INTRODUCCIONLas ecuaciones diferenciales son algo nuevo para nosotros. Sin embargo ya estamos familiarizados con el problema de resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones algebraicas, y tambin tenemos una idea clara de lo que es una solucin an cuando en muchos casos no podemos encontrarla, como es el caso de las ecuaciones de alto grado o que involucran funciones trascendentes. En las ecuaciones que ya conocemos pueden aparecer una o ms variables. Las primeras pueden definirse como expresiones del tipo F(x)=0 donde x representa la variable en cuestin y F una funcin real de variable real cuya regla de correspondencia est dada en trminos de sumas, productos, o potencias de funciones familiares como la idntica, el logaritmo, las funciones trigonomtricas o las inversas de stas. La construccin de modelos matemticos para tratar los problemas del mundo real se ha destacado como uno de los aspectos ms importantes en el desarrollo terico de cada una de las ramas de la ciencia. Con frecuencia estos modelos implican una ecuacin en la que una funcin y sus derivadas desempean papeles decisivos. Tales ecuaciones son llamadas ecuaciones diferenciales. Como en la ecuacin (x2 + y2) dx - 2xy dy =0, una derivada puede estar presente de manera implcita a travs de diferenciales. La meta es de encontrar Mtodos para resolver tales ecuaciones, esto es, determinar la funcin o funciones desconocidas que satisfagan una ecuacin diferencial.

Unidad 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden1.1 Teoria Preliminar1.1.1 Definiciones (ecuacin diferencial, orden, grado, linealidad)Ecuacin Diferencial Una ecuacin diferencial es una ecuacin en la que intervienen derivadas de una o ms funciones desconocidas. Dependiendo del nmero de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en: Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o ms variables.Orden de la ecuacin El orden de la derivada ms alta en una ecuacin diferencial se denomina orden de la ecuacin. Ejemplos:Orden 1: y' + y(x) = f(x)Orden 2: y''+ 4y =0Orden 3: xy''' - 2xy'' + 4y' = 0Grado de la ecuacinEs la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuacin, siempre y cuando la ecuacin est en forma polinmica, de no ser as se considera que no tiene grado.Linealidad de una ecuacin Se dice que una ecuacin es lineal si tiene la forma:

es decir:Ni la funcin ni sus derivadas estn elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.En cada coeficiente que aparece multiplicndolas slo interviene la variable independiente.Una combinacin lineal de sus soluciones es tambin solucin de la ecuacin.

1.1.2 Soluciones de las ecuaciones diferencialesTipos de solucionesUna solucin de una ecuacin diferencial es una funcin que al reemplazar a la funcin incgnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuacin, es decir, la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones:Solucin general: una solucin de tipo genrico, expresada con una o ms constantes.Solucin generalEs un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuacin sea lineal, la solucin general se logra como combinacin lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuacin) de la ecuacin homognea (que resulta de hacer el trmino no dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) ms una solucin particular de la ecuacin completa.

Solucin particular:Si fijando cualquier punto por donde debe pasar necesariamente la solucin de la ecuacin diferencial, existe un nico valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuacin, ste recibir el nombre de solucin particular de la ecuacin en el punto , que recibe el nombre de condicin inicial.Solucin particularEs un caso particular de la solucin general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor especfico.Solucin singular: una funcin que verifica la ecuacin, pero que no se obtiene particularizando la solucin general.Solucin singularSolucin de la ecuacin no consistente en una particular de la general.

CONCLUSIONES

Al termino de este pequeo trabajo obtuvimos conocimientos nuevos como lo es el concepto propio de una ecuacin diferencial, puesto que era algo difcil concebir un concepto propio acerca de estas ecuaciones diferenciales, adems que de igual manera se buscaron los conceptos de palabras mucho muy relacionadas con las ecuaciones diferenciales como lo son el rango, la linealidad, el orden y junto con estos concepto y los tipos de soluciones que existen para resolver una ecuacin diferencial nos aportan un gran conocimiento pora poder incursionar el mundo del modelado matemtico.