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11 CAPITULO

Introducción al control discreto.

...ha de saber las matemáticas, porque a cada paso se le ofrecerá

tener necesidad de ellas...

Don Quijote Capitulo 18, parte 2. Contenido: Tema 1.1: Introducción: Sistemas discretos,

Sistemas muestreados, Sistemas digitales.

Tema 1.2: Transformada Z: Definición y propiedades. Tema 1.3: Ecuaciones de diferencias. Tema 1.4: Formalismo para la función de transferencia en Z.

Instituto Tecnológico de Puebla

Control Digital. Tema 1.1 Introducción: Sistemas discretos, sistemas muestreados, sistemas digitales. Los términos tiempo continuo y analógico son idénticos en significado cuando lo aplicamos a sistemas y señales . Las señales analógicas son funciones de variables en tiempo continuo y sistemas analógicos son aquellos que son descritos en términos de tales señales, de la misma forma los conceptos de tiempo discreto y digital son definidos. En el campo de sistemas de control , las computadoras digitales fueron utilizadas en primera instancia en aplicaciones militares y espaciales donde los altos costos de estos sistemas eran justificados. Cuando los costos de la computadora empezaron a disminuir , su uso para efectos de control empezó a gran escala en industria tales como: Procesamiento químico, manufacturas, plantas de comunicaciones. Cuando aparecieron las minicomputadoras más rápidas, con mayor capacidad de procesamiento y mucho más baratas que sus antecesoras, empezó una verdadera revolución en la industria nuevamente, computadoras generales o de propósito especifico empezaron a aparecer. Sin embargo para poder procesar las señales analógicas mediante la computadora digital es necesario una conversión señales. En lo cual cada señal analógica que se desea manipular mediante una computadora debe ser convertida de su forma analógica a su forma digital mediante un convertidor analógico digital tal como lo muestra la figura no. 1.1. Pero se debe tomar en cuenta que la salida de la computadora no debe cambiar hasta que el próximo conjunto de conversiones D/A y cálculos se realicen, es por eso que en algunos procesos de D/A deben ser mantenidos durante cada ciclo lo cual nos lleva a la utilización de un dispositivo muestreador - retenedor. Las señales de entrada son analógicas y las salidas deben ser también son señales analógicas, y entre ellas puede llevarse a cabo un poderoso procesamiento computacional; operaciones como raíz cuadrada, correlación, generación de funciones, y un análisis espectral los cuales son una verdadera pesadilla en “hardware analógico “ son implementados digitalmente por una rutina de software. La tabla no. 2.1 muestra una breve reseña de la cronología de la computadora digital.


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Control Digital. Fecha

A.C. El ábaco esta en uso. Se difunde su uso por Europa y Asia. 1650 Pascal construye un calculador mecánico de escritorio para sumas 1670 Leibiniz construye un calculador capaz de realizar suma, resta, multiplicación, división y

raíz cuadrada. 1800 Jacquard perfecciona el telar automático el cual es programado utilizando tarjetas

perforadas. 1830 Babbage desarrolla los principios de la computadora moderna, incluyendo memoria,

control del programa y capacidades de ramificación. 1890 Hollerith utiliza un sistema de tarjetas perforadas para el censo de los Estados Unidos ,

Holleriths company más tarde se convertiría en IBM 1940 Aiken construye una computadora electromecánica programable MARK I utilizada para

cálculos de balística para la armada de los Estados unidos. 1946 Eckert and Mauchly construye la primera computadora digital basada en tubos de vacío

ENIAC en la Universidad de Pennsylvania. 1948 Von Neumann dirige la construcción de la primera computadora con programa

almacenado en Princeton. 1950 Sperry Rand Corporation construye la primera computadora para el procesamiento de

datos comerciales usando diodos semiconductores y tubos de vacío UNIVAC I. 1952 IBM realiza el estudio de mercado para la comercialización de la primera computadora

digital IBM 701. 1960 La segunda generación de computadoras es introducida al mercado los tubos de vacío

son cambiados por componentes de estado sólido. 1964 La tercera generación de computadoras empieza. la presencia del circuito integrado

predomina como en la IBM 360 1965 Digital Equipament Corporation comercializa la PDP-8, la industria de

minicomputadoras empieza. 1973 Intel comercializa la primera microcomputadora la cual utiliza el procesador 8080. 1975 10 diferentes microprocesadores son comercializados, incluyendo el F8 de fairchild, el

Intel 8080A, el motorola 6800, Signetics 2650. 1977 Motorola, Texas Instruments, Intel y Zilog comienzan la competencia en la

comercialización de microprocesadores de 16 bits, y los microprocesadores de 32 bits son anunciados.

1978 Rockwell International comercializa el sistema de microprocesador AIM-65 a un precio de 500 dólares. El sistema incluye display alfanumérico, una pequeña impresora, un interface para el casete y puertos de entrada y salida, el software esta en almacenado en una memoria ROM, el cual incluye el sistema monitor, ensamblador y el compilador Basic.

1982 La tecnología VLSI es capaz de integrar un millón de dispositivos en un solo chip semiconductor.

1983 Las computadoras personales son comparables en capacidad y almacenamiento que los mainframes de los 60s.

1984 Las calculadoras portátiles son programables en Basic 1986 Una intensa competencia empieza cuando se duplican las PCs de IBM

Tabla no. 2.1 Evolución de la computadora digital

Utilizando a la computadora digital como un dispositivo programable de propósito general, podemos observar que cambios en los objetivos y en las características del diseño solo implicarían pequeñas modificaciones en el programa almacenado ( software ) y no en el equipo ( hardware ).


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Control Digital.

figura no. 1.1 Controlador digital simple.

La computación digital esta sujeta a los errores de redondeo y a la truncación por error debido a que los números están representados por un número finito de bits. Conversión analógico – digital Una señal analógica tal como un voltaje puede ser representada como un número binario, apropiado para el procesamiento computacional, simplemente por la asignación de peso dependiendo de la posición. La tabla 1.2 nos da la codificación en 4 bits de una señal analógica la cual se encuentra en el rango de 0 - 10 v. cada incremento binario representa 2 1 14− = 6 .

Voltaje analógico Representación binaria 0 a 0.625 0000

0.625 a 1.25 0001 1.25 a 1.875 0010 1.875 a 2.5 0011 2.5 a 3.125 0100 3.125 a 3.75 0101 3.75 a 4.375 0110 4.375 a 5.0 0111 5.0 a 5.625 1000 5.625 a 6.25 1001 6.25 a 6.875 1010 6.875 a 7.5 1011 7.5 a 8.125 1100 8.125 a 8.75 1101 8.75 a 9.375 1110 9.375 a 10.0 1111

Tabla no. 1.2.


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Control Digital.

Cada número binario representa un rango del voltaje analógico; por lo tanto existe una cuantización del error asociada con la conversión. Para una conversión a 4 bits la máxima cuantización del error es . 2 6 25%4− = . La tabla no. 1.3 muestra el error de cuantización en porciento para varios números de bits en la representación digital. El error de cuantización en una conversión de 16 bits corresponde a una razón de señal a ruido ( SNR ) de:

( )SNR dB Log dB= =20 2 96 31016 .

Número de bits

Máximo error porcentual

1 50 2 25 4 6.25 6 1.56 8 0.391

10 0.0977 12 0.0244 14 0.0061 16 0.0015

Tabla no. 1.3.

Realizando una comparación, la razón típica señal a ruido en la calidad de grabación y reproducción de audio son de 60 a 70 dB, la cual pude ser precisamente lograda solo con 12 bits de codificación. Para señales bipolares, existe tres tipos de códigos binarios los cuales se muestran en la tabla no. 1.4 En el arreglo de signo y magnitud, el bit más significativo del código binario representa el signo algebraico de la señal, en donde el cero tiene un valor positivo, los bits restantes representan el valor de la magnitud de la señal. El arreglo de compensación binaria ( offset binary ) es el equivalente a la suma de una constante a la señal a convertir de tal manera que el resultado sea no negativo. En la implementación de complemento a 2 las señales negativas son representadas como el complemento a 2 de su magnitud, de la misma manera que los números negativos son manipulados en las computadoras digitales. En aplicaciones que involucran displays digitales, podemos utilizar la codificación en BCD ( binary coded decimal ) , donde la señal es representada como un dígito decimal y cada dígito decimal se convierte individualmente a un código de 4 bits equivalente.


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Control Digital.

Voltaje analógico Signo y magnitud Offset binario Complemento a 2 -5.0 a -4.375 1111 0000 1001 -4.735 a -3.75 1110 0001 1010 -3.75 a -3.125 1101 0010 1011 -3.125 a -2.5 1100 0011 1100 -2.5 a -1.875 1011 0100 1101 -1.875 a -1.25 1010 0101 1110 -1.25 a -0.625 1001 0110 1111

-0.625 a 0 1000 0111 1000 0 a 0.625 0000 1000 0000

0.625 a 1.25 0001 1001 0001 1.25 a 1.875 0010 1010 0010 1.875 a 2.5 0011 1011 0011 2.5 a 3.125 0100 1100 0100 3.125 a 3.75 0101 1101 0101 3.75 a 4.375 0110 1110 0110 4.375 a 5.0 0111 1111 0111

Tabla no. 2.4

Ejercicio: ¿ Cuál es el máximo porcentaje de error de un número binario si este es truncado a 10 bits?.¿ Y cuál es si este es redondeado? Respuesta: 0.098% , 0.049% Muestreadores y retenedores Los convertidores A/D y D/A son utilizados repetidas veces para realizar conversiones, para el caso de conversión analógica digital es necesario liberar la señal analógica mientras se realiza la conversión . Un dispositivo muestreador y retenedor cuyo símbolo se muestra en la figura no. 1.2, puede utilizarse para mantener la señal analógica permanente mientras se realiza la conversión, como se muestra en la figura 1.3.

figura no. 1.2


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Control Digital.

figura no. 1.3 Conversión digital - analógica En la conversión de digital a analógica, la salida del convertidor D/A puede estar variando demasiado, mientras se realiza la conversión , por esta razón es conveniente utilizar un retenedor - muestreador, el cual mantendrá la señal, mientras se realiza la nueva conversión, como se muestra en la figura no. 1.4. Ejercicio: Un convertidor D/A de 12 bits tiene un voltaje de salida mínimo de -10 volts y una voltaje máximo de salida de 10 volts. Después de aplicar el código binario 010110101001. ¿Cuál es la salida de voltaje?, si el convertidor es de el siguiente tipo: (a) Signo y magnitud (b) Offset binario (c) Complemento a 2 Respuesta: (a) 7.08 (b) -2.92 (c) 7.08

figura 1.4


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Control Digital.

Representación de secuencias Muestras periódicas de una señal en tiempo continuo, las cuales son generadas por un convertidor A/D, forman una secuencia de números conocidos con el nombre de señales en tiempo discreto. La figura no. 1.5 muestra una señal en tiempo continuo f(t) y su correspondiente secuencia de muestras:

f(t=0), f(t=T), f(t=2T), f(t=3T), ... algunas veces este tipo de notación puede causar confusiones, es por ello que es común en la práctica denotar la secuencia por f(k), donde k es el número de muestras. Algunas secuencias importantes se denotan en las figuras no. 1.5 a 1.10 , examinando la figura no. 1.9 la cual consiste en muestras progresivas de potencias del número:

c e aT= −

y de esta manera se forma la serie geométrica:

f cf cf cf n cn

( )( )( )( )

0 112

0

2

= ==

=

=

Las series geométricas ( o funciones exponenciales muestreadas ) tienen una importancia fundamental en los sistemas de tiempo discreto de la misma forma en que las funciones exponenciales son básicas en los sistemas de tiempo continuo, en la figura no. 1.10 se muestra una función senoidal muestreada la cual recibe el nombre de secuencia senoidal.

figura no. 1.5


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Control Digital.

figura no. 1.6

figura no. 1.7

figura no. 1.8

figura no. 1.9

figura no. 1.10

Otro tipos de secuencias más complicadas pueden representarse como corrimientos y sumas de secuencias básicas . Por ejemplo δ la cual representa la secuencia impulso unitario desplazada dos periodos de muestreo a la derecha como se observa en la figura no. 1.11 a y la figura no. 1.11b es entonces:

(k − 2)

4

f k k k k k k1 2 1 3 2 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + − + − − − − −δ δ δ δ δ La secuencia:

f kk

2

10 2 3 40

( ), , , ...

==

de otra manera


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Control Digital.

dibujada en la figura 1.11c es:

f k u k k k u k2 10 10 10 1 10 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − − − = −δ δ

figura no. 1-11a figura no. 1-11b

figura no. 1.11c

Tema 1.2 Transformada Z: Definición y propiedades

La transformada Z de una secuencia f(k) esta definida como una serie infinita de la siguiente manera:

[ ]Z f k F z f k z k

k

( ) ( ) ( )= = −

=

∞

∑0

Esta transformada juega un papel importante en la descripción de señales en tiempo discreto, tal como la transformada de Laplace lo hace con las señales en tiempo continuo. La tabla 1.5 nos da una lista de los pares de transformadas básicas, junto con la correspondiente función en tiempo continuo la cual da la secuencia cuando se muestrea con un periodo T. Utilizando la definición de la transformada Z, la transformada del impulso unitario:

[ ]Z k k z zk

k

δ δ( ) ( )= =−

=

∞−∑

0

0 1=


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Control Digital.

La transformada Z de la secuencia del escalón unitario es:

[ ]Z u k z k

k

( ) .= −

=

∞

∑10

Usando la serie geométrica:

xx

xk

k

=−

<=

∞

∑ 11

10

entonces:

[ ]Z u k zz z

zz z

kk

kk

( ) = =

=−

=−

<−

=

∞

=

∞

∑∑ 1 11 1 1

1 100

f(t) F(s) f(k) F(z) ( )δ k impulso unitario 1

u(t) escalón unitario 1s

u(k) escalón unitario z

z − 1

tu(t) 12s

kTu(k)

( )Tzz − 1 2

e u taT− ( ) 1s a+

c u k donde c ek a( ) = − T zz c−

te u taT− ( ) ( )

12s a+

kT e u k kTc u kaT k k( ) ( ) (− = ) Tcz

z c( )− 2

(sen bt)u(t) bs b2 2+

(sen kbT)u(k) zsenbT

z z bT2 2 1− +cos

(cos bt)u(t) ss b2 2+

(cos kbT)u(k) z z bT

z z bT( cos )

cos−

− +2 2 1

e senbT u taT− ( ) ( ) bs a b( )+ +2 2

( )e senkbT c senkbTaT k k− = zcsenbTz c bT z2 22− +( cos ) c

e bt uaT− (cos ) ( )t s as a b

++ +( )2 2 ( )(cos ) ( )

(cos ) ( )e kbT uc kbT u k

aT

k

−

=

k

z z c bTz c bT z

( cos )( cos )

−− +2 22 c

Tabla 1.5 Transformadas Z de funciones básicas.

La tabla no. 1.6 nos da las propiedades básicas de la transformada Z . La transformada de una secuencia escalada multiplicada por una constante es la constante de tiempo de la transformada Z


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Control Digital.

original; la transformada Z de una suma de muestras es igual a la suma de las transformadas de cada muestra.

Propiedades de la Transformada Z [ ]Z cf k cF z donde c es una cons te( ) ( ) tan=

[ ]Z f k g k F z G z( ) ( ) ( ) ( )+ = +

[ ]Z kf k zdF zdz

( ) ( )= −

[ ]Z c f k F zcdonde c es una cons tek ( ) tan=

[ ]Z f k f z F z( ) ( ) (− = − + −1 1 1 )

[ ]Z f k f z f z F z( ) ( ) ( ) (− = − + − +− −2 2 11 2 )

[ ]Z f k n f n z f n z f n z f z F zn n( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )− = − + − + − + + − +− − − + −1 2 11 2 1

[ ]Z f k zF z zf( ) ( ) (+ = −1 0)

[ ]Z f k z F z z f zf( ) ( ) ( ) (+ = − −2 02 2 )1

[ ]Z f k n z F z z f z f z f n zf nn n n( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )+ = − − − − − − −−0 1 21 2 1

fF z

z( )

lim ( )0 =

→ ∞

sif k

kexiste y es finito

lim ( ) → ∞

lim ( ) ( )f kk

F z

z → ∞

→ = lim

z -1z

1

Tabla no. 1.6 Propiedades fundamentales de la transformada Z.

Dada una secuencia de la siguiente forma su transformada Z es:

[ ] ( )Z kf k kf z z f k kz f k zddz

z zddz

f k z zddz

k k k

k

k

kk

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )= = = − = − = −− −∞

−

=

∞−

=

∞

=

∞

∑∑ ∑∑k=0

F(z)0 00

La figura no. 1.12 muestra un ejemplo de una secuencia la cual esta desplazada un paso a la derecha.

Figura no. 1-12a figura no. 1-12b


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Control Digital.

figura no. 1-12c Ejercicio: Encontrar la transformada z de las siguientes secuencias:

f kde otra manera

k

( )( )

=−

10

k = 3,4,5,...

respuesta: −

+

−zz

2

1

f f f( ) , ( ) , ( ) ,1 2 4 3 7 8= = − = y las demas muestras 0.

respuesta: 2 3 81 4z z z− −− + 7−

Transformada Z inversa Existen varios métodos para obtener la transformada Z inversa, de los cuales mencionaremos los siguientes: • Desarrollo en una serie infinitas de potencias. • Desarrollo en fracciones parciales. Al obtener la transformada Z inversa se supone que la serie temporal f(k) vale cero para toda k<0. Desarrollo en una serie infinitas de potencias: Se desarrolla F(Z) en una serie de potencias convergente en se pueden determinar los valores de f(kT) por inspección.

z−1

Si F(Z) esta dada en forma de una función racional, se puede lograr el desarrollo en una serie infinita de potencias simplemente dividiendo el numerador por el denominador, si la serie resultante es convergente, los coeficientes de las en la serie son los valores de f(kT) de la secuencia temporal.

z k−


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Control Digital.

Desarrollo en fracciones parciales.

Se desarrolla f zz( )

en fracciones parciales y se procede a realizar la identificación de cada uno de

los términos utilizando la tabla de transformadas Z. Se obtiene la transformada Z inversa de F(Z) como la suma de las transformadas Z inversas de las fracciones parciales. Ejercicio: Usando la división larga mostrar que la transformada Z inversa de:

F z zz

( )( )

=−

101 2 es f k k( ) = 10

Encontrar la transformada Z inversa de:

F z z zz z

( ) =−

+ +3

2 1

2

2 0 respuesta: 3 10 189 133 10 189( ) cos . . ( ) .k kk se− n k

Tema 1.3. Ecuaciones de diferencias.

La transformada Z puede utilizarse para resolver ecuaciones de diferencias, se ilustrara el tema mediante ejemplos. Considerando la ecuación: y(k+1)-y(k)=1 Utilizando la propiedad de desplazamiento en el tiempo (adelanto) se puede obtener la transformada z de la ecuación. zy(z)-zy(0)-y(z)= 1 / ( 1-z=1) entonces: y(z)=z-1/(1-z-1)2 + y0/(1-z-1) Obteniendo la transformada z inversa a la expresión anterior tenemos:

y(k) = y0 + k

Como se mostró resolver las ecuaciones de diferencia utilizando la transformada z es muy fácil y el procedimiento lo podemos describir como: 1. Obtener la transformada z a ambos miembros de la ecuación de diferencias. 2. Despejar la variable a resolver 3. Obtener la transformada z inversa y el resultado es la solución de la ecuación.


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Control Digital.

Para ilustrar el procedimiento resolvamos el siguiente problema: Es posible encontrar una expresión para el K-esimo termino de la serie de fibonacci: { 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...} esta serie representa la manera como se reproducirían una familia de conejos en condiciones ideales. La expresión que nos representa el K-esimo termino, en función del anterior es:

S(k+2)=S(k) + S(k-1)

O sea : S(k+2) – S(k+1) – S(k) = 0 Obteniendo la transformada z: z2 [ s(z) – s(0) –z-1s(1)] – z[ s(z) – s(0)] = 0 Es decir: (z2 – z -1 ) S(z) = s(0) z2 + (s(1) – s(0))z Por lo tanto: S(z) = S(0) z2 + (S(1) – S(0))z / (z2 – z - 1) De la serie: S(0)=0, S(1)=1, entonces S(z)= z / (z2 – z - 1) Obteniendo la transformada z inversa : S(z) / z = 1 / (z-1.62)(z+0.62) De donde: S(z)= 0.446{1 / [(1-1.62 z-1 ) – (1+0.62z-1) ]} Por lo tanto: S(k) = 0.446 [ (1.62)k – (-0.62)k ] Tema 1.4. Formalismo para la función de transferencia en Z Teorema de convolución.

El teorema de convolución para sistemas muestreados proporciona un medio de calculo de la salida del sistema en los instantes de muestreo en función de la entrada aplicada en los mismos instantes.


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Control Digital.

Figura no. 1.13 Sistema con tiempo de muestreo T. Considerando la figura no. 1.13, en la que la entrada e(t) , que al ser muestreada, se convierte en la señal e* que excita un sistema cuya respuesta al impulso es g(t). La salida del sistema es s(t) cuya transformada de laplace esta dada por la expresión :

S(s)=G(s)E*(s) La salida S(t) puede calcularse a partir de la ecuación anterior, con el teorema de convolución:

( ) ( ) ( )∫∞

−=0

* ζζζ dtgetS

Por otra parte, e*(t) esta dado por la expresión:

( ) ( ) ( )∑∞

=

−=0

*

k

kTtkTete δ

Sustituyendo esta ecuación en la anterior:

( ) ( ) ( ) ( ) ζζζδ dtgkTkTetSk

−

−= ∫ ∑

∞ ∞

=0 0

( ) ( ) ( )∑ ∫∞

=

∞

−−=0 0k

dkTtgkTe ζζδζ

Pero:

( ) ( ) (∫∞

−=−−0

kTtgdkTtg ζζδζ )

)

Entonces:

( ) ( ) ( )∑∞

=

−=0k

kTtgkTetS ( ) ( ) ( )∑∞

=

−=0k

kTtgkTetS

O sea:

( ) ( ) (∑∞

=

−=0k

kTnTgkTenTS

Esta expresión constituye el teorema de convolución para sistemas muestreados. Función de transferencia de sistemas muestreados La expresión contiene términos en s y en eTs por lo que no es muy cómoda emplear. El análisis de este sistema y, particularmente el calculo de s(t), puede simplificarse si se evalúa la salida solo en los instantes de muestreo.


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Control Digital.

Para lograr nuestro objetivo imaginemos un muestreador ficticio que se coloque a la salida del sistema y se sincroniza con el de la entrada definiéndose una función de transferencia muestreada entre E*(s) y S*(s) :

( ) ( )( )sEsSsG *

*

=

Haciéndose la sustitución de z=eTs , G(s) se transforma en función de Z:

( ) ( )( )zEzSzG =

Considerando el sistema de la figura 1.13 la transformada z de salida es:

( ) ( )∑∞

=

−=0l

lZlTszS

Aplicando el teorema de convolución a S(lT)

( ) ( ) (∑∞

=

−=0k

kTlTgkTelTS )

y sustituyendo , se llega a la expresión:

( ) ( ) ( ) k

l kzkTlTgkTezS −

∞

=

∞

=∑ ∑

−=

0 0

Definiendo una variable n= l – k, S(z) queda como :

( ) ( ) ( )∑∑∞

−=

∞

=

−−=kn k

nk zznTgkTezS0

( ) ( )∑ ∑∞

−=

∞

=

−−=kn k

kn zkTeznTg0

Para sistemas causales: g(nT) = 0 sin n<0 . Entonces:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑∞

=

∞

=

−− ≅=0 0n k

kn zEzGzkTeznTgzS

O sea :

S(z) = G(z) E(z)


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Control Digital.

La transformada z de la salida de un sistema es el producto de la función de transferencia en z, G(z), y la transformada Z de la señal de entrada, E(z). Ejemplo: Para el sistema de la figura 1.14, S(z) se calcula como sigue:

Figura 1.14 Sistema muestreado.

S(s)=G1(s)G2(s)E*(s)

Al muestrear S(s), la expresión anterior se transforma : S*(s)={G1(s)G2(s)} * E*(s) Y en transformada z queda :

( ) ( ) ( )zEzGGzS 21= Donde ( )zGG 21 significa la transformada z del producto G1(s) y G2(s) El ejemplo siguiente es muy parecido a anterior, solo que intercalamos un muestreador entre G1(s) y G2(s), a la misma frecuencia que los otros: Consideramos la figura 1.15

Figura no. 1.15 Sistema muestreado con tiempo muestreo igual a T.


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Control Digital.

En este caso: S(s) = G2(s)A*(s) A(s) = G2(s)E*(s) Entonces: A*(s) = G*1(s) E*(s) sustituyendo en S(s):

S(s) = G2(s)G*1(s)E*(s) y S*(s) = G*2(s) G1*(s) E*(s)

Por lo que: S(z) = G1(z) G2(z) E(z) Cabe notar que en general,

( ) 2121 GGzGG ≠ En el siguiente ejemplo tenemos un sistema retroalimentado, el cual se muestra en la figura 1.16

Figura 1.16 Sistema muestreado Para este sistema se cumplen las siguientes relaciones: Y(s) = Ro(s) G(s) M*(s) M(z) = D(z) E(z) E(s) = C(s) – Y(s) Entonces: E*(s)= C*(s) – Y*(s) O sea: E(z) = C(z) – Y(z) y M(z) = D(z) C(z) – D(z) Y(z) Al muestrear la salida y(t): ( ) ( ) ( )sMsRoGsY *** =


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Control Digital.

Que puede expresarse como: ( ) ( ) ( )zMzRoGzY =

Y

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )zYzDzRoGzCzDzRoGzY −= La función de transferencia Y(z) / C(z) queda:

( )( )

( ) ( )( ) ( )zDzRoG

zDzRoGzCzY

+=

1

Referencias Bibliográficas: [1] Computer controlled system.

Theory and Design Karl J. Astrom. Bjorn Wittenmak. ISA

[2] Design of feedback control systems

Gene H. Hostetter Clement J, Savant, JR. Raymond T. Stefany HRW Saunders

[3] Control Digital Alvarez Gallegos Joaquin Alvarez Gallegos Jaime CINVESTAV


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introducción al control discreto. · -1.875 a -1.25 1010 0101 1110 -1.25 a -0.625 1001 0110 1111...

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