VACIADO DE UN DEPÓSITO Introducción En este experimento se descarga el agua contenida en un depósito cilíndrico por medio de un orificio pequeño realizado en la pared lateral del mismo, al que se ha añadido una boquilla en dirección horizont5al. La trayectoria del agua cuando abandona el depósito es una parábola, siempre que el chorro sea continuo. Mediante la fotografía digital podemos determinar: a) la velocidad de salida del agua ,b) la altura de la superficie libre del líquido en el recipiente respecto de la que ocupa el orificio de salida, c) el tiempo que transcurre a medida que el depósito se vacía. Estos datos experimentales se comparan con los que se obtienen por un tratamiento teórico del problema. Material Botella de plástico de forma cilíndrica Boquilla para salida del líquido Reloj digital Agua * Soportes Tetina. Recipiente para recogida del agua Reglas dispuestas en posiciones horizontal y vertical Dispositivo para fotografiar *El agua aparece con una coloración roja debido a que se le ha añadido un poco de disolución de hidróxido de sodio y fenolftaleina. La finalidad es obtener de forma clara en la fotografía la trayectoria del agua. La tetina nos permite obturar la boquilla y detener la salida del agua. Fundamento teórico Un depósito cilíndrico posee una sección interior S1 y un orificio de salida de sección S2. Contiene inicialmente agua a una altura H ( t=0). Al retirar la tetina del depósito, el agua fluye al exterior describiendo una parábola, siempre que el chorro se mantenga continuo, (ver las fotografías). Designamos con t al tiempo desde el instante inicial hasta que la altura del agua es h, con v1 a la velocidad de descenso del agua en el depósito cilíndrico y v2 a la de salida del agua cuando la altura de la misma es h. Designamos con t=0 a la variable tiempo justamente cuando la altura del agua en el depósito es H, y con t, a esa variable, cuando la altura del agua en el depósito es h (fig.1).

Sea v1 la velocidad con que desciende el nivel del agua cuando está a la altura h y v2 la velocidad de salida del agua por el fondo. Aplicamos el teorema de Bernoulli.

21

22

22atm

21atm vvhg20gρvρ

21phgρvρ

21p −=⇒++=++

Según al ecuación de continuidad: S1 v1=S2 v2 ; 21

21 v

SS

v =

22

21

21

2

1

2

2

2

1

222

22

2

1

222 SS

Shg2

SS

1

hg2vSS1vv

SSvhg2

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⇒⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= (1)

Cuando transcurre un tiempo dt posterior a t, el nivel del depósito disminuye en dh y el volumen disminuye en dV,

dtdhvvS

dtdhS

dtdVdhSdV 11111 −=⇒=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⇒−=

Como dtdh

SS

vvSS

dtdhv

2

122

1

21 ⋅−=⇒=

−=

Sustituyendo en (1)

CtetSS

Sg2hdt

SSSg2

hdhh

SSg2S

dtdh

SS

22

21

22

22

21

22

22

21

12

1 +⋅−

−=−

−=⇒⋅−

=⋅− ∫∫

Cuando t =0 , h=H , por tanto la constante vale: HCte =

Fig.1

)2(;HtSS

Sg2h 22

21

22 +⋅

−−= Llevamos la ecuación (2) a la (1)

(3)tSSSgS2H

SSSg2Ht

SSSg2

SSSg2v 2

221

2122

21

21

22

21

22

22

21

21

2 −−

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

−−⋅

−=

Mediante la fotografía digital mediremos v2 , t y h y haremos uso de las ecuaciones (1) y (2).

Medidas

1) El montaje del dispositivo experimental puede verse en la fotografía 1. 2) Se opera quitando la tetina, se espera unos segundos y se pone en funcionamiento el reloj y a partir de ahí se obtiene una secuencia de fotografías que van desde la 2 a la 9

Fotografía 1 Esta fotografía muestra el montaje real del dispositivo experimental. A partir de fotografías como ésta se obtienen las que sirven para determinar los datos experimentales, para ello se recortan, se recoloca el reloj y se elimina la parte del chorro de agua que deja de ser continuo. Las reglas que aparecen en las fotografías originales están eliminadas en las fotografías de medidas, pero a partir de ellas se indica con una doble flecha la longitud real. Hemos observado que si el chorro es continuo su trayectoria se describe mediante una parábola, mientras que si se considera también la parte en que es discontinuo la trayectoria se desvía de una parábola.

2) Se opera quitando la tetina, se espera unos segundos y se pone en funcionamiento el reloj y a partir de ahí se obtiene una secuencia de fotografías que una vez recortadas corresponden son las que aparecen numeradas de 2 a 8.

Fotografía 2

Fotografía 3

Fotografía 4

Fotografía 5

Fotografía 6

Fotografía 7

3) La forma de obtener la velocidad de salida del agua en cada fotografía es la siguiente: Se hace una fotocopia de cada una de las fotografías. El nivel del agua en la botella indica la dirección horizontal. En las fotografías se ha dibujado esta recta. Otra paralela a ella, que pasa justamente por el centro de la boquilla, será el eje de abscisas. Por el centro de la boquilla se ha dibujado una perpendicular al eje de abscisas y es el eje de ordenadas. Según lo hecho, las coordenadas del centro de la boquilla son (0,0). Sobre el centro del chorro se marcan puntos (cinco o seis) a intervalos regulares y se miden las coordenadas xF e yF de cada punto en cm de la fotocopia. Para pasar estas coordenadas a distancias reales se usa un factor de escala que en las fotografías se ha indicado mediante una doble flecha poniendo encima de ella la distancia real. Los valores obtenidos se recogen en la tabla 1. Hay que confeccionar una tabla como la 1 para cada fotocopia. Las ecuaciones paramétricas del chorro del agua según los ejes construidos son:

2

22

vxg

21ygt

21y;tvx =⇒==

Fotografía 8

Al representar y frente a x se obtiene una parábola, mediante un hoja de cálculo se determina su ecuación. Al representar y en ordenadas frente a x2 en abscisas, se obtiene una línea recta cuya pendiente p, vale:

p2gv

v2gp 2 =⇒=

v =v2 , es la velocidad de salida del agua por el orificio.

Tabla 1 Factor de escala ,FE=

xF/cm en foto

yF/cm en foto

x/cm reales x=xF*FE

y/cm reales y=yF*FE

x/m y/m x2/m2

Represente y frente a x y a partir de la ecuación de termine la velocidad de salida del agua Represente y frente a x2 y determine el valor de la velocidad de salida del agua v=v2. Tome el valor medio de las dos representaciones. Repita el proceso anterior con todas y cada una de las fotografías. Con todos valores de la velocidad, del tiempo y de las alturas confeccione la tabla 2.

Tabla 2

Velocidad, v=v2/m.s-1

Tiempo del reloj t/s

Altura h/m

Tiempo/s Altura^0,5 h^0,5

1) Represente la velocidad (eje Y) frente a la raíz cuadrada de la altura (eje X). 2) Represente la velocidad (eje Y) frente al tiempo (eje X). 3) Represente en las gráficas anteriores la velocidad experimental y la deducida a partir del teorema de Torricelli. Analice la comparación entre experimento y teoría.