Investigacin de operaciones

Investigacin de Operaciones

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTN DE AREQUIPA

FACULTAD DE ADMINISTRACIN

INVESTIGACIN DE OPERACIONES

Docente: Lic. en Adm. Jorge Nez BacaArequipa 2012

INTRODUCCION A LA INVESTIGACION DE OPERACIONESEn estos ltimos tiempos se escucha hablar mucho de globalizacin de la economa, de que uno tiene que ser competitivo; por otro lado somos testigos presenciales de los actuales grandes cambios tecnolgicos que se estn dando en los sistemas de comunicacin, de informacin, de la rapidez del procesamiento de datos de la gran capacidad de almacenamiento de datos, etc. Tambin podemos decir que por mucho tiempo, los gerentes han tenido una actitud pasiva y confusa hacia la construccin de modelos cuantitativos para la toma de decisiones, se pensaba que el proceso mismo de la construccin de modelos cuantitativos era obra de los matemticos, del especialista en informtica. Desgraciadamente este hecho de delegar la construccin de los modelos a los especialistas elimina de este proceso al gerente y, con frecuencia, da lugar a que los resultados se apliquen en forma errnea o simplemente no se apliquen , generando en muchos casos grandes perdidas de economa de :dinero , recursos y tiempo.La Investigacion de Operaciones como se conoce aspira ha determinar la mejor Solucin Optima para un problema de decisin en particular con la restricciones de recursos limitados. Debemos tambin aceptar esta realidad y reconocer que en estos tiempos recientemente se han revolucionado la construccin de modelos al hacer posible que los propios gerentes construyan y analicen sus propios modelos, esto gracias ha dos grandes tecnologas las cuales son: las poderosas computadoras personales y los avances refinados de las hojas de clculo electrnica accesible para cualquier usuario.

Estos cambios tecnolgicos han generado que los conocimientos analticos de matemticas avanzadas, programacin de computadoras, razonamiento algortmico y otros aspectos de formacin tcnica que antes eran indispensables ya casi han desaparecido como condicin para el gerente o usuario. Esta utilizacin directa de modelos por los gerentes como apoyo en la toma de decisiones no solo se traduce en mejores decisiones, sino adems imparte a los gerentes conocimientos importantes que anteriormente se perdan.En la investigacin de Operaciones abordaremos varias herramientas que nos permitirn tomar una decisin racional a la hora de resolver un problema tal es el caso de los modelos en Investigacin de operaciones que se emplean segn sea su necesidad.CAPITULO 1INVESTIGACION DE OPERACIONES Y MODELOS

1.1. ORIGENES DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONESLas races de la investigacin de operaciones se remontan a muchas dcadas, cuando se hicieron los primeros intentos para emplear el mtodo cientfico en la administracin de una empresa. Sin embargo, el inicio de la actividad llamada investigacin de operaciones, casi siempre se atribuye a los servicios militares prestados a principios de la segunda guerra mundial. Debido a los esfuerzos blicos, exista una necesidad urgente de asignar recursos escasos a las distintas operaciones militares y a las actividades dentro de cada operacin, en la forma ms efectiva. Por esto, las administraciones militares americana e inglesa hicieron un llamado a un gran nmero de cientficos para que aplicaran el mtodo cientfico a ste y a otros problemas estratgicos y tcticos. De hecho, se les pidi que hicieran investigacin sobre operaciones (militares). Estos equipos de cientficos fueron los primeros equipos de IO. Con el desarrollo de mtodos efectivos para el uso del nuevo radar, estos equipos contribuyeron al triunfo del combate areo ingls. Al terminar la guerra, el xito de la investigacin de operaciones en las actividades blicas gener un gran inters en sus aplicaciones fuera del campo militar. Como la explosin industrial segua su curso, los problemas causados por el aumento en la complejidad y especializacin dentro de las organizaciones pasaron de nuevo a primer plano. Comenz a ser evidente para un gran nmero de personas, incluyendo a los consultores industriales que haban trabajado con o para los equipos de IO durante la guerra, que estos problemas eran bsicamente los mismos que los enfrentados por la milicia, pero en un contexto diferente. Cuando comenz la dcada de 1950, estos individuos haban introducido el uso de la investigacin de operaciones en la industria, los negocios y el gobierno. Desde entonces, esta disciplina se ha desarrollado con rapidez. Se pueden identificar por lo menos otros dos factores que jugaron un papel importante en el desarrollo de la investigacin de operaciones durante este perodo. Uno es el gran progreso que ya se haba hecho en el mejoramiento de las tcnicas disponibles en esta rea. Despus de la guerra, muchos cientficos que haban participado en los equipos de IO o que tenan informacin sobre este trabajo, se encontraban motivados a buscar resultados sustanciales en este campo; de esto resultaron avances importantes. Un ejemplo sobresaliente es el mtodo simplex para resolver problemas de programacin lineal, desarrollada en 1947 por George Dantzing. Muchas de las herramientas caractersticas de la investigacin de operaciones, como programacin lineal, programacin dinmica, lneas de espera y teora de inventarios, fueron desarrolladas casi por completo antes del trmino de la dcada de 1950. Un segundo factor que dio mpetu al desarrollo de este campo fue el advenimiento de las computadoras. Para manejar de una manera efectiva los complejos problemas inherentes a esta disciplina, por lo general se requiere un gran nmero de clculos. Llevarlos a cabo a mano puede resultar casi imposible. Por lo tanto, el desarrollo de la computadora electrnica digital, con su capacidad para realizar clculos aritmticos, miles o tal vez millones de veces ms rpido que los seres humanos, fue una gran ayuda para la investigacin de operaciones. Un avance ms tuvo lugar en la dcada de 1980 con el desarrollo de las computadoras personales cada vez ms rpidas, acompaado de buenos paquetes de software para resolver problemas de IO, esto puso las tcnicas al alcance de un gran nmero de personas. Hoy en da, literalmente millones de individuos tienen acceso a estos paquetes. En consecuencia, por rutina, se usa toda una gama de computadoras, desde las grandes hasta las porttiles, para resolver problemas de investigacin de operaciones. 1.2. DEFINICION DE INVESTIGACION DE OPERACIONESComo toda disciplina en desarrollo, la investigacin de operaciones ha ido evolucionando no slo en sus tcnicas y aplicaciones sino en la forma como la conceptualizan los diferentes autores, en la actualidad no existe solamente una definicin sino muchas, algunas demasiado generales, otras demasiado engaosas, aqu seleccionamos dos de las mas aceptadas y representativas.

La definicin de Churchman, Ackoff y Arnoff: la investigacin de operaciones es la aplicacin, por grupos interdisciplinarios, del mtodo cientfico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas (hombre-mquina), a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de la organizacinDe sta definicin se pueden destacar los siguientes conceptos: 1. Una organizacin es un sistema formado por componentes que se interaccionan, unas de estas interacciones pueden ser controladas y otras no. 2. En un sistema la informacin es una parte fundamental, ya que entre las componentes fluye informacin que ocasiona la interaccin entre ellas. Tambin dentro de la estructura de los sistemas se encuentran recursos que generan interacciones. Los objetivos de la organizacin se refieren a la eficacia y eficiencia con que las componentes pueden controlarse, el control es un mecanismo de autocorreccin del sistema que permite evaluar los resultados en trminos de los objetivos establecidos. 3. La complejidad de los problemas que se presentan en las organizaciones ya no encajan en una sola disciplina del conocimiento, se han convertido en multidisciplinario por lo cual para su anlisis y solucin se requieren grupos compuestos por especialistas de diferentes reas del conocimiento que logran comunicarse con un lenguaje comn. 4. La investigacin de operaciones es la aplicacin de la metodologa cientfica a travs modelos matemticos, primero para representar al problema y luego para resolverlo. La definicin de la sociedad de investigacin de operaciones de la Gran Bretaa es la siguiente: La investigacin de operaciones es el ataque de la ciencia moderna a los complejos problemas que surgen en la direccin y en la administracin de grandes sistemas de hombres, mquinas, materiales y dinero, en la industria, en los negocios, en el gobierno y en la defensa. Su actitud diferencial consiste en desarrollar un modelo cientfico del sistema tal, que incorpore valoraciones de factores como el azar y el riesgo y mediante el cual se predigan y comparen los resultados de decisiones, estrategias o controles alternativos. Su propsito es el de ayudar a la gerencia a determinar cientficamente sus polticas y acciones1.3. LOS MODELOS 1.3.1. PROCESO DE CONSTRUCCION DE LOS MODELOS

En la figura 1.1. Se ilustra los pasos de la toma de decisiones administrativas. Cuando se presenta una situacin en la cual intervienen alternativas conflictivas o antagnicas, el gerente la analiza; se toman decisiones para resolver los conflictos; .las decisiones se ponen en prctica; y la organizacin asume las consecuencias en forma de resultados, tomando en cuenta que no todos son monetarios.

Figura 1.1.

Enfoque administrativo de toma de decisiones

En la figura 1.2. Se define el proceso de modelacin aplicado a las dos primeras etapas que se usaran en el desarrollo del curso. Observe que el diagrama estas dividido en dos mitades superior e inferior por una lnea interrumpida. Debajo de dicha lnea se encuentra el mundo real catico de todos los das, al cual se enfrentan los gerentes cuando estn obligados a decidir como lidiar con el reto de una situacin, como por ejemplo a quien se le asignan los recursos para llevar a cabo las tareas, la programacin de las actividades, o el diseo de una estrategia de comercializacin. El proceso comienza en el ngulo inferior, con el reto de la situacin administrativa.Histricamente, los gerentes han dependido casi por completo de su propia intuicin como el instrumento primario para tomar decisiones. Aunque las intuicin es de gran valor, sobre todo en el caso de gerentes con experiencia, puede decirse que, por definicin, esta desprovista de un proceso analtico. Un administrador que basa la toma de decisiones solamente en la intuicin no aprende, salvo por la retroalimentacin que le proporciona los resultados obtenidos, pero esta demostrado que es una forma bastante cara e implacable.

El proceso de modelacin, representado por el mundo simblico en la mitad de la figura ubicada sobre la lnea interrumpida, recomienda un curso de accin para complementar (no sustituir) el uso de la intuicin en la toma d e decisiones. Esta ruta indirecta implica abstraer los aspectos problemticos de la situacin administrativa en un modelo cuantitativo que represente lo ms esencial de la situacin.Una vez que el modelo (cuantitativo) ha sido construido, se somete a un anlisis para generar resultados o conclusiones que emanen exclusivamente de el , es decir, sin considerar las abstracciones que hayamos realizado con anterioridad. A continuacin se realiza la interpretacin de los resultados basados en el modelo, para relacionarlos de nuevo con la situacin del mundo real, tomando en cuenta los factores que habamos suprimido durante las fases previas de abstraccin. Cuando a esto se agregan la intuicin y la experiencia del gerente, el proceso de construccin del modelo conduce a mejores decisiones y aporta conocimientos que influyen en el proceso de aprendizaje.El proceso mismo de la construccin del modelo no es una aplicacin del mtodo cientfico que se puede dejar totalmente en manos de los especialistas. El buen juicio administrativo ilumina todos los aspectos del proceso de construccin del modelo es indispensable para el xito en el mundo real.Figura 1.2 El proceso de construccin de un ModeloMundo simblico (Anlisis) (Interpretacin) Juicio Administrativo - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Mundo Real (Abstraccin)

(Intuicin) 1.3.2. CLASIFICACIN DE LOS MODELOSA. SEGN SU FORMA DE PRESENTACINDe acuerdo a la forma en que estn espresados, se puede distinguir los siguientes modelos.a.1.Modelos Descriptivos.- Son aquellos que estn expresados en lenguaje convencional (espaol, ingles, etc.). Usando este tipo de modelos, la seleccin de alternativas se hace en base a la intuicin y el sentido comn.a.2. Modelos Fsicos o Icnicos.- Son aquellos que lucen como el sistema fsico correspondiente. Es decir son representaciones a escala .Por ejemplo el globo terrqueo, una maqueta de un edificio, un carrito de coleccin, etc.

a.3. Modelos Analgicos.- Es una clase de modelo fsico .Estos realizan una traslacin de un sistema original a otro llamado sistema sustituto, el tiene caractersticas similares en cuanto a la forma pero no son semejantes fsicamente al objeto que esta siendo ,por ejemplo un mapa de carreterasa.4. Modelos Simblicos.- Son aquellos que estn expresados en una forma concisa a travs de smbolos matemticos. Los modelos simblicos puede ser representados en forma analtica o en forma grafica va un conjunto de funciones en la forma de ecuaciones e inecuaciones. Tambin puede ser presentado mediante un algoritmo compuesto por un conjunto de pasos interrelacionados, como es el caso de los diagramas de flujo.B. SEGN SU ESTRUCTURA

b.1. Modelos Deterministicos.- Son aquellos que no incluyen propiedades relacionadas con fenmenos aleatorios (probabilsticos)..b.2. Modelos Estocsticos.- Son aquellos que incluyen variables o relaciones funcionales que dependen de fenmenos aleatorios. b.3. Modelos Hbridos.- Son aquellos que incluyen tanto a variables probabilsticos y no probabilsticos. b.4. Modelos lineales.- Son aquellas que incluyen solamente funciones lineales.b.5. Modelos No lineales.- Son aquellos que incluyen funciones No lineales.

b.6. Modelo Esttico.- Es acuella que representa a un sistema de manera que las variables y las reacciones funcionales no sufren alteraciones debido a cambios en el tiempo.

b.7. Modelo Dinmico.- Es aquel que representa a un sistema de manera que el tiempo juega un rol muy importante.

b.8. Modelo Continuo.-Se caracteriza por tener variables y funciones continuas .Puede darse en funcin del tiempo o magnitud.b.9. Modelo Discreto.- Es aquel que incluye solo variables y funciones discretas, puede darse en funcin del tiempo o magnitud.1.3.3. PRINCIPALES RAZONES PARA USAR MODELOS.

a) Ahorro de dinero, tiempo u otro bien valor b) Evitar riesgos de daos al sistema cuando se esta solucionando

c) Para entender mejor el ambiente real cuando este es muy complicado.1.4. PROCESO DEL ANALISIS CUANTITATIVO CUALITATIVO CUANTITATIVO Juicio personal * Problema complejo Experiencia personal * Problema repetitivo Requiere criterio Requiere tcnicas matemticas

Combinacin

Mejor Decisin

La investigacin de operaciones hace uso extensivo del anlisis cuantitativo, como parte integral del enfoque cientfico para tomar decisiones gerenciales. Por lo tanto este anlisis racional y lgico consiste en las siguientes etapas:a) Determinar claramente un problema que previamente se ha determinado que existe.

Es el paso inicial, critico y determinante del xito o fracaso del anlisis cuantitativo, es decir es primordial y muchas veces el paso mas difcil. Debe reflejar una representacin segura del inters total del sistema. La esencia del problema se debe establecer explcitamente y no de manera ambigua.

Al definir el problema se deben identificar alternativas de solucin, los criterios para evaluar esas alternativas y seleccionarlas; la optimizacin es un criterio utilizado y es sinnimo de maximizacin o minimizacin.

Muchas veces se concluye que el problema debe ser redefinido despus de haber realizado varios pasos para tomar una decisin.

b) Desarrollar un Modelo.

Como sabemos un modelo es una abstraccin cuidadosamente seleccionada de la realidad y pueden ser objeto de diversa clasificacin. La construccin de un modelo es un arte, sus fundamentos pueden ensearse igual que lo del arte. Como gua general, usted puede dividir en tres pasos el proceso de la construccin de un modelo:

1. Estudie el ambiente de la situacin administrativa.

2. Formule una representacin selectiva de la situacin.

3. Construya y analice en modelo simblico (cuantitativo)

Figura 1.3. La caja negra de un modelo

Variables exgenas Variables Endgenas

Decisiones medidas de desempeo (Funcin (Insumos controlables) objetivo)

Parmetros o coeficientes Variables de consecuencias (Insumos incontrolables)

Los modelos Simblicos (matemticos) son los que tradicionalmente, han sido ms comnmente identificados con la Investigacin de Operaciones; El modelo debe tener solucin, ser realista, fcil de entender y modificar. Adems debe permitir que los datos de insumo requeridos puedan ser obtenidos.

c) Recolectar los datos de insumo. La recoleccin de datos, se refiere a obtener la informacin cuantitativa que es necesaria par obtener una solucin; Incluye escalas de medidas: nominal, ordinal y ratios.

Los datos son hechos o conceptos conocidos o supuestos y generalmente se expresan en forma numrica por ejemplo el nmero de unidades vendidas, o producidas, los salarios de los vendedores, etc.

Tipos de datos:

1. Datos de transacciones; estos son los que resultan de las transacciones comerciales diarias de una organizacin, estos datos se conservan porque son importantes guardar registro de lo que sucede 2. Datos internos; estos datos estn asociados con lo que sucede dentro de la organizacin. Los datos de transacciones son tambin internos, pero existen datos internos que no son de transacciones, por ejemplo las estimaciones de ventas futuras.

3. Datos externos; estos se refieren al medio en que operan; estos datos se conservan en menor grado que los datos internos, por ejemplo el producto bruto interno, tasas de impuestos, etc. Otra forma en que puede clasificarse los datos es si son objetivos o Subjetivos. Los datos objetivos reflejan hechos o conceptos que no requieren de subjetividad en su interpretacin .Por ejemplo, si los registro de una empresa indican 3 000 unidades vendidas el mes pasado. Esto seria un dato objetivo. Por otra parte, si se piensa que puede venderse 5 000 unidades el mes prximo, esto es un datos subjetivo.Las fuentes de datos incluyen:1. Reportes de la organizacin y documentos.

2. Muestreos estadsticos

3. Entrevistas con personas relacionadas con la organizacin cuyo juicio o experiencia son invalorables y a menudo proporcionan informacin excelente.

Dependiendo de Datos buenos, se obtendr buenos resultados; de lo contrario, se obtendr lo que no se quiere, como resultado de un mal insumo.

d) Solucionar el modeloResolver un modelo consiste en encontrar los valores de las variables dependientes, asociadas a las componentes controlables del sistema con el propsito de optimizar, si es posible, o cuando menos mejorar la eficiencia o la efectividad del sistema dentro del marco de referencia que fijan los objetivos y las restricciones del problema.La seleccin del mtodo de solucin depende de las caractersticas del modelo. Los procedimientos de solucin pueden ser clasificados en tres tipos: 1) Analticos, que utilizan procesos de deduccin matemtica; 2) Numricos, que son de carcter inductivo y funcionan en base a operaciones de prueba y error; 3) Simulacin, que utiliza mtodos que imitan o, emulan al sistema real, en base a un modelo. e) Validar resultados e interpretarlos.Los modelos deben ser probados para su validez interna o externa. En sentido interno, las representaciones matemticas deben tener sentido unas con respecto a otras. En sentido externo, los resultados obtenidos del modelo deben tener sentido cuando se comparan con la realidad de la situacin que es estudiada.

La interpretacin de resultados implica examinarlos a luz de los objetivos propuestos. Se debe determinar las implicaciones de su aplicacin .Adems, como el modelo es una aproximacin de la realidad, debe ser analizada la sensibilidad de la solucin a cambios que ocurra en sus insumos. Para ello se cuenta con el Anlisis de Sensibilidad o anlisis de Post optimizacin.

f) Implementarlos en la ejecucin de una decisin.

Toma de Decisiones e implementacin consiste en trasladar los resultados obtenidos en detalladas instrucciones de operaciones para la organizacin. Los procesos de control son necesarios.

Muchos grupos de anlisis cuantitativo han fracasado en sus esfuerzos porque han fallado en implementar, apropiadamente, una buena solucin viable. La solucin optima de un modelo matemtico, no siempre es la poltica que debe ser implementada por la empresa. La decisin final la debe tomar el ser humano, que tiene conocimientos que no se pueden cuantificar exactamente, y que puede ajustar los resultados del anlisis para llegar a la solucin conveniente. Prctica de Anlisis Cuantitativo

EJEMPLO 1.En una empresa productora de cerveza se necesita distribuir el producto desde las dos plantas productoras hasta cinco distribuidores principales.

a) Cmo participa la Investigacin de Operaciones para resolver este problema?

b) Identifique los insumos incontrolables para los que debe obtenerse informacin.

c) Identifique las variables de decisin, el objetivo y las restricciones en el modelo.

d) El modelo a usar sera determinstico o estocstico?

e) Cules supuestos se pueden asumir para simplificar el modelo (modelo deterministico)?RESPUESTAS:

a) Investigacin de Operaciones provee un enfoque con anlisis cuantitativo que incluye los pasos del mtodo cientfico. La definicin del problema puede incluir un objetivo de Minimizar los costos de transporte totales. Debe identificar los aspectos que afectan el logro de ese objetivo, tales como disponibilidades y demanda del producto. Debe continuar el anlisis cuantitativo con la determinacin de la informacin necesaria y disponible en ese sistema de transporte.

b) Los costos fijos y variables de transporte del producto, las cantidades disponibles de producto en cada una de las dos plantas y las cantidades demandadas por cada uno de los 5 distribuidores.

c) Las variables de decisin son las cantidades de cerveza a trasportar desde cada planta hasta cada distribuidor. El Objetivo es minimizar los costos totales de transporte y las restricciones son de cantidad de oferta disponible y de demanda a satisfacer.

d) Si la demanda es fluctuante, la produccin disponible no es fija y los costos varan de acuerdo a las cantidades a transportar, se le considerar un modelo Estocstico.

e) Se puede asumir que para cada especfico perodo de planificacin las cantidades de cerveza demandados son constantes en cada distribuidor. Igualmente se puede asumir que la cantidad disponible de cerveza producida, en cada planta, es fija para el perodo de planificacin y que los costos unitarios de transporte son fijos. Si se considera esto, para un perodo especfico de transporte de la cerveza, se trabajar con un modelo Determinstico.EJEMPLO 2.

El Ministerio de Vivienda construccin y saneamiento necesita construir 250 unidades habitacionales para resolver parte del problema de los damnificados de una regin.

a) Cmo participa la Investigacin de Operaciones para ayudar a resolver este problema?

b) Identifique los insumos incontrolables para los que debe obtenerse informacin.

c) Cules son las variables de decisin, el objetivo, las restricciones en el modelo?

d) El modelo a usar sera determinstico o estocstico?

e) Cules supuestos se pueden asumir para simplificar el modelo?

f) Qu ventajas tiene trabajar con un modelo en esta situacin en comparacin a trabajar sobre el sistema real?

g) Cmo se puede lograr xito en un anlisis cuantitativo?RESPUESTAS:

a) El analista de Investigacin de operaciones puede proveer el anlisis cuantitativo para determinar el tiempo mnimo de terminacin del proyecto tomando en cuenta los costos y tiempos normales de ejecucin de las actividades, as como tambin los costos y tiempos de aceleracin de las actividades del proyecto a desarrollar.

b) Los tiempos de ejecucin, normales y acelerados, de las actividades; los costos de acelerar las actividades; los fondos disponibles para la aceleracin de actividades; y las precedencias entre una actividad y otra.

c) Las variables de decisin son las fechas de cuando iniciar y finalizar las actividades, y las actividades que pueden ser aceleradas. El objetivo sera realizar el proyecto en el menor tiempo posible. Las restricciones que deben cumplirse son las de no violar el orden en que se han de ejecutar las actividades y no gastar mas de los fondos disponibles para la aceleracin de la ejecucin.

d) Si los tiempos de ejecucin de las actividades, tanto los normales como los acelerados, son inciertos y sujetos a variacin; si adems los costos de aceleracin no son conocidos con certeza y las precedencias entre actividades pueden variar, en el proceso de ejecucin del proyecto, debido a cambios en el diseo, se estara trabajando con un modelo Probabilstico o Estocstico.

e) Se puede asumir que todos los insumos sealados anteriormente son conocidos con certeza en el perodo de ejecucin del proyecto y se trabajar con un modelo Determinstico.f) Ahorro de dinero, tiempo u otro bien valor, Evitar riesgos de daos al sistema cuando se esta solucionando y entender mejor el ambiente real cuando este es muy complicado.

g) Poniendo nfasis en que los directivos principales se involucren en la definicin del problema. El analista tambin debe involucrarse y trabajar con los intereses de la directiva. Deben integrarse con toda la organizacin porque todo ello tiene impacto sobre la factibilidad de la implementacin que es lo que en definitiva se quiere para resolver esta situacin o problema. A veces un cambio mayor o un simple anlisis del modelo es mejor que la aplicacin a ciegas de un modelo cuantitativo.

CAPITULO IIPROGRAMACIN LINEALObjetivo: Proponer en forma cuantitativa acciones o decisiones a tomar para optimizar sistemas donde existan recursos escasos y se presenten relaciones lineales, mediante la teora y prctica de la Tcnica de Programacin Lineal.2.1. PROGRAMACION LINEAL (PL)Programacin Lineal es una tcnica cuantitativa ampliamente aplicada en sistemas que presenten relaciones lineales, para utilizar los recursos escasos de la mejor manera posible.La mejor manera de usar los recursos escasos se logra utilizando un modelo del sistema llamado

Modelo de Programacin Lineal.DEFINICION

Es una tcnica de optimizacin que consiste en la maximizacin o minimizacin de una funcin lineal, llamada funcin objetivo, sujeta a restricciones tambin lineales

CARACTERSTICAS DEL MODELO DE PROGRAMACIN LINEALEl Modelo de Programacin Lineal es un modelo matemtico con variables de decisin, coeficientes y/o parmetros, restricciones y una Funcin Objetivo.

Es determinstico porque todos los datos relevantes utilizados, son conocidos. Es lineal porque las restricciones y el objetivo son funciones lineales. La contribucin de cada variable al valor total del objetivo y al lado derecho de cada restriccin es proporcional al valor de la variable. Es aditivo porque los trminos de sus restricciones y objetivo pueden sumarse (o restarse). La contribucin de cada variable es independiente del valor de las otras variables. Es divisible porque las variables de decisin pueden aceptar valores fraccionales. En caso de no aceptar valores fraccionales, sera preferible usar Programacin Lineal Entera.FORMULACION Y CONSTRUCCION DEL MODELO LINEAL

La Formulacin y Construccin del Modelo Lineal implica:a) Definir claramente las variables de decisin y expresarlas simblicamente o convencionalmente.b) Definir claramente la Funcin Objetivo y las restricciones y expresarlas matemticamente como funciones lineales. La Funcin Objetivo del Modelo Lineal, es la formulacin matemtica de una meta establecida y por lo tanto su valor final mide la efectividad lograda. Es una funcin lineal a ser maximizada o minimizada y tiene la siguiente forma general: Optimizar Z = C1X1 + C2X2 + C3X3 + C4X4 +...................+ CnXnX j, simboliza matemticamente a las variables de decisin. Son los valores numricos que se determinan con la solucin del modelo y representan o estn relacionadas con una actividad o accin a tomar. Son los nicos valores desconocidos en el modelo y pueden existir en cualquier cantidad, desde 1 hasta n variables. Es decir, j vara desde 1 hasta n.C j , matemticamente, simboliza el coeficiente de la variable j en la Funcin Objetivo. Son datos relevantes, insumos incontrolables ya conocidos. En la Funcin Objetivo representan la cantidad con la cual contribuye cada unidad de la variable j, al valor total deseado en el objetivo.Las restricciones, desde el punto de vista matemtico, son funciones lineales expresadas como igualdades o desigualdades, que limitan el valor de las variables de decisin a valores permisibles. Representan recursos, condiciones o requerimientos establecidos. Las restricciones del Modelo Lineal general tienen la forma siguiente: a 11 X1 + a 12 X 2 + a 13 X 3 + a14 X 4 +.................. + a1n Xn > < = b1

a 21 X1 + a 22 X 2 + a 23 X 3 + a24 X 4 + .................. + a2n Xn > < = b2 a 31 X1 + a 32 X 2 + a 33 X 3 + a34 X 4 + .................. + a3n Xn > < = b3

. . . . . .

. . . . . .

am1 X1 + a m2 X 2 + am3 X 3 + am4 X 4 +...............+ amn Xn > < = bm aij , matemticamente simboliza el coeficiente, en la restriccin i, de las variable j.

El subndice i indica el recurso, requerimiento o condicin cuya limitacin se est expresando; j indica la variable correspondiente.

Cuando la limitacin es de un recurso i, estos coeficientes representan la cantidad del recurso total limitado i, que es utilizada en cada unidad de la variable j. Cuando la limitacin es de un requerimiento o condicin i, representan la cantidad del requerimiento o condicin i limitada, que aporta cada unidad de la variable j, al requerimiento o condicin total establecida. Son, por ello, valores unitarios, al igual que los coeficientes de las variables en la Funcin Objetivo.b i, matemticamente constituye el lado derecho de la restriccin i. Representa la cantidad total disponible del recurso limitado i, o la cantidad total de un requerimiento o condicin i establecida.

Puede existir cualquier cantidad de restricciones por lo tanto i puede variar desde 1 hasta m.X j > 0 ; es una restriccin de no negatividad de las j variables, la cual se le considera siempre presente como una condicin natural en el Modelo Lineal General. PRACTICA DIRIGIDA: Formulacin y Construccin de Modelos Lineales. .La Formulacin, implica describir conceptualmente los elementos componentes del modelo en una situacin especfica.La Construccin, implica expresar en trminos matemticos los elementos definidos en el modelo.

Prctica.Formule y Construya el Modelo Lineal respectivo.PROBLEMA 1.Una empresa fabrica los productos A, B y C y puede vender todo lo que produzca a los siguientes precios: A, 700 soles, cada unidad; B, 3 500 soles; C, 7 000 soles. Producir cada unidad de A necesita 1 hora de trabajo, 2 horas de acabado y 3 unidades de materia prima. Producir una unidad de B necesita 2 horas de trabajo, 3 horas de acabado y 2.5 unidades de materia prima.

Producir una unidad de C necesita 3 horas de trabajo, 1 hora de acabado y 4 unidades de materia prima. Para este perodo de planificacin estn disponibles 100 horas de trabajo, 200 horas de acabado y 600 unidades de materia prima. Solucin

a) Debe definirse claramente a las variables de decisin y expresarlas simblicamente. X1: unidades a producir de producto A

X2: unidades a producir de producto B (Estos son insumos controlables)X3: unidades a producir de producto C b) Debe Definirse claramente el objetivo y expresarse como funcin lineal. Objetivo: Maximizar ingresos de venta Max Z = 700 S/. X1 Unid de A + 3 500 X2 + 7 000 X3

Unid de AEscribir el objetivo de esta forma es expresar en unidades fsicas uno de sus trminos. Este trmino presenta la informacin especfica de lo que contiene y permite confirmar la esencia fsica de lo que se est sumando y tambin que ello es consecuente con lo que se est obteniendo en el total de la ecuacin; en este caso, ingreso en soles.c) Deben definirse las restricciones y expresarlas como funciones lineales.Restriccin 1: Disponibilidad limitada de horas de trabajo. 1 hora de trabajo X1(unid. de producto A) + 2 X2 + 3 X3 < 100 horas de trabajo

Unidad de ARestriccin 2: Horas de acabado disponibles en este perodo: 2X1 + 3 hora de acabado X2 (unid. de producto B) + 1 X3 < 200 horas de acabado Unidad de BRestriccin 3: Disponibilidad limitada de unidades de materia prima: 3X1 + 2.5 X2 + 4 unid. de Materia prima X3 (unid. de producto B) < 600 Unidades de M.P. Unidad de BDe esta forma las restricciones estn expresadas en unidades fsicas. Se destaca en cada una de ellas alguno de sus trminos, con indicacin de lo que representa. Esto confirma que lo que se est sumando es consecuente con lo que se est obteniendo del lado derecho de la ecuacin.Finalmente, incorporando la restriccin de no-negatividad de las variables de decisin, se resume as el modelo: F.O. Max Z = 700 X1 + 3.500 X2 + 7.000 X3 Sujeto a:1X1 + 2 X2 + 3 X3 < 100

2X1 + 3 X2 + 1 X3 < 200

3X1 + 2.5 X2 + 4 X3 < 600

X1, X2, X3 > 0PROBLEMA, 2.Una empresa fabrica los productos A, B y C y puede vender todo lo que produzca a los siguientes precios: A, 700 Soles; B, 3 500 soles; C, 7 000 soles. Producir cada unidad de A necesita 1 hora de trabajo. Producir una unidad de B necesita 2 horas de trabajo, ms 2 unidades de A. Producir una unidad de C necesita 3 horas de trabajo, ms 1 unidad de B. Cualquier unidad de A utilizada para producir B, no puede ser vendida. Similarmente cualquier unidad de B utilizada para producir C, no puede ser vendida. Para este perodo de planificacin estn disponibles 40 horas de trabajo.PROBLEMA 3.La Cmara de Comercio de Arequipa peridicamente promueve servicios pblicos, seminarios y programas. Actualmente los planes de promocin para este ao estn en marcha. Los medios alternativos para realizar la publicidad as como los costos y la audiencia estimados por unidad de publicidad, adems de la cantidad mxima de unidades de publicidad en que puede ser usado cada medio se muestran a continuacin.Restricciones Televisin Radio Prensa

Audiencia por unidad de publicidad 100 000 18 000 40 000

Costo por unidad de publicidad S/.2 000 S/. 300 S/. 600

Uso mximo del medio 10 20 10Para lograr un uso balanceado de los medios, la publicidad en radio no debe exceder el 50% del total de unidades de publicidad autorizados. Adems la cantidad de unidades solicitadas en televisin debe ser al menos 10% del total autorizado. El presupuesto total para promociones se ha limitado a S/.18 500.EJEMPLO 4.

El Banco del crdito del Per abre de lunes a viernes de 8 a.m. a 4p.m. De experiencias pasadas sabe que va a necesitar la cantidad de cajeros sealados en la tabla dada. Hay dos tipos de cajeros: los que trabajan tiempo completo de 8 am a 4 pm, los cinco das, excepto la hora que utilizan para almorzar.

El Banco determina cundo debe almorzar cada cajero, pero debe ser entre las 12a.m. y la 1 p.m. o entre la 1 p.m. y las 2 p.m. A los empleados a tiempo completo se les paga S/. 5.00 la hora incluida la hora de almorzar). Tambin hay trabajadores a tiempo parcial que deben trabajar exactamente 3 horas consecutivas cada da y se le paga S/. 4.00 la hora, sin ningn otro pago. A fin de mantener la calidad del servicio el Banco desea tener un mximo de 5 cajeros contratados a tiempo parciales. Se desea minimizar los costos de empleados contratados.

Periodo de tiempo89 a.m.9-10 a.m.10-11

a.m. 11-12 a.m.12a.m.-1 p.m.1- 2

p.m.2-3 p.m.3-4 p.m.

Cajeros requeridos43465689

a) Identificacin de las Variables de decisin:

X1: Empleados a tiempo completo que toman su almuerzo de 12m- 1pm

X2: Empleados a tiempo completo que toman su almuerzo de 1pm-2pm

X3: Empleados a tiempo parcial que empiezan a trabajar a la 8am

X4: Empleados a tiempo parcial que empiezan a trabajar a la 9am

X5. Empleados a tiempo parcial que empiezan a trabajar a la 10am

X6: Empleados a tiempo parcial que empiezan a trabajar a la 11am

X7: Empleados a tiempo parcial que empiezan a trabajar a la 12m

X8: Empleados a tiempo parcial que empiezan a trabajar a la 1pm

Empleados a tiempo parciales que empiezan a trabajar a la 1 pm trabajarn hasta que cierre y por lo tanto no se necesitan empleados a tiempo parcial que empiecen a las 2 pm o las 3 p.m.

b) Identificacin de la funcin Objetivo:

Minimizar Costos de contratacin

Min Z = 40 (X1+ X2 ) + 12 ( X3+ X4 + X5 + X6 + X7 + X8)

c) Identificacin de las Restricciones

(Requerimientos de empleados totales en los ocho horarios sealados - 8 restricciones)

Restriccin de empleados en el horario de 8 am - 9 a.m.

X1 + X2 + X3 > 4

Restriccin de empleados en el horario de 9 a.m. - 10 a.m.

X1 + X2 + X3 + X4 > 3

Restriccin de empleados en el horario de 10 a.m. - 11 a.m.

X1 + X2 + X3 + X4 + X5 > 4

Restriccin de empleados en el horario de 11 a.m. - 12 a.m.

X1 + X2 + X4 + X5 + X6 > 6

Restriccin de empleados en el horario de 12m - 1 p.m.

X2 + X5 + X6 + X7 > 5

Restriccin de empleados en el horario de 1 p.m. - 2 p.m.

X1 + X6 + X7 + X8 > 6

Restriccin de empleados en el horario de 2 p.m. - 3 p.m.

X1 + X2 + X7 + X8 > 8

Restriccin de empleados en el horario de 3 p.m. - 4 p.m.

X1 + X2 + X8 > 8

Restriccin de cantidad mxima de 5 cajeros contratados a tiempo parcial:

X3 + X4 + X5 + X6 + X7 + X8 < 5

Restriccin de no negatividad de las variables: Todas las variables no negativasd) Formulacin completa

El modelo debe quedar expresado de la siguiente manera:

Funcin Objetivo: Min Z = 40 (X1+ X2) + 12 (X3+ X4 + X5 + X6 + X7 + X8)Sujeto a: X1 + X2 + X3 > 4

X1 + X2 + X3 + X4 > 3

X1 + X2 + X3 + X4 + X5 > 4

X1 + X2 + X4 + X5 + X6 > 6

X2 + X5 + X6 + X7 > 5

X1 + X6 + X7 + X8 > 6

X1 + X2 + X7 + X8 > 8

X1 + X2 + X8 > 8

X3 + X4 + X5 + X6 + X7 + X8 < 5

X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8 > 0

PROBLEMAS PARA FORMULACION Y COSTRUCCION DEL MODELO

1.- Problema de hacer o comprar. Aceros Arequipa produce tres tamaos de tubos: A, B y, C; que son vendidos, respectivamente en $ 10, $12 y $ 9 por pie. Para cada pie del tubo A se requieren 0.5 minutos de tiempo de procesamiento sobre un tipo particular de maquina de modelado. Cada pie del tubo B requiere 0.45 minutos y cada pie del tubo C requiere 0.6 minutos. Despus de la produccin, cada pie de tubo, sin importar el tipo, requiere 1 onza de material a soldar. El costo total se estima en $3, $.4 y $ 4 por pie de los tubos A, B y C, respectivamente.

Para la siguiente semana, Aceros Arequipa ha recibido pedidos excepcionalmente grandes que totalizan 2000 pies del tubo A, 4000 pies del tubo B y 5000 pies del tubo C. Como solo se dispone de 40 horas de tiempo de maquina esta semana y solo se tiene en inventario 5500 onzas de material de soldar, el departamento de produccin no podr satisfacer esta demanda, que requiere un total de 97 horas de tiempo de maquina y 11000 onzas de material de soldar. No se espera que contine este alto nivel de demanda. En vez de expandir la capacidad de las instalaciones de produccin, la gerencia de Aceros Arequipa esta considerando la compra de algunos de estos tubos a proveedores de Japn a un costo de entrega de $ 6 por pie del tubo A,$6 por pie del tubo B y $7 por pe del tubo C Estos diversos datos se resumen en la tabla 2.1 siguiente. . Como gerente del departamento de produccin, se le ha pedido hacer las recomendaciones respecto a la cantidad de produccin de cada tipo de tubo y la cantidad de compra a Japn para satisfacer la demanda y maximizar las ganancias de la compaa.

Tabla 2.1 datos para el problema de hacer o comprar de Aceros Arequipa

Precio de VentaDemanda (pie)Tiempo de maquina

(min/pieMaterial Para Soldar

( onza/pie)Costo de produccin

( $/pieCosto de Compra ($/pie)

A102 0000.50136

B14 0000.45146

C95 0000.60147

Cantidad disponible40 horas5500 onzas

2.- Problema de Dietas. El departamento de Nutricin del Hospital general de Arequipa prepara 30 mens de cena, uno para cada da del mes. Una comida consistente en espagueti, pavo, papas en escalope, espina y pastel de manzana. Como director del departamento de Nutricin, usted ha determinado que esta comida debe proporcionar 63 000 miligramos (mg) de protenas ,10 mg de hierro, 15 mg de niacina, 1 mg de tiamina y 50 mg de vitaminas C. Cada 100 gramos de esta comida proporciona la cantidad de cada nutriente y grasas indicas en la tabla 2.2

TABLA 2.2 Nutrientes proporcionados por las distintas comidas

NUTRIENTE ( mg/100g)

PROTEINASHIERROTIACINATIAMINAVITAMINAS CGRASA

Espagueti5 0001.11.50.180.05 000

Pavo29 3001.85.40.060.05 000

Papas5 3000.50.90.0610.07 900

Espinacas3 0002.20.50.0728.0300

Pastel De Manzanas4 0001.20.60.153.014 300

Para evitar demasiada cantidad de un tipo de comida, no debe incluirse en ella ms de 300 gramos de espagueti, 300 gramos de pavo, 200 gramos de papas, 100 gramos de espinacas y 100 gramos de pastel de manzana. Como director del departamento de nutricin usted desea determinar la composicin de una comida que satisface los requerimientos nutricionales y proporcionar la mnima cantidad de grasas.

3. Una empresa elabora dos tipos de productos diferentes (Producto 1 y Producto 2), cada unidad de producto contiene cuatro componentes (componentes A, B, C, D), en las proporciones y disponibilidades que se indican en el cuadro. Formular el Problema de Programacin Lineal que maximice los beneficios de la empresa.

PRODUCTO

COMPONENTEProducto. 1

(Kg)Producto. 2

(Kg)DISPONIBILIDAD

(Kg)

A1315000

B2110000

C2212000

D1110000

BENEFICIOS43

4.-Un artesano fabrica collares y pulseras. Hacer un collar le lleva 2 horas y hacer una pulsera 1 hora. El material de que dispone no le permite hacer ms de 50 piezas. Como mucho, el artesano puede dedicar al trabajo 80 horas. Por cada collar gana 500 soles y por cada pulsera 400 soles. El artesano desea determinar el nmero de collares y de pulseras que debe fabricar para optimizar sus beneficios.

a. Exprsese la funcin objetivo y las restricciones del problema.

b. Represntese grficamente el recinto definido.

c. Obtngase el nmero de collares y pulseras correspondientes al mximo beneficio.5.-Una empresa que sirve comidas preparadas tiene que disear un men utilizando dos ingredientes. El ingrediente A contiene 35 g de grasas y 150 Kcal por cada 100 g de ingrediente, mientras que el ingrediente B contiene 15 g de grasas y 100 Kcal por cada 100 g. El coste es de 150 Pesetas por cada 100 g del ingrediente A y de 200 Pesetas por cada 100 g del ingrediente B.

El men a disear debera contener no ms de 30 g de grasas y al menos 110 Kcal por cada 100 g de alimento. Se pide determinar las proporciones de cada ingrediente a emplear en el men de manera que su coste sea lo ms reducido posible.

a. Indquese la expresin de las restricciones y la funcin objetivo del problema.

b. Represntese grficamente la regin delimitada por las restricciones.

Calclese el porcentaje ptimo de cada ingrediente a incluir en el men.6. Problema de Inversin. El gerente de cartera de AFP Buena Vida, se le ha pedido invertir $ 1 000 000 , de un gran fondo de pensiones. El departamento de investigacin de Inversiones ha identificado seis fondos con estrategias de inversin variables, resultado en diferentes rendimientos potenciales y riesgos asociados, como se resumen en la Tabla 2.3

TABLA 2.3 Riesgo y tasa esperada de rendimientos de seis fondos de inversin

FONDO

123456

Precio ( $/ accin)457611017236

Devolucin esperada (%)302015121022

Categora de riesgoAltoAltoAltoMedianomedianoBajo

Una forma de controlar el riesgo es limitar la cantidad de dinero invertido en los diversos fondos. Para ese fin, la administracin de AFP Buena Vida ha especificado las siguientes pautas:1. La cantidad total invertida en fondos de alto riesgo debe estar entre 50 y 75 % de la cartera.2. La cantidad total invertida en fondos de mediano riesgo debe estar entre 20 y 30 % de la cartera.

3. La cantidad total invertida en fondos de bajo riesgo debe ser al menos de 5% de la cartera.

Una segunda forma de controlar el riesgo es diversificar esto es, esparcir el riesgo invirtiendo en muchas alternativas diferentes. La gerencia de AFP Buena Vida, ha especificado que la cantidad invertida en los fondos de alto riesgo 1, 2 y 3 deben estar en la tasa 1:2:3 respectivamente. La cantidad invertida en los fondos de mediano riesgo 4 y 5 debe ser 1:2.Como estas pautas Qu cartera deberan usted, gerente de cartera, recomendar para maximizar la tasa esperada de retomo?

7.- Un distribuidor de ferretera planea vender paquetes de tuercas y tornillos mezclados. Cada paquete pesa por lo menos 2 Kilos. Tres tamaos de tuercas y tornillos componen el paquete y se compra en lotes de 200 kilos. Los tamaos 1, 2,3 cuestan respectivamente $ 20, $ 8 y $ 2. Adems:

a. El peso combinado de los tamaos 1 y 3 debe ser al menos la mitad del peso total del paquete.

b. El peso de los tamao 1 y 2 no debe ser mayor que 1.6 kilosc. cualquier tamao de tornillo debe ser al meno 10 % del paquete total.

Cual ser la composicin del paquete que ocasionara en costo mnimo? 8.- Un proyecto de asfaltado puede llevarse a cabo por dos grupos de una misma empresa: G1 y G2. Se trata de asfaltar tres zonas: A, B y C. En una semana, el grupo G1 es capaz de asfaltar 3 unidades de la zona A, 2 de la zona B y 2 de la zona C. El grupo G2 es capaz de asfaltar semanalmente 2 unidades de la zona A, 3 de la B y 2 de la C. El coste semanal se estima en 3.300 euros para G1 y en 3.500 euros para G2. Se necesita asfaltar un mnimo de 6 unidades en la zona A, 12 en la zona B y 10 en la zona C.

Cuntas semanas deber trabajar cada grupo para finalizar el proyecto con el mnimo coste?

9.- El propietario de un Granja, esta realizando ensayos para determinar la mezcla correcta de dos clases de alimentos para conejos. Ambos contienen diversos porcentajes de cuatro ingredientes esenciales. Cual es la mezcla de costo mnimo? a continuacin se da la tabla 2.4 de datos para el problema

TABLA 2.4.

INGREDIENTES% Por Kilo De AlimentoRequerimiento Min

(Kilos)

ALIMENTO 1ALIMENTO 2

140204

210302

320403

430106

Costo $/ Kilo0.50.3

10.- Un agente vendedor maneja dos productos. El no espera vender ms que 10 unidades por mes del producto A o 30 unidades por mes del producto B. Para evitar una multa debe vender al menos 24 unidades del producto B. Recibe una comisin de 10%s obre todas las ventas y debe pagar sus propios gastos, los cuales se estima en S/. 3.00 por hora gastada en hacer visitas. El trabaja solo una parte del tiempo y debe trabajar hasta un mximo de 80 horas/mes. El producto A se vende en S/. 150.00 por unidad y requiere un promedio de 1.5 horas por cada visita, la probabilidad de hacer una venta es 50 % El producto B se vende en S/. 70.00 por unidad y requiere un promedio de 30 minutos por cada visita, la probabilidad de hacer una venta es 60 %. Cuantas visitas mensuales debe hacer a los clientes de cada producto?11.- Una madre desea hacer unos pastelillos para la fiesta de su hija. Para ello domina la elaboracin de tres tipos de pastelillos (A, B y C), los cuales tienen los mismos ingredientes: mantequilla, nata y crema, de los que posee 232, 300 y 720 gramos. Un pastelillo del tipo A requiere 5 gramos de mantequilla, 9 de crema y 8 de nata. Uno del tipo B de 5 gramos de nata, 8 gramos de crema y 6 gramos de mantequilla.; y uno del tipo C de 12 gramos de crema, 4 de mantequilla y 6 de nata. La madre quiere optimizar la cantidad de pastelillos a elaborar antes que cualquier otra consideracin. Formule usted el problema de programacin lineal. 12.-Una compaa naviera dispone de dos barcos A y B para realizar un determinado crucero. El barco A debe tener tantos viajes o ms que el barco B, pero no puede sobrepasar 12 viajes. Entre los dos barcos deben hacer no menos de 6 viajes y no ms de 20. La naviera obtiene un beneficio de 18.000 por cada viaje del barco A y 12.000 por cada viaje del B. Se desean que las ganancias sean mximas.

a. Expresar la funcin objetivo.

b. Describir mediante inecuaciones las restricciones del problema y representar grficamente el recinto obtenido.

c. Hallar el nmero de viajes que debe efectuar cada barco para obtener el mximo beneficio.

Calcular dicho beneficio mximo.13.-Una compaa de transporte de carga, tiene 10 camiones con capacidad de 40 toneladas y 5 camiones de 30 toneladas de capacidad. Los camiones grandes tiene costos de operacin de S/. 1.80 por kilometro y los pequeos de S/. 1.30 por kilometro. En la prxima semana la compaa debe transportar 400 toneladas de malta para un recorrido de 800 kilmetros. La posibilidad de otros compromisos significa que por cada dos camiones pequeos mantenidos en reserva debe quedarse por lo menos uno de los grandes.

Cul es el nmero ptimo de camiones de ambas clases que debe movilizarse para transportar la malta?14.- Un cierto producto final, consiste de tres partes que puede ser producidos en cuatro diferentes departamentos, disponiendo cada departamento de un nmero limitado de horas de produccin. El objetivo es determinar el nmero de horas de cada departamento a ser asignadas a cada parte, para maximizar el nmero de unidades completas del producto final. La tabla 2.4 nos muestra las tasas de produccin de cada parte asignada a su respectivo departamento. Formular y construir el modelo de P.L.Tasa de produccin ( nmeros/Horas)

DepartamentoCapacidad (horas)Parte 1Parte 2Parte 3

110010155

215015105

38020510

4200101520

15.- Supngase que el banco de crdito el agricultor, tiene dos planes de inversin: el primero en el programa de tierras de riego y el segundo en el programa de tierras de temporal. El primer programa regresa un 30 % de la inversin anualmente, mientras que el segundo plan regresa un 65 % de la inversin, pero al termino de 2 aos, los inters recibidos de ambos planes son reinvertidos de nuevo en cualquiera de ambos planes. Formule u construya un programa lineal que le permita al Banco maximizar la inversin total en un sexenio ( 6 aos ),si la inversin anual es de 100 millones de soles.16.- Una Ca. XYZ produce tornillos y clavos especiales. La materia prima para los tornillos cuesta S/. 2.00 por unidad, mientras que la materia prima para cada clavo cuesta S/. 2.50. Un clavo requiere dos horas de mano de obra en el departamento # 1 y tres horas en el departamento # 2, mientras que un tornillo requiere cuatro horas en el departamento # 1 y dos horas en el departamento # 2. El jornal por hora en ambos departamentos es de S/.2.00. Si ambos productos se venden a S/ 18 .00, y el numero de horas de mano de obra disponible por semana en los departamentos es de 160 y 180 respectivamente, expresar el problema propuesto como un programa lineal, tal que maximice las utilidades.17.- Una papelera quiere liquidar hasta 78 Kg. de papel reciclado y hasta 138 Kg. de papel normal. Para ello hace dos tipos de lotes, A y B. Los lotes A estn formados por 1 Kg. de papel reciclado y 3 Kg. de papel normal y los lotes B por 2 Kg. de papel de cada clase. El precio de venta de cada lote A es de 0,9 y el de cada lote B es de 1,0 . Cuntos lotes A y B debe vender para maximizar sus ingresos? A cunto ascienden estos ingresos mximos?18.- La Ca. de Areo lneas Tiene que decidir cuantas azafatas tiene que emplear, entrenar, despedir en los 6 meses que vienen. Los requisitos en hora de vuelo de azafatas son las siguientes:

MesJulioAgostoSetiembreOctubreNoviembreDiciembre

N Hrs.2 0009 0008 00010 0009 00012 000

Una chica necesita un mes de entrenamiento antes de que pueda usarla en un vuelo regular, por lo tanto, hay que emplearla un mes antes de que sus servicios sean necesarios.

Tambin el entrenamiento de una chica nueva requiere el tiempo de una azafata regular ya entrenada.Dicho entrenamiento toma aproximadamente 100 horas de la azafata con experiencia durante el mes de entrenamiento.

Entonces por cada chica en entrenamiento hay 100 horas menos disponibles para servicio de las azafatas regulares.Cada azafata regular puede trabajar un mximo de 150 horas cada una, hay 60 azafatas disponibles el primer da de Julio. Si el tiempo mximo disponible de azafata requerido es mayor que la demanda, las regulares pueden trabajar menos de 150 horas o la ca. Puede despedirlas a un costo de $1 000 por cada azafata despedida. Cada mes el 10 % de las azafatas regulares renuncian al trabajo para casarse o por otras razones. Una azafata regular cuesta $ 800 al mes y una chica en entrenamiento recibe $ 400.

Formule y construya el modelo en P.L. para minimizar el costo de servicio de azafatas.

19.- Un problema de produccin. La Swelta Glove Company fabrica y vende dos productos. Dicha compaa obtiene ganancias de $12 por cada unidad que vende de su producto 1, y de $4 por cada unidad de su producto 2. Los requerimientos en trminos de horas de trabajo para la fabricacin de estos productos en los tres departamentos de produccin se enumeran de manera resumida en la siguiente tabla. Los supervisores de estos departamentos han estimado que tendrn las siguientes disponibilidades de horas de trabajo durante el prximo mes: 800 horas en el departamento 1, 600 horas en el departamento 2 y 2 000 horas en el departamento 3. Suponiendo que la compaa este interesada en maximizar las ganancias, desarrolle usted el modelo de programacin lineal correspondiente.Tabla requerimiento de Horas de trabajo

DepartamentoProducto 1Producto 2

112

213

323

20.-Una aerolnea quiere optimizar el nmero de filas de clase preferente y de clase turista en un avin. La longitud til del avin para instalar las filas de asientos es de 104 m, necesitndose 2 m para instalar una fila de clase preferente y 1,5 m para la de clase turista. La aerolnea precisa instalar al menos 3 filas de clase preferente y que las filas de clase turista sean como mnimo el triple que las de clase preferente. Los beneficios por fila de clase turista son de 152 euros y de 206 euros para la clase preferente.

Cuntas filas de clase preferente y cuntas de clase turista se deben instalar para obtener el beneficio mximo? Indicar dicho mximo. 21.- Planificacin Financiera. Wille Hanes es presidente de una microempresa de inversiones que se dedica a administrar la cartera de acciones de varios clientes. Un nuevo cliente ha solicitado que la compaa se haga cargo de administrar para l una cartera de $100 000. A ese cliente le agradara restringir la cartera a una mezcla de tres tipos de acciones nicamente, como podemos apreciar en la siguiente tabla. Formule usted un PL para mostrar cuantas acciones de cada tipo tendra que comprar Wille con el fin de maximizar el rendimiento anual total estimado de esa cartera.ACCIONESPRECIO POR ACCINRENDIMIENTO ANUAL ESTIMADO POR ACCIN ($)INVERSIN MXIMA POSIBLE ($)

Gofer Crude60760,000

Can Oil25325,000

Stoth Petroleun20330,000

22.- Un problema de integracin. McNaughton Inc. Produce dos salsa para carne Spicy Diabla y Red Baron (la mas suave). Estas salas se hacen mesclando dos ingredientes, A y B. Se permite cierto nivel de flexibilidad en la formulas de estos productos. Los porcentajes permisibles, as como la informacin acerca de ingresos y costos, aparecen en la siguiente tabla. Es posible comprar hasta 40 litros de A y 30 de B. McNaughton puede vender toda la salsa que elabore. Formule un modelo PL. cuyo objetivo sea maximizar las ganancias netas obtenidas por la venta de estas salsa.

PRODUCTO EN GRANOINGREDIENTEPRECIO DE VENTA POR LITRO ($)

AB

Spicy DiabloCuando menos 25 %Cuando menos 50%3.35

Red BaronCuando mucho 75 %-2.85

Costo por litro$ 1.60$ 2.59

* No existe un porcentaje mximo o nmero explicito

23.- Se hace un pedido, a una papelera de 800 rollos de papel corrugado de 30 pulgadas de ancho, 500 rollos de 45 pulgadas de ancho, y 1,000 de 50 pulgadas. Si la papelera tienen solamente rollos de 108 Como deben cortarse los rollos para surtir el pedido con el mnimo desperdicio de papel, sabiendo que el mximo desperdicio aceptable de papel por rollo es de 22 pulgadas.24. Una empresa est seleccionando empleados con contrato eventual por un ao y con contrato fijo. El sueldo anual (en miles de euros) de cada empleado eventual es 8 y de cada empleado fijo 15. La empresa tiene un tope mximo de 480 (miles de euros) para pagar los sueldos anuales de los empleados que contrate. Los empleados fijos han de ser por lo menos 10, y no ms de 24. Adems, el nmero de eventuales no puede superar en ms de 14 al de fijos. Plantear el problema y representar grficamente el conjunto de soluciones.

a. Que combinaciones de empleados fijos y eventuales se pueden contratar? Podra contratar a 24 fijos y ningn eventual?

b. Si el objetivo es contratar al mayor nmero total de empleados, cuntos ha de contratar de cada tipo?

25.- El dueo de un restaurante necesitar en 3 das sucesivos 40, 60 y 70 manteles. El puede adquirir manteles a un costo de $20 cada uno y despus de haberlos usado, puede mandar manteles sucios a lavar, para lo cual tiene 2 servicios de lavandera disponibles, uno rpido (el lavado tarda 1 da) que cuesta $ 15 por cada mantel y uno normal (tarda 2 das) que cuesta $8 por mantel. Formule un modelo que permita conocer al dueo del restaurante que nmero de manteles debe comprar inicialmente y que nmero debe mandar a lavar cada da para minimizar sus costos.

26.- un barco tiene 3 bodegas: en la proa, en la popa y en el centro. Las capacidades lmites son:BODEGATONELAJEPIES-CUBICOS

Proa2,000100,000

Popa1,50030,000

centro3,000135,000

Se ha recibido las siguientes ofertas de carga, Las que se pueden aceptar total o parcialmente.CARGACANTIDADPIES CUBICOS/TONELADAGANANCIA : ($/TONELADA)

A6,000 Ton606

B4,000 Ton508

C2,000 Ton259

Cmo se debe distribuir la carga para maximizar la ganancia, sin la preservacin del equilibrio obliga a que el peso de cada bodega sea proporcional a la capacidad de toneladas?

27.- La empresa XXX produce 2 artculos: cubiertas de carro y tolderos .Para la prxima semana dispone de los siguientes suministros:

400 horas-hombre

1200 metros cuadrados de lino

2700 metros cuadrados de lona

600 horas-maquina

El precio de venta de las cubiertas de carro es de 150 soles y el de tolderos 500 soles.Si para producir una cubierta de carro requiere 1 hora hombre, 6 metros cuadrados de lino y 1 hora maquina, y para producir un toldero requiere 2 horas-hombre, 18 metros cuadrados de lona y 1.5 horas - maquina.

Formular y construir el modelo matemtico de programacin lineal respectivo.28.- Un producto se compone de la mezcla de otros dos A y B. Se tienen 500 Kg. de A y 500 Kg. de B. En la mezcla, el peso de B debe ser menor o igual que 1,5 veces el de A. Para satisfacer la demanda, la produccin debe ser mayor o igual que 600 Kg. Sabiendo que cada Kg. de A cuesta 5 euros y cada Kg. de B cuesta 4 euros, calcular los Kg. de A y de B que deben mezclarse para hacer una mezcla de coste mnimo, que cumpla los requisitos anteriores. Calcular dicho coste mnimo por el mtodo grfico.

29.- Una fbrica produce dos tipos de sombreros (tipo A y B), cada sombrero tipo A requiere el doble de tiempo de mano de obra que de el tipo B. Si todos los sombreros fueran del tipo B, el fabricante puede producir 500 unidades al da. El mercado limita las ventas diarias a 150 y 300 unidades respectivamente, si la ganancia que obtiene por producto es de $8 para el tipo A y $5 para el tipo B. determine el nmero de sombreros que ha de ser producidos de cada tipo para maximizar las utilidades. Formule y construya el modelo de P.L

30.- Una empresa produce dos tipos de barcos: barcos veleros y barcos a motor. Cada barco velero deja un beneficio de 1200 Euros y cada barco a motor un beneficio de 1000 Euros. Los principales recurso materiales que emplea para ello son: tela para velas, fibra de vidrio y motores; disponibles en cantidades limitadas. La empresa se propone disear un plan de produccin que especifique cuantos barcos se han de producir semanalmente de cada tipo, con el objetivo de maximizar su beneficio.

RecursosRequerimiento / unidadDisponibilidad por semana

Barco veleroBarco a motor

Tela para velas40300

Fibra de vidrio841500

Motor01120

Formule y construya el problema programacin lineal

31.- Un carpintero desea lograr el mximo beneficio de sus recursos fabricando muebles de madera: mesas, sillas, escritorio y estantes. Cada mesa, silla, escritorio y estante necesitan respectivamente de 5, 1,9 y 10 pies de madera de tipo A, y de 2, 3,4 y 1 pies de madera de tipo B, su programa de ventas necesita mnimo de 40 mesas, 130 silla, 30 escritorios y un mximo de 10 estantes, El carpintero dispone de 1500 pies de madera tipo A y 1000 pies de madera tipo B, su capital le permite contar hasta 800 horas-hombre. Cada mesa requiere de 3 horas- hombre para ser fabricada y produce una utilidad de $5, cada silla requiere de 2 horas hombre y produce $ 2 de utilidad, cada escritorio requiere 5 horas-hombre y su utilidad es de $ 7, y cada estante requiere de 10 horas-hombre y su utilidad es de $ 4, Formular y construir el modelo de PL.

32. Un almacn desea liquidar 2000 camisa y 1000 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanza dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantaln que se vende en S/ 90. La oferta B consisten en un lote de tres camisas y un pantaln, que se vende en S/ 150. No se desea ofrecer menos de 200 lotes de la oferta A, ni menos de 100 de la B. determinar la mejor opcin de venta para maximizar los ingresos. 33. Una agencia de viajes vende paquetes tursticos para acudir a la final de un campeonato deportivo. La agencia esta considerando ofrecer dos tipos de paquetes de viajes: El primero de ellos (A) incluye en desplazamiento en autocar para dos personas, una noche de alojamiento en habitacin doble y cuatro comidas. El segundo (B) incluye desplazamiento en autocar para una persona, una noche de alojamiento (en habitacin doble) y dos comidas. El precio de venta del paquete A es de $ 1 500 y el de B de $ 900. La agencia tiene contratadas un mximo de 30 plazas de autobs, 20 habitaciones dobles y 56 comidas. El numero de paquetes del tipo B no debe superar a los del tipo A .La empresa desea maximizar sus beneficios. Se pide Formular y construir el Modelo de programacin lineal.

34.- Un hombre de negocios tiene la opcin de invertir su dinero en dos planes. El plan A garantiza que por cada sol invertido retornara 70 centavos por ao, mientras que el plan B garantiza que por cada sol invertido retornara S2.00 en dos aos. En el plan B solo se invierte para periodos que son mltiplos de dos aos.

Como se invertir S/.1 000 000 para maximizar los retornos al final de los tres aos? Formule el problema como un modelo de P.L. 35.-Un hipermercado necesita como mnimo 16 cajas de langostinos, 5 de ncoras y 20 de percebes. Dos mayoristas, A y B, se ofrecen al hipermercado para satisfacer sus necesidades, pero slo venden dicho marisco en contenedores completos. El mayorista A enva en cada contenedor 8 cajas de langostinos, 1 de ncoras y 2 de percebes. Por su parte, B enva en cada contenedor 2, 1 y 7 cajas respectivamente. Cada contenedor que suministra A cuesta 210.000 Pesetas., mientras que los de B cuestan 300.000 Pesetas, cada uno. Cuntos contenedores debe pedir el hipermercado a cada uno para satisfacer sus necesidades mnimas con el menor coste posible?

36.- Una firma productora de detergentes cuenta con dos procesos productivos para fabricarlos. Cada actividad utiliza enzimas, capacidad de planta de produccin y capacidad de planta de envasado. Las enzimas se pueden comprar en el mercado en cantidades ilimitadas a $100 por unidad. Las plantas de envasado y produccin tienen una capacidad mxima de procesado fija. El precio del detergente es de $4 por unidad y se puede vender toda la cantidad que se pueda fabricar.

El primero de los procesos utiliza dos unidades de enzimas, 4% de la capacidad de la planta de produccin y 8% de la de envasado, por cada 100 unidades de detergente. El segundo proceso requiere dos unidades de enzimas, 2% de la capacidad de la planta de produccin y 12% de la de envasado, por cada 100 unidades de detergente. Formule usted el Problema de Programacin Lineal.37.-Una campaa para promocionar una marca de productos lcteos se basa en el reparto gratuito de yogures con sabor a limn o a fresa. Se decide repartir al menos 30.000 yogures. Cada yogurt de limn necesita para su elaboracin 0,5 gr. de un producto de fermentacin y cada yogurt de fresa necesita 0,2 gr. de ese mismo producto. Se dispone de 9 Kg de ese producto para fermentacin. El coste de produccin de un yogurt de fresa es el doble que el de un yogurt de limn. Cuntos yogures de cada tipo se deben producir para que el costo de la campaa sea mnimo?38.-Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodn y 120 m2 de tela de lana. Un traje requiere 1 m2 de algodn y 3 m2 de lana, y un vestido de mujer requiere 2 m2 de cada una de las dos telas. Calcular por el mtodo grfico, el nmero de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios si un traje y un vestido se venden al mismo precio.

39.- Dos productos se elaboran pasando en forma sucesiva por tres mquinas. El tiempo por mquina asignado a los productos est limitado a 10 horas por da. Formule el Problema de Programacin Lineal Primal y Dual, si el tiempo de produccin y la ganancia por unidad de cada producto son: PRODUCTOMquina 1

(Min/Unid.)Mquina 2

(Min/Unid.)Mquina 3

(Min/Unid.)GANANCIA

Dlares/Unid.

11068$ 2

252015$ 3

40. las enfermeras de un hospital llegan cada 4 horas y trabajan en turnos de 8 horas continuas. La administracin ha decidido la idea de definir 6 cambios de turno al da para minimizar las distracciones y los problemas de comunicacin que ocurren en los cambios de turno.

El hospital ha realizado un anlisis del trabajo requerido durante cada uno de los seis periodos del da. Las caractersticas de cada periodo son las siguientes:

Horas del daPeriodoNumero Mnimo de enfermeras

2 a.m. - 6 a.m.125

6 a.m. - 10 a.m.260

10 a.m. - 2 p.m.350

2 p.m. - 6 p.m.435

6 p.m. - 10 p.m.555

10p.m. - 2 a.m.640

Las enfermeras que empiezan a trabajar en los periodos 2, 3 y 4 gana U$ 40 al da, y aquellas que comienzan en los periodos 1, 5 y 6 gana U$ 50 al da. Cuantas enfermeras deben empezar a trabajar en cada turno para minimizar los costos por salarios?41.- Un proyecto de asfaltado puede llevarse a cabo por dos grupos de una misma empresa: G1 y G2. Se trata de asfaltar tres zonas: A, B y C. En una semana, el grupo G1 es capaz de asfaltar 3 unidades de la zona A, 2 de la zona B y 2 de la zona C. El grupo G2 es capaz de asfaltar semanalmente 2 unidades de la zona A, 3 de la B y 2 de la C. El coste semanal se estima en 3 300 euros para G1 y en 3 500 euros para G2. Se necesita asfaltar mnimo de 6 unidades en la zona A, 12 en la zona B y 10 en la zona C.

Cuntas semanas deber trabajar cada grupo para finalizar el proyecto con el mnimo coste?

42.-. En una granja se da una dieta para engordar con un composicin mnima de 14 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado solo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo 1 con composicin de una unidad de A y cinco de B, y el tipo 2 ,con una composicin de cinco unidades de A y una de B .El precio del tipo 1 es de S/. 10 y el de tipo 2 es de S/. 30. Determinar mediante el mtodo grafico la mejor opcin de compra para cubrir las necesidades con un costo mnimo.43.-El grupo ANTAR, S.A. esta analizando la posibilidad de diversificar sus inversiones, hacia sectores diferentes de donde se encuentra operando actualmente. El presupuesto disponible para inversiones de esta naturaleza se fijado en $ 100, 000,000. Tomando en cuenta las reas de inversin actuales, el director de Finanzas ha recomendado que las nuevas inversiones sean en la industria petrolera, siderrgica y en CETES (certificados de la Tesorera). Especficamente, el director ha identificado siete oportunidades de inversin, as como las tasa de rendimiento esperado de las mismas. Dicha informacin se da a continuacin

Opciones de InversinTasa de rendimiento (%)

Petrleo y Derivados ,S.A.50

Industria Petrolera ,S.A75

Petrleos del Norte, S.A.40

Aceros Mondova ,S.A.70

Siderrgica nacional ,S.A.45

Hierros y Acero ,S.A.55

CETES60

El consejo de Administracin ha impuesto, por su parte, la siguiente estrategia de inversin:

a. No se debe destinar ms del 50 % del total de la inversin a una industria en particular

b. La inversin en CETES debe ser por lo menos el 25% del total invertido en siderrgica.

c. La inversin en Industria Petrolera S.A., la cual resulta ser la de mayor rendimiento aunque tambin la de ms alto riesgo, no puede exceder al 50 % del total a invertir en el sector petrolero.

d. El total a invertir en siderrgica debe ser por lo menos igual al invertido en petrleo44.- Para producir 2 toneladas de trigo se requiere hectrea, 8 bolsas de semillas de trigo por hectrea y 20 horas hombre. Para producir 3 toneladas de centeno se requiere hectrea ,6 bolsas de semillas de centeno por hectrea y 50 horas hombre. El precio del trigo y del centeno por tonelada asciende a S/. 300 y S/.250 soles respectivamente. El costo de la bolsa de semillas de trigo es de S/. 20 y de centeno S/. 30. El propietario dispone de 200 hectreas y de 2000 horas hombre, Asimismo cuenta de un contrato que le otorga la opcin de arrendar un campo colindante de 100 hectreas a razn de S/. 30 la hectrea utilizada. La ley laboral, por otra parte, le brinda el beneficio de contratar mano de obra adicional a un costo de S/5 la hora hombre, sin limitacin. Finalmente, las disposiciones gubernamentales obligan a que la superficie sembrada de centeno sea por lo menos igual al doble de la superficie de trigo. Formule y construya el problema de programacin lineal.

45.- La empresa Shogun S.A. esta fundamentalmente dedicada a la produccin de lentes para maquinas fotogrficas, luego de que intentase infructuosamente entrar en el mercado de las maquinas fotogrficas de alta sofisticacin tcnica.

Aprovechando la experiencia en el rubro, ha decidido especializarse en lentes de alta calidad que le permita estar entre los principales exportadores japoneses de lentes para maquinas del tipo rflex. En la actualidad, fabrica tres modelos distintos:

El modelo KIKU, zoom de 100-200 mm. Con f 5,6

El modelo OMI, zoom de 35 105 mm. Con f. 3,5

El modelo ANGIN, zoom de 100-300 mm. Con f. 5,6

En su produccin, la empresa utiliza dos tipos de insumos (A y B), de los cuales dispone de 4 000 y 6 000 unidades respectivamente. Los requerimientos unitarios de insumos son:

InsumoKIKUOMIANGIN

A235

B427

El tiempo destinado a producir cada unidad del modelo KIKU es el doble del destinado al modelo OMI, y el triple del dedicado al modelo ANGIN. Los operarios de la empresa pueden llegar a producir un equivalente a 1 500 lentes KIKU mensualmente.

El departamento de Marketing ha realizado algunas proyecciones de las ventas futuras, y ha indicado que la demanda mnima para los tres modelos es de 200,200 y 150 unidades mensuales, respectivamente.

Con los precios de cada modelo y sus costos unitarios que se indican en el cuadro, formular y construir un modelo de programacin lineal que optimice el resultado operacional de la empresa.

ModeloPrecio de venta ($)Costo Produccin ($)

KIKU12090

OMI10080

ANGIN13080

46.-Una empresa fabrica dos tipos de tarjetas graficas, de 16 Mb y 32 Mb de memoria respectivamente. Se utilizan dos maquinas que emplean 2 minutos en fabricar las de 16 Mb y 3 minutos en fabricar las de 32 Mb

Cada maquina puede funcionar como mximo 300 minutos diarios y tiene una capacidad mxima de fabricacin diaria de 125 unidades, entre las cuales no puede haber mas de 90 tarjetas de 16 Mb ni mas de 80 tarjetas de 32 Mb . Si el beneficio por tarjeta de 16 Mb es de 45 dlares y por tarjeta de 32 Mb es de 60 dlares, Determinar la mejor opcin de produccin.47.- Una compaa de transporte dispone de $ 400,000 para comprar un nuevo equipo y considera la adquisicin de 2 tipos de camiones. El camin tipo A puede transportar 10 toneladas y se espera que promedie 35 millas/hr. Su costo es de $ 8,000.El camin tipo B tiene capacidad de 20 toneladas y se espera que promedie 30 millas / hr su costo es de $ 13,000. El camin tipo A requiere de una tripulacin de un hombre y si opera en 3 turnos por da puede trabajar en promedio 18 hrs. Diarias. El camin tipo B requiere una tripulacin de dos (2) hombres cada uno y en 3 turnos por da puede trabajar un promedio de 18 horas diarias.La Ca. posee una tripulacin de 150 hombres y no tiene posibilidad de obtener ms. Las facilidades de mantenimiento restringen la flota a 30 camiones. Se desea saber cuantos camiones de cada tipo debe comprarse si la compaa desea maximizar su capacidad: Ton-millas/da.

Considerar la diversificacin de los tipos de camiones a tres introduciendo una modificacin al camin de tipo B al que llamaremos tipo C. La modificacin consiste en adaptarle una caseta para que duerma el chofer, lo que reduce su capacidad a 18 toneladas, eleva su costo a S/ 15,000 y amplia su capacidad de trabajo a 21 horas /da trabajando en 3 turnos. Las limitaciones de capital, mantenimiento y personal se mantienen invariantes.48.- Una escuela prepara una excursin para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 buses de 40 pasajeros y 10 buses de 50 pasajeros, pero solo dispone de 9 conductores. El alquiler de un bus grande cuesta 80 Euros y el de un bus pequeo 60 Euros. Determinar por el mtodo grfico la mejor opcin econmica de transporte para la excursin.49.-Las restricciones pesqueras de la CEE obligan a cierta empresa a pescar como mximo 2000 toneladas de merluza y 2000 toneladas de anchoas, adems el total de captura de las dos especies no puede pasar de 3000 toneladas. Si el beneficio de la merluza es de 10 Euros /Kg y el beneficio de las anchoas es de 15 Euros/ Kg. Determinar la mejor alternativa de pesca para obtener el mximo beneficio, aplicando el mtodo grfico.50.- Una empresa dispone de un milln de dlares para invertir. Con la siguiente informacin formule usted un modelo de Programacin Lineal que defina la mejor inversin para la empresa, teniendo en cuenta que al elegir un proyecto la empresa debe pagar el costo total del mismo.Proyecto12345

Costo (Miles $)500200195303350

Utilidad Miles ($)32512295111150

51.- El seor Martnez tiene un camin con capacidad interior de 20 m en el cual transporta mercanca para una empresa de la ciudad desde la planta de produccin hacia los puntos de distribucin. La mercanca est empacada en cajas de 3 tamaos diferentes. Cada caja tipo A mide 1 m y produce una ganancia de 1000 dlares, cada caja tipo B mide 1.2 m y produce una ganancia de 1120 dlares, y cada caja tipo C mide 0.8 m y produce una ganancia de 900 dlares. Formule usted el Problema de Programacin Lineal para optimizar las ganancias por viaje, si tiene que transportar como mnimo 8 cajas tipo A y 5 cajas tipo C en cada viaje.52.- Heladeras El Polo fabrica helados A y B, su capacidad le permite producir un mximo de 1000 kilos por da. La fabricacin de un kilo de A cuesta $1,8 y uno de B $1,5. Determinar la mejor alternativa de produccin diaria de helados A y B, sabiendo que la casa dispone de $ 2700/da; y que un kilo de A deja un beneficio igual al 90% del que deja un kilo de B. 53.- A una persona le tocan 10 millones de soles en una lotera y le aconsejan que las invierta en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen ms riesgo pero producen un beneficio del 10 %. Las de tipo B son ms seguras, pero producen slo el 7% anual. Despus de varias deliberaciones decide invertir como mximo 6 millones en la compra de acciones A y por lo menos, 2 millones en la compra de acciones B. Adems, decide que lo invertido en A sea por lo menos igual a lo invertido en B. Formular el Problema de Programacin Lineal.55.- Se ha contratado una consultora para dirigir entrevistas personales puerta a puerta para obtener la informacin de casas con y sin nios para un estudio de mercado. Adems, las entrevistas se realizaran maana y tarde para permitir incluir una variedad de actividades de trabajo de la casa. La empresa debe dirigir 1,000 entrevistas bajo las pautas siguientes:

1. Por lo menos se entrevistarn 400 casas con los nios.

2. Por lo menos 400 casas se entrevistarn sin nios.

3. El nmero total de entrevistas de la tarde ser por lo menos tan grande como el nmero total de entrevistas de la maana.

4. Por lo menos se dirigirn 40% de entrevistas para las casas con nios durante la tarde.

5. Por lo menos 60% de entrevistas para las casas sin nios durante la tarde.

Los costes de la entrevista son $20 durante nio-maana, $25 por nio-tarde, $18 durante ningn nio-maana, y $20 durante ningn nio-tarde. Formule el Problema de Programacin Lineal.

56.- Se va a mezclar mineral proveniente de 4 minas diferentes para fabricar bandas para un nuevo producto de la GMC. Los anlisis han demostrado que para producir una banda con las cualidades adecuadas de tensin y los requerimientos mnimos se debe contar con 3 elementos bsicos: A, B, C. En particular, cada tonelada de mineral debe contener, por lo menos, 5 libras de elemento bsico A, por lo menos 100 libras del elemento B y al menos 30 libras del elemento C. El mineral de cada una de las 4 minas contiene los 3 elementos bsicos, pero en distintas proporciones. La composicin en libras/tonelada, y los costos de extraccin de los minerales de cada mina son:(Formular el Problema de Programacin Lineal)

ELEMENTO

BSICOMINA

1234

A10382

B9015075175

C45252037

Costo de Extraccin ($/TM de Mineral)800400600500

57. El jefe de compras de una tienda de informtica desea adquirir las siguientes cantidades de componentes informticos:

Disco Duro

80 GBGrabadora

LGSamsung 17

SM710VMemoria

KingstonCmara

Logitech

10015060250200

En principio, estos componentes se pueden adquirir en tres almacenes de venta al por mayor, A1, A2 y A3. Sin embargo, estos almacenes estn sujetos a unas estrictas (y extraas) normas que les impide suministrar a un mismo cliente ms de 220, 180, y 300 componentes, respectivamente. El jefe de ventas ha estimado que los beneficios netos por unidad y almacn que puede conseguir son los expresados en la siguiente tabla:AlmacnDisco Duro

80 GBGrabadora

LG17 Samsung

SM710VMemoria

KingstonCmara

Logitech

A1-12-810

A271086-

A35-479

Los datos faltantes significan que el almacn correspondiente no suministra el respectivo componente.

Formular el modelo de programacin lineal que permita determinar el pedido ptimo, el beneficio que se obtendra y los componentes que no se podan adquirir por problemas de suministro.

58.- La oficina tcnica coordinadora de cultivos (OTCC), tiene a su cargo la administracin de 3 parcelas. El rendimiento agrcola de cada parcela est limitado tanto por la cantidad de tierra cultivable como por la cantidad de agua asignada para regado de la parcela por la comisin de aguas. Los datos proporcionados por este organismo son los siguientes:

PARCELATIERRA CULTIVABLE (Ha)ASIGNACIN DE AGUA (m3)

1400600

2600800

3300375

Las especies disponibles para el cultivo son la remolacha, trigo y maravilla, pero el Ministerio de Agricultura ha establecido un nmero mximo de hectreas que pueden dedicarse a cada uno de estos cultivos en las 3 parcelas en conjunto, como lo muestra la siguiente tabla:

ESPECIECONSUMODE AGUA(m3 /Ha)CUOTA MXIMA

(Ha)GANANCIA NETA

($/Ha)

Remolacha3600400

Trigo2500300

Maravilla1325100

Los dueos de las parcelas, en un acto de solidaridad social, han convenido que en cada parcela se sembrar la misma fraccin de su tierra cultivable. Sin embargo, puede cultivarse cualquier combinacin en cualquiera de las parcelas.

Formule usted el modelo de programacin lineal para maximizar las ganancias.

59.-En un almacn de frutas hay 800 kilogramos de naranjas, 800 kilogramos de manzanas y 500 kilogramos de pltanos. Para su venta se hacen dos lotes (A y B). El lote A contiene 1 kilogramo de naranjas, 2 kilogramos de manzanas y 1 kilogramo de pltanos y el lote B se compone de 2 kilogramos de naranjas, 1 kilogramo de manzanas y 1 kilogramo de pltanos. El beneficio que se obtiene con el lote A es de 120 pesetas y con el lote B de 140 pesetas. Resuelva usted el problema de Programacin Lineal por el mtodo grfico. 60.- Una fbrica de jeans produce varios modelos de pantalones:El modelo "basic" (B), que requiere 2 m2 de tela denim, 3 minutos hombre del taller de cortado y 6 minutos hombre del taller de cosido. El empaque se hace en un minuto y cada prenda esta lista para ser despachada previo desembolso de tres pesos por prenda en concepto de caja de embalaje y apliques varios en cada pantaln.

El modelo "basic plus" (BP) no es otra cosa que el modelo anterior al que se le agrega un bordado muy bonito cuya confeccin requiere de 1 minuto de la utilizacin del taller de bordado.

El modelo "basic plus ultra" (BPU) es igual al modelo basic plus pero esta confeccionado previo planchado de la tela, que requiere de un lapso de 2 minutos por prenda.

Los modelos B largo, BP largo y BPU largo son variantes de los modelos comunes descritos, pero requieren un 10% ms de cada uno y de todos los insumos por prenda. Existe, sin embargo, una limitacin debido a que no es posible producir ms de 30 de estas prendas en total, limitacin que no rige para las prendas comunes.

El costo de la tela por m2 es de $10. La capacidad mxima disponible mensual en horas hombre del taller de cortado 2000; del taller de cosido 800; del taller de bordado 250; del taller de empaque 70; y de planchado 100 horas efectivas mensuales.

SOLUCION DE UN PROGRAMA LINEAL

El objetivo de este capitulo es estudiar los mtodos de solucin de un programa lineal.

En el anlisis cuantitativo, una vez que se ha formulado y construido un modelo lineal para solucionar un problema existente, en un sistema cualquiera, es necesario resolverlo.Un programa lineal puede ser resuelto en forma grafica o en forma analtica. Mtodo Grfico.

El mtodo geomtrico o Grafico tiene la virtud de ser fcilmente comprensible y adems permite visualizar algunas propiedades de un programa lineal. Sin embargo desde el punto de vista practico, el mtodo grafico no es aplicable, por cuanto esta limitado a programas que tengan un mximo de tres variables, y por otro lado los problemas prcticos de PL, normalmente tienen decenas, centenas e incluso millares de variables lo cual implica la necesidad de usar mtodos analticos.La solucin de un modelo lineal muestra siempre un conjunto convexo delimitado por las restricciones del mismo y en el cual, si existe solucin posible, al menos uno de sus puntos extremos es la solucin ptima. Un punto extremo existe en la interseccin de, al menos, dos rectas.

El mtodo grfico se usa para resolver modelos lineales con dos variables y muestra el conjunto convexo que constituye la denominada regin solucin y el(los) punto(s) s extremo(s) que proporciona(n) la solucin del modelo.

El Mtodo Grfico permite conocer la base matemtica de la solucin de modelos lineales, los conjuntos convexos, y observar grficamente situaciones que se presentan en modelos de cualquier tamao. Esto ayuda a la comprensin de la Programacin Lineal.

El proceso para trabajar con el Mtodo Grficoa) Graficar las restricciones como igualdades y luego determinar el rea correspondiente a la desigualdad, sombreando el espacio correspondiente.

b) Determinar el rea comn a todas las restricciones.

c) Evaluar la Funcin Objetivo en cada punto extremo del espacio de soluciones posibles. El punto o los puntos extremos en el que se obtenga el mejor valor, determinarn la solucin del modelo.

Existe un pr