introducción al control predictivo fernando juan tadeo rico
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Introducción al Control Predictivo
Fernando Juan TADEO RICO
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2
Objetivos
Visión General del Control Predictivo Fundamentos
Metodología de diseño y sintonía
Ventajas y desventajas
Futuro del CPBM
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3
¿Qué es el Control Predictivo? (1/2)
Estrategia de control que se basa en el uso explícito de un modelo del proceso para predecir el comportamiento futuro del sistema y en base a él calcular la señal de control futura
El Control Predictivo basado en modelos se denota por: MBPC/MPC: Model Based Predictive Control CPBM: Control Predictivo Basado en Modelos
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¿Qué es el Control Predictivo? (2/2)
Forma general de formular el problema de control en el dominio del tiempo
Integra disciplinas como: Control óptimo Control estocástico Control de procesos con tiempos muertos Control multivariable Control con restricciones
Considerable interés en la industria e investigación Interés a partir de los años 70:
Industria de procesos químicos Control adaptativo
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5
Evolución histórica
Francia con Richalet (1978): IDCOM, MPHC, ... Estados Unidos con Prett, Gillete, Cutler,
Ramaker (1979): DMC de Keyser, 1979: EPSAC Clarke, 1987: GPC Martín-Sánchez, 1984: APC Lemos, Mosca, 1985: MUSMAR
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Contenido
El Control Predictivo Idea intuitiva Metodología del CPBM Jerarquía de las funciones de control Elementos del Control Predictivo
GPC Metodología de diseño y sintonía de un
CPBM Ventajas y desventajas de CPBM Evolución histórica Futuro del CPBM
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Idea intuitiva del CPBM
Conducir supone: Mirar hacia la carretera Usar los retrovisores Tener en cuenta el estado de la carretera
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Elementos del CPBM
Uso explícito de un modelo para predecir el comportamiento futuro del sistema
Cálculo de la señal de control por un procedimiento que tenga en cuenta las predicciones
Horizonte móvil
En las plantas industriales el CPBM es parte de una jerarquía multinivel de funciones de control
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9
Jerarquía de las funciones de control
Estructura convencional Control Predictivo
Optimizador Global de la planta
PID
horasUnidad 1: Optimizador local Unidad 2: Optimizador local
Lógica de selección
días
PIDPID
SUM SUM
Control PID (SCD)
FC PC TC LC
Control PID (SCD)
FC PC TC LC
minutos
segundos
Controlador Predictivo
Restricciones dinámicas
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Elementos del Control Predictivo
Estrategia del Control Predictivo Modelos de predicción Trayectoria de referencia Cálculo de la señal de control
Horizonte de coste Función de coste u objetivo Estructuración de la ley de control Restricciones Obtención de la ley de control
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Elementos del MBPC
MODELO
OPTIMIZADOR
-
+
Errores futuros
SalidasPredichas
Entradas pasadasSalidas pasadas
Entradas
futuras
Función decoste
Restricciones
Trayectoria dereferencia
Modelo: capaz de capturar la dinámica del proceso. Sencillo de usar y comprender
Optimizador: solución explícita o numérica
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Estrategia del Control Predictivo (1/3)
Señal de referencia t
u(t+k|t)
tt t+1 t+N2...
trayectoria de referencia
Predicción de la salida
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Estrategia del Control Predictivo (2/3): Horizonte de predicción
La señal predicha de una variable controlada cualquiera se calcula en el que se denominada horizonte de predicción: [1,N2]
tiempo
pasado futuro
tiempo
Hipótesis de la señal de control
Horizonte de predicción
Señal de referencia
Predicción de la salida
Región de influencia en el coste
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Estrategia del Control Predictivo: Horizonte móvil
Se aplica a la planta el primer elemento del vector de control óptimo y se olvidan todos los demás
En el siguiente periodo de muestreo se repiten todos los cálculos: estrategia en lazo abierto
VENTAJAS permite tener en cuenta
los cambios que se hayan producido en el estado de las variables
Facilita los cálculos
r (t+j)
w(t+j)
y(t)
t t
y (t+j)
u(t)u(t+j)
N2
^
r (t+j)w(t+j)
y(t)
t t
y(t+j)u(t+j)
N2 t + 1
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Elementos básicos
Modelo de predicción: Proceso Perturbaciones
Trayectoria de referencia Cálculo de la señal de control:
Horizonte de coste Función de coste Estructuración de la ley de control Error de seguimiento Esfuerzo de control Restricciones Obtención de la ley de control
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Modelos de predicción
modelo de lasperturbaciones
modelo del proceso
n
u y+
Modelo del proceso: variables manipuladas y perturbaciones medibles
Modelo de las perturbaciones: trata de modelar el efecto de las perturbaciones externas, del ruido de medida y de los errores de modelado
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Modelo del proceso
Respuesta impulsionalRespuesta saltoFunción de transferenciaEspacio de estadosOtros:
Redes neuronales Modelos de lógica borrosa Modelos de conocimiento ...
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Modelo respuesta impulsional (1/2)
Donde: q-1: retardo temporal H(q-1)=h1 q-1+...+ hn q-n
Sólo representa procesos estables sin integradores
Usado en: MAC EPSAC
La predicción vendrá dada por:
)t(u)q(H)jt(uh)jt(uh)t(y 1n
1jj
1jj
t t+1 t+2 t+n...
h1 h2hn
y(t)
)t/kt(u)q(H)t/kt(y 1
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Modelo respuesta impulsional (2/2)
Muy aceptado en la industria: intuitivo y refleja claramente la influencia de un determinado
fenómeno en una determinada salida
No se necesita información previa del proceso Permite describir procesos de fase no mínima
y retrasos En el caso de procesos multivariables:
m
1k
kn
1j
kjij )jt(uh)t(y
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Modelo respuesta salto
Donde: q-1: retardo temporal G(q-1)=g1 q-1+...+ gn q-n
Usado en el DMC Modelo de predicción:
n
1j
110j0 )t(u)q1)(q(Gy)jt(ugy)t(y
t t+1 t+2 t+n...
g1
g2gn
y(t) ...
)t/kt(u)q1)(q(G
)t/kt(y11
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Modelo en función de transferencia
El modelo de predicción:
)t/kt(u)q(A
)q(B)t/kt(y
1
1
Representación válida para procesos inestables
Pocos parámetros Conocimiento a priori del proceso: órdenes de
los polinomios A y B
)t(u)q(B)t(y)q(A 11 A
BG
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Modelo en espacio de estados
)t(xC)t(z
)t(uB)t(xA)t(x
11
x: vector de estadosA: matriz del sistemaB: matriz de entradaC: matriz de salida
Predicción de la salida:
)t/jkt(uBA)t(xAC)t/kt(xC)t/kt(zk
j
jk
1
1
Ventajas: Permite analizar la
estructura interna del proceso
La extensión al caso MIMO es inmediata
Desventajas: Los cálculos son más
complejos Si los estados no son
directamente medibles se deben usar observadores
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Elementos básicos
Modelo de predicción: proceso perturbaciones
Trayectoria de referencia Cálculo de la señal de control:
Horizonte de coste Función de coste Estructuración de la ley de control Error de seguimiento Esfuerzo de control Restricciones Obtención de la ley de control
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Modelo de las perturbaciones
Modelo apropiado para representar las perturbaciones
Proceso Estocástico Modelo ARIMA:
)t()q(D
)q(C)t(n
1
1
Perturbación constante: diferencia entre la salida del modelo medida en cada instante y la parte determinista del modelo
)t(y)t(y)t(n m
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Modelo perturbaciones ARIMA
ARIMA: Auto-Regressive and Integrated Moving Average :
)t()q(D
)q(C)t(n
1
1
Ecuación de predicción: Predictor de varianza mínima
)t(n)q(C
)q(F)t|kt(n
1
1k
D(q-1) incluye explícitamente el integrador =1- q-1
Error nulo en régimen permanente(t): ruido blanco de media ceroC (q-1) =1, normalmente
Modelo adecuado cuando: Las perturbaciones son cambios aleatorios que suceden en
instantes aleatorios: cambios en la calidad del material Movimiento Browniano: procesos con balance de energía
Se usa en los controladores GPC, UPC
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Perturbación constante
Perturbación constante: diferencia entre la salida del modelo medida en cada instante y la parte determinista del modelo
tn)t|kt(n
Es el modelo de perturbación usado en el DMC
Extrapolación constante:
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Elementos básicos
Modelo de predicción: proceso perturbaciones
Trayectoria de referencia Cálculo de la señal de control:
Horizonte de coste Función de coste Estructuración de la ley de control Error de seguimiento Esfuerzo de control Restricciones Obtención de la ley de control
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Trayectoria de referencia (1/3)
Describe cómo se quiere guiar a la salida del proceso desde el valor actual hasta la referencia deseada en el futuro r(t+k), siguiendo un camino determinado
Se inicializa en el valor actual de la salida de la planta Se calcula durante el horizonte de predicción N2
t
r(t+k)
w2(t+k)w1(t+k)
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Trayectoria de referencia (2/3) Inicialización en cada muestreo: w(t/t) = y(t) Varias estrategias:
w(t+k/t) = w(t+k-1/t) + (1- ) r(t+k/t), k = 1,..., N2
r(t+k/t) - w(t+k/t) = k [r(t) - w(t) w(t+k/t) = r(t+k/t) - k [r(t) - w(t)
en ambos casos es un parámetro de sintonía que especifica la dinámica en lazo cerrado: 0 < 1
y(t)
t
1
2
3
1 2 3
< <=0 < 1
Cuanto mayor sea más lenta será la aproximación a la consigna
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30
Trayectoria de referencia (3/3)
w(t+k/t) = r(t+k/t) - k [r(t+k/t) - P(q-1) (t+k/t) k=1,...,N2
donde la señal de predicción está filtrada por el polinomio P(q-1):
)t/nkt(yp...)t/kt(yp)t/kt(y)q(P pno1
p
P(1) = p0 + p1 +...+ pnp = 1
y
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Elementos básicos
Modelo de predicción: proceso perturbaciones
Trayectoria de referencia Cálculo de la señal de control:
Horizonte de coste Función de coste Estructuración de la ley de control Error de seguimiento Esfuerzo de control Restricciones Obtención de la ley de control
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Función de coste (1/2)
Los valores futuros de control u(t), u(t+1), ..., u(t+Nu) se calculan para que la predicción de la salida siga a la trayectoria de referencia
Matemáticamente:los errores de predicción:trayectoria de referencia - predicción salida
sean mínimos La función de coste puede ser:
Cuadrática Lineal No lineal
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Función de coste (2/2)
Si j=N2-j , es un peso exponencial sobre el horizonte de predicción 0 < < 1: control suave y un sistema de control robusto > 1: control más agresivo, esfuerzos de control
mayores
Los coeficientes de peso j se introducen para mejorar la robustez y la estabilidad numérica
1Nu
0j
21j
N
Nj
2j jtujtwjtyJ
2
1
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34
Horizonte o Ventana de coste (1/2)
Horizonte de coste: [N1,N2] tal que N11 [N1,N2]: marcan el intervalo en el que es deseable que la salida siga su
referencia
tiempo
pasado futuro
tiempo
Hipótesis de la señal de control
Horizonte de coste
Señal de referencia
Predicción de la salida
Región de influencia en el coste
tiempo
pasado futuro
tiempo
Hipótesis de la señal de control
Horizonte de coste
Señal de referencia
Predicción de la salida
Región de influencia en el coste
...jtwjtyJ2
1
N
Nj
2
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35
Horizonte o Ventana de coste (2/2)
u(t)u(t+k|t)
y(t+k|t)^
tiempo
pasado futuro
tiempo
Señal de referencia
y(t+k|t)^
tiempo
Señal de referencia
y(t+k|t)^
t t+1 t+2 ... tiempo
Señal de referencia
Ventana de coste (N2)
Ventana de coste (N2)
Ventana de coste infinita...
La ventana de coste puede ser: Infinita Finita:
No se fuerza llegar a la referencia
Se fuerza llegar a la referencia
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36
Estructuración de la ley de control (1)
La minimización de la función de coste J permite la obtención de la secuencia futura de controles u(t+k|t)
Supone calcular la predicción de la salida(s) y sustituir en la función de coste.
Hay N2-N1+1 variables independientes: Puede ser un valor alto: 10 ó 30
SOLUCIÓN: ESTRUCTURACIÓN DE LA LEY DE CONTROL
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37
Estructuración de la ley de control (2)
Significado: reducción del número de grados de libertad del escenario de control, especificando a priori alguna relación entre las señales de control futuras
Métodos: Horizonte de control Funciones base
Ventajas: Reduce el número de cálculos Tiene buenos efectos sobre la robustez y el
comportamiento general del sistema
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38
Estructuración de la ley de control (3):
Se especifica un horizonte de control Nu N2, tal que:
u (t+k/t) = 0 para k Nu Influye en la actividad del
controlador: valores pequeños dan lugar a señales de control grandes y valores grandes originan señales de control más suaves
Usado en GPC, DMC, ...
tiempo
pasado futuro
tiempo
Señal de control propuesta por el controlador
Horizonte de predicción
Señal de referencia
Predicción de la salida
t+Nu
tiempo
pasado futuro
Señal de control propuesta por el controlador
t+Nu
Horizonte de control
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39
Estructuración de la ley de control (4):
Se estructura la entrada de control futuro como una combinación lineal de funciones base pre-especificadas:
)t(B)t()t/kt(u i
n
1ii
B
Una selección específica son funciones básicas polinómicas: B0(k) = 1, B1 (k) = k, B2(k) = k2,...
k = 0,..., N2-1
Funciones base
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40
Restricciones
CPBM proporciona una forma sistemática de tener en cuenta las restricciones durante la fase de diseño e implementación del controlador.
Permite que el ingeniero/operador pueda introducir las restricciones de una manera directa
El algoritmo automáticamente encuentra la mejor solución satisfaciendo todas ellas
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41
Tipos de restricciones
Limitaciones de seguridad: la presión dentro de un reactor no debe exceder ciertos límites
Restricciones físicas: una válvula no puede abrirse o cerrarse más allá de sus especificaciones
Necesidades tecnológicas: la temperatura debe mantenerse dentro de unos márgenes
Calidad del producto: cota para las impurezas
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42
Incorporación de las restricciones en los controladores predictivos
ClippingConmutación entre controladoresFunciones de penalizaciónProgramación cuadrática:
Solución numérica del problema de cálculo en cada periodo de muestreo
Se obtiene la solución de forma exacta Algoritmos y software de optimización eficientes El problema de la factibilidad
...
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43
Definición de restricción
Conjunto de desigualdades que se añaden al objetivo de control para limitar la variación de determinadas variables en un rango dado:
vmin v(t+j) vmax, j=N1, ..., N2
donde v es la variable restringida, vmin es el valor mínimo permitido y vmax es el máximo
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44
Tipos de restricciones (1/7): Señal de control, su velocidad y aceleración
1N,0j,uj1tujtujtuu
1N,0j,uj1tujtujtuu
1N,0j,ujtuu
umax22
min2
umaxmin
umaxmin
t
u
Restricciones en posición en u
Máximo decremento permitido(Restricciones en los cambios de u)
![Page 45: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/45.jpg)
45
Tipos de restricciones (2/7): Señal controlada, su velocidad y aceleración
tRestricciones en posición en y
y
43maxmin N,...,Nj,yjtyy
43maxmin N,...,Nj,yjtyy
43max22
min2 N,...,Nj,yjtyy
![Page 46: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/46.jpg)
46
ry
ry
yfuGy
max
min
maxmin
Tipos de restricciones (3/7): Tipo banda en las señales controladas
Restricciones banda
Consigna
tt+N4
![Page 47: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/47.jpg)
47
Tipos de restricciones (4/7): Sobreoscilación permitida a las señales controladas
Restricción en la sobreoscilación
Consigna
tt+N4
wfuG
Se trata de evitar que la sobreoscilacíón de la señal controlada sobrepase un valor prefijado por el usuario. Se introducen estas restricciones cada vez que se produce un cambio de consigna que se mantenga constante durante el suficiente tiempo
![Page 48: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/48.jpg)
48
Tipos de restricciones (5/7): Comportamiento monótono
y t j y t j y t wt
y t j y t j y t wt
1
1
,
,
Consigna
tt+N4
Se trata de evitar que la señal controlada oscile. Se introducen estas restricciones cada vez que se produce un cambio de consigna que se mantiene constante durante el suficiente tiempo
![Page 49: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/49.jpg)
49
Tipos de restricciones (6/7): Comportamiento fase no mínima
Existen procesos que muestran un comportamiento de fase no mínima: la variable tiende a evolucionar en sentido contrario a la posición final
Restricción fase no mínima
Consigna
tt+N4
y t j y t y t wt
y t j y t y t wt
,
,
![Page 50: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/50.jpg)
50
Tipos de restricciones (7/7): Estado final alcanzado por el sistema
Se fuerza que a partir de un determinado instante la salida siga exactamente la señal de referencia. Son un tipo especial de restricciones de igualdad
![Page 51: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/51.jpg)
51
Algoritmo de cálculo de la señal de control
Para obtener los valores u(t+k|t) será necesario minimizar la función de coste J: Haciendo uso del modelo del proceso:
Calcular la predicción de las salidas en función de valores pasados de entradas y salidas y de señales de control futuras
Sustituir en la función de coste Minimizar J
Sin restricciones Con restricciones
Mediante la estructuración de la ley de control se reduce el número de variables independientes
![Page 52: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/52.jpg)
52
Resumen de los elementos del CPBM
Los elementos que caracterizan al Control Predictivo son: La predicción basada en un modelo del proceso La generación de una trayectoria de referencia Horizonte móvil La estructuración de la ley de control: Nu
Para cada uno de estos elementos hay varias opciones, según la que se elija se tendrán los diferentes tipos de controladores predictivos
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53
Contenido
Introducción El Control Predictivo Elementos del CPBM GPC Metodología de diseño y sintonía de un CPBM Ventajas y desventajas de CPBM Futuro del CPBM
![Page 54: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/54.jpg)
54
GPC: Generalized Predictive Control
OrigenElementos básicos del GPC:
Modelo del sistema Trayectoria de referencia Estructuración de la ley de control Función objetivo
Cálculo de las ecuaciones de predicciónSelección de los parámetros de sintonía
![Page 55: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/55.jpg)
55
GPC
Generalized Predictive Control Control Predictivo Generalizado Desarrollado por Clarke & Mohtadi en 1987 Buen comportamiento en plantas
de fase no mínima inestables en lazo abierto
![Page 56: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/56.jpg)
56
Modelo del sistema
Modelo del proceso: función de transferencia Modelo de las perturbaciones: ARIMA
)t()q1(
)q(T)t(v)q(D)t(u)q(B)t(y)q(A
1
1111
T
D
B
v
u y +
![Page 57: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/57.jpg)
57
Trayectoria de referencia
La trayectoria de referencia sigue la forma de un filtro de 1er orden
y(t)
t
1
2
3
1 2 3
< <=0 < 1
(t)y (t) w
j)r(t ) -(1 1)-j(ty j)(t w
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58
Estructuración de la ley de control
Nu: horizonte de control a partir del cual la señal de control futura es constante
![Page 59: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/59.jpg)
59
Función de coste
Si k=N2-j , es un peso exponencial sobre el horizonte de predicción 0 < < 1: control suave y un sistema de control robusto > 1: control más agresivo, esfuerzos de control
mayores
Los coeficientes de peso j se introducen para mejorar la robustez y la estabilidad numérica
1Nu
0j
21j
N
Nj
2j jtujtrjtyJ
2
1
![Page 60: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/60.jpg)
Futuro del CPBM
GPC Predicciones(1)
Modelo:
Predicción:
)t()q(T
)t(u)q(B)t(y)q(A
1
11
)jt()q(A
)q(T)jt(u
)q(A
)q(B)jt(y
1
1
1
1
El término de ruido mezcla valores pasados (conocidos) y futuros
)q(A
)q(Fq)q(E
)q(A
)q(T jjj 1
11
1
1
)t()q(A
)q(F)jt()q(E)jt(u
)q(A
)q(B)jt(y j
j
1
11
1
1
![Page 61: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/61.jpg)
Futuro del CPBM
GPC Predicciones(2)
)t()q(A
)q(F)jt()q(E)jt(u
)q(A
)q(B)jt(y j
j
1
11
1
1
El ruido puede ser calculado en t a partir del modelo:
))t(u)q(B)t(y)q(A()q(T
)t( 111
)jt(E)t(yT
F)jt(u
T
Fq
AB
))t(Bu)t(Ay(TA
F)jt(E)jt(u
AB
)jt(y
jjjj
jj
1
)q(A
)q(Fq)q(E
)q(A
)q(T jjj 1
11
1
1
)q(T
)q(A)q(E
)q(T
)q(Fq jjj
1
11
1
11
![Page 62: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/62.jpg)
Futuro del CPBM
GPC Predicciones(3)
)jt()q(E)t(y)q(T
)q(F)jt(u
)q(T
)q(E)q(B)jt(y 1
j1
1j
1
1j
1
La predicción de varianza mínima es el valor esperado condicional:
)t(y)q(T
)q(F)jt(u
)q(T
)q(E)q(B)tjt(yE)jt(y
1
1j
1
1j
1
El término de u mezcla valores pasados y futuros
)q(T
)q(Nq)q(G
)q(T
)q(E)q(B1
1jj1
j1
1j
1
)t(y)q(T
)q(F)t(u
)q(T
)q(N)jt(u)q(G)jt(y
1
1j
1
1j1
j
![Page 63: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/63.jpg)
Futuro del CPBM
GPC Predicciones(4)
)t(y)q(T
)q(F)t(u
)q(T
)q(Np
1
1j
1
1j
j
( ) ( ) ( )y t j G q u t j pj j 1
Respuesta libre:pj)jt(u)q(G 1j Respuesta forzada:
Cálculo de la respuesta
forzada
Cálculo de la respuestalibre
Respuesta
Controles futuros
Controles pasados
Salidas pasadas
N21,...,k k/t),(t y k/t)(t y )jt(y cf
![Page 64: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/64.jpg)
Futuro del CPBM
Solución óptima (1)
1Nu2N2N
1211N
11N
g...............g
.....................
0..................
0...0gg...g
0...0g...g
G
2N
1Nj
1Nu
0j
22 )jt(u)jt(r)jt(yJ
j1
j p)jt(u)q(G)jt(y
Puede expresarse en forma matricial definiendo:
u( )' ( ), ( ),..., ( )t u t u t u t Nu 1 1
2N11N1N0 p)2Nt(r,...,p)11Nt(r,p)1Nt(r' e
Basta sustituir la predicción:
![Page 65: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/65.jpg)
Futuro del CPBM
Solución óptima (2)
0002 eeuGeuIGGu ')t(')t(')t('Jminu
Si no hay restricciones en las variables, puede resolverse haciendo:
0uuGeG0u 0
22J
01 eGIGGu '')t(
)('')t( j1 prGIGGu
![Page 66: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/66.jpg)
66
Contenido
Introducción El Control Predictivo Elementos del CPBM GPC Metodología de diseño y sintonía de un
CPBM Ventajas y desventajas de CPBM Futuro del CPBM
![Page 67: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/67.jpg)
67
CPBM de procesos MIMO (1/2)
La mayoría de plantas industriales tienen varias variables manipuladas (MV) y variables controladas (CV)
En la mayoría de las ocasiones, un cambio en una MV afecta a varias CV
Estas interacciones entre las variables del proceso pueden resultar en un comportamiento pobre o incluso inestabilidad
En este caso la planta debe considerarse MIMO
El Control Predictivo permite la generalización al caso MIMO de forma intuitiva y clara
![Page 68: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/68.jpg)
68
CPBM de procesos MIMO (2/2)Estructura del proceso
La estructura del proceso determina los grados de libertad que tiene disponible el controlador
Proceso estrecho
MV’s
CV’s
CV’s>MV’sgrados de libertad < 0
Proceso cuadrado
MV’s
CV’s
CV’s=MV’sgrados de libertad = 0
Proceso amplio
MV’s
CV’s
CV’s<MV’sgrados de libertad > 0
![Page 69: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/69.jpg)
69
Diseño y sintonía de un CPBM (1/5)Objetivos generales de un CPBM
Evitar violaciones de las restricciones de entrada y salida
Llevar las CV’s a sus valores óptimos en estado estacionario (optimización dinámica de la salida)
Llevar las MV’s a sus valores óptimos en estado estacionario utilizando los restantes grados de libertad (optimización dinámica de las entradas)
Evitar movimientos excesivos de las MV’s
Cuando se producen fallos de las señales o de los actuadores, controlar la planta tanto como sea posible
![Page 70: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/70.jpg)
70
Diseño y sintonía de un CPBM (2/5)Flujo de cálculo en un CPBM
Leer los valores de MV’s, DV’s y CV’s del proceso
Determinar el estado de las variables
Optimizar
Enviar MV’s al proceso
![Page 71: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/71.jpg)
71
Diseño y sintonía de un CPBM (3/5)
A partir de los objetivos de control planteados, definir el tamaño del problema y determinar las CV’s, MV’s y DV’s relevantes
Testear sistemáticamente la planta variando las MV’s y DV’s; capturar y almacenar datos en tiempo real que muestran como responden las CV’s
Derivar un modelo dinámico de los datos del test de planta utilizando un paquete de identificación
Configurar el CPBM e introducir parámetros de sintonía inicial Verificar el controlador fuera de línea utilizando simulación
en lazo cerrado para comprobar su funcionamiento Descargar el controlador configurado en la máquina destino
y testear las predicciones del modelo en lazo abierto Instalar el CPBM y refinar la sintonía cuando se necesite
![Page 72: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/72.jpg)
72
Diseño y sintonía de un CPBM (4/5) Estrategias de diseño de controladores
Sin Modelo Análisisdel
proceso
Sintoníadel
controlador
Con Modelo Especificar
control
Modelado
Identificación
![Page 73: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/73.jpg)
73
Diseño y sintonía de un CPBM (5/5) Plan de trabajo en control avanzado
Especificaciones Generales 10%
Modelado 30%
Protocolo de DiseñoExperimentos y Procesamiento de Datos
20%
Identificación y Especificaciones Finales 10%
Diseño del Controlador 10%
Implementación del Software 10%
Pruebas de Instalación, Formación yDocumentación
10%
![Page 74: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/74.jpg)
74
Contenido
Introducción El Control Predictivo Elementos del CPBM GPC Metodología de diseño y sintonía de un
CPBM Ventajas y desventajas de CPBM Futuro del CPBM
![Page 75: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/75.jpg)
75
Ventajas de CPBM
Conceptos básicos fáciles de comprender
El CPBM se aplica a tipos muy diferentes de sistemas: SISO o MIMO con/sin perturbaciones dinámicas complejas
Inclusión de restricciones
Compensación por adelanto
Compensación de los retardos
Indicados en aquellos problemas en los que se conoce de antemano la referencia: Robótica Procesos por lotes
![Page 76: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/76.jpg)
76
Desventajas del CPBM
Pueden resultar computacionalmente costosos
Necesidad de un modelo del proceso a controlar
![Page 77: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/77.jpg)
77
Aplicaciones
Productos comerciales
RMPC de Honeywell DMC de DMC Corporation-
Aspen PC/PCT de Profimatics-Aspen HIECON y PFC de Adersa IDCOM-M de SETPOINT-Aspen IDCOM-B de SETPOINT-Aspen SCAP Europa HITO de INITEC, UVA, UNED,
CPI y SGAE
Campos aplicación
Petroquímica: Columnas de
destilación Unidades de cracking Hornos, ...
Misiles Azucareras Aluminio Papeleras ...
![Page 78: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/78.jpg)
78
Contenido
Introducción El Control Predictivo Elementos del CPBM GPC Metodología de diseño y sintonía de un
CPBM Ventajas y desventajas de CPBM Futuro del CPBM
![Page 79: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/79.jpg)
79
Futuro del CPBM
Lo que limita la aplicabilidad del CPBM en la industria no son las deficiencias del algoritmo de control sino: Dificultades de modelización Falta de sensores apropiados Tolerancia frente a fallos
CPBM apunta nuevas necesidades en estas áreas: Estabilidad Robustez Tolerancia a fallos Extensiones prácticas a sistemas no lineales Procesos batch Mejora de interfaces Incluir de forma sistemática conocimiento cualitativo
![Page 80: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/80.jpg)
80
Estabilidad en CPBM
Estabilidad en lazo cerradoAnálisis de estabilidad sin
restriccionesImposición de condiciones
adicionales para garantizar estabilidad
Estabilidad en CPBM con restricciones
![Page 81: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/81.jpg)
81
Estabilidad en lazo cerrado
Reguladores basados en modelos respuesta salto o impulso, (DMC, IDCOM,..) sólo son aplicables a sistemas estables en lazo abierto
No hay teoremas que garanticen la estabilidad con otros reguladores clásicos basados en F.T : (GPC,.. ) o variables de estado (PFC,..), excepto en casos particulares
![Page 82: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/82.jpg)
82
Sistemas lineales sin restricciones
2
1
1
0
22N
Nj
Nu
j)jt(u)jt(r)jt(y
uJmin
¿ Como puede asegurarse que el control obtenido medianteoptimización en lazo abierto en cada paso:
estabiliza el sistema en lazo cerrado resultante ?
GPC Ay=Bu+T/w u y
Ejemplo GPC
![Page 83: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/83.jpg)
83
Análisis de estabilidad sin restricciones
El controlador GPC es equivalente a un regulador lineal, cuya estabilidad puede analizarse por métodos clásicos
La estabilidad depende de los parámetros de sintonía N2, N1, Nu, , , ... Puede incorporarse análisis de robustez.
Ay=Bu+T/w u y
R
S
T
![Page 84: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/84.jpg)
84
Imposición de condiciones adicionales para garantizar estabilidad
Restricciones terminales
Lazo interno estabilizante
Penalización terminal
Horizontes infinitos
Parametrización de soluciones estables
![Page 85: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/85.jpg)
85
Restricciones terminales
Restricciones de igualdad tras N2: CRHPC Constrained Receding Horizon Predictive
Control SIORHC Stabilizing I/O Receding Horizon Control
horizonte depredicción intervalo de coincidencia
w
y(t+j)
N1 N2t
y(t+j)=w j=N2,.....N2+MSolución analítica con multiplicadores de Lagrange
N2+M
![Page 86: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/86.jpg)
86
Lazo interno estabilizante
Lazo interno para estabilizar el sistema +GPC externo
SGPC Stable Generalized Predictive Control
GPC Ay=Bu+T/w
uy
R
![Page 87: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/87.jpg)
87
MBPC en espacio de estados
Para el sistema x(t+1)=Ax(t)+Bv(t); z(t)=Cx(t), en cada instante t, calcular los controles v(0),.…v(N-1) que minimicen
1
0
N
jvN )j(Rv)'j(v)j(Qz)'j(z)N(Qz)'N(zmin))t(x(J
)t(x)(z,)j(Bv)j(Az)j(z 01Sujeto a
![Page 88: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/88.jpg)
88
Penalización terminal
Penalización terminal:Añadir un peso sobre el estado final del sistema
Si el peso P es suficientemente grande puede asegurarse la estabilidad del sistema
¿Cómo escoger P?
1
0
N
jvN )j(Rv)'j(v)j(Qz)'j(z)N(Pz)'N(zmin))t(x(J
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89
Penalización terminal
Horizonte Infinito (LQR)Se asegura la estabilidad en todo instante de tiempo al considerar en la función de coste un horizonte infinito
0jv)j(Rv)'j(v)j(Qz)'j(zmin))t(x(J
![Page 90: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/90.jpg)
90
Estabilidad en MBPC con restricciones
Al incluir restricciones desaparecen las soluciones analíticas
El sistema con restricciones es no-lineal, incluso si el modelo es lineal, y el análisis de estabilidad es mas difícil
Es difícil obtener soluciones realizables con horizontes infinitos
![Page 91: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/91.jpg)
91
Uso de JN como función de Lyapunov
JN es definida positiva y JN(0)=0,
x1
x2
x0
JNa lo largo de lastrayectorias del sistema
}
Para que el sistema sea estable en lazo cerrado debe cumplirse: JN(x(t)) > JN(x(t+1))
JN puede ser usada como función de Lyapunov para el estudio de estabilidad.
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92
Función de Lyapunov
J x t min z N Qz N z j Qz j v j Rv j
z j Az j Bv j z x t
Nv
j
N
( ( )) ( )' ( ) ( )' ( ) ( )' ( )
( ) ( ) ( ) , ( ) ( )
0
1
1 0
sujeto a
u(t)=v*(0,x(t))
La función escogida es:
y debe calcularse a lo largo de las trayectorias impuestaspor la solución de la optimización en cada paso:
x(t+1)=Ax(t)+Bu(t)
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93
Ecuación básica
))t(x(J))t(x(J)t(Ru)t(u)t(Qx)t(x
))t(x(J))t(x(J
NN''
NN
11
1
1
Esta expresión debe ser positiva para asegurar la estabilidad
El término x t Qx t u t Ru t' '( ) ( ) ( ) ( ) es siempre positivo
Del principio de optimalidad, y restando JN(x(t+1)) :t t+1
x(t)
x(t+1)trayectoria óptima desde t
t+N
El término J x t J x tN N 1 1 1( ( )) ( ( ))es de signo indeterminado
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94
Condiciones de estabilidad
Restricción terminal– z(N)=0
Penalización terminal– x(N)’Px(N) con P grande– ¿Cómo escoger P?
Horizonte infinito– ¿Cómo resolver el problema infinito con restricciones?
El término J x t J x tN N 1 1 1( ( )) ( ( ))es positivo con:
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95
Control Predictivo Robusto
Problema de Robustez: El modelo identificado es el modelo más probable con
los datos disponibles El sistema debe ser estable aunque el proceso real sea
diferente del modelo identificado
Método usual de estudiar la Robustez: Pruebas exhaustivas del controlador: Costoso Difícil cubrir todos los casos
Solución: Control Predictivo Robusto
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Aproximaciones al CPBM Robusto
Optimización Min-max
Selección Robusta de Modelo
Parametrización de Youla
Optimización LMI
Añadir Restricciones de robustez
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Optimización Min-max
Restricciones banda
Consigna
tt+N4
No se trabaja con un modelo sino con una familia de modelos Se genera una familia de trayectorias dentro de una banda La banda será tanto más estrecha cuanto más pequeña sea la incertidumbre
La predicción: djtuzBzEtyzFjty 11j
1jm
En una banda limitada por:
jtzEmaxjtyjtyjtzEminjty 1
m1
m
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98
Optimización Min-max Hasta ahora: minimizar una función J con la situación más esperada
(las trayectorias futuras más esperadas)
Robusto: minimizar J para la peor situación (límite de las trayectorias futuras):
,uJmaxminUu
Problema de optimización min-max
Inconvenientes Grandes cálculos Difícil en tiempo real
![Page 99: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/99.jpg)
99
Min-max con incertidumbre desconocida
Se minimiza una función de coste cuadrática, cuando incertidumbres de tiempo finito maximizan esta función de coste:
WW)W(maxmin T2
N1Wu
Para mejorar las propiedades de estabilidad y seguimiento se considera el peso de la incertidumbre en un horizonte de coste (1:Nw)
Solución analítica a partir de la teoría de juegos discreta LQ Desventajas:
No se consideran restricciones Sólo para sistemas estables
Parámetros de sintonía adicionales and Nf
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100
Min-Max: normas y 1 Minimizar el error de seguimiento (MIMO) ante la presencia de
incertidum-bres sobre el modelo impulsional considerando normas y 1
ref
)k()k()k(
y),u(yyuuu
uy),u(ymaxmin
Equivalente a un problema de programación lineal Desventajas:
Número elevado de restricciones: difícil de resolver on-line ¿Cómo se puede estimar la incertidumbre de una respuesta impulsional? Aproximación de peor caso Sólo para sistemas estables
1ref
)k()k()k(
y),u(yyuuu
uy),u(ymaxmin
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101
Selección Robusta de Modelo
El modelo nominal se reemplaza por un modelo alternativo con comportamiento robusto: Estabilización robusta de un conjunto de plantas que da comportamiento
robusto Polos en lazo cerrado dentro del disco de radio r<1 centrado en el origen
Método: Calcular el conjunto de modelos alternativos que dan un comportamiento
robusto Seleccionar de este conjunto el modelo más próximo al modelo nominal
Desventajas: Sólo es válido para problemas escalares
lineales Difícil extensión a plantas de orden
arbitrario: optimización no lineal compleja
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102
Parametrización de Controladores Estabilizante (o de Youla)
Problemas escalares (con restricciones) para plantas inestables Técnica de diseño: Suponer un problema sin restricciones: escribir el Control
Predictivo Nominal en términos de funciones de transferencia:
+ -
(Y-NQ)-1 B/Ay
X+MQ
T
-
Desventajas: Difícil extensión a problemas multivariables Controlador de orden alto
Aplicando la parametrización de Youla es posible expresar el conjunto de controladores estabilizantes como:
NQY
MQX)Q(K
Puede aplicarse el Teorema de pequeña ganancia para asegurar la robustez Problema con restricciones: optimización l1:
1dQ
M)MQX(Wmin
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103
LMI: Linear Matrix Inequalities
Plantas MIMO o inestables Descripción de la incertidumbre:
L
iiii B,AB,A
1 Incertidumbre estructurada
{ Multimodelo
La minimización de la función objetivo de peor caso con restricciones en las entradas y en las salidas puede transformarse en un problema LMI
M
1iii0
T
FxFsubject to
xcmin
Software Disponible para resolver el problema en cada período de muestreo: óptimo global, tiempo polinomial y criterio de parada definido
Comportamiento robusto: puede especificarse una velocidad de decaemiento
Desventajas: conservadurismo, tiempo de cálculo, no considera el problema de la factibilidad
![Page 104: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/104.jpg)
104
Restricciones Robustas
Plantas MIMO o inestables Descripción de la incertidumbre:
Conjunto de posibles modelos (en espacio de estados):
Se añade al problema de programación cuadrática una serie de restricciones cuadráticas adicionales (una por cada modelo considerado
Aplicando un criterio de Lyapunov puede asegurarse la estabilidad asintótica
El método puede extenderse a plantas no lineales: optimización no lineal
n 1iii B,AB,A
![Page 105: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/105.jpg)
105
Conclusiones
Necesidad del Control Avanzado Enmarcar el Control Predictivo
Introducción al Control Predictivo Definición de conceptos básicos Metodología de diseño Importancia en la industria
El controlador GPC
![Page 106: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/106.jpg)
106
Selección parámetros de sintonía
N1
Si el retardo K del sistema se conoce exactamente: N1 = K
Si el retardo no es conocido o es variable, N1 = 1
N2 debe ser mayor que el grado de B(q-1) Nu Si n=max(na+1, nb)
N1 = n, N2 2n-1, Nu=n y =0,
proporciona un controlador dead-beat estable. Si Nu = N2 .
El controlador GPC tiende a una ley tipo LQ con horizonte móvil para el cual la secuencia de control futuro se calcula en cada instante de muestreo.
![Page 107: Introducción al Control Predictivo Fernando Juan TADEO RICO](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022081414/54d55ec1497959bd1d8b46f3/html5/thumbnails/107.jpg)
107
Estructuración de la ley de control (5):
N2 se divide en una serie de bloques y la entrada de control se mantiene constante en cada bloque
Bloques