VECTORESIntroducción

Mecánica Aplicada

Prof. Oscar Tinoco Gómez

Dos tipos de magnitudes físicas importantes: escalares y vectoriales

Magnitud escalar:

aquella que queda completamente especificada mediante un número, con la unidad apropiada

• Número de papas en un saco

• Temperatura en un determinado punto del espacio

• Volumen de un objeto

• Masa y densidad de un objeto

• Estatura de un alumno

Dos tipos de magnitudes físicas importantes: escalares y vectoriales

Magnitud vectorial:

Aquella que debe ser especificada mediante su módulo, dirección y sentido

• Posición de una partícula

• Desplazamiento de un partícula

• Fuerza aplicada sobre un objeto

• Aceleración

I) Magnitudes vectoriales

Los vectoresSon entidades matemáticas con

* Magnitud: * Dirección: * Y Sentido:

q

Magnitudes Vectoriales

Posición Desplazamiento Fuerza

Campo Magnético

… etc

SIMBOLOGÍA

Vector que entra (-) Vector que sale (+)

II) Caracterización de Vectores

Los vectores deben referirse SIEMPRE a un Sistema de Coordenadas

* Sistema Estándar o “Dextrógiro”* Versores i j k

Son vectores “Base” 3D u “ortonormales” (perpendiculares y de

longitud unitaria)

Con la “combinación lineal” de estos tres vectores base se puede especificar cualquier vector

Ejemplo:

Luego:

Por lo tanto, existen dos formas de escribir el vector u:

Y también:

* Módulo y versor de un vector arbitrario

Sea

- La longitud o “módulo” de A es:

- Y el versor de A es:

Ejemplo: NOTA: el versor indica los “Cosenos Directores”:

VECTOR UNITARIO

Es un vector que se utiliza para indicar la dirección y el sentido de las cantidades vectoriales. Es un vector deslizante cuya característica principal es tener una magnitud, longitud o módulo igual a la unidad); representa con exactitud la dirección y el sentido de otro vector que actúe en la misma.

Léase : Magnitud de .

Según la terminología anterior uh versor viene a ser un vector unitario

III) Suma y Resta de Vectores

A = (Ax , Ay) = (1,3)B = (Bx , By) = (2, 1)

* VECTOR SUMA C = A + B

- Método del Paralelógramo

- Método Cartesiano

Luego:

* VECTOR RESTA: C = A - B

- Método del paralelógramo

- Método cartesiano

En este caso:

IV) Multiplicación de Vectores

* Producto Punto El resultado SIEMPRE es un ESCALAR

- Ejemplo:

NOTA:

* Producto Cruz El resultado es SIEMPRE un VECTOR

- Longitud de C:

Finalmente:

NOTAS

1) Producto cruz y rotacionesSean:A = vector que indica el punto de aplicación de una fuerza respecto del eje de giroB = Fuerza aplicada Se tendrá que AxB indica el vector “responsable”

de la rotación y se conoce como “Torque”Observemos que el vector B se puede escribir como la suma de dos vectores: uno paralelo a A y otro perpendicular a A:

Observemos que sólo “B perpendicular” contribuye a la rotación, de modo que:

2) Producto Cruz entre versoresEl sentido antihorario es positivo.Luego:

… etcEJEMPLO:

Compruebe que:

3) En general, AxB se calcula con un determinante:

FIN

1) El vector V1 que pasa por C y H tiene magnitud 700 N y el vector V2 que pasa por O y M (en donde M es punto medio de GB) tiene por norma 650 N.a) Hallar V1 + V2b) Hallar V1.V2c) Obtener V1 x V2

2) Para qué valor de m son perpendiculares los vectores que parten del origen a los puntos (3, -6, 2) y (-4, 8, m)

3) Para qué valor es de m forman un ángulo de 60° entre si los vectores que van de (2, -7, 5) a (7,1, -3) y de (8, m, -4) a (4, -2, 1)

4) Determinar el ángulo formado entre cada dos diagonales espaciales de un cubo

En el ejercicio anterior, calcular la tensión que la cuerda AB ejerce sobre B, respecto de los puntos O y C.

La componente “y” de la fuerza es de 4000 NEscribir como un vector la fuerza F 

Si A = (1, 2, 0), hallar el momento de F con respecto a A Si B = (3, 0, 1), hallar el momento de con respecto a la recta AB