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RESPUESTA DE SISTEMAS DE CONTROL Y ESTABILIDAD

Tema 4

Indice

Respuesta TemporalMapeo del Plano s al Plano zEspecificaciones de Respuesta Transitoria y PermanenteEstabilidad. Transformación BilinealLugar de las Raíces en zRespuesta en Frecuencia

Respuesta Temporal

Considerando un sistema de control muestreado en lazo cerrado

la respuesta ante la señal de entrada será

G s( )T

E s( ) E z( )

H s( )

C z( )R s( ) +

- T

C zG z R z

GH z

k z z

z pR z

i

m

i

n( )( ) ( )

( )

( )

( )( )=

⋅+

=⋅ −

−⋅

∏

∏1

Respuesta Temporal

Realizando la descomposición en fracciones simples

Las n fracciones representan la respuesta transitoria debida a los polos del sistema en bucle cerrado, pues cada polo pi contribuye

y su numero y colocación es crítica de cara a establecer la respuesta transitoria del sistema.

El término CR(z) representa la respuesta permanente debida a los polos de la función de entrada R(z).

C zk zz p

k zz p

C zn

nR( ) ( )=

⋅−

+ +⋅

−+1

1K

Zk zz p

k p u ki

ii i

k− ⋅−

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

= ⋅1 ( ) ( )

Mapeo del Plano s al Plano z

Las variables s y z están relacionadas a través del mapeo

Conocidos los efectos de la colocación de polos en el plano s, se puede determinar los efectos correspondientes de la colocación de polos en el plano z.

Para

Por tanto, polos y ceros en s, cuyas frecuencias (ω) difieren en 2π/T son mapeados en las mismas localizaciones en z, es decir, la correspondencia no es única.

z eTs=

s j= +σ ω

z e e e e eT j T j T T j T k= = ⋅ = ⋅+ +( ) ( )σ ω σ ω σ ω π2


1

z

0

s

EL semiplano izquierdo de s se transforma en el interior del circulo unidad en z, siendo la circunferencia unidad la imagen del eje s = jω

Por tanto, para que un sistema discreto LTI sea estable, los polos del sistema han de estar situados en el interior del círculo unidad.


Cada banda de anchura ωs se mapea en el círculo unidad. A la primera banda se le llama banda primaria, y al resto bandas complementarias. Esto prueba la no unicidad del mapeo s->z

Especificaciones de Respuesta Transitoria y Permanente

Respuesta Transitoria

Las especificaciones de respuesta transitoria vienen dadas por los valores de tiempo de subida, sobreoscilación y tiempo de establecimiento, relacionados con ξ y ωn (sistema dominante 2ºorden).

Los valores de ξ y ωn determinarán la ubicación de los polos LC en el plano z que satisfagan el transitorio. Es posible obtener diferentes lugares geométricos en el plano z usando .z eTs=


Abaco con los lugares de ξ y ωn constante (en función de ωs),


El efecto sobre la respuesta transitoria de una determinada ubicación de polos en z que cumpla las especificaciones se puede ver examinando la correspondencia entre la situación de polos en s y los polos en z


La respuesta transitoria depende también de T, pues la ubicación de los polos es . El valor de T debe cumplir el teorema del muestreo no habiendo ningún polo de la ecuación característica con pues habría solape y la situación de polos y ceros original será cambiada

z e e esT T j T= = ⋅σ ω

s j1 1 1= +σ ωω

ω1 2

> s


Respuesta Permanente

Considerando el sistema de control digital LC, y suponiendo el sistema estable para poder obtener valores en régimen permanente, se va a ver el valor del error en régimen permanente e(kT) ante diferentes referencias.

e t( ) e t*( )

T

c t( )G sp ( )1− −e

s

Ts u t( )r t( )

b t( )

+

-

H s( )


El sistema viene dado por la función de transferencia en lazo cerrado

La señal de error E(z) será

e lime t lim e kT lim z E zss t k z

∗

→∞

∗

→∞ →

−= = = − ⋅( ) ( ) (( ) ( ))1

11

C zR z

G zGH z

( )( )

( )( )

=+1

E z R z B z R z GH z E z( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − = − ⋅

e lim zGH z

R zss z

∗

→

−= − ⋅+

⋅⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥1

111

1( )

( )( )


1. Escalón: (error posición)

2. Rampa: (error velocidad)

e lim zGH z z

limGH zss z z

∗

→

−− →

= − ⋅+

⋅−

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

+1

11 1

11

11

11

1( )

( ) ( )

K limGH z eKp z ss p

= ⇒ =+→

∗

1

11

( )

( )e lim z

GH zT z

zlim

Tz GH zss z z

∗

→

−−

− → −= − ⋅+

⋅⋅

−

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=− ⋅1

11

1 2 1 111

1 1 1( )

( ) ( ) ( )

vsszv Ke

zTzGHzK 1)()1(lim

1=⇒

⋅−= ∗

→


Los sistemas en tiempo discreto pueden ser clasificados según el número de polos en z = 1 (integradores en el lazo GH ), tal que para un sistema general

el sistema será tipo N, que indicará el valor de Kp y Kv.

El significado físico de las constantes de error estático es el mismo que el visto en tiempo continuo, excepto que estas dan información solo en los instantes de muestreo.

GH zz

A zB zN( )

( )( )( )

=−

⋅11

Estabilidad. Transformación Bilineal

La estabilidad de un sistema de control muestreado estáasegurada si se cumple que las raíces de la ecuación característica están en el interior del círculo unidad en el plano z.

El estudio de la estabilidad se va a hacer usando técnicas que eviten el cálculo de las raíces de la ecuación característica:

1. Criterio de Jury

Maneja la ecuación característica directamente en z, esto es,

1 0+ =GH z( )

1 011

1 0+ = = ⋅ + ⋅ + + ⋅ + >−−GH z Q z a z a z a z a an

nn

nn( ) ( ) ,K


A partir de los aj, se forma un arreglo

ba aa ak

n k

n k= −0 c

b bb bk

n k

n k= − −

−

0 1

1


Las condiciones de estabilidad para Q(z) son1. 2. 3. , , , … ,

Si 1 y 2 no se cumplen, no se seguirá adelante (ni siquiera se construirá el arreglo), ya que el sistema será inestable.

2. Criterio de Routh

Se usa el mismo criterio definido para sistemas continuos haciendo uso de la llamada transformación bilineal que mapea el plano z en w, transformando el círculo unidad en z en el eje imaginario en el plano w (jν), para así poder aplicar el criterio de Routh a la ecuación característica .

Q( )1 0>( ) ( )− ⋅ − >1 1 0n Qa an0 < b bn0 1> − c cn0 2> − 20 mm >

1 0+ =GH w( )


Esta transformación bilineal viene dada por

Para el círculo unidad,

wT

zz

z

Tw

Tw

= ⋅−+

⇒ =+ ⋅

− ⋅

2 11

12

12

z e j T= ω )2tan(2 TT

jw ω=⇒


La relación entre la frecuencia ν y la frecuencia ω, en los planos w y s es

Para valores de ω pequeños

esto es, valido para

)2/tan(2 TT

jjw ων ==

ν ωω

ω= ≈ ⋅ =2

22

2Ttan T

TT

( / )

ω πω

π ωTT

s

2 102

10 10≤ ⇒ ≤

⋅=

Lugar de las Raíces en z

El método del lugar de las raíces (LR) desarrollado para sistemas continuos es extensible a sistemas discretos, excepto que la región de estabilidad límite cambia del eje jω al círculo unidad en z.

Esto es así porque la ecuación característica para STD tiene la misma forma que en STC, esto es

No obstante, la localización de los polos en bucle cerrado que obtiene el LR en el plano z debe ser interpretada de forma diferente a la del plano s.

0)(1 =⋅+ zGHK

Lugar de las Raíces en z

El T afecta al trazado del lugar de las raíces

Para un valor crítico de Kdado, si aumenta T el sistema será menos estable, incluso inestable.

Análogamente, si disminuye T, la K crítica es mayor

Respuesta en Frecuencia

Si la entrada a un sistema discreto es una señal senoidal de frecuencia ω, la respuesta en régimen permanente es también una señal senoidal de la misma frecuencia.

Igual que la respuesta en frecuencia del STC era la del STD es , periódica en ω con periodo ωs

c kT( )u kT( )G z( )

⇒= )()( kTsenkTu ω c kT G e kT G ej T j T( ) ( ) sen( ( ))= + ∠ω ωω

G j G s s j( ) ( )ω ω==

G e G zj Tz( ) ( )ω =

=1


El desarrollo de técnicas de compensación en la respuesta en frecuencia, hace necesario el uso más que de G(z) con de G(w) con , por medio de la transformación bilineal.

De esta manera, es posible representar , y frente a logν mediante diagramas de Bode.

Hay que señalar que el Bode de presenta particularidades, en concreto, es constante al estar limitada , que corresponde a .

Además, la transformación bilineal hace G(w) sea una función de transferencia de fase no mínima.

z e j T= ω

w j= ν

G j( )ν ∠G j( )ν

lim Gγ

ν→∞

( )νjwwG =|)(

02

≤ ≤ωωs 0 ≤ ≤ ∞ν


)924.0()14.12()2(0381.0)(

+⋅+⋅−⋅

=ww

wwwG

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