Introduccin a la Dinmica de FluidosVideojuegos apelan a nuestro deseo de explorar e interactuar con nuestro medio ambiente, y la adicin de los fenmenos-tales del mundo real como fluido de movimiento permite a los desarrolladores de juegos para crear mundos virtuales inmersivos y divertidas.Recientemente, simulaciones fsicas se han vuelto ms realista, pero las simulaciones en gran medida se han limitado a los cuerpos rgidos.Simulaciones Generalizados de medios continuos como tela y lquidos siguen siendo poco frecuentes, en gran parte debido a la dinmica de fluidos implican desafos conceptuales y computacionales que hacen que los fluidos que simulan difcil.Este artculo comienza una serie que explica la dinmica de fluidos y sus tcnicas de simulacin.La serie culmina en un ejemplo de un algoritmo de simulacin de fluidos adecuados para su uso en un videojuego.Para empezar en simulaciones de fluidos, es necesario comprender los fundamentos de la dinmica de fluidos.Vamos a empezar por cubrir algunos de los conceptos bsicos.Qu es un fluido?Unfluidoes cualquier sustancia que fluye (en otras palabras, una sustancia que puede tomar la forma de su recipiente) y no resiste la deformacin (es decir, que se desliza cuando se arrastran) .La gente a menudo utilizanfluidoylquidointercambiables, pero tcnicamente, el fluido plazo puede referirse a un lquido o ungas.Un gas llena completamente su recipiente, mientras que unlquidotiene una "superficie libre" distinto cuya forma no depende de su contenedor.(A menudo, cuando se utiliza grficos por ordenador para visualizar un lquido, que prestis slo su superficie, por ejemplo, las ondas en un estanque o una corriente de agua.) La distincin entre lquidos y gases pueden influir en cmo modelar el lquido, pero ambos obedecen las mismas frmulas y fluidos bsicos comparten propiedades similares.Pero qu pasa con el humo?Smoke parece comportarse como un gas, pero tambin parece tener un tipo de superficie, aunque quizs no tan distinta como la de un lquido.La respuesta es que el humo es realmente una combinacin de un gas y pequeas suspendidaslas partculas, y la combinacin de estas partculas se llama unaerosol.Esas partculas siguen el movimiento del gas (y dejar que los jugadores ven que el movimiento) sin influir necesariamente la mocin.Generalmente, usted puede tratar de humo como una especie de gas, donde una de sus propiedades, por ejemplo, la densidad o composicin vara.

Variedades de simulacin fsica

Mientras que la dinmica de fluidos podran no ser tan familiar para la mayora de los programadores de videojuegos, algunas formas de simulacin fsica se han convertido en un lugar comn. Por el bien de contexto, vamos a ver donde simulaciones de fluidos encajan en el espectro de fenmenos fsicos:

Las partculas son puntos que tienen posicin, la masa y la velocidad, pero (en principio) no tamao o forma, como en la Figura 1 (a) muestra. La relacin entre fuerzas y el movimiento es lineal. Las partculas son fciles de simular sino ms bien poco interesante.

Cuerpos rgidos tienen forma y orientacin, adems de la posicin, la masa y la velocidad del ejemplo-para, bloques y bolas. Si se agrega la nocin de "forma" a una partcula, se obtiene un cuerpo rgido, como la Figura 1 (b) muestra. Cuerpos rgidos son todava fciles de simular: La mayor parte de la dificultad proviene de detectar y responder a las colisiones. Las pilas de cuerpos suelen ser los ms difciles de resolver, porque todo en la pila choca continuamente con todo lo dems en la pila, incluso si nada se mueve.

Cuerpos articulados, que se muestran en la Figura 1 (c), se conectan las redes de organismos; por ejemplo, modelos de personajes rgidos. Estos cuerpos se comportan de forma idntica a los cuerpos rgidos que estn involucradas de forma continua en una forma de colisin donde los puntos de contacto tienen una limitada variedad de formas en que se pueden mover (llamadas restricciones).

Figura 1. fenmenos simple fsica: (a) las partculas, (b) los cuerpos rgidos, y (c) los organismos articulados

Cuerpos deformables pueden cambiar de forma, pero conservan su conexin y la adyacencia de diversos puntos del cuerpo. Piense en esto como un modelo en el que los bordes entre vrtices que nunca cambian vrtices se conectan, pero la ubicacin de los vrtices se pueden mover. Su tipo depende de su dimensionalidad:1D. Hilo, cadena, cuerda, cadena, cabello, y as sucesivamente, que se muestra en la Figura 2 (a)2D. Tejido, como se muestra en la Figura 2 (b)3D. Cuerpos blandos, como los bits jiggly de un modelo de personaje, como se muestra en la Figura 2 (c)

Figura 2. cuerpos deformables: (a) de hilo, (b) de tela y (c) los organismos blandos.Los lquidos tienen mucha libertad de movimiento. El movimiento es no lineal (ms sobre esto ms adelante), as como su forma y topologa puede cambiar, como se muestra en la Figura 3. Los lquidos requieren especializados tcnicas de simulacin: Porque lquidos toman la forma de su recipiente, siempre estn en colisin con todo lo que les rodea, incluyendo el propio fluido. As que una colisin con una parte del fluido significa efectivamente que todo el cuerpo de fluido debe responder.

Figure 3.Fluids: (a) liquid and (b) smoke.

Representaciones y sistemas de coordenadasUsted puede modelar fluidos en al menos dos maneras: como un campo, o como un conjunto de partculas que interactan. Ambos puntos de vista son tiles, y que a menudo cambian entre ellos y combinarlos.Sistemas basados en campoPara cada punto en un fluido regin que contiene, se puede atribuir un conjunto de propiedades: velocidad, densidad, temperatura y presin. Las posiciones de los puntos nunca se mueven. Este tratamiento de lquidos como un campo se llama una vista euleriano. Figura 4 (a) muestra un caso simple: una caja de gas.

Figura 4. El campo de base y puntos de vista basados en partculas de un fluido. (a) de cuadrcula basado: Cada punto tiene las propiedades del fluido como la velocidad (flechas), densidad (cuadro relleno), presin (flecha de color) y la temperatura (cuadro resumen), y nunca los puntos de la rejilla se movi. (b) de partculas basado: Cada partcula tiene propiedades de los fluidos adems de la posicin, y cada partcula se puede mover.

Sistemas basados en partculas

Tambin se puede pensar de fluido en trminos de una vasta coleccin de partculas (o paquetes) que se mueven alrededor. Cada paquete tiene propiedades tales como la posicin, la velocidad, la densidad, y la temperatura. Tenga en cuenta la adicin de posicin aqu en contraste con la vista euleriano, donde la posicin se fija a la red. Este tratamiento de fluidos se llama una vista de Lagrange. Figura 4 (b) muestra un fluido como una coleccin de partculas en movimiento.

Propiedades de Fluidos

A nivel microscpico, fluidos consisten en un gran nmero de molculas cuya interaccin principio es la colisin. Pero el nmero de molculas es tan grande que no se puede tratar de manera pragmtica con ellos como tal. En su lugar, usted tiene que tratar con ellos estadsticamente, lo que significa que usted pretende que los cmulos de partculas actan como una sustancia especial que se comporta de manera diferente que una coleccin de partculas. Esto implica especiales de tratamiento (entre otras cosas) que atribuyen propiedades "a granel" a que el fluido que caracterizan la forma en que el fluido interacta consigo misma.

Las propiedades ms comunes e importantes de un fluido puede tener incluyen los siguientes:

Presin. Presin se refiere a las fuerzas normales que se aplican a paquetes de fluidos, as como las fuerzas que el fluido se aplica a su contenedor y otros objetos slidos incrustados en el fluido, como la Figura 5 (a) muestra.

Viscosidad. Los lquidos tambin tienen fuerzas de cizallamiento, que actan a travs del fluido, distorsionarla. La viscosidad es la medida en que los materiales de proteccin que la distorsin de fluido, como en la Figura 5 (b) muestra. Fluidos espesos (como el jarabe) tienen alta viscosidad; lquidos livianos (como el agua) tienen una baja viscosidad.

Densidad. Densidad expresa la cantidad de materia es en cada pequeo volumen de espacio en el fluido.

Temperatura. Temperatura refiere a la cantidad de calor reside en una parcela de fluido. Temperatura en s no afecta directamente cmo el fluido se mueve, pero puede afectar la presin y la densidad, que a su vez afecta el movimiento.

Governing EquationsAl igual que con otros fenmenos fsicos como cuerpos rgidos, sistemas de ecuaciones describen cmo un evoluciona de fluidos, o cambios, con el tiempo. Llamamos a estas ecuaciones que rigen las ecuaciones. Para un cuerpo rgido, las ecuaciones que rigen incluyen segunda ley del movimiento de Newton, expresado como, whereis the force acting on the body,mis its mass, andis its acceleration-that is, how its velocity changes direction and speed over time. Los lquidos son ms complicadas y tienen ms de un conjunto de ecuaciones que gobiernan. Adems, cada conjunto de ecuaciones tiene mltiples formas, que pueden variar dependiendo de qu tipo de lquido que desea modelar. Un primer paso en el modelado de movimiento fluido implica elegir qu ecuaciones de gobierno a utilizar. En este artculo se elige formas relativamente simples.

Modelado de un fluido implica algo ms que su movimiento: Tambin puede modelar su estado interno (presin, densidad y temperatura), el transporte de calor y otras propiedades. Esto y los otros artculos de la serie asume que la temperatura y la densidad se mantienen constantes a lo largo del fluido; pero recuerde que si usted quiere modelar flujos de fluidos ms sofisticados, usted debe explorar conceptos como la ecuacin de estado (por ejemplo, la ley de los gases ideales) y difusin trmica (por ejemplo, la conduccin del calor de Fourier).Momentum

Consider Newton's second law,, for a block. Remembering thataccelerationis the rate of change of velocity-that is,, -and dividing each side by mass, you can write. Now, imagine that block in contact with another block, as shown in Figure 6(b), y que los dos bloques se mueven uno respecto al otro, como se muestra en la Figura 6 (c). Cada bloque tiene ahora mltiples fuerzas que actan sobre el mismo: una fuerza normal, una fuerza de friccin y la fuerza del cuerpo (la gravedad).La ampliacin del plazo de la fuerza,, you get:

Figure 6.Force diagrams for a block; (a) without contact, (b) resting contact, and (c) sliding contact

Similar a las leyes del movimiento de Newton, la ecuacin de Navier-Stokes expresa cmo los cambios de velocidad como resultado de fuerzas:

Here,is the velocity at a point in time and space, t is time,pis pressure at a point,pis the density of the fluid at a point,is viscosity, andare external forces, such as gravity, acting on the fluid.

Tenga en cuenta las similitudes y diferencias de la ecuacin para el bloque. Ambos expresan cmo la velocidad cambia con el tiempo. Ambos incluyen fuerzas resultantes del contacto, as como las fuerzas externas. Pero la ecuacin de fluido tiene un trmino adicional de la izquierda,, que toma un poco de esfuerzo para entender.

Los trminos de la izquierda expresa aceleracin y tienen un significado especial. Usted puede volver a escribir como un nuevo operador,:

Esta frmula es llamado por muchos nombres, incluyendo el derivado sustantivo derivado advectivo, derivado de Lagrange, y derivado de las partculas. Estos nombres dan una pista sobre su significado inusual, y esto es, en cierto sentido, el corazn del movimiento fluido. Por lo tanto, vamos a romper hacia abajo, porque para entender el movimiento del fluido, debe comprender este derivado.The termexpresa cmo la velocidad del fluido en un cambios de ubicacin fija en el tiempo. Tenga en cuenta el calificativo "en una ubicacin fija", que nos lleva de nuevo a la vista euleriano, se muestra en la Figura 7, en la que representa a una fluida como un campo y hacer preguntas acerca de cmo fluido propiedades en ubicaciones fijas en que el cambio de campo a travs del tiempo. As, este trmino expresa simplemente el cambio de velocidad en el tiempo (es decir, la aceleracin) de un punto en un campo fluido.

Figure 7.Aceleracin euleriano: velocidad en unos cambios de ubicacin fija en el tiempo.

The termes complicado: Se llama el trmino advectivo (ver Figura 8) y expresa cmo la velocidad de un fluido cambia de parcela como esa parcela fluido se mueve alrededor, bsicamente, los cambios de velocidad como resultado de moverse en un campo de velocidades. Una vez ms se imagina que un fluido es un campo en el que cada punto en el campo tiene una velocidad. Esto sera como caminar en un aeropuerto que tiene aceras mecnicas (aceras mviles) en todas partes. Y estos son aceras mecnicas inusuales que se mueven en diferentes direcciones y diferentes velocidades en diferentes lugares, pero la direccin y velocidad siguen siendo los mismos en cada ubicacin. Imagnese deambulando en este aeropuerto loca: Dependiendo de dnde estuviste, las aceras rodantes Quieres que llevar en diferentes direcciones y velocidades. Al estar-sin caminar-en esta red loca de aceras rodantes, que iba a cambiar la velocidad y la direccin. Youwould acelerar simplemente como resultado de seguir el campo de flujo.

Figure 8.Aceleracin advectiva: velocidad en cada punto se mantiene constante, pero un trazador que sigue al campo hace que el trazador para acelerar.Tenga en cuenta que el trmino advectivo,, tiene velocidad en dos veces: Que la repeticin hace que el motionnonlinear. Cuando la gente se refiere al movimiento no lineal de fluidos, hacen referencia a esta aceleracin plazo advectivo. Este trmino es la razn principal por la que los lquidos tienen tal movimiento complicado. Al escribir una simulacin, una buena parte de su esfuerzo va en el manejo de este plazo.Cuando se combinan estos dos trminos, se pregunta cmo una parcela de fluido se acelera tanto como se deduce del campo de flujo y como resultado del campo de flujo en s cambiando en el tiempo. Cuando se le pregunta acerca de estas juntas, se adopta el punto de vista, que es de Lagrange, se piensa en el fluido como un conjunto de partculas. Por lo tanto, la diferencia entre las opiniones de Euler y Lagrange reduce efectivamente hacia donde se pone el trmino advectivo,: en el lado derecho o en el lado izquierdo de la ecuacin de momento.

Mass

Cuando la presin se aplica a un paquete de fluido, el fluido puede comprimir o expandir. Usted expresa esta compresin o expansin matemticamente simplemente diciendo que una afluencia de fluido cambia la cantidad de fluido en ese location:

Para efectos visuales, puede compresibilidad generalmente abandono, por lo que simplificar esta ecuacin para . En ese caso, la presin queda acoplado a la velocidad y que puede caer el trmino presin de la ecuacin de momento (pero como veremos en el artculo segundo, la presin vuelve a aparecer en otra forma). Cualquier campo vectorial con cero divergencia se llama "solenoidal". Esta condicin termina causando alguna complicacin en las simulaciones de fluidos, que el segundo artculo de esta serie volver a examinar.

Misa tambin puede adveccin y difuso, en cuyo caso la forma de sus ecuaciones de gobierno se parece a la ecuacin de momento dado anteriormente, slo que sin el trmino presin. En otras palabras, la densidad sigue el flujo y se difunde.

Vorticidad

Se puede imaginar fcilmente un vrtice o mltiples vrtices, porque apelan a la intuicin. Cualquiera que haya visto un tornado, el agua que fluye por un desage, o leche en agitacin en el caf ha visto vrtices. Anillos de humo son tambin realmente slo vrtice anillos-vrtices que bucle sobre s mismas. En la dinmica de fluidos, llamamos a estos bucles estructuras coherentes, ya que parecen tener una vida persistente de los suyos. La ecuacin "vorticidad" describe cmo estas estructuras evolucionan.Vorticity,(el rizo de la velocidad) describe cmo gira de fluidos. Al tomar el rizo de la ecuacin de momento, tenis por la ecuacin de vorticidad:

Al resolver esta ecuacin, se puede obtener una descripcin completa de movimiento fluido. Vorticidad da fluido su caracterstico movimiento de remolino. Figura 9 muestra ejemplos de flujos de torbellino simples.

Figure 9.Vrtices y sus flujos de: (a) un vrtice de lnea (lnea discontinua de color prpura) y el flujo circular alrededor de l (lnea continua negro), y (b) un vrtice anillo y el "jet" fluir a travs de l

El trmino estrs,, describe el estiramiento y la inclinacin de los vrtices, tal como se muestra en la Figura 10. Vortex estiramiento es un proceso importante en la cascada turbulento de energa de mayor a menor escala en el flujo y slo se produce en los flujos de 3D.

Figure 10.Vortex estiramiento: (a) Un tubo de vrtice con una protuberancia con una velocidad que fluye hacia fuera desde la protuberancia hace que la protuberancia a encogerse. (b) Despus de que el bulto chorros de distancia, el tubo se contrajo: La cantidad de masa en rotacin no disminuy, por lo que para conservar el momento angular, vorticidad aumenta. En otras palabras, el tubo gira ms rpido donde inicialmente gira ms lentamente.

El trmino viscoso,, describe la difusin de vorticidad, es decir, cmo se propaga la vorticidad como resultado de la friccin.

El trmino final expresa la flotabilidad, que (como se muestra en la Figura 11) crea regiones de vuelco, donde los fluidos con densidad de equilibrio (por ejemplo, el lquido pesado por encima de fluido luz) forman corrientes que tienden a rodar hacia lo que el fluido en equilibrio (es decir , poniendo fluido pesado debajo de fluido de luz).

Figure 11.Mantener el fluido del lado derecho hacia arriba. Cuando el gradiente de presin y el gradiente de densidad no son paralelas, las formas de vorticidad para llevar capas de fluido en equilibrio. Fluid intentar girar para empujar hacia abajo el bulto.

La ecuacin de momento utiliza la presin, por lo que este enfoque para resolver las ecuaciones de la dinmica de fluidos se llama a veces la formulacin de velocidad-presin o primitiva formulacin variable. En contraste, la ecuacin de la vorticidad no requiere presin, pero s requiere velocidad, por lo que este enfoque para resolver las ecuaciones de dinmica de fluidos a veces se llama la formulacin vorticidad velocidad.

La ecuacin de vorticidad es redundante con la ecuacin de momento: Slo es necesario para resolver uno u otro, ya que son equivalentes. Una vez que se acostumbre a la idea de vorticidad, es ms fcil de trabajar que el impulso, sobre todo porque se puede identificar fcilmente y de manera intuitiva un vrtice y seguir su movimiento.

Condiciones de fronteraFluidos interactan con sus contenedores, con los objetos incrustados en el fluido, y con otros fluidos distintos, que no se mezclan (por ejemplo, aire y agua). Expresas estas interacciones como condiciones de contorno. Estos son anlogos (y adems de) las condiciones iniciales que especifique para ecuaciones diferenciales ordinarias. Piense en ellos de esta manera: Dynamics ecuaciones describen una familia de movimiento, como todas las posibles trayectorias de todas las posibles balas disparadas desde todas las armas posibles, pero las condiciones iniciales especifican cundo, dnde y en qu direccin se dispar el arma. Del mismo modo, las condiciones de contorno especifican la forma del recipiente que contiene el fluido.

Usted puede expresar las condiciones de contorno de especificar que una funcin, o su derivado, tiene un cierto valor en la frontera. Por ejemplo, ya sea la velocidad o el gradiente de velocidad podran ser prescrito para tener algn valor en la superficie de un cuerpo rgido. Especificar el valor de una funcin en un lmite que se denomina una condicin de "esencial" lmite porque es esencial para esa condicin que se produzca en la solucin, es decir, que especifica directamente el valor de la propia solucin, a lo largo de algn lmite. Esto significa efectivamente que se necesita saber una parte de la solucin antes de poder obtener el resto de la solucin. En contraste, especificando el valor de un derivado de una funcin en un lmite se denomina una condicin de contorno "natural", porque permite que la funcin para alcanzar el valor requerido libremente y de forma natural. En tal caso, usted no necesita saber la solucin antes de tiempo; simplemente su derivado.

Cada ecuacin tiene sus propias condiciones de contorno. As que las ecuaciones de momento tendran un conjunto de condiciones de contorno, la presin de otra, la densidad de otro y as sucesivamente.Condiciones de frontera para las ecuaciones de momento por lo general tienen dos componentes:No a travs. El lquido no puede fluir dentro o fuera de un cuerpo.No deslizante. Lquido no puede moverse a travs de un cuerpo. (Alternativamente, puede utilizar los lmites de libre deslizamiento, que no son perfectamente realistas sino que se aplican para los fluidos sin viscosidad.)

Estas condiciones de contorno expresan cmo un cuerpo influye en el flujo de fluido as como la forma de flujo de fluido influye en el movimiento de un cuerpo. Este problema tiene mltiples soluciones. Por ejemplo, usted puede preguntar sobre el campo de presin en la frontera o utilizar las leyes de conservacin (como momento lineal y angular) para el intercambio de impulsos entre el fluido y el cuerpo.

ResumenAdicin de simulaciones de fluidos a los videojuegos puede hacer los juegos ms inmersiva y convincente. Este artculo present propiedades de dinmica de fluidos y ecuaciones en preparacin para una descripcin de los algoritmos utilizados para simular el movimiento del fluido. Debido a que incluye ms grados de libertad y el movimiento no lineal, dinmica de fluidos es ms complicada que otras formas, familiares de los fenmenos fsicos como la dinmica de cuerpos rgidos. Dinmica de fluidos emplea ecuaciones diferenciales parciales (en contraste con las ecuaciones diferenciales ordinarias) y tiene condiciones de contorno (adems de las condiciones iniciales). Las tcnicas de simulacin adecuados para fluidos tienen una delicadeza correspondiente y complejidad que los artculos posteriores de esta serie explorarn. Las siguientes tcnicas de simulacin de fluidos encuesta articlewill, incluidos los mtodos basados en la red, la red libre, e hbridos. La tercera y cuarta artculos presentarn una simulacin de fluidos de partculas del vrtice, que se puede utilizar para aumentar un sistema de partculas existente en un juego. Artculos posteriores mejoran el rendimiento y la funcionalidad de esa simulacin.Revisin de Diferenciales ParcialesEn esta seccin se presenta una breve revisin de clculo diferencial.

En primer lugar, algunos de los trminos: Un valor escalar tiene un nico componente, por ejemplo, de altura. En contraste, un valor vector tiene varios componentes. Por ejemplo, un vector-2 tiene 2 componentes (por ejemplo, x e y) y un vector de 3 tiene 3 componentes. Una idea similar pero distinta es la dimensionalidad de la funcin, que es el nmero de variables de la funcin depende. As que una funcin 1D es una funcin de una sola variable, por ejemplo, f (u), y una funcin de 2D es una funcin de 2 variables, por ejemplo, f (u, v). Puede combinar estas nociones. Usted est familiarizado con la funcin escalar de 1 variable f menudo escrita (x). Pero tambin puede tener funciones escalares de mltiples variables (por ejemplo, un solo valor se define en cada punto en una superficie 2D, como un campo de altura) y funciones vectoriales de mltiples variables (por ejemplo, varios valores se definen en cada punto en un 3D volumen, tales como los componentes de la velocidad en un campo de flujo).

Es probable que recuerda la idea de que un derivado es la pendiente de una lnea tangente a una curva. Puede extender esa nocin de un derivado de funciones escalares y vectoriales de dimensin superior. Los operadores resultantes incluyen el gradiente, divergencia y rizo, se detalla a continuacin.

Gradiente

Recordemos que la derivada de una funcin escalar 1D (es decir, una funcin de una sola variable, que tiene un nico valor) es la pendiente de la lnea tangente a la funcin en un punto dado, como se muestra en la Fig. X (a). Del mismo modo, thegradient de una funcin escalar de ms variables es una combinacin de derivadas parciales - una para cada variable - en combinacin para crear un vector que apunta a lo largo de la pendiente de esa funcin, como la Fig. X (b) representa.

Figura X: Derivadas de funciones escalares. (A) derivada ordinaria de una funcin escalar 1D es la pendiente de la lnea tangente a la curva. (B) Gradiente de una funcin escalar 2D (por ejemplo, la altura del terreno) apunta hacia arriba la pendiente del "terreno".

Divergencia

La divergencia de una funcin vectorial indica cunto del campo fluye hacia fuera desde un punto dado. Y la figura (a) muestra una funcin que tiene divergencia. Tenga en cuenta que la divergencia de un campo vectorial es en s mismo un escalar. Si el campo vectorial es un campo de velocidades y luego una divergencia positiva implica la misa a las disminuciones puntuales. Piense en un tanque de gas comprimido vaciamiento; el volumen del recipiente permanece constante pero la cantidad de gas dentro del tanque disminuye a medida que el gas fluye hacia el exterior.

Figura Y: Derivados de funciones vectoriales. (A) Un campo vectorial irrotacional slo tiene divergencia (sin rizo). (B) Un campo vectorial solenoidal slo tiene enrollamiento (sin divergencia).

Curl

El rotacional de un campo vectorial indica la cantidad de circulacin sobre cada punto. Figura Y (b) muestra un campo vectorial que tiene rizo. El rotacional de un campo de velocidades se llama la vorticidad. Tenga en cuenta que el rizo es en s mismo un vector; para encontrar su direccin, utilizamos la "regla de la mano derecha": Curl con los dedos de la mano derecha a lo largo de la direccin de los vectores y el pulgar se apuntan en la direccin de la curvatura. En la Fig. Y (b), los puntos de rizo de la pgina

Helmholtz de descomposicin

El teorema fundamental del clculo vectorial establece que puede representar un campo vectorial como la suma de la parte anirrotational (que no tiene rizo) y una parte solenoidal (que no tiene divergencia).