introducciÓn a la programaciÓn lÓgica

Introduccion a la Programacion Logica

Dirigido por:

Ricardo Neftalı Ramırez OsorioMatematico - Universidad del Valle

Institucion Universitaria Antonio Jose CamachoDepartamento de Ciencias Basicas

Introducciona la

ProgramacionLogica

Ricardo NeftalıRamırez Osorio

Logica dePrimer Orden

Sintaxis

Formas normales

Sustitucion

Resolucion

Alfabeto y Lenguaje de Primer Orden

Definicion

El alfabeto de Primer Orden, consiste de los siguientesconjuntos de sımbolos:

• Variables: (x, y, z, . . .)

• Cuantificadores: (∀,∃)• Conectivos: (∧,∨,→,↔,¬)

Definicion

Un lenguaje de primer orden esta determinado por:

• Constantes: (a, b, c, . . . )

• Sımbolos de relacion:(P,Q,R, . . .)

• Sımbolos de funcion: (f, g, h, . . .)

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Definicion

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Definicion

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Termino y ejemplos de terminos

Definicion

Un termino de un lenguaje de P.O se forma unicamentede la siguiente manera:

• Variable

• Constante

• f(t1, . . . , tn), donde f es un sımbolo de funcion dearidad n y los t1, . . . , tn son terminos.

EJEMPLO

Si f, g, h son sımbolos de funcion 1-aria, 2-aria, 3-aria,respectivamente, v, w son variables y a, b, c constantes;algunos terminos son:

• g(a, v)

• h(f(c), a, w)

• f(b)

• g(a, f(g(b, c)))

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Resolucion

Definicion

• Variable

• Constante

EJEMPLO

• g(a, v)

• h(f(c), a, w)

• f(b)

• g(a, f(g(b, c)))

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Sustitucion

Resolucion

Definicion

• Variable

• Constante

EJEMPLO

• g(a, v)

• h(f(c), a, w)

• f(b)

• g(a, f(g(b, c)))

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Resolucion

Definicion

• Variable

• Constante

EJEMPLO

• g(a, v)

• h(f(c), a, w)

• f(b)

• g(a, f(g(b, c)))

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Atomo y Formulas

Definicion

Un atomo de un lenguaje de P.O es cualquier expresion dela forma

R(t1, . . . , tn)

donde R es un sımbolo de relacion y t1, . . . , tn son terminos.

Definicion

Las formulas de un lenguaje de P.O. son ası:

• Todo atomo es una formula,

• Si F es una formula, entonces la negacion ¬F lo es.

• Si F y G son formulas, entonces F ~ G es una formula,donde ~ es un conectivo binario (∧,∨,→,↔,¬).

• Si F es una formula y v es una variable, entonces(∀v)F y (∃v)F tambien lo son.

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Resolucion

Atomo y Formulas

Definicion

Un atomo de un lenguaje de P.O es cualquier expresion dela forma

R(t1, . . . , tn)

donde R es un sımbolo de relacion y t1, . . . , tn son terminos.

Definicion

Las formulas de un lenguaje de P.O. son ası:

• Todo atomo es una formula,

• Si F es una formula, entonces la negacion ¬F lo es.

• Si F y G son formulas, entonces F ~ G es una formula,donde ~ es un conectivo binario (∧,∨,→,↔,¬).

• Si F es una formula y v es una variable, entonces(∀v)F y (∃v)F tambien lo son.

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Ejemplos de formulas

EJEMPLO

Si Q,R son sımbolos de relacion 1-aria, 3-aria (respect.), fun sımbolo de funcion 2-aria, v, w son variables y a, b, cconstantes; entonces algunas formulas son:

• Q(a)

• ¬R(b, w, c)

• ¬R(v, f(a), b)

• (∃v)(Q(f(v)))

• (∀v)(∃w)(¬Q(f(w)) ∧R(w, f(a), v))

• ¬(¬P(w) ∨R(w, c, v))

• (∃w)(Q(f(w), v)→ P(g(w, v)))

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EJEMPLO

• Q(a)

• ¬R(b, w, c)

• ¬R(v, f(a), b)

• (∃v)(Q(f(v)))

• (∀v)(∃w)(¬Q(f(w)) ∧R(w, f(a), v))

• ¬(¬P(w) ∨R(w, c, v))

• (∃w)(Q(f(w), v)→ P(g(w, v)))

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EJEMPLO

• Q(a)

• ¬R(b, w, c)

• ¬R(v, f(a), b)

• (∃v)(Q(f(v)))

• (∀v)(∃w)(¬Q(f(w)) ∧R(w, f(a), v))

• ¬(¬P(w) ∨R(w, c, v))

• (∃w)(Q(f(w), v)→ P(g(w, v)))

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EJEMPLO

• Q(a)

• ¬R(b, w, c)

• ¬R(v, f(a), b)

• (∃v)(Q(f(v)))

• (∀v)(∃w)(¬Q(f(w)) ∧R(w, f(a), v))

• ¬(¬P(w) ∨R(w, c, v))

• (∃w)(Q(f(w), v)→ P(g(w, v)))

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EJEMPLO

• Q(a)

• ¬R(b, w, c)

• ¬R(v, f(a), b)

• (∃v)(Q(f(v)))

• (∀v)(∃w)(¬Q(f(w)) ∧R(w, f(a), v))

• ¬(¬P(w) ∨R(w, c, v))

• (∃w)(Q(f(w), v)→ P(g(w, v)))

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Resolucion

EJEMPLO

• Q(a)

• ¬R(b, w, c)

• ¬R(v, f(a), b)

• (∃v)(Q(f(v)))

• (∀v)(∃w)(¬Q(f(w)) ∧R(w, f(a), v))

• ¬(¬P(w) ∨R(w, c, v))

• (∃w)(Q(f(w), v)→ P(g(w, v)))

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Forma Normal Conjuntiva y Teorema

Definicion

Una formula esta en forma normal conjuntiva (FNC)(o forma clausal) si es una conjuncion de disyuncion deatomos.

Teorema

Toda formula puede ser transformada en una formulaequivalente en forma normal conjuntiva.

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Forma Normal Conjuntiva y Teorema

Definicion

Una formula esta en forma normal conjuntiva (FNC)(o forma clausal) si es una conjuncion de disyuncion deatomos.

Teorema

Toda formula puede ser transformada en una formulaequivalente en forma normal conjuntiva.

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Demostracion: Algoritmo F.N.C.

Demostracion.

La demostracion es constructiva, ya que nos da el algoritmopara hallar la forma normal conjuntiva de una formuladada. Sean F ,G y H formulas.

Algoritmo FNC

Basta aplicar los siguientes pasos, que consisten en emplearequivalencias logicas, tantas veces como sea posible:

Paso 1 Eliminar las ocurrencias de los conectivoslogicos → y ↔ aplicando:

F ↔ G ≡ (F → G) ∧ (G → F)

F → G ≡ ¬F ∨ G

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Demostracion.

Algoritmo FNC

F ↔ G ≡ (F → G) ∧ (G → F)

F → G ≡ ¬F ∨ G

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Demostracion.

Algoritmo FNC

F ↔ G ≡ (F → G) ∧ (G → F)

F → G ≡ ¬F ∨ G

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Resolucion

Demostracion.

Paso 2 Para “introducir” el conectivo ¬, aplicar lasleyes de Morgan y para eliminar negacionescontinuas la siguiente equivalencia:

¬¬F ≡ F¬(F ∨ G) ≡ ¬F ∧ ¬G¬(F ∧ G) ≡ ¬F ∨ ¬G

Paso 3 Aplicar las leyes distributivas de izquierda aderecha:

F ∨ (G ∧ H) ≡ (F ∨ G) ∧ (F ∨H)

F ∧ (G ∨ H) ≡ (F ∧ G) ∨ (F ∧H)

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Sustitucion

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Demostracion.

¬¬F ≡ F¬(F ∨ G) ≡ ¬F ∧ ¬G¬(F ∧ G) ≡ ¬F ∨ ¬G

F ∨ (G ∧ H) ≡ (F ∨ G) ∧ (F ∨H)

F ∧ (G ∨ H) ≡ (F ∧ G) ∨ (F ∧H)

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Sustitucion

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Demostracion.

¬¬F ≡ F¬(F ∨ G) ≡ ¬F ∧ ¬G¬(F ∧ G) ≡ ¬F ∨ ¬G

F ∨ (G ∧ H) ≡ (F ∨ G) ∧ (F ∨H)

F ∧ (G ∨ H) ≡ (F ∧ G) ∨ (F ∧H)

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Sustitucion

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Demostracion.

¬¬F ≡ F¬(F ∨ G) ≡ ¬F ∧ ¬G¬(F ∧ G) ≡ ¬F ∨ ¬G

F ∨ (G ∧ H) ≡ (F ∨ G) ∧ (F ∨H)

F ∧ (G ∨ H) ≡ (F ∧ G) ∨ (F ∧H)

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Ejemplo: aplicacion Algoritmo F.N.C.

EJEMPLO

Encontraremos la forma normal conjuntiva de la formula

(¬P(v)→ ¬Q(w))→ (P(w)→ Q(v))

aplicando los tres pasos del Algoritmo FNC, donde P y Qson sımbolos de relacion, veamos:

(¬P(v)→ ¬Q(w))→ (P(w)→ Q(v))

↔ (¬¬P(v) ∨ ¬Q(w))→ (¬P(w) ∨Q(v))

↔ ¬(¬¬P(v) ∨ ¬Q(w)) ∨ (¬P(w) ∨Q(v))

↔ (¬¬¬P(v) ∧ ¬¬Q(w)) ∨ (¬P(w) ∨Q(v))

↔ (¬P(v) ∧Q(w)) ∨ (¬P(w) ∨Q(v))

↔ (¬P(v) ∨ ¬P(w) ∨Q(v)) ∧ (Q(w) ∨ ¬P(w) ∨Q(v))

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Resolucion

EJEMPLO

(¬P(v)→ ¬Q(w))→ (P(w)→ Q(v))

↔ (¬¬P(v) ∨ ¬Q(w))→ (¬P(w) ∨Q(v))

↔ ¬(¬¬P(v) ∨ ¬Q(w)) ∨ (¬P(w) ∨Q(v))

↔ (¬¬¬P(v) ∧ ¬¬Q(w)) ∨ (¬P(w) ∨Q(v))

↔ (¬P(v) ∧Q(w)) ∨ (¬P(w) ∨Q(v))

↔ (¬P(v) ∨ ¬P(w) ∨Q(v)) ∧ (Q(w) ∨ ¬P(w) ∨Q(v))

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Sustitucion

Resolucion

EJEMPLO

(¬P(v)→ ¬Q(w))→ (P(w)→ Q(v))

↔ (¬¬P(v) ∨ ¬Q(w))→ (¬P(w) ∨Q(v))

↔ ¬(¬¬P(v) ∨ ¬Q(w)) ∨ (¬P(w) ∨Q(v))

↔ (¬¬¬P(v) ∧ ¬¬Q(w)) ∨ (¬P(w) ∨Q(v))

↔ (¬P(v) ∧Q(w)) ∨ (¬P(w) ∨Q(v))

↔ (¬P(v) ∨ ¬P(w) ∨Q(v)) ∧ (Q(w) ∨ ¬P(w) ∨Q(v))

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EJEMPLO

(¬P(v)→ ¬Q(w))→ (P(w)→ Q(v))

↔ (¬¬P(v) ∨ ¬Q(w))→ (¬P(w) ∨Q(v))

↔ ¬(¬¬P(v) ∨ ¬Q(w)) ∨ (¬P(w) ∨Q(v))

↔ (¬¬¬P(v) ∧ ¬¬Q(w)) ∨ (¬P(w) ∨Q(v))

↔ (¬P(v) ∧Q(w)) ∨ (¬P(w) ∨Q(v))

↔ (¬P(v) ∨ ¬P(w) ∨Q(v)) ∧ (Q(w) ∨ ¬P(w) ∨Q(v))

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EJEMPLO

(¬P(v)→ ¬Q(w))→ (P(w)→ Q(v))

↔ (¬¬P(v) ∨ ¬Q(w))→ (¬P(w) ∨Q(v))

↔ ¬(¬¬P(v) ∨ ¬Q(w)) ∨ (¬P(w) ∨Q(v))

↔ (¬¬¬P(v) ∧ ¬¬Q(w)) ∨ (¬P(w) ∨Q(v))

↔ (¬P(v) ∧Q(w)) ∨ (¬P(w) ∨Q(v))

↔ (¬P(v) ∨ ¬P(w) ∨Q(v)) ∧ (Q(w) ∨ ¬P(w) ∨Q(v))

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Resolucion

EJEMPLO

(¬P(v)→ ¬Q(w))→ (P(w)→ Q(v))

↔ (¬¬P(v) ∨ ¬Q(w))→ (¬P(w) ∨Q(v))

↔ ¬(¬¬P(v) ∨ ¬Q(w)) ∨ (¬P(w) ∨Q(v))

↔ (¬¬¬P(v) ∧ ¬¬Q(w)) ∨ (¬P(w) ∨Q(v))

↔ (¬P(v) ∧Q(w)) ∨ (¬P(w) ∨Q(v))

↔ (¬P(v) ∨ ¬P(w) ∨Q(v)) ∧ (Q(w) ∨ ¬P(w) ∨Q(v))

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Sustitucion

Resolucion

EJEMPLO

(¬P(v)→ ¬Q(w))→ (P(w)→ Q(v))

↔ (¬¬P(v) ∨ ¬Q(w))→ (¬P(w) ∨Q(v))

↔ ¬(¬¬P(v) ∨ ¬Q(w)) ∨ (¬P(w) ∨Q(v))

↔ (¬¬¬P(v) ∧ ¬¬Q(w)) ∨ (¬P(w) ∨Q(v))

↔ (¬P(v) ∧Q(w)) ∨ (¬P(w) ∨Q(v))

↔ (¬P(v) ∨ ¬P(w) ∨Q(v)) ∧ (Q(w) ∨ ¬P(w) ∨Q(v))

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Resolucion

Clausula

Definicion

Un clausula es una disyuncion finita en la cual cadamiembro es un atomo.

EJEMPLO

Las dos disyunciones calculadas en el ejemplo anterior sonclausulas, a saber:

• (¬P(v) ∨ ¬P(w) ∨Q(v))

• (Q(w) ∨ ¬P(w) ∨Q(v))

Observacion

Con base en la definicion anterior, una forma normalconjuntiva sera entonces una conjuncion de clausulas.

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Clausula

Definicion

EJEMPLO

• (¬P(v) ∨ ¬P(w) ∨Q(v))

• (Q(w) ∨ ¬P(w) ∨Q(v))

Observacion

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Clausula

Definicion

EJEMPLO

• (¬P(v) ∨ ¬P(w) ∨Q(v))

• (Q(w) ∨ ¬P(w) ∨Q(v))

Observacion

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Clausula

Definicion

EJEMPLO

• (¬P(v) ∨ ¬P(w) ∨Q(v))

• (Q(w) ∨ ¬P(w) ∨Q(v))

Observacion

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Clausula

Definicion

EJEMPLO

• (¬P(v) ∨ ¬P(w) ∨Q(v))

• (Q(w) ∨ ¬P(w) ∨Q(v))

Observacion

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Resolucion

Sustitucion y sustitucion identidad

Definicion

Una sustitucion es una funcion σ : V → T y serepresenta por el conjunto finito de parejas

{v1|t1 , . . . ,vn |tn}

donde cada vi(∈ V) es una variable diferente y cadati(∈ T) 6= vi , i = 1, . . . , n.

La sustitucion que deja las variables identicas, es decir, queno modifica ninguna variable de cualquier expresion, lallamaremos sustitucion identidad y se denota porε = { }.

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Resolucion Lineal

Un conjunto de criterios selectivos articulados de formasistematica constituye una estrategia de resolucion.

Estudiaremos una estrategia de “refinamiento” llamadaresolucion lineal.

Esta estrategia fue propuesta por Loveland (1970) yLuckham (1970) de manera independiente.

Es exitosamente implementable y consiste en tomar unaclausula central (o de cabecera) y resolverla con otraclausula, luego la clausula resuelta se resuelve con otraclausula y se aplica reiteradamente este proceso.

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Resolucion

Resolucion Lineal

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Resolucion

Resolucion Lineal

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Sustitucion

Resolucion

Ejemplo: Resolucion Lineal

EJEMPLO

Sean a, b, c constantes, u, x, y, z variables, P,Q,R sımbolosde relacion 1-ario, 3-ario, 2-ario, respectivamente, y f unsımbolo de funcion 1-ario.

Sea S el conjunto de clausulas,

• ¬R(a, b)

• Q(x, x, f(x))

• ¬Q(x, y, z) ∨Q(x, y, z)

• ¬Q(x, y, z) ∨R(x, z)

• P(a)

• Q(a, f(c), f(b))

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Resolucion

EJEMPLO

Una Refutacion Lineal de S con clausula de cabecera

O0 : ¬P(x) ∨ ¬Q(y, z, u) ∨ ¬R(x, u) ∨R(x, y) ∨R(x, z)

esta representada en la siguiente grafica.

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