Algebra de Boole o Algebra de dos estados

Fundacin Duoc UC

Sede San Joaqun

Prof: Luis Gonzlez Herrera

Algebra de Boole o Algebra de dos estados

El lgebra de Boole, posee ciertos postulados que son vlidos cuando una variable x cualquiera posee solo dos estados que son llamados cero lgico y uno lgico. Adems las variables estn sujetas a ciertos operadores como se observan a continuacin:

Postulados

a. Una variable X puede tener solo dos valores denominados 0 lgico o nivel bajo y 1 lgico o nivel alto, pero no ambos valores en forma simultanea.

b. Existen operadores lgicos que son:

1) Suma lgica (OR) y su smbolo es + Su tabla de verdad es:

AbF = a + b

000

011

101

111

La tabla de verdad, nos muestra que si cualquiera de sus entradas tiene un valor lgico 1, entonces, su salida F tambin ser 1 lgico.

2) Producto lgico (AND) y su smbolo es Su tabla de verdad es:

abF = ab

000

010

100

111

La tabla de verdad nos muestra que para que su salida F sea 1 lgico, es necesario que todas sus estradas sean 1 lgico.

3) Inversor (not) y su smbolo es Su tabla de verdad es:

a

01

10

La tabla de verdad nos muestra que su salida F est invertida o negada con respecto a su entrada.

4) OR exclusivo. Su smbolo es y su tabla de verdad es:

abF = a b

000

011

101

110

La tabla de verdad nos muestra que para que su salida F sea 1 lgico, es necesario que el nmero de unos lgicos en sus entradas tenga un valor impar (ejemplo: 1, 3, 5, etc.).

Propiedades del lgebra de Boole: Dado los fundamentos mencionados con anterioridad, se pueden establecer los siguientes postulados en lgebra de boole o lgebra de dos estados.

a) 0 X = 0 1 + X = 1

b) Elemento neutro 1 X = X

0 + X = X

c) Identidad

X X = X

X + X = X

d) Elemento inverso X = 0

X + = 1

e) Conmutatividad

X Y = Y X

X + Y = Y + X

f) Asociatividad

(X Y) Z = X (Y Z)

(X + Y) + Z = X + (Y + Z)

g) Distributividad

X (Y + Z) = (XY) + (X Z)

X + (Y Z) = (X + Y) (Y + Z)

h) Absorcin X + XY = X + Y

X (X + Y)= XY

i) Doble negacin

j) Morgan

Convenciones lgicas

Hasta ahora, se ha mencionado el estado lgico 1 y estado lgico 0, sin mencionar cuales son sus caractersticas mas relevantes. Existen dos tipos de convenciones:

a. Lgica positiva: El 1 lgico es representado por contacto cerrado mientras que el 0 lgico por un contacto abierto

b. Lgica negativa: El 1 lgico se representa por un contacto abierto, 0 lgico es lo contrario.

Figura #1:

An cuando hay muchas excepciones, en la mayora de los casos prcticos se utiliza la lgica positiva. Es ms, dada la variedad de sensores que entregan voltaje alto ante la ocurrencia de algn evento, es que normalmente se considera como uno lgico la presencia de un voltaje alto (+5 Volt) y la ausencia de voltaje (0 Volt) para el cero lgico.

Funcin en lgebra de Boole

Es la relacin que existe entre las variables y su expresin algebraica (suma, producto e inversin lgica) ejemplos:

_

F = a + b + c Otra forma de decir la misma funcin es la siguiente:

_

F(a, b, c) = a + b + c

Tablas de verdad de una funcin lgica

Es una forma de representar la funcin de Boole y esta constituida por todas las combinaciones que puedan tener las variables de entrada y su resultado final al combinar los valores binarios, as por ejemplo para la funcin F(a, b) = a + b; se tendr:

abF(a, b) = a + bResultado

00F(0, 0) = 0 + 00

01F(0, 1) = 0 + 11

10F(1, 0) = 1 + 01

11F(1, 1) = 1 + 11

Es necesario indicar, que para n variables, se tendrn combinaciones posibles que irn desde el valor 0 hasta el valor - 1.

Ejemplo 1:

Determine la tabla de verdad para la siguiente funcin de Boole: F = a (b + c)

Solucin: Como se tienen 3 variables (a, b y c) se tendrn 8 posibles combinaciones, es decir desde el nmero 0 hasta el numero 7.

NmeroAbcF 1 = b + cF = a (b + c)

000000

100110

201010

301110

410000

510111

611011

711111

Como se puede observar, se utiliz una salida intermedia (llamada F1) para permitir una fcil deduccin de la funcin final de Boole, dado que uno solo puede analizar pares de nmeros. Al igual que en matemticas, siempre es conveniente deducir primero los parntesis y aperar la multiplicacin lgica (And) antes que la suma lgica (Or).

Ejemplo 2:

Determine la tabla de verdad para la siguiente funcin de Boole: F = a b + a c

Solucin: Como en el caso anterior, se tienen 3 variables (a, b y c) y 8 posibles combinaciones.

AbCF 1= a bF 2= a cF= ab + ac

000000

001000

010000

011000

100000

101011

110101

111111

En este caso, se utilizaron dos salidas intermedias (F1 y F2). Tambin es importante mencionar que la salida final contiene los mismos valores que los obtenidos para la salida final del ejercicio anterior. Este quiere decir que efectivamente hemos demostrado el teorema o propiedad de Distributividad:

a (b + c) = ab + acEjemplo 3:

Determine la tabla de verdad para la siguiente funcin de Boole:

Solucin: Como en el caso anterior, se tienen 3 variables (a, b y c) y 8 posibles combinaciones.

abcF 1=

F 2= b

000100

001000

010111

011000

100101

101001

110111

111001

Tarea: Demostrar mediante tablas de verdad, todas los teoremas del lgebra de Boole.

Representacin de la funcin de Boole a partir de la tabla de verdad

La funcin lgica puede ser representada de dos maneras:

a. Suma de minterminos: Es la suma lgica de todos los trminos para la cual la funcin vale 1. Donde cada variable del trmino se sustituye en forma directa si su valor es 1 lgico y ser expuesta en forma inversa o invertida si su valor es 0 lgico, el trmino obtenido corresponder a la multiplicacin lgica de cada una de sus variables. Esta funcin es tambin llamada Or de And). Ejemplo, para la tabla siguiente encuentre la funcin de Boole utilizado como suma de minternino.

a b F(a,b) minterminos

0 0 0 --

0 1 0 --

1 0 0 --

1 1 1 a bLuego, la funcin de Boole ser: F = a b. En este caso, es fcil darse cuenta que se trata de la funcin And para las variables a y b respectivamente, sin embargo, exiten tablas de verdad, el las cuales, la funcin de boole es ms compleja. Ejemplo: Para la tabla de verdad siguiente, encuentre la funcin de boole utilizando suma de mintrmino.

aBc FTrmino

0000------

0010------

0101

0110------

1001

1011

1101

1111

La funcin de Boole, corresponde finalmente a la suma lgica (Or) de cada uno de los trminos quedando como sigue:

F (a,b,c) = + + + +

b. Multiplicacin de maxterminos: Es la multiplicacin lgica de todos los trminos para la cual la funcin vale cero lgico (0). Donde cada variable del trmino se sustituye en forma directa si su valor es 0 lgico y ser expuesta en forma inversa o invertida si su valor es 1 lgico, el trmino obtenido corresponder a la suma lgica de cada una de sus variables. Esta funcin es tambin llamada And de Or.

Abc FTrmino

0000

0010

0101------

0110

1001------

1011------

1101------

1111------

La funcin de Boole, corresponde finalmente a la suma lgica (Or) de cada uno de los trminos quedando como sigue:

F (a,b,c) = () () ()Minimizacin de la funcin de Boole: Toda funcin de Boole, puede ser minimizada, para ello, se utilizan los teoremas del lgebra de Boole. Por ejemplo, utilizando los teoremas del algebra de Boole, minimice la siguiente funcin:

F (a,b,c) = + + + +

Solucin:

1.- Si consideramos el teorema de idempotencia y/o distributividad para los trminos 2 y 3 se obtiene que:

F1 (a,b,c) = + + +

2.- Si consideramos el teorema de idempotencia y/o distributividad para los trminos 3 y 4 para F1 se obtiene

F2, donde

F2 (a,b,c) = + +

3.- Si consideramos el teorema de idempotencia y/o distributividad para los trminos 2 y 3 de F2 se obtiene

F3, donde

F3 (a,b,c) = +

4.- Si consideramos el teorema de idempotencia para F3 se obtiene F, donde

F (a,b,c) = + o bien F = +

Es importante mencionar, que puede haber ms de una funcin mnima, sin embargo, se puede decir que una funcin es mnima si tiene la menor cantidad de trminos y variables.

Tarea: Determinar la funcin mnima para F (a,b,c) = () () ()

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