PROPORCIONALIDAD INVERSA: INVERSIÓNSon magnitudes inversamente proporcionales las que varían manteniendo su producto constant e (a.b = a’.b’)

Dado un centro de inversión, a cada punto del plano le correspondeotro punto, siendo el producto de sus distancias al centro un valorconstante que denominamos Valor ó potencia de la inversión (K).

Dos puntos inversos están siempre alineados con el centro de lainversión, y situados en la misma dirección respecto de éste cuandoel valor K es positivo, ó en direcciones opuestas si K es negativo.

La potencia es una relación concreta entre un punto y una circunfe-rencia, mientras que la inversión es una transformación que se puedeaplicar a todos los puntos del plano, una vez que está determinada.Ambas comparten el mismo fundamento geométrico. La raíz del valorconstante k se calcula de la misma manera.

Formas de determinar una inversión:- Dados el centro y el valor de la inversión.- Dados el centro y un par de puntos inversos.- Dados dos pares de puntos inversos no alineados.Dos pares de puntos homólogos en la misma inversión son concíclicos

(existe una circunferencia que pasa por los cuatro).

Cómo calcular un punto inverso: En una inversión dada por el centro Oy el par de puntos inversos P y P’, queremos localizar el inverso de Q.Trazamos las mediatrices de P con P’ y con Q, obteniendo un puntoequidistante. Trazando con este centro una circunferencia que pasa porlos tres puntos, y una recta que pasa por O y Q, localizamos Q’.

O

O

A

A

B

T

P

P

r

Q

r = r’

Q’

P’

P’

A=A'

A

A'

A'

A'

A'

K > 0

K < 0

K < 0K > 0

O

O

O

O

O O

A

B’

K

K

Los elementos dobles son muy útiles porque economizan operaciones en lainversión. Además de las circunferencias de autoinversión, son dobles lasrectas que pasan por el centro, por la simple condición de que los puntosinversos siempre están alineados con el centro de inversión, aunque sólosean dobles los puntos donde r corta a la circunferencia de autoinversión.También son dobles las circunferencias que pasan por pares de puntos inversos, que como se puede comprobar secaracterizan por ser ortogon ales a la de autoinversión (los radios de los puntos donde se cortan son perpendiculares).

Circunferencias de autoinversiónGráficamente, el valor de la inversión lo representa la Cir-cunferencia de autoinversión ó de puntos dobles. Es laformada por los puntos que están a una distancia del centrode inversión igual a la raíz de K. Son dobles porque cadauno se transforma en sí mismo. Con valor K negativo, cadapunto es inverso del diametralmente opuesto, por tanto lospuntos no son dobles, pero la circunferencia sí.

K

OA . OA’ = OB . OB’ = K

OT = raíz de K

Paulo Porta

Paulo Porta

La figura inversa de una recta que no pasa por el Centro deinversión es una circunferencia que sí pasa por él.

Podemos comprobarlo fácilmente, conociendo el centro O y tomandodiferentes puntos A, B, C, D en la recta r, conociendo el inverso de A.Trazamos circunferencias que pasan por A, A’ y cada uno de los otrospuntos. Los inversos irán formando una circunferencia que pasará porel centro O cuando la distancia aumente hasta el infinito. Se deducetambién que el centro O ocupará siempre uno de los extremos deldiámetro perpendicular a la recta, el más alejado ó el más cercano,dependiendo del valor positivo ó negativo de la inversión.

La figura inversa de una circunferencia que no pasa por elCentro ni contiene puntos dobles, es una circunferenciahomotética. (la razón de la homotecia entre ellas es el cocientedel valor de inversión y la potencia de O respecto de c)

Obsérvese que una secante común que pasa por el centro Odefine dos pares de puntos homólogos, pero en orden diferen-te que en una homotecia.

K > 0 K < 0O

O

A'

A'

A'

B’

C’

D’

O

r

r

r

r'

r'

r'

A

A

1 2 3

B C D

A

O

A

C C'

BB'

A'

A

A B

OC C'

T

CD E

F

T'

Si dos circunferencias inversas son tangentes a una tercera,los puntos de tangencia serán puntos inversos.

Aplicación en tangencias simples: Sabemos que una circunferencia es tangente aotras dos de centros A y B, y que C es uno de los puntos de contacto. Trazamos elradio BC y otro paralelo AD en la otra circunferencia. Unimos C con D, que sería sucorrespondiente en una homotecia, obteniendo E, que lo es en la inversión, y por tantoes el otro punto de tangencia. Las alineaciones AE y BC dan el centro F.

Aplicación en tangencias complejas: en el caso PRC, en que se han de trazarcircunferencias que pasen por un punto P tangentes a la circunferencia c y ala recta r, definimos una inversión de centro P y valor igual a su potencia res-pecto de c, que de este modo se transforma en sí misma y estará formadapor pares de puntos inversos. Obsérvese cómo la circunferencia de radio PA,ó de autoinversión, proporciona en la recta los puntos dobles 1 y 2, así quela figura inversa de r es una circunferencia qu e pasa por el centro P y por losdos puntos dobles. Como las circunferencias c’ y r’ tienen cuatro rectas tan-gentes comunes, desinvertidas pasarán a ser cuatro circunferencias que pa-sarán por el centro P de la inversión, conservando cada una sus dos puntoscomunes con c y con r.

P

1

2A

R’

r'

r

c=c'

C=C’

K