inversion conjunta de datos el´ ectricos...
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UNIVERSIDAD SIM ON BOL IVAR
I NGENIER IA GEOFISICA
INVERSI ON CONJUNTA DE DATOS EL ECTRICOS DECORRIENTE CONTINUA Y RADIOMAGNETOTEL URICOS
BAJO UN ESQUEMA TSVD
Realizado por:Marıa de losAngeles Garcıa Juanatey
Proyecto de GradoPresentado ante la Ilustre Universidad Simon Bolıvar
Como requisito parcial para optar al tıtulo deINGENIERO GEOFISICO
Sartenejas, Diciembre 2007
UNIVERSIDAD SIM ON BOL IVAR
I NGENIER IA GEOFISICA
INVERSI ON CONJUNTA DE DATOS EL ECTRICOS DECORRIENTE CONTINUA Y RADIOMAGNETOTEL URICOS
BAJO UN ESQUEMA TSVD
Realizado por:Marıa de losAngeles Garcıa Juanatey
Con la asesorıa de:Thomas Kalscheuer
Universidad de Uppsala
Proyecto de GradoPresentado ante la Ilustre Universidad Simon Bolıvar
Como requisito parcial para optar al tıtulo deINGENIERO GEOFISICO
Sartenejas, Diciembre 2007
Este trabajo ha sido aprobado en nombre de la Universidad Simon Bolıvar por el siguiente juradocalificador:
PresidenteProf. Mario Caicedo
Tutor academicoProf. Carlos Izarra
Miembro del JuradoProf. Milagrosa Aldana
El presente trabajo es la traduccion del proyecto de grado presentado ante la Universidad deUppsala con la asesorıa de Thomas Kalscheuer bajo el tıtulo “Joint inversion of Direct Currentand Radiomagnetotelluric data.”, durante el perıodo de intercambio 2006 – 2007, conforme a lasNormas para realizar actividades de intercambio de estudiantes de pregrado entre universidadesextranjeras y la USB, capıtulo de Normas Generales, numeral 12.
II
Agradecimientos
A la Universidad Simon Bolıvar por la excelente educacion que me ha brindado, ademas de
darme la oportunidad de completar mi programa de estudios enel extranjero.
A la Universidad de Uppsala por recibirme de la mejor manera ycontribuir significativamente
en la completacion de mis estudios.
Al profesor Laust B. Pedersen, por confiar en mi para realizareste trabajo.
A Naser Meqbel, por proveer las rutinas necesarias para el m´etodo electrico de Corriente Con-
tinua.
Muy especiales a mi mentor, Thomas Kalscheuer, por introducirme en el mundo de la progra-
macion en geofısica, tener la paciencia de contestar todas mis preguntas de manera instantanea,
mantener mi motivacion y resolver todos los problemas que cause.
Al profesor Carlos Izarra, por ayudarme con la traduccion de este trabajo, ensenarme de que tra-
ta la geofısica y motivarme desde el primer dıa de clases dela carrera hasta el dıa de hoy.
A Claudia, Hanka, Martin y Michael, por aligerar mis dıas detrabajo en Suecia y ayudarme
siempre que lo necesite.
Ademas, he de reconocer que el cumplimiento exitoso de mis metas se lo debo principalmente
a mis padres y hermanos, quienes me han guiado y prestado su apoyo a lo largo de toda mi vida,
ası como al resto de mi familia. A ellos el mayor de mis agradecimientos.
Finalmente quiero agradecer de manera muy especial a mis companeros de Campo 2005 y
geofısica, Astrid Torres, William Marın, Christian Olbrich, Carla Carvajal, Esteban Dıaz, Alejan-
dro Lemmo, Joan Marie Blanco, Adriana Moreno, Andrea Vega, Sary Zambrano, Jose Alejan-
III
dro Cruces, Daniel Rendon, Luis Lezama, Fernando Castellanos, Adriana Justiniano, Erik Garcıa,
Luis Godoy, Cristina Grau, Alegrıa Hinestrosa, Gustavo Guariguata, Javier Martın, Alfredo Peral-
ta, Ruyman Gilbert, Daniel Rossell, Cindy Herrera, VicenteOropeza, Gabriel Matos, Mario Petito,
Mario Rada, Edgar Corzo, Julian Cuesta, Israel Roche, Vanesa Urdaneta, Daniel Chramcow, Da-
vid Sanchez, Ana Victoria Somoza, Luis Alberto Gomez, Dignorah Altamiranda, Noris Caraballo,
Melissa Cespedes, Debora Piemonti, Pilar Cuadra y todos los que compartieron conmigo la sala de
lectura, por brindarme su apoyo y comprension, ademas de acompanarme a traves de mi trayectoria
como estudiante universitaria y hacer de la geofısica algotan divertido.
IV
INVERSION CONJUNTA DE DATOS ELECTRICOS DE CORRIENTE CONTINUA Y
RADIOMAGNETOTELURICOS BAJO UN ESQUEMA TSVD
POR
Marıa de losAngeles Garcıa Juanatey
RESUMEN
Varios estudios han demostrado que los metodos electricos y electromagneticos, a pesar de
responder a la misma propiedad fısica de las rocas, lo hacende manera distinta, por lo que su
combinacion siempre conlleva a mejores resultados (Vozoff y Jupp, 1975). Considerando esto, se
plantea en el presente trabajo la inversion conjunta de datos electricos de corriente continua (CC)
y datos radiomagnetoteluricos (RMT). Para ello se adapta el programa REBOCC (Siripunvaraporn
y Egbert, 2000) para invertir datos CC y RMT de manera independiente y conjunta, utilizando el
esquema TSVD.
Luego se configura un modelo de resistividades para generar datos sinteticos CC y RMT con
el fin de realizar inversiones simples y una inversion conjunta, que permitan estudiar el compor-
tamiento de cada metodo y su combinacion. Adicionalmente, se realiza un analisis de resolucion
y varianza no lineal (Kalscheuer y Pedersen, 2007) para comprobar la fiabilidad de cada modelo
estimado.
Los resultados permiten concluir que el modelo estimado de la inversion conjunta se asemeja
mas al modelo verdadero, que los modelos estimados a partirde las inversiones simples.Particularmente
presenta un buen desempeno recuperando el ancho y la forma de las estructuras involucradas,
ası como la resistividad del medio en el cual se encuentran sumergidas. Cabe destacar que esta
inversion logra reducir notablemente la aparicion de artefactos resistivos poco profundos, presentes
en el modelo estimado CC.
V
Indice general
Agradecimientos III
1. Introduccion 1
1.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2
1.2. Estructura del presente informe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 3
2. Propiedades electricas de las rocas 5
2.1. Mecanismos de conduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 7
2.2. Ley de Archie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7
3. Metodo electrico con corriente continua (CC) 9
3.1. Potenciales en un semiespacio homogeneo . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 9
3.2. Configuracion de los arreglos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 11
3.3. Profundidad de investigacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 14
4. Metodo radiomagnetotelurico (RMT) 16
4.1. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 16
4.2. Ecuaciones de difusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 18
4.3. Profundidad de penetracion (skin depth) . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 19
4.4. Funciones de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 20
4.5. Modos TE y TM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
VI
5. Teorıa de inversion 23
5.1. El problema de inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 23
5.2. El problema no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 24
5.3. Tipos de problemas inversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 26
5.3.1. Problemas de inversion con determinabilidad mixta. . . . . . . . . . . . . 27
5.4. Descomposicion en valores singulares (SVD) . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 28
5.5. Resolucion y varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 29
5.5.1. Resolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
5.5.2. Varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.5.3. Equilibrio entre resolucion y varianza . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 31
5.5.4. Analisis no lineal de resolucion y varianza . . . . . .. . . . . . . . . . . . 32
5.6. Nota acerca de la raız cuadratica media (RMS) . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 33
6. El programa de inversion 35
6.1. REBOCC previamente modificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 35
6.2. Nuevas modificaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 36
6.2.1. Tres modalidades para CC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 37
6.2.2. Respuestas del problema directo CC . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 37
6.2.3. Matriz de sensitividades CC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 38
6.2.4. Rutina para el numero de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 39
6.3. Descomposicion en valores singulares truncada (TSVD) . . . . . . . . . . . . . . 40
7. Las inversiones 44
7.1. El modelo sintetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 44
7.2. Datos sinteticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 46
7.3. Productos de la inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 47
VII
8. Analisis de resolucion 54
8.1. Valores singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 54
8.2. Semiejes no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 55
8.3. Comparacion entre semiejes lineales y no lineales . . .. . . . . . . . . . . . . . . 56
8.4. Kernels de resolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 58
9. Conclusiones 63
Recomendaciones 65
Referencias 67
Apendice 70
VIII
Indice de figuras
3.1. Arreglo generico de cuatro electrodos. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 10
3.2. Campo electrico y lıneas equipotenciales originados por electrodos de corriente. . . 10
3.3. Tendidos de electrodos mas comunes en el metodo de resistividad CC. . . . . . . . 13
3.4. Patron de datos en una pseudoseccion electrica paralos tres arreglos considerados. 14
4.1. Modos TE y TM en una discontinuidad vertical. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 22
5.1. Ilustracion de la superficie pseudo hiperelipsoidal,como aproximacion a la super-
ficie de confianza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.1. Esquema general del programa de inversion empleado. .. . . . . . . . . . . . . . 37
6.2. Datos de entrada y de salida para la rutina de respuestasdirectas del metodo CC. . 38
6.3. Datos de entrada y de salida para la rutina de sensitividades del metodo CC. . . . . 39
6.4. Matriz de sensitividades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 40
6.5. Datos de entrada y de salida para la rutina de numeros deonda. . . . . . . . . . . . 40
6.6. Diferencia entre respuestas directas con cantidades distintas de numeros de onda. . 41
6.7. Diagrama de flujo simplificado de la rutina de TSVD. . . . . .. . . . . . . . . . . 43
7.1. Modelo sintetico utilizado para generar datos. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 45
7.2. Malla utilizada para los modelos discretos. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 45
7.3. Datos de CC simulados a partir del modelo sintetico. . .. . . . . . . . . . . . . . 46
7.4. Datos RMT sinteticos para el modo TE. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 47
IX
7.5. Decaimiento del RMS con respecto al incremento del nivel de truncamiento. . . . . 49
7.6. Modelo producido en la inversion CC simple. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 50
7.7. Modelo estimado en la inversion RMT simple con el modo TE. . . . . . . . . . . . 51
7.8. Modelo producido en la inversion conjunta. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 52
8.1. Valores singulares del modelo sintetico para las trestecnicas. . . . . . . . . . . . . 55
8.2. Semiejes no lineales para las tres tecnicas con respecto al modelo sintetico. . . . . 56
8.3. Semiejes lineales y no lineales de los tres problemas deinversion para el modelo
sintetico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57
8.4. Las diez celdas analizadas en el modelo sintetico . . . .. . . . . . . . . . . . . . 59
A.1. Kernels de resolucion de la celda 1 (50 m a la izquierda del conductor y 15 m de
profundidad). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
A.2. Kernels de resolucion de la celda 2 (50 m a la izquierda del conductor y 55 m de
profundidad). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
A.3. Kernels de resolucion de la celda 3 (sobre el conductor). . . . . . . . . . . . . . . 73
A.4. Kernels de resolucion de la celda 4 (en el tope del conductor). . . . . . . . . . . . 74
A.5. Kernels de resolucion de la celda 5 (en la base del conductor). . . . . . . . . . . . 75
A.6. Kernels de resolucion de la celda 6 (debajo del conductor). . . . . . . . . . . . . . 76
A.7. Kernels de resolucion de la celda 7 (sobre el resistor). . . . . . . . . . . . . . . . . 77
A.8. Kernels de resolucion de la celda 8 (en el tope del resistor). . . . . . . . . . . . . . 78
A.9. Kernels de resolucion de la celda 9 (en la base del resistor). . . . . . . . . . . . . . 79
A.10.Kernels de resolucion de la celda 10 (debajo del resistor). . . . . . . . . . . . . . . 80
X
Indice de tablas
2.1. Resitividad electrica de algunos minerales, rocas y sedimentos. . . . . . . . . . . . 6
3.1. Relacion entre la profundidad de investigacion y la longitud total del arreglo (Edwards,
1977) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.1. Suposiciones del metodo RMT (modificado de Simpson y Bahr (2005)). . . . . . . 18
7.1. Frecuencias usadas para simular datos RMT del modo TE. .. . . . . . . . . . . . 47
7.2. Resumen de los resultados de inversion. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 48
8.1. Resumen de las propiedades de resolucion. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 60
XI
Capıtulo 1
Introducci on
En su afan por descubrir lo que existe en el subsuelo, el geofısico recurre a tecnicas que le
facilitan alcanzar su objetivo a partir de datos recolectados en superficie. Sin embargo, todavıa no
existe metodo alguno, que permita extraer de observaciones indirectas informacion exacta y precisa
de lo que existe en el subsuelo. Todos los metodos geofısicos conllevan, en menor o mayor grado,
a resultados ambiguos.
Esto se debe principalmente a que limitaciones en el procesode adquisicion o inherentes a la
concepcion del metodo (o una combinacion de ambas), impiden la obtencion de un conjunto de
datos vinculados a un unico modelo del subsuelo (Roy, 1962). En el caso de la adquisicion, las
restricciones mas comunes son irregularidades en el terreno, factores ambientales o deficiencias de
los dispositivos utilizados. Mientras que los problemas del metodo como tal, son principalmente
circunstancias como la imposibilidad de colocar detectores alrededor del objeto de estudio y dis-
poner de ellos solo en la superficie o la presencia de mas de una variable determinante, lo que en
lıneas generales se reduce a una gran dificultad para obtener un problema bien constrenido.
Para reducir los efectos de esta situacion, el empleo conjunto de mas de un metodo es recomen-
dable. La combinacion de informacion de diferente naturaleza en distintos niveles de la investiga-
cion geofısica, permite precisar aun mas los resultados y obtener un modelo mas fiable (Harina-
rayana, 1999). Esta integracion puede hacerse en cualquiera de las etapas requeridas para obtener
1
un modelo del subsuelo, ya sea durante el procesamiento, modelado o interpretacion, teniendo en
cuenta que la mejor manera de combinar los datos dependera en gran parte de las caracterısticas de
las tecnicas empleadas.
Particularmente, en el trabajo que aquı se presenta, se emplean metodos electricos y electro-
magneticos, ambos dependientes de la misma propiedad fısica del subsuelo: la resistividad. Varios
estudios han demostrado que estos, a pesar de responder a lamisma caracterıstica de las rocas, lo
hacen de manera distinta, por lo que su combinacion siempreconlleva a mejores resultados que
cada uno de los metodos por separado (Vozoff y Jupp, 1975).
Considerando lo expuesto anteriormente y con la intencionde obtener un mayor provecho de
los metodos electricos y electromagneticos, se planteaen este trabajo su combinacion en un mismo
proceso de inversion. En especıfico, se utilizan las tecnicas de resistividad electrica con corrien-
te continua (CC) y radiomagnetotelurica (RMT), que aunquedetectan un mismo parametro del
subsuelo envuelven concepciones fısicas muy distintas.
1.1. Objetivos
Como objetivos generales del presente trabajo pueden enumerarse los siguientes:
1. Adaptar un programa de inversion para realizar inversiones conjuntas de los metodos men-
cionados.
2. Probar el programa utilizando datos sinteticos y comparar los productos de inversiones sim-
ples (cada metodo por separado) con el de la inversion conjunta.
3. Analizar la resolucion de los modelos estimados en las inversiones simples y conjunta.
Para la realizacion del primer objetivo, se modifica un programa de inversion para datos radio-
magnetoteluricos que emplea la descomposicion en valores singulares truncada (REBOCC Siripun-
varaporn y Egbert 2000, modificado previamente), al cual se le anaden las rutinas correspondientes
2
para invertir datos electricos de corriente continua. Lasmodificaciones realizadas permiten tanto
inversiones simples de cualquiera de los dos metodos, comola inversion conjunta de ambos.
Posteriormente, se disena un modelo del subsuelo que permitira la obtencion de datos sinteticos
para realizar las tres inversiones planteadas en el segundoobjetivo, que luego seran sometidas a un
analisis de resolucion no lineal (tercer objetivo) para descubrir la bondad de los modelos estimados.
1.2. Estructura del presente informe
El presente informe empieza exponiendo los conceptos basicos que sustentan el trabajo. Contie-
ne una breve descripcion de la resistividad electrica de las rocas, que es la propiedad fısica emplea-
da, seguida de una resena sobre el metodo electrico de corriente continua, incluyendo fundamentos
teoricos, adquisicion y alcance. Luego se ofrece un breverecorrido sobre la teorıa electromagnetica,
necesaria para la comprension del metodo radiomagnetotelurico, ademas de presentar la adquisi-
cion y alcance de este metodo.
Posteriormente se discute la teorıa de inversion, con especial enfasis en los problemas de deter-
minabilidad mixta, ya que el problema de interes (la inversion de los metodos CC y RMT) es de
esta ındole, y en la tecnica de descomposicion en valoressingulares truncada (TSVD), puesto que
es la empleada para resolverlo. Tambien se explican los terminos de resolucion y varianza, ası como
el metodo de analisis de resolucion que se aplica sobre los modelos estimados. Adicionalmente se
detalla el concepto de raız cuadratica media (RMS), que seutiliza para escoger los modelos de
inversion.
Una vez concluido el marco teorico, se exponen los cambios realizados al programa base (RE-
BOCC modificado) y las tres rutinas anadidas para el metodoelectrico. Despues se presentan el
modelo sintetico utilizado, las respuestas calculadas a partir de este y los modelos estimados de
inversion. De estos ultimos ademas, se incluye el analisis y la comparacion entre los mismos.
Despues de ello, se especifican los resultados del analisis de resolucion aplicado sobre 10 celdas
3
particulares, a traves del estudio de los semiejes (lineales y no lineales) de cada problema y la
comparacion de las propiedades de resolucion de las celdas en cada uno de los modelos.
Finalmente, se presentan las conclusiones del trabajo y algunas recomendaciones para conside-
raciones a futuro.
4
Capıtulo 2
Propiedades electricas de las rocas
Una de la propiedades mas importantes y utiles de las rocases su resistividad electrica, la cual se
halla relacionada con otras propiedades como porosidad, saturacion de fluido y litologıa. La resis-
tividad electrica puede determinarse a traves de diferentes metodos electricos y electromagneticos,
lo que hace posible encontrar una tecnica adecuada para cada situacion y circunstancia. Ademas, la
resistividad del suelo varıa dentro de un amplio rango de valores, desde1,6 · 10−8Ωm para el mine-
ral de plata hasta106Ωm para el azufre puro (Reynolds, 1997). Este aspecto facilita ampliamente
la interpretacion, ya que rocas diferentes pueden poseer valores de resistividad muy distintos y ser
identificadas con cierta facilidad. Sin embargo esto no ocurre siempre, el solapamiento de valores
todavıa ocurre (ver tabla 2.1).
La resistividad electrica (ρ), se define como la resistencia de un cilindro de area y longitud
unitaria (Dobrin, 1976). Las unidades SI correspondientesson ohms metro (Ω·m) y su inverso la
conductividad (σ), esta dada en Siemens sobre metros (S/m). La ecuacion querelaciona resistividad
y resistencia es:
ρ =RA
L, (2.1)
dondeR (enΩ) es la resitencia del cuerpo conductor,A (m2) es el area de la seccion transversal y
L (m) es su longitud (Telfordet al. , 1976).
5
10−5
10−4
10−3
10−2
10−1
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
1010
1011
1012
1013
Aluvión y arena
Basalto
Arcillas
Lutita consolidada
Suelo arenoso seco
Granito
Granito meteorizado
Grava (seca)
Grava (saturada)
Hematita
Calizas
Mármol
Morrena
Pirrotita
Cuarzo
Arenas recientes/Cuaternario
Sal rocosa
Arcilla arenosa/Arena arcillosa
Areniscas
Relleno saturado
Pizarras
Relleno no saturado
Resistividad (Ω m)
Tabla 2.1 Resitividad electrica de algunos minerales, rocas y sedimentos. Observeseque para ciertos materiales existe solapamiento mientras que para otros no.Tambien se evidencia la influencia de la presencia de fluidosen la resistivi-dad efectiva. (Valores de resistividad tomados de Reynolds1997)
En un circuito electrico, la resistenciaR cumple con la ley de Ohm:
R =V
I, (2.2)
comV (v) la diferencia de potencial a traves del resistor eI (A) la corriente que circula a traves de
el. Entonces, la resistividadρ tambien puede escribirse como:
ρ =V A
IL. (2.3)
6
2.1. Mecanismos de conduccion
Existen tres mecanismos que permiten la conduccion de corriente a traves de las rocas: conduc-
cion electronica, dielectrica y elctrolıtica (Reynolds, 1997; Dobrin, 1976; Telfordet al. , 1976).
Conduccion electronica ocurre en metales, donde los electrones son libres y pueden moverse
rapidamente. Tiene una gran importancia en el estudio de yacimientos.
Conduccion dielectrica es comun en aislantes, donde los electrones no son libres y solo pue-
den desplazarse ligeramente con respecto al nucleo. Este fenomeno puede despreciarse en
estudios electricos de baja frecuencia, pero tiene una gran importancia en lapolarizacion
espectral inducida.
Conduccion electrolıtica es asociada a fracturas y poros, debido al movimiento de los iones en
el fluido intersticial. Este es el mecanismo mas importanteen estudios electricos y electro-
magneticos someros.
2.2. Ley de Archie
En muchas situaciones, la resitividad del fluido contenido en poros y fracturas, es mas impor-
tante y determinante que la resistividad de la roca caja. En esas ocasiones, la ley de Archie describe
la resistividad efectiva de toda la roca (incluyendo el fluido intersticial) considerando porosidad,
saturacion de fluido y resistividad (Reynolds, 1997):
ρ = aφ−ms−nρw, (2.4)
donde
ρ es la resistividad efectiva de la roca (Ω·m),
ρw es la la resistividad del fluido de poro (Ω·m),
7
φ es la porosidad,
s es la fraccion de volumen de poros con fluido (saturacion),
a es una constante entre 0.5 y 2.5 denominada factor de cementacion,
m tambien constante entre 1.3 y 2.5, conocida como exponentede cementacion
n otra constante muy cercana a 2.
Las constantesa, m y n son determinadas empıricamente y se conocen de antemano.
8
Capıtulo 3
Metodo electrico con corriente continua
(CC)
Aplicar corriente directa al suelo y luego medir la diferencia de potencial producida en diferen-
tes puntos de la superficie, es el metodo mas comun para determinar la resistividad del subsuelo.
Es ampliamente utilizado en arqueologıa, en la ubicaciony monitoreo de acuıferos subterraneos,
en la localizacion de cavidades, fallas y fracturas, entreotras aplicaciones.
Para esta tecnica se utilizan regularmente arreglos de cuatro electrodos. Dos de ellos empleados
en la inyeccion de corriente al suelo y los otros dos en la medicion de diferencias de potencial (ver
la Figura 3.1).
3.1. Potenciales en un semiespacio homogeneo
Para un unico electrodo de corriente en un semiespacio homogeneo, el potencialVp en cualquier
puntop ubicado a una distanciar de la fuente (ver Figura 3.2(a)), se define como:
Vp =ρI
2πr, (3.1)
9
C1 P1 P2 C2
+I -I
AM
AN BN
ρ
U
A M N B
BM
Figura 3.1 Arreglo generico de cuatro electrodos. Los electrodos P1 y P2 son los elec-trodos potenciales (empleados para medir la diferencia de potencial), mien-tras que los electrodos C1 y C2 son los electrodos de corriente. Todos loselectrodos se hallan dispuestos dentro de la misma lınea. La nomenclaturaaquı empleada es la mas utilizada.
Ip
r
(a) Un unico electrodo de corriente
+I -Ir1 r2
p
z
ρ
(b) Dos electrodos de corriente
Figura 3.2 Campo electrico y lıneas equipotenciales originados porelectrodos decorriente.
dondeρ es la resistividad del semiespacio. Para dos electrodos de corriente y considerando el
principio de superposicion electrico, el potencial en cualquier puntop es igual a la suma de los
potenciales originados por cada una de las fuentes individualmente, en este caso los electrodos:
Vp =ρI
2π
[
1
r1−
1
r2
]
, (3.2)
donder1 y r2 son las distancias entrep y el primer (+I) y segundo (−I) electrodo de corriente,
respectivamente (ver Figura 3.2(b)).
10
Los potenciales en los puntosM y N , de un arreglo en general como el descrito en la Figura
3.1, vienen dados por:
VM =ρI
2π
[
1
AM−
1
BM
]
, VN =ρI
2π
[
1
AN−
1
BN
]
.
La diferencia de potencial entre ambos, es un voltajeVMN que puede medirse facilmente en campo:
VMN = VM − VN =ρI
2π
[
1
AM−
1
BM
]
−
[
1
AN−
1
BN
]
. (3.3)
En terminos de la resistividadρ (la propiedad fısica de interes), es posible reescribir la ecuacion
3.3 como:
ρ =VMN
I2π
[
1
AM−
1
BM
]
−
[
1
AN−
1
BN
]
−1
o ρ =VMN
IK, (3.4)
dondeK es denominado el factor geometrico y depende unicamente de la disposicion de los elec-
trodos en un determinado arreglo.
Cuando la resistividad en el medio estudiado no es constante, ρ en la ecuacion 3.4 no es igual a
la resistividad verdadera de este, en cambio, es un promedio de las resistividades correspondientes
a un volumen del subsuelo, determinado por la posicion relativa de los electrodos, denominado
resistidivad aparenteρa.
3.2. Configuracion de los arreglos
Existen diferentes formas de organizar los electrodos en unarreglo en el momento de realizar
mediciones en campo. Algunos de estas estan disenadas para simplificar calculos posteriores con
un factor geometrico sencillo asociado, y otros para facilitar el proceso de adquisicion proveyendo
la practicidad necesaria para mover los electrodos con rapidez. Sin embargo, el arreglo del tendido
electrico no afecta unicamente estos dos parametros, determina tambien parte de la resolucion de
11
los datos y la profundidad de investigacion. Entonces, el arreglo a utilizar depende del objetivo de
estudio, las estructuras involucradas y la profundidad de interes.
En la Figura 3.3, se muestran los arreglos mas comunes: Wenner-alpha, Schlumberger, Wenner-
Schlumberger y dipolo-dipolo. En todos ellos los electrodos se encuentran a lo largo de la misma
lınea. A continuacion se ofrece una breve descripcion decada uno.
En el arregloWenner-alpha todos los electrodos tienen la misma separaciona, la cual incre-
menta al multiplicarse por un factor enteron (comunmente llamado nivel) para alcanzar mayores
profundidades. Cada vez que el nivel aumenta se pierden 3 puntos de datos a lo largo del perfil. Esto
se evidencia en la Figura 3.4(a), donde se muestra el patronde datos de los arreglos considerados.
En promedio, la profundidad de investigacion esan/2. Los datos adquiridos con este arreglo son
particularmente sensibles a variaciones verticales en la resistividad del subsuelo, pero resuelven
pobremente cambios horizontales. El factor geometrico asociado esK = 2πa (Loke, 1999).
El tendidoSchlumberger tambien favorece la deteccion de cambios verticales en laresistivi-
dad. Los electrodos potenciales estan en el medio del arreglo separados por una distancia pequena
a. Mientras que los electrodos de corriente se ubican en los extremos con una separacion mayor
L del punto medio del tendido (tecnicamente debe cumplirseL ≥ 5a). Para incrementar la pro-
fundidad de penetracion,L debe aumentar. Normalmente,L crece de forma logarıtmica. El factor
geometricoK es πL2
a[1 − a2
4L2 ].
Existe una variante del arreglo Schlumberger, dondeL se elige de tal forma queL− a/2 = na
donden es el nivel del arreglo (ver Figura 3.3(c)). Este arreglo hıbrido es llamadoWenner-
Schlumbergery tiene la ventaja de poder implementarse con electrodos equiespaciados. Es sensi-
ble a estructuras verticales y horizontales. Como puede verse en la Figura 3.4(b), los datos tienen
mejor cobertura en la direccion horizontal que el arreglo Wenner, ya que solo se pierden 2 puntos
de datos por nivel (Loke, 1999).
En el arreglodipolo-dipolo, los electrodos de corriente se encuentran a un lado y los electrodos
potenciales al otro (ver Figura 3.3(d)). Cada par de electrodos tiene el mismo espaciamientoa,
12
C1 P1 P2 C2
+I -I
na na
ρ
U
na
(a) Arreglo Wenner-alpha
C1 P1 P2 C2
+I -I
a
ρ
U
L
(b) Arreglo Schlumberger
C1 P1 P2 C2
+I -I
a
ρ
U
nana
(c) Arreglo Wenner-Schlumberger
C1 P1 P2C2
+I -I
a na a
ρ
U
(d) Arreglo Dipolo-dipolo
Figura 3.3 Tendidos de electrodos mas comunes en el metodo de resistividad CC. P1 yP2 son los electrodos potenciales C1 y C2 los de corriente,a es la separacioncaracterıstica de cada arreglo yn el nivel.
minetras que la distancia entre los pares es el niveln multiplicado pora. Este arreglo presenta
buenos resultados en direccion horizontal, pero no en la vertical. Es ampliamente utilizado en la
deteccion de cambios resistivos laterales.
13
12345678
n
(a) Wenner-alpha
12345678
n
(b) Wenner-Schlumberger
12345678
n
(c) Dipolo-dipolo
Figura 3.4 Patron de datos en una pseudoseccion electrica para los tres arreglos consi-derados,n representa el nivel necesario para obtener cada fila de datos.
El programa modificado para elaborar este trabajo, es compatible con los arrglos Wenner-alpha,
Wenner-Schlumberger y dipolo-dipolo.
3.3. Profundidad de investigacion
La maxima longitud del arreglo determina la profundidad depenetracion o investigacion, para
aumentar esta, la distacia entre los electrodos tiene que aumentar tambien. Edwards (1977) en-
contro relaciones lineales y factores que relacionan la longitud del arreglo con la profundidad
efectiva obtenida (ver tabla 3.1). Recientemente, Oldenburg y Li (1999) introdujeron un ındice
de profundidad de investigacion. Este ındice indica quetan relevante es un modelo a profundidad
obtenido con cierta tecnica de inversion y ayuda a reconocer que estructuras vienen dadas por los
parametros de inversion (i.e. parametros de amortiguacion) y no por estructuras en el subsuelo.
14
Tipo de arreglo Nivel PI/L
Wenner-alpha 0.173
Dipolo-dipolo 1 0.1392 0.1743 0.1924 0.2035 0.2116 0.216
Wenner-Schlumberger 1 0.1732 0.1863 0.1894 0.1905 0.1906 0.190
Tabla 3.1 Relacion entre la profundidad de investigacion (PI) y la longitud total delarreglo (L) (Edwards, 1977)
15
Capıtulo 4
Metodo radiomagnetotelurico (RMT)
El metodo radiomagnetotelurico es una tecnica electromagnetica en el dominio de la frecuencia.
Las fuentes empleadas son transmisores de radio remotos, que proveen ondas electromagneticas
planas con frecuencias entre 14 kHz y 250 kHz. Midiendo las componentes de los campos electricos
(E) y magneticos (H) en la superficie, es posible obtener la resistividad aparente del subsuelo y la
fase electromagnetica dependiente de la frecuencia. Paraextraer esta informacion es necesaria la
aplicacion de la teorıa electromagnetica. En este capıtulo se presenta un breve recorrido a traves de
los conceptos mas basicos necesarios.
4.1. Ecuaciones de Maxwell
Las bases de la teorıa electromagnetica son la ecuacionesde Maxwell. Ellas describen y go-
biernan el comportamiento de los campos electricos y magn´eticos.
∇×E = −∂B
∂t, [Ley de Faraday] (4.1)
∇×H = j +∂D
∂t, [Ley de Ampere] (4.2)
∇ · D = q, [Ley de Gauss] (4.3)
∇ · B = 0, [Ausencia de monopolos magneticos] (4.4)
16
donde
E es el campo electrico (V/m),
H es el campo magnetico (A/m),
B es la densidad de flujo magnetico (T),
D es el desplazamiento electrico (C/m2),
j es la densidad de corriente (A/m2) y
q es la densidad de carga (C/m3).
La induccion de los campos electromagneticos esta dada por la ley de Faraday (4.1) y la ley de
Ampere (4.2). El flujo electrico es descrito por la ley de Gauss (4.3) y la inexistencia de monopolos
magneticos aislados esta definida en la ecuacion 4.4.
Los campos vectoriales en estas ecuaciones (4.1 – 4.4) se acoplan gracias a lasrelaciones
constitutivas:
D = εE, (4.5)
B = µH, (4.6)
j = σE, (4.7)
donde las siguientes constantes son propiedades del medio
ε es la permitividad electrica (F/m),
µ es la permeabilidad magnetica (H/m) y
σ es la conductividad (S/m).
Las ecuaciones 4.1 – 4.4 pueden simplificarse aplicando las suposiciones listadas en la Tabla
4.1. Luego, usando las relaciones constitutivas 4.5 – 4.7 y despreciando el efecto de las corrientes de
17
Suposiciones del metodo RMT
a) Las ecuaciones de Maxwell se cumplen.b) La Tierra no genera energıa electromagnetica, solo ladisipa o absorbe.c) Todos los campos son conservativos y analiticamente lejos de la fuente.d) Los campos electromagneticos utilizados son generadospor transmisores
lejanos al area de estudio y pueden tratarse como ondas planas.e) No existe acumulacion de cargas libres dentro de una subsuelo unidimen-
sional estratificado. Sin embargo, cuando se consideran mas de una dimen-sion, las cargas pueden acumularse en las discontinuidades. Esto genera unfenomeno no inductivo, conocido comoruido estatico.
f) La carga se conserva y la Tierra se comporta como un conductor ohmico.g) A frecuencias suficientemente bajas, el desplazamiento del campo electrico
es quasi-estatico y las corrientes por desplazamiento sondespreciadas.h) A bajas frecuencias, cualquier variacion en las permitividades electricas y
permeabilidades magneticas se suponen despreciables en comparacion a lasvariaciones de resistividades.
Tabla 4.1 Suposiciones del metodo RMT (modificado de Simpson y Bahr (2005)).
desplazamiento (i.e.,∂D/∂t = 0), las ecuaciones de Maxwell pueden reescribirse de la siguiente
forma:
∇× E = −∂B
∂t, (4.8)
∇× B = µσE, (4.9)
∇ · E = q/ε, (4.10)
∇ · B = 0. (4.11)
4.2. Ecuaciones de difusion
Ahora es posible trabajar sobre las expresiones 4.8 – 4.11 para obtener las ecuaciones deE y
B. Usando la identidad vectorial∇× (∇×F) = ∇(∇ ·F) −∇2F y tomando el rotacional de las
ecuaciones 4.8 y 4.9, se obtienen las ecuaciones de difusion:
∇2E = µσ
∂E
∂t−∇(∇ ·E), (4.12)
∇2B = µσ
∂B
∂t−
µ
σ∇σ × j. (4.13)
18
Suponiendo ondas planas con una dependencia en el tiempo de la formaeiωt, las ecuaciones
4.12 y 4.13 pueden escribirse en el dominio de la frecuencia como:
∇2E = iωµσE−∇(∇ · E), (4.14)
∇2B = iωµσB−
µ
σ∇σ × j. (4.15)
Las soluciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden 4.14 y 4.15 son de la forma:
E = E0ei(ωt−kz), (4.16)
y B = B0ei(ωt−kz), (4.17)
donde k =√
−iωµσ o k = (1 − i)
√
ωµσ
2. (4.18)
4.3. Profundidad de penetracion (skin depth)
Los campos electricos y magneticos, como puede verse en las ecuaciones 4.16 y 4.17, decaen
cuandoz aumenta. La profundidad en que la amplitud disminuye en un factor igual a1/e, se define
comoprofundidad de penetracion (skin depthen ingles) y esta dada por la siguiente formula:
δ =
√
2
ωµσ, (4.19)
dondeω es la frecuencia angular de la onda incidente yσ la conductividad del medio (inverso de la
resistividad). Notese que la profundidad de penetraciondepende de las frecuencias utilizadas y la
distribucion de conductividades en el subsuelo.
Sin embargo, esta profundidad no es igual a laprofundidad de investigacion, la cual se define
segun Spies (1989) como la maxima profundidad a la que un cuerpo anomalo puede ser detectado
por una tecnica y frecuencia en particular. Para el caso magnetotelurico en general, el mismo esta-
blece que un estimado satisfactorio de la profundidad de investigacion, es 1.5 veces la profundidad
19
de penetracion:
δ = 1,5
√
2
ωµσ. (4.20)
La ecuacion 4.20 es considerada una buena aproximacion delas profundidades que pueden ser
alcanzadas efectivamente con el metodo RMT.
4.4. Funciones de transferencia
Las componentes horizontales del campo electromagneticose relacionan a traves deltensor de
impedancia:
Z =
Zxx Zxy
Zxx Zxy
, (4.21)
conEH = ZBH/µ:
Ex
Ey
=
1
µZ
Bx
By
. (4.22)
Esto puede simplificarse como
Z =
0 Zxy
Zxx 0
(4.23)
si en el caso 2D, el perfil considerado es perpendicular al rumbo de las estructuras en el subsuelo.
La componente vertical del campo magnetico se relaciona con las componentes horizontales, a
traves deltipper:
T =
A
B
, (4.24)
20
como puede verse en la siguiente ecuacion:
[
Hz
]
=1
µT
Bx
By
. (4.25)
Tambien puede ser simplificado para el caso 2D, dondeA = 0, y se relaciona con el modo TE (vea
seccion 4.5), ya que las ecuaciones 4.26 y 4.28 consideran las componentes verticales del campo
magnetico.
4.5. Modos TE y TM.
Consideremos ahora el caso presentado en la figura 4.1, dondela resistividad del medio ya no
es constante. Existe una discontinuidad vertical con rumboparalelo a la direccionx. La corriente
debe conservarse a traves de los bordes, lo que obliga a la componente perpendicular del campo
electricoEy a ser discontinua (jy = σEy). Si el cuerpo anomalo es significativamente mayor a la
profundidad de penetracion en la direccion del rumbo, no habran variaciones en los campos para-
lelos (i.e.∂/∂x = 0). Particularmente, considerando el caso 2D ideal donde loscampos electricos
y magneticos son ortogonales, las eacuaciones 4.8 y 4.9 pueden desacoplarse en dos modos inde-
pendientes.
Modo TE: donde las corrientes fluyen paralelamente al rumbo y el campomagnetico induci-
do es perpendicular y contenido en el plano vertical. La componente del campo electrico a lo
largo del rumbo,Ex, es continua a traves de la discontinuidad. Pero la densidad de corriente
j no lo es. Las variaciones en la impedancia, resistividad aparente y fase, son suaves. Las
21
ecuaciones desacopladas son:
∂Ex
∂y=
∂Bz
∂t, (4.26)
∂Ex
∂z=
∂By
∂t, (4.27)
∂Bz
∂y−
∂By
∂z= µσEx. (4.28)
Modo TM: con corrientes que fluyen a lo largo del borde y el campo magnetico es paralelo
al rumbo. En este casoj es continuo a traves de la discontinuidad yEx no lo es (jx = σEx).
La impedancia, resistividad aparente y fase no son suaves y presentan saltos discontinuos.
∂Bx
∂y= µσEz, (4.29)
−∂Bx
∂z= µσEy, (4.30)
∂Ez
∂y−
∂Ey
∂z=
∂Bx
∂t. (4.31)
Figura 4.1 Modos TE y TM en una discontinuidad vertical.
22
Capıtulo 5
Teorıa de inversion
Una vez discutidos las propiedades de las rocas y los metodos involucradas en este trabajo, es
conveniente mencionar los conceptos teoricos empleados.En este capıtulo se ofrece una descrip-
cion de la teorıa de inversion, la tecnica de descomposicion en valores singulares (SVD) utilizada
para calcular las inversiones, y finalmente, se comenta un m´etodo para analizar la resolucion y
varianza de los modelos estimados.
5.1. El problema de inversion
El geofısico usa su conocimiento en fısica para estimar las propiedades del subsuelo a partir
de observaciones en la superficie. El vınculo entre las observaciones o medidas y los parametros
estimados de un modelo del suelo, es un modelo fısico. En el caso mas general, la situacion puede
expresarse matematicamente como (Menke, 1989):
f(d,m) = 0, (5.1)
donded es el vector que contiene las medidas adquiridas,m es un vector con los parametros del
modelo yf contiene las ecuaciones implıcitas que relacionan a ambos(i.e. el modelo fısico).
23
Las ecuaciones contenidas enf pueden ser de cualquier tipo, y muy frecuentemente, muy com-
plicadas. El caso mas simple ocurre cuando la relacion entred y m es lineal y explıcita, entonces,
la ecuacion anterior (5.1) puede escribirse de la siguiente forma (Menke, 1989):
d −Gm = 0, (5.2)
que es el mas simple y estudiado problema de inversion.G es una matriz llamadakernel de datos
de dimensionN ×M , conN el numero total de datos existentes yM el numero de parametros del
modelo.
El objetivo de la inversion es encontrarm, a partir ded conociendoG, es decir,m = G−1d.
Este es elproblema inversoideal.
No todos los problemas tienen una solucion unica, o esta puede ser muy difıcil de encontrar.
Pero encontrar soluciones aproximadas puede ser posible y mucho mas sencillo. Entonces, la meta
es encontrar lamejorsolucion: un conjunto de parametrosm, que sean capaces de predecir obser-
vaciones sinteticasd muy cercanas a las observaciones realesd. En otras palabras, el objetivo es
obtener el vectorm que ocasione el menorerror predictivoe (Menke, 1989):
d− d = d −Gm = e. (5.3)
Existen varias formas para minimizare. Cada tecnica de inversion involucra unafuncion de
error dependiente dee, para ser minimizada de tal manera, que la solucion posea unas caracterısti-
cas determinadas.
5.2. El problema no lineal
Desafortunadamente, la mayor parte de los problemas de inversion no son lineales y no pueden
escribirse como en la ecuacion 5.2. Sin embargo, existe la posibilidad de aproximarlos a problemas
lineales semejantes. Una manera de hacerlo es expandiendo el sistema de ecuaciones no lineales
24
g(m) = d a traves del teorema de Taylor alrededor de un puntomn. Despreciando los terminos de
orden superior, el sistema linealizado es el siguiente (Menke, 1989):
g(m) ≈ g(mn) + ∇g[m− mn] = g(mn) + Gn[m− mn],
dondeGn es una matriz de derivadas comunmente llamada matriz de sensitividades enmn o Ja-
cobiano. Escogiendo∆mn+1 = m − mn, las ecuaciones aproximadas e iterativas son (Menke,
1989):
Gn∆mn+1 = d − g(mn), (5.4)
mn+1 = mn + ∆mn+1. (5.5)
Para resolver este problema linealizado, se requiere entonces una estimacion inicial demn.
Luego se aplican pequenas perturbaciones∆mn+1 en cada iteracion, hasta que el mınimo de la
funcion de error es encontrado.
La funcion de error de un problema no lineal, generalmente posee una forma irregular, puede
tener varios mınimos locales e incluso varios mınimos absolutos. Las ecuaciones iterativas anterio-
res (5.4 y 5.5) solo consideran el comportamiento de la funcion de error alrededor demn, no en su
totalidad. Esto implica que si la estimacion inicial demn no se encuentra lo suficientemente cerca
del mınimo global, la minimizacion de la misma solo encontrara un mınimo local y no sera capaz
de encontrar el mınimo absoluto (Menke, 1989).
Para asegurar el haber alcanzado un mınimo global, debe examinarse la funcion de error tratan-
do con diferentes estimaciones iniciales. Sin embargo, es practicamente imposible examinar con el
detalle requerido el comportamiento de toda la funcion.
25
5.3. Tipos de problemas inversos
La existencia o no de las soluciones de los problemas de inversion, provee un criterio para su
clasificacion. En este sentido, los problemas inversos pueden ser (Menke, 1989):
Indeterminados: cuando los datos no proveen suficiente informacion para obtener una solucion
unica del problema. Es posible encontrar multiples soluciones con un error de prediccion
igual a cero (e = 0).
Compatibles determinados: cuando existe la informacion suficiente en los datos para determi-
nar exactamente los parametros requeridos. El problema puede resolverse de forma exacta
(solucion unica cone = 0).
Sobredeterminados: cuando los datos contienen mas informacion de la necesaria para resolver
el problema de manera exacta. En consiguiente, es posible encontrar muchas soluciones,
pero ninguna con un error de prediccion igual a cero. Por lo que se requiere un criterio para
seleccionar lamejorsolucion.
De determinabilidad mixta: son una combinacion de problemas indeterminados y sobredetermi-
nados. Los datos proveen mucha informacion para calcular ciertos parametros y muy poca
para calcular otros.
Si el problema a invertir es compatible determinado y puede ser descrito por la ecuacion 5.2,
entonces se resuelve sencillamente invirtiendoG, ya que existe solo una solucion param:
m = G−1d. (5.6)
Notese queG debe ser cuadrada e invertible.
Cuando el problema no es de este tipo, se requieren tecnicasadicionales. Los parametros del
modelom se obtienen resolviendo:
m = G−gd, (5.7)
26
dondeG−g es denominado elinverso generalizadoen analogıa aG−1 en 5.6. El inverso generali-
zado puede derivarse a traves de diferentes metodos de inversion (Menke, 1989).
En el caso de problemas sobredeterminados e indeterminados, el metodo mas empleado consis-
te en la minimizacion de normas. La solucion de norma mınima se utiliza en casos indeterminados,
mientras que los mınimos cuadrados suelen utilizarse en problemas sobredeterminados. Para los
problemas mixtos, lo conveniente serıa dividirlos en problemas indeterminados o sobredetermna-
dos unicamente.
5.3.1. Problemas de inversion con determinabilidad mixta
Dado que los problemas de inversion mixtos son ciertamentelos mas comunes en el momento
de considerar datos reales, es conveniente discutirlos y entenderlos ampliamente para encontrar
la mejor forma de resolverlos. Una forma de abordar estos problemas, es separandolos en dos,
en problemas indeterminados y sobredeterminados, como se menciona en la seccion anterior. A
continuacion, se explora esta posibilidad, tal y como se encuentra en Menke (1989), desde un
punto de vista conceptual y haciendo uso de vectores espaciales.
Considerando el problema mixtoGm = d, se sabe que ciertos componentes dem no pueden
determinarse a partir ded (naturaleza indeterminada del problema) y, podrıa decirse, se hallan
dentro del espacio nuloS0(m), mientras que el resto de los parametros (aquellos que sı se pueden
determinar) pertenecen a un subespacioSp(m). Entonces se puede afirmar quem = mp + m0,
dondemp esta contenido enSp(m) y m0 enS0(m).
Como el problema en consideracion, es tambien parcialmente sobredeterminado, existen com-
ponentes end que no son abarcados por ningunm posible, y por tanto estan contenidas en el
subespacio nuloS0(d), mientras que las otras componentes pertenecen al subespacio Sp(d). Por
tanto y de manera analoga, se obtiene qued = dp + d0. Sustituyendo esta relacion y la anterior en
el problema considerado inicialmente, se obtiene:
G(mp + m0) = dp + d0, (5.8)
27
Restarıa entonces encontrar los subespaciosp y nulos, tanto para los datos como los parametros,
para dividir el problema mixto. Sin embargo, esta tarea no essencilla. Una forma de hacerlo es
aplicando una descomposicion en valores singulares (SVD).
5.4. Descomposicion en valores singulares (SVD)
La descomposicion en valores singulares (abreviada SVD por sus siglas en ingles), a veces
denominadadescomposicion espectral, es una descomposicion en autovalores. Puede utilizarse
sobre el kernel de datos para identificar (como se senala en la seccion anterior) los subespaciosp y
nulos (Menke, 1989). A continuacion una breve descripcion de esta tecnica.
Cualquier matriz puede escribirse como:
G = UΛVT , (5.9)
dondeG tiene dimensionN×M (como en la ecuacion 5.2),U es una matrizN×N de autovectores
que abarcan el espacio de datosS(d), V es una matrizM × M de autovectores que abarcan el
espacio de los parametrosS(m) y Λ es una matriz diagonalN × M de autovalores ordenados,
llamadosvalores singulares.
Algunos valores singulares deΛ pueden ser iguales a cero. Si existen solop autovalores ma-
yores a cero, la ecuacion 5.9 se convierte enG = UpΛpVTp , dondeΛp es la matriz diagonal con
todos los valores singulares distintos de cero,Up y Vp son las primerasp columnas deU y V,
respectivamente. Los otros vectores en las matrices se cancelan con los ceros enΛ, y G no contie-
ne informacion acerca de los subespacios que ellos abarcan, pues estos son los subespacios nulos
esbozados en la seccion 5.3.1.
La solucion del problema inverso planteado anteriormente(ecuacion 5.9) serıa entonces:
m = VpΛ−1p UT
p d. (5.10)
28
Puede demostrarse que el inverso generalizado de la ecuaci´on anterior (i.e.,G−g = VpΛ−1p UT
p ),
se corresponde con el de mınimos cuadrados para problemas sobredeterminados y al de la solucion
con norma mınima si son indeterminados.
Frecuentemente, los valores singulares enΛ decaen y son cada vez mas pequenos sin llegar a
ser iguales a cero. En dado caso, es conveniente establecer un valor de corte y considerar todos los
valores menores a el, iguales a cero. Al hacer esto, la solucion que se obtenga ya no es la verdadera
solucion del problema, sin embargo, sera una muy cercana aella si solo son despreciados valores
muy pequenos. Esta medida mejorara la varianza de los par´ametros que conforman la solucion,
pero su resolucion sera menor (ver seccion 5.5.3 y Menke 1989).
En vez de escoger un valor de corte abrupto para los valores singulares, es posible incluirlos
todos amortiguando los mas pequenos. Esto puede hacerse anadiendo un pequeno factorε2 a todos
los autovalores enΛ, que tendra un efecto despreciable en los valores grandes,pero prevendra que
los pequenos conlleven a grandes varianzas. La resolucion de la solucion sera inevitablemente
degradada (Menke, 1989). En este caso particular, el inverso generalizado se corresponderıa con el
de mınimos cuadrados amortiguados.
Tanto el valor de corte como el factor de amortiguamiento, juegan un papel muy importante
en el balance entre resolucion y varianza (ver la seccion 5.5.3). Si son muy grandes (i.e., pocos
valores singulares son incluidos), los parametros del modelo seran fuertemente afectados por el
modelo inicial. Si, en cambio, son muy pequenos, los parametros de la solucion seran muy ines-
tables (Pedersen, 2004). De cualquier manera, la truncamiento del espectro elimina efectivamente
los subespacios nulos, ası como tambien parte de la informacion del sistema (Muiuane y Pedersen,
2001).
5.5. Resolucion y varianza
Existen varias tecnicas para resolver un problema de inversion, estas tecnicas nos permiten
hacer un estimado de los valores reales de los parametros deun modelo. Sin embargo, estas es-
29
timaciones por sı mismas no aportan la informacion suficiente para dar por resuelto un problema
inverso. Es necesario reportar tambien alguna medida de precision y exactitud de los parametros
que conforman la solucion. Un modelo que carezca de estimaciones de calidad, es una solucion
incompleta, ya que no es posible saber que tan confiable es.
5.5.1. Resolucion
Los parametros reales de un modelo (mr) mantienen la siguiente relacion con los datos sin
ruido (dr), Gmr = dr. Sustituyendo esto en la ecuacion para el problema inverso5.7, donded
contiene ruido (i.e.,d = dr + n), se obtiene:
m = G−g(dr + n) = G−g(Gmr) + G−gn = Rmr + G−gn, (5.11)
dondeR se denominamatriz de resolucion del modeloo kernel de resolucion (Menke, 1989), e
indica la desviacion de los parametros estimados del modelo respecto a los reales y en que escala
estos estan bien determinados. En el caso particular SVD,se puede observar de las ecuaciones 5.9
y 5.10 que:
R = G−gG = VpVTp , (5.12)
y que la resolucion del modelo depende unicamente de los autovectores del modelo (Menke, 1989).
ComoM es el numero total de parametros,R es una matrizM × M . Si cada parametro es
perfectamente resuelto,R serıa la matriz identidad y los parametros estimados ser´ıan iguales a
los reales (i.e.,m = Imr ⇒ m = mr). Esto puede ocurrir siVp abarca todo el espacio de los
parametros del modelo (i.e.,p = M) (Menke, 1989). Entonces, los valores no diagonales enR son
usualmente diferentes de cero, indicando que un determinado parametro es realmente un promedio
pesado de varios parametros reales del modelo. Si alguno delos parametros no es resuelto, el valor
diagonal correspondiente sera igual a cero.
30
5.5.2. Varianza
Los datos (d) adquiridos en campo, siempre contienen ruido. Es imposible realizar medidas
que no sean influenciadas a cierto nivel por el entorno. Sabiendo esto, es de esperarse que los
ruidos contenidos end, afecten de alguna manera la estimacion de los parametrosdel modelo
(m) a obtener. Lamatriz de covarianza del modelo, explica como los errores end se propagan y
producen errores enm (Menke, 1989):
[covm] = G−g[covd]G−gT. (5.13)
La matriz de covarianza de los datos([covd]) es una matriz diagonal que contiene los cuadrados de
los errores en las mediciones (i.e., la varianza de cada componente ded). Los valores no diagonales
se igualan a cero al suponer que los datos no estan correlacionados.
De la ecuacion 5.13, puede observarse que los errores en el modelo dependen de los errores
de los datos, ası como de la forma en que los parametros son obtenidos de los mismos. En el
caso particular del inverso generalizado SVD, y suponiendodatos no correlacionados de varianza
uniformeσ2, la covarianza del modelo es:
[covm] = G−g[covd]G−gT= (VpΛ
−1p UT
p ) · (σ2I) · (VpΛ−1p UT
p )T
= σ2VpΛ−2p VT
p . (5.14)
Notese que la covarianza del modelo es muy sensible a los valores singulares mas pequenos (Men-
ke, 1989).
5.5.3. Equilibrio entre resolucion y varianza
La mejor solucion para el problema de inversion, serıa aquel conjunto de parametros que posea
la menor varianza y la mayor resolucion, sin embargo, esta situacion no ocurre con frecuencia.
El modelo con menor varianza, muy dudosamente poseera la mejor resolucion, pues esta decre-
31
ce cuando la varianza disminuye. La mejor solucion es entonces, aquella que presente un buen
equilibrio entre los valores de varianza y resolucion.
En el caso de la inversion con SVD, este equilibrio depende del punto de corte seleccionado
para igualar a cero los valores singulares. Kalscheuer y Pedersen (2007) muestran con las siguientes
expresiones iterativas el efecto del punto de corte en la resolucion y la varianza del modelo:
Rp+1 = VpVTp + vp+1v
Tp+1 = Rp + vp+1v
Tp+1, (5.15)
var(mk p+1) = var(mk p) +1
λ2p+1
v2k p+1, (5.16)
dondevp+1 es el autovector numero (p + 1) del modelo, var(mk p+1) es la varianza del parametro
numerok (i.e., el valor diagonal en la posicionk de la matriz de covarianza) yvk p+1 es lakesima
componente del autovectorp + 1 del modelo. Con estas expresiones (5.15 y 5.16), es muy senci-
llo ver como mejora la varianza anadiendo valores singulares al mismo tiempo que la resolucion
decrece, especialmente debido a queλp ≥ λp+1.
5.5.4. Analisis no lineal de resolucion y varianza
La resolucion y varianza de modelos estimados pueden analizarse tomando en cuenta la no
linealidad del problema de inversion. Una metodo para hacerlo fue desarrollado por Kalscheuer y
Pedersen (2007), se basa en una descomposicion en valores singulares truncada (TSVD) y obtiene
una descripcion simplificada de la superficie de confianza nolinal del problema. A continuacion se
anexa una breve explicacion del computo de esta superficie(ver Kalscheuer y Pedersen, 2007 y las
referencias que allı se encuentran).
En el caso de un problema lineal, la superficie de confianza en el espacio de los parametros es
un hiperelipsoide centrado en el modelo optimo. Este modelo posee el mınimo error posible para
un valor de truncamiento dado, y la superficie de confianza indica la distancia entre este modelo y
aquellos que presentan un error superior en cierta cantidad∆Q. Los semiejes del hiper-elipsoide
son paralelos a los autovectores del modelo y proporcionales al inverso del valor singular asociado.
32
En problemas no lineales, la forma de esta superficie es desconocida. La aproximacion propues-
ta consiste en un pseudo hiperelipsoide donde los semiejes paralelos al mismo autovector, poseen
longitudes diferentes (ver Figura 5.1). Entonces, se calculan las longitudes reales de los semiejes
entre el modelo optimo y la superficie de confianza, en direccion de los autovectores.
Figura 5.1 Ilustracion de la superficie pseudohiper-elipsoidal parados parametros,m1
y m2, como aproximacion a la superficie de confianza del problemanolineal. La lınea roja gruesa representa la verdadera superficie de confianza,el pseudo hiperelipsoide es descrito por la lınea delgada azul. Los ejesa1 ya2 se hallan en la direccion de los autovectoresv1 y v2, respectivamente.Los puntos extremosmmin
1 y mmax1 dem1 sobre el pseudo hiperelipsoide
sobrestiman y subestiman, respectivamente, la verdadera variabilidad delmodelo. (Kalscheuer y Pedersen, 2007).
5.6. Nota acerca de la raız cuadratica media (RMS)
La raız cuadratica media (o RMS por sus siglas en ingles) es utilizada para evaluar la bondad del
ajuste entre las predicciones realizadas a partir del modelo obtenido y los valores reales de datos.
Se define a traves de la siguiente expresion:
RMS =
√
(d− d)T (d− d)
N [covd], (5.17)
33
donde[covd] es la matriz diagonal que contiene las varianzas de los datos(como en la ecuacion
5.13),N es el numero de datos,d es el vector con todos los datos yd es el vector que contiene las
predicciones de datos o respuestas directas del problema.
Cuando el desajuste entre los datos calculados y reales, es en promedio igual al error asociado
a estos ultimos, el RMS sera igual a uno. Un RMS menor, indica que el modelo esta respondiendo
en parte al ruido, por lo que puede suceder que el RMS deseado en varias oportunidades no es 1,
sino un numero un poco mayor.
34
Capıtulo 6
El programa de inversion
Una vez expuestos los conceptos teoricos que sustentan el trabajo, se procede a detallar la
adaptacion del programa de inversion que permitira el c´omputo de modelos estimados de cada
metodo y su combinacion. Primeramente se presentan las modificaciones realizadas al programa
REBOCC (previamente alterado), luego las tres rutinas anadidas para el metodo CC y, finalmente
se describe la aplicacion del esquema de descomposicion en valores singulares truncada (TSVD).
6.1. REBOCC previamente modificado
El programa de inversion conjunta adaptado y desarrolladoen este trabajo, utiliza como base
el codigo de Siripunvaraporn y Egbert (2000), denominado REBOCC (Reduced Basis OCCam’s
inversion) que consiste en una inversion OCCAM de base reducida para el metodo magnetotelurico.
Este programa ha sido modificado en varias oportunidades, hasta alcanzar la version empleada para
la realizacion de este trabajo.
Esta version se halla escrita en FORTRAN95, contiene las modalidades de inversion originales
para el metodo magnetotelurico: TE y TM para los modos con el mismo nombre y TP para el tipper
(ver secciones 4.4 y 4.5). Ademas posee la modalidad denominada DET, que trabaja con el deter-
minante de los datos RMT, independientes de la orientaciondel perfil de adquisicion en relacion al
35
rumbo de las estructuras en el subsuelo. Cabe destacar que elprograma tiene la capacidad de reali-
zar inversiones simples para cada modalidad, o inversionesconjuntas para cualquier combinacion
de estas.
Adicionalmente, esta version de REBOCC, se encuentra acoplada a una rutina de inversion
alterna y un analisis de resolucion no lineal. Ambos procesos son opcionales y se realizan a traves
de la tecnica TSVD. De esta manera, el programa en cuestion, no solo invierte bajo el esquema
OCCAM de base reducida, sino que tambien ofrece la alternativa de inversiones TSVD, que es la
empleada en este trabajo (ver seccion 5.4, donde se muestran los detalles de la inversion TSVD
implementada). El analisis de resolucion opera de maneraindependiente.
6.2. Nuevas modificaciones
Para dar cabida a inversiones CC, son necesarias nuevas adaptaciones a este programa. Las
cuales se pueden resumir en:
1. La creacion de nuevas modalidades y estructuras de almacenamiento para los datos CC ad-
quiridos con diferentes arreglos.
2. La anadidura de las rutinas necesarias, propias del metodo CC analogas a las RMT ya exis-
tentes en REBOCC. Es decir, se requieren rutinas para el computo de las respuestas del
problema directo y la matriz de sensitividades del metodo CC. Adicionalmente, se precisa de
una tercera rutina para el computo de numeros de onda, que complementa a las dos primeras.
La Figura 6.1 muestra de manera esquematica el diseno del programa de inversion obtenido,
senalando ademas, las rutinas adicionales.
A continuacion se describen las adaptaciones senaladas anteriormente y cada una de las rutinas
anadidas.
36
Figura 6.1 Esquema general del programa de inversion empleado.
6.2.1. Tres modalidades para CC
Para que el programa de inversion admita datos electricosCC, se anaden nuevas modalidades
de inversion y las respectivas estructuras, que permiten el manejo de los datos electricos de manera
analoga a los electromagneticos. Las modalidades anadidas son:
DCW, para el arreglo Wenner-alpha.
DCS, para el arreglo Wenner-Schlumberger.
DCD, para el arreglo Dipolo-dipolo.
A estas modalidades le corresponden estructuras que, si bien tienen particularidades propias
del metodo CC, son completamente compatibles con las modalidades originales del metodo RMT.
Esto permite que el programa sea capaz de realizar inversiones simples de cualquiera de estas
modalidades e inversiones conjuntas de cualquier combinacion de estas con las originales.
6.2.2. Respuestas del problema directo CC
La rutina utilizada para calcular las respuestas CC de un modelo en particular, fue escrita en
FORTRAN por Naser Meqbel (Meqbel, 2006), calcula el potencial electrico en cada nodo de un
modelo 2D discretizado, utilizando el esquema de diferencias finitas desarrollado por Dey y Morri-
son (1979). Este esquema, considera la tridimensionalidadde la fuente y los potenciales generados,
37
para ello resuelve el sistema de ecuaciones diferenciales en el dominio del numero de onda, aplican-
do transformadas de Fourier en los potenciales a lo largo deleje perpendicular al modelo propuesto.
Luego, los potenciales son recuperados en el dominio del espacio con la transformada de Fourier
inversa.
La subrutina requiere como parametros de entrada la posicion de los electrodos de corriente (las
fuentes), el modelo discretizado (malla) con la distribucion de resistividades, ası como los numeros
de onda y los factores de conversion asocidos para obtener la transformada inversa de Fourier (estos
se calculan con la rutina para el numero de onda discutida enla seccion 6.2.4). El resultado final de
la rutina de respuestas electricas, es entonces el potencial electrico en cada nodo de la malla (ver
Figura 6.2).
Figura 6.2 Datos de entrada y de salida para la rutina de respuestas directas del metodoCC.
Una vez que los potenciales se hallan disponibles, se puedencalcular facilmente las resisti-
vidades aparentes para cada arreglo en particular (Wenner-alpha, Wenner-Schlumberger o dipolo-
dipolo) y un nivel especıfico con la ecuacion 3.4 y el factorgeometricoK correspondiente (ver
seccion 3.2). Un ejemplo de resistividades aparentes obtenidas con esta rutina, se encuentra en la
Figura 7.3.
6.2.3. Matriz de sensitividades CC
La rutina para el computo de sensitividades (o Jacobiano) en las modalidades CC, tambien
fue escrita en FORTRAN por Naser Meqbel, no emplea el metodopor peturbacion, ya que este
requiere el computo de las respuestas del modelo para cada parametro, lo que invierte mucho tiempo
computacional. Se utiliza en cambio, el principio de reciprocidad (Meqbel, 2006 y LaBrecqueet al.
38
, 1999), con el que la derivada del potencial en el nodoi debido al electrodo de corriente en el nodo
k se calcula con respecto a la conductividad de la celdaj. De esta manera, no se requieren calculos
adicionales de las respuestas del modelo o inversiones matriciales, ya que cada electrodo potencial
es usado tambien como electrodo de corriente y la matriz de problema directo es simetrica. Esto
ultimo es la expresion matematica de reciprocidad. Solo se requiere el calculo de las derivadas de
la matriz del problema directo con respecto a la conductividad de cada celda. Para mayor detalle
ver Meqbel (2006) and LaBrecqueet al. (1999).
Los parametros de entrada necesarios para esta subrutina son las resistividades aparentes, la
posicion de los electrodos, el modelo discretizado, los potenciales electricos y los numeros de onda
(ver seccion 6.2.4); que permiten la obtencion de una matriz de sensitividades para un conjunto
especıfico de parametros del modelo (ver Figura 6.3).
Figura 6.3 Datos de entrada y de salida para la rutina de sensitividadesdel metodo CC.
En la Figura 6.4 se muestran dos matrices de sensitividades calculadas con esta rutina para
diferentes niveles de un arreglo Wenner-alpha.
6.2.4. Rutina para el numero de onda
Esta rutina complementa las anteriormente discutidas al proveer parte de los parametros reque-
ridas por estas. Es detallada en Xuet al. (2000) y se implemento para calcular los numeros de
onda y los factores de conversion necesarios para obtener la transformada inversa de Fourier de los
potenciales electricos. Esta rutina utiliza un metodo deoptimizacion para seleccionar los numeros
de onda que proveen una transformada inversas precisa y satisfactoria.
La rutina requiere la longitud maxima y mınima de las celdas del modelo, ademas de la cantidad
39
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Número de nodos (horizontales)
Núm
ero
de n
odos
(ve
rtic
ales
)
−0.025
−0.02
−0.015
−0.01
−0.005
0
0.005
0.01
0.015
(a) Nivel 1
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Número de nodos (horizontales)
Núm
ero
de n
odos
(ve
rtic
ales
)
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
x 10−3
(b) Nivel 4
Figura 6.4 Matriz de sensitividades para dos niveles diferentes de un arreglo Wenner-alpha con un espacio caracterıstico de 4 celdas entre electrodos. Los cua-drados negros denotan las posiciones de los electrodos. La escala es adi-mensional y representa el cociente∂logρa/∂logρ.
de numeros de onda deseados, para entregar los numeros de onda y los factores de conversion (ver
Figura 6.5).
Figura 6.5 Datos de entrada y de salida para la rutina de numeros de onda.
El algoritmo permite la seleccion de la cantidad de numeros de onda,n, con el cual el intervalo
(0,∞) sera discretizado. Se establecio por defecton = 7, que es el valor sugerido por Xuet al.
(2000) para un modelo de 1000 m de longitud (como el adoptado posteriormente para este trabajo,
ver capıtulo 7). Para comparar la influencia de este parametro, se calculo la diferencia entre las
respuestas directas de un semiespacio de resistividad constante de 100Ωm conn igual a 4 y 7 (ver
Figura 6.6). Se observo que las diferencias no son mayores a±3Ωm.
6.3. Descomposicion en valores singulares truncada (TSVD)
A continuacion se describe el esquema de inversion TSVD acoplado a REBOCC, el cual se
utiliza para realizar las inversiones del capıtulo siguiente. Dado que los problemas de inversion
40
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Niv
el
0 100 200 300 400Distancia horizontal (m)
−3.0−2.5
−2.0−1.5−1.0−0.5
0.00.51.01.5
2.02.53.0
∆ρapp (Ω
m)
Figura 6.6 Diferencia entre respuestas directas de un semiespacio homogeneo de 100Ωm con un arreglo Wenner-alpha de 10 niveles y discretizaciones en elintervalo(0,∞) de 4 y 7 numeros de onda. Las diferencias no son mayoresa±3Ωm.
CC y RMT no son lineales, han de resolverse con las ecuacionesiterativas 5.4 y 5.5, del problema
linealizado. Descomponiendo la matriz de sensitividadesGn en valores singulares (i.e.,Gn =
UΛVT y considerando la expresion 5.10, el problema inverso es:
∆mn+1 = VpΛ−2p UT
p ∆dn. (6.1)
Dondep es el valor de truncamiento,∆mn+1 es la diferencia entre el modelo previo y el modelo a
estimar, y∆dn es la diferencia entre los datos y las respuestas directas del modelo previo.
Entonces, el proceso de inversion comienza con un modelo inicial y un valor de truncamiento
determinado, que permiten el calculo de∆mn+1, es decir, de la perturbacion del modelo. Con la
cual se modifica el modelo previo para obtener un modelo estimado y dar inicio a otra iteracion.
A traves de iteraciones sucesivas los parametros del modelo van cambiando hasta obtener aquel
conjunto de parametros que mejor se ajuste a los requerimientos. En este caso, aquel que posea un
RMS cercano a 1,10.
Para regular la inversion y garantizar su convergencia, seespecula con ciertos parametros como
el factor de amortiguacion y el valor de truncamiento. Lo que resulta en una rutina con tres ciclos:
41
uno que incrementa el valor de truncamientop cada vez que se halla un mınimo con un RMS
asociado mayor al requerido; otro que itera conp constante hasta encontrar un mınimo; y el ultimo,
que incrementa el factor de amortiguamiento cada vez que el modelo mas reciente posea un RMS
superior al anterior (ver Figura 6.7).
42
Figura 6.7 Diagrama de flujo simplificado de la rutina de TSVD. Los valores con *estan definidos por el usuario. RMS* es el RMS deseado y RMSdif es lamınima diferencia requerida para considerar dos RMS distintos.
43
Capıtulo 7
Las inversiones
Se diseno un modelo para simular datos CC y RMT. Con estos datos sinteticos se llevaron
a cabo tres inversiones: CC, RMT y la combinacion de ambas, que luego fueron sometidas a un
analisis de resolucion. En este capıtulo se discutiranlas respuestas directas y los productos de la
inversiones, dejando para el siguiente el analisis de resolucion.
7.1. El modelo sintetico
Se utilizo un modelo con estructuras conductivas y resistivas embebidas en un medio de resisti-
vidad intermedia, para comparar las propiedades de resolucion de ambos metodos, CC y RMT. El
modelo se muestra en la Figura 7.1 y consiste en un semiespacio homogeneo de 100Ωm, con una
caja conductiva y otra resistiva de 10 y 1000Ωm, respectivamente. El tope de las cajas se halla a
10 m de profundidad y su base alcanza los 40 m. El espacio entreellas es de 50 m.
El modelo se discretizo en una malla con celdas cada vez masamplias hacia los lados y la
base, para simular bordes en el infinito y permitir la aplicacion de un esquema de diferencias finitas
(Apreaet al. , 1997; Dey y Morrison, 1979). La longitud total de la malla es1015 m en direccion
horizontal y esta dividida en 126 celdas, de las cuales, 106en el centro son de extension reducida y
constante (5 m). La maxima profundidad es de 211 m con 23 nodos. La alura de las celdas nunca es
44
0
20
40
60
80
100
Pro
fund
idad
(m
)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
2.50
2.75
3.00
log10 ρ(Ω
m)
Figura 7.1 Modelo sintetico utilizado para generar datos. La resitividad del medio esde 100Ωm mientras que la resistividad de los bloques es de 10 y 1000Ωm,respectivamente. Los triangulos negros en el tope indicanla posicion de loselectrodos CC.
constante y aumenta con la profundidad, siendo medio metro en la superficie y 25,7 m en la base.
El numero total de celdas es 126× 22 = 2772 (ver Figura 7.2). Los bloques se ubican en el centro
del mallado.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
0
50
100
150
200
Longitud del perfil (m)
Pro
fund
idad
(m
)
Malla empleada
Figura 7.2 Malla utilizada para los modelos discretos. Las celdas anchas de los ladostienen una extension variable y ocupan 240 m, mientras que las celdas finas(5 m) del centro se extienden a lo largo de 630 m. La longitud vertical encada celda aumenta con la profundidad y se mantiene constante solo dentrode una misma fila.
45
7.2. Datos sinteticos
En el caso del metodo CC, se calcularon las resistividades aparentes para un arreglo Wenner-
alpha con un espaciado de 10 m (i.e., dos celdas entre electrodos). Para cubrir un perfil de 400 m
sobre los bloques se utilizaron 40 electrodos. Se simularon7 niveles para un total de 196 medi-
ciones, las cuales se contaminaron con 2 % de ruido Gaussiano(ver Figura 7.3). La profundidad
de investigacion esperada para este arreglo (usando la Tabla 3.1) esta alrededor de los 36 m, mas
somera que la base de los bloques en el modelo sintetico (Figura 7.1).
1
2
3
4
5
6
7
Niv
el
0 100 200 300 400Distancia horizontal (m)
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
log10 ρ
app (Ω m
)
Figura 7.3 Datos sinteticos CC del modelo presentado en la Figura 7.1 con un arregloWenner-alpha de 40 electrodos y 7 niveles, mas un 2 % de ruidoGaussianoanadido. Los triangulos negros en el tope senalan la posicion de los electro-dos.
Para los datos RMT, solo se simularon datos del modo TE. Se situaron 15 estaciones con un
espaciamiento de 20 m (i.e., 4 celdas entre estaciones) y se utilizaron 10 frecuencias contenidas en
la banda 14 - 250 KHz (ver Tabla 7.1), generando 300 mediciones, 150 de resistividad aparente y
150 de fase. A todos los datos se les anadio ruido Gaussiano, 4 % a las resistividades y1, 1 a la
fase.
La profundidad de investigacion calculada para un medio homogeneo de 100Ωm con 14 KHz
de frecuencia (la menor frecuencia utilizada) es de aproximadamente≈ 60 m. Por tanto, esta tecnica
deberıa ser capaz de detectar la base de la caja resistiva, sin embargo, lo mismo no puede esperarse
del bloque conductor, ya que bajas resistividades disminuyen la profundidad de penetracion. Esto
46
104
105
Fre
cuen
cias
(H
z)
0 100 200 300 400Distancia horizontal (m)
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
log10 ρ
app (Ω m
)
(a) Resistividad aparente
104
105
Fre
cuen
cias
(H
z)
0 100 200 300 400Distancia horizontal (m)
35.037.540.042.545.047.550.052.555.057.560.062.565.0
Phase φ(°)
(b) Fase
Figura 7.4 Datos RMT sinteticos para el modo TE obtenidos a partir del modelo en laFigura 7.1 con 15 estaciones, 10 perıodos y 4 % de ruido Gaussiano. Lostriangulos negros en el tope senalan la posicion de las estaciones.
puede ser observado en la Figura 7.4, donde se muestran los datos RMT sinteticos. La base del
conductor no parece visible, mientras que la base del resitor sı, ya que las resistividades aparentes
vuelven a adquirir valores bajos.
Frecuencias (KHz)
14000208822578132620426175800783531130517180000232030
Tabla 7.1 Frecuencias usadas para simular datos RMT del modo TE.
7.3. Productos de la inversion
Con los datos sinteticos descritos anteriormente, se realizaron tres inversiones: a) inversion CC
simple, b) inversion RMT simple y c) inversion conjunta dedatos CC y RMT. Los parametros ini-
47
ciales para todas las inversiones fueron los mismos: un semiespacio homogeneo de 50Ωm como
modelo previo, un valor de truncamiento (p) igual al numero de estaciones y electrodos y un incre-
mento de este (∆p) igual a la mitad del valor inicial. Este ultimo fue alterado en ciertas ocasiones
de acuerdo al desarrollo de la inversion, para alcanzar el RMS deseado. Los modelos resultantes se
muestran en las Figuras 7.6 a 7.8 y en la Tabla 7.2.
Tanto en la inversion conjunta como en la RMT simple, los modelos resultantes alcanzan el
RMS deseado de 1,10 (ver Tabla 7.2). El modelo CC simple tieneun RMS mayor, ya que el in-
cremento mas pequeno del nivel de truncamiento, ocasionaba un RMS mucho menor y menos
conveniente (ver Figura 7.5). El nivel de truncamiento seleccionado para cada modelo fue diferen-
te, pues cada inversion contaba con un numero distinto de datos, lo que ocasiona que el decaimiento
del RMS en cada proceso sea diferente, como se evidencia en laFigura 7.5.
Cantidad de datos Valor de truncamiento RMS
DC 196 87 1.18RMT 300 40 1.10
Conjunta 496 108 1.10
Tabla 7.2 Resumen de los resultados de inversion mostrando el numero total de datoscalculados para cada tecnica, el nivel de truncamiento empleado en cadainversion y el RMS asociado de los modelos estimados.
La Figura 7.5 muestra como el RMS decrece con el aumento del nivel de truncamiento. La
inversion RMT simple reduce considerablemente el RMS con un nivel de truncamiento pequeno,
utilizando unicamente 13 % de los valores singulares para alcanzar el RMS igual a 1,10. La in-
version CC simple, necesita incluir mas valores singulares, 44 %, para alcanzar un valor similar.
Finalmente, en la inversion conjunta, el RMS decae rapidamente con los primeros valores singula-
res y luego lentamente con un nivel de truncamiento mayor. Elnumero de autovectores incluidos
en la inversion conjunta es igual a 22 % del numero total de datos.
Prestando atencion a las resistividades, los tres modelosresultantes comparten las mismas ca-
racterısticas principales y son muy parecidos a grosso modo. Sin embargo, cada uno de ellos tiene
48
0 20 40 60 80 100 120 1400
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Nivel de truncación
RM
S
CCRMTConjunta
Figura 7.5 Decaimiento del RMS en las tres inversiones con el incremento del nivel detruncamiento. Los cırculos muestran los modelos seleccionados y la lıneadiscontinua senala el valor RMS igual a 1,10. En el caso de CCno fueposible encontra un modelo que coincidiera exactamente conesta lınea.
ciertas diferencias, especialmente cerca del borde de las estructuras. A continuacion se presenta
una breve descripcion de las diferencias entre los modelos.
Inversion CC simple
En el modelo obtenido con los datos electricos (ver Figura 7.6), pueden distinguirse claramente
los dos bloques originales. Sin embargo, tambien se observan ciertas estructuras resistivas alre-
dedor del conductor que no existen inicialmente. Las caracterısticas de los bloques en el modelo
recuperado, difieren en ciertos apectos de los originales, como se expresa a continuacion:
El resistor es mas ancho y profundo en la base y el tope es 5 m m´as somero que en el modelo
sintetico.
El tope del conductor es tambien mas somero, ası como su base (8 m menos profundo).
La resistividad del conductor esta dentro del rango de 30Ωm y 3 Ωm. Para el resistor, las
resistividades varıan entre 300 y 600Ωm.
49
0
20
40
60
80
100
Pro
fund
idad
(m
)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450Distancia horizontal (m)
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
2.50
2.75
3.00
log10 ρ(Ω
m)
Figura 7.6 Modelo producido en la inversion CC simple, a partir de los datos sinteticosobtenidos del modelo mostrado en la Figura 7.1 con un arregloWenner-alpha. Los triangulos negros en el tope senalan la posici´on de los electro-dos. Se observa que la inversion recupero efectivamente la resitividad de100Ωm alrededor de las estructuras, sin embargo, no recupero laposicioncorrecta de sus topes, ubicandolos a 5 m de profundidad en vez de a 10 m.La base del resistor es difuminada considerablemente.
Los 100Ωm de resistividad del medio que embebe las estructuras en el modelo original, se
recupera unicamente alrededor del resistor, los artefactos resistivos y cerca de la superficie.
La resitividad en el area debajo de los electrodos hasta los100 m de profundidad y alrede-
dor de las estructuras, varıa entre 50Ωm (la resistividad del modelo inicial) y 100Ωm (la
resitividad del modelo sintetico).
Inversion RMT simple
En el modelo RMT (Figura 7.7), tambien se distinguen los bloques, sin embargo, la resistivi-
dad de fondo difiere significativamente del modelo verdadero. Los valores cercanos se encuentran
unicamente alrededor de las estructuras, exceptuando la parte inferior del conductor, donde la re-
50
0
20
40
60
80
100
Pro
fund
idad
(m
)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Distancia horizontal (m)
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
2.50
2.75
3.00
log10 ρ(Ω
m)
Figura 7.7 Modelo estimado en la inversion RMT simple a partir de los datos sinteticosobtenidos del modelo mostrado en la Figura 7.1 para el modo TEunicamen-te. Los triangulos negros en el tope senalan la posicion de las estaciones demedicion. El tope del conductor y la base del resistor se hallan bien defi-nidos y correctamente localizados. Sin embargo, la resistividad del medioque rodea las estrucuturas, fue pobremente recuperada, as´ı como la base delconductor no es alcanzada y el tope del resistor no esta bienprecisado.
sitividad obtenida es de 50Ωm (igual al modelo inicial). Lo que indica que se posee muy poca
informacion de estas celdas. A diferencia del modelo calculado con los datos CC, no se presentan
estructuras resistivas cerca de la superficie del lado del conductor.
Las principales caracterısticas de este modelo, en relacion al sintetico, son:
La base del conductor es completamente desconocida, sin embargo, su tope se halla muy bien
definido y en la misma posicion que en el modelo original.
El resistor es mas delgado y somero en el tope, y a la vez mas ancho en la base, la cual se
encuentra en la posicion correcta (40 m de profundidad).
Las resistividades atribuidas al conductor se encuentran entre 50 y 3Ωm y al resitor, entre
170 y 300Ωm. La de este ultimo es muy baja en comparacion a los 1000Ωm que posee esta
51
estructura en el modelo original. Esto ocurre, debido al usodel modo TE, que por lo general
no favorece a las estructuras resistivas.
La resitividad de fondo se recupera bastante bien alrededordel resistor, del lado izquierdo
del conductor y cerca de la superficie.
Inversion conjunta
0
20
40
60
80
100
Pro
fund
idad
(m
)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Distancia horizontal (m)
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
2.50
2.75
3.00
log10 ρ(Ω
m)
Figura 7.8 Modelo producido en la inversion conjunta a partir de los datos sinteti-cos obtenidos del modelo mostrado en la Figura 7.1. Los triangulos negrosen el tope senalan unicamente la posicion de las estaciones de medicionRMT. La resistividad de fondo es ampliamente recuperada y las estructu-ras estan bien definidas. Sus topes se hallan correctamenteubicados a 10 mde profundidad, mientras que sus bases se encuentran 10 m mas y menosprofundas,para el resitor y el conductor respectivamente.
El modelo obtenido de la inversion conjuta (Figura 7.8) muestra los dos bloques con algunas
distorsiones, pero se hallan significativamente mejor definidos que en los resultados previos. Los
aspectos mas remarcables son:
52
Existen pequenos artefactos resistivos cerca de la superficie, mucho mas pequenos que en el
modelo CC.
El tope del conductor esta ubicado correctamente, pero su base se desconoce. Solo la primera
mitad de la estructura es detectada propiamente.
El resistor se halla bastante bien definido en tamano y forma. La base es correctamente loca-
lizada, aunque un poco dispersa. La mitad inferior del bloque es 30 m mas ancha que en el
original, mientras que la parte superior presenta el ancho correcto. El tope se encuentra 5 m
mas somero, pero su forma es bastante parecida a la del original.
Las resistividades estan entre 2 y 50Ωm para el conductor y entre 200 y 900Ωm para el
resistor. Mucho mejor definidas que en los otros modelos en elcaso particular del resitor.
El medio que contiene a los bloques se recupera mucho mejor enesta inversion que en las
demas. Presenta un resistividad cercana a los 100Ωm en un area mucho mas amplia, inclu-
yendo la parte inferior al conductor.
53
Capıtulo 8
Analisis de resolucion
Para ver que tan confiables son los modelos estimados durantela inversion, se realizo un analisis
de resolucion no lineal (ver seccion 5.5.4). A continuacion se discuten los resultados arrojados y el
comportamiento de los semiejes lineales y no lineales. Tomese en cuenta que los semiejes lineales
son el inverso de los valores singulares.
8.1. Valores singulares
Para comparar el comportamiento de los valores singulares en las tres inversiones (CC, RMT
y conjunta), estos fueron calculados para las tres situaciones considerando el modelo original (Fi-
gura 8.1). Se observa que los valores RMT presentan el mas r´apido decaimiento y que, como se
esperaba, los autovalores de la inversion conjunta son losmas elevados, pues el problema esta mas
constrenido.
Estudiando el comportamiento de las curvas con mayor cuidado, se advierte que los autovalores
iniciales del problema combinado siguen muy de cerca los delproblema CC, para luego desviarse
sin presentar parecido alguno con las otras curvas. Esta desviacion ocurre justamente cuando los
autovalores RMT y CC alcanzan valores parecidos.
El hecho de que los valores singulares CC no decaen tan rapido como los RMT, puede deberse
54
0 100 200 300 400 50010
−10
10−8
10−6
10−4
10−2
100
102
Index
Sin
gula
r va
lues
DCRMTJOINT
Figura 8.1 Valores singulares del modelo sintetico para las tres tecnicas. Se observacomo los autovalores RMT decaen con mayor rapidez que los otros. Losvalores singulares iniciales en el caso CC son muy similaresa los del casoconjunto.
a la mejor resolucion que esta tecnica presenta de la resistividad de fondo. Como puede verse en los
modelos estimados (Figuras 7.6 y 7.7) el metodo CC recuperaen una mayor extension la resistivi-
dad de 100Ωm propia del medio que rodea a los bloques. Otra particularidad del comportamiento
de los autovalores en el caso CC, es que decaen con mayor pendiente durante un corto intervalo
despues de los 50 primeros valores, presentando una especie de escalon.
8.2. Semiejes no lineales
Como en el caso de los valores singulares, los semiejes no lineales se calcularon en relacion
al modelo sintetico, estos se muestran en la Figura 8.2. Elcomportamiento general es bastante
consistente con los discutido anteriormente para los valores singulares: los semiejes RMT crecen
con mayor rapidez que los asociados a la inversion conjuntay CC, estos ultimos son muy parecidos
hasta el semieje numero 50, donde los correspondientes al metodo CC, presentan un cambio en la
pendiente y se separan.
Todos los semiejes alcanzan un punto en el que empiezan a oscilar a la vez que crecen muy
55
0 100 200 300 400 50010
−2
10−1
100
101
Index
Sem
i−ax
es
DCRMTJOINT
Figura 8.2 Semiejes no lineales para las tres tecnicas con respecto almodelo sintetico.El comportamiento de los primeros semiejes es practicamente igual al delos valores singulares. Las oscilaciones en el ultimo segmento, se deben ala no linealidad de los problemas de inversion.
lentamente. Este comportamiento es atribuido a la no linealidad de los problemas de inversion.
El calculo de estos semiejes se lleva a cabo despreciando larotacion de los autovectores de los
parametros del modelo en su espacio, cosa que ciertamente ocurre en los problemas no lineales.
Este argumento se ilustra claramente al comparar los semiejes lineales y no lineales (Figuras 8.3(b)
y 8.3(c)), donde se observa que los semiejes no lineales no presentan oscilaciones mientras sean
iguales a los lineales.
8.3. Comparacion entre semiejes lineales y no lineales
En las Figuras 8.3(b) y 8.3(c) se muestran los semiejes lineales y no lineales para cada proce-
so de inversion. El comportamiento general en cada caso es bastante similar, ambos semiejes son
practicamente los mismos para los valores singulares iniciales. Luego, los semiejes lineales conti-
nuan creciendo mientras que los no lineales parecen mantenerse a longitud constante y empiezan
a mostrar oscilaciones causadas por la no linealidad del problema. Este comportamiento de los se-
56
−1
0
log 1
0(s)
100 200singular value no.
(a) CC. Los semiejes divergen alrededor del valor sin-gular numero 130, cuando su longitud es todavıa infe-rior a uno.
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
log 1
0(s)
100 200 300 400singular value no.
(b) RMT . Los semiejes son practicamente los mismoshasta aproximadamente el autovalor numero 60, don-de los semiejes lineales continuan su crecimiento y losno lineales practicamente dejan de crecer.
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
log 1
0(s)
100 200 300 400 500 600 700singular value no.
(c) Conjunta. Como en los casos CC y RMT, los se-miejes lineales y no lineales son los mismos hasta elvalor singular 150.
−1
0
1
2
3
4
log 1
0(s)
100 200 300 400singular value no.
(d) CC ampliado. Se anadieron 9 electrodos y 3 ni-veles para obtener 325 datos. Se observa que el com-portamiento es bastante similar al presentado por lossemiejes del metodo RMT.
Figura 8.3 Semeiejes lineales y no lineales de los tres problemas de inversion parael modelo sintetico y para el problema CC considerando masdatos. Laslıneas rojas representan los semiejes lineales y las lıneas verdes y azules losno lineales.
57
miejes no lineales se corresponde bastante bien con los descubrimientos de Kalscheuer y Pedersen
(2007) para el caso RMT.
Para las tecnicas RMT y CC, los semiejes empiezan a divergirantes de que su longitud sea
mayor a 1. Esta divergencia ocurre mas rapido en los semiejes asociados a RMT que en los corres-
pondientes a CC, por lo que este ultimo incluye mas semiejes lineales, confirmando la creencia de
que este problema es mas lineal que el RMT (e.g. Friedel, 2003).
Para hacer una comparacion justa al respecto, se introdujouna figura adicional (Figura 8.3(d))
que contiene los semiejes lineales y no lineales de un problema inverso CC, considerando el mismo
modelo sintetico, pero con mas datos. Se anadieron 9 electrodos y 3 niveles, obteniendo un total
de 325 datos, una cantidad mas similar a los datos utilizados en RMT (300). Al comparar la nueva
Figura 8.3(d) de semiejes CC, con la Figura 8.3(b) de semiejes RMT, se observa claramente como la
no linealidad del problema RMT aparece mucho antes, presentando una menor cantidad de semiejes
lineales.
En particular, comparando las Figuras 8.3(a) y 8.3(d), que representan los semiejes CC para
menor y mayor cantidad de datos, respectivamente, se observa que la divergencia ocurre cerca
del mismo valor singular (≈ 130). Deberıa hacerse la misma prueba en el caso RMT con mas
estaciones y frecuencias.
8.4. Kernels de resolucion
Para completar el analisis, se computaron los kernels de resolucion de 10 celdas para cada
proceso de inversion, utilizando los mismos niveles de truncamiento que en los modelos estimados.
En la Figura 8.4 se muestra la posicion de las celdas analizadas. Cinco de ellas son someras y las
otras cinco profundas. Dos se hallan a 50 m de distancia del l´ımite izquierdo del bloque conductivo,
para estudiar las propiedades de resolucion con una reducida influencia de las estructuras presentes.
Las otras se encuentran en el tope y la base de los bloques, as´ı como encima y debajo de ellos, para
estudiar la definicion de los bordes.
58
0
20
40
60
80
100
Pro
fund
idad
(m
)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450Distancia horizontal (m)
1
2 6
5
43 7
8
9
10
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
2.50
2.75
3.00
log10 ρ(Ω
m)
Figura 8.4 Las diez celdas analizadas en el modelo sintetico
En la Tabla8.1, se encuentra un pequeno resumen de las propiedades de resolucion de cada
celda para cada modelo. Esta tabla provee una vision general del analisis de resolucion, mostrando
las longitudes de resolucion y las varianzas asociadas a cada celda. Las varianzas se calcularon con
el mismo nivel de truncamiento empleado para los kernels de resolucion y los modelos estimados.
Cabe destacar que las longitudes de resolucion son propiedades aproximadas, que intentan expresar
que tan dispersa se halla la resolucion de un parametro enuna direccion particular y no son tan
confiables como los mismos kernels de resolucion de donde sededucen. Por lo tanto, estos ultimos
se encuentran anexados en el Apendice.
Para comparar propiamente las propiedades de resolucion de diferentes celdas, sus varianzas
asociadas deben ser similares. Esto se debe a que, como se discute en la seccion 5.5.3, las mejoras
en la varianza conducen a un deterioro de la resolucion y viceversa, de tal manera que la unica
forma de evaluar en base a estos parametros, es manteniendoalguno de ellos fijo. Como puede
verse en la Tabla 8.1, este no es el caso, las varianzas de las celdas analizadas no coinciden. Sin
embargo, realizando un estudio cuidadoso de las propiedades de las celdas, se pueden obtener
algunas conclusiones.
En primer lugar se observa que las celdas con mayor resoluci´on pertenecen al modelo estimado
con el metodo RMT. Las longitudes de resolucion obtenidasen casi todas las celdas para este caso,
59
Celda Modelo CC Modelo RMT Modelo conjunto
Varianza 1,09 1,06 1,25Longitud horizontal 1 137,57 82,74 185,86Longitud vertical 53,27 22,51 22,85
Varianza 1,02 1,01 1,03Longitud horizontal 2 312,77 271,55 251,06Longitud vertical 53,27 37,89 60,69
Varianza 1,06 1,09 1,13Longitud horizontal 3 150,94 46,41 64,44Longitud vertical 18,82 15,72 16,57
Varianza 1,14 1,11 1,24Longitud horizontal 4 211,36 38,98 82,29Longitud vertical 30,50 19,16 19,90
Varianza 1,03 1,01 1,05Longitud horizontal 5 251,87 97,32 279,45Longitud vertical 45,28 28,54 62,73
Varianza 1,01 1,00 1,03Longitud horizontal 6 289,87 265,16 331,25Longitud vertical 57,27 44,56 70,09
Varianza 1,09 1,05 1,12Longitud horizontal 7 159,62 38,07 98,83Longitud vertical 22,54 17,36 18,04
Varianza 1,09 1,04 1,17Longitud horizontal 8 198,87 49,25 118,02Longitud vertical 26,89 21,14 21,08
Varianza 1,03 1,04 1,10Longitud horizontal 9 236,12 175,49 217,10Longitud vertical 60,56 49,24 53,93
Varianza 1,02 1,03 1,06Longitud horizontal 10 250,58 325,22 257,94Longitud vertical 71,99 53,80 71,36
Tabla 8.1 Para facilitar la interpretacion se reunieron las longitudes de resolucion y lasvarianzas de cada celda en esta tabla. Se debe tener en cuentaque las lon-gitudes de resolucion no son tan fidedignas como los kernelsde resolucion(ver Apendice) y que las varianzas se hallan expresadas en funcion del loga-ritmo en base 10 de la resitividad (i.e., el parametro se encuentra en el rango[log ρ − varianza, log ρ + varianza]).
60
son mucho mas pequenas que las asociadas a los otros modelos estimados, presentando al mismo
tiempo varianzas menores o iguales.
En el modelo estimado con los datos electricos, todas las celdas someras tienen una mejor reso-
lucion que las profundas. A excepcion de la celda 4, en el tope del conductor, donde la resolucion
no es tan buena. Esta ultima presenta longitudes de resolucion mayores a las otras celdas someras
(1, 3, 7 y 8) y al mismo tiempo posee mayor varianza. Lo que indica que el metodo CC detecta
mucho mejor los cuerpos resistivos que los conductivos en elmodelo particular aquı empleado.
Las celdas mas profundas (2, 6 y 10), como se esperaba, no poseen buena resolucion en el
modelo estimado CC. La profundidad de investigacion teorica es de 36 m en el centro del perfil
(ver secciones 3.3 y 7.2) y estas celdas se hallan a 50 m de profundidad. Las celdas 5 y 9 (20 m
menos profundas que las anteriores) tienen una resolucionun poco mejor, como puede observarse
en los kernels de resolucion (ver Figuras A.5 y A.9 en el apendice).
La situacion es similar en el modelo RMT estimado. Las longitudes de resolucion son pequenas
en todas las celdas someras y las varianzas se mantienen bastante constantes exceptuando las celdas
en el tope y sobre el conductor (3 y 4), donde son significativamente mas grandes. Lo que indica
que la resolucion en estas celdas no puede ser tan buena comoen las otras.
Se esperaba que el modo TE lograra resolver la celda profundaa 50 m del lımite izquierdo del
conductor (celda 2) y aquellas en la base y debajo del resistor (celdas 9 y 10), ya que la profundidad
de investigacion hipotetica es de 60 m en estas areas. Sinembargo, la resolucion es bastante pobre.
En el caso de las celdas en la base y debajo del conductor, la falta de resolucion se debe a la baja
conductividad de la estructura suprayacente (ver seccion4.3).
Las varianzas asociadas a las celdas del modelo estimado conla inversion conjunta, son signifi-
cativamente diferentes, lo que obstaculiza cualquier estudio comparativo. Es imposible afirmar que
el grupo de celdas someras (1, 3, 4, 7 y 8) posee mejor resolucion que las celdas profundas (2, 5, 6,
9 y 10). Sin embargo, es posible realizar comparaciones dentro de estos grupos.
Por un lado, en las celdas poco profundas, puede observarse que aquellas que se encuentran
61
por encima del tope de las estructuras (celdas 3 y 7), presentan longitudes de resolucion mas pe-
quenas que aquellas en el tope de las mismas (celdas 4 y 8). Mientras que la celda separada de las
estructuras (celda 1) tiene longitudes de resolucion mayores a las otras cuatro. Por otro lado, las
celdas profundas parecen carecer de resolucion alguna (tal y como puede observarse en los kernels
de resolucion mostrados en el apendice, Figuras A.2, A.5,A.6, A.9 y A.10).
La comparacion de las propiedades de resolucion entre lasceldas de los diferentes modelos es
todavıa mas complicada o imposible. Para poder hacerlo serequirirıa un analisis de resolucion con
nivel de truncamiento variable.
62
Capıtulo 9
Conclusiones
Para la configuracion seleccionada del modelo sintetico para este trabajo (ver capıtulo 7, seccion
7.1), el metodo electrico de Corriente Continua (CC) demuestra alcanzar mayores profundidades y
resolver areas mas amplias que el metodo Radiomagnetotelurico (RMT). Sin embargo, la resolu-
cion con la que la tecnica CC detecta las resistividades del subsuelo, no es tan buena como la RMT,
distingue las estructuras principales pero no sus lımitesprecisos.
RMT demostro un mayor poder de resolucion para los detalles, como los lımites abruptos y
la extension horizontal del tope del conductor, a cambio deproveer muy poca informacion de las
areas profundas del perfil de interes, especialmente, debajo del conductor (capıtulo 7).
De cualquier forma, estos resultados dependen fuertementedel modelo empleado y los parame-
tros de laadquisicion(frecuencias, espaciado de las estaciones, numero de electrodos, niveles, etc.).
Respecto a la inversion conjunta, se puede observar que losparametros del modelo obtenido a
partir de esta, estiman mucho mejor el modelo originario que las inversiones simples. Particular-
mente presenta un buen desempeno recuperando el ancho y la forma de las estructuras involucradas,
ası como la resistividad del medio en el cual se encuentran sumergidas. Cabe destacar que esta in-
version logra reducir notablemente la aparicion de artefactos resistivos poco profundos, presentes
63
en el modelo estimado CC.
El analisis de resolucion no aporto resultados aptos para la comparacion entre las celdas es-
tudiadas, ya que las varianzas asociadas difieren significativamente de una celda a otra. Debido a
esto, no es posible saber si las propiedades de resolucion de los parametros del modelo mejoran o
no con la inversion conjunta (ver seccion 8.4). Es necesario un analisis de resolucion que mantenga
la varianza fija y emplee un nivel de truncamiento variable.
El comportamiento no lineal de los problemas de inversion CC y RMT, resultaron ser bastante
similares, como puede verse a traves de los semiejes lineales y no lineales en la seccion 8.3. Ambos
problemas se comportan linealmente para los primeros valores singulares y presentan su compor-
tamiento no lineal en el resto de ellos. Cuando los semiejes asumen el comportamiento no lineal,
poseen una longitud menor a 1 para ambos casos.
La principal diferencia entre los dos procesos (inversionCC y RMT), reside en que la linea-
lidad para la tecnica CC es mas pronunciada, pues un mayor numero de los semiejes no lineales,
coinciden con los lineales.
64
Recomendaciones
El trabajo presentado aquı debe considerarse apenas un inicio en el intento por comprender
ampliamente la combinacion e interaccion de estos dos metodos. Se necesitan mas pruebas para
entender realmente este topico. A continuacion se destacan aspectos importantes que serıa conve-
niente profundizar.
Se recomienda realizar una inversion de maximos cuadrados para comprobar la verdadera
variabilidad de los parametros de los modelos estimados. Aunque debido a la semejanza
entre los semiejes lineales y no lineales, es de esperarse que las varianzas ya obtenidas sean
bastante precisas.
Deberıan estudiarse los efectos de la inclusion de los modos TM y Tipper en la inversion
conjunta, para tener una mayor comprension del comportamiento de los valores singulares
en la inversion.
Es necesaria la realizacion de las mismas pruebas aquı presentadas, a diferentes modelos con
combinaciones variadas de estrucutras, para poder generalizar o particulizar los resultados
aquı obtenidos.
Se deben considerar tecnicas de inversion distintas a la aquı empleada (TSVD) para evitar la
dependedencia del modelo estimado en el modelo inicial.
Es recomendable aplicar un analisis de resolucion (aunque sea en un subespacio del mode-
65
lo) con nivel de truncamiento variable, para obtener resultados comparables en los distintos
modelos estimados.
66
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Telford, W. M., Geldart, L. P., Sheriff, R. E., y Keys, D. A. (1976).Applied Geopgysics. Cambridge
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Vozoff, K., y Jupp, D. L. B. (1975). Joint inversion of geophysical data. Geophys. J. R., 42,
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69
Apendice
En esta seccion se encuentran las Figuras correspondientes a los kernels de resolucion de las
celdas analizadas (ver seccion 8.4). Las Figuras se presentan agrupadas de acuerdo al numero de
celda, en otras palabras, cada grupo presenta el kernel de resolucion de la misma celda para los tres
modelos estimados diferentes.
Cada kernel de resolucion proviene de una fila de la matrizR de la expresion 5.12, introducida
en la seccion 5.5 de resolucion. Como allı se explica, cada elemento del kernel indica en que medida
un parametro especıfico es influenciado por otros en el modelo. En este caso, a cada celda se asocia
un unico parametro, por lo que el kernel de resolucion se˜nala a que otras celdas se asocia el valor
obtenido para una en particular.
El eje vertical de las Figuras indica la profundidad, mientras que el horizontal expresa la dis-
tancia del perfil.
70
0
20
40
60
80
100
Dep
th (
m)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Profile (m)
1
2
22
2
2
2
2
22
2
−1.00
−0.90
−0.70
−0.50
−0.30
−0.10
0.10
0.30
0.50
0.70
0.90
1.00
rij /max
j |rij |
(a) En el modelo estimado a partir de datos CC0
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Dep
th (
m)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Profile (m)
1
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0.10
0.30
0.50
0.70
0.90
1.00
rij /max
j |rij |
(b) En el modelo estimado a partir de datos RMT0
20
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100
Dep
th (
m)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Profile (m)
1
1
2
2
2
2
2
2 2
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−1.00
−0.90
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−0.50
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−0.10
0.10
0.30
0.50
0.70
0.90
1.00
rij /max
j |rij |
(c) Kernel de resolucion para el modelo conjunto
Figura A.1 Kernels de resolucion de la celda 1 (50 m a la izquierda del conductor y 15m de profundidad).
71
0
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80
100
Dep
th (
m)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Profile (m)
1
2
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2
2
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2
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−0.90
−0.70
−0.50
−0.30
−0.10
0.10
0.30
0.50
0.70
0.90
1.00
rij /max
j |rij |
(a) En el modelo estimado a partir de datos CC0
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100
Dep
th (
m)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Profile (m)
1
2
2
2
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2
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−0.90
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−0.30
−0.10
0.10
0.30
0.50
0.70
0.90
1.00
rij /max
j |rij |
(b) En el modelo estimado a partir de datos RMT0
20
40
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80
100
Dep
th (
m)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Profile (m)
1
1
2
2
2
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−0.10
0.10
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0.50
0.70
0.90
1.00
rij /max
j |rij |
(c) Kernel de resolucion para el modelo conjunto
Figura A.2 Kernels de resolucion de la celda 2 (50 m a la izquierda del conductor y 55m de profundidad).
72
0
20
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100
Dep
th (
m)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Profile (m)
1
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−0.10
0.10
0.30
0.50
0.70
0.90
1.00
rij /max
j |rij |
(a) En el modelo estimado a partir de datos CC0
20
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60
80
100
Dep
th (
m)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Profile (m)
1
2
2
2
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2
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2
−1.00
−0.90
−0.70
−0.50
−0.30
−0.10
0.10
0.30
0.50
0.70
0.90
1.00
rij /max
j |rij |
(b) En el modelo estimado a partir de datos RMT0
20
40
60
80
100
Dep
th (
m)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Profile (m)
1
1
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2
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2 2
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−1.00
−0.90
−0.70
−0.50
−0.30
−0.10
0.10
0.30
0.50
0.70
0.90
1.00
rij /max
j |rij |
(c) Kernel de resolucion para el modelo conjunto
Figura A.3 Kernels de resolucion de la celda 3 (sobre el conductor).
73
0
20
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100
Dep
th (
m)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Profile (m)
1
2
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2
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−0.10
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0.30
0.50
0.70
0.90
1.00
rij /max
j |rij |
(a) En el modelo estimado a partir de datos CC0
20
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Dep
th (
m)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Profile (m)
1
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2
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2
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−0.70
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−0.10
0.10
0.30
0.50
0.70
0.90
1.00
rij /max
j |rij |
(b) En el modelo estimado a partir de datos RMT0
20
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Dep
th (
m)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Profile (m)
1
1
2
2
2
2
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2 2
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2
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−1.00
−0.90
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−0.50
−0.30
−0.10
0.10
0.30
0.50
0.70
0.90
1.00
rij /max
j |rij |
(c) Kernel de resolucion para el modelo conjunto
Figura A.4 Kernels de resolucion de la celda 4 (en el tope del conductor).
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0
20
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Dep
th (
m)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Profile (m)
1
2
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2
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2
−1.00
−0.90
−0.70
−0.50
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−0.10
0.10
0.30
0.50
0.70
0.90
1.00
rij /max
j |rij |
(a) En el modelo estimado a partir de datos CC0
20
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Dep
th (
m)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Profile (m)
1
2
2
2
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2
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2
−1.00
−0.90
−0.70
−0.50
−0.30
−0.10
0.10
0.30
0.50
0.70
0.90
1.00
rij /max
j |rij |
(b) En el modelo estimado a partir de datos RMT0
20
40
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Dep
th (
m)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Profile (m)
1
1
2
2
2
2
2
2 2
2
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−1.00
−0.90
−0.70
−0.50
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−0.10
0.10
0.30
0.50
0.70
0.90
1.00
rij /max
j |rij |
(c) Kernel de resolucion para el modelo conjunto
Figura A.5 Kernels de resolucion de la celda 5 (en la base del conductor).
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0
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Dep
th (
m)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Profile (m)
1
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0.30
0.50
0.70
0.90
1.00
rij /max
j |rij |
(a) En el modelo estimado a partir de datos CC0
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Dep
th (
m)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Profile (m)
1
2
2
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−1.00
−0.90
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0.10
0.30
0.50
0.70
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rij /max
j |rij |
(b) En el modelo estimado a partir de datos RMT0
20
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Dep
th (
m)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Profile (m)
1
1
2
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−1.00
−0.90
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0.10
0.30
0.50
0.70
0.90
1.00
rij /max
j |rij |
(c) Kernel de resolucion para el modelo conjunto
Figura A.6 Kernels de resolucion de la celda 6 (debajo del conductor).
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0
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Dep
th (
m)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Profile (m)
1
2
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0.10
0.30
0.50
0.70
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rij /max
j |rij |
(a) En el modelo estimado a partir de datos CC0
20
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Dep
th (
m)
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Profile (m)
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2
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2
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0.50
0.70
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rij /max
j |rij |
(b) En el modelo estimado a partir de datos RMT0
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Dep
th (
m)
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Profile (m)
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0.70
0.90
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rij /max
j |rij |
(c) Kernel de resolucion para el modelo conjunto
Figura A.7 Kernels de resolucion de la celda 7 (sobre el resistor).
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0
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Dep
th (
m)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Profile (m)
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2
2
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0.30
0.50
0.70
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1.00
rij /max
j |rij |
(a) En el modelo estimado a partir de datos CC0
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Dep
th (
m)
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Profile (m)
1
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2
2
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2
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−0.10
0.10
0.30
0.50
0.70
0.90
1.00
rij /max
j |rij |
(b) En el modelo estimado a partir de datos RMT0
20
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Dep
th (
m)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Profile (m)
1
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2
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2 2
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0.10
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0.90
1.00
rij /max
j |rij |
(c) Kernel de resolucion para el modelo conjunto
Figura A.8 Kernels de resolucion de la celda 8 (en el tope del resistor).
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0
20
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Dep
th (
m)
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Profile (m)
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rij /max
j |rij |
(a) En el modelo estimado a partir de datos CC0
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Dep
th (
m)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Profile (m)
1
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2
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−0.10
0.10
0.30
0.50
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1.00
rij /max
j |rij |
(b) En el modelo estimado a partir de datos RMT0
20
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Dep
th (
m)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Profile (m)
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1.00
rij /max
j |rij |
(c) Kernel de resolucion para el modelo conjunto
Figura A.9 Kernels de resolucion de la celda 9 (en la base del resistor).
79
0
20
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Dep
th (
m)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Profile (m)
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0.30
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1.00
rij /max
j |rij |
(a) En el modelo estimado a partir de datos CC0
20
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Dep
th (
m)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Profile (m)
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−1.00
−0.90
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−0.10
0.10
0.30
0.50
0.70
0.90
1.00
rij /max
j |rij |
(b) En el modelo estimado a partir de datos RMT0
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Dep
th (
m)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Profile (m)
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0.70
0.90
1.00
rij /max
j |rij |
(c) Kernel de resolucion para el modelo conjunto
Figura A.10 Kernels de resolucion de la celda 10 (debajo del resistor).
80