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Conceptos Basicos Tratamiento de Datos Experimentales Analisis e Interpretacion de Resultados

INTRODUCCION A TEORIA DE

ERRORES

Principios Basicos al Analisis de Datos

Carmen Amanda Giron

Rene David Hernandez Baca

Universidad Nacional Autonoma de Honduras

Facultad de Ciencias

Escuela de Fısica

24 de septiembre de 2018

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Tabla de Contenido1 Conceptos Basicos

Medicion

Incertidumbre o Error

Conceptos Varios

Modelo General para Escribir una Medida

2 Tratamiento de Datos Experimentales

Exposicion de Casos

Estimacion de Incertidumbre para Medidas Directas

Estimacion de Incertidumbre para Medidas Indirectas

Caso General de Incertidumbre

Regla para Escribir Correctamente una Medida

3 Analisis e Interpretacion de Resultados

Herramientas para Analizar Resultados2


Objetivos

X Conocer los conceptos basicos de la teorıa de errores.

X Aprender a tratar diferentes datos experimentales.

X Analizar e interpretar resultados experimentales conociendo algunos

principios basicos.

3



Medicion


Conceptos Varios



Exposicion de Casos








¿Que significa e implica el acto de medir?

Definicion de medicion

Siempre que se esta midiendo “algo”, que se puede llamar variable, lo

que en el fondo se hace es comparar la magnitud de la variable que se

quiere medir, con un patron aceptado como unidad de medicion; la

comparacion implica contar cuantas unidades del patron de medicion

caben en la variable por medir.

Para medir se necesita un patron de medicion bien definido y estandar.

El patron de unidades hoy en dıa mas utilizado es:

“El Sistema Internacional de Unidades”.

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¿Que significa y que implica el acto de medir?

Medir implica fundamentalmente dos aspectos a tomar en cuenta:

X Comparar y leer una escala (escala contenida en el instrumento de

medicion).

X Es el resultado de una operacion humana de observacion.

Figura 1: Imagen que muestra las implicaciones basica al medir.

6


Tipos de de Mediciones

De acuerdo a la forma en que se mide una magnitud fısica, pueden disti-

guirse dos tipos:

X Mediciones Directas

X Mediciones Indirectas

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Mediciones Directas

Son las mediciones cuyo resultado se conoce directamente por el

instrumento de medicion.

Ejemplo: El ancho de una hoja de papel se puede conocer por medio de

una regla.

Figura 2: Imagen que ilustra una medicion directa.

8



Mediciones Indirectas

Son las mediciones cuyo resultado se conoce indirectamente por el

instrumento de medicion, es decir se conoce el valor utilizando una

relacion matematica entre variables de medidas directas.

Ejemplo: El volumen (V ) de un cubo se puede obtener con la formula

V = L3, conociendo un lado (L) del cubo con una cinta metrica.

Figura 3: Imagen que ilustra una medicion indirecta. 9


¿Son Absolutas las mediciones?

Dado que las mediciones son el producto de la operacion humana de la

observacion, leyendo y comparando una escala, se puede concluir que:

Conclusion

Una medicion no representa una verdad absoluta, sinoque contiene cierto grado de incertidumbre.

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¿Que significa la incertidumbre o error?

Definicion de Incertidumbre

La incertidumbre son los lımites dentro de los cuales se encuentra una

medida y el valor verdadero de la magnitud que se desea medir.

Figura 4: Imagen que muestra las limitaciones al momento de realizar una

medicion causando una incertidumbre.11


Causas de Incertidumbre

Existen numerosos motivos para pensar que las mediciones contienen un

grado de incertidumbre, cuyo origen puede deberse a:

Causas

X El objeto o magnitud por medir. Repetibilidad en las medidas o

conjuntos de valores (los datos se repiten o son diferentes).

X El instrumento de medida. Calibracion incorrecta del instrumento,

que conlleva a un mal funcionamiento.

X El observador. Lectura realizada por el que mide y el

procedimiento experimental que decide para medir.

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Clasificacion de la Incertidumbre

Por lo anterior la incertidumbre puede clasificarse en:

X Incertidumbre Aleatoria.

X Incertidumbre Sistematica.

Incertidumbre por Error Instrumental.

Incertidumbre por Error Personal.

Incertidumbre por Error en Eleccion del Metodo.

Conclusion

“La incertidumbre en una medida depende de lo que se mide, con que se

mide y quien lo mide”

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Definicion de exactitud y precision

Precision

Es la concordancia que existen entre reiteradas mediciones, realizadas en

similares condiciones, de la misma magnitud fısica.

Esto puede interpretarse como:

“Una medida tiene mucha precision cuando su intervalo de incertidumbre

es pequeno y que tiene poca precision cuando su intervalo de

incertidumbre sea grande”

Exactitud

Indica la cercanıa entre el valor medido y el valor verdadero de la

magnitud. Tambien se puede decir que es el grado de concordancia entre

el valor verdadero o aceptado con el valor medido, para cierta magnitud

fısica.

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Ejemplo de precision y exactitud

Figura 5: Imagen que muestra la diferencia entre los terminos de exactitud y

precision. Tomado de [4]

15


Definicion de Sensibilidad

Definicion

Es el valor mas pequeno que se puede medir con un determinado

instrumento.

La sensibilidad de un instrumento esta indicada por el valor de

medicion mas pequena de la escala del instrumento.

Figura 6: La regla de color verde graduada en mm tiene una sensibilidad de

1mm, la misma sesibilidad que la regla transparente ya que la mınima medida

que se puede hacer con ella es 0.1cm

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Cifras Significativas

Definicion

Las cifras significativas, tambien conocidas como dıgitos significativos,

son las cifras que contienen la informacion que resulta de una medicion y

estas dependen directamente del instrumento de medicion usado.

En general al trabajar con las cifras significativas se debe tener presente

algunos principios.

Principios Basicos

1. No falsear informacion.

2. No perder informacion.

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¿Como determinar el numero de cifras significativas?

En general, para saber el numero de cifras significativas se deben seguir

las siguientes reglas.

1 Todos los dıgitos diferentes de cero son significativos.

Ejemplo: 1.45, 2.286

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2 Los ceros situados entre cifras significativas son significativos.

Ejemplo: 10.01, 106.03

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3 Los ceros a la izquierda del primer dıgito diferente de cero, no son

significativos.

Ejemplo: 0.0140

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4 Los ceros situados a la derecha son cifras significativas cuando se

escribe el signo decimal.

Ejemplo: 1.310, 1.00

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5 Si un numero no tiene signo decimal y termina con uno o mas ceros,

dichos ceros pueden o no ser significativos, para ello se recurre a la

notacion cientıfica.

Ejemplo: 230, 24.00

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6 Los numeros escritos en notacion cientıfica tienen tantas cifras como

dıgitos existan en la cantidad asociada al coeficiente de la potencia

diez de la expresion.

Ejemplo: 0.6252 = 6.252x10−1 = 62.52x10−2

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¿Como se puede escribir el resultado de una medicion?

Dado que una medida tiene cierto grado de incertidumbre, es un hecho

que: la medicion es en realidad un conjunto o intervalo de valores que

contiene el valor verdadero de la magnitud que se quiere medir.

Parametros necesarios para representar una medida

X Valor medio o central. Es el mas representativo del conjunto de

valores que se establece en la medicion. Por tanto se considera

como el valor mas cercano al verdadero.

X Incertidumbre absoluta. Es la cantidad que contiene el error en la

medida, asociado a diversas causas.

Los parametros, mencionados anteriormente, representan finalmente el

intervalo de valores que expresa una medida.

x = (x ±∆x) unidades (1)

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Representacion Grafica de una Medida

Representacion numerica

x = (x ±∆x) unidades (2)

Figura 7: Imagen que muestra la representacion grafica de una medida m.

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Medicion


Conceptos Varios



Exposicion de Casos








Luego que recolectan datos, ¿Que hago con ellos?

La parte fundamental de un experimento consiste en medir las

constantes y variables involucradas, junto con una estimacion de nuestra

confianza en los valores medidos.

Para la estimacion de la confianza en los valores medidos se necesita ob-

tener:

1. Valor Central

2. Incertidumbre absoluta

Segun la forma en que se recolectaron los datos, se obtienen las cantida-

des mencionadas de diferentes maneras.

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Exponiendo diversas formas de realizar mediciones

Se puede abstraer la forma en la que realizamos mediciones, tomando en

cuenta algunas definiciones.

Caso 1 Mediciones Directas

Subcaso 1 Una sola medicion

Subcaso 2 Varias mediciones para la misma magnitud.

Caso 2 Mediciones Indirectas

Considerando la formula que relaciona las medidas directas:

Subcaso 1 Las variables directas se suman o se restan.

Subcaso 2 Las variables directas se multiplican o dividen.

Caso 3 Caso de Incertidumbre General: Maxima Incertidumbre Posible.

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Caso: Medida Directa-Una sola medicion

Valor Central: x

Este valor estara dado por el resultado de la unica medida realizada.

Incertidumbre Absoluta: ∆x

Este valor estara dado por la sensibilidad del instrumento utilizado.

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Caso: Medida Directa - N cantidad de mediciones para la

misma magnitud

Valor Central: x

Estara dado por el valor promedio de los valores medidos:

x =

∑Ni=1 xiN

(3)


Estara determinado por la siguiente cantidad:

∆x =√δins + σest (4)

δins se considera la sensibilidad del instrumento.

σest esta determinado por metodos estadısticos. En nuestro caso:

σest =

∑Ni=1 |xi − x |

N

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Caso: Medida Indirecta - Suma o resta de variables directas

Caso a tratar:

x = a± b

Valor Central: x

Estara dado por: la sustitucion de los valores centrales de las cantidades

directas, en la formula.

x = a± b (5)


Ya sea si las cantidades directas suman o resta en la formula,

estara determinado por la suma de las incertidumbres absolutas de las

medidas directas:

∆x = ∆a + ∆b (6)

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Caso: Medida Indirecta - Multiplicacion o division de variables

directas

Caso a tratar:

x =kv ayb

zc

Donde: k, a, b y c son constantes.

Valor Central: x

Estara dado por: la sustitucion de los valores centrales de las cantidades

directas, en la formula.

x =kv ayb

zc(7)


Estara determinado por la suma de las incertidumbres relativas de las

medidas directas:

∆x = x ∗ (a∆v

v+ b

∆y

y+ c

∆z

z) (8)

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Maxima Incertidumbre posible

Se puede considerar un caso, en cuanto a la incertidumbre, que puede

ser aplicado a mediciones directas o indirectas. Este caso considera el

maximo intervalo de error posible.

Definicion del Caso

Para una medida x en el cual para conocer su valor se han realizado

varias mediciones (medida directa) o se hace uso de una formula

(medida indirecta), la incertidumbre absoluta puede calcularse de la

siguiente manera:

∆x =xmax − xmin

2(9)

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Para la publicacion de una medida experimental se seguira una conven-

cion, que se detalla a continuacion:

1. El error absoluto debera contener solamente una cifra significativa.

2. El error absoluto predispone cuantas cifras antes o depues del punto

decimal debe contener el valor central.

Ejemplos: Escribir correctamente la medida x donde se obtuvo 1.2345345

para el valor central y 0.6789 para su incertidumbre.

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Medicion


Conceptos Varios



Exposicion de Casos








Una ves que obtengo los datos y resultados ¿Para que me

sirven?

Con los datos obtenidos se pueden sacar conclusiones acerca de algun

fenomeno, propiedades de objetos, propiedades de sistemas, “comproba-

cion” de leyes, etc.

Para concluir es necesario analizar los datos, las herramientas que dispo-

nemos para ello se listan a continuacion:

X Exactitud: Incetidumbre de Exactitud.

X Precision: Incertidumbre Relativa Porcentual.

X Discrepancia.

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Definiendo Herramientas - Incertidumbre de Exactitud

Se usa cuando se necesita conocer cuan lejano o cercano fue la

medicion que se realizo con respecto a un valor aceptado.

Un valor pequeno indica una buena exactitud.

Para el calculo de esta incertidumbre se necesita conocer el valor

teorico de la magnitud que fue medida.

Puede usarse para corroborar acuerdo entre teorıa y experimento.

Notacion: Se denotara la medida experimental con: xe y el valor teorico

como xt

Definicion

IE =|xe − xt |

xt∗ 100 % (10)

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Apoyo Grafico para la Visualizacion de la Exactitud

Figura 8: Imagen donde se representa graficamente el valor teorico y los

valores experimentales, con ello se analiza si el resultado fue satisfactorio.

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Definiendo Herramientas - Incertidumbre de Precision

Se usa cuando se necesita conocer, que tan precisa fue una medida

realizada.

Un valor pequeno indica una buena precision.

Se puede usar para conocer cual medida directa aporto mayor error

en una medicion indirecta.

Definicion

IR =∆x

x∗ 100 % (11)

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Definiendo Herramientas - Discrepancia

Se usa para comparar valores medidos cuando se refieren a una

misma magnitud.

Indica el grado de concordancia entre dos medidas.

Al comparar cantidades la discrepancia puede ser significativa o no

significativa

Notacion: Se denotara la discrepancia con la letra D

Definicion

Dadas las medidas: x = x ±∆x , y = y ±∆y

D = |x − y | (12)

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Apoyo Grafico para la Visualizacion de la Discrepancia entre

dos Medidas

Figura 9: Imagen donde se representan los valores experimentales que se

comparan y se analiza la discrepancia.

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Referencias

Hector G. Riveros, Lucıa Rosas,El Metodo Cientıfico

Aplicado a las Ciencias Experimentales.

Roger Raudales, Jorge Perez, Introduccion a Errores

Experimentales.

UNAM, Cifras Significativas y su Manejo.

John R. Taylor, Classical Mechanics.

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