Cabe hacer mencin que el costo de mantener una unidad en almacn esta
definido por C3 = iC1j.
Representando los costos unitarios proporcionados tenemos la siguiente grfica.
Para iniciar con el desarrollo del problema seguiremos el algoritmo antes descrito.
PASO 1.
Determinaremos la cantidad optima a pedir para cada uno de los costos
proporcionados.
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INVESTIGACIN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Para C11 = $ 3.50 tenemos:
= 956.18
Para C12 = $ 2.95 tenemos:
= 1041.51
Para C13 = $ 2.00 tenemos:
= 1264.91
Con los datos obtenidos anteriormente terminaremos que las cantidades optimas que
se encuentran dentro del intervalo correcto.
Cantidad
Consideracin
0 < Q1 = 956.18 < 1, 000
1, 000 < Q2 = 1041.51 < 2, 000
2, 000 < Q3 = 1264.91
X
Debido a que Q3 no se encuentra dentro de su intervalo su valor quedar definido por
su intervalo inferior, o sea, Q3 = 2, 000.
Los datos obtenidos anteriormente pueden quedar representados en la siguiente
grfica.
-
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INVESTIGACIN DE OPERACIONES II
GLOBAL
PASO 3.
Ahora procederemos a determinar el costo total de los valores ptimos obtenidos
anteriormente.
El costo total para el primer valor ptimo obtenido es (Q1 = 956.18):
= $ 35, 669.32
El costo total para el segundo valor ptimo obtenido es (Q2 = 1041.51):
= $ 30, 114.48
El costo total para el segundo valor optimo obtenido es (Q3 = 2000):
= $ 20, 560.00
PASO 4.
Ahora solo falta determinar el mnimo valor del costo total calculado anteriormente.
Vemos que el valor mnimo es el del Costo Total3 por consiguiente la cantidad optima
a ordenar es de 2,000 unidades.
En la siguiente grfica se presentan los resultados obtenidos al calcular cada uno de
los costos totales y la determinacin del menor costo.
Como se puede ver en la grfica el menor costo se produce al pedir 2, 000 unidades.
Podemos concluir que la cantidad optima a pedir para este problema es de 2, 000
unidades y esto ocasiona tener un costo total de $ 20, 560.00.
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INVESTIGACIN DE OPERACIONES II
GLOBAL
MODELO CON DESCUENTO INCREMENTALES
FUNDAMENTOS
Este modelo se basa en manejar un precio unitario de un producto en referencia a la
cantidad necesitada, a diferencia del modelo de descuentos en todas las unidades
este realiza descuentos sobre una cierta cantidad de artculos que se encuentran
dentro de un intervalo. Para entender mejor este modelo supongamos que tenemos la
siguiente tabla de precios y deseamos conocer el costo de 25 000 unidades de cierto
producto.
De A Costo Unitario 0
10, 000
C11
10, 001
20,000
C12
20, 001
30, 000
C13
30, 001
En adelante
C14
En la siguiente grfica se presentas los costos unitarios de este producto.
Para determinar el costo de 25 000 unidades se tomarn 10 000 unidades a un costo
de C11, 10 000 unidades a un costo de C12 y 5 000 unidades a un costo de C13.
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INVESTIGACIN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Se toman las cantidades de los intervalos con sus respectivos precios hasta que se
logre acumular la cantidad requerida, es obvio que existe un gran contraste en
comparacin al modelo de descuentos en todas las unidades en donde el precio se
toma con referencia al intervalo en donde se encuentra la cantidad requerida.
Por consiguiente el costo de 25 000 unidades ser:
Costo = C11 (10 000) + C12(10 000)+ C13(5 000)
Para el modelo de descuentos en todas la unidades estara definido de la siguiente
manera:
Costo = C13 (25 000)
En la siguiente grfica se presentan los costos que nos representara adquirir una
cierta cantidad de un producto, por ejemplo, si queremos adquirir alguna cantidad que
se encontrase entre el intervalo de N0 y N1 la lnea de costo estara definida de la
siguiente manera:
Si la cantidad a adquirir sobrepasar el intervalo de N0 y N1, y se ubicar ahora entre
el intervalo de N1 y N2 la lnea de costo estar representada por:
Esto se realiza para todos los intervalos considerados, dando como resultado la
siguiente grfica.
Ahora podemos concluir que el costo no se incrementa linealmente, sino que toma
diversos estados en relacin a la cantidad requerida.
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INVESTIGACIN DE OPERACIONES II
GLOBAL
En este modelo se deber determinar la cantidad optima a pedir en base a los costos
unitarios con los que se cuenten, es decir, se determinar la cantidad optima para
cada costo unitario.
Es necesario tambin definir el costo de adquirir una cantidad Nj, es se realiza
mediante la siguiente ecuacin.
Para adquirir una cantidad N3 el costo de esta se le deber sumar los costos
anteriores, o sea, N1 y N2, esto se realiza debido a las bases en las que se
fundamenta el modelo anteriormente explicadas.
El costo ptimo total de un lote de productos estar definido por la siguiente ecuacin.
El costo total para un periodo de planeacin estar definido por la siguiente ecuacin.
Si a esta ecuacin la derivamos con respecto a Q obtendremos la ecuacin para
determinar la cantidad ptima a pedir.
En ocasiones algunas empresas manejan un costo de almacn adicional, entonces la
ecuacin es la siguiente:
En donde C3 + iCj ser el costo total de almacn.
Para entender mejor este modelo se resolver un problema en donde se describirn
cada uno de los pasos anteriormente mencionados.
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INVESTIGACIN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Ejercicio
Determine la cantidad ptima a ordenar para una parte comprada que tiene las
siguientes caractersticas:
Uso estimado anual a tasa constante 120, 000 unidades
Costo de procesar una orden $ 800.00
Intereses anual, impuesto y seguro como una fraccin del valor de la inversin sobre
el inventario promedio 10 %.
El costo de mantener es de $ 6.00.
El esquema de precios es el siguiente:
Cantidad
Precio
0 < Q < 10, 000
$ 6.00
10, 000
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INVESTIGACIN DE OPERACIONES II
GLOBAL
RESOLUCIN
Datos.
D = 120 000 Unidades
C2 = $ 800.00
i = 10 %
C3 = $ 6.00
La siguiente grfica nos representa la estructura de precios del problema.
Para desarrollar mejor este modelo, se realizar una tabla la cual contendr datos
referentes del problema que se analiza.
La tabla se presentar de la siguiente manera:
J
Cj
Nj
V(Nj)
V(Q)=V(Nj-1)+Cj(Q-Nj-1)
J = Intervalos
Cj = Precio unitario para el intervalo j
Nj = Cantidad para el periodo j.
V(Nj) = Costo de Nj unidades.
V(Q) = Costo de Q unidades
Ahora procederemos a iniciar el proceso de resolucin del problema. Encontraremos
los costos de lotes para cada uno de los intervalos de productos.
V(N1) = C1(N1-N0) = 6(10,000 - 0) = 60, 000
V(N2) = C2(N2- N1) = 60,000 + 5.80(30,000 10, 000) = 60,000+116, 000 = 176, 000
-
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INVESTIGACIN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Nota. En el paso anterior se le suma el costo del lote anterior al costo actual, es decir,
a 116 000 del costo del lote actual se le suma 60, 000 del costo anterior.
El costo ptimo total de un lote de productos estar definido por la siguiente ecuacin.
V(Q1) = V(N0) + C1(Q N0) = 0 + 6(Q - 0) = 6Q
V(Q2) = V(N1) + C2(Q N1) = 60 000 + 5.80(Q 10, 000) = 5.80 Q + 6 000
Ahora introduciremos los valores a la tabla quedando de la siguiente forma.
J
Cj
Nj
V(Nj)
V(Q)=V(Nj-1)+Cj(Q-Nj-1)
1
$ 6.00
10, 000 60, 000 6Q 2 $ 5.80 30, 000
176, 000
5.80 Q + 6000
3
$ 5.70
La cantidad ptima para los diferentes costos ser:
= 5 393.59 Unidades
= 10 105.82 Unidades
= 14 555.82 Unidades
-
LI. Jess Abundis Manzanares | 1.3 COSTOS DE INVENTARIOS 37
INVESTIGACIN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Los valores obtenidos los compararemos con sus respectivos intervalos.
Cantidad
Consideracin
0 < Q1 = 5393.59 < 10, 000
Si
10, 000
-
LI. Jess Abundis Manzanares | 1.3 COSTOS DE INVENTARIOS 38
INVESTIGACIN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Los primeros, son los necesarios para la operacin normal en la consecucin del Fin.
Mientras que los asociados a la Inversin son aquellos financieros relacionados con
depreciaciones y amortizaciones.
Dentro del mbito de los flujos habr que tener en cuenta los Costos de los flujos de
aprovisionamiento (transportes), aunque algunas veces sern por cuenta del
proveedor (en el caso de contratos tipo CFR, CIF, CPT o CIP, entre otros) y en otros
casos estarn incluidos en el propio precio de la mercanca adquirida. Ser necesario
tener en cuenta tanto los Costos de operacin como los asociados a la inversin.
Costos asociados a los stocks, en este mbito debern incluirse todos los
relacionados con Inventarios. Estos seran entre otros Costos de almacenamiento,
deterioros, perdidas y degradacin de mercancas almacenadas, entre ellos tambin
tenemos los de rupturas de Stock, en este caso cuentan con una componente
fundamental los Costos financieros de las existencias, todo esto ya sern explicados
ms adelante.
Cuando se quiere conocer, en su conjunto los costos de inventarios habr que tener
en cuenta todos los conceptos indicados. Por el contrario, cuando se precise calcular
los costos, a los efectos de toma de decisiones, (por ejemplo, para decidir tamao
ptimo del pedido) solamente habr que tener en cuenta los costos evitables (que
podrn variar en cada caso considerado), ya que los costos no evitables, por propia
definicin permanecern a fuera sea cual fuera la decisin tomada.
-
LI. Jess Abundis Manzanares | 1.3 COSTOS DE INVENTARIOS 39
INVESTIGACIN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Por ltimo, dentro del mbito de los procesos existen numerosos e importantes
conceptos que deben imputarse a los Costos de las existencias ellos son: Costos de
compras, de lanzamiento de pedidos y de gestin de la actividad. Un caso
paradigmtico es el siguiente. En general, los Costos de transporte se incorporan al
precio de compras (por qu no incorporar tambin los Costos de almacenamiento, o
de la gestin de los pedidos?), como consecuencia de que en la mayora de los casos
se trata de transportes por cuenta del proveedor incluidos de manera ms o menos
tcita o explcita en el precio de adquisicin. Pero incluso cuando el transporte est
gestionado directamente por el comprador se mantiene esta prctica, aunque muchas
veces el precio del transporte no es directamente proporcional al volumen de
mercancas adquiridas, sino que depende del volumen transportado en cada pedido.
En estas circunstancias el costo del transporte se convierte tambin en parte del costo
de lanzamiento del pedido.
La clasificacin puramente logstica de Costos que se ha citado hasta ahora no es la
ms frecuentemente utilizada en la profesin. Ya hemos citado en el prrafo anterior
conceptos como costo de lanzamiento del pedido o costo de adquisicin, que no
aparecan entre los conceptos inicialmente expuestos. Pues bien, la clasificacin
habitual de costos que utilizan los gestores de los inventarios es la siguiente:
Costos de almacenamiento, de mantenimiento o de posesin de stocks
Costos de lanzamiento del pedido
Costos de adquisicin
Costos de ruptura de stocks
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LI. Jess Abundis Manzanares | 1.3 COSTOS DE INVENTARIOS 40
INVESTIGACIN DE OPERACIONES II
GLOBAL
COSTOS DE ALMACENAMIENTO.
Los costos de almacenamiento, de mantenimiento o de posesin del Stock, incluyen
todos los costos directamente relacionados con la titularidad de los inventarios tales
como:
Costos Financieros de las existencias
Gastos del Almacn
Seguros
Deterioros, prdidas y degradacin de mercanca.
Dependen de la actividad de almacenaje, este gestionado por la empresa o no, o de
que la mercadera este almacenada en rgimen de depsito por parte del proveedor o
de que sean propiedad del fabricante.
Para dejar constancia de esta complejidad, se incluye seguidamente una relacin
pormenorizado de los Costos de almacenamiento, mantenimiento o posesin de los
stocks en el caso ms general posible. No obstante, ms adelante se expondr un
mtodo simplificado para calcular estos costos (la tasa anual ad valorem) que se
utiliza con mucha frecuencia.
La clasificacin de los costos de almacenamiento que seguidamente se incluye los
clasifica por actividad (almacenaje y manutencin), por imputabilidad (fijos y variables)
y por origen directos e indirectos.
-
LI. Jess Abundis Manzanares | 1.3 COSTOS DE INVENTARIOS 41
INVESTIGACIN DE OPERACIONES II
GLOBAL
COSTOS DIRECTOS DE ALMACENAJE
Costos fijos
Personal
Vigilancia y Seguridad
Cargas Fiscales
Mantenimiento del Almacn
Reparaciones del Almacn
Alquileres
Amortizacin del Almacn
Amortizacin de estanteras y otros equipos de almacenaje
Gastos financieros de inmovilizacin
Costos variables
Energa
Agua
Mantenimiento de Estanteras
Materiales de reposicin
Reparaciones (relacionadas con almacenaje)
Deterioros, prdidas y degradacin de mercancas.
Gastos Financieros de Stock.
COSTOS DIRECTOS DE MANTENCION
Costos fijos
Personal
Seguros
Amortizacin de equipos de manutencin
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LI. Jess Abundis Manzanares | 1.3 COSTOS DE INVENTARIOS 42
INVESTIGACIN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Amortizacin de equipos informticos
Gastos financieros del inmovilizado
Costos variables
Energa
Mantenimiento de equipo de manutencin
Mantenimiento de equipo informtico
Reparaciones de equipos de manutencin
Comunicaciones.
COSTOS INDIRECTOS DE ALMACENAJE
de administracin y estructura
De formacin y entrenamiento del personal
Existe un mtodo aproximado de valuar los costos de almacenamiento, conocido
como la tasa Anual Ad valorem.
CALCULO DE LA TASA ANUAL AD-VALOREM
Este mtodo aproximado, que se utiliza bastante para la planificacin de Sistemas
Logsticos, consiste en admitir que los costos de almacenamiento se pueden
aproximar por una tasa anual aplicada al valor de las mercancas almacenadas.
Esta hiptesis que es evidente en el caso de los costos financieros de los Stocks se
generaliza en este mtodo a los dems costos que intervienen en el almacenamiento
(Inversiones, personal, energa, deterioros, perdidas.) Asumindose que cuanta ms
cara es una mercanca ms caro es el costo de almacenamiento.
-
LI. Jess Abundis Manzanares | 1.3 COSTOS DE INVENTARIOS 43
INVESTIGACIN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Supongamos por ejemplo, el caso de una empresa comercializadora de cementos
especiales, ubicado en un determinado puerto martimo, para atender a uno de sus
clientes, recibe un buque de 5.000 Tm. Con un cargamento de cemento blanco
especial de la misma cantidad, cuyo precio es de $80 la Ton. , se traslada a un
almacn adecuadamente acondicionado donde queda almacenado.
El destino de esta carga es una fbrica que trabaja Just in time, y que solo admite 200
Tons diarias. El cargamento de 5.000 Tns. Tardar 25 das en ser retirado, existiendo
a lo largo de dichos 25 das un Stock medio de 2.500 Tns. (5.000 el primer da y 0 el
ultimo).
Hemos invertido $ 400.000 (5.000 x $80), que no recuperaremos hasta el da 25. Si
somos capaces de obtener un rendimiento por nuestro dinero alternativo del 8%
anual, el costo financiero de los Stock que tenemos por inmovilizacin es del 8%, esto
aplicado al Stock medio nos da (2.500 x$80) durante el tiempo que lo tenemos
inmovilizado (25 das).
1 / A B C D E F
2 8% Rendimiento Anual 16000 (B3 x B5) x B2
3 2500 Promedio de Inmovilizacin 1.095,89 pta (E3 x B4 ) / 365
4 25 Tiempo inmovilizado promedi
5 80 Precio unitario
-
LI. Jess Abundis Manzanares | 1.3 COSTOS DE INVENTARIOS 44
INVESTIGACIN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Pues bien el mtodo de la tasa ad-valorem se extienden a los dems costos que se
componen el almacenamiento de mercaderas, admitiendo que adems del 8% anual
que corresponde al costo de Stock, hay otros puntos porcentuales que corresponden
a la integracin de los dems costos que tambin intervienen en el almacenamiento,
haciendo as tasas superiores a la de almacenamiento de Stock, por ejemplo en
Espaa se cobraba el 25 % cuando la tasa de mercado era del 15 %.
Tambin es muy importante destacar que estos costos que mencionamos extras en
el almacenamiento, siempre estn en relacin directa con el tipo de mercadera que
se trate, as bien no ser lo mismo almacenar arena, o lea contra dinero o caviar.
Una estructura razonable para la composicin de la tasa es la siguiente:
Costo financiero de los Stocks 8% al 20%
Almacenamiento Fsico 5% al 15%
Deterioro o Robo 2% al 5%
Para el Ejemplo del almacenamiento de cemento blanco, que requiere un esmerado
Almacenaje pero poca manutencin, cabe valorarlo con una tasa que contemple solo
el costo financiero de Almacenamiento sin Extras, en este caso 18 %.
0.18 * (2500* 80) * ( 25/365 ) = 2.466
La repercusin, de los costos de almacenamiento, es 0.49 la tonelada, que se suman
a los costos del transporte primario hasta el puerto de descarga, y los costos de la
distribucin capilar hasta el cliente.
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LI. Jess Abundis Manzanares | 1.3 COSTOS DE INVENTARIOS 45
INVESTIGACIN DE OPERACIONES II
GLOBAL
COSTOS DE LANZAMIENTO DEL PEDIDO.
Los Costos de lanzamiento de los pedidos incluyen todos los Costos en que se
incurre cuando se lanza una orden de compra. Los Costos que se agrupan bajo esta
rbrica deben ser independientes de la cantidad que se compra y exclusivamente
relacionados con el hecho de lanzar la orden. Sus componentes seran los siguientes:
Costos implcitos del pedido: Costo de preparacin de las mquinas cuando el pedido
lo lanza produccin, Costo de conseguir LUGAR en el almacn de recepcin
(movilizacin de mercancas o transporte a otras localizaciones, por ejemplo), costos
de transporte exclusivamente vinculados al pedido (la factura de un courier en el
caso de una reposicin urgente, por ejemplo), costos de supervisin y seguimiento de
la necesidad de lanzar un pedido, etc.
Costos Administrativos vinculados al circuito del pedido.
Costos de recepcin e inspeccin.
COSTOS DE ADQUISICION
Es la cantidad total Invertida en la compra de la mercanca, o el valor contable del
producto cuando se trata de material en curso o productos terminados.
En el primer caso (materias primas o componentes), el costo de adquisicin
incorporar los conceptos no recuperables que el proveedor vaya a incluir en su
factura (por ejemplo, el transporte, si es por cuenta del proveedor, pero no el IVA).
-
LI. Jess Abundis Manzanares | 1.3 COSTOS DE INVENTARIOS 46
INVESTIGACIN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Se debe tener en cuenta que muchos proveedores aplican descuentos por volumen,
por lo que unas veces el costo de adquisicin de un pedido tendr una componente
de costo evitable y otras veces ser en su totalidad un costo no evitable.
En el segundo caso (material en curso o productos terminados), la determinacin del
costo de adquisicin es ms compleja, dependiendo de las prcticas contables de la
empresa. En principio debe incorporar los siguientes conceptos:
Costos de Materiales incorporados que, segn las prcticas contables de la empresa
pueden ser valorados de acuerdo a los siguientes criterios.
o Mtodo FIFO (first in, first out ). (Primero en entrar, primero en salir) PEPS
o Mtodo LIFO (last in, first out ). (Ultimo en entrar, primero en salir) UEPS equivale
en cierto modo a un precio de reposicin.
o Mtodo MIFO (midle in, first out) es un promedio ponderado
o Precios estandarte de la empresa
o Precios estimados de reposicin
o Costos directos de produccin (MOD, depreciaciones etc.)
COSTOS DE RUPTURA DE STOCK
Los Costos de ruptura o de rotura de stocks incluyen el conjunto de Costos por la falta
de existencias, estos costos no sern absorbidos por la produccin en proceso, sino
que irn a parar directamente al estado de resultados.
Los criterios para valorar estos costos de ruptura son:
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LI. Jess Abundis Manzanares | 1.4 MODELOS DETERMINSTICOS 47
INVESTIGACIN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Disminucin del ingreso por Ventas: La no integridad contable por falta de
referencias en un pedido realizado, supone una reduccin de los ingresos por ventas,
tanto por el desplazamiento en el tipo de la fecha de facturacin, como por la prdida
absoluta de la prdida.
Incremento de los gastos del Servicio: Aqu se incluyen las penalizaciones
contractuales por retrasos de abastecimiento, partes en el proceso de produccin, los
falsos fletes etc.
La valoracin de estos costos de ruptura es difcil y poco frecuente, solo es posible si
la empresa esta provista de un eficiente sistema de gestin de la calidad, en general
el gestor de inventarios deber conformarse con estimaciones subjetivas o costos
Estndar. En literatura especializada estos son considerados entre el 1% y el 4% de
los ingresos por ventas, pero esto es tambin tentativo.
1.4 MODELOS DETERMINSTICOS
MODELO DE INVENTARIO GENERAL
La naturaleza del problema de inventario consiste en hacer y recibir pedidos de
determinados volmenes, repetidas veces y a intervalos determinados. Una poltica
de inventario responde las siguientes preguntas.
-
LI. Jess Abundis Manzanares | 1.4 MODELOS DETERMINSTICOS 48
INVESTIGACIN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Cunto se debe ordenar?
Esto determina el lote econmico (EOQ) al minimizar el siguiente modelo de costo:
(Costo total del inventario) = (Costo de compra) + (costo de preparacin + (Costo de
almacenamiento) + (costo de faltante).
Todos estos costos se deben expresar en trminos del lote econmico deseado y del
tiempo entre los pedidos.
El costo de compra se basa en el precio por unidad del artculo. Puede ser constante,
o se puede ofrecer con un descuento que depende que dependa del volumen del
pedido.
El costo de preparacin representa el cargo fijo en el cual se incurre cuando se hace
un pedido. Este costo es independiente del volumen del pedido.
El costo de almacenamiento representa el costo de mantener suficientes existencias
en el inventario. Incluye el inters sobre el capital, as como el costo de
mantenimiento y manejo.
El costo de faltante es la penalidad en la cual se incurre cuando nos quedamos sin
existencias. Incluye la perdida potencial de ingresos, as como el costo mas subjetivo
de la perdida de la buena voluntad de los clientes.
-
LI. Jess Abundis Manzanares | 1.5 PLANEACIN DE REQUERIMIENTOS DE MATERIALES. 49
INVESTIGACIN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Cundo se deben colocar los pedidos?
Depende del tipo de sistema de inventario que tenemos. Si el sistema requiere una
revisin peridica (por ejemplo, semanal o mensual), el momento para hacer un
nuevo pedido coincide con el inicio de cada periodo. De manera alternativa, si el
sistema se basa en una revisin continua, los nuevos pedidos se colocan cuando el
nivel del inventario desciende a un nivel previamente especificado, llamado el punto
de reorden.
1.5 PLANEACIN DE REQUERIMIENTOS DE MATERIALES.
Conceptos de Planeacin de Requerimientos de Materiales, qu es el sistema MRP,
qu es el Plan Maestro de Produccin, Lista de Materiales, programacin dinmica,
Datos para la Planificacin de requerimiento de materiales, modelos heursticos.
Ventajas De Las MRP.
Entre las ventajas de un sistema MRP se pueden considerar los siguientes tems:
1. Capacidad para fijar los precios de una manera ms competente.
2. Reduccin de los precios de venta.
3. Reduccin del inventario.
4. Mejor servicio al cliente.
5. Mejor respuesta a las demandas del mercado.
6. Capacidad para cambiar el programa maestro.
7. Reduccin de los costos de preparacin y desmonte.
8. Reduccin del tiempo de inactividad.
9. Suministrar informacin por anticipado, de manera que los gerentes puedan ver el
programa planeado antes de la expedicin real de los pedidos.
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LI. Jess Abundis Manzanares | 1.5 PLANEACIN DE REQUERIMIENTOS DE MATERIALES. 50
INVESTIGACIN DE OPERACIONES II
GLOBAL
10. Indicar cuando demorar y cuando agilizar.
11. Demorar o cancelar pedidos.
12. Cambiar las cantidades de los pedidos.
13. Agilizar o retardar la fecha de los pedidos.
14. Ayudar en la capacidad de planeacin.
15. Reduccin hasta el 40% en las inversiones de inventario.
Los sistemas avanzados de MRP, tambin llamados como siguiente generacin de
MRP II o simplemente E.R.P incluyen entre sus caractersticas bsicas:
1. Arquitectura Cliente/Servidor.
2. Base datos centralizados, con consultas SQL y generacin de informes.
3. Interface grfica de usuario, con manejo de ventanas.
4. Soporte de base de datos distribuida.
5. Sistemas iniciales para soporte de decisiones.
6. Manejo electrnico de datos e intercambio de los mismos.
7. Interoperabilidad con mltiples plataformas, entre las que se pueden incluir
Windows NT y Unix
8. Manejo de interfaces de programacin con interoperabilidad con otras aplicaciones
de otros programas.
9. Intercambio de datos utilizando Internet.
10. Comunicacin entre clientes y proveedores.
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LI. Jess Abundis Manzanares | UNIDAD 2 51
INVESTIGACIN DE OPERACIONES II
GLOBAL
UNIDAD 2
LNEAS DE ESPERA
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LI. Jess Abundis Manzanares | INTRODUCCION. 52
INVESTIGACIN DE OPERACIONES II
GLOBAL
INTRODUCCION.
Las colas (lneas de espera) son parte de la vida diaria. Todos esperamos en colas
para comprar un boleto para el cine, hacer un depsito en el banco, pagar en el
supermercado, enviar un paquete por correo, subir a un juego en la feria, etc. Nos
hemos acostumbrado a esperas largas, pero todava nos molesta cuando lo son
demasiado.
Sin embargo, tener que esperar no slo es una molestia personal. El tiempo que la
poblacin de un pas pierde en colas es un factor importante tanto en la calidad de
vida como en la eficiencia de su economa. Por ejemplo, antes de su disolucin, la
Unin Sovitica era notoria por las excesivas colas que sus ciudadanos solan tener
que soportar solo para comprar artculos bsicos. Hoy en Estados Unidos se estima
que las personas pasan 37 mil millones de horas al ao en lneas de espera. Si este
tiempo se usara de manera productiva significara cerca de 20 millones de personas-
aos de trabajo til cada ao.
Incluso estas asombrosas cifras no cuentan toda la historia del impacto que causa la
espera excesiva. Tambin ocurren grandes ineficiencias debido a otros tipos de
espera que no son personas en una Cola.
La Teora de Colas es el estudio de la espera en las distintas modalidades. Usa los
modelos de colas para representar los tipos de sistemas de lneas de espera
(sistemas que involucran colas de algn tipo) que surgen en la prctica. Las frmulas
para cada modelo indican cul debe ser el desempeo del sistema correspondiente y
sealan la cantidad promedio de espera que ocurrir, en una gama de circunstancias.
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LI. Jess Abundis Manzanares | INTRODUCCION. 53
INVESTIGACIN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Por lo tanto, estos modelos de lneas de espera son muy tiles para determinar cmo
operar un sistema de colas de la manera ms efectiva. Proporcionar demasiada
capacidad de servicios para operar el sistema implica costos excesivos; pero al no
Contar con suficiente capacidad de servicio la espera aumenta con todas sus
desafortunadas consecuencias. Los modelos permiten encontrar un balance
adecuado entre el costo de servicio y la cantidad de espera.
ORIGEN.
El origen de la Teora de Colas o Lneas de Espera se remonta a los estudios
realizados en 1909 por Agner Krarup Erlang (Dinamarca, 1878 - 1929), para analizar
la congestin en el sistema telefnico de Copenhague.
Sus investigaciones acabaron en una nueva teora llamada teora de colas o de lneas
de espera. Esta teora es ahora una herramienta de valor en negocios debido a que
muchos de sus problemas pueden caracterizarse, como problemas de congestin
llegada - partida.
La Teora de Colas requiere de un estudio matemtico del comportamiento de lneas
de espera. Estas se presentan cuando clientes llegan a un lugar demandando un
servicio al servidor, el cual tiene cierta capacidad de atencin. Si el servidor no est
disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma en la lnea
de espera.
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LI. Jess Abundis Manzanares | INTRODUCCION. 54
INVESTIGACIN DE OPERACIONES II
GLOBAL
El problema es determinar qu capacidad o tasa de servicio proporciona el balance
correcto. Esto no es sencillo, ya que un cliente no llega a un horario fijo, es decir, no
se sabe con exactitud en qu momento llegarn los clientes. Tambin el tiempo de
servicio no tiene un horario fijo.
Las llegadas se describen por su distribucin estadstica. Si las llegadas ocurren con
una tasa promedio y que son independientes una de otra, entonces ocurren de
acuerdo con una distribucin de probabilidades de tipo Poisson.
Distribucin Poisson.
Si la tasa de llegada se da en razn del tiempo que transcurre entre una llegada y
otra, entonces se dice que sigue una distribucin de tipo Exponencial.
En un supuesto comn, la distribucin del tiempo de servicio est dada por la
distribucin Exponencial. Mientras que el nmero de servidores puede ser uno o
varios.
Distribucin Exponencial.
La tasa de servicio, al igual que la de llegada, debe ser evaluada para ver si se ajusta
a una distribucin Exponencial.
DEFINICION
Una Cola es una lnea de espera y la teora de colas es una coleccin de modelos
matemticos que describen sistemas de lneas de espera particulares o de sistemas
de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre costes del
sistema y los tiempos promedio de la lnea de espera para un sistema dado.
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LI. Jess Abundis Manzanares | INTRODUCCION. 55
INVESTIGACIN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Con frecuencia, las empresas deben tomar decisiones respecto al caudal de
servicios que debe estar preparada para ofrecer. Sin embargo, muchas veces es
imposible predecir con exactitud cundo llegarn los clientes que demandan el
servicio y/o cuanto tiempo ser necesario para dar ese servicio; es por eso que esas
decisiones implican dilemas que hay que resolver con informacin escasa.
Estar preparados para ofrecer todo servicio que se nos solicite en cualquier momento
puede implicar mantener recursos ociosos y costos excesivos. Pero, por otro lado,
carecer de la capacidad de servicio suficiente causa colas excesivamente largas en
ciertos momentos. Cuando los clientes tienen que esperar en una cola para recibir
nuestros servicios, estn pagando un coste, en tiempo, ms alto del que esperaban.
Las lneas de espera largas tambin son costosas por tanto para la empresa ya que
producen prdida de prestigio y prdida de clientes.
La teora de las colas en si no resuelve directamente el problema, pero contribuye con
la informacin vital que se requiere para tomar las decisiones concernientes
prediciendo algunas caractersticas sobre la lnea de espera: probabilidad de que se
formen, el tiempo de espera promedio.
Pero si utilizamos el concepto de clientes internos en la organizacin de la empresa,
asocindolo a la teora de las colas, nos estaremos aproximando al modelo de
organizacin empresarial just in time en el que se trata de minimizar el costo
asociado a la ociosidad de recursos en la cadena productiva.
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LI. Jess Abundis Manzanares | 2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA. 56
INVESTIGACIN DE OPERACIONES II
GLOBAL
El problema es determinar qu capacidad o tasa de servicio proporciona el balance
correcto. Esto no es sencillo, ya que un cliente no llega a un horario fijo, es decir, no
se sabe con exactitud en que momento llegarn los clientes. Tambin el tiempo de
servicio no tiene un horario fijo.
Los problemas de Colas se presentan permanentemente la vida diaria: un estudio de
EE.UU. concluy que un ciudadano medio pasa 5 aos de su vida esperando en
distintas Colas, y de ellos casi 6 meses parado en los semforos.
La Teora de Colas requiere de un estudio matemtico del comportamiento de lneas
de espera. Estas se presentan cuando clientes llegan a un lugar demandando un
servicio al servidor, el cual tiene cierta capacidad de atencin. Si el servidor no est
disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma en la lnea
de espera.
2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA.
Esta notacin sirve para etiquetar o nombrar a los diferentes modelos de lneas de
espera que se pueden tener. La notacin consta de 6 nmeros de la forma siguiente:
a/b/c/d/e/f
Donde los smbolos representan lo siguiente:
a= La distribucin de tiempo entre llegadas.
b= La distribucin de tiempo de servicio.
c= El nmero de servidores en paralelo.
d= Tipo de disciplina en el servicio (FCFS, LCFS, SIRO, PRIORIDAD).
e= Nmero mximo admitido en el sistema (lnea de espera + en servicio).
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LI. Jess Abundis Manzanares | 2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA. 57
INVESTIGACIN DE OPERACIONES II
GLOBAL
f= Tamao de la poblacin de donde se extrae los clientes.
Para reemplazar a los smbolos a y b se usan las siguientes iniciales:
M = Cuando el tiempo de llegada o servicio tiene una distribucin exponencial
entrada o salida de Poisson (o Markoviana).
D= Cuando el tiempo de llegada o servicio es determinista
Ek = Cuando el tiempo de llegada o servicio tiene una distribucin de Erlangs con
parmetro K.
G = Cuando el tiempo de llegada o servicio tiene una distribucin general (cualquier
distribucin arbitraria).
Como observamos los elementos bsicos para crear un modelo de lnea de espera,
depender de los siguientes factores:
Distribucin de llegadas. (Individuales o en grupo).
Distribucin de servicio. (Individuales o en grupo).
Diseo de la instalacin (estaciones en serie, paralelo, o en red)
Disciplina de servicio
Tamao de la lnea (finita o infinita)
Fuente de los clientes (finita o infinita).
USO DE LAS TASAS DE LLEGADA Y DE SERVICIO
Como la mayor parte de las tcnicas matemticas, la teora de lneas de espera tiene
su propio conjunto de trminos. El de disciplina de la lnea de espera se refiere a la
condicin en que se escogen las llegadas para recibir servicio.
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LI. Jess Abundis Manzanares | 2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA. 58
INVESTIGACIN DE OPERACIONES II
GLOBAL
En este captulo el procedimiento consiste en que las llegadas ocupan su lugar en la
lnea de espera, a base de que el que llega primero queda en primer lugar.
Las llegadas pueden ser uniformes durante cierto periodo, o pueden ser aleatorias. La
tasa de llegadas puede tomar la forma de empleados que llegan a la caseta de
herramientas de la empresa, o en otras condiciones podran representar el nmero de
clientes que esperan para comer. General-mente, la tasa de llegada se expresa como
tasa de llegada por unidad de tiempo. Si es aleatoria los clientes no llegan en un
orden o patrn lgico en el transcurso del tiempo, lo que representa la mayor parte de
los casos en el mundo de los negocios.
En las situaciones en que las llegadas se distribuyen en forma aleatoria puede
utilizarse su promedio si se registra durante un periodo suficientemente prolongado.
La tasa de servicio se ocupa de la forma en que las instalaciones de servicio pueden
manejar las demandas de llegada, y se expresa como una tasa por unidad de tiempo.
Por ejemplo, la tasa de servicio podra indicar el nmero de pedidos que el
departamento de piezas de repuesto procesa por hora. Tambin el tiempo de servicio
puede ser uniforme o distribuido en forma aleatoria. En las problemas de-negocios se
encontraran ms casos de tasa uniforme de servicio que de tasa uniforme de llegada.
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LI. Jess Abundis Manzanares | 2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA. 59
INVESTIGACIN DE OPERACIONES II
GLOBAL
APLICACIONES DE LA TEORIA DE LINEAS DE ESPERA.
La teora de las lneas de espera se ha aplicado a una gran variedad de situaciones
de negocios. Una breve descripcin de algunas aplicaciones ser de gran ayuda para
sugerir problemas a los que pueda aplicarse la teora. Una gran cadena de
supermercados ha utilizado las lneas de espera para determinar el nmero de
estaciones de control que se requieren para lograr un funcionamiento continuo y
econmico de sus almacenes, a diversas horas del da.
Otro uso de esta teora consiste en analizar las demoras en las casetas de peaje de
puentes y tneles. Un estudio de esta ndole se refiere al nmero y programacin de
las casetas de peaje requeridas sobre una base de veinticuatro horas, a fin de reducir
al mnimo los costos en determinado nivel de servicio.
Otras reas relacionadas con un cliente, seran las lneas de espera de restaurantes y
cafeteras, expendios de gasolina, oficinas de lneas areas, almacenes de
departamentos y la programacin de los pacientes en las clnicas.
En todos los casos, los clientes esperan cierto nivel aceptable de servicio, mientras
que la empresa espera poder mantener sus costos al mnimo.
La teora de las lneas de espera no solo es aplicable a los establecimientos de ventas
a] menudeo o mayoreo, sino que las empresas manu-facturaras tambin la usan
extensamente. Una aplicacin muy popular de la teora de las lneas de espera es el
rea de las casetas de herramientas.
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LI. Jess Abundis Manzanares | 2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA. 60
INVESTIGACIN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Los sobrestantes se quejan constantemente de que sus hombres tienen que esperar
mucho tiempo en las filas para recibir herramientas y piezas. Aunque se presiona a
los gerentes de fbrica para que reduzcan los gastos generales de administracin, e!
aumento de empleados puede reducir realmente los gastos generales de
manufactura, porque el personal de la fbrica puede trabajar en vez de esperar en
una fila.
Otro problema que ha resuelto con xito la teora de las lneas de
espera. Es la determinacin adecuada del nmero de muelles que se requieren
cuando se construyen instalaciones terminales para barcos y camiones. como
tanto los costos de los muelles como los de las demoras pueden ser considerables, ya
que los primeros disminuyen mientras aumentan los segundos, o viceversa, es muy
conveniente construir el nmero de muelles que reduzcan al mnimo la suma de
esos dos costos, Varias empresas manufactureras han atacado el problema de
descomposturas y reparaciones de sus mquinas, utilizando la misma teora, El
problema se refiere a una batera de mquinas que se descomponen individual-' mente
en diferentes pocas. En realidad, las mquinas que se descomponen.
Forman una lnea de espera para su reparacin por el personal de mantenimiento. Es
conveniente emplear el personal de reparaciones necesario para disminuir al mnimo
la suma del costo de la perdida de produccin causada por el tiempo de espera y del
costo de los mecnicos.
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LI. Jess Abundis Manzanares | 2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA. 61
INVESTIGACIN DE OPERACIONES II
GLOBAL
La teora de las lneas de espera se ha extendido para estudiar un plan I de incentivos
de salarios. Por ejemplo, se haba asignado cierto personal de lnea de produccin
para manejar dos mquinas, mientras que a otros se les haba asignado para
manejar. Cuatro mquinas. Como. Todas las maquinas son.
Iguales, los trabajadores reciben el mismo salario bsico, pero la gratificacin : de
incentivo por la produccin sobre la cuota, es de la mitad por unidad i para los
operadores con cuatro mquinas que para los que tienen dos: maquinas.
Superficialmente ese arreglo parece equitativo.
No obstante, un; estudio de las condiciones reales revela que aunque cada una de las
dos I maquinas que maneja un solo hombre estaran ociosas alrededor del 12 por
ciento de su tiempo programado, cada una de las cuatro mquinas manejadas j por
un solo individuo estaran ociosas alrededor del 16 por ciento de su tiempo
programado.
El problema es que dos (o ms) maquinas pueden descomponerse a la vez
en el grupo de cuatro mquinas, lo que-general-; mente no ocurre con el grupo de dos
mquinas. El individuo que maneja el, grupo de cuatro mquinas tiene que trabajar a
mayor eficiencia que el que j maneja un grupo de dos mquinas, a fin de ganar el
mismo incentivo.
El f problema se resolvera pagando a los operadores de las bateras de cuatro |
maquinas un salario bsico mayor, determinado bsicamente empleando las J
probabilidades calculadas con la teora de las lneas de espera.
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LI. Jess Abundis Manzanares | 2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA. 62
INVESTIGACIN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Las reas anteriores no agotan en modo alguno las posibles aplicaciones de la teora
de las lneas de espera, que pueden extenderse para incluir la i dotacin de personal
de las operaciones de oficina, y el equilibrio del flujo I _ de materiales en un taller de
tareas. Esa teora puede tener una influencia bien definida en el desafo de un
sistema de inventario y de control de produccin.
TIEMPOS UNIFORMES DE LLEGABA Y DE SERVICIO.
El manejo apropiado de los tiempos uniformes de llegada y de servicio, en trminos
de costo mnimo, puede demostrarse con un ejemplo. Una empresa manufacturera
maneja muchas casetas de herramientas dentro de una de sus grandes fbricas.
Actualmente, el grupo de anlisis de sistemas tiene en observacin una de esas
casetas atendida por un trabajador: los maquinistas llegan a solicitar servicio a una
tasa uniforme de 10 por hora mientras que se observa que el encargado de
la caseta de herramienta ' atiende sus peticiones a una tasa uniforme de
7 1/2 por hora. Seria? lucrativo para la empresa aumentar el nmero de
encargados si se les paga a razn de $3.00 por hora, y se paga a los maquinistas a
razn de $4.QO hora? Esas cuotas incluyen los beneficios marginales.
Inicialmente, el problema se calcula sobre una base de 4 horas, porque el personal
del taller trabaja de las 8 a. m. a las 12, y luego sale a almorzar Los resultados finales
se calculan sobre una base de 8 horas.
En vista de esos datos tasa uniforme de llegada de 10 por hora (uno cada 6
minutes) y una tasa uniforme de servicio de 7 1/2 por hora (uno cada 8 minutos)-' el
problema puede resolverse empleando la frmula de la suma de una serie aritmtica.
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LI. Jess Abundis Manzanares | 2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA. 63
INVESTIGACIN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Si el primer hombre llega a las 8 a. m. no tiene tiempo de espera. Antes de dar
servicio al que llego primero, el que liego en segundo lugar se convierte en el primero
que espera en la fila, y su tiempo de espera es de 2 minutos (8 minutos 6 minutos),
antes de que se le d servicio.
Una vez que conocemos el tiempo de espera del primer maquinista, es necesario
calcular el tiempo de espera del ltimo hombre en nuestras 4 horas inciales.
Como llegan 40 maquinistas (10 hombres por hora X 4 horas), y el primero no espera,
debemos calcular el tiempo de espera de los treinta y nueve