investigacion de matematica

7/25/2019 Investigacion de Matematica

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Defnicin

La programacin lineales el campo de la optimizacin matemticadedicado

a maximizar o minimizar (optimizar) una uncin lineal, denominada uncin

objetivo, de tal orma que las variables de dicha uncin estn sujetas a una

serie de restricciones expresadas mediante un sistema de inecuaciones

tambin lineales! Los mtodos ms recurridos para resolver problemas de

pro"ramacin lineal son al"oritmos de pivote, en particular los al"oritmos

simplex!

#etodolo"$a

EJEMPLO DE RESOLUCIN DE UN PROBLEMA DEPROGRAMACIN LINEAL

EL PROBLEMA

La fbrica de Hilados y Tejidos "SALAZAR" requiere fabricar dos tejidos de calidaddiferente T y T; se dispone de 5 ! de #ilo a$ % ! de #ilo b y &' ! de #ilo c( )araobtener un *etro de T diaria*ente se necesitan &+5 r de a$ &5 r de b y ,+ r de c; paraproducir un *etro de T por d-a se necesitan + r de a$ & r de b y +, r de c(

.l T se /ende a 01 el *etro y el T se /ende a 05 el *etro( Si se debe obtener el*2i*o beneficio$ 3cuntos *etros de T y T se deben fabricar4

El problema se recomienda leer en ms de una ocasin para facilitar el reconocimientode las variables, adems es muy recomendable la elaboracin de tablas o matrices quefaciliten una mayor comprensin del mismo.

PASO 1: "FORMULAR EL PROBLEMA"

Para realizar este paso partimos de la pregunta central del problema.

cuntos mt!os # $ #% s &n '(&!)c(!*

la for*ulaci6n es7
https://es.wikipedia.org/wiki/Optimizaci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_linealhttps://es.wikipedia.org/wiki/Inecuaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_de_pivotehttps://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_simplexhttps://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_simplexhttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_linealhttps://es.wikipedia.org/wiki/Inecuaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_de_pivotehttps://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_simplexhttps://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_simplexhttps://es.wikipedia.org/wiki/Optimizaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica


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89eter*inar la cantidad de *etros diarios de tejido tipo T y T a fabricar teniendo encuenta el 6pti*o beneficio respecto a la utilidad:(

PASO +: DE#ERMINAR LAS ,ARIABLES DE DECISINBasndonos en la formulacin del problema nuestras variables de decisin son:

T7 ? % Hilo 8b:

$,+T = $+,T >? &' Hilo 8c:

9e no neati/idad

T$T @?

PASO .: DE#ERMINAR LA FUNCIN OBJE#I,O

En este paso es de vital importancia establecer el contexto operativo del problema parade esta forma determinar si es de aximizacin o inimizacin. En este casoabordamos el contexto de beneficio por ende lo ideal es aximizar.

unci6n Bbjeti/o


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ZCA ? 1T = 5T

PASO /: RESOL,ER EL MODELO U#ILI0ANDO SOF#ARE O

M2#ODOS MANUALESA *enudo los proble*as de prora*aci6n lineal estn constituidos por innu*erables/ariables$ lo cual dificulta su resoluci6n *anual$ es por esto que se recurre a softDareespecialiEado$ co*o es el caso de FinGS$ TBRA$ Lino o para *odelos *enosco*plejos se #ace Itil la #erra*ienta Sol/er de .2cel(

.l anterior ejercicio fue resuelto *ediante Sol/er J .2cel$ y su resultado fue7

%plicacin de la investi"acin operativa

II. PROGRAMACION LINEAL

II31 IN#RODUCCION A LA PROGRAMACION LINEAL

13 IN#RODUCION
http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/programaci%C3%B3n-lineal-en-winqsb/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/programaci%C3%B3n-lineal-en-tora/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/programaci%C3%B3n-lineal-en-lingo/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/programaci%C3%B3n-lineal-en-lingo/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/programaci%C3%B3n-lineal-en-solver/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/programaci%C3%B3n-lineal-en-solver/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/programaci%C3%B3n-lineal-en-winqsb/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/programaci%C3%B3n-lineal-en-tora/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/programaci%C3%B3n-lineal-en-lingo/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/programaci%C3%B3n-lineal-en-solver/


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Laprora*aci6n LinealK)L es una tMcnica de *odelado *ate*tico$ diseNada paraopti*iEar el e*pleode recursos li*itados( La prora*aci6n lineal se aplica e2itosa*enteen el ejercito$ en la aricultura$ la industria$ los transportes$ la econo*-a$ los siste*as desalud$ en el ejercito e incluso en los siste*as conductuales y sociales(

La utilidadde esta tMcnica se incre*enta *ediante el uso y disponibilidad deprora*asdeco*putadoraalta*ente eficientes( 9e #ec#o la )L$ debido a su alto ni/el deeficienciaco*putacional$ es la base para el desarrollo de alorit*osde soluci6n de otros tipos K*sco*plejos de *odelos de OB$ incluyendo la prora*aci6n entera$ no lineal y estocstica(

+3 MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL

)ara for*ular un proble*a de prora*aci6n lineal se debe tener presente que la funci6nobjeti/o y todas las restricciones deben ser lineales y todas las /ariables deben sercontinuas Kpueden asu*ir /alores fraccionales(

+31 SOLUCIN GRAFICA DE PL:Los *odelos de )L que se resuel/en por el *Mtodoeo*Mtrico o rafico solo son apropiados para casos en que el nI*ero de /ariables son a lo*s dos(

EJEMPLO +3131: UN PROBLEMA DE MINIMI0ACION 4Cont!(t(c)5n P!son(67:.l departa*ento de controlde calidadde la e*presaPerconsa S(A que fabricaautopartes$ desea contratar personal tanto senior co*o junior$ para las inspecciones de susproductos(

.l personal senior recibe por su jornada de '#rs($ 0&''y realiEa su labor a una tasapro*edio de % inspecciones por #ora$ con un rendi*iento del QQ(en ca*bioel personaljunior$ recibe 0&5 por su jornada$ realiEando +5 inspecciones por #ora$ con un rendi*ientodel Q5(

La de*andadiaria de inspecciones es de & unidades y el personal senior a contratar$ nodebe ser *ayor que el personal jInior(

Si las ensa*bladoras aplican una *ulta de 05 por cada unidad defectuosa$ 3cunto depersonal senior y jInior$ se debe contratar4

SOLUCION:

La for*ulaci6n del *odelo al proble*a de *ini*iEaci6n seria7

Sea i7 u*ero de personal a contratar Ki ? senior$ j ? junior o
http://www.monografias.com/trabajos6/proli/proli.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos36/teoria-empleo/teoria-empleo.shtmlhttp://www.monografias.com/Agricultura_y_Ganaderia/index.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos16/industria-ingenieria/industria-ingenieria.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos54/resumen-economia/resumen-economia.shtmlhttp://www.monografias.com/Salud/index.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos4/costo/costo.shtmlhttp://www.monografias.com/Computacion/Programacion/http://www.monografias.com/trabajos15/computadoras/computadoras.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/veref/veref.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/veref/veref.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/veref/veref.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/algoritmos/algoritmos.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/control/control.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/conge/conge.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/empre/empre.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos2/mercambiario/mercambiario.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/ofertaydemanda/ofertaydemanda.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos6/proli/proli.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos36/teoria-empleo/teoria-empleo.shtmlhttp://www.monografias.com/Agricultura_y_Ganaderia/index.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos16/industria-ingenieria/industria-ingenieria.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos54/resumen-economia/resumen-economia.shtmlhttp://www.monografias.com/Salud/index.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos4/costo/costo.shtmlhttp://www.monografias.com/Computacion/Programacion/http://www.monografias.com/trabajos15/computadoras/computadoras.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/veref/veref.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/algoritmos/algoritmos.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/control/control.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/conge/conge.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/empre/empre.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos2/mercambiario/mercambiario.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/ofertaydemanda/ofertaydemanda.shtml


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i ?&$+

La funci6n objeti/o consistir-a en *ini*iEar los costos de salarioy los de castio porunidad defectuosa

Z ? Salario = Culta

Salario ? &&'2&= &52+

Culta ? K%U'U(&&= +5U'U(5+U5

Lueo la funci6n objeti/o es7

MinZ = 200X1+ 200X2 y sujeta a las restricciones:

%K' &=+5K' +@?& K9e*anda diaria

&>? + KRelaci6n personal

inal*ente el *odelo se reduce a7

M)n0 8 +991 ; +99+

S3A3: + ?89 4+7

1@ + =89

Prfica*ente y despuMs de #aber utiliEado el a*iable softDareTBRA el proble*aquedar-a as-7
http://www.monografias.com/trabajos11/salartp/salartp.shtmlhttp://www.monografias.com/Computacion/Software/http://www.monografias.com/Computacion/Software/http://www.monografias.com/trabajos11/salartp/salartp.shtmlhttp://www.monografias.com/Computacion/Software/


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F)3+31: So6uc)5n !(')c( 4ot)m(7 (6 !o&6m( cont!(t(c)5n !son(6

.ste *odelo pudo #aberse resuelto fcil*ente raficando en las coordenadas & y + y#allando el punto de intersecci6n co*In a a*bas rectas( Se puede /er que la intersecci6nde recta de la funci6n objeti/o con las rectas & y + lo #ace dentro de la rei6n factible y ensu punto *-ni*o Kpunto opti*o$ despuMs de #aber resuelto alebraica*ente por siste*asdeecuacionessi*ultaneas las restricciones & y + tene*os final*ente el punto opti*o*-ni*o para el proble*a7

&?%(1

+?%(1

ZU?&151(55

9e los resultados puede /erse que tene*os /alores fraccionarios para un proble*a decontrataci6n de personal lo cual es inapropiado dado que se trata del recurso #u*ano$ sine*baro solo se #a resuelto para efecto de*ostrati/o rafico Kade*s no ol/ide*os que en
http://www.monografias.com/trabajos13/sumato/sumato.shtml#SOLUCIONhttp://www.monografias.com/trabajos13/sumato/sumato.shtml#SOLUCIONhttp://www.monografias.com/trabajos13/sumato/sumato.shtml#SOLUCION


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)L las /ariables son continuas$ ya que la prora*aci6n lineal entera se encara de darleuna soluci6n Bpti*a a este proble*a(

EJEMPLO +313+: UN PROBLEMA DE MAIMI0ACION3Va/ier


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F)3+3+: So6uc)5n !(')c( 4ot)m(7 (6 !o&6m( J()! Cut)

.l *odelo anterior se resuel/e rfica*ente aplicando Tora$ ta*biMn pudo #aberse resueltofcil*ente raficando en las coordenadas & y + y #allando el punto de intersecci6nco*In a la recta K& con el eje &$ la recta de la funci6n objeti/o alcanEa su ni/el *2i*oKpunto opti*o en la rei6n factible para &?&' y +?$ esto alebraica*ente es despuMsde #aber resuelto la restriccion& Kecuacion& y #aciendo 2+? en la *is*a ecuaci6n

Kn6tese que la restricci6n + es redundante( inal*ente el punto 6pti*o *-ni*o para elproble*a es de7

&?&'

+?

ZU? SX(,+


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.ste resultado nos dice que Va/ier


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decisi6n y el /alor opti*o de la funci6n Bbjeti/o y K+ Anlisisde sensibilidad KSensiti/ityanlisis referente a #acer ca*bios en el lado derec#oKri#tJand sides y en los coeficientesde la funci6n objeti/o

EJEMPLO +3+3+:La fiura +(1 presenta la soluci6n de LO9B para el proble*a de Va/ier


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RS INCREASE DECREASE

+ -


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& =% @? K&= += %X+ )eso co*binado d e l os ta*aNos & y %

&= + >?&( )eso co*binado de & y +

&@?(&K&= += %


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F)3+3/: So6uc)5n 5t)m( us(no #ORA

9el resultado del sotDare Tora se puede /er que la soluci6n opti*a es 7

&U ? (+

+U ? &(

%U ? ('

ZU? (&&

EJEMPLO +3-3+:Al *eEclar diferentes #idrocarburosse obtiene asolina de diferentesrados( .n este eje*plo se supone que una refiner-a dispone s6lo de dos tipos de asolinacuyas caracter-sticas se presentan en la siuiente tabla7
http://www.monografias.com/trabajos10/petro/petro.shtml#hidrohttp://www.monografias.com/trabajos10/petro/petro.shtml#hidrohttp://www.monografias.com/trabajos10/petro/petro.shtml#hidro


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CeEclasdisponibles

Bctanaje )resi6n de /apor


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La /enta correspondiente a asolina para a/iaci6n es 15(&UK2& = 2+ y la /entacorrespondiente a asolina para auto*6/il es %+(1K2% = 21 entonces la funci6n objeti/oes7

Ca2i*iEar7

Z ? 15(&2& = 15(&2+ = %+(12% = %+(121

.2isten /arias restricciones7

Dm(n( (so6)n( (!( ()(c)5n:

& = 2+ 4 +$

C(nt)( )son)&6 o! t)o (so6)n(:

& = 2% 4 %$

+ = 21 4 ,$

Rst!)cc)5n oct(n(:

A/iaci6n7 K&12& = Q12+XK2& = 2+ 4 &+ 4 +2& J '2+ 4

Auto*6/il7 K&12% = Q121XK2% = 21 4 Q 4 '2% J +21 4

Rst!)cc)5n !s)5n (o!:

A)(c)5n:K52& = Q2+XK2& = 2+ 4 4 J2& = %2+ 4

Autom5)6:K52% = Q21XK2% = 21 4 ' 4 J%2% = 21 4

No n(t))(:

&$ 2+$ 2%$ 21 4

.n Resu*en el *odelo se presenta de la siuiente *anera7

Ca2Z ? 15(&2& = 15(&2+ = %+(12% = %+(121

& = 2+ 4 +$ 9e*anda de asolina para a/iaci6n7

& = 2% 4 %$


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+ = 21 4 ,$


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F)3+3


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Tabla Si*ple2 en for*a *atricial

.2prese*os el prora*a lineal en for*a *atricial7

Ca2 E ? C

Sujeto a7 4AI7 8 &

=8 9

Subdi/ida*os el /ector en Iy II@entonces el proble*a estndar se puede escribir dela siuiente *anera7 KO

& J


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E ? & CBB>1 ? CBB>1&

9 B>1 & B>1&

)or lo tanto$ aplicando este resultado$ pre*ultiplicando a KO se obtiene

& CBB>1 & J1 9 A I I 8 B>1&

II

.sta ecuaci6n *atricial se resuel/e *ediante la iteraci6n simplex generalKOO7

sica I II Soluci6n

E CBB>1AJCI CBB>1JCII CBB>1&

B>1A B>1 B>1&

.sta tabla *uestra los detalles del clculo del *Mtodo si*ple2$ es decir$ si se conoce Bsepuede encontrar en cada paso B>1@por lo tanto By E3

)or eje*plo considere*os el *Mtodo si*ple2 con /ariables de #olura$ en este caso$ CII? la soluci6n bsica inicial se identifica co*o7

B? II$ CB? CII? 9$ B? I@ B>1? I

Sustituyendo en KOO se obtiene el *Mtodo simplex general con variables de !olgura "###7

sica I II Soluci6n

E JCI

A I &


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Si utiliEa*os si*ple2 con /ariables artificiales K/ariables utiliEadas co*o /ariables de#olura para las restricciones que no cu*plen la for*a estndar( .n este caso 1? I

Sustituyendo en KOO se obtiene el *Mtodo simplex general con variables artificiales y de!olgura "#$7

sica I II Soluci6n

E CIIAJCI 9 CII&

II A I &

EJEMPLO -31:

Ca2 E ? %2& = &2+

Sujeto a7

& = 12+ >? '

& = +2+ >? 1

&$ 2+ @?

or*a t-pica7

Z J%2& J &2+ ?

& = 12+ = #& ? '

& = +2+ = #+ ? 1

&$ 2+$ #&$ #+ @?

2& 2+ #& #+ Soluci6n

Z J% J&


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#& & 1 & ' 'X1?+

#+ & + & 1 1X+?+

)or inspecci6n entra 2+ y puede salir tanto #& co*o #+$ escoja*os arbitrariamente#& yca*bie*os 2+ por #&(

)ri*era iteraci6n7

2& 2+ #& #+ Soluci6n

Z J&X+ 5X+ +

2+ &X1 & &X1 +

#+ &X+ J&X+ &

La soluci6n bsica despuMs de la pri*era iteraci6n es

& ? $ 2+ ? +$ #& ? $ #+ ?

Al ser #+$ /ariable bsica$ #+ ? $ se dice que es solucin degenerada$ es posibleque el *Mtodo itere sin llear a la soluci6n opti*a(

Seunda iteraci6n7

9e la tabla anterior$ entra 2& y sale #+7

2& 2+ #& #+ Soluci6n

Z + & +

2+ & &X+ J&X+ +


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& & J& +

Leer ms& http&''!mono"rafas!com'trabajos*'investi"acion+operaciones+

a+modelos++aplicaciones+pro"ramacion+lineal'investi"acion+operaciones+a+

modelos++aplicaciones+pro"ramacion+lineal!shtml-ixzz.uz/s"01

EJEMPLO -3+:

Ca2 Z ? %2& = 52+

Sujeto a7

& J+2+ >? 5

+2& >? &+

&$ 2+ @?

or*a t-pica7

Z J%2& J 52+ ?

& J+2+ = 2% ? 5

+2& = 21 ? &+

&$ 2+$ 2%$ 21 @?

%$ 21 /ariablesde #olura(

2& 2+ 2% 21 Soluci6n

Z J% J5

% & J+ & 5
http://www.monografias.com/trabajos96/investigacion-operaciones-a-modelos-y-aplicaciones-programacion-lineal/investigacion-operaciones-a-modelos-y-aplicaciones-programacion-lineal.shtml#ixzz3uzGsygNVhttp://www.monografias.com/trabajos96/investigacion-operaciones-a-modelos-y-aplicaciones-programacion-lineal/investigacion-operaciones-a-modelos-y-aplicaciones-programacion-lineal.shtml#ixzz3uzGsygNVhttp://www.monografias.com/trabajos96/investigacion-operaciones-a-modelos-y-aplicaciones-programacion-lineal/investigacion-operaciones-a-modelos-y-aplicaciones-programacion-lineal.shtml#ixzz3uzGsygNVhttp://www.monografias.com/trabajos12/guiainf/guiainf.shtml#HIPOTEShttp://www.monografias.com/trabajos96/investigacion-operaciones-a-modelos-y-aplicaciones-programacion-lineal/investigacion-operaciones-a-modelos-y-aplicaciones-programacion-lineal.shtml#ixzz3uzGsygNVhttp://www.monografias.com/trabajos96/investigacion-operaciones-a-modelos-y-aplicaciones-programacion-lineal/investigacion-operaciones-a-modelos-y-aplicaciones-programacion-lineal.shtml#ixzz3uzGsygNVhttp://www.monografias.com/trabajos96/investigacion-operaciones-a-modelos-y-aplicaciones-programacion-lineal/investigacion-operaciones-a-modelos-y-aplicaciones-programacion-lineal.shtml#ixzz3uzGsygNVhttp://www.monografias.com/trabajos12/guiainf/guiainf.shtml#HIPOTES


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1 + & &+

+ es /ariable entrante$ no #ay ninuna /ariable bsica saliente$ ya que los ele*entos de lacolu*na pi/ote son neati/os o ( .n este caso se puede obser/ar que el /alor6pti*o dezes ili*itado$ las restricciones en este caso no pre/ienen un au*ento ili*itado de lafunci6nobjeti/o(

.n este caso el proble*a de opti*iEaci6n se encuentra *al for*ulado(

EJEMPLO -3-: M6t)6s so6uc)ons5t)m(s

Ca2 E ? +2& = 12+

Sujeto a7

2& = +2+ >? &+

+2& = +2+ >? &+

2&$ 2+ @?

or*a t-pica7

Z J +2& J 12+ ?

& = +2+ = 2% ? &+

+2& = 2+ = 21 ? &+

)ri*era iteraci6n7

2& 2+ 2% 21 Soluci6n
http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos16/objetivos-educacion/objetivos-educacion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/soluciones/soluciones.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos16/objetivos-educacion/objetivos-educacion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/soluciones/soluciones.shtml


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Z J+ J1

% & + & &+

1 + & & &+

ariable no bsica entrante 2+

Seunda iteraci6n7

2& 2+ 2% 21 Soluci6n

Z + +1

+ &X+ & &X+

1 %X+ J&X+ &

9espuMs de la seunda iteraci6n queda la /ariable no bsica 2& con coeficiente $ pode*os

#acer una iteraci6n e2tra7

2& 2+ 2% 21 Soluci6n

Z + +1


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+ & +X% J&X% 1

& & J&X% +X% 1

Sie*pre que un proble*a tiene *s de una soluci6n 6pti*a$ al *enos una de las /ariablesno bsicas tiene un coeficiente iual a en la ecuaci6n de la funci6n objeti/o(

EJEMPLO -3.:

Ca2 +2& = %2+

Sujeto a7

& = +2+ = 2% ? 1

& = 2+ ? %

&$ 2+$ 2% @?(

2& 2+ 2% 21 Soluci6n

Z J+ J%

% & + & J&X% 1

4 & & +X% %

o #ay /ariables de #olura para usarla co*o /ariable bsica inicial en la ecuaci6n K+ porlo que la restricci6n se reescribe de la siuiente for*a7


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& = 2+ = 21 ? %

donde 21 es /ariable artificial$ co*o 21 no se #ace necesaria*ente sobre el plano K+$

debe*os penaliEar este /alor en la funci6n objeti/o de *anera que 21 se reduEca a alopti*iEar( )ara esto se pone un coeficiente JC rande$ en la funci6n objeti/o KJC al*a2i*iEar$ =C al *ini*iEar con C @ (

Al *odificar la funci6n objeti/o queda as-7

Z ? +2& = %2+ J C21

2& 2+ 2% 21 Soluci6n

Z JCJ+ JCJ% J%C

% & + & 1

1 & & & %

)ri*era iteraci6n7

2& 2+ 2% 21 Soluci6n

Z KJCJ&X+ KC=%X+ JC=

+ &X+ & &X+ +

1 &X+ J&X+ & &


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Seunda iteraci6n7

2& 2+ 2% 21 Soluci6n

Z & C=& ,

+ & & J& &

& & J& + +

Soluci6n opti*a7

2& ? +$ 2+ ? &$z? ,

)ara seleccionar la /ariable que entra en la tabla inicial to*a*os el coeficiente *sneati/o entre JMJ+ y JMJ%$ siendo Mste Ilti*o( Sin e*baro si #ubiMra*osutiliEado un nI*ero *uy rande paraMen una co*putadora$ estos coeficientes se#abr-an considerado co*o iuales( )ara esto se utiliEa el m%todo simplex de dosfases.

III31 ELME#ODO SIMPLEDE DOS FASES

Wna des/entaja de la tMcnica C es el posible error de clculoque puede resultar al asinarseun /alor *uy rande a la constante C( Aqu- se utiliEan las /ariables artificiales$ pero el usode la constante C se eli*ina resol/iendo el proble*a en dos etapas7

FASE I7 Arear /ariables artificiales para aseurar una soluci6n inicial( or*ar una nue/afunci6n objeti/o para *ini*iEar la su*a de las /ariables artificiales sujeta a las

restricciones del proble*a oriinal con las /ariables artificiales$ si el *-ni*o es Ktodas las/ariables artificiales son $ el proble*a oriinal tiene soluciones factibles$ entonces seuircon la F(s II$ si no detenerse(

FASE II7 WtiliEar la soluci6n bsica 6pti*a de la AS. O co*o soluci6n inicial para elproble*a oriinal
http://www.monografias.com/trabajos15/computadoras/computadoras.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/icerodos/icerodos.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/icerodos/icerodos.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/caes/caes.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/computadoras/computadoras.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/icerodos/icerodos.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/caes/caes.shtml


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EJEMPLO -3131: Un !o&6m( n(6)K(c)5n n os '(ss:

Cin E ? 12& = 2+

Sujeto a7

%2& = 2+ ? %

12& = %2+ @?

2& = +2+ >? 1

2&$ 2+ @?

or*a estndar con /ariables artificiales7

Cin E ? 12& = 2+ = CR& = CR+Sujeto a7

%2& = 2+ = R& ? %

12& = %2+ J 2% =R+ ?

2& = +2+ = 21 ? 1

2&$ 2+$ 2%$ R&$ R+$ 21 @?

FASE I:

Cin r = R1 + R2

Sujeto a7

%2& = 2+ = R& ? %

12& = %2+ J 2% =R+ ?

2& = +2+ = 21 ? 12&$ 2+$ 2%$ R&$ R+$ 21 @?


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R ? R& = R+ ? K% J %2& J 2+ = K J 12& J %2+ = 2% ? J,2& J 12+ = 2% = Q

Tabla inicial7

2& 2+ 2% R1 R2 21 Soluci6n

r , 1 J& Q

R1 % & & %

R2 1 % J& &

21 & + & 1

La tabla opti*a se obtiene en dos iteraciones7

2& 2+ 2% R1 R2 21 Soluci6n

r J& J&

2& & &X5 %X5 J&X5 %X5

2+ & J%X5 J1X5 %X5 X5

21 & & J& & &


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31/60

.l desarrollode laprora*aci6n linealse #a /isto reforEado por el descubri*iento de quetodo proble*a deprora*aci6nlineal tiene asociado otro proble*a lla*ado dual(

.l proble*a oriinal se lla*aprimal,a*bosproble*asestn relacionados de tal *aneraque la el /alor de la funci6n objeti/o en el opti*o es iual para a*bos proble*as$ y la

soluci6n de uno conduce auto*tica*ente a la del otro(Las relaciones entre a*bos proble*as facilitan el anlisis de sensibilidadde un proble*a(

.l duales un proble*a de prora*aci6n lineal se obtiene *ate*tica*ente de unproble*aprimal.

La for*a del proble*a duales Inica y se define en base a la for*a estndar eneral delproble*aprimal7

Bpti*iEar KCa2 o Cinz? Sj =1..ncj2j

Sujeto a Sj =1..naij2j ? bi

2j @? con i ? &((*$ j ? &((n

donde las n /ariables 2j incluyen los e2cesos y las #oluras(

.l proble*a dualse construye si*Mtrica*ente delprimalde acuerdo a las siuientes relas(

)ara cada restricci6nprimalKmrestricciones e2iste una /ariable dualyiKm/ariables$ la funci6n objeti/o se construye con los /aloreslibres bico*o

coeficientes de las /ariablesyi.

)ara cada /ariableprimalxjKn/ariables e2iste una restricci6n dualKnrestricciones$ la restricci6n se construye con los mcoeficientes de las restriccionespri*ales de esa /ariable( Los /aloreslibres son los ncoeficientes cj.

Si la opti*iEaci6nprimales una Ca2i*iEaci6n$ el proble*a duales unaCini*iEaci6n y las restricciones son @?( Ky a la in/ersa Cini*iEaci6n pri*al$Ca2i*iEaci6n dual$ restricciones > (

Si considera*os los e2cesos y #oluras las /ariables duales Kyino tienen

restricciones de sino$ en caso contrario en a*bos proble*as se considera /ariables@( )or lo que las /ariables duales correspondientes a restricciones del tipo ? debenser sin restricciones de sino$ rec-proca*ente cuando una /ariable en el pri*al notiene restricci6n de sino$ la restricci6n correspondiente en el dual debe ser del tipo?(
http://www.monografias.com/trabajos12/desorgan/desorgan.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos6/proli/proli.shtmlhttp://www.monografias.com/Computacion/Programacion/http://www.monografias.com/trabajos15/calidad-serv/calidad-serv.shtml#PLANThttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos12/desorgan/desorgan.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos6/proli/proli.shtmlhttp://www.monografias.com/Computacion/Programacion/http://www.monografias.com/trabajos15/calidad-serv/calidad-serv.shtml#PLANThttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml


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EJEMPLO -3+31:

Ca2 E ? %2& = 52+

Sujeto a7

2& = &2+ > '

+2& = %2+ > 15

12& J +2+ > +5

%2+ >

2&$ 2+ @

Aplicando las relas 7

)ara cada restricci6nprimalK4restricciones e2iste una /ariable dualyiK4/ariables y& y+ y% y1$ la funci6n objeti/o se construye con los /alores libres biK'$15$+5$ co*o coeficientes de las /ariablesyi(

)ara cada /ariableprimalxjK2/ariables sin considerar las /ariables de #olurae2iste una restricci6n dualK2restricciones$ la restricci6n se construye con los 4coeficientes de las restricciones pri*ales de esa /ariable( Los /alores libres son los

2coeficientes cj K%$ 5(

la opti*iEaci6nprimales una Ca2i*iEaci6n$ el proble*a duales unaCini*iEaci6n y las restricciones son @ (

o #e*os considerado las /ariables de e2cesos ni #oluras las /ariables duales porlo que en a*bos proble*as se considera /ariables [ $ no e2isten restricciones de ?(

)roble*a dual7

&( Cin ? 'y& = 15y+ = +5y% = y1

Sujeto a7

& = +y+ = 1y% @ %

&y& = %y+ J +y% = %y1 @ 5


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y&$ y+$ y%$ y1 @

+( Ca2 Z ? %2& = ,2+

Sujeto a7

+2& = 52+ ? &5

2& = '2+ > %

2&$ 2+ @

)ara cada restricci6nprimalK2restricciones e2iste una /ariable dualyiK2/ariables y& y+$ la funci6n objeti/o se construye con los /alores libres biK&5$ %co*o coeficientes de las /ariablesyi(

)ara cada /ariableprimalxjK2/ariables sin considerar las /ariables de #olurae2iste una restricci6n dualK2restricciones$ la restricci6n se construye con los 2coeficientes de las restricciones pri*ales de esa /ariable( Los /alores libres son los2coeficientes cj K%$ ,(

Aplicando las relas y la nota7

Not(7 )ara la seunda restriccion no #e*os considerado las /ariables de e2cesos ni#oluras las /ariables duales por lo que en el dual y+ [ $ la pri*era restricci6n es deiualdadpor lo que la pri*era /ariable no tiene restricci6n de sino(

)roble*a dual7

Cin ? &5y& = %y+

Sujeto a7

+y& = y+ [ %

5y& = 'y+ [ ,

y& sin restricci6n de sino Kirrestricta

y+ [ (

III3- ANALISIS DE SENSIBILIDAD

Wna /eE obtenida la soluci6n de un proble*a de prora*aci6n lineal$ es deseablein/estiar c6*o ca*bia la soluci6n del proble*a al ca*biar los par*etros del *odelo(
http://www.monografias.com/trabajos/discriminacion/discriminacion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/adolmodin/adolmodin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/adolmodin/adolmodin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/discriminacion/discriminacion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/adolmodin/adolmodin.shtml


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)or eje*plo si una restricci6n de un proble*a es 12& = 2+ > ' donde ' representa lacantidad de recurso disponible( .s natural preuntarse 3 que pasa con la solucin delproblemasi la cantidad de recurso Kpor eje*plo Horas dis*inuye a 4( Btras /ecespode*os preuntarnos que pasa si cambiamos algunos coeficientesde la funci6nobjeti/o4 B bien si area*os una restricci6n o una /ariable( .l estudio de la /ariaci6n de

un proble*a de prora*aci6n lineal debido a ca*bios de los par*etros del *is*o$ sella*a anlisis de sensibilidad(

Wna for*a de responder estas preuntas ser-a resol/er cada /eE un nue/o proble*a( Sine*baro esto es co*putacional*ente ineficiente(

)ara esto es preferible #acer uso de las propiedades del *Mtodo Si*ple2y de los proble*aspri*al y dual(

Recorde*os que una /eE que en un proble*a lineal se conoce $


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2& 2+ 2% 21 25 2 Soluci6n

E &X% 1X% &+ +X%

2+ & +X% J&X% & &X%

2& & J&X% +X% % &X%

25 J& & & %

2 J+X% &X% & +X%

Supona*os que ca*bia*os la funci6n objeti/o de E ? %2& = +2+ por E ? 52& = 12+$ dadoel 6pti*o

? K2+$ 2&$ 25$ 2


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J+X% &X% &

Los nue/os coeficientes de la funci6n objeti/o son

KAO J < que no es otra cosa que la diferencia entre a*bos lados de las restriccionesduales(

#$. &'E(& 'E )*+-P&*)E

.2isten dos aplicaciones i*portantes de la prora*aci6n lineal que son el modelo de

transportesy el de asignacin de recursos( AIn cuando la soluci6n de estos *odelospuede obtenerse aplicando el *Mtodosi*ple2$ se estudian alorit*osespeciales para lasoluci6n de estos proble*as(

9ebido a su estructuraespecial$ #ace posible #ace posible*Mtodosde soluci6n *seficientes en tMr*inos del clculo(

EJEMPLO .31:

Supona que una co*paN-a tiene mplantasdeproducci6n4i7@de capacidad ai4i /...m7ynal*acenesde distribuci6n407@con de*anda b0 "0 /...n73.l costode transporteentre la

planta i y el al*acMnes conocido co*o ci03

.l proble*a es deter*inar la cantidad Kxi0 que debe su*inistrar la planta ial al*acMn0@detal *anera que el costo de transporte total sea *-ni*o( Las consideraciones de costos deproducci6nein/entariose pueden incorporar al *odelo bsico(

.l *odelo t-pico tiene cuatro co*ponentes7

Wn conjunto de * fuentes

Wn conjunto de n destinos


37/60

.l *odelo eneral que representa el *odelo de transporte es7

Cin E ? S iS j cijxij

Sujeto a7

Sj xij? aiKuentes i = 1..m

S i xij? bjK!estinos j = 1..n

xij@?

I,31 MODELOS BALANCEADOS H NO BALANCEADOS

I,31 MODELOS BALANCEADOS H NO BALANCEADOS:

Wn *odelo de transporte se lla*a balanceado cuando7

S i ai? Sj b

.sto sinifica que la su*a de los su*inistros de todas las plantas debe ser iual a la su*ade las de*andas de todos los al*acenes(Sin e*baro en proble*as de la /ida real$ estaiualdad rara /eE se satisface(


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Lo que se #ace entonces es balancear el proble*a(

Si los requeri*ientos e2ceden a los su*inistros$ se area una planta ficticia$ quesu*inistrar la diferencia(

.l costo de transporte desde la planta ficticia #acia cualquier al*acMn es cero(Rec-proca*ente$ si los su*inistros e2ceden a los requeri*ientos$ se area un al*acMnficticio que absorber el e2ceso(.l costo unitario de transporte desde las plantas al al*acMnficticio es cero(

Em6o .3131


39/60

2+& = 2++ ? &5

2%& = 2%+ ? &+

2&& = 2+& = 2%& ? +%

2&+ = 2++ = 2%+ ? &1

2ij @? para toda i$ j(

Wn *Mtodo *s resu*ido para representar el *odelo de transporte consiste en utiliEar losque se lla*a tabla !e trans"orte$ esta es una *atriEdonde las filas representan las fuentes ylas colu*nas el destino( .n cada celda se especifica la cantidadxijy el costo cij(7

uenteXdestino & + Bferta

& 2&& ' 2&+ +&5 &

+ 2+& & 2++ &' &5

% 2%& &+ 2%+ ' &+

9e*anda +% &1 %,

.l *Mtodo de transporte es un proble*a clsico dentro de la prora*aci6n *ate*tica; seanaliEa la *anera de obtener el costo *-ni*o de transportar una serie deproductosdesde nfabricas$ #asta * al*acenes; cada en/-o tiene un costo particular que estar en funci6n de ladistancia$ el tipo de carretera$ la cantidad y otras /ariables(


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C((c)( P!oucc)5n 4ut7

abrica & abrica + abrica %

+5 +5 &

Dm(n( 6os A6m(cns 4ut7

Al*acMn & Al*acMn + Al*acMn % Al*acMn 1

+ &5 + 5

Costo #!(nso!t s 6( F(&!)c( ) (6 (6m(cn

0Xunid Al*acMn & Al*acMn + Al*acMn %Al*acMn

1

abrica & + + 1

abrica + 5 Q ' %

abrica % 1 % +


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A#ora la preunta es cunto se debe en/iar desde cada fbrica a cada al*acMn con el fin deobtener el *-ni*o costo(

Cin Z ? +&& = +&+ =&% =1&1 =5+& =Q++ ='+% =%+1 =%&=1%+ = %%%=++1 Sujeto a7 &( Satisfacer la de*anda de los al*acenes7 &&=+&=%& @?

+ &+=++=%+ @? &5 &%=+%=%% @? + &1=+1=%1 @? 5 +( osobrepasar la capacidad disponible de las fabricas &&=&+=&%=&1 >? +5+&=++=+%=+1 >? +5 %&=%+=%%=%1 >? & %( )or supuesto la condici6n deno neati/idad y todas las /ariables enteras(

ueno$ aqu- la for*ulaci6n es un poco diferente a co*o lo #ici*os en los dos eje*plosanteriores( La idea aqu- es la de tener dos *atricesy dos/ectores; una *atriE secorresponder con las /ariables de decisi6n$ y la otra *atriE con los costos( La pri*era ladeja*os si*ple*ente seNalada$ con alIn for*ato para distinuirla$ y la otra la diita*os(La celda objeti/o ser la su*a del producto de cada una de las posiciones de cada *atriEcon su correspondiente en la otra; esto lo pode*os #acer rpida*ente con la funci6n

"su*aproducto" del.2cel( Las restricciones estarn en las colu*nas de "


42/60

Las /ariables de decisi6n deben ser enteras( Lueo de introducir los datos en Mste cuadro dediloo y de #acer clicY en resol/er$ se #allar la siuiente soluci6n7

$. E( P*&B(E+ 'E (+ +-#1+2#3

.l )roble*a de la Asinaci6n es un proble*a clsico de la On/estiaci6n de Bperacionesyes un caso particular del )roble*a del Transporte(

.ste proble*a se trata de asinar una serie deRecursosa una serie de tareas( Tiene unali*itante y es que a cada tarea se le puede asinar s6lo un recurso$ pueden sobrar recursos o

podr-an sobrar tareas pero no se le puede asinar dos recursos a una *is*a tarea$ o tres(((por eje*plo si se tienen tres operarios con diferentes tie*pos de operaci6n en cuatro*quinasel *odelo nos dir-a co*o asinar los tres operarios a tres *quinas Knos sobrar-auna de *anera que se *ini*ice el tie*pototal$ pero no nos dir-a co*o asinar dosoperarios a dos *quinas y el otro operario a las otras dos *quinas

.je*plos de Asinaciones7 Bperarios a Tareas$ Cquinas a Bperarios$ adadores a

.stilos$etc(
http://www.monografias.com/trabajos6/diop/diop.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos6/diop/diop.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos4/refrec/refrec.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos4/refrec/refrec.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos6/auti/auti.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos901/evolucion-historica-concepciones-tiempo/evolucion-historica-concepciones-tiempo.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos6/diop/diop.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos4/refrec/refrec.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos6/auti/auti.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos901/evolucion-historica-concepciones-tiempo/evolucion-historica-concepciones-tiempo.shtml


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.l )roble*a de la Asinaci6n se basa en una infor*aci6nco*parati/a para to*ar ladecisi6n de que asinar a que$ por eje*plo una *atriE de costos$ una *atriE de tie*pos$ deinresos$ etc(


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Bperario&

& , Q

Bperario+

, 5 '

Bperario%

Q ' &

Bperario1

' Q ,

ij ? Se debe asinar el operario i a la *quina j4 S- o no4

.n *ate*ticase2isten dos nI*eros cuyas propiedades #acen que puedan representar estasrespuestas son el & y el $ debido a que todo nI*ero *ultiplicado por & da el *is*onI*ero entonces el & se puede ree*plaEar por la respuesta S- y co*o todo nI*ero*ultiplicado por cero da cero entonces se puede ree*plaEar por la respuesta o(

As- por eje*plo7

&&& = ,&+ = Q&% = &1

Representa el tie*po su*ado que e*plear-a el operario& en operar las *quinas$ pero solouna /ariable de las tres anteriores puede to*ar el /alor de S-$ o sea de & las de*s tendrnque to*ar el /alor de $ y eso es debido a que el operario & s6lo puede ser asinado a una*quina$ lo que sinificar-a que el tie*po que utilice el operario & puede ser ya sea de "&"de "," o de "Q"(


45/60

&& = &+ = &% = &1 ? &+& = ++ = +% = +1 ? &%& = %+ = %% = %1 ? &1&= 1+ = 1% = 11 ? &

co*o cada *quina solo puede tener un operario asinado(((

&& = +& = %& = 1& ? &&+ = ++ = %+ = 1+ ? &&% = +% = %% = 1% ?&&1 = +1 = %1 = 11 ? &

ij ? & o para toda i$j(

Al resol/er utiliEando SoftDare$ por eje*plo el Sol/er del .2cel$ la respuesta que seobtiene es la siuiente7

Cquina&

Cquina + Cquina %Cquina

ic(

Bperario&

&

Bperario+

&

Bperario% &

Bperario1

&

.sto sinifica que el Bperario & queda asinado a la Cquina icticia Kes decir$ es el quesobra$ el operario + se asina a la *quina +$ el operario % se asina a la *quina & y eloperario 1 se asina a la *quina %(

,3+ ALGORI#MOUNGARO

.l Alorit*o HInaro sir/e para ree*plaEar los *Mtodos tradicionales de la )rora*aci6ninaria$ que i*plican *uc#os clculos$ apro/ec#ando la for*a especial que tienen losproble*as de Asinaci6n(
http://www.monografias.com/Computacion/Software/http://www.monografias.com/trabajos15/algoritmos/algoritmos.shtmlhttp://www.monografias.com/Computacion/Software/http://www.monografias.com/trabajos15/algoritmos/algoritmos.shtml


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Los siuientes pasos que se presentan a continuaci6n son para *ini*iEar$ pero con alunas*odificaciones se puede e*plear ta*biMn para *a2i*iEar(

Si la *atriE no est balanceada$ balancearla incluyendo las filas o colu*nas ficticiasnecesarias(

9e cada ele*ento de la *atriE restar el *-ni*o /alor de cada fila

9e cada ele*ento de la *atriE restar el *-ni*o /alor de cada colu*na

RealiEar la Asinaci6n de la siuiente *anera7


47/60

RealiEar la Asinaci6n((( si no es 6pti*a #acer flood$ iterar #asta que se pueda #acerla asinaci6n(

,3- PROGRAMACION BINARIA EN EL PROBLEMA DE ASIGNACION

Cuc#as de las situaciones en la /ida e2ien una de dos respuestas posibles7 si o no( As- esque pode*os representar Mstas posibilidades con los /alores Kno y & Ksi$ y apro/ec#ar las*ate*ticas para que nos den una *ano ante decisiones dif-ciles; a esto es lo que sole*oslla*ar Jpor ob/ias raEonesJ )rora*aci6n inaria(

Wna de las *uc#-si*as aplicaciones de la )rora*aci6n inaria$ es el proble*a de laAsinaci6n( 3Se debe asinar el recurso i a la tarea j 4 3Si o no4

.V.C)LB 5(%(&7

Se tienen tres personas Krecurso para asinarlos a tres labores diferentes(


48/60

.n Mste orden de ideas$ nuestro deseo es *a2i*iEar la calificaci6n total al asinar losoperarios a las diferentes tareas(

Ca2 Z ? '&& = &+ = 1 &% = Q+& =, ++ =%%% =%& =5%+=,%% SWV.TB A7 &(


49/60

Lueo de #acer clicY en resol/er(((

La calificaci6n *2i*a lorada es de ++( se asin6 el operario & a la tarea +$ el operario+ a la tarea & y el operario % a la tarea %( )ara losprora*asLineales enteros es *uyi*portante que Sol/er$ estM debida*ente confiurado para un nI*ero suficiente deiteraciones$ de tie*po$ de precisi6n y de con/erencia$ para esto /er los detalles de Sol/er

$#. B#B(#&1*+4#+

&( .ppen P(9 $ Pould (V$ Sc#*idt


50/60

%( !auf*an$ Arnold(Cetodos y Codelos de On/estiacion de operaciones$Guinta

.dicion$ &Q'1$


51/60

"=ze!o(n);

$=ze!o(n);

A#ora i*ple*enta*os el caso Y?&$ ya que en el alorit*o e2plicado en clase aparecensu*atorios en los que el -ndice r recorre desde & #asta YJ&(


52/60

60000 160000 210000 330000

0 14666: 110000 0000

0 0 10000 10909

0 0 0 12:2:

om!o7acin *

A$" =

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

.j &( .*plee el prora*a proporcionado para #allar la desco*posici6n de 9oolittle de la*atriE A?] ]&$+$J$+^ ; ]+$J&$J5$J%^ ; ]%$J51$,,$JQ^ ; ]1$%$J&%'$J&1^ ^;

KSol( L?] ]&$$$^ ; ]+$&$$^ ; ]%$&+$&$^ ; ]1$&$J&&$&^ ^;

W?] ]&$+$J$+^ ; ]$J5$,$J,^ ; ]$$&&$Q^ ; ]$$$J^ ^;

2upestamente

DOOLI##LE

K


53/60

%( )ara i?&$ n #aa

bKi?*atriEKi$n=& Kdeter*inar "b"

)ara j?&$ n #aa

AKi$j?*atriEKi$j Kdeter*inar "A"

inpara

inpara

1J b&?transpuestaKb K"b" es un /ector colu*na

DOOLI##LE

4Im6mnt(c)5n 6os !oc)m)ntos !o!s)os $ !!s)os u 66(n ( 6(so6uc)5n37

Se utiliEar un siste*a de %U% y 1U1 para /er el co*porta*iento

de "c" en LUc?b$ y de "2" en W2?c(

LUc?b

cK&?bK&

cK+?bK+J]lK+$&UcK&^

cK%?bK%J]lK%$&UcK&=lK%$+UcK+^


54/60

cK&?bK&

cK+?bK+J]lK+$&UcK&^

cK%?bK%J]lK%$&UcK&=lK%$+UcK+^

cK1?bK1J]lK1$&UcK&=lK1$+UcK+=lK1$%UcK%^

.s facil obser/ar$ que lo que se esta efectuando entre corc#etesK]^$ es una su*atoria(

Ta*biMn se obser/a que en LKi$j $ i>@j y i@j

Ade*s$ de cK+ a cKn se tiene que para LKi$j$ i?+$n y j?&$nJ&

.ntonces el esque*a para c quedaria co*o7

cK&?bK&cKi?bKiJSu*atoriaKLKi$jUcKi$ i>@j y i@j para todo LKi$j

con i?+$n y j?&$nJ&

.lprocedi*ientoque resu*e este co*porta*iento es7

cK&?bK&

)ara i?+$n #aa

E?

)ara j?&$nJ& #aa

Si i>@j y i@j entonces

E?E=LKi$jUcKj

insi

inparacKi?bKiJE

inpara

W2?c
http://www.monografias.com/trabajos13/mapro/mapro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/mapro/mapro.shtml


55/60

2K%?cK%XuK%$%

2K+?cK&J]uK+$%U2K%^XuK+$+

2K&?cK&J] uK&$%U2K%=uK&$+U2K+ ^XuK&$&

2K1?cK1XuK1$1

2K%?cK%J]uK%$1U2K1^XuK%$%

2K+?cK+J]uK+$1U2K1=uK+$%U2K%^XuK+$+

2K&?cK&J]uK&$1U2K1=uK&$%U2K%=uK&$+U2K+^XuK&$&

.s facil obser/ar$ que lo que se esta efectuando entre corc#etesK]^$ es una su*atoria(

Ta*biMn se obser/a que en WKi$j $ i>@j y i>j

Ade*s$ de 2KnJ& a 2K& se tiene que para WKi$j$ i?nJ&$& y j?n$+

.ntonces el esque*a para 2 quedaria co*o7

2Kn?cKnXuKn$n

2Ki?cKiJSu*atoriaKWKi$jU2Kj$ i>@j y i>j para todo WKi$j

con i?nJ&$& y j?n$+

.l procedi*iento que resu*e este co*porta*iento es7

2Kn?cKnXuKn$n


56/60

)ara i?nJ&$& #aa

)ara j?n7J&7+ #aa

Si O>@j y i>j entonces

E?E=WKi$jU2Kj

insi

inpara

2Ki?KcKiJEXWKi$i

inpara

A continuaci6n se da el c6diofuente con alunos co*entarios sobre las instruccionesdonde es con/eniente(

CODIGO FUEN#E DE DOOLI##LE

*atriE?input KT.


57/60

for Y?&7nJ& factoriEacion de doolittle

for i?Y=&7n

LKi$Y?AKi$YXAKY$Y; Kse deter*ina la "L"

for j?&7n

AKi$j?AKi$jJAKY$jULKi$Y;Kse deter*ina la "W"KA se transfor*a en W

end

end

end

W?A;ca*biode /ariablec?b&;se inicialiEa el /ector "c"$ que tiene el *is*o ta*aNo de "b"Kse deter*ina cK&

for i?+7n procedi*iento para #allar "c"Kproresi/a*ente

E?;

for j?&7nJ& LUc?b

if ig?j h i@j

E?E=LKi$jUcKj;

end

end

cKi?b&KiJE;

end

2?c;se inicialiEa el /ector "2"$ que tiene el *is*o ta*aNo de "c"2Kn?cKnXWKn$n;se deter*ina 2KnKulti*a solucion del siste*a

for i?nJ&7J&7& procedi*iento para #allar "2"Kreresi/a*ente

E?;
http://www.monografias.com/trabajos2/mercambiario/mercambiario.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos2/mercambiario/mercambiario.shtml


58/60

for j?n7J&7+ WU2?c

if ig?j h i>j

E?E=WKi$jU2Kj;

end

end

2Ki?KcKiJEXWKi$i;

end

L*uestrala *atriE trianular inferior de doolittle

W*uestra superior LW?LUW*uestra la factoriEacion de doolittle

2/ector solucion del siste*a

clear alleli*ina las /ariablesdel espacio de trabajoKe/ita que elprora*ase carue debasura

copyri#t +1

.S. CBRAL.S

Leer *s7 #ttp7XXDDD(*onorafias(co*Xtrabajos&'Xsiste*asJecuacionesXsiste*asJecuaciones(s#t*li2EE%uEOi9F*

APLICACIONES

13 P!o&6m( 6( D)t(:KStiler$ &Q15(


59/60

,)t(m)n( C %+ Q% 15

Costo + $+ $+5

,(!)(&6s Dc)s)5n:

1:Litros de Lec#e utiliEados en la 9ieta

+:)orciones de Leu*bres utiliEadas en la 9ieta

-:Wnidades de aranjas utiliEadas en la 9ieta

Func)5n O&t)o:KCini*iEar los


60/60

. &Q5 Q %

Adicional*ente considere que se dispone de un On/entario Onicial de &5 unidades y no seacepta de*anda pendiente o faltante$ es decir$ se debe satisfacer toda la de*anda delper-odo(

,(!)(&6s Dc)s)5n:

t:Wnidades elaboradas en el per-odo t K

investigacion de matematica

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